Similar cu inversele în multe proprietăți.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Cum să găsiți matricea inversă - bezbotvy

✪ Matrice inversă (2 moduri de a găsi)

✪ Matrice inversă #1

✪ 28-01-2015. Matrice inversă 3x3

✪ 27-01-2015. Matrice inversă 2x2

Subtitrări

Proprietățile matricei inverse

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Unde det (\displaystyle \ \det ) denotă un determinant.
• (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pentru două matrici inversabile pătrate A (\displaystyle A)și B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Unde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denotă matricea transpusă.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pentru orice coeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\nu =0).
• E - 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, (b este un vector diferit de zero) unde x (\displaystyle x) este vectorul dorit, iar dacă A - 1 (\displaystyle A^(-1)) există, atunci x = A - 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există deloc.

Modalități de a găsi matricea inversă

Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi inversul matricei, puteți utiliza una dintre următoarele metode:

Metode exacte (directe).

metoda Gauss-Jordan

Să luăm două matrice: el însuși A si singura E. Să aducem matricea A la matricea de identitate prin metoda Gauss-Jordan aplicând transformări în rânduri (puteți aplica și transformări în coloane, dar nu într-un mix). După aplicarea fiecărei operații la prima matrice, aplicați aceeași operație la a doua. Când se finalizează reducerea primei matrice la forma de identitate, a doua matrice va fi egală cu A -1.

Când se folosește metoda Gauss, prima matrice va fi înmulțită de la stânga cu una dintre matricele elementare Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecție sau diagonal matrice cu cele pe diagonala principală, cu excepția unei poziții):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A - 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

A doua matrice după aplicarea tuturor operațiilor va fi egală cu Λ (\displaystyle \Lambda ), adică va fi cea dorită. Complexitatea algoritmului - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Folosind matricea adunărilor algebrice

Matrice Matrice inversă A (\displaystyle A), reprezintă sub formă

A - 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Unde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice  atașată ;

Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²) O det .

Folosind descompunerea LU/LUP

Ecuația matriceală A X = eu n (\displaystyle AX=I_(n)) pentru matrice inversă X (\displaystyle X) poate fi privit ca o colecție n (\displaystyle n) sisteme de formă A x = b (\displaystyle Ax=b). Denota i (\displaystyle i)-a coloană a matricei X (\displaystyle X) prin X i (\displaystyle X_(i)); apoi A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),în măsura în care i (\displaystyle i)-a coloană a matricei eu n (\displaystyle I_(n)) este vectorul unitar e i (\displaystyle e_(i)). cu alte cuvinte, găsirea matricei inverse se reduce la rezolvarea n ecuații cu aceeași matrice și părți din dreapta diferite. După rularea expansiunii LUP (timp O(n³)), fiecare dintre cele n ecuații are nevoie de timp O(n²) pentru a se rezolva, astfel încât această parte a lucrării necesită și timp O(n³).

Dacă matricea A este nesingulară, atunci putem calcula descompunerea LUP pentru ea PA = L U (\displaystyle PA=LU). Lasa PA = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Apoi, din proprietățile matricei inverse, putem scrie: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Dacă înmulțim această egalitate cu U și L, atunci putem obține două egalități de formă U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))și D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prima dintre aceste egalități este un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) dintre care se cunosc laturile din dreapta (din proprietăţile matricelor triunghiulare). Al doilea este, de asemenea, un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) dintre care se cunosc laturile din dreapta (tot din proprietatile matricelor triunghiulare). Împreună formează un sistem de n² egalități. Folosind aceste egalități, putem determina recursiv toate n² elemente ale matricei D. Apoi din egalitatea (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obținem egalitatea A - 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

În cazul utilizării descompunerii LU, nu este necesară nicio permutare a coloanelor matricei D, dar soluția poate diverge chiar dacă matricea A este nesingulară.

Complexitatea algoritmului este O(n³).

Metode iterative

Metodele Schultz

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),),\\U_()) k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimarea erorii

Alegerea aproximării inițiale

Problema alegerii aproximării inițiale în procesele de inversare iterativă a matricei luate în considerare aici nu ne permite să le tratăm ca metode universale independente care concurează cu metodele de inversare directă bazate, de exemplu, pe descompunerea LU a matricelor. Există câteva recomandări pentru alegere U 0 (\displaystyle U_(0)), asigurând îndeplinirea condiţiei ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (raza spectrală a matricei este mai mică decât unitatea), ceea ce este necesar și suficient pentru convergența procesului. Totuși, în acest caz, în primul rând, este necesar să se cunoască de mai sus estimarea pentru spectrul matricei inversabile A sau a matricei A A T (\displaystyle AA^(T))(și anume, dacă A este o matrice definită pozitivă simetrică și ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), atunci poți lua U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Unde ; dacă A este o matrice nesingulară arbitrară și ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), atunci să presupunem U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), unde de asemenea α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Desigur, situația poate fi simplificată și, folosind faptul că ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), a pune U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). În al doilea rând, cu o astfel de specificare a matricei inițiale, nu există nicio garanție că ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) va fi mic (poate chiar ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), iar o rată de convergență de ordin ridicat nu va fi imediat evidentă.

Exemple

Matrice 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

Inversarea unei matrice 2x2 este posibilă numai cu condiția ca a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

În prima parte a fost luată în considerare o metodă de găsire a matricei inverse folosind adunări algebrice. Aici descriem o altă metodă de găsire a matricilor inverse: folosind transformările Gauss și Gauss-Jordan. Adesea, această metodă de găsire a matricei inverse se numește metoda transformărilor elementare.

Metoda transformărilor elementare

Pentru a aplica această metodă, matricea dată $A$ și matricea de identitate $E$ sunt scrise într-o singură matrice, adică. formează o matrice de forma $(A|E)$ (această matrice se mai numește și matrice extinsă). După aceea, cu ajutorul transformărilor elementare efectuate cu rândurile matricei extinse, matricea din stânga liniei devine unitate, iar matricea extinsă ia forma $\left(E| A^(-1) \right )$. Transformările elementare în această situație includ următoarele acțiuni:

1. Înlocuirea a două linii.
2. Înmulțirea tuturor elementelor unui șir cu un număr diferit de zero.
3. Adăugarea elementelor unui rând a elementelor corespunzătoare ale altui rând, înmulțite cu orice factor.

Aceste transformări elementare pot fi aplicate în diferite moduri. De obicei, se alege metoda Gauss sau metoda Gauss-Jordan. În general, metodele Gauss și Gauss-Jordan sunt destinate rezolvării sistemelor de ecuații algebrice liniare, și nu găsirii de matrici inverse. Expresia „aplicarea metodei Gauss pentru a găsi inversul unei matrice” ar trebui înțeleasă aici ca „aplicarea operațiilor inerente metodei Gauss pentru a găsi inversul unei matrice”.

Numerotarea exemplelor a continuat din prima parte. În exemple se ia în considerare utilizarea metodei Gauss pentru găsirea matricei inverse, iar în exemple se analizează utilizarea metodei Gauss-Jordan. Trebuie remarcat faptul că dacă în timpul rezolvării toate elementele unui rând sau coloană a matricei situate înaintea liniei sunt setate la zero, atunci matricea inversă nu există.

Exemplul #5

Găsiți matricea $A^(-1)$ dacă $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( array )\dreapta)$.

În acest exemplu, matricea inversă va fi găsită folosind metoda Gaussiană. Matricea augmentată, care este în general $(A|E)$, în acest exemplu ia următoarea formă: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Scop: folosind transformări elementare, aduceți matricea augmentată la forma $\left(E|A^(-1) \right)$. Aplicam aceleasi operatii care sunt folosite in rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare prin metoda Gauss. Pentru a aplica metoda Gaussiană, este convenabil când primul element al primului rând al matricei extinse este unul. Pentru a realiza acest lucru, schimbăm primul și al treilea rând al matricei extinse, care devine: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(array) \right)$.

Acum să ajungem la soluție. Metoda Gauss este împărțită în două etape: înainte și înapoi (o descriere detaliată a acestei metode pentru rezolvarea sistemelor de ecuații este dată în exemplele subiectului corespunzător). Aceeași doi pași vor fi aplicați în procesul de găsire a matricei inverse.

lovitură înainte

Primul pas

Cu ajutorul primului rând, resetăm elementele primei coloane situate sub primul rând:

Să comentez puțin ce am făcut. Notația $II-2\cdot I$ înseamnă că elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite anterior cu două, au fost scăzute din elementele celui de-al doilea rând. Această acțiune poate fi scrisă separat, după cum urmează:

Acțiunea $III-7\cdot I$ se realizează exact în același mod. Dacă există dificultăți în efectuarea acestor operații, acestea pot fi efectuate separat (în mod similar cu acțiunea $II-2\cdot I$ prezentată mai sus), iar rezultatul este apoi introdus în matricea extinsă.

Al doilea pas

Cu ajutorul celei de-a doua linii, resetam elementul celei de-a doua coloane, situat sub a doua linie:

Împărțiți a treia linie la 5:

Cursa dreaptă s-a terminat. Toate elementele situate sub diagonala principală a matricei până la linie au fost resetate la zero.

Verso

Primul pas

Cu ajutorul celui de-al treilea rând, resetăm elementele coloanei a treia situate deasupra celui de-al treilea rând:

Înainte de a trece la pasul următor, împărțiți a doua linie cu $7$:

Al doilea pas

Cu ajutorul celei de-a doua linii, resetăm elementele coloanei a doua situate deasupra celei de-a doua linii:

Transformările sunt finalizate, matricea inversă se găsește prin metoda Gaussiană: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \ \ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end(array) \right)$. Verificarea, dacă este necesar, se poate face în același mod ca în exemplele anterioare. Dacă sări peste toate explicațiile, atunci soluția va lua forma:

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 și -27/5 \end(array) \right)$.

Exemplul #6

Găsiți matricea $A^(-1)$ dacă $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end(array) \right)$.

Pentru a găsi matricea inversă în acest exemplu, vom folosi aceleași operații care sunt utilizate în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss. Sunt date explicații detaliate, dar aici ne limităm la comentarii scurte. Să scriem matricea augmentată: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(array) \right)$. Schimbați primul și al patrulea rând din această matrice: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$.

lovitură înainte

Transformările de rulare înainte sunt finalizate. Toate elementele situate sub diagonala principală a matricei din stânga liniei sunt setate la zero.

Verso

Gaussian invers găsit, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & - 117/ 16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \ end( matrice)\dreapta)$. Verificarea, dacă este necesar, se efectuează în același mod ca în exemplele nr. 2 și nr. 3.

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end(array) \ dreapta)$.

Exemplul #7

Găsiți matricea $A^(-1)$ dacă $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( array )\dreapta)$.

Pentru a găsi matricea inversă, aplicăm operațiile caracteristice metodei Gauss-Jordan. Diferența față de metoda Gaussiană, luată în considerare în exemplele anterioare și , este că soluția se realizează într-o singură etapă. Permiteți-mi să vă reamintesc că metoda Gauss este împărțită în 2 etape: mișcarea înainte („facem” zerouri sub diagonala principală a matricei către bară) și mișcarea inversă (resetăm elementele deasupra diagonalei principale a matricei). la bar). Pentru a calcula matricea inversă prin metoda Gauss-Jordan, nu sunt necesare două etape de soluție. Mai întâi, să facem o matrice augmentată: $(A|E)$:

$$ (A|E)=\left(\begin(array) (ccc|ccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & ​​​​-2 &0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Primul pas

Setați toate elementele primei coloane la zero, cu excepția unuia. În prima coloană, toate elementele sunt diferite de zero, așa că putem alege orice element. Luați, de exemplu, $(-4)$:

Elementul selectat $(-4)$ se află în al treilea rând, așa că folosim al treilea rând pentru a elimina elementele selectate din prima coloană:

Să facem ca primul element al celui de-al treilea rând să fie egal cu unul. Pentru a face acest lucru, împărțim elementele celui de-al treilea rând al matricei extinse la $(-4)$:

Acum să începem să reducem la zero elementele corespunzătoare din prima coloană:

În pașii următori nu se va mai putea folosi a treia linie, deoarece am aplicat-o deja în primul pas.

Al doilea pas

Să alegem un element diferit de zero din a doua coloană și să setăm toate celelalte elemente din a doua coloană la zero. Putem alege oricare dintre două elemente: $\frac(11)(2)$ sau $\frac(39)(4)$. Elementul $\left(-\frac(5)(4) \right)$ nu poate fi selectat deoarece se află pe a treia linie, pe care am folosit-o în pasul anterior. Să selectăm elementul $\frac(11)(2)$, care se află în prima linie. Să schimbăm $\frac(11)(2)$ cu unul din prima linie:

Acum să setăm elementele corespunzătoare din a doua coloană la zero:

În continuarea raționamentului, prima linie nu poate fi folosită.

Al treilea pas

Este necesar să resetați toate elementele celei de-a treia coloane, cu excepția uneia. Trebuie să alegem un element diferit de zero din a treia coloană. Cu toate acestea, nu putem lua $\frac(6)(11)$ sau $\frac(13)(11)$ deoarece acele elemente sunt în prima și a treia linie pe care le-am folosit mai devreme. Alegerea este mică: rămâne doar elementul $\frac(2)(11)$, care se află pe a doua linie. Împărțiți toate elementele celei de-a doua linii la $\frac(2)(11)$:

Acum să setăm elementele corespunzătoare din a treia coloană la zero:

Transformările prin metoda Gauss-Jordan sunt finalizate. Rămâne doar să facem ca matricea până la linie să devină unitate. Pentru a face acest lucru, trebuie să schimbați ordinea liniilor. Mai întâi, schimbați prima și a treia linie:

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end(array) \right) $$

Acum să schimbăm a doua și a treia linie:

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right) $$

Deci $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right)$. Desigur, soluția poate fi realizată într-un mod diferit, alegând elementele de pe diagonala principală. De obicei, acest lucru este exact ceea ce fac, pentru că în acest caz, la sfârșitul soluției, liniile nu vor trebui schimbate. Am dat soluția anterioară doar cu un singur scop: să arăt că alegerea unui rând la fiecare pas nu este fundamentală. Dacă alegem elemente diagonale la fiecare pas, atunci soluția va fi următoarea.

Matrix Algebra - Matrice inversă

matrice inversă

matrice inversă Se numește o matrice care, atunci când este înmulțită atât la dreapta cât și la stânga cu o matrice dată, dă matricea de identitate.
Se notează matricea inversă matricei DAR prin , apoi conform definiției obținem:

Unde E este matricea identitară.
matrice pătrată numit nespecială (nedegenerat) dacă determinantul său nu este egal cu zero. Altfel, se numește special (degenerat) sau singular.

Există o teoremă: fiecare matrice nesingulară are o matrice inversă.

Operația de găsire a matricei inverse se numește recurs matrici. Luați în considerare algoritmul de inversare a matricei. Fie dată o matrice nesingulară n-a comanda:

unde Δ = det A ≠ 0.

Complement element algebric matrici n-a comanda DAR determinantul matricei ( n–1)-a ordin obținut prin ștergere i-a linia și j-a coloană a matricei DAR:

Să creăm un așa-zis atașat matrice:

unde sunt complementele algebrice ale elementelor corespondente ale matricei DAR.
Rețineți că complementele algebrice ale elementelor rând ale matricei DAR sunt plasate în coloanele corespunzătoare ale matricei à , adică matricea este transpusă simultan.
Împărțirea tuturor elementelor matricei à pe Δ - valoarea determinantului matricei DAR, obținem matricea inversă ca rezultat:

Remarcăm o serie de proprietăți speciale ale matricei inverse:
1) pentru o matrice dată DAR matricea sa inversă este singurul;
2) dacă există o matrice inversă, atunci dreapta inversăși stânga inversă matricele coincid cu acesta;
3) o matrice pătrată specială (degenerată) nu are o matrice inversă.

Principalele proprietăți ale matricei inverse:
1) determinantul matricei inverse și determinantul matricei originale sunt reciproce;
2) matricea inversă a produsului matricelor pătrate este egală cu produsul matricelor inverse a factorilor, luate în ordine inversă:

3) matricea inversă transpusă este egală cu matricea inversă din matricea transpusă dată:

EXEMPLU Calculați inversul matricei celui dat.

Metode de găsire a matricei inverse, . Luați în considerare o matrice pătrată

Notați Δ = det A.

Matricea pătrată A se numește nedegenerat, sau nespecială dacă determinantul său este diferit de zero și degenerat, sau special, dacăΔ = 0.

O matrice pătrată B există pentru o matrice pătrată A de același ordin dacă produsul lor A B = B A = E, unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricele A și B.

Teorema . Pentru ca matricea A să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca determinantul său să fie diferit de zero.

Matrice inversă față de matricea A, notată cu A- 1 deci B = A - 1 și se calculează prin formula

, (1)

unde А i j - complemente algebrice ale elementelor a i j ale matricei A..

Calcularea A -1 prin formula (1) pentru matrice de ordin înalt este foarte laborioasă, așa că în practică este convenabil să găsiți A -1 folosind metoda transformărilor elementare (EP). Orice matrice nesingulară A poate fi redusă prin EP numai coloanelor (sau numai rândurilor) la matricea de identitate E. Dacă EP-urile perfecte peste matricea A sunt aplicate în aceeași ordine matricei de identitate E, atunci rezultatul este o matrice inversă. Este convenabil să se efectueze un EP pe matricele A și E simultan, scriind ambele matrici una lângă alta prin linie. Observăm încă o dată că la căutarea formei canonice a unei matrice, pentru a o găsi, se pot folosi transformări de rânduri și coloane. Dacă trebuie să găsiți matricea inversă, ar trebui să utilizați numai rânduri sau numai coloane în procesul de transformare.

Exemplul 2.10. Pentru matrice găsiți A-1.

Decizie.Găsim mai întâi determinantul matricei A
deci matricea inversă există și o putem găsi prin formula: , unde A i j (i,j=1,2,3) - complemente algebrice ale elementelor a i j ale matricei originale.

Unde .

Exemplul 2.11. Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 pentru matricea: A=.

Decizie.Atribuim o matrice de identitate de aceeași ordine matricei originale din dreapta: . Cu ajutorul transformărilor elementare de coloane, reducem „jumătatea” din stânga la cea de identitate, efectuând simultan exact astfel de transformări pe matricea din dreapta.
Pentru a face acest lucru, schimbați prima și a doua coloană: ~ . Adăugăm primul la a treia coloană, iar primul înmulțit cu -2 la a doua: . Din prima coloană scadem secunda dublată, iar din a treia - a doua înmulțită cu 6; . Să adăugăm a treia coloană la prima și a doua: . Înmulțiți ultima coloană cu -1: . Matricea pătrată obținută în dreapta barei verticale este matricea inversă matricei date A. Deci,
.

Matricea $A^(-1)$ se numește inversul matricei pătrate $A$ dacă $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, unde $E $ este matricea de identitate, a cărei ordine este egală cu ordinea matricei $A$.

O matrice nesingulară este o matrice al cărei determinant nu este egal cu zero. În consecință, o matrice degenerată este una al cărei determinant este egal cu zero.

Matricea inversă $A^(-1)$ există dacă și numai dacă matricea $A$ este nesingulară. Dacă matricea inversă $A^(-1)$ există, atunci este unică.

Există mai multe moduri de a găsi inversul unei matrice și ne vom uita la două dintre ele. Această pagină va discuta despre metoda matricei adjuncte, care este considerată standard în majoritatea cursurilor superioare de matematică. A doua modalitate de a găsi matricea inversă (metoda transformărilor elementare), care implică utilizarea metodei Gauss sau a metodei Gauss-Jordan, este considerată în partea a doua.

Metoda matricei adjuncte (unirii).

Fie dată matricea $A_(n\times n)$. Pentru a găsi matricea inversă $A^(-1)$ sunt necesari trei pași:

1. Găsiți determinantul matricei $A$ și asigurați-vă că $\Delta A\neq 0$, i.e. că matricea A este nedegenerată.
2. Compuneți complementele algebrice $A_(ij)$ ale fiecărui element al matricei $A$ și scrieți matricea $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ din rezultatul găsit. complemente algebrice.
3. Scrieți matricea inversă ținând cont de formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matricea $(A^(*))^T$ este adesea denumită matrice adjunctă (mutuală, aliată) a lui $A$.

Dacă decizia este luată manual, atunci prima metodă este bună numai pentru matrici de ordine relativ mici: a doua (), a treia (), a patra (). Pentru a găsi matricea inversă pentru o matrice de ordin superior, se folosesc alte metode. De exemplu, metoda Gauss, care este discutată în partea a doua.

Exemplul #1

Găsiți matricea inversă la matricea $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(matrice) \right)$.

Deoarece toate elementele coloanei a patra sunt egale cu zero, atunci $\Delta A=0$ (adică matricea $A$ este degenerată). Deoarece $\Delta A=0$, nu există o matrice inversă cu $A$.

Exemplul #2

Găsiți matricea inversă matricei $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Folosim metoda matricei adiacente. Mai întâi, să găsim determinantul matricei date $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Deoarece $\Delta A \neq 0$, atunci matricea inversă există, deci continuăm soluția. Găsirea complementelor algebrice

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Compuneți o matrice de complemente algebrice: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transpuneți matricea rezultată: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (cel rezultat matricea este adesea numită matrice adjunctă sau de unire la matricea $A$). Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, avem:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Deci matricea inversă se găsește: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \dreapta) $. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A^(-1)\cdot A=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ dar ca $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ sfârşit(matrice)\dreapta)$:

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Exemplul #3

Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Să începem prin a calcula determinantul matricei $A$. Deci, determinantul matricei $A$ este:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Deoarece $\Delta A\neq 0$, atunci matricea inversă există, deci continuăm soluția. Găsim complementele algebrice ale fiecărui element din matricea dată:

Compunem o matrice de adunări algebrice și o transpunem:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, obținem:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Deci $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A\cdot A^(-1)=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, dar ca $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Verificarea a fost trecută cu succes, matricea inversă $A^(-1)$ a fost găsită corect.

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Exemplul #4

Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(matrice) \right)$.

Pentru o matrice de ordinul al patrulea, găsirea matricei inverse folosind adunări algebrice este oarecum dificilă. Totuși, astfel de exemple se găsesc în lucrările de control.

Pentru a găsi matricea inversă, mai întâi trebuie să calculați determinantul matricei $A$. Cel mai bun mod de a face acest lucru în această situație este extinderea determinantului într-un rând (coloană). Selectăm orice rând sau coloană și găsim complementul algebric al fiecărui element din rândul sau coloana selectată.