Acest subiect va lua în considerare atât o schemă generală de comparare a fracțiilor zecimale, cât și o analiză detaliată a principiului comparării fracțiilor finite și infinite. Să reparăm partea teoretică prin rezolvarea unor probleme tipice. De asemenea, vom analiza cu exemple și compararea fracțiilor zecimale cu numere naturale sau mixte, și fracții obișnuite.

Să facem o precizare: în teoria de mai jos vor fi comparate doar fracțiile zecimale pozitive.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Principiul general de comparare a fracțiilor zecimale

Pentru fiecare zecimală finită și fracție zecimală recurentă infinită, există anumite fracții comune care le corespund. Prin urmare, compararea fracțiilor periodice finite și infinite se poate face ca o comparație a fracțiilor lor ordinare corespunzătoare. De fapt, această afirmație este principiul general pentru compararea fracțiilor periodice zecimale.

Pe baza principiului general, se formulează regulile de comparare a fracțiilor zecimale, aderând la care este posibil să nu se transforme fracțiile zecimale comparate în fracții obișnuite.

Același lucru se poate spune despre cazurile în care o fracție zecimală periodică este comparată cu numere naturale sau numere mixte, fracții obișnuite - numerele date trebuie înlocuite cu fracțiile lor ordinare corespunzătoare.

Dacă vorbim despre compararea fracțiilor neperiodice infinite, atunci se reduce de obicei la compararea fracțiilor zecimale finite. Pentru a lua în considerare, se ia un astfel de număr de semne ale fracțiilor zecimale neperiodice infinite comparate, ceea ce va face posibilă obținerea rezultatului comparației.

zecimale egale și inegale

Definiția 1

Decimale egale- acestea sunt două fracții zecimale finale, care au aceleași fracții ordinare corespunzătoare. În caz contrar, zecimale sunt inegal.

Pe baza acestei definiții, este ușor de justificat o astfel de afirmație: dacă la sfârșitul unei fracții zecimale date semnăm sau, dimpotrivă, aruncăm mai multe cifre 0, atunci obținem o fracție zecimală egală cu aceasta. De exemplu: 0 , 5 = 0 , 50 = 0 , 500 = ... . Sau: 130 , 000 = 130 , 00 = 130 , 0 = 130 . De fapt, adăugarea sau aruncarea zero la sfârșitul fracției din dreapta înseamnă înmulțirea sau împărțirea cu 10 a numărătorului și numitorului fracției ordinare corespunzătoare. Să adăugăm la cele spuse principala proprietate a fracțiilor (prin înmulțirea sau împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu același număr natural, obținem o fracție egală cu cea inițială) și avem o dovadă a afirmației de mai sus. .

De exemplu, fracția zecimală 0, 7 corespunde unei fracții obișnuite 7 10. Adăugând zero la dreapta, obținem fracția zecimală 0, 70, care corespunde fracției ordinare 70 100, 7 70 100: 10 . Adică: 0 , 7 = 0 , 70 . Și invers: aruncând zero în fracția zecimală 0, 70 din dreapta, obținem fracția 0, 7 - astfel, din fracția zecimală 70 100 trecem la fracția 7 10, dar 7 10 \u003d 70: 10 100 : 10 Apoi: 0, 70 \u003d 0 , 7 .

Acum luați în considerare conținutul conceptului de fracții zecimale periodice infinite egale și inegale.

Definiția 2

Fracții periodice infinite egale sunt fracții periodice infinite care au fracții ordinare egale corespunzătoare. Dacă fracțiile ordinare care le corespund nu sunt egale, atunci fracțiile periodice date pentru comparație sunt de asemenea inegal.

Această definiție ne permite să tragem următoarele concluzii:

Dacă înregistrările fracțiilor zecimale periodice date sunt aceleași, atunci aceste fracții sunt egale. De exemplu, zecimale periodice 0, 21 (5423) și 0, 21 (5423) sunt egale;

Dacă în fracțiile periodice zecimale date perioadele încep din aceeași poziție, prima fracție are o perioadă de 0, iar a doua - 9; valoarea cifrei care precedă perioada 0 este cu o mai mare decât valoarea cifrei care precede perioada 9, atunci astfel de fracții zecimale periodice infinite sunt egale. De exemplu, fracțiile periodice 91 , 3 (0) și 91 , 2 (9) sunt egale, precum și fracțiile: 135 , (0) și 134 , (9) ;

Alte două fracții periodice nu sunt egale. De exemplu: 8 , 0 (3) și 6 , (32) ; 0 , (42) și 0 , (131) etc.

Rămâne să luăm în considerare fracțiile zecimale neperiodice infinite egale și inegale. Astfel de fracții sunt numere iraționale și nu pot fi convertite în fracții obișnuite. Prin urmare, compararea fracțiilor zecimale neperiodice infinite nu se reduce la compararea celor obișnuite.

Definiția 3

zecimale nerecurente infinite egale sunt fracții zecimale neperiodice, ale căror intrări sunt exact aceleași.

Întrebarea ar fi logică: cum să comparăm înregistrările dacă este imposibil să vezi înregistrarea „terminată” a unor astfel de fracții? Comparând fracții zecimale neperiodice infinite, este necesar să luăm în considerare doar un anumit număr finit de semne ale fracțiilor date pentru comparație, astfel încât acest lucru să ne permită să tragem o concluzie. Acestea. în esență, compararea zecimale infinite nerecurente înseamnă compararea zecimale finite.

Această abordare face posibilă afirmarea egalității fracțiilor neperiodice infinite numai până la cifra considerată. De exemplu, fracțiile 6, 73451 ... și 6, 73451 ... sunt egale cu o sută de miimi, deoarece zecimalele finale 6, 73451 și 6, 7345 sunt egale. Fracțiile 20, 47 ... și 20, 47 ... sunt egale cu sutimi, deoarece fracțiile 20, 47 și 20, 47 sunt egale și așa mai departe.

Inegalitatea fracțiilor neperiodice infinite se stabilește destul de concret cu diferențe evidente în înregistrări. De exemplu, fracțiile 6, 4135 ... și 6, 4176 ... sau 4, 9824 ... și 7, 1132 ... și așa mai departe sunt inegale.

Reguli pentru compararea fracțiilor zecimale. Rezolvarea exemplelor

Dacă se stabilește că două fracții zecimale nu sunt egale, este de obicei necesar să se determine care dintre ele este mai mare și care este mai mică. Luați în considerare regulile de comparare a fracțiilor zecimale, care fac posibilă rezolvarea problemei de mai sus.

Foarte des, este suficient doar să compari părțile întregi ale fracțiilor zecimale date pentru comparație.

Definiția 4

Acea fracție zecimală, care are o parte întreagă mai mare, este mai mare. Fracția mai mică este cea a cărei parte întreagă este mai mică.

Această regulă se aplică atât fracțiilor zecimale finite, cât și celor infinite.

Exemplul 1

Este necesar să comparați fracțiile zecimale: 7, 54 și 3, 97823 ....

Decizie

Este destul de evident că fracțiile zecimale date nu sunt egale. Părțile lor întregi sunt egale, respectiv: 7 și 3 . pentru că 7 > 3, apoi 7, 54 > 3, 97823 … .

Răspuns: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

În cazul în care părțile întregi ale fracțiilor date pentru comparare sunt egale, soluția problemei se reduce la compararea părților fracționale. Părțile fracționale sunt comparate bit cu bit - de pe locul al zecelea la cele inferioare.

Luați în considerare mai întâi cazul când trebuie să comparați fracțiile zecimale finale.

Exemplul 2

Doriți să comparați zecimalele finale 0,65 și 0,6411.

Decizie

Evident, părțile întregi ale fracțiilor date sunt (0 = 0) . Să comparăm părțile fracționale: pe locul al zecelea, valorile sunt (6 \u003d 6), dar pe locul sute, valoarea fracției 0, 65 este mai mare decât valoarea locului al sutele din fracția 0, 6411 (5 > 4) . Deci 0,65 > 0,6411 .

Răspuns: 0 , 65 > 0 , 6411 .

În unele sarcini pentru compararea fracțiilor zecimale finale cu un număr diferit de zecimale, este necesar să se atribuie numărul necesar de zerouri la dreapta unei fracții cu mai puține zecimale. Este convenabil să egalezi în acest fel numărul de zecimale din fracții date chiar înainte de începerea comparației.

Exemplul 3

Este necesar să se compare zecimale finale 67 , 0205 și 67 , 020542 .

Decizie

Aceste fracții în mod evident nu sunt egale, deoarece înregistrările lor sunt diferite. În plus, părțile lor întregi sunt egale: 67 \u003d 67. Înainte de a trece la compararea biți a părților fracționale ale fracțiilor date, egalăm numărul de zecimale adăugând zerouri la dreapta în fracții cu mai puține zecimale. Apoi obținem fracții pentru comparație: 67, 020500 și 67, 020542. Efectuăm o comparație pe bit și vedem că în locul sute-miile valoarea din fracția 67 , 020542 este mai mare decât valoarea corespunzătoare din fracția 67 , 020500 (4 > 0) . Deci 67,020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Răspuns: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Dacă este necesar să comparați o fracție zecimală finită cu una infinită, atunci fracția finală este înlocuită cu una infinită egală cu ea cu o perioadă de 0. Apoi se face o comparație pe biți.

Exemplul 4

Este necesar să se compară fracția zecimală finală 6, 24 cu o fracție zecimală neperiodică infinită 6, 240012 ...

Decizie

Vedem că părțile întregi ale fracțiilor date sunt (6 = 6) . În locurile zece și sute, valorile ambelor fracții sunt, de asemenea, egale. Pentru a putea trage o concluzie, continuăm comparația, înlocuind fracția zecimală finală egală cu aceasta cu una infinită cu perioadă 0 și obținem: 6, 240000 ... . După ce am ajuns la a cincea zecimală, găsim diferența: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Răspuns: 6, 24< 6 , 240012 … .

Când se compară fracții zecimale infinite, se folosește și o comparație pe biți, care se va încheia atunci când valorile dintr-o cifră ale fracțiilor date se dovedesc a fi diferite.

Exemplul 5

Este necesar să comparăm fracțiile zecimale infinite 7, 41 (15) și 7, 42172 ... .

Decizie

În fracțiile date, există părți întregi egale, valorile zecimilor sunt, de asemenea, egale, dar pe locul sutei vedem diferența: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Răspuns: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Exemplul 6

Este necesar să se compare fracțiile periodice infinite 4 , (13) și 4 , (131) .

Decizie:

Egalitățile sunt clare și corecte: 4 , (13) = 4 , 131313 … și 4 , (133) = 4 , 131131 … . Comparăm părți întregi și părți fracționale pe biți și fixăm discrepanța la a patra zecimală: 3 > 1 . Apoi: 4 , 131313 … > 4 , 131131 … și 4 , (13) > 4 , (131) .

Răspuns: 4 , (13) > 4 , (131) .

Pentru a obține rezultatul comparării unei fracții zecimale cu un număr natural, trebuie să comparați partea întreagă a unei fracții date cu un număr natural dat. În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că fracțiile periodice cu perioade de 0 sau 9 trebuie mai întâi reprezentate ca fracții zecimale finale egale cu acestea.

Definiția 5

Dacă partea întreagă a unei fracții zecimale date este mai mică decât un număr natural dat, atunci întreaga fracție este mai mică în raport cu un număr natural dat. Dacă partea întreagă a unei fracții date este mai mare sau egală cu un număr natural dat, atunci fracția este mai mare decât numărul natural dat.

Exemplul 7

Este necesar să comparăm numărul natural 8 și fracția zecimală 9, 3142 ... .

Decizie:

Numărul natural dat este mai mic decât partea întreagă a fracției zecimale date (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Răspuns: 8 < 9 , 3142 … .

Exemplul 8

Este necesar să comparați numărul natural 5 și fracția zecimală 5, 6.

Decizie

Partea întreagă a unei fracții date este egală cu un număr natural dat, apoi, conform regulii de mai sus, 5< 5 , 6 .

Răspuns: 5 < 5 , 6 .

Exemplul 9

Este necesar să se compare numărul natural 4 și fracția zecimală periodică 3 , (9) .

Decizie

Perioada fracției zecimale date este 9, ceea ce înseamnă că înainte de a compara, este necesar să înlocuiți fracția zecimală dată cu un număr finit sau natural egal cu acesta. În acest caz: 3 , (9) = 4 . Astfel, datele originale sunt egale.

Răspuns: 4 = 3 , (9) .

Pentru a compara o fracție zecimală cu o fracție obișnuită sau cu un număr mixt, trebuie să:

Scrieți o fracție comună sau un număr mixt ca zecimală și apoi comparați zecimale sau
- scrieți fracția zecimală ca fracție comună (cu excepția infinitului neperiodic), apoi efectuați o comparație cu o fracție comună dată sau număr mixt.

Exemplul 10

Este necesar să se compare fracția zecimală 0, 34 și fracția comună 1 3 .

Decizie

Să rezolvăm problema în două moduri.

1. Scriem fracția ordinară dată 1 3 ca o fracție zecimală periodică egală cu ea: 0 , 33333 ... . Apoi devine necesar să comparăm fracțiile zecimale 0, 34 și 0, 33333…. Se obține: 0 , 34 > 0 , 33333 ... , ceea ce înseamnă 0 , 34 > 1 3 .
2. Să scriem fracția zecimală dată 0, 34 sub forma unui ordinar egal cu ea. Adică: 0 , 34 = 34 100 = 17 50 . Să comparăm fracții obișnuite cu numitori diferiți și să obținem: 17 50 > 1 3 . Astfel, 0 , 34 > 1 3 .

Răspuns: 0 , 34 > 1 3 .

Exemplul 11

Trebuie să comparați o zecimală infinită nerepetabilă 4 , 5693 ... și un număr mixt 4 3 8 .

Decizie

O fracție zecimală neperiodică infinită nu poate fi reprezentată ca număr mixt, dar este posibil să se transforme un număr mixt într-o fracție improprie, iar aceasta, la rândul ei, poate fi scrisă ca o fracție zecimală egală cu aceasta. Apoi: 4 3 8 = 35 8 și

Acestea.: 4 3 8 = 35 8 = 4, 375 . Să comparăm fracțiile zecimale: 4, 5693 ... și 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) și obținem: 4, 5693 ... > 4 3 8 .

Răspuns: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Vom numi o fracție una sau mai multe părți egale ale unui întreg. O fracție se scrie folosind două numere naturale, care sunt separate printr-o linie. De exemplu, 1/2, 14/4, ¾, 5/9 etc.

Numărul scris deasupra liniei se numește numărătorul fracției, iar numărul scris sub linie se numește numitorul fracției.

Pentru numerele fracționale al căror numitor este 10, 100, 1000 etc. a fost de acord să scrie numărul fără numitor. Pentru a face acest lucru, mai întâi scrieți partea întreagă a numărului, puneți o virgulă și scrieți partea fracțională a acestui număr, adică numărătorul părții fracționale.

De exemplu, în loc de 6 * (7/10) scriu 6.7.

O astfel de înregistrare se numește fracție zecimală.

Cum se compară două zecimale

Să ne dăm seama cum să comparăm două fracții zecimale. Pentru a face acest lucru, verificăm mai întâi un fapt auxiliar.

De exemplu, lungimea unui anumit segment este de 7 centimetri sau 70 mm. De asemenea, 7 cm = 7 / 10 dm sau în notație zecimală 0,7 dm.

Pe de altă parte, 1 mm = 1/100 dm, apoi 70 mm = 70/100 dm, sau în notație zecimală 0,70 dm.

Astfel, obținem că 0,7 = 0,70.

Din aceasta concluzionăm că dacă se adaugă sau se aruncă zero la sfârșitul fracției zecimale, atunci se va obține o fracție egală cu cea dată. Cu alte cuvinte, valoarea fracției nu se va schimba.

Fracții cu aceiași numitori

Să presupunem că trebuie să comparăm două zecimale 4,345 și 4,36.

În primul rând, trebuie să egalizați numărul de zecimale adăugând sau eliminând zerouri la dreapta. Primești 4.345 și 4.360.

Acum trebuie să le scrieți ca fracții improprii:

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

Fracțiile rezultate au aceiași numitori. După regula comparării fracțiilor, știm că în acest caz, fracția mai mare este cea cu numărătorul mai mare. Deci fracția 4,36 este mai mare decât fracția 4,345.

Astfel, pentru a compara două fracții zecimale, trebuie mai întâi să egalizați numărul lor de zecimale, atribuind zerouri uneia dintre ele din dreapta, iar apoi eliminând virgula pentru a compara numerele naturale rezultate.

Decimalele pot fi reprezentate ca puncte pe o linie numerică. Și de aceea, uneori, în cazul în care un număr este mai mare decât altul, ei spun că acest număr este situat la dreapta celuilalt, sau dacă este mai mic, atunci la stânga.

Dacă două fracții zecimale sunt egale, atunci ele sunt reprezentate pe linia numerică de același punct.

Segmentul AB are 6 cm, adică 60 mm. Deoarece 1 cm = dm, atunci 6 cm = dm. Deci AB este 0,6 dm. Deoarece 1 mm = dm, atunci 60 mm = dm. Prin urmare, AB = 0,60 dm.
Astfel, AB \u003d 0,6 dm \u003d 0,60 dm. Aceasta înseamnă că fracțiile zecimale 0,6 și 0,60 exprimă lungimea aceluiași segment în decimetri. Aceste fracții sunt egale între ele: 0,6 = 0,60.

Dacă zero este adăugat la sfârșitul fracției zecimale sau zero este aruncat, atunci obținem fracțiune, egal cu cel dat.
De exemplu,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Să comparăm două zecimale 5,345 și 5,36. Să egalăm numărul de zecimale adăugând zero la numărul 5,36 din dreapta. Obținem fracțiile 5,345 și 5,360.

Le scriem ca fracții improprii:

Aceste fracții au aceiași numitori. Aceasta înseamnă că cel cu numărătorul mai mare este mai mare.
Din 5345< 5360, то ceea ce înseamnă 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Pentru a compara două fracții zecimale, trebuie mai întâi să egalizați numărul lor de zecimale atribuind zerouri uneia dintre ele din dreapta și apoi, eliminând virgula, să comparați rezultatul rezultat. numere întregi.

Fracțiile zecimale pot fi reprezentate pe raza de coordonate în același mod ca fracțiile obișnuite.
De exemplu, pentru a reprezenta fracția zecimală 0,4 pe raza de coordonate, o reprezentăm mai întâi ca o fracție obișnuită: 0,4 = Apoi lăsăm deoparte patru zecimi dintr-un segment unitar de la începutul razei. Se obține punctul A(0,4) (Fig. 141).

Fracțiile zecimale egale sunt reprezentate pe raza de coordonate prin același punct.

De exemplu, fracțiile 0,6 și 0,60 sunt reprezentate de un punct B (vezi Fig. 141).

Cea mai mică zecimală se află pe fascicul de coordonate la stânga celui mai mare, iar cel mai mare la dreapta celui mai mic.

De exemplu, 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Se va schimba o zecimală dacă se adaugă un zero la sfârșitul acesteia?
A6 zerouri?
Formulați o regulă de comparație zecimal fractii.

1172. Scrieți o fracție zecimală:

a) cu patru zecimale, egal cu 0,87;
b) cu cinci zecimale, egal cu 0,541;
c) cu trei cifre după ocupat, egal cu 35;
d) cu două zecimale, egale cu 8,40000.

1173. După ce au atribuit zerouri la dreapta, egalați numărul de zecimale în fracții zecimale: 1,8; 13,54 și 0,789.

1174. Scrieți fracții mai scurte: 2,5000; 3,02000; 20.010.

85,09 și 67,99; 55,7 și 55,7000; 0,5 și 0,724; 0,908 şi 0,918; 7,6431 şi 7,6429; 0,0025 și 0,00247.

1176. Aranjați în ordine crescătoare numerele:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

aranjați în ordine descrescătoare.

a) 1,41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Comparați valorile:

a) 98,52 m și 65,39 m; e) 0,605 t și 691,3 kg;
b) 149,63 kg și 150,08 kg; f) 4,572 km și 4671,3 m;
c) 3,55°C şi 3,61°C; g) 3,835 ha si 383,7 a;
d) 6,781 h şi 6,718 h; h) 7.521 l si 7538 cmc.

Este posibil să comparăm 3,5 kg și 8,12 m? Dați câteva exemple de cantități care nu pot fi comparate.

1185. Calculați oral:

1186. Restabiliți lanțul de calcule

1187. Este posibil să spunem câte cifre după virgulă sunt într-o fracție zecimală dacă numele ei se termină cu cuvântul:

a) sutimi; b) zece miimi; c) zecimi; d) milioane?

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, instruiri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment în manual elemente de inovare în lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru anul recomandări metodologice ale programului de discuții Lecții integrate

SECȚIUNEA 7 Fracțiunile zecimale și acțiunile cu acestea

În secțiune veți învăța:

ce este o fracție zecimală și care este structura ei;

cum se compară zecimale;

care sunt regulile de adunare și scădere a fracțiilor zecimale;

cum să găsiți produsul și câtul dintre două fracții zecimale;

ce înseamnă rotunjirea unui număr și cum se rotunjesc numerele;

modul de aplicare a materialului învățat în practică

§ 29. CE ESTE O FRACȚIE DECIMALĂ. COMPARAȚIA FRACTIUNILOR DECIMALE

Uitați-vă la Figura 220. Puteți vedea că lungimea segmentului AB este de 7 mm, iar lungimea segmentului DC este de 18 mm. Pentru a da lungimile acestor segmente în centimetri, trebuie să utilizați fracții:

Știți multe alte exemple în care sunt folosite fracții cu numitori 10,100, 1000 și altele asemenea. Asa de,

Astfel de fracții se numesc zecimale. Pentru a le înregistra, folosesc o formă mai convenabilă, care este sugerată de rigla din accesoriile dvs. Să ne uităm la exemplul în cauză.

Știți că lungimea segmentului DC (Fig. 220) poate fi exprimată ca număr mixt

Dacă punem virgulă după partea întreagă a acestui număr, iar după ea numărătorul părții fracționale, atunci obținem o notație mai compactă: 1,8 cm. Pentru segmentul AB, atunci obținem: 0,7 cm. Într-adevăr, fracția este corectă, este mai mică de unu, prin urmare partea sa întreagă este 0. Numerele 1,8 și 0,7 sunt exemple de zecimale.

Fracția zecimală 1,8 se citește astfel: „un virgulă opt”, iar fracția 0,7 - „zero virgulă șapte”.

Cum se scriu fracții în formă zecimală? Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți structura notației zecimale.

În notația zecimală, există întotdeauna un număr întreg și o parte fracțională. sunt separate prin virgulă. În partea întreagă, clasele și cifrele sunt aceleași ca pentru numerele naturale. Știți că acestea sunt clase de unități, mii, milioane etc., iar fiecare dintre ele are 3 cifre - unități, zeci și sute. În partea fracționară a unei fracții zecimale, clasele nu sunt distinse și pot exista atâtea cifre câte doriți, numele lor corespund numelor numitorilor fracțiilor - zecimi, sutimi, miimi, zece miimi, sută de miimi, milionimi , zece milionimi etc. Locul al zecelea este cel mai vechi din partea fracționară a unei zecimale.

În tabelul 40 vedeți numele zecimale și numărul „o sută douăzeci și trei de numere întregi și patru mii cinci sute șase sute de miimi” sau

Numele părții fracționale de „sute de mii” dintr-o fracție obișnuită determină numitorul acesteia, iar în zecimală - ultima cifră a părții sale fracționale. Vedeți că la numărătorul părții fracționale a numărului cu o cifră mai puțin decât zerourile la numitor. Dacă acest lucru nu este luat în considerare, atunci vom obține o eroare la scrierea părții fracționale - în loc de 4506 sute de mii vom scrie 4506 zece miimi, dar

Prin urmare, scriind acest număr ca fracție zecimală, trebuie să puneți 0 după virgulă (pe locul al zecelea): 123,04506.

Notă:

într-o fracție zecimală, ar trebui să existe tot atâtea cifre după virgulă câte zerouri sunt în numitorul fracției ordinare corespunzătoare.

Acum putem scrie fracții

sub formă de zecimale.

Decimalele pot fi comparate în același mod ca numerele naturale. Dacă există multe cifre în fracțiile zecimale, atunci se folosesc reguli speciale. Luați în considerare exemple.

Sarcină. Comparați fracții: 1) 96,234 și 830,123; 2) 3.574 și 3.547.

Soluții. 1, Partea întreagă a primei fracții este numărul de două cifre 96, iar partea întreagă a fracției a doua este numărul de trei cifre 830, deci:

96,234 < 830,123.

2. În înregistrările fracțiilor 3.574 și 3.547 și părțile întregi sunt egale. Prin urmare, comparăm părțile lor fracționale bit cu bit. Pentru a face acest lucru, scriem aceste fracții una sub alta:

Fiecare fracție are 5 zecimi. Dar în prima fracțiune sunt 7 sutimi, iar în a doua - doar 4 sutimi. Prin urmare, prima fracție este mai mare decât a doua: 3,574 > 3,547.

Reguli pentru compararea fracțiilor zecimale.

1. Din două fracții zecimale, cea cu partea întreagă mai mare este mai mare.

2. Dacă părțile întregi ale fracțiilor zecimale sunt egale, atunci părțile lor fracționale sunt comparate bit cu bit, începând de la cifra cea mai semnificativă.

La fel ca fracțiile comune, fracțiile zecimale pot fi plasate pe linia de coordonate. În Figura 221, vedeți că punctele A, B și C au coordonate: A (0,2), B (0,9), C (1,6).

Află mai multe

Decimalele sunt legate de sistemul numeric pozițional zecimal. Cu toate acestea, aspectul lor are o istorie mai lungă și este asociat cu numele remarcabilului matematician și astronom al-Kashi (numele complet - Jamshid ibn-Masudal-Kashi). În lucrarea sa „Cheia aritmeticii” (secolele al XV-lea), el a formulat mai întâi regulile pentru acțiunile cu fracții zecimale, a dat exemple de efectuare a acțiunilor cu acestea. Neștiind nimic despre descoperirea lui al-Kashi, matematicianul și inginerul flamand Simon Stevin a „descoperit” fracțiile zecimale pentru a doua oară aproximativ 150 de ani mai târziu. În lucrarea „Decimal” (1585 p.), S. Stevin a conturat teoria fracțiilor zecimale. Le-a promovat în toate modurile posibile, subliniind comoditatea fracțiilor zecimale pentru calcule practice.

Separarea părții întregi de fracția zecimală fracțională a fost propusă în moduri diferite. Deci, al-Kashi a scris părțile întregi și fracționale cu cerneală diferită sau a pus o linie verticală între ele. S. Stevin a pus un zero într-un cerc pentru a separa partea întreagă de cea fracțională. Virgula acceptată în vremea noastră a fost propusă de celebrul astronom german Johannes Kepler (1571 - 1630).

REZOLVA PROVOCĂRILE

1173. Notează în centimetri lungimea segmentului AB dacă:

1)AB = 5mm; 2)AB = 8mm; 3)AB = 9mm; 4) AB = 2 mm.

1174. Citiți fracții:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Denumire: a) întreaga parte a fracției; b) partea fracționară a fracției; c) cifrele unei fracții.

1175. Dați un exemplu de fracție zecimală în care punctul zecimal este:

1) o cifră; 2) două cifre; 3) trei cifre.

1176. Câte zecimale are o fracție zecimală dacă numitorul fracției ordinare corespunzătoare este egal cu:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. Care dintre fracții are cea mai mare parte întreagă:

1) 12,5 sau 115,2; 4) 789,154 sau 78,4569;

2) 5,25 sau 35,26; 5) 1258,00265 sau 125,0333;

3) 185,25 sau 56,325; 6) 1269.569 sau 16.12?

1178. În numărul 1256897, separați ultima cifră cu o virgulă și citiți numărul primit. Apoi rearanjați secvențial virgula cu o cifră la stânga și denumiți fracțiile pe care le-ați primit.

1179. Citiți fracțiile și scrieți-le ca fracție zecimală:

1180 Citiți fracțiile și scrieți-le ca zecimală:

1181. Scrieți în fracția obișnuită:

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Scrieți în fracția obișnuită:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Scrieți în fracție zecimală:

1) 8 întregi 3 zecimi; 5) 145 pct. 14;

2) 12 întregi 5 zecimi; 6) 125 pct. 19;

3) 0 întreg 5 zecimi; 7) 0 întreg 12 sutimi;

4) 12 întregi 34 sutimi; 8) 0 întreg 3 sutimi.

1184. Scrieți în fracție zecimală:

1) zero până la opt miimi;

2) douăzeci virgulă patru sutimi;

3) treisprezece virgulă cinci sutimi;

4) o sută patruzeci și cinci virgulă două sutimi.

1185. Scrieți cota ca fracție și apoi ca zecimală:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Scrieți ca număr mixt și apoi ca zecimală:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Scrieți ca număr mixt și apoi ca zecimală:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. Exprimați în grivne:

1) 35 k.; 2) 6 k.; 3) 12 UAH 35 copeici; 4) 123k.

1189. Exprimați în grivne:

1) 58 k.; 2) 2 la.; 3) 56 UAH 55 copeici; 4) 175k.

1190. Scrieți în grivne și copeici:

1) 10,34 UAH; 2) 12,03 UAH; 3) 0,52 UAH; 4) 126,05 UAH

1191. Exprimă în metri și notează răspunsul sub formă de fracție zecimală: 1) 5 m 7 dm; 2) 15m 58cm; 3) 5 m 2 mm; 4) 12 m 4 dm 3 cm 2 mm.

1192. Exprimă în kilometri și notează răspunsul în fracție zecimală: 1) 3 km 175 m; 2) 45 km 47 m; 3) 15 km 2 m.

1193. Notați în metri și centimetri:

1) 12,55 m; 2) 2,06 m; 3) 0,25 m; 4) 0,08 m.

1194. Cea mai mare adâncime a Mării Negre este de 2.211 km. Exprimați adâncimea mării în metri.

1195. Compara fracții:

1) 15,5 și 16,5; 5) 4,2 și 4,3; 9) 1,4 și 1,52;

2) 12,4 și 12,5; 6) 14,5 și 15,5; 10) 4,568 și 4,569;

3) 45,8 și 45,59; 7) 43,04 și 43,1; 11)78,45178,458;

4) 0,4 și 0,6; 8) 1,23 și 1,364; 12) 2.25 și 2.243.

1196. Compara fracții:

1) 78,5 și 79,5; 3) 78,3 și 78,89; 5) 25,03 și 25,3;

2) 22,3 și 22,7; 4) 0,3 și 0,8; 6) 23.569 și 23.568.

1197. Notează fracțiile zecimale în ordine crescătoare:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Notează fracțiile zecimale în ordine descrescătoare:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Exprimați în metri pătrați și scrieți ca fracție zecimală:

1) 5 dm2; 2) 15 cm2; 3)5dm212cm2.

1200 . Camera are forma unui dreptunghi. Lungimea sa este de 90 dm, iar lățimea este de 40 dm. Găsiți zona camerei. Scrieți răspunsul în metri pătrați.

1201 . Comparați fracții:

1) 0,04 și 0,06; 5) 1.003 și 1.03; 9) 120.058 și 120.051;

2) 402.0022 și 40.003; 6) 1,05 și 1,005; 10) 78,05 și 78,58;

3) 104,05 și 105,05; 7) 4,0502 și 4,0503; 11) 2.205 și 2.253;

4) 40,04 și 40,01; 8) 60.4007і60.04007; 12) 20.12 și 25.012.

1202. Compara fracții:

1) 0,03 și 0,3; 4) 6.4012 și 6.404;

2) 5.03 și 5.003; 5) 450,025 și 450,2054;

1203. Notați cinci fracții zecimale care se află între fracțiile de pe fasciculul de coordonate:

1) 6,2 și 6,3; 2) 9,2 și 9,3; 3) 5,8 și 5,9; 4) 0,4 și 0,5.

1204. Notați cinci fracții zecimale care se află între fracțiile de pe fasciculul de coordonate: 1) 3,1 și 3,2; 2) 7.4 și 7.5.

1205. Între care două numere naturale adiacente se află o fracție zecimală:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Notați cinci fracții zecimale pentru care inegalitatea este adevărată:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Notați cinci fracții zecimale pentru care inegalitatea este adevărată:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Notează cea mai mare fracție zecimală:

1) cu două cifre după virgulă, mai puțin de 2;

2) cu o cifră după virgulă mai mică de 3;

3) cu trei cifre după virgulă, mai puțin de 4;

4) cu patru cifre după virgulă, mai puțin de 1.

1209. Notează cea mai mică fracție zecimală:

1) cu două cifre după virgulă, care este mai mare decât 2;

2) cu trei cifre după virgulă, care este mai mare decât 4.

1210. Notați toate numerele care pot fi puse în loc de asterisc pentru a obține inegalitatea corectă:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Ce număr poate fi pus în loc de asterisc pentru a obține inegalitatea corectă:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Notați toate fracțiile zecimale, a căror parte întreagă este 6, iar partea fracțională conține trei zecimale, scrise ca 7 și 8. Scrieți aceste fracții în ordine descrescătoare.

1213. Scrieți șase fracții zecimale, dintre care întreaga parte este 45, iar partea fracțională este formată din patru numere diferite: 1, 2, 3, 4. Scrieți aceste fracții în ordine crescătoare.

1214. Câte fracții zecimale se pot forma, a căror parte întreagă este egală cu 86, iar partea fracțională este formată din trei cifre diferite: 1,2,3?

1215. Câte fracții zecimale pot fi formate, a căror parte întreagă este egală cu 5, iar partea fracțională este de trei cifre, scrise ca 6 și 7? Scrieți aceste fracții în ordine descrescătoare.

1216. Trimite trei zerouri în numărul 50.004007 astfel încât să formeze:

1) cel mai mare număr; 2) cel mai mic număr.

APLICĂ ÎN PRACTICĂ

1217. Măsură lungimea și lățimea caietului tău în milimetri și notează răspunsul în decimetri.

1218. Notează-ți înălțimea în metri folosind o fracție zecimală.

1219. Măsurați dimensiunile camerei dvs. și calculați perimetrul și aria acesteia. Scrieți răspunsul în metri și metri pătrați.

SARCINI DE REPETIȚIE

1220. Pentru ce valori ale lui x este o fracție improprie?

1221. Rezolvați ecuația:

1222. Magazinul trebuia să vândă 714 kg de mere. Pentru prima zi, toate merele au fost vândute, iar pentru a doua - din ceea ce a fost vândut în prima zi. Câte mere s-au vândut în 2 zile?

1223. Muchia unui cub a fost redusă cu 10 cm și s-a obținut un cub, al cărui volum este de 8 dm3. Aflați volumul primului cub.

Scopul lecției:

• creați condiții pentru derivarea regulii de comparare a fracțiilor zecimale și capacitatea de a o aplica;
• repetați înregistrarea fracțiilor ordinare sub formă de zecimale, rotunjirea fracțiilor zecimale;
• dezvolta gândirea logică, capacitatea de a generaliza, abilitățile de cercetare, vorbirea.

În timpul orelor

Băieți, să ne amintim ce am făcut cu voi în lecțiile anterioare?

Răspuns: a studiat fracțiile zecimale, a scris fracțiile obișnuite ca zecimale și invers, fracțiile zecimale rotunjite.

Ce ți-ar plăcea să faci astăzi?

(Elevii răspund.)

Dar totusi, ce vom face in lectie, veti afla in cateva minute. Deschide-ți caietele, notează data. Un elev va merge la tablă și va lucra din spatele tablei. Vă voi oferi sarcini pe care le îndepliniți oral. Notează răspunsurile într-un caiet, pe o linie separată prin punct și virgulă. Elevul de la tablă scrie într-o coloană.

Am citit sarcini care sunt pre-scrise pe tablă:

Sa verificam. Cine are alte răspunsuri? Amintește-ți regulile.

A primit: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Setați modelul și continuați seria rezultată pentru alte 2 numere. Sa verificam.

Luați foaia matricolă și sub fiecare număr (cel care răspunde la tablă pune o literă lângă număr) pune litera corespunzătoare. Citiți cuvântul.

Decriptare:

Deci, ce vom face în clasă?

Răspuns: comparaţie.

Prin comparatie! Ei bine, de exemplu, acum voi începe să-mi compar mâinile, 2 manuale, 3 rigle. Ce vrei să compari?

Răspuns: fracții zecimale.

Care este subiectul lecției?

Pe tablă scriu tema lecției, iar elevii în caiet: „Compararea fracțiilor zecimale”.

Exercițiu: comparați numerele (scrise pe tablă)

18.625 și 5.784		15.200 și 15.200
3.0251 și 21.02		7.65 și 7.8
23,0521 și 0,0521		0,089 și 0,0081

Mai întâi, deschideți partea stângă. Părți întregi sunt diferite. Tragem o concluzie despre compararea fracțiilor zecimale cu diferite părți întregi. Deschide partea dreaptă. Părți întregi sunt numere egale. Cum se compară?

Oferi: scrieți fracții zecimale ca fracții comune și comparați.

Scrieți o comparație a fracțiilor obișnuite. Dacă fiecare zecimală este convertită într-o fracție comună și cele 2 fracții sunt comparate, va dura mult timp. Putem obține o regulă de comparație? (Elevii sugerează.) Am scris regula pentru compararea fracțiilor zecimale, pe care o sugerează autorul. Să comparăm.

Există 2 reguli tipărite pe o bucată de hârtie:

1. Dacă părțile întregi ale fracțiilor zecimale sunt diferite, atunci fracția respectivă este mai mare, care are o parte întreagă mai mare.
2. Dacă părțile întregi ale fracțiilor zecimale sunt aceleași, atunci fracția mai mare este cea care are prima dintre cifrele nepotrivite după virgulă.

Am făcut o descoperire. Și această descoperire este regula pentru compararea fracțiilor zecimale. A coincis cu regula propusă de autorul manualului.

Am observat că regulile spun care dintre cele 2 fracții este mai mare. Îmi puteți spune care dintre cele 2 zecimale este mai mică.

Completați în caietul nr. 785 (1, 2) la pagina 172. Sarcina este scrisă pe tablă. Elevii comentează, iar profesorul pune semne.

Exercițiu: comparaţie

3.4208 și 3.4028

Deci, ce am învățat să facem astăzi? Să ne verificăm. Lucrați pe foi de hârtie cu hârtie carbon.

Elevii compară zecimale folosind semnele >.<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Muncă independentă.

(Verificați răspunsurile pe spatele tablei.)

Comparaţie

148.05 și 14.805

6.44806 și 6.44863

35.601 și 35.6010

Primul care o face primește sarcina (realizează din spatele tablei) Nr. 786 (1, 2):

Găsiți un model și notați următorul număr din succesiune. În ce secvențe sunt aranjate numerele în ordine crescătoare, în ce secvențe în ordine descrescătoare?

Răspuns:

1. 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) - în scădere
2. 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) - crește.

După ce ultimul student depune lucrarea - verificați.

Elevii își compară răspunsurile.

Cei care au făcut totul corect se vor marca ca „5”, cei care au făcut 1-2 greșeli - „4”, 3 greșeli - „3”. Aflați în ce comparații s-au făcut erori, pentru ce regulă.

Notează-ți temele: nr. 813, nr. 814 (item 4, p. 171). Cometariu. Dacă este timp, executați nr. 786(1, 3), nr. 793(a).

Rezumatul lecției.

1. Ce ați învățat să faceți în clasă?
2. Ti-a placut sau nu ti-a placut?
3. Care au fost dificultățile?

Luați pliantele și completați-le, indicând gradul de asimilare a materialului:

• pe deplin stăpânit, pot performa;
• a învățat complet, dar le este greu de aplicat;
• dobândit parțial;
• nedobândită.

Mulțumesc pentru lecție.