Instruire

Videoclipuri asemănătoare

Notă

Când se calculează laturile unui triunghi dreptunghic, cunoașterea caracteristicilor acestuia poate juca:
1) Dacă catetul unui unghi drept este opus unui unghi de 30 de grade, atunci este egal cu jumătate din ipotenuză;
2) Ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât oricare dintre catete;
3) Dacă un cerc este circumscris unui triunghi dreptunghic, atunci centrul său trebuie să se afle în mijlocul ipotenuzei.

Ipotenuza este latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade. Pentru a-i calcula lungimea este suficient să cunoaștem lungimea unuia dintre catete și valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite ale triunghiului.

Instruire

Anunțați-ne unul dintre picioare și unghiul adiacent acestuia. Pentru certitudine, să fie piciorul |AB| și unghiul α. Apoi putem folosi formula pentru raportul cosinus - cosinus trigonometric al catetei adiacente la. Acestea. în notația noastră cos α = |AB| / |AC|. De aici obținem lungimea ipotenuzei |AC| = |AB| / cosα.
Dacă cunoaștem piciorul |BC| si unghiul α, atunci folosim formula de calcul a sinusului unghiului - sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus fata de ipotenuza: sin α = |BC| / |AC|. Obținem că lungimea ipotenuzei se găsește ca |AC| = |BC| / cosα.

Pentru claritate, luați în considerare un exemplu. Fie lungimea piciorului |AB| = 15. Iar unghiul α = 60°. Obținem |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Luați în considerare cum puteți verifica rezultatul folosind teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm lungimea celui de-al doilea segment |BC|. Folosind formula tangentei unghiului tg α = |BC| / |AC|, obținem |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Apoi, aplicăm teorema lui Pitagora, obținem 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Verificarea este făcută.

Sfaturi utile

După calcularea ipotenuzei, verificați dacă valoarea rezultată satisface teorema lui Pitagora.

Surse:

• Tabelul numerelor prime de la 1 la 10000

Picioarele nume două laturile scurte triunghi dreptunghic, constituind cel al vârfului său, a cărui valoare este de 90 °. A treia latură a unui astfel de triunghi se numește ipotenuză. Toate aceste laturi și unghiuri ale triunghiului sunt interconectate prin anumite relații care vă permit să calculați lungimea piciorului dacă sunt cunoscuți mai mulți alți parametri.

Instruire

Utilizați teorema lui Pitagora pentru catetul (A) dacă cunoașteți lungimea celorlalte două laturi (B și C) ale triunghiului dreptunghic. Această teoremă afirmă că suma lungimilor catetelor la pătrat este egală cu pătratul ipotenuzei. De aici rezultă că lungimea fiecărui catete este egală cu rădăcina pătrată a lungimii ipotenuzei și a celui de-al doilea catet: A=√(C²-B²).

Utilizați definiția funcției trigonometrice directe „sinus” pentru un unghi ascuțit, dacă cunoașteți valoarea unghiului (α) opus catetei calculate și lungimea ipotenuzei (C). Aceasta afirmă că sinusul acestui cunoscut este raportul dintre lungimea catetei dorite și lungimea ipotenuzei. Aceasta este că lungimea catetei dorite este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și sinusul unghiului cunoscut: A=C∗sin(α). Pentru aceleași valori cunoscute, puteți folosi cosecanta și calcula lungimea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la cosecanta unghiului cunoscut A=C/cosec(α).

Utilizați definiția funcției cosinus trigonometric direct dacă, pe lângă lungimea ipotenuzei (C), se cunoaște și valoarea unghiului ascuțit (β) adiacent celui cerut. Cosinusul acestui unghi este raportul dintre lungimile catetei dorite și ale ipotenuzei, iar din aceasta putem concluziona că lungimea catetei este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și cosinusul unghiului cunoscut: A=C∗cos(β). Puteți folosi definiția funcției secante și calcula valoarea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la secantei unghiului cunoscut A=C/sec(β).

Deduceți formula necesară dintr-o definiție similară pentru derivata funcției trigonometrice tangente, dacă, în plus față de valoarea unghiului ascuțit (α) situat opus catetului dorit (A), lungimea celui de-al doilea catet (B) este cunoscut. Tangenta unghiului opus catetei dorite este raportul dintre lungimea acestui picior și lungimea celui de-al doilea picior. Aceasta înseamnă că valoarea dorită va fi egală cu produsul dintre lungimea catetei cunoscute și tangentei unghiului cunoscut: A=B∗tg(α). Din aceleași cantități cunoscute, poate fi derivată o altă formulă folosind definiția funcției cotangente. În acest caz, pentru a calcula lungimea piciorului, va fi necesar să se găsească raportul dintre lungimea piciorului cunoscut și cotangentei unghiului cunoscut: A=B/ctg(α).

Videoclipuri asemănătoare

Cuvântul „katet” a venit în rusă din greacă. În traducere exactă, înseamnă un plumb, adică perpendicular pe suprafața pământului. În matematică, catetele sunt numite laturi care formează un unghi drept al unui triunghi dreptunghic. Latura opusă acestui unghi se numește ipotenuză. Termenul „picior” este folosit și în arhitectură și tehnologia de sudare.

Secanta acestui unghi se obține prin împărțirea ipotenuzei la catetul adiacent, adică secCAB=c/b. Rezultă reciproca cosinusului, adică poate fi exprimată prin formula secCAB=1/cosSAB.
Cosecanta este egală cu câtul împărțirii ipotenuzei la catetul opus și este reciproca sinusului. Poate fi calculat folosind formula cosecCAB=1/sinCAB

Ambele picioare sunt interconectate și cotangente. În acest caz, tangenta va fi raportul dintre latura a și latura b, adică piciorul opus celui alăturat. Acest raport poate fi exprimat prin formula tgCAB=a/b. În consecință, raportul invers va fi cotangenta: ctgCAB=b/a.

Raportul dintre dimensiunile ipotenuzei și ambele picioare a fost determinat de grecul antic Pitagora. Teorema, numele lui, oamenii încă o folosesc. Se spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, adică c2 \u003d a2 + b2. În consecință, fiecare catete va fi egal cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catete. Această formulă poate fi scrisă ca b=√(c2-a2).

Lungimea piciorului poate fi exprimată și prin relațiile pe care le cunoașteți. Conform teoremelor sinusurilor și cosinusurilor, catetul este egal cu produsul ipotenuzei și una dintre aceste funcții. Îl poți exprima și sau cotangent. Piciorul a poate fi găsit, de exemplu, prin formula a \u003d b * tan CAB. Exact în același mod, în funcție de tangenta dată sau , se determină a doua catenă.

În arhitectură se folosește și termenul „picior”. Se aplică pe un capitel ionic și trece prin mijlocul spatelui. Adică, în acest caz, prin acest termen, perpendiculara pe dreapta dată.

În tehnologia de sudare, există o „picior de sudură în unghi”. Ca și în alte cazuri, aceasta este distanța cea mai scurtă. Aici vorbim despre decalajul dintre una dintre piesele care trebuie sudate la marginea cusăturii situată pe suprafața celeilalte părți.

Videoclipuri asemănătoare

Surse:

• care este catetul și ipotenuza în 2019

Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine aceste, la prima vedere, concepte complexe (care provoacă o stare de groază la mulți școlari), și să ne asigurăm că „diavolul nu este atât de înfricoșător precum este pictat”, să începem de la bun început și să înțelegem conceptul de unghi.

Conceptul de unghi: radian, grad

Să ne uităm la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi injecţie.

Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, unități de unghi, desigur!

Unghiul, atât în ​​geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.

Unghiul de (un grad) este unghiul central al cercului, bazat pe un arc de cerc egal cu partea cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal.

Adică, figura de mai sus arată un unghi care este egal, adică acest unghi se bazează pe un arc de cerc de dimensiunea circumferinței.

Un unghi în radiani este un unghi central într-un cerc, bazat pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, ai inteles? Dacă nu, atunci să ne uităm la imagine.

Deci, figura arată un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se bazează pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza este egală cu lungimea arcului). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:

Unde este unghiul central în radiani.

Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani conține un unghi descris de un cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferința unui cerc. Iat-o:

Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să obținem că unghiul descris de cerc este egal. Adică, corelând valoarea în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.

Câți radiani sunt? Asta e corect!

Am înţeles? Apoi fixați înainte:

Orice dificultăți? Atunci uite răspunsuri:

Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangenta, cotangenta unui unghi

Deci, cu conceptul de unghi deslușit. Dar care este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi? Să ne dăm seama. Pentru aceasta, un triunghi dreptunghic ne va ajuta.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuza și catetele: ipotenuza este latura care se află opus unghiului drept (în exemplul nostru, aceasta este latura); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele care sunt adiacente unghiului drept), în plus, dacă luăm în considerare picioarele față de unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este cel opus. Deci, acum să răspundem la întrebarea: care sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

în triunghiul nostru.

Cosinusul unui unghi- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

în triunghiul nostru.

Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul opus (departe) și cel adiacent (închis).

în triunghiul nostru.

Cotangenta unui unghi- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

în triunghiul nostru.

Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a vă ușura să vă amintiți ce picior să împărțiți la ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăși cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusuluiși cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

cosinus→ating→ating→adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, este necesar să ne amintim că sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta ca rapoarte ale laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la un unghi). Nu crede? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi: , dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi: . Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegeți definițiile, atunci mergeți mai departe și remediați-le!

Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsim.

Ei bine, ai primit-o? Atunci încearcă și tu: calculează același lucru pentru colț.

Cerc unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur. Este foarte util în studiul trigonometriei. Prin urmare, ne oprim asupra ei mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la origine, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).

Fiecare punct al cercului corespunde a două numere: coordonatele de-a lungul axei și coordonatele de-a lungul axei. Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiular deoarece este perpendicular pe axa.

Ce este egal cu dintr-un triunghi? Asta e corect. În plus, știm că este raza cercului unitar și, prin urmare, . Înlocuiți această valoare în formula cosinusului. Iată ce se întâmplă:

Și ce este egal cu dintr-un triunghi? Ei bine, desigur,! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:

Deci, poți să-mi spui care sunt coordonatele unui punct care aparține cercului? Ei bine, în niciun caz? Și dacă realizezi asta și sunt doar numere? Cu ce ​​coordonata corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Cu ce ​​coordonata corespunde? Așa e, coordonează! Astfel, punctul.

Și atunci ce sunt egale și? Așa este, să folosim definițiile adecvate ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? Iată, de exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: un unghi (ca adiacent unui unghi). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonata; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații sunt aplicabile oricăror rotații ale vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită dimensiune, dar numai că va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că o întreagă revoluție a vectorului rază în jurul cercului este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază cu sau cu? Ei bine, bineînțeles că poți! Prin urmare, în primul caz, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.

În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția sau.

Astfel, din exemplele de mai sus, putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată un unghi. Aceeași imagine corespunde colțului și așa mai departe. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise cu formula generală sau (unde este orice număr întreg)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți cu ce sunt egale valorile:

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Orice dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri ale unghiului. Ei bine, să începem în ordine: colțul la corespunde unui punct cu coordonate, prin urmare:

Nu exista;

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

Nu exista

Nu exista

Nu exista

Nu exista

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor din și, prezentate în tabelul de mai jos, trebuie amintit:

Nu vă fie teamă, acum vă vom arăta unul dintre exemple memorarea destul de simplă a valorilor corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri ale unghiului (), precum și valoarea tangentei unghiului în. Cunoscând aceste valori, este destul de ușor să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „ ” se va potrivi și numitorul „ ” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile prezentate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți întreaga valoare din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?

Ei bine, bineînțeles că poți! Să scoatem formula generala pentru aflarea coordonatelor unui punct.

Aici, de exemplu, avem un astfel de cerc:

Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să găsiți coordonatele punctului obținute prin rotirea punctului cu grade.

După cum se poate observa din figură, coordonatele punctului corespund lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală cu. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

Apoi avem asta pentru punctul coordonata.

După aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. Prin urmare,

Deci, în termeni generali, coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

Coordonatele centrului cercului,

raza cercului,

Unghiul de rotație al vectorului rază.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt zero, iar raza este egală cu unu:

Ei bine, hai să încercăm aceste formule pentru un gust, exersând găsirea punctelor pe un cerc?

1. Găsiți coordonatele unui punct pe un cerc unitar obținute prin pornirea unui punct.

2. Aflați coordonatele unui punct pe un cerc unitar obținute prin rotirea unui punct pe.

3. Găsiți coordonatele unui punct pe un cerc unitar obținute prin pornirea unui punct.

4. Punct - centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

5. Punct - centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?

Rezolvați aceste cinci exemple (sau înțelegeți bine soluția) și veți învăța cum să le găsiți!

1.

Se vede că. Și știm ce corespunde cu o întoarcere completă a punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele dorite ale punctului:

2. Cercul este o unitate cu un centru într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Se vede că. Știm ce corespunde la două rotații complete ale punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele dorite ale punctului:

Sinusul și cosinusul sunt valori tabelare. Ne amintim valorile lor și obținem:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

3. Cercul este o unitate cu un centru într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Se vede că. Să descriem exemplul considerat în figură:

Raza formează unghiuri cu axa egale cu și. Știind că valorile tabelare ale cosinusului și sinusului sunt egale și după ce am stabilit că cosinusul aici ia o valoare negativă, iar sinusul este pozitiv, avem:

Exemple similare sunt analizate mai detaliat atunci când se studiază formulele de reducere a funcțiilor trigonometrice din subiect.

Astfel, punctul dorit are coordonate.

4.

Unghiul de rotație al vectorului rază (în funcție de condiție)

Pentru a determina semnele corespunzătoare de sinus și cosinus, construim un cerc unitar și un unghi:

După cum puteți vedea, valoarea, adică este pozitivă, iar valoarea, adică este negativă. Cunoscând valorile tabulare ale funcțiilor trigonometrice corespunzătoare, obținem că:

Să substituim valorile obținute în formula noastră și să găsim coordonatele:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

5. Pentru a rezolva această problemă, folosim formule în formă generală, unde

Coordonatele centrului cercului (în exemplul nostru,

Raza cercului (după condiție)

Unghiul de rotație al vectorului rază (după condiție).

Înlocuiți toate valorile în formulă și obțineți:

și - valorile tabelului. Le amintim și le înlocuim în formula:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

Tangenta unui unghi este raportul dintre catelul opus (departe) și cel adiacent (închis).

Cotangenta unui unghi este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

Una dintre ramurile matematicii cu care școlarii fac față celor mai mari dificultăți este trigonometria. Nu e de mirare: pentru a stăpâni liber această zonă de cunoaștere, aveți nevoie de gândire spațială, abilitatea de a găsi sinusuri, cosinus, tangente, cotangente folosind formule, simplifica expresii și puteți utiliza numărul pi în calcule. În plus, trebuie să fiți capabil să aplicați trigonometria atunci când demonstrați teoreme, iar acest lucru necesită fie o memorie matematică dezvoltată, fie capacitatea de a deduce lanțuri logice complexe.

Originile trigonometriei

Cunoașterea acestei științe ar trebui să înceapă cu definirea sinusului, cosinusului și tangentei unghiului, dar mai întâi trebuie să vă dați seama ce face trigonometria în general.

Din punct de vedere istoric, triunghiurile dreptunghiulare au fost principalul obiect de studiu în această secțiune a științei matematice. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurii luate în considerare folosind două laturi și un unghi sau două unghiuri și o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să-l folosească în mod activ în construcția de clădiri, navigație, astronomie și chiar artă.

Primul stagiu

Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi exclusiv pe exemplul triunghiurilor dreptunghiulare. Apoi au fost descoperite formule speciale care au făcut posibilă extinderea limitelor de utilizare în viața de zi cu zi a acestei secțiuni de matematică.

Studiul trigonometriei la școală începe astăzi cu triunghiuri dreptunghiulare, după care cunoștințele dobândite sunt folosite de elevii la fizică și rezolvarea de ecuații trigonometrice abstracte, lucru cu care începe în liceu.

Trigonometrie sferică

Mai târziu, când știința a ajuns la următorul nivel de dezvoltare, formulele cu sinus, cosinus, tangentă, cotangentă au început să fie folosite în geometria sferică, unde se aplică reguli diferite, iar suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar este necesar să știm despre existența ei, cel puțin pentru că suprafața pământului, precum și suprafața oricărei alte planete, este convexă, ceea ce înseamnă că orice marcaj de suprafață va fi „în formă de arc” în spatiu tridimensional.

Luați globul și ata. Atașați firul la oricare două puncte de pe glob, astfel încât să fie întins. Atenție - a căpătat forma unui arc. Cu astfel de forme se ocupă geometria sferică, care este folosită în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate.

Triunghi dreptunghic

După ce am învățat puțin despre modalitățile de utilizare a trigonometriei, să revenim la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ce sunt sinus, cosinus, tangentă, ce calcule pot fi efectuate cu ajutorul lor și ce formule să folosiți.

Primul pas este să înțelegem conceptele legate de un triunghi dreptunghic. În primul rând, ipotenuza este latura opusă unghiului de 90 de grade. Ea este cea mai lungă. Ne amintim că, conform teoremei lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumei pătratelor celorlalte două laturi.

De exemplu, dacă două laturi au 3 și respectiv 4 centimetri, lungimea ipotenuzei va fi de 5 centimetri. Apropo, egiptenii antici știau despre asta acum aproximativ patru mii și jumătate de ani.

Cele două laturi rămase care formează un unghi drept se numesc picioare. În plus, trebuie să ne amintim că suma unghiurilor dintr-un triunghi dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular este de 180 de grade.

Definiție

În cele din urmă, cu o înțelegere solidă a bazei geometrice, ne putem întoarce la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi.

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (adică, latura opusă unghiului dorit) și ipotenuză. Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Amintiți-vă că nici sinus, nici cosinus nu pot fi mai mari decât unu! De ce? Deoarece ipotenuza este implicit cea mai lungă. Indiferent cât de lung este catetul, acesta va fi mai scurt decât ipotenuza, ceea ce înseamnă că raportul lor va fi întotdeauna mai mic de unu. Astfel, dacă obțineți un sinus sau cosinus cu o valoare mai mare decât 1 în răspunsul la problemă, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este clar greșit.

În cele din urmă, tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Același rezultat va da împărțirea sinusului la cosinus. Uite: conform formulei, împărțim lungimea laturii la ipotenuză, după care împărțim cu lungimea celei de-a doua laturi și înmulțim cu ipotenuză. Astfel, obținem același raport ca în definiția tangentei.

Cotangenta, respectiv, este raportul dintre latura adiacentă colțului și latura opusă. Același rezultat îl obținem împărțind unitatea la tangentă.

Deci, am luat în considerare definițiile a ceea ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă și ne putem ocupa de formule.

Cele mai simple formule

În trigonometrie, nu se poate face fără formule - cum să găsești sinus, cosinus, tangentă, cotangentă fără ele? Și exact acest lucru este necesar atunci când rezolvați probleme.

Prima formulă pe care trebuie să o știți când începeți să studiați trigonometria spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este egală cu unu. Această formulă este o consecință directă a teoremei lui Pitagora, dar economisește timp dacă vrei să cunoști valoarea unghiului, nu a laturii.

Mulți elevi nu își pot aminti a doua formulă, care este, de asemenea, foarte populară atunci când rezolvă probleme școlare: suma lui unu și pătratul tangentei unui unghi este egală cu unul împărțit la pătratul cosinusului unghiului. Aruncă o privire mai atentă: la urma urmei, aceasta este aceeași afirmație ca în prima formulă, doar ambele părți ale identității au fost împărțite la pătratul cosinusului. Se dovedește că o simplă operație matematică face formula trigonometrică complet de nerecunoscut. Amintiți-vă: știind ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, regulile de conversie și câteva formule de bază, puteți oricând să obțineți în mod independent formulele mai complexe necesare pe o foaie de hârtie.

Formule cu unghi dublu și adăugare de argumente

Încă două formule pe care trebuie să le învățați sunt legate de valorile sinusului și cosinusului pentru suma și diferența unghiurilor. Ele sunt prezentate în figura de mai jos. Vă rugăm să rețineți că în primul caz, sinusul și cosinusul sunt înmulțite de ambele ori, iar în al doilea, produsul pe perechi dintre sinus și cosinus se adaugă.

Există și formule asociate cu argumente cu unghi dublu. Sunt complet derivate din cele anterioare - ca practică, încercați să le obțineți singur, luând unghiul alfa egal cu unghiul beta.

În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi convertite pentru a scădea gradul de sinus, cosinus, tangentă alfa.

Teoreme

Cele două teoreme principale în trigonometrie de bază sunt teorema sinusului și teorema cosinusului. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta și, prin urmare, aria figurii și dimensiunea fiecărei laturi etc.

Teorema sinusului afirmă că, în urma împărțirii lungimii fiecăreia dintre laturile triunghiului la valoarea unghiului opus, obținem același număr. Mai mult, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică cercul care conține toate punctele triunghiului dat.

Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora, proiectând-o pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi, scădeți produsul lor înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent acestora - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia laturi. Astfel, teorema lui Pitagora se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.

Greșeli din cauza neatenției

Chiar și știind ce sunt sinus, cosinus și tangentă, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii sau a unei erori în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, să facem cunoștință cu cele mai populare dintre ele.

În primul rând, nu trebuie să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale până când nu se obține rezultatul final - puteți lăsa răspunsul ca o fracție obișnuită, cu excepția cazului în care condiția indică altfel. O astfel de transformare nu poate fi numită o greșeală, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a problemei pot apărea noi rădăcini, care, după ideea autorului, ar trebui reduse. În acest caz, veți pierde timpul cu operații matematice inutile. Acest lucru este valabil mai ales pentru valori precum rădăcina lui trei sau doi, deoarece acestea apar în sarcini la fiecare pas. Același lucru este valabil și pentru rotunjirea numerelor „urâte”.

Mai mult, rețineți că teorema cosinusului se aplică oricărui triunghi, dar nu teorema lui Pitagora! Dacă uitați din greșeală să scădeți de două ori produsul laturilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar veți demonstra și o neînțelegere completă a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală neglijentă.

În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiuri de 30 și 60 de grade pentru sinusuri, cosinus, tangente, cotangente. Amintiți-vă aceste valori, deoarece sinusul de 30 de grade este egal cu cosinusul lui 60 și invers. Este ușor să le amesteci, în urma căruia vei obține inevitabil un rezultat eronat.

Aplicație

Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să studieze trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul aplicat al acesteia. Ce este sinusul, cosinusul, tangenta pentru un inginer sau astronom? Acestea sunt concepte datorită cărora puteți calcula distanța până la stelele îndepărtate, puteți prezice căderea unui meteorit, puteți trimite o sondă de cercetare pe o altă planetă. Fără ele, este imposibil să construiești o clădire, să proiectezi o mașină, să calculezi sarcina pe suprafață sau traiectoria unui obiect. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.

In cele din urma

Deci ești sinus, cosinus, tangentă. Le puteți folosi în calcule și rezolva cu succes problemele școlare.

Întreaga esență a trigonometriei se rezumă la faptul că parametrii necunoscuți trebuie să fie calculați din parametrii cunoscuți ai triunghiului. Există șase parametri în total: lungimile a trei laturi și mărimile a trei unghiuri. Întreaga diferență a sarcinilor constă în faptul că sunt date diferite date de intrare.

Cum să găsiți sinusul, cosinusul, tangenta pe baza lungimii cunoscute ale catetelor sau ipotenuzei, acum știți. Deoarece acești termeni nu înseamnă nimic mai mult decât un raport, iar un raport este o fracție, scopul principal al problemei trigonometrice este de a găsi rădăcinile unei ecuații obișnuite sau ale unui sistem de ecuații. Și aici vei fi ajutat de matematica școlară obișnuită.

În viață, de multe ori trebuie să ne confruntăm cu probleme de matematică: la școală, la universitate și apoi ne ajutăm copilul la teme. Oamenii cu anumite profesii vor întâlni matematica zilnic. Prin urmare, este utilă memorarea sau reamintirea regulilor matematice. În acest articol, vom analiza una dintre ele: găsirea catetei unui triunghi dreptunghic.

Ce este un triunghi dreptunghic

În primul rând, să ne amintim ce este un triunghi dreptunghic. Un triunghi dreptunghic este o figură geometrică din trei segmente care leagă puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă, iar unul dintre unghiurile acestei figuri este de 90 de grade. Laturile care formează un unghi drept se numesc catete, iar latura care se află opusă unghiului drept se numește ipotenuză.

Găsirea catetei unui triunghi dreptunghic

Există mai multe moduri de a afla lungimea piciorului. Aș dori să le iau în considerare mai detaliat.

Teorema lui Pitagora pentru a afla catetul unui triunghi dreptunghic

Dacă cunoaștem ipotenuza și catetul, atunci putem afla lungimea catetului necunoscut folosind teorema lui Pitagora. Sună așa: „Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.” Formula: c²=a²+b², unde c este ipotenuza, a și b sunt catetele. Transformăm formula și obținem: a²=c²-b².

Exemplu. Ipotenuza este de 5 cm, iar cateta este de 3 cm. Transformăm formula: c²=a²+b² → a²=c²-b². În continuare, decidem: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Relații trigonometrice pentru a găsi catetul unui triunghi dreptunghic

De asemenea, este posibil să găsiți un catet necunoscut dacă sunt cunoscute orice altă latură și orice unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic. Există patru opțiuni pentru găsirea catetei folosind funcții trigonometrice: după sinus, cosinus, tangentă, cotangentă. Pentru a rezolva problemele, tabelul de mai jos ne va ajuta. Să luăm în considerare aceste opțiuni.

Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind sinusul

Sinusul unui unghi (sin) este raportul dintre catetul opus și ipotenuză. Formula: sin \u003d a / c, unde a este catetul opus unghiului dat și c este ipotenuza. În continuare, transformăm formula și obținem: a=sin*c.

Exemplu. Ipotenuza este de 10 cm iar unghiul A este de 30 de grade. Conform tabelului, calculăm sinusul unghiului A, acesta este egal cu 1/2. Apoi, folosind formula transformată, rezolvăm: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind cosinus

Cosinusul unui unghi (cos) este raportul catetei adiacente la ipotenuză. Formula: cos \u003d b / c, unde b este catetul adiacent unghiului dat și c este ipotenuza. Să transformăm formula și să obținem: b=cos*c.

Exemplu. Unghiul A este de 60 de grade, ipotenuza este de 10 cm. Conform tabelului, calculăm cosinusul unghiului A, acesta este egal cu 1/2. În continuare, rezolvăm: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind tangenta

Tangenta unui unghi (tg) este raportul dintre catetul opus față de cel alăturat. Formula: tg \u003d a / b, unde a este piciorul opus colțului și b este adiacent. Să transformăm formula și să obținem: a=tg*b.

Exemplu. Unghiul A are 45 de grade, ipotenuza este de 10 cm. Conform tabelului, calculăm tangenta unghiului A, este egală cu Rezolvați: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind cotangente

Cotangenta unui unghi (ctg) este raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus. Formula: ctg \u003d b / a, unde b este piciorul adiacent colțului și este opus. Cu alte cuvinte, cotangenta este „tangenta inversată”. Se obține: b=ctg*a.

Exemplu. Unghiul A este de 30 de grade, piciorul opus este de 5 cm. Conform tabelului, tangenta unghiului A este √3. Calculați: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Deci, acum știi cum să găsești piciorul într-un triunghi dreptunghic. După cum puteți vedea, nu este atât de dificil, principalul lucru este să vă amintiți formulele.

Care este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi vă va ajuta să înțelegeți un triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuza și catetele: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru, aceasta este latura \ (AC \) ); picioarele sunt cele două laturi rămase \ (AB \) și \ (BC \) (cele care sunt adiacente unghiului drept), în plus, dacă luăm în considerare picioarele față de unghiul \ (BC \) , atunci catetul \ (AB \) este piciorul adiacent, iar piciorul \ (BC \) este opus. Deci, acum să răspundem la întrebarea: care sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unui unghi- acesta este raportul dintre catetul opus (departe) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinusul unui unghi- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul opus (departe) și cel adiacent (închis).

În triunghiul nostru:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangenta unui unghi- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

În triunghiul nostru:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a vă ușura să vă amintiți ce picior să împărțiți la ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăși cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusuluiși cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

cosinus→ating→ating→adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, este necesar să ne amintim că sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta ca rapoarte ale laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la un unghi). Nu crede? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unghiului \(\beta \) . Prin definiție, dintr-un triunghi \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), dar putem calcula cosinusul unghiului \(\beta \) din triunghiul \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegeți definițiile, atunci mergeți mai departe și remediați-le!

Pentru triunghiul \(ABC \) , prezentat în figura de mai jos, găsim \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghiul \(\beta \) .

Raspunsuri: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Cerc unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grad și radian, am considerat un cerc cu raza egală cu \ (1 \) . Un astfel de cerc se numește singur. Este foarte util în studiul trigonometriei. Prin urmare, ne oprim asupra ei mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la origine, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei \(x \) (în exemplul nostru, acesta este raza \(AB \) ).

Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonata de-a lungul axei \(x \) și coordonata de-a lungul axei \(y \) . Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Se consideră triunghiul \(ACG \) . Este dreptunghiular deoarece \(CG \) este perpendicular pe axa \(x \).

Ce este \(\cos \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Asta e corect \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). În plus, știm că \(AC \) este raza cercului unitar, deci \(AC=1 \) . Înlocuiți această valoare în formula cosinusului. Iată ce se întâmplă:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Și ce este \(\sin \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Ei bine, desigur, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Înlocuiți valoarea razei \ (AC \) în această formulă și obțineți:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Deci, puteți să-mi spuneți care sunt coordonatele punctului \(C \) , care aparține cercului? Ei bine, în niciun caz? Dar dacă îți dai seama că \(\cos \ \alpha \) și \(\sin \alpha \) sunt doar numere? Cu ce ​​coordonată corespunde \(\cos \alpha \)? Ei bine, desigur, coordonata \(x \) ! Și cărei coordonate corespunde \(\sin \alpha \)? Așa este, coordonata \(y \)! Deci ideea \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Ce sunt atunci \(tg \alpha \) și \(ctg \alpha \)? Așa este, să folosim definițiile adecvate ale tangentei și cotangentei și să obținem asta \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? Iată, de exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Considerăm un triunghi dreptunghic \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : un unghi (ca adiacent unghiului \(\beta \) ). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrice) \)

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei \ (y \) ; valoarea cosinusului unghiului - coordonata \ (x \) ; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații sunt aplicabile oricăror rotații ale vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei \(x \). Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită dimensiune, dar numai că va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că întreaga revoluție a vectorului rază în jurul cercului este \(360()^\circ \) sau \(2\pi \) . Este posibil să rotiți vectorul rază cu \(390()^\circ \) sau cu \(-1140()^\circ \)? Ei bine, bineînțeles că poți! În primul caz, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), astfel încât vectorul rază va face o rotație completă și se va opri la \(30()^\circ \) sau \(\dfrac(\pi )(6) \) .

În al doilea caz, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția \(-60()^\circ \) sau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Astfel, din exemplele de mai sus, putem concluziona că unghiurile care diferă cu \(360()^\circ \cdot m \) sau \(2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg ) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată unghiul \(\beta =-60()^\circ \) . Aceeași imagine corespunde colțului \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise cu formula generală \(\beta +360()^\circ \cdot m\) sau \(\beta +2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți cu ce sunt egale valorile:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Orice dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(matrice) \)

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri ale unghiului. Ei bine, să începem în ordine: colțul înăuntru \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corespunde unui punct cu coordonatele \(\left(0;1 \right) \) , prin urmare:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- nu exista;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile în \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corespund punctelor cu coordonate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dreapta) \), respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- nu exista

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- nu exista

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- nu exista

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nu exista

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Trebuie să vă amintiți sau să puteți scoate!! \) !}

Și aici sunt valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) prezentate în tabelul de mai jos, trebuie să vă amintiți:

Nu trebuie să vă sperii, acum vom arăta unul dintre exemplele de memorare destul de simplă a valorilor corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), precum și valoarea tangentei unghiului în \(30()^\circ \) . Cunoscând aceste \(4\) valori, este destul de ușor să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(matrice) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)știind acest lucru, este posibil să restabiliți valorile pentru \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Numătorul „\(1 \) ” se va potrivi cu \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , iar numitorul „\(\sqrt(\text(3)) \) ” se va potrivi cu \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile prezentate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți schema cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți numai valorile \(4 \) din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsim un punct (coordonatele lui) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza și unghiul de rotație al acestuia? Ei bine, bineînțeles că poți! Să derivăm o formulă generală pentru a găsi coordonatele unui punct. Aici, de exemplu, avem un astfel de cerc:

Ni se dă acel punct \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) este centrul cercului. Raza cercului este \(1,5 \) . Este necesar să se găsească coordonatele punctului \(P \) obținute prin rotirea punctului \(O \) cu \(\delta \) grade.

După cum se poate observa din figură, coordonata \ (x \) a punctului \ (P \) corespunde lungimii segmentului \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Lungimea segmentului \ (UK \) corespunde coordonatei \ (x \) a centrului cercului, adică este egală cu \ (3 \) . Lungimea segmentului \(KQ \) poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Atunci avem că pentru punctul \(P \) coordonata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

După aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punctul \(P\) . Prin urmare,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Deci, în termeni generali, coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matrice) \), Unde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonatele centrului cercului,

\(r\) - raza cercului,

\(\delta \) - unghiul de rotație al razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt zero, iar raza este egală cu unu:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!