Teorie:

La rezolvarea inegalităților se folosesc următoarele reguli:

1. Orice termen al inegalității poate fi transferat dintr-o parte
inegalitate față de altul cu semnul opus, în timp ce semnul inegalității nu se modifică.

2. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite sau împărțite cu unul
și același număr pozitiv fără a schimba semnul inegalității.

3. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite sau împărțite cu unul
și același număr negativ, schimbând semnul inegalității în
opus.

Rezolvați inegalitatea − 8 x + 11< − 3 x − 4
Decizie.

1. Mutați membrul − 3 xîn partea stângă a inegalității și termenul 11 - în partea dreaptă a inegalității, schimbând semnele în opusul y − 3 x iar la 11 .
Apoi primim

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. Împărțiți ambele părți ale inegalității − 5 x< − 15 la un număr negativ − 5 , în timp ce semnul inegalității < , se va schimba în > , adică vom trece la o inegalitate de sens opus.
Primim:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > −15 : (−5)

x > 3

x > 3 este soluția inegalității date.

Fiţi atenți!

Există două opțiuni pentru a scrie o soluție: x > 3 sau ca un interval numeric.

Marcam multimea solutiilor inegalitatii pe dreapta reala si scriem raspunsul ca interval numeric.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Răspuns: x > 3 sau x ∈ (3 ; + ∞ )

Inegalități algebrice.

Inegalități pătrate. Inegalități raționale de grade superioare.

Metodele de rezolvare a inegalităților depind în principal de clasa căreia îi aparțin funcțiile care compun inegalitatea.

1. eu. Inegalități pătrate, adică inegalități ale formei

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Pentru a rezolva inegalitatea, puteți:

1. Factorizați trinomul pătrat, adică scrieți inegalitatea ca

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Puneți rădăcinile polinomului pe dreapta numerică. Rădăcinile împart mulțimea numerelor reale în intervale, în fiecare dintre ele funcția pătratică corespunzătoare va fi de semn constant.
2. Determinați semnul a (x - x 1) (x - x 2) în fiecare gol și scrieți răspunsul.

Dacă un trinom pătrat nu are rădăcini, atunci pentru D<0 и a>0 este un trinom pătrat pentru orice x este pozitiv.

• Rezolvați inegalitatea. x 2 + x - 6 > 0.

Factorizarea trinomului pătrat (x + 3) (x - 2) > 0

Răspuns: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Această inegalitate este adevărată pentru orice x cu excepția x = 6.

Răspuns: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Aici D< 0, a = 1 >0. Trinomul pătrat este pozitiv pentru tot x.

Răspuns: x О Ø.

Rezolvarea inegalităților:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Răspuns:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Răspuns:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Răspuns:
5. Pentru ce valori ale a face inegalitatea

x² - ax > este valabil pentru orice x? Răspuns:

1. II. Inegalități raționale de grade superioare, adică inegalităţi ale formei

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Polinomul de cel mai înalt grad ar trebui factorizat, adică inegalitatea trebuie scrisă sub forma

a n (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n) > 0 (<0).

Marcați pe linia numerică punctele în care polinomul dispare.

Determinați semnele polinomului pe fiecare interval.

1) Rezolvați inegalitatea x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) = x (x - 1)(x 2-5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Deci x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Răspuns: (0; 1) (2; 3).

2) Rezolvați inegalitatea (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Pe axa reală, marcați punctele în care polinomul dispare. Acesta este x \u003d 1, x \u003d -2, x \u003d ½, x \u003d - ½.

În punctul x \u003d - ½, nu există nicio schimbare de semn, deoarece binomul (2x + 1) este ridicat la o putere pară, adică expresia (2x + 1) 4 nu își schimbă semnul la trecerea prin punct. x \u003d - ½.

Răspuns: (-∞; -2) (½; 1).

3) Rezolvați inegalitatea: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Această inegalitate este echivalentă cu următoarea mulțime

Soluția pentru (1) este x (-∞; -2) (3; +∞). Soluția (2) este x = 0, x = -2, x = 3. Combinând soluțiile obținute, obținem x н (-∞; -2] (0) (0) .

Dobândind un talent pentru a lucra cu inegalități liniare, soluțiile lor pot fi scrise pe scurt, fără explicații. În acest caz, inegalitatea liniară inițială este mai întâi scrisă, iar mai jos sunt inegalități echivalente obținute la fiecare pas al soluției:
3x+12≤0;
3 x≤−12;
x≤−4 .

Răspuns:

x≤−4 sau (−∞, −4] .

Exemplu.

Enumerați toate soluțiile inegalității liniare −2,7 z>0 .

Decizie.

Aici coeficientul a cu variabila z este −2,7. Și coeficientul b este absent într-o formă explicită, adică este egal cu zero. Prin urmare, primul pas al algoritmului pentru rezolvarea unei inegalități liniare cu o variabilă nu trebuie efectuat, deoarece transferul de zero din partea stângă la dreapta nu schimbă forma inegalității inițiale.

Rămâne să împărțiți ambele părți ale inegalității la −2,7, amintindu-ne să inversați semnul inegalității, deoarece −2,7 este un număr negativ. Noi avem (−2,7 z):(−2,7)<0:(−2,7) , și mai departe z<0 .

Și acum pe scurt:
−2,7 z>0 ;
z<0 .

Răspuns:

z<0 или (−∞, 0) .

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea .

Decizie.

Trebuie să rezolvăm o inegalitate liniară cu coeficientul a pentru variabila x egală cu −5 și cu coeficientul b căruia fracția îi corespunde −15/22. Acționăm după o schemă binecunoscută: mai întâi transferăm −15/22 în partea dreaptă cu semnul opus, după care împărțim ambele părți ale inegalității cu un număr negativ −5, schimbând în același timp semnul inegalității:

Ultima tranziție din partea dreaptă folosește , apoi executat .

Răspuns:

Acum să trecem la cazul când a=0 . Principiul rezolvării inegalității liniare a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Pe ce este bazat? Foarte simplu: despre definirea unei soluții la o inegalitate. Cum? Da, aici este: indiferent ce valoare a variabilei x înlocuim în inegalitatea liniară inițială, obținem o inegalitate numerică de forma b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Să formulăm raționamentul de mai sus sub forma algoritm de rezolvare a inegalităților liniare 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• Se consideră inegalitatea numerică b<0 (≤, >, ≥) și
• dacă este adevărat, atunci soluția inegalității inițiale este orice număr;
• dacă este falsă, atunci inegalitatea liniară inițială nu are soluții.

Acum să ne uităm la asta cu exemple.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea 0 x+7>0 .

Decizie.

Pentru orice valoare a variabilei x, inegalitatea liniară 0 x+7>0 se transformă într-o inegalitate numerică 7>0 . Ultima inegalitate este adevărată, prin urmare, orice număr este o soluție a inegalității inițiale.

Răspuns:

soluția este orice număr sau (−∞, +∞) .

Exemplu.

Are inegalitatea liniară soluții 0 x−12.7≥0 .

Decizie.

Dacă înlocuim orice număr în loc de variabila x, atunci inegalitatea inițială se transformă într-o inegalitate numerică −12,7≥0, ceea ce este incorect. Și aceasta înseamnă că niciun număr nu este o soluție a inegalității liniare 0 x−12.7≥0 .

Răspuns:

nu, nu.

Pentru a încheia această subsecțiune, vom analiza soluțiile a două inegalități liniare, ai căror coeficienți sunt egali cu zero.

Exemplu.

Care dintre inegalitățile liniare 0 x+0>0 și 0 x+0≥0 nu are soluții și care are infinite de soluții?

Decizie.

Dacă înlocuim orice număr în locul variabilei x, atunci prima inegalitate va lua forma 0>0 , iar a doua - 0≥0 . Prima este incorectă, iar a doua este corectă. Prin urmare, inegalitatea liniară 0 x+0>0 nu are soluții, iar inegalitatea 0 x+0≥0 are infinite soluții, și anume, soluția sa este orice număr.

Răspuns:

inegalitatea 0 x+0>0 nu are soluții, iar inegalitatea 0 x+0≥0 are infinite de soluții.

metoda intervalului

În general, metoda intervalului este studiată în cursul de algebră școlară mai târziu decât este tratată tema rezolvării inegalităților liniare cu o variabilă. Dar metoda intervalului permite rezolvarea unei varietăți de inegalități, inclusiv a celor liniare. Prin urmare, să ne oprim asupra ei.

Observăm imediat că este recomandabil să folosim metoda intervalului pentru rezolvarea inegalităților liniare cu un coeficient diferit de zero pentru variabila x. În caz contrar, concluzia despre soluția inegalității este mai rapid și mai convenabil de făcut în modul discutat la sfârșitul paragrafului anterior.

Metoda intervalului presupune

• introducerea unei funcții corespunzătoare laturii stângi a inegalității, în cazul nostru - funcție liniară y=a x+b ,
• găsirea zerourilor sale, care împart domeniul definiției în intervale,
• determinarea semnelor care au valorile funcției pe aceste intervale, pe baza cărora se face o concluzie despre soluția unei inegalități liniare.

Să colectăm aceste momente în algoritm, dezvăluind cum se rezolvă inegalitățile liniare a x+b<0 (≤, >, ≥) la a≠0 prin metoda intervalului:

• Se găsesc zerourile funcției y=a x+b, pentru care se rezolvă a x+b=0. După cum știți, pentru a≠0 are o singură rădăcină, pe care o notăm x 0 .
• Este construit și pe el este reprezentat un punct cu coordonatele x 0. Mai mult, dacă se rezolvă o inegalitate strictă (cu semnul< или >), atunci acest punct se face perforat (cu centrul gol), iar dacă nu este strict (cu semnul ≤ sau ≥), atunci se pune un punct regulat. Acest punct împarte linia de coordonate în două intervale (−∞, x 0) și (x 0 , +∞) .
• Se determină semnele funcției y=a·x+b pe aceste intervale. Pentru a face acest lucru, valoarea acestei funcții este calculată în orice punct al intervalului (−∞, x 0) , iar semnul acestei valori va fi semnul dorit pe intervalul (−∞, x 0) . În mod similar, semnul de pe intervalul (x 0 , +∞) coincide cu semnul valorii funcției y=a·x+b în orice punct al acestui interval. Dar puteți face fără aceste calcule și puteți trage concluzii despre semne din valoarea coeficientului a: dacă a>0, atunci pe intervalele (−∞, x 0) și (x 0, +∞) vor exista semne. - și respectiv + și dacă a >0 , atunci + și -.
• Dacă se rezolvă o inegalitate cu semne > sau ≥, atunci hașura este plasată peste decalajul cu semnul plus, iar dacă inegalitățile cu semne sunt rezolvate< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Luați în considerare un exemplu de rezolvare a unei inegalități liniare prin metoda intervalului.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea −3 x+12>0 .

Decizie.

De îndată ce vom analiza metoda intervalelor, atunci o vom folosi. Conform algoritmului, mai întâi găsim rădăcina ecuației −3 x+12=0 , −3 x=−12 , x=4 . În continuare, înfățișăm linia de coordonate și marchem pe ea un punct cu coordonata 4 și facem acest punct perforat, deoarece rezolvăm o inegalitate strictă:

Acum definim semnele pe intervale. Pentru a determina semnul pe intervalul (−∞, 4), puteți calcula valoarea funcției y=−3 x+12 , de exemplu, pentru x=3 . Avem −3 3+12=3>0 , ceea ce înseamnă că semnul + este pe acest interval. Pentru a determina semnul pe alt interval (4, +∞), puteți calcula valoarea funcției y=−3 x+12 , de exemplu, în punctul x=5 . Avem −3 5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Deoarece rezolvăm inegalitatea cu semnul >, desenăm o hașă peste decalajul cu semnul +, desenul ia forma

Pe baza imaginii rezultate, concluzionăm că soluția dorită este (−∞, 4) sau în altă notație x<4 .

Răspuns:

(−∞, 4) sau x<4 .

Grafic

Este util să aveți o idee despre interpretarea geometrică a rezolvării inegalităților liniare într-o variabilă. Pentru a-l obține, să luăm în considerare patru inegalități liniare cu aceeași parte stângă: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 și 0,5 x−1≥0 , soluțiile lor sunt respectiv x<2 , x≤2 , x>2 și x≥2 și, de asemenea, desenați un grafic al unei funcții liniare y=0,5 x−1 .

Este ușor să vezi asta

• soluția inegalității 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• soluția inegalității 0,5 x−1≤0 este intervalul în care graficul funcției y=0,5 x−1 se află sub axa Ox sau coincide cu aceasta (cu alte cuvinte, nu deasupra axei absciselor),
• în mod similar, soluția inegalității 0,5 x−1>0 este intervalul în care graficul funcției este deasupra axei Ox (această parte a graficului este afișată cu roșu),
• iar soluția inegalității 0,5 x−1≥0 este intervalul în care graficul funcției este mai mare sau coincide cu axa x.

Mod grafic de rezolvare a inegalităților, în special liniare, și presupune găsirea intervalelor pe care se află graficul funcției corespunzătoare laturii stângi a inegalității deasupra, dedesubt, nu mai jos sau nu mai sus decât graficul funcției corespunzătoare laturii drepte a inegalității. inegalitate. În cazul nostru de inegalitate liniară, funcția corespunzătoare laturii stângi este y=a x+b , iar partea dreaptă este y=0 , care coincide cu axa Ox.

Având în vedere informațiile de mai sus, este ușor de formulat algoritm pentru rezolvarea grafică a inegalităților liniare:

• Se construiește un grafic al funcției y=a x+b (puteți schematic) și
• la rezolvarea inegalității a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• la rezolvarea inegalității a x+b≤0 se determină intervalul pe care graficul este mai mic sau coincide cu axa Ox ,
• la rezolvarea inegalității a x+b>0 se determină intervalul pe care graficul se află deasupra axei Ox,
• la rezolvarea inegalităţii a x+b≥0 se determină intervalul pe care graficul este mai mare sau coincide cu axa Ox .

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea grafic.

Decizie.

Să construim o schiță a unui grafic al unei funcții liniare . Aceasta este o linie dreaptă care scade deoarece coeficientul de la x este negativ. Avem nevoie și de coordonatele punctului său de intersecție cu axa absciselor, este rădăcina ecuației , care este egal cu . Pentru scopurile noastre, nici nu trebuie să desenăm axa Oy. Deci, desenul nostru schematic va arăta astfel

Deoarece rezolvăm inegalitatea cu semnul >, ne interesează intervalul în care graficul funcției se află deasupra axei Ox. Pentru claritate, vom evidenția cu roșu această parte a graficului, iar pentru a determina cu ușurință intervalul corespunzător acestei părți, vom evidenția cu roșu partea din planul de coordonate în care se află partea selectată a graficului, ca în figura de mai jos:

Intervalul care ne interesează este o parte a axei Ox, care s-a dovedit a fi evidențiată cu roșu. Evident, acesta este un fascicul de numere deschis . Aceasta este soluția dorită. Rețineți că dacă am rezolva inegalitatea nu cu semnul >, ci cu semnul de inegalitate nestrict ≥, atunci ar trebui să adăugăm în răspuns, deoarece în acest moment graficul funcției coincide cu axa Ox .y=0·x+7 , care este aceeași cu y=7 , definește o dreaptă pe planul de coordonate paralel cu axa Ox și situată deasupra acesteia. Prin urmare, inegalitatea 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Iar graficul funcției y=0 x+0 , care este același cu y=0 , este o dreaptă care coincide cu axa Ox . Prin urmare, soluția inegalității 0 x+0≥0 este mulțimea tuturor numerelor reale.

Răspuns:

a doua inegalitate, soluția ei este orice număr real.

Inegalități liniare

Un număr mare de inegalități cu ajutorul transformărilor echivalente pot fi înlocuite cu o inegalitate liniară echivalentă, cu alte cuvinte, redusă la o inegalitate liniară. Astfel de inegalități se numesc inegalităţile reducându-se la liniară.

La școală, aproape concomitent cu rezolvarea inegalităților liniare, se iau în considerare și inegalitățile simple care se reduc la inegalități liniare. Sunt cazuri speciale. inegalități întregi, și anume, în părțile lor din stânga și din dreapta există expresii întregi care reprezintă sau binoame liniare, sau sunt convertite la acestea prin și . Pentru claritate, dăm câteva exemple de astfel de inegalități: 5−2 x>0 , 7 (x−1)+3≤4 x−2+x , .

Inegalitățile care sunt similare ca formă cu cele indicate mai sus pot fi întotdeauna reduse la cele liniare. Acest lucru se poate face prin deschiderea parantezelor, aducând termeni similari, rearanjand termeni și mutați termeni dintr-o parte a inegalității în alta cu semnul opus.

De exemplu, pentru a reduce inegalitatea 5−2 x>0 la una liniară, este suficient să rearanjam termenii din partea stângă, avem −2 x+5>0 . Pentru a reduce a doua inegalitate 7 (x−1)+3≤4 x−2+x la una liniară, avem nevoie de puțină mai multă muncă: în partea stângă deschidem parantezele 7 x−7+3≤4 x− 2+x , după aceea aducem termeni similari în ambele părți 7 x−4≤5 x−2 , apoi transferăm termenii din partea dreaptă în stânga 7 x−4−5 x+2≤0 , în final dăm termeni asemănători din partea stângă 2 ·x−2≤0 . În mod similar, a treia inegalitate poate fi redusă la o inegalitate liniară.

Deoarece astfel de inegalități pot fi întotdeauna reduse la inegalități liniare, unii autori le numesc chiar și liniare. Cu toate acestea, le vom considera ca fiind liniare.

Acum devine clar de ce astfel de inegalități sunt considerate împreună cu inegalitățile liniare. Iar principiul soluției lor este absolut același: efectuând transformări echivalente, ele pot fi reduse la inegalități elementare, care sunt soluțiile dorite.

Pentru a rezolva o inegalitate de acest fel, puteți mai întâi să o reduceți la una liniară și apoi să rezolvați această inegalitate liniară. Dar este mai rațional și mai convenabil să faci asta:

• după deschiderea parantezelor, colectați toți termenii cu variabila din partea stângă a inegalității și toate numerele din dreapta,
• și apoi adăugați termeni similari,
• și apoi, împărțiți ambele părți ale inegalității obținute la coeficientul de la x (dacă, desigur, este diferit de zero). Aceasta va da răspunsul.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea 5 (x+3)+x≤6 (x−3)+1 .

Decizie.

Mai întâi, deschidem parantezele, ca rezultat ajungem la inegalitatea 5 x+15+x≤6 x−18+1 . Acum prezentăm termeni similari: 6 x+15≤6 x−17 . Apoi transferăm termenii din partea stângă, obținem 6 x+15−6 x+17≤0 , iar din nou aducem termeni similari (ceea ce ne duce la inegalitatea liniară 0 x+32≤0 ) și avem 32≤0 . Așa că am ajuns la o inegalitate numerică incorectă, din care concluzionăm că inegalitatea inițială nu are soluții.

Răspuns:

nu exista solutii.

În concluzie, observăm că există multe alte inegalități care se reduc la inegalități liniare, sau la inegalități de forma considerată mai sus. De exemplu, soluția inegalitatea exponenţială 5 2 x−1 ≥1 se reduce la rezolvarea inegalității liniare 2 x−1≥0 . Dar despre asta vom vorbi când vom analiza soluțiile inegalităților de forma corespunzătoare.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. La ora 14.00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

În primul rând, câteva versuri pentru a înțelege problema pe care o rezolvă metoda intervalului. Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea inegalitate:

(x − 5)(x + 3) > 0

Care sunt optiunile? Primul lucru care vine în minte pentru majoritatea studenților sunt regulile „plus ori plus face plus” și „minus ori minus face plus”. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare cazul când ambele paranteze sunt pozitive: x − 5 > 0 și x + 3 > 0. Atunci luăm în considerare și cazul când ambele paranteze sunt negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Elevii mai avansați își vor aminti (poate) că în stânga este o funcție pătratică al cărei grafic este o parabolă. Mai mult, această parabolă intersectează axa OX în punctele x = 5 și x = −3. Pentru lucrări ulterioare, trebuie să deschideți parantezele. Noi avem:

x 2 − 2x − 15 > 0

Acum este clar că ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, deoarece coeficient a = 1 > 0. Să încercăm să desenăm o diagramă a acestei parabole:

Funcția este mai mare decât zero acolo unde trece deasupra axei OX. În cazul nostru, acestea sunt intervalele (−∞ −3) și (5; +∞) - acesta este răspunsul.

Vă rugăm să rețineți că imaginea arată exact diagrama functionala, nu programul ei. Pentru că pentru un grafic real, trebuie să calculați coordonatele, să calculați compensații și alte prostii, de care nu avem deloc nevoie acum.

De ce sunt aceste metode ineficiente?

Deci, am luat în considerare două soluții la aceeași inegalitate. Ambele s-au dovedit a fi foarte greoaie. Apare prima decizie - doar gândește-te! este un set de sisteme de inegalități. A doua soluție nu este, de asemenea, foarte ușoară: trebuie să vă amintiți graficul parabolei și o grămadă de alte fapte mici.

A fost o inegalitate foarte simplă. Are doar 2 multiplicatori. Acum imaginați-vă că nu vor fi 2 multiplicatori, ci cel puțin 4. De exemplu:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Cum să rezolvi o astfel de inegalitate? Treci prin toate combinațiile posibile de argumente pro și contra? Da, vom adormi mai repede decât găsim o soluție. Desenarea unui grafic nu este, de asemenea, o opțiune, deoarece nu este clar cum se comportă o astfel de funcție pe planul de coordonate.

Pentru astfel de inegalități, este nevoie de un algoritm de soluție special, pe care îl vom lua în considerare astăzi.

Care este metoda intervalului

Metoda intervalului este un algoritm special conceput pentru a rezolva inegalitățile complexe de forma f (x) > 0 și f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Rezolvați ecuația f (x) \u003d 0. Astfel, în loc de o inegalitate, obținem o ecuație care este mult mai ușor de rezolvat;
2. Marcați toate rădăcinile obținute pe linia de coordonate. Astfel, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale;
3. Aflați semnul (plus sau minus) al funcției f (x) în intervalul din dreapta. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți în f (x) orice număr care va fi în dreapta tuturor rădăcinilor marcate;
4. Marcați semnele pe alte intervale. Pentru a face acest lucru, este suficient să ne amintim că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă.

Asta e tot! După aceea, rămâne doar să scriem intervalele care ne interesează. Ele sunt marcate cu un semn „+” dacă inegalitatea a fost de forma f (x) > 0, sau cu un semn „−” dacă inegalitatea a fost de forma f (x)< 0.

La prima vedere, poate părea că metoda intervalului este un fel de tablă. Dar, în practică, totul va fi foarte simplu. Este nevoie de puțină practică - și totul va deveni clar. Aruncă o privire la exemple și vezi singur:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

(x − 2)(x + 7)< 0

Lucrăm la metoda intervalelor. Pasul 1: Înlocuiți inegalitatea cu o ecuație și rezolvați-o:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produsul este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Are două rădăcini. Treceți la pasul 2: marcați aceste rădăcini pe linia de coordonate. Noi avem:

Acum pasul 3: găsim semnul funcției pe intervalul din dreapta (în dreapta punctului marcat x = 2). Pentru a face acest lucru, trebuie să luați orice număr care este mai mare decât numărul x = 2. De exemplu, să luăm x = 3 (dar nimeni nu interzice să luați x = 4, x = 10 și chiar x = 10.000). Primim:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Obținem că f (3) = 10 > 0, așa că punem un semn plus în intervalul din dreapta.

Trecem la ultimul punct - este necesar să notăm semnele pe intervalele rămase. Amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul trebuie să se schimbe. De exemplu, în dreapta rădăcinii x = 2 există un plus (ne-am asigurat de acest lucru în pasul anterior), deci trebuie să fie un minus în stânga.

Acest minus se extinde la întregul interval (−7; 2), deci există un minus la dreapta rădăcinii x = −7. Prin urmare, există un plus la stânga rădăcinii x = −7. Rămâne să marcați aceste semne pe axa de coordonate. Noi avem:

Să revenim la inegalitatea inițială, care arăta astfel:

(x − 2)(x + 7)< 0

Deci funcția trebuie să fie mai mică decât zero. Aceasta înseamnă că ne interesează semnul minus, care apare doar pe un interval: (−7; 2). Acesta va fi răspunsul.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Pasul 1: Echivalează partea stângă cu zero:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Rețineți: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aceea avem dreptul de a echivala cu zero fiecare paranteză individuală.

Pasul 2: marcați toate rădăcinile pe linia de coordonate:

Pasul 3: aflați semnul golului cel mai din dreapta. Luăm orice număr care este mai mare decât x = 1. De exemplu, putem lua x = 10. Avem:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Pasul 4: Așezați restul semnelor. Amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă. Drept urmare, imaginea noastră va arăta astfel:

Asta e tot. Rămâne doar să scrieți răspunsul. Aruncă o altă privire la inegalitatea inițială:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Aceasta este o inegalitate de forma f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Acesta este răspunsul.

O notă despre semnele de funcție

Practica arată că cele mai mari dificultăți în metoda intervalului apar la ultimii doi pași, i.e. la amplasarea semnelor. Mulți elevi încep să se încurce: ce numere să ia și unde să pună semne.

Pentru a înțelege în sfârșit metoda intervalului, luați în considerare două observații pe care este construită:

1. O funcție continuă își schimbă semnul numai în puncte unde este egal cu zero. Astfel de puncte rup axa de coordonate în bucăți, în interiorul cărora semnul funcției nu se schimbă niciodată. De aceea rezolvăm ecuația f (x) \u003d 0 și marchem rădăcinile găsite pe o linie dreaptă. Numerele găsite sunt punctele de „limită” care separă plusurile de minusurile.
2. Pentru a afla semnul unei funcții pe orice interval, este suficient să înlocuiți orice număr din acest interval în funcție. De exemplu, pentru intervalul (−5; 6) putem lua x = −4, x = 0, x = 4 și chiar x = 1,29374 dacă vrem. De ce este important? Da, pentru că mulți studenți încep să roadă îndoieli. Cum ar fi, ce se întâmplă dacă pentru x = −4 obținem un plus, iar pentru x = 0 obținem un minus? Nu se va întâmpla niciodată așa ceva. Toate punctele din același interval dau același semn. Tine minte asta.

Asta este tot ce trebuie să știi despre metoda intervalului. Desigur, l-am demontat în cea mai simplă formă. Există inegalități mai complexe - nestrictive, fracționale și cu rădăcini repetate. Pentru ei, puteți aplica și metoda intervalului, dar acesta este un subiect pentru o lecție mare separată.

Acum aș dori să analizez un truc avansat care simplifică drastic metoda intervalului. Mai precis, simplificarea afectează doar al treilea pas - calculul semnului din partea din dreapta a liniei. Din anumite motive, această tehnică nu se desfășoară în școli (cel puțin nimeni nu mi-a explicat asta). Dar degeaba - de fapt, acest algoritm este foarte simplu.

Deci, semnul funcției este pe piesa dreaptă a axei numerice. Această piesă are forma (a; +∞), unde a este cea mai mare rădăcină a ecuației f (x) = 0. Pentru a nu ne sufla creierul, luați în considerare un exemplu specific:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Avem 3 rădăcini. Le enumerăm în ordine crescătoare: x = −2, x = 1 și x = 7. Evident, cea mai mare rădăcină este x = 7.

Pentru cei cărora le este mai ușor să raționeze grafic, voi marca aceste rădăcini pe linia de coordonate. Să vedem ce se întâmplă:

Este necesar să găsiți semnul funcției f (x) pe intervalul din dreapta, adică. pe (7; +∞). Dar, după cum am observat deja, pentru a determina semnul, puteți lua orice număr din acest interval. De exemplu, puteți lua x = 8, x = 150 etc. Și acum - aceeași tehnică care nu se predă în școli: să luăm infinitul ca număr. Mai precis, plus infinit, adică +∞.

"Esti drogat? Cum poți înlocui infinitul într-o funcție? poate, întrebi tu. Dar gândiți-vă: nu avem nevoie de valoarea funcției în sine, avem nevoie doar de semn. Prin urmare, de exemplu, valorile f (x) = −1 și f (x) = −938 740 576 215 înseamnă același lucru: funcția este negativă pe acest interval. Prin urmare, tot ceea ce ți se cere este să găsești semnul care apare la infinit, și nu valoarea funcției.

De fapt, înlocuirea infinitului este foarte simplă. Să revenim la funcția noastră:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Imaginează-ți că x este un număr foarte mare. Un miliard sau chiar un trilion. Acum să vedem ce se întâmplă în fiecare paranteză.

Prima paranteză: (x − 1). Ce se întâmplă dacă scazi unul dintr-un miliard? Rezultatul va fi un număr nu foarte diferit de un miliard, iar acest număr va fi pozitiv. Similar cu a doua paranteză: (2 + x). Dacă adăugăm un miliard la doi, obținem un miliard cu copeici - acesta este un număr pozitiv. În cele din urmă, a treia paranteză: (7 − x ). Aici va fi minus un miliard, din care o bucată mizerabilă în formă de șapte a fost „roșată”. Acestea. numărul rezultat nu va diferi mult de minus un miliard - va fi negativ.

Rămâne de găsit semnul întregii lucrări. Deoarece am avut un plus în primele paranteze și un minus în ultima paranteză, obținem următoarea construcție:

(+) · (+) · (−) = (−)

Semnul final este minus! Nu contează care este valoarea funcției în sine. Principalul lucru este că această valoare este negativă, adică. pe intervalul din dreapta există un semn minus. Rămâne să finalizați al patrulea pas al metodei intervalului: aranjați toate semnele. Noi avem:

Inegalitatea inițială arăta astfel:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Prin urmare, ne interesează intervalele marcate cu semnul minus. Scriem răspunsul:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Acesta este tot trucul pe care am vrut să-l spun. În concluzie, mai există o inegalitate, care se rezolvă prin metoda intervalului folosind infinitul. Pentru a scurta vizual soluția, nu voi scrie numere de pași și comentarii detaliate. Voi scrie doar ceea ce trebuie scris cu adevărat atunci când rezolv probleme reale:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Înlocuim inegalitatea cu o ecuație și o rezolvăm:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Marcam toate cele trei rădăcini pe linia de coordonate (imediat cu semne):

Există un plus în partea dreaptă a axei de coordonate, deoarece functia arata asa:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

Și dacă înlocuim infinitul (de exemplu, un miliard), obținem trei paranteze pozitive. Deoarece expresia originală trebuie să fie mai mare decât zero, ne interesează doar plusuri. Rămâne de scris răspunsul:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce „inegalitate de pătrat”? Nu o întrebare!) Dacă iei orice ecuația pătratică și schimbați semnul din ea "=" (egal) cu orice pictogramă de inegalitate ( > ≥ < ≤ ≠ ), obținem o inegalitate pătratică. De exemplu:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Ei bine, ai înțeles ideea...)

Am legat cu bună știință ecuații și inegalități aici. Cert este că primul pas în rezolvare orice inegalitatea pătratului - rezolvați ecuația din care se face această inegalitate. Din acest motiv - incapacitatea de a rezolva ecuațiile pătratice duce automat la o eșec complet al inegalităților. Sugestia este clară?) Dacă ceva, uită-te la cum să rezolvi orice ecuații pătratice. Totul este detaliat acolo. Și în această lecție ne vom ocupa de inegalități.

Inegalitatea gata de rezolvare are forma: stânga - trinom pătrat ax 2 +bx+c, în dreapta - zero. Semnul inegalității poate fi absolut orice. Primele două exemple sunt aici sunt gata pentru o decizie. Al treilea exemplu mai trebuie pregătit.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

După ce primim informațiile inițiale despre inegalitățile cu variabile, trecem la întrebarea soluției acestora. Să analizăm soluția inegalităților liniare cu o variabilă și toate metodele de rezolvare a acestora cu algoritmi și exemple. Vor fi luate în considerare doar ecuațiile liniare cu o variabilă.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ce este o inegalitate liniară?

Mai întâi trebuie să definiți o ecuație liniară și să aflați forma ei standard și cum va diferi de altele. Din cursul școlar avem că inegalitățile nu au o diferență fundamentală, așa că trebuie folosite mai multe definiții.

Definiția 1

Inegalitatea liniară cu o variabilă x este o inegalitate de forma a x + b > 0 când se folosește orice semn de inegalitate în loc de >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definiția 2

Inegalitățile a x< c или a · x >c , cu x fiind o variabilă și a și c unele numere, se numește inegalități liniare cu o variabilă.

Deoarece nu se spune nimic despre dacă coeficientul poate fi egal cu 0, atunci o inegalitate strictă de forma 0 x > c și 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Diferențele lor sunt:

• notația a · x + b > 0 în primul, iar a · x > c – în al doilea;
• admisibilitatea coeficientului zero a , a ≠ 0 - în primul și a = 0 - în al doilea.

Se crede că inegalitățile a x + b > 0 și a x > c sunt echivalente, deoarece se obțin prin transferul termenului dintr-o parte în alta. Rezolvarea inegalității 0 · x + 5 > 0 va duce la faptul că va trebui rezolvată, iar cazul a = 0 nu va funcționa.

Definiția 3

Se consideră că inegalitățile liniare dintr-o variabilă x sunt inegalități de formă a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0și a x + b ≥ 0, unde a și b sunt numere reale. În loc de x, poate exista un număr obișnuit.

Pe baza regulii, avem că 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 se numesc liniare.

Cum se rezolvă o inegalitate liniară

Principala modalitate de a rezolva astfel de inegalități este utilizarea transformărilor echivalente pentru a găsi inegalitățile elementare x< p (≤ , >, ≥) , p fiind un număr, pentru a ≠ 0 , și de forma a< p (≤ , >, ≥) pentru a = 0 .

Pentru a rezolva o inegalitate cu o variabilă, puteți aplica metoda intervalului sau o puteți reprezenta grafic. Oricare dintre ele poate fi folosit izolat.

Folosind transformări echivalente

Pentru a rezolva o inegalitate liniara de forma a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , este necesar să se aplice transformări echivalente ale inegalității. Coeficientul poate fi sau nu zero. Să luăm în considerare ambele cazuri. Pentru a clarifica, este necesar să adere la o schemă formată din 3 puncte: esența procesului, algoritmul, soluția în sine.

Definiția 4

Algoritm pentru rezolvarea unei inegalități liniare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pentru a ≠ 0

• numărul b va fi transferat în partea dreaptă a inegalității cu semnul opus, ceea ce ne va permite să ajungem la echivalentul a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• ambele părți ale inegalității vor fi împărțite la un număr care nu este egal cu 0. Mai mult, atunci când a este pozitiv, semnul rămâne, când a este negativ, se schimbă la opus.

Luați în considerare aplicarea acestui algoritm pentru rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1

Rezolvați o inegalitate de forma 3 · x + 12 ≤ 0 .

Decizie

Această inegalitate liniară are a = 3 și b = 12 . Prin urmare, coeficientul a lui x nu este egal cu zero. Să aplicăm algoritmii de mai sus și să rezolvăm.

Este necesar să transferați termenul 12 într-o altă parte a inegalității cu o schimbare de semn în față. Atunci obținem o inegalitate de forma 3 · x ≤ − 12 . Este necesar să împărțiți ambele părți la 3. Semnul nu se va schimba deoarece 3 este un număr pozitiv. Obținem că (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , ceea ce va da rezultatul x ≤ − 4 .

O inegalitate de forma x ≤ − 4 este echivalentă. Adică, soluția pentru 3 x + 12 ≤ 0 este orice număr real care este mai mic sau egal cu 4 . Răspunsul se scrie ca o inegalitate x ≤ − 4 , sau un interval numeric de forma (− ∞ , − 4 ] .

Întregul algoritm descris mai sus este scris după cum urmează:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Răspuns: x ≤ − 4 sau (− ∞ , − 4 ] .

Exemplul 2

Indicați toate soluțiile disponibile ale inegalității − 2 , 7 · z > 0 .

Decizie

Din condiție vedem că coeficientul a la z este egal cu - 2, 7 și b este explicit absent sau egal cu zero. Nu puteți folosi primul pas al algoritmului, ci treceți imediat la al doilea.

Împărțim ambele părți ale ecuației cu numărul - 2, 7. Deoarece numărul este negativ, este necesar să se schimbe semnul inegalității la opus. Adică, obținem că (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Scriem întregul algoritm într-o formă scurtă:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Răspuns: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Exemplul 3

Rezolvați inegalitatea - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Decizie

Conform condiției, vedem că este necesară rezolvarea inegalității cu coeficientul a pentru variabila x, care este egală cu - 5, cu coeficientul b, care corespunde fracției - 15 22 . Este necesar să se rezolve inegalitatea urmând algoritmul, adică: mutați - 15 22 în altă parte cu semnul opus, împărțiți ambele părți la - 5, schimbați semnul inegalității:

5 x ≤ 1522; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

La ultima tranziție, pentru partea dreaptă, se folosește regula de împărțire a unui număr cu semne diferite 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, după care împărțim fracția obișnuită la un număr natural - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Răspuns: x ≥ - 3 22 și [ - 3 22 + ∞) .

Luați în considerare cazul când a = 0. Expresia liniară a formei a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Totul se bazează pe definiția soluției inegalității. Pentru orice valoare a lui x, obținem o inegalitate numerică de forma b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Considerăm toate judecățile sub forma unui algoritm pentru rezolvarea inegalităților liniare 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definiția 5

Inegalitatea numerică de forma b< 0 (≤ , >, ≥) este adevărată, atunci inegalitatea originală are o soluție pentru orice valoare și falsă atunci când inegalitatea originală nu are soluții.

Exemplul 4

Rezolvați inegalitatea 0 · x + 7 > 0 .

Decizie

Această inegalitate liniară 0 · x + 7 > 0 poate lua orice valoare x . Atunci obținem o inegalitate de forma 7 > 0 . Ultima inegalitate este considerată adevărată, deci orice număr poate fi soluția lui.

Răspuns: interval (− ∞ , + ∞) .

Exemplul 5

Găsiți o soluție la inegalitatea 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Decizie

Înlocuind variabila x pentru orice număr, obținem că inegalitatea va lua forma − 12 , 7 ≥ 0 . Este incorect. Adică 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nu are soluții.

Răspuns: nu exista solutii.

Luați în considerare soluția inegalităților liniare, unde ambii coeficienți sunt egali cu zero.

Exemplul 6

Să se determine o inegalitate de nerezolvat din 0 · x + 0 > 0 și 0 · x + 0 ≥ 0 .

Decizie

Când înlocuim orice număr în loc de x, obținem două inegalități de forma 0 > 0 și 0 ≥ 0 . Primul este incorect. Aceasta înseamnă că 0 x + 0 > 0 nu are soluții, iar 0 x + 0 ≥ 0 are un număr infinit de soluții, adică orice număr.

Răspuns: inegalitatea 0 x + 0 > 0 nu are soluții, iar 0 x + 0 ≥ 0 are soluții.

Această metodă este luată în considerare în cursul școlar de matematică. Metoda intervalului este capabilă să rezolve diferite tipuri de inegalități, inclusiv cele liniare.

Metoda intervalului este utilizată pentru inegalitățile liniare când valoarea coeficientului x nu este egală cu 0 . În caz contrar, va trebui să calculați folosind o altă metodă.

Definiția 6

Metoda de spațiere este:

• introducerea funcției y = a x + b ;
• căutarea zerourilor pentru a împărți domeniul definiției în intervale;
• determinarea semnelor pentru conceptul lor pe intervale.

Să asamblam un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor liniare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pentru a ≠ 0 folosind metoda intervalului:

• aflarea zerourilor functiei y = a · x + b pentru a rezolva o ecuatie de forma a · x + b = 0 . Dacă a ≠ 0, atunci soluția va fi singura rădăcină care va lua denumirea x 0;
• construirea unei linii de coordonate cu imaginea unui punct cu o coordonată x 0, cu o inegalitate strictă, punctul este indicat printr-un perforat, cu o inegalitate nestrict, este umbrit;
• determinarea semnelor funcției y = a x + b pe intervale, pentru aceasta este necesar să se găsească valorile funcției în punctele din interval;
• soluția inegalității cu semnele > sau ≥ pe linia de coordonate, se adaugă hașura deasupra decalajului pozitiv,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Luați în considerare câteva exemple de rezolvare a unei inegalități liniare folosind metoda intervalului.

Exemplul 6

Rezolvați inegalitatea − 3 · x + 12 > 0 .

Decizie

Din algoritm rezultă că mai întâi trebuie să găsiți rădăcina ecuației − 3 · x + 12 = 0 . Obținem că − 3 · x = − 12 , x = 4 . Este necesar să descriem linia de coordonate, unde marchem punctul 4. Va fi perforat deoarece inegalitatea este strictă. Luați în considerare desenul de mai jos.

Este necesar să se determine semnele pe intervale. Pentru a-l determina pe intervalul (− ∞ , 4) , este necesar să se calculeze funcția y = − 3 · x + 12 pentru x = 3 . De aici obținem că − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Semnul de pe interval este pozitiv.

Determinăm semnul din intervalul (4, + ∞), apoi înlocuim valoarea x \u003d 5. Avem − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Efectuăm soluția inegalității cu semnul > , iar hașura se efectuează peste decalajul pozitiv. Luați în considerare desenul de mai jos.

Din desen se poate observa că soluția dorită are forma (− ∞ , 4) sau x< 4 .

Răspuns: (− ∞ , 4) sau x< 4 .

Pentru a înțelege cum să reprezentăm grafic, este necesar să luăm în considerare 4 inegalități liniare ca exemplu: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 și 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Soluțiile lor vor fi x< 2 , x ≤ 2 , x >2 și x ≥ 2 . Pentru a face acest lucru, desenați mai jos un grafic al funcției liniare y = 0 , 5 · x − 1.

Este clar că

Definiția 7

• soluția inegalității 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• soluția 0 , 5 x − 1 ≤ 0 este intervalul în care funcția y = 0 , 5 x − 1 este sub 0 x sau coincide;
• soluția 0 , 5 x − 1 > 0 este considerată a fi intervalul, în care funcția este situată deasupra O x;
• soluția 0 , 5 x − 1 ≥ 0 este intervalul în care graficul este mai mare decât O x sau coincide.

Semnificația soluției grafice a inegalităților este de a găsi golurile, care trebuie reprezentate pe grafic. În acest caz, obținem că partea stângă are y \u003d a x + b, iar partea dreaptă are y \u003d 0 și coincide cu Despre x.

Definiția 8

Se realizează reprezentarea grafică a funcției y = a x + b:

• în timp ce rezolvăm inegalitatea a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• în timp ce se rezolvă inegalitatea a x + b ≤ 0, se determină intervalul în care graficul este afișat sub axa O x sau coincide;
• în timp ce se rezolvă inegalitatea a x + b > 0, se determină intervalul, unde graficul este afișat deasupra O x;
• în timp ce se rezolvă inegalitatea a x + b ≥ 0, se determină intervalul acolo unde graficul este deasupra O x sau coincide.

Exemplul 7

Rezolvați inegalitatea - 5 · x - 3 > 0 folosind graficul.

Decizie

Este necesar să se construiască un grafic al unei funcții liniare - 5 · x - 3 > 0 . Această linie este în scădere deoarece coeficientul lui x este negativ. Pentru a determina coordonatele punctului său de intersecție cu O x - 5 · x - 3 > 0, obținem valoarea - 3 5 . Să-l graficăm.

Rezolvarea inegalității cu semnul >, atunci trebuie să acordați atenție intervalului de deasupra O x. Evidențiem cu roșu partea necesară a avionului și obținem asta

Spațiul necesar este partea O x a culorii roșii. Prin urmare, raza numărului deschis - ∞ , - 3 5 va fi soluția inegalității. Dacă, prin condiție, au avut o inegalitate nestrictă, atunci și valoarea punctului - 3 5 ar fi o soluție a inegalității. Și ar coincide cu O x.

Răspuns: - ∞ , - 3 5 sau x< - 3 5 .

Soluția grafică este folosită atunci când partea stângă va corespunde funcției y = 0 x + b , adică y = b . Apoi linia va fi paralelă cu O x sau coincide la b \u003d 0. Aceste cazuri arată că o inegalitate poate să nu aibă soluții sau orice număr poate fi o soluție.

Exemplul 8

Determinați din inegalitățile 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Decizie

Reprezentarea y = 0 x + 7 este y = 7 , atunci se va da un plan de coordonate cu o dreaptă paralelă cu O x și deasupra lui O x. Deci 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graficul funcției y \u003d 0 x + 0 este considerat y \u003d 0, adică linia coincide cu O x. Prin urmare, inegalitatea 0 · x + 0 ≥ 0 are multe soluții.

Răspuns: a doua inegalitate are o soluție pentru orice valoare a lui x .

Inegalități liniare

Soluția inegalităților poate fi redusă la soluția unei ecuații liniare, care se numesc inegalități liniare.

Aceste inegalități au fost luate în considerare în cursul școlar, întrucât au fost un caz special de rezolvare a inegalităților, ceea ce a dus la deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari. De exemplu, să considerăm că 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Inegalitățile prezentate mai sus sunt întotdeauna reduse la forma unei ecuații liniare. După aceea, se deschid parantezele și se dau termeni similari, transferați din diferite părți, schimbând semnul în opus.

Când reducem inegalitatea 5 − 2 x > 0 la una liniară, o reprezentăm în așa fel încât să aibă forma − 2 x + 5 > 0 , iar pentru a o reduce pe a doua, obținem că 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Este necesar să deschideți parantezele, să aduceți termeni asemănători, să mutați toți termenii în partea stângă și să aduceți termenii asemănători. Arata cam asa:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Aceasta aduce soluția unei inegalități liniare.

Aceste inegalități sunt considerate liniare, deoarece au același principiu de soluție, după care este posibil să le reducă la inegalități elementare.

Pentru a rezolva acest tip de inegalitate de acest fel, este necesar să o reducem la una liniară. Ar trebui făcut astfel:

Definiția 9

• paranteze deschise;
• colectează variabile în stânga și numere în dreapta;
• aduceți condiții similare;
• împărțiți ambele părți la coeficientul lui x .

Exemplul 9

Rezolvați inegalitatea 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Decizie

Extindem parantezele, apoi obținem o inegalitate de forma 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . După reducerea termenilor similari, avem că 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . După mutarea termenilor de la stânga la dreapta, obținem că 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Prin urmare, are o inegalitate de forma 32 ≤ 0 din rezultatul obținut în calculul 0 · x + 32 ≤ 0 . Se poate observa că inegalitatea este falsă, ceea ce înseamnă că inegalitatea dată de condiție nu are soluții.

Răspuns: fara solutii.

Este de remarcat faptul că există multe inegalități de alt fel, care pot fi reduse la una liniară sau la o inegalitate de tipul prezentat mai sus. De exemplu, 5 2 x − 1 ≥ 1 este o ecuație exponențială care se reduce la o soluție liniară 2 · x − 1 ≥ 0 . Aceste cazuri vor fi luate în considerare la rezolvarea inegalităților de acest tip.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter