Fie definită și continuă funcția $z=f(x,y)$ într-un domeniu închis mărginit $D$. Fie ca funcția dată să aibă derivate parțiale finite de ordinul întâi în această regiune (cu excepția posibilă a unui număr finit de puncte). Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o regiune închisă dată, sunt necesari trei pași ai unui algoritm simplu.
Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției $z=f(x,y)$ în domeniul închis $D$.
- Găsiți punctele critice ale funcției $z=f(x,y)$ care aparțin regiunii $D$. Calculați valorile funcției în punctele critice.
- Investigați comportamentul funcției $z=f(x,y)$ la limita regiunii $D$ prin găsirea punctelor valorilor maxime și minime posibile. Calculați valorile funcției la punctele obținute.
- Din valorile funcției obținute în cele două paragrafe precedente, alegeți cel mai mare și cel mai mic.
Care sunt punctele critice? arată ascunde
Sub puncte critice implică puncte în care ambele derivate parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero (adică $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ și $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) sau cel puțin o derivată parțială nu există.
Adesea sunt numite punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero punctele staţionare. Astfel, punctele staționare sunt un subset de puncte critice.
Exemplul #1
Găsiți valorile maxime și minime ale funcției $z=x^2+2xy-y^2-4x$ în regiunea închisă delimitată de liniile $x=3$, $y=0$ și $y=x +1$.
Vom urma cele de mai sus, dar mai întâi ne vom ocupa de desenul unei zone date, pe care o vom nota cu litera $D$. Ni se dau ecuațiile a trei drepte, care limitează această zonă. Dreapta $x=3$ trece prin punctul $(3;0)$ paralel cu axa y (axa Oy). Linia dreaptă $y=0$ este ecuația axei absciselor (axa Ox). Ei bine, pentru a construi o dreaptă $y=x+1$ să găsim două puncte prin care trasăm această dreaptă. Puteți, desigur, să înlocuiți câteva valori arbitrare în loc de $x$. De exemplu, înlocuind $x=10$, obținem: $y=x+1=10+1=11$. Am găsit punctul $(10;11)$ situat pe dreapta $y=x+1$. Totuși, este mai bine să găsiți acele puncte în care dreapta $y=x+1$ se intersectează cu liniile $x=3$ și $y=0$. De ce este mai bine? Pentru că vom așeza câteva păsări dintr-o piatră: vom obține două puncte pentru construirea dreptei $y=x+1$ și, în același timp, vom afla în ce puncte intersectează această dreaptă alte drepte care delimitează linia dată. zonă. Linia $y=x+1$ intersectează dreapta $x=3$ în punctul $(3;4)$, iar linia $y=0$ - în punctul $(-1;0)$. Pentru a nu aglomera cursul soluției cu explicații auxiliare, voi pune problema obținerii acestor două puncte într-o notă.
Cum au fost obținute punctele $(3;4)$ și $(-1;0)$? arată ascunde
Să începem de la punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$. Coordonatele punctului dorit aparțin atât primei cât și celei de-a doua linii, așa că pentru a găsi coordonate necunoscute, trebuie să rezolvați sistemul de ecuații:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
Rezolvarea unui astfel de sistem este banala: substituind $x=3$ in prima ecuatie vom avea: $y=3+1=4$. Punctul $(3;4)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$.
Acum să găsim punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$. Din nou, compunem și rezolvăm sistemul de ecuații:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
Înlocuind $y=0$ în prima ecuație, obținem: $0=x+1$, $x=-1$. Punctul $(-1;0)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$ (axa absciselor).
Totul este gata pentru a construi un desen care va arăta astfel:
Întrebarea notei pare evidentă, pentru că totul se vede din figură. Cu toate acestea, merită să ne amintim că desenul nu poate servi drept dovadă. Figura este doar o ilustrare pentru claritate.
Zona noastră a fost stabilită folosind ecuațiile de linii care o limitează. Este evident că aceste linii definesc un triunghi, nu-i așa? Sau nu chiar evident? Sau poate ni se oferă o zonă diferită, delimitată de aceleași linii:
Desigur, condiția spune că zona este închisă, așa că poza prezentată este greșită. Dar pentru a evita astfel de ambiguități, este mai bine să definiți regiunile prin inegalități. Ne interesează partea de plan situată sub linia $y=x+1$? Ok, deci $y ≤ x+1$. Zona noastră ar trebui să fie situată deasupra liniei $y=0$? Grozav, deci $y ≥ 0$. Apropo, ultimele două inegalități se combină ușor într-una singură: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
Aceste inegalități definesc domeniul $D$ și îl definesc în mod unic, fără ambiguități. Dar cu ce ne ajută acest lucru la întrebarea de la începutul notei de subsol? De asemenea, va ajuta :) Trebuie să verificăm dacă punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$. Să substituim $x=1$ și $y=1$ în sistemul de inegalități care definesc această regiune. Dacă ambele inegalități sunt satisfăcute, atunci punctul se află în interiorul regiunii. Dacă cel puțin una dintre inegalități nu este satisfăcută, atunci punctul nu aparține regiunii. Asa de:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$
Ambele inegalități sunt adevărate. Punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$.
Acum este rândul să investighem comportamentul funcției la limita domeniului, adică. mergi la. Să începem cu linia dreaptă $y=0$.
Linia dreaptă $y=0$ (axa absciselor) limitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Înlocuiți $y=0$ în funcția dată $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Funcția de substituție rezultată a unei variabile $x$ va fi notată ca $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Acum, pentru funcția $f_1(x)$ trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $-1 ≤ x ≤ 3$. Găsiți derivata acestei funcții și egalați-o cu zero:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Valoarea $x=2$ aparține segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, așa că adăugăm și $M_2(2;0)$ la lista de puncte. În plus, calculăm valorile funcției $z$ la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, adică. la punctele $M_3(-1;0)$ și $M_4(3;0)$. Apropo, dacă punctul $M_2$ nu ar aparține segmentului în cauză, atunci, desigur, nu ar fi nevoie să se calculeze valoarea funcției $z$ din acesta.
Deci, să calculăm valorile funcției $z$ în punctele $M_2$, $M_3$, $M_4$. Puteți, desigur, să înlocuiți coordonatele acestor puncte în expresia originală $z=x^2+2xy-y^2-4x$. De exemplu, pentru punctul $M_2$ obținem:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Cu toate acestea, calculele pot fi puțin simplificate. Pentru a face acest lucru, merită să ne amintim că pe segmentul $M_3M_4$ avem $z(x,y)=f_1(x)$. O voi descrie în detaliu:
\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aliniat)
Desigur, de obicei nu este nevoie de astfel de înregistrări detaliate, iar în viitor vom începe să scriem toate calculele într-un mod mai scurt:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Acum să ne întoarcem la linia dreaptă $x=3$. Această linie delimitează domeniul $D$ în condiția $0 ≤ y ≤ 4$. Înlocuiți $x=3$ în funcția dată $z$. Ca rezultat al unei astfel de substituții, obținem funcția $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
Pentru funcția $f_2(y)$, trebuie să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $0 ≤ y ≤ 4$. Găsiți derivata acestei funcții și egalați-o cu zero:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
Valoarea $y=3$ aparține segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, așa că adăugăm $M_5(3;3)$ la punctele găsite mai devreme. În plus, este necesar să se calculeze valoarea funcției $z$ în punctele de la capetele segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, adică. la punctele $M_4(3;0)$ și $M_6(3;4)$. În punctul $M_4(3;0)$ am calculat deja valoarea lui $z$. Să calculăm valoarea funcției $z$ la punctele $M_5$ și $M_6$. Permiteți-mi să vă reamintesc că pe segmentul $M_4M_6$ avem $z(x,y)=f_2(y)$, prin urmare:
\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aliniat)
Și, în sfârșit, luați în considerare ultima limită a $D$, adică. linia $y=x+1$. Această linie delimitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Înlocuind $y=x+1$ în funcția $z$, vom avea:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Din nou avem o funcție a unei variabile $x$. Și din nou, trebuie să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale acestei funcții pe segmentul $-1 ≤ x ≤ 3$. Găsiți derivata funcției $f_(3)(x)$ și egalați-o cu zero:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Valoarea $x=1$ aparține intervalului $-1 ≤ x ≤ 3$. Dacă $x=1$, atunci $y=x+1=2$. Să adăugăm $M_7(1;2)$ la lista de puncte și să aflăm care este valoarea funcției $z$ în acest moment. Punctele de la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. punctele $M_3(-1;0)$ și $M_6(3;4)$ au fost luate în considerare mai devreme, am găsit deja valoarea funcției în ele.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Al doilea pas al soluției este finalizat. Avem șapte valori:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Să ne întoarcem la. Alegând cele mai mari și mai mici valori dintre acele numere care au fost obținute în al treilea paragraf, vom avea:
$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$
Problema este rezolvată, rămâne doar să notăm răspunsul.
Răspuns: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.
Exemplul #2
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=x^2+y^2-12x+16y$ în regiunea $x^2+y^2 ≤ 25$.
Să construim mai întâi un desen. Ecuația $x^2+y^2=25$ (aceasta este linia de limită a zonei date) definește un cerc cu un centru la origine (adică în punctul $(0;0)$) și o rază de 5. Inegalitatea $x^2 +y^2 ≤ 25$ satisface toate punctele din interiorul și de pe cercul menționat.
Vom acţiona. Să găsim derivate parțiale și să aflăm punctele critice.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$
Nu există puncte în care derivatele parțiale găsite să nu existe. Să aflăm în ce puncte ambele derivate parțiale sunt simultan egale cu zero, adică. găsiți puncte staționare.
$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aliniat) \right.$$
Avem un punct staționar $(6;-8)$. Totuși, punctul găsit nu aparține regiunii $D$. Acest lucru este ușor de arătat fără a recurge măcar la desen. Să verificăm dacă inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$, care definește domeniul nostru $D$, este valabilă. Dacă $x=6$, $y=-8$, atunci $x^2+y^2=36+64=100$, adică. inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$ nu este satisfăcută. Concluzie: punctul $(6;-8)$ nu aparține regiunii $D$.
Astfel, nu există puncte critice în interiorul $D$. Să trecem mai departe, la. Trebuie să investigăm comportamentul funcției la limita zonei date, i.e. pe cercul $x^2+y^2=25$. Puteți, desigur, să exprimați $y$ în termeni de $x$ și apoi să înlocuiți expresia rezultată în funcția noastră $z$. Din ecuația cercului obținem: $y=\sqrt(25-x^2)$ sau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Înlocuind, de exemplu, $y=\sqrt(25-x^2)$ în funcția dată, vom avea:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Soluția ulterioară va fi complet identică cu studiul comportamentului funcției la limita regiunii din exemplul precedent nr. 1. Totuși, mi se pare mai rezonabil în această situație să se aplice metoda Lagrange. Ne interesează doar prima parte a acestei metode. După aplicarea primei părți a metodei Lagrange, obținem punctele în care examinăm funcția $z$ pentru valorile minime și maxime.
Compunem funcția Lagrange:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Găsim derivatele parțiale ale funcției Lagrange și compunem sistemul de ecuații corespunzător:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aliniat) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(aliniat) \ dreapta. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aliniat)\dreapta.$$
Pentru a rezolva acest sistem, să indicăm imediat că $\lambda\neq -1$. De ce $\lambda\neq -1$? Să încercăm să înlocuim $\lambda=-1$ în prima ecuație:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Contradicția rezultată $0=6$ spune că valoarea $\lambda=-1$ este invalidă. Ieșire: $\lambda\neq -1$. Să exprimăm $x$ și $y$ în termeni de $\lambda$:
\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(aliniat)
Cred că aici devine evident de ce am stipulat în mod specific condiția $\lambda\neq -1$. Acest lucru a fost făcut pentru a încadra expresia $1+\lambda$ în numitori fără interferențe. Adică, pentru a fi sigur că numitorul este $1+\lambda\neq 0$.
Să substituim expresiile obținute pentru $x$ și $y$ în a treia ecuație a sistemului, adică. în $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
Din egalitatea rezultată rezultă că $1+\lambda=2$ sau $1+\lambda=-2$. Prin urmare, avem două valori ale parametrului $\lambda$ și anume: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. În consecință, obținem două perechi de valori $x$ și $y$:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(aliniat)
Deci, avem două puncte ale unui posibil extremum condiționat, adică. $M_1(3;-4)$ și $M_2(-3;4)$. Găsiți valorile funcției $z$ la punctele $M_1$ și $M_2$:
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(aliniat)
Ar trebui să alegem cele mai mari și cele mai mici valori dintre cele pe care le-am obținut în primul și al doilea pas. Dar în acest caz, alegerea este mică :) Avem:
$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$
Răspuns: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.
Algoritmul standard pentru rezolvarea unor astfel de sarcini presupune, după găsirea zerourilor funcției, determinarea semnelor derivatei pe intervale. Apoi se calculează valorile în punctele găsite ale maximului (sau minimului) și la limita intervalului, în funcție de ce întrebare este în stare.
Vă sfătuiesc să faceți lucrurile puțin diferit. De ce? A scris despre asta.
Îmi propun să rezolv astfel de sarcini după cum urmează:
1. Găsiți derivata.
2. Aflați zerourile derivatei.
3. Stabiliți care dintre ele aparțin intervalului dat.
4. Calculăm valorile funcției pe limitele intervalului și punctelor articolului 3.
5. Tragem o concluzie (răspundem la întrebarea pusă).
În timpul rezolvării exemplelor prezentate, soluția ecuațiilor pătratice nu este luată în considerare în detaliu, ar trebui să puteți face acest lucru. Ar trebui să știe și ei.
Luați în considerare exemple:
77422. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 –3x+4 pe segmentul [–2;0].
Să găsim zerourile derivatei:
Punctul x = –1 aparține intervalului specificat în condiție.
Calculăm valorile funcției la punctele –2, –1 și 0:
Cea mai mare valoare a funcției este 6.
Raspuns: 6
77425. Găsiți cea mai mică valoare a funcției y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 pe segment.
Găsiți derivata funcției date:
Să găsim zerourile derivatei:
Punctul x = 2 aparține intervalului specificat în condiție.
Calculăm valorile funcției la punctele 1, 2 și 4:
Cea mai mică valoare a funcției este -2.
Raspuns: -2
77426. Găsiți cea mai mare valoare a funcției y \u003d x 3 - 6x 2 pe segmentul [-3; 3].
Găsiți derivata funcției date:
Să găsim zerourile derivatei:
Punctul x = 0 aparține intervalului specificat în condiție.
Calculăm valorile funcției la punctele –3, 0 și 3:
Cea mai mică valoare a funcției este 0.
Raspuns: 0
77429. Găsiți cea mai mică valoare a funcției y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 pe segment.
Găsiți derivata funcției date:
3x 2 - 4x + 1 = 0
Obținem rădăcinile: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.
Doar x = 1 aparține intervalului specificat în condiție.
Găsiți valorile funcției la punctele 1 și 4:
Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este 3.
Raspuns: 3
77430. Găsiți cea mai mare valoare a funcției y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 pe segmentul [- 4; -unu].
Găsiți derivata funcției date:
Aflați zerourile derivatei, rezolvați ecuația pătratică:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Să luăm rădăcinile:
Rădăcina х = –1 aparține intervalului specificat în condiție.
Găsiți valorile funcției la punctele –4, –1, –1/3 și 1:
Am descoperit că cea mai mare valoare a funcției este 3.
Raspuns: 3
77433. Găsiți cea mai mică valoare a funcției y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 pe segment.
Găsiți derivata funcției date:
Aflați zerourile derivatei, rezolvați ecuația pătratică:
3x 2 - 2x - 40 = 0
Să luăm rădăcinile:
Rădăcina x = 4 aparține intervalului specificat în condiție.
Găsim valorile funcției la punctele 0 și 4:
Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este -109.
Răspuns: -109
Luați în considerare o metodă pentru determinarea celor mai mari și mai mici valori ale funcțiilor fără derivată. Această abordare poate fi folosită dacă aveți probleme mari cu definirea derivatei. Principiul este simplu - înlocuim toate valorile întregi din interval în funcție (fapt este că în toate astfel de prototipuri răspunsul este un număr întreg).
77437. Găsiți cea mai mică valoare a funcției y \u003d 7 + 12x - x 3 pe segmentul [-2; 2].
Inlocuim punctele de la -2 la 2: Vizualizați soluția
77434. Găsiți cea mai mare valoare a funcției y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 pe segmentul [-2; 0].
Asta e tot. Multă baftă!
Cu stimă, Alexander Krutitskikh.
P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.
Și pentru a o rezolva, aveți nevoie de cunoștințe minime despre subiect. Următorul an universitar se termină, toată lumea vrea să plece în vacanță, iar pentru a apropia acest moment, trec imediat la treabă:
Să începem cu zona. Zona la care se face referire în condiție este limitat închis set de puncte din plan. De exemplu, un set de puncte mărginite de un triunghi, inclusiv TOTUL triunghi (dacă de la frontiere„Scoate” cel puțin un punct, apoi zona nu va mai fi închisă). În practică, există și zone de forme dreptunghiulare, rotunde și ceva mai complexe. Trebuie remarcat faptul că în teoria analizei matematice sunt date definiții stricte limitări, izolare, limite etc., dar cred că toată lumea este conștientă de aceste concepte la nivel intuitiv și nu este nevoie de mai mult acum.
Zona plată este desemnată standard cu litera , și, de regulă, este dată analitic - prin mai multe ecuații (nu neapărat liniar); mai rar inegalități. O schimbare verbală tipică: „zonă închisă limitată de linii”.
O parte integrantă a sarcinii luate în considerare este construcția zonei pe desen. Cum să o facă? Este necesar să desenați toate liniile enumerate (în acest caz 3 Drept) și analizați ce s-a întâmplat. Zona dorită este de obicei ușor hașurată, iar marginea sa este evidențiată cu o linie îndrăzneață: 
Aceeași zonă poate fi setată inegalități liniare: , care din anumite motive sunt scrise mai des ca o listă de enumerare, și nu sistem.
Deoarece granița aparține regiunii, atunci toate inegalitățile, desigur, nestrict.
Și acum miezul problemei. Imaginează-ți că axa merge direct la tine de la originea coordonatelor. Luați în considerare o funcție care continuu în fiecare punct de zonă. Graficul acestei funcții este suprafaţă, iar mica fericire este că, pentru a rezolva problema de astăzi, nu trebuie să știm deloc cum arată această suprafață. Poate fi situat deasupra, dedesubt, traversează avionul - toate acestea nu sunt importante. Și următorul lucru este important: conform teoreme Weierstrass, continuuîn limitat închis zonă, funcția atinge maximul (din „cel mai înalt”) si cel putin (din „cel mai jos”) valori de găsit. Aceste valori sunt atinse sauîn punctele staţionare, aparținând regiuniiD , sauîn punctele care se află la limita acestei regiuni. Din care urmează un algoritm de soluție simplu și transparent:
Exemplul 1
Într-o zonă închisă limitată
Decizie: În primul rând, trebuie să descrii zona pe desen. Din păcate, din punct de vedere tehnic îmi este dificil să fac un model interactiv al problemei și, prin urmare, voi oferi imediat ilustrația finală, care arată toate punctele „suspecte” găsite în timpul studiului. De obicei, sunt puse jos una după alta pe măsură ce se găsesc: 
Pe baza preambulului, decizia poate fi împărțită convenabil în două puncte:
I) Să găsim puncte staţionare. Aceasta este o acțiune standard pe care am efectuat-o în mod repetat în lecție. despre extrema mai multor variabile:
Punct staționar găsit aparține zone: (marcați-l pe desen), ceea ce înseamnă că ar trebui să calculăm valoarea funcției la un punct dat:
- ca in articol Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment, voi evidenția rezultatele importante cu caractere aldine. Într-un caiet, este convenabil să le încercuiești cu un creion.
Atenție la a doua noastră fericire - nu are rost să verificăm condiție suficientă pentru un extremum. De ce? Chiar dacă în punctul în care funcția ajunge, de exemplu, minim local, atunci aceasta NU ÎNSEMNĂ că valoarea rezultată va fi minimîn întreaga regiune (vezi începutul lecției despre extreme necondiționate) .
Ce se întâmplă dacă punctul staționar NU aparține zonei? Aproape nimic! Trebuie remarcat faptul că și treceți la paragraful următor.
II) Investigam granița regiunii.
Deoarece granița constă din laturile unui triunghi, este convenabil să împărțiți studiul în 3 paragrafe. Dar este mai bine să nu o faci oricum. Din punctul meu de vedere, la început este mai avantajos să luăm în considerare segmentele paralele cu axele de coordonate și, în primul rând, pe cele situate pe axele în sine. Pentru a surprinde întreaga secvență și logica acțiunilor, încercați să studiați finalul „într-o singură respirație”:
1) Să ne ocupăm de partea inferioară a triunghiului. Pentru a face acest lucru, înlocuim direct în funcție:
Ca alternativă, puteți proceda astfel: 
Geometric, aceasta înseamnă că planul de coordonate (care este dat și de ecuație)„decupat” din suprafete parabola „spațială”, al cărei vârf cade imediat sub suspiciune. Să aflăm unde este ea:
- valoarea rezultată „lovită” în zonă și poate fi că la punctul respectiv (marca pe desen) funcția atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare din întreaga zonă. Oricum, hai sa facem calculele:
Alți „candidați” sunt, desigur, capetele segmentului. Calculați valorile funcției în puncte 
(marca pe desen):
Aici, apropo, puteți efectua o mini-verificare orală a versiunii „dezbrăcate”: 
2) Pentru a studia partea dreaptă a triunghiului, o înlocuim în funcție și „punem lucrurile în ordine acolo”:
Aici efectuăm imediat o verificare brută, „sunând” capătul deja procesat al segmentului:
, perfect.
Situația geometrică este legată de punctul anterior:
- valoarea rezultată a „intrat și în sfera intereselor noastre”, ceea ce înseamnă că trebuie să calculăm cu ce este egală funcția în punctul apărut:
Să examinăm al doilea capăt al segmentului:
Folosind funcția 
, sa verificam: 
3) Probabil că toată lumea știe cum să exploreze partea rămasă. Înlocuim în funcție și efectuăm simplificări:
Se termină linia 
au fost deja investigate, dar pe proiect mai verificăm dacă am găsit corect funcția 
:
– a coincis cu rezultatul de la primul paragraf;
– a coincis cu rezultatul al doilea paragraf.
Rămâne să aflăm dacă există ceva interesant în interiorul segmentului:
- există! Înlocuind o linie dreaptă în ecuație, obținem ordonata acestui „interesant”:
Marcam un punct pe desen și găsim valoarea corespunzătoare a funcției:
Să controlăm calculele în funcție de versiunea „buget”. 
:
, Ordin.
Și pasul final: Uită-te cu ATENȚIE prin toate numerele „grase”, recomand chiar și începătorilor să facă o singură listă: 
din care alegem cele mai mari si cele mai mici valori. Răspuns scrie în stilul problemei găsirii cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe interval:
Pentru orice eventualitate, voi comenta din nou semnificația geometrică a rezultatului:
– aici este cel mai înalt punct al suprafeței din regiune ;
- aici este punctul cel mai de jos al suprafeței din zonă.
În problema analizată, am găsit 7 puncte „suspecte”, dar numărul acestora variază de la sarcină la sarcină. Pentru o regiune triunghiulară, „multimul de explorare” minim este format din trei puncte. Acest lucru se întâmplă atunci când funcția, de exemplu, se setează avion- este destul de clar că nu există puncte staționare, iar funcția poate atinge valorile maxime / minime doar la vârfurile triunghiului. Dar nu există astfel de exemple o dată, de două ori - de obicei trebuie să te confrunți cu un fel de suprafata de ordinul 2.
Dacă rezolvi puțin astfel de sarcini, atunci triunghiurile îți pot face capul să se învârtească și, prin urmare, am pregătit exemple neobișnuite pentru ca tu să-l faci pătrat :))
Exemplul 2
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții 
într-o zonă închisă delimitată de linii
Exemplul 3
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă mărginită.
Acordați o atenție deosebită ordinii raționale și tehnicii de studiu a graniței zonei, precum și lanțului de verificări intermediare, care vor evita aproape complet erorile de calcul. În general, puteți rezolva așa cum doriți, dar în unele probleme, de exemplu, în același Exemplu 2, există toate șansele să vă complicați semnificativ viața. Un exemplu aproximativ de finalizare a sarcinilor la sfârșitul lecției.
Sistematizăm algoritmul de soluție, altfel, cu diligența mea de păianjen, s-a pierdut cumva într-un fir lung de comentarii ale primului exemplu:
- La primul pas, construim o zonă, este de dorit să o umbrim și să evidențiem chenarul cu o linie groasă. În timpul rezolvării, vor apărea puncte care trebuie puse pe desen.
– Găsiți puncte staționare și calculați valorile funcției numai în acelea, care apartin zonei . Valorile obținute sunt evidențiate în text (de exemplu, încercuite cu un creion). Dacă punctul staționar NU aparține zonei, atunci notăm acest fapt cu o pictogramă sau verbal. Dacă nu există deloc puncte staționare, atunci tragem o concluzie scrisă că acestea sunt absente. În orice caz, acest articol nu poate fi omis!
– Explorarea zonei de frontieră. În primul rând, este avantajos să se ocupe de linii drepte care sunt paralele cu axele de coordonate (Dacă există). Sunt evidențiate și valorile funcției calculate în punctele „suspecte”. S-au spus multe despre tehnica soluției de mai sus și mai jos se va spune altceva - citiți, recitiți, aprofundați!
- Din numerele selectate, selectați cele mai mari și cele mai mici valori și dați un răspuns. Uneori se întâmplă ca funcția să atingă astfel de valori în mai multe puncte deodată - în acest caz, toate aceste puncte ar trebui să fie reflectate în răspuns. Să, de exemplu, 
și s-a dovedit că aceasta este cea mai mică valoare. Apoi scriem asta
Exemplele finale sunt dedicate altor idei utile care vor fi utile în practică:
Exemplul 4
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă 
.
Vă reamintesc că cu neliniară am întâlnit inegalități pe , iar dacă nu înțelegeți semnificația geometrică a intrării, atunci vă rugăm să nu amânați și să clarificați situația chiar acum ;-)
Decizie, ca întotdeauna, începe cu construcția zonei, care este un fel de „talpă”: 
Hmm, uneori trebuie să roade nu numai granitul științei....
I) Găsiți puncte staționare: 
Sistemul de vis al idiotului :) 
Punctul staționar aparține regiunii, și anume, se află la limita sa.
Și așa, nu este nimic... lecția distractivă a mers - asta înseamnă să bei ceaiul potrivit =)
II) Investigam granița regiunii. Fără alte prelungiri, să începem cu axa x:
1) Dacă , atunci
Aflați unde este vârful parabolei:
- Apreciați astfel de momente - „loviți” până la obiect, din care totul este deja clar. Dar nu uitați să verificați: 
Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului: 
2) Ne vom ocupa de partea inferioară a „tălpii” „într-o singură ședință” - fără complexe, o înlocuim în funcție, în plus, ne va interesa doar segmentul:
Controlul:
Acum, acest lucru aduce deja o oarecare revigorare călătoriei monotone pe o pistă moletă. Să găsim punctele critice:
Noi decidem ecuație pătratică iti amintesti de asta? ... Totuși, amintiți-vă, desigur, altfel nu ați fi citit aceste rânduri =) Dacă în cele două exemple anterioare calculele în fracții zecimale erau convenabile (ceea ce, apropo, este rar), atunci aici așteptăm fracții obișnuite. Găsim rădăcinile „x” și, folosind ecuația, determinăm coordonatele „joc” corespunzătoare punctelor „candidate”: 
Să calculăm valorile funcției în punctele găsite: 
Verificați singur funcția.
Acum studiem cu atenție trofeele câștigate și notăm Răspuns:
Iată „candidații”, deci „candidații”!
Pentru o soluție de sine stătătoare:
Exemplul 5
Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții 
într-o zonă închisă 
O intrare cu acolade arată astfel: „un set de puncte astfel încât”.
Uneori, în astfel de exemple ei folosesc Metoda multiplicatorului Lagrange, dar nevoia reală de a-l folosi este puțin probabil să apară. Deci, de exemplu, dacă este dată o funcție cu aceeași zonă "de", atunci după substituție în ea - cu o derivată fără dificultăți; în plus, totul este întocmit într-o „o singură linie” (cu semne) fără a fi nevoie să se ia în considerare separat semicercurile superioare și inferioare. Dar, desigur, există cazuri mai complicate, în care fără funcția Lagrange (unde, de exemplu, este aceeași ecuație de cerc) e greu să te descurci – cât de greu este să te descurci fără o odihnă bună!
Toate cele bune pentru a trece de sesiune și ne vedem în curând în sezonul viitor!
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 2: Decizie: desenați zona pe desen:
Declarația problemei 2:
Dată o funcție care este definită și continuă pe un anumit interval. Este necesar să se găsească cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției pe acest interval.
Baza teoretica.
Teorema (a doua teoremă Weierstrass):
Dacă o funcție este definită și continuă într-un interval închis, atunci ea își atinge valorile maxime și minime în acest interval.
Funcția își poate atinge valorile maxime și minime fie în punctele interne ale intervalului, fie la limitele acestuia. Să ilustrăm toate opțiunile posibile. 
Explicaţie:
1) Funcția își atinge valoarea maximă pe marginea stângă a intervalului în punctul , iar valoarea sa minimă pe marginea dreaptă a intervalului în punctul .
2) Funcția își atinge valoarea maximă în punct (acesta este punctul maxim) și valoarea sa minimă la limita dreaptă a intervalului în punct.
3) Funcția își atinge valoarea maximă pe marginea stângă a intervalului în punctul , iar valoarea sa minimă în punctul (acesta este punctul minim).
4) Funcția este constantă pe interval, adică. își atinge valorile minime și maxime în orice punct al intervalului, iar valorile minime și maxime sunt egale între ele.
5) Funcția își atinge valoarea maximă în punctul , iar valoarea sa minimă în punct (în ciuda faptului că funcția are atât un maxim, cât și un minim pe acest interval).
6) Funcția atinge valoarea maximă într-un punct (acesta este punctul maxim), iar valoarea sa minimă într-un punct (acesta este punctul minim).
Cometariu:
„Maximă” și „valoare maximă” sunt lucruri diferite. Aceasta rezultă din definiția maximului și înțelegerea intuitivă a expresiei „valoare maximă”.
Algoritm pentru rezolvarea problemei 2.
4) Alegeți dintre valorile obținute cea mai mare (mai mică) și notați răspunsul.
Exemplul 4:
Determinați cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții 
pe segment.
Decizie:
1) Aflați derivata funcției. 
2) Găsiți puncte staționare (și puncte care sunt suspecte de un extremum) rezolvând ecuația . Acordați atenție punctelor în care nu există o derivată finită cu două fețe. 
3) Calculați valorile funcției în punctele staționare și la limitele intervalului.
4) Alegeți dintre valorile obținute cea mai mare (mai mică) și notați răspunsul.
Funcția de pe acest segment atinge valoarea maximă în punctul cu coordonatele .
Funcția de pe acest segment atinge valoarea minimă în punctul cu coordonatele .
Puteți verifica corectitudinea calculelor privind graficul funcției studiate. 
Cometariu: Funcția atinge valoarea maximă în punctul maxim, iar valoarea minimă la limita segmentului.
Caz special.
Să presupunem că doriți să găsiți valoarea maximă și minimă a unei funcții pe un segment. După executarea primului paragraf al algoritmului, i.e. calculul derivatului, devine clar că, de exemplu, ia doar valori negative pe întregul segment luat în considerare. Amintiți-vă că dacă derivata este negativă, atunci funcția este descrescătoare. Am constatat că funcția este în scădere pe întreg intervalul. Această situație este prezentată în graficul nr. 1 de la începutul articolului.
Funcția scade pe interval, adică. nu are puncte extreme. Din imagine se poate observa că funcția va lua cea mai mică valoare pe marginea dreaptă a segmentului și cea mai mare valoare în stânga. dacă derivata pe interval este peste tot pozitivă, atunci funcția este în creștere. Cea mai mică valoare este pe marginea din stânga a segmentului, cea mai mare este în dreapta.
