Instruire

Înainte de a începe demonstrația, asigurați-vă că liniile se află în același plan și că pot fi desenate pe el. Cea mai simplă metodă de demonstrare este metoda de măsurare cu o riglă. Pentru a face acest lucru, utilizați o riglă pentru a măsura distanța dintre liniile drepte în mai multe locuri cât mai îndepărtate. Dacă distanța rămâne aceeași, liniile date sunt paralele. Dar această metodă nu este suficient de precisă, așa că este mai bine să folosiți alte metode.

Desenați o a treia linie astfel încât să intersecteze ambele linii paralele. Formează cu ele patru colțuri exterioare și patru interioare. Luați în considerare colțurile interioare. Cele care se află prin linia secantă sunt numite încrucișate. Cele care stau pe o parte sunt numite unilaterale. Folosind un raportor, măsurați cele două colțuri diagonale interioare. Dacă sunt egale, atunci liniile vor fi paralele. Dacă aveți îndoieli, măsurați unghiurile interioare unilaterale și adăugați valorile rezultate. Liniile vor fi paralele dacă suma unghiurilor interioare unilaterale este egală cu 180º.

Dacă nu aveți un raportor, utilizați un pătrat de 90º. Folosiți-l pentru a construi o perpendiculară pe una dintre linii. După aceea, continuați această perpendiculară în așa fel încât să intersecteze o altă linie. Folosind același pătrat, verificați în ce unghi o intersectează această perpendiculară. Dacă și acest unghi este egal cu 90º, atunci liniile sunt paralele între ele.

În cazul în care liniile sunt date în sistemul de coordonate carteziene, găsiți ghidajele lor sau vectorii normali. Dacă acești vectori sunt, respectiv, coliniari între ei, atunci liniile sunt paralele. Aduceți ecuația dreptelor într-o formă generală și găsiți coordonatele vectorului normal al fiecăreia dintre drepte. Coordonatele sale sunt egale cu coeficienții A și B. În cazul în care raportul coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor normali este același, acestea sunt coliniare, iar liniile sunt paralele.

De exemplu, liniile drepte sunt date de ecuațiile 4x-2y+1=0 și x/1=(y-4)/2. Prima ecuație este de formă generală, a doua este canonică. Aduceți a doua ecuație într-o formă generală. Utilizați regula de conversie proporțională pentru aceasta și veți ajunge la 2x=y-4. După reducerea la o formă generală, obțineți 2x-y + 4 = 0. Deoarece ecuația generală pentru orice dreaptă se scrie Ax + Vy + C = 0, atunci pentru prima linie: A = 4, B = 2, iar pentru a doua linie A = 2, B = 1. Pentru prima coordonată directă a vectorului normal (4;2), iar pentru a doua - (2;1). Aflați raportul dintre coordonatele corespunzătoare ale vectorilor normali 4/2=2 și 2/1=2. Aceste numere sunt egale, ceea ce înseamnă că vectorii sunt coliniari. Deoarece vectorii sunt coliniari, liniile sunt paralele.

Acest articol este despre linii paralele și despre linii paralele. În primul rând, este dată definiția dreptelor paralele în plan și în spațiu, este introdusă notația, sunt date exemple și ilustrații grafice ale dreptelor paralele. În continuare, sunt analizate semnele și condițiile de paralelism ale dreptelor. În concluzie, sunt prezentate soluții pentru probleme tipice de demonstrare a paralelismului dreptelor, care sunt date de unele ecuații ale unei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan și în spațiu tridimensional.

Navigare în pagină.

Linii paralele - informații de bază.

Definiție.

Se numesc două drepte dintr-un plan paralel dacă nu au puncte comune.

Definiție.

Se numesc două linii în trei dimensiuni paralel dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Rețineți că clauza „dacă se află în același plan” din definiția dreptelor paralele în spațiu este foarte importantă. Să lămurim acest punct: două drepte în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele, ci sunt oblice.

Iată câteva exemple de linii paralele. Marginile opuse ale foii de caiet se află pe linii paralele. Liniile drepte de-a lungul cărora planul peretelui casei intersectează planurile tavanului și podelei sunt paralele. Căile ferate pe teren plan pot fi, de asemenea, considerate linii paralele.

Simbolul „” este folosit pentru a desemna linii paralele. Adică, dacă liniile a și b sunt paralele, atunci puteți scrie pe scurt a b.

Rețineți că dacă liniile a și b sunt paralele, atunci putem spune că linia a este paralelă cu linia b și, de asemenea, că linia b este paralelă cu linia a.

Să exprimăm o afirmație care joacă un rol important în studiul dreptelor paralele în plan: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această afirmație este acceptată ca fapt (nu poate fi demonstrată pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei) și se numește axioma dreptelor paralele.

Pentru cazul spațiului, teorema este adevărată: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă poate fi demonstrată cu ușurință folosind axioma de mai sus a dreptelor paralele (demonstrația ei o puteți găsi în manualul de geometrie clasa 10-11, care este enumerată la sfârșitul articolului în bibliografie).

Pentru cazul spațiului, teorema este adevărată: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă se demonstrează cu ușurință folosind axioma dreptelor paralele prezentată mai sus.

Paralelismul liniilor - semne și condiții de paralelism.

Un semn de linii paralele este o condiție suficientă pentru liniile paralele, adică o astfel de condiție, a cărei îndeplinire garantează linii paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a afirma faptul că liniile sunt paralele.

Există, de asemenea, condiții necesare și suficiente pentru liniile paralele în plan și în spațiul tridimensional.

Să explicăm sensul expresiei „condiție necesară și suficientă pentru linii paralele”.

Ne-am ocupat deja de condiția suficientă pentru liniile paralele. Și care este „condiția necesară pentru linii paralele”? Prin denumirea de „necesar” este clar că îndeplinirea acestei condiții este necesară pentru ca liniile să fie paralele. Cu alte cuvinte, dacă nu este îndeplinită condiția necesară pentru liniile paralele, atunci liniile nu sunt paralele. Prin urmare, condiție necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele este o condiție a cărei îndeplinire este atât necesară, cât și suficientă pentru liniile paralele. Adică, pe de o parte, acesta este un semn al liniilor paralele și, pe de altă parte, aceasta este o proprietate pe care o au liniile paralele.

Înainte de a afirma condiția necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele, este util să amintim câteva definiții auxiliare.

linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre cele două drepte non-coincidente date.

La intersecția a două linii ale unei secante se formează opt nedesfășurate. Asa numitul culcat în cruce, corespunzătorși colțuri unilaterale. Să le arătăm pe desen.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt intersectate de o secantă, atunci pentru paralelismul lor este necesar și suficient ca unghiurile transversale să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 de grade.

Să arătăm o ilustrare grafică a acestei condiții necesare și suficiente pentru drepte paralele în plan.

Poți găsi dovezi ale acestor condiții pentru linii paralele în manualele de geometrie pentru clasele 7-9.

Rețineți că aceste condiții pot fi utilizate și în spațiul tridimensional - principalul lucru este că cele două linii și secanta se află în același plan.

Iată câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra paralelismul liniilor.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici rezultă din axioma dreptelor paralele.

Există o condiție similară pentru liniile paralele în spațiul tridimensional.

Teorema.

Dacă două linii din spațiu sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici este luată în considerare la lecțiile de geometrie din clasa a 10-a.

Să ilustrăm teoremele vocale.

Să mai dăm o teoremă care ne permite să demonstrăm paralelismul dreptelor în plan.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Există o teoremă similară pentru liniile din spațiu.

Teorema.

Dacă două drepte din spațiul tridimensional sunt perpendiculare pe același plan, atunci ele sunt paralele.

Să desenăm imagini corespunzătoare acestor teoreme.

Toate teoremele formulate mai sus, semnele și condițiile necesare și suficiente sunt perfect potrivite pentru demonstrarea paralelismului dreptelor prin metode de geometrie. Adică, pentru a demonstra paralelismul a două drepte date, este necesar să se arate că acestea sunt paralele cu a treia dreaptă sau să se arate egalitatea unghiurilor încrucișate etc. Multe dintre aceste probleme sunt rezolvate la orele de geometrie din liceu. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că în multe cazuri este convenabil să se folosească metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor într-un plan sau în spațiul tridimensional. Să formulăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor care sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

Paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

În această secțiune a articolului, vom formula condiţii necesare şi suficiente pentru liniile paraleleîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuații care determină aceste drepte, și vom oferi și soluții detaliate la probleme tipice.

Să începem cu condiția de paralelism a două drepte pe plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy . Dovada lui se bazează pe definiția vectorului de direcție al dreptei și definiția vectorului normal al dreptei pe plan.

Teorema.

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele într-un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorii normali ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorul de direcție al unei linii să fie perpendicular pe normal vector al celei de-a doua linii.

Evident, condiția de paralelism a două drepte în plan se reduce la (vectori de direcție ai dreptelor sau vectori normali ai liniilor) sau la (vector de direcție a unei linii și vector normal a celei de-a doua linii). Astfel, dacă și sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b și și sunt vectorii normali ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci condiția necesară și suficientă pentru liniile paralele a și b poate fi scrisă ca , sau , sau , unde t este un număr real. La rândul lor, coordonatele vectorilor de direcție și (sau) normali ai dreptelor a și b se găsesc din ecuațiile cunoscute ale dreptelor.

În special, dacă linia a în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan definește ecuația generală a dreptei de forma , iar linia dreaptă b - , atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și respectiv, iar condiția de paralelism a dreptelor a și b se va scrie ca .

Dacă linia dreaptă a corespunde ecuaţiei dreptei cu coeficientul de pantă al formei . Prin urmare, dacă liniile drepte pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt paralele și pot fi date prin ecuații de drepte cu coeficienți de pantă, atunci coeficienții de pantă ai dreptelor vor fi egali. Și invers: dacă liniile drepte necoincidente pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pot fi date de ecuațiile unei drepte cu coeficienți egali de pantă, atunci astfel de drepte sunt paralele.

Dacă linia a și linia b într-un sistem de coordonate dreptunghiular definesc ecuațiile canonice ale dreptei pe planul formei și , sau ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan al formei și respectiv, atunci vectorii de direcție ai acestor drepte au coordonatele și , iar condiția de paralelism pentru liniile a și b se scrie ca .

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

Exemplu.

Sunt liniile paralele? și ?

Decizie.

Rescriem ecuația unei linii drepte în segmente sub forma unei ecuații generale a unei linii drepte: . Acum putem vedea că este vectorul normal al dreptei , și este vectorul normal al dreptei. Acești vectori nu sunt coliniari, deoarece nu există un număr real t pentru care egalitatea ( ). În consecință, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe plan nu este îndeplinită, prin urmare, dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns:

Nu, liniile nu sunt paralele.

Exemplu.

Sunt drepte și paralele?

Decizie.

Aducem ecuația canonică a unei drepte la ecuația unei drepte cu pantă: . Evident, ecuațiile dreptelor și nu sunt aceleași (în acest caz, dreptele date ar fi aceleași) și pantele dreptelor sunt egale, prin urmare, liniile inițiale sunt paralele.

A doua soluție.

Mai întâi, să arătăm că liniile originale nu coincid: luați orice punct al dreptei, de exemplu, (0, 1) , coordonatele acestui punct nu satisfac ecuația dreptei, prin urmare, liniile nu coincid. Acum să verificăm îndeplinirea condiției de paralelism a acestor linii. Vectorul normal al dreptei este vectorul, iar vectorul de direcție al dreptei este vectorul. Să calculăm și: . În consecință, vectorii și sunt perpendiculari, ceea ce înseamnă că este îndeplinită condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor date. Deci liniile sunt paralele.

Răspuns:

Liniile date sunt paralele.

Pentru a demonstra paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu tridimensional, se utilizează următoarea condiție necesară și suficientă.

Teorema.

Pentru ca liniile necoincidente să fie paralele în spațiul tridimensional, este necesar și suficient ca vectorii lor de direcție să fie coliniari.

Astfel, dacă sunt cunoscute ecuațiile liniilor dintr-un sistem de coordonate dreptunghiulare în spațiul tridimensional și trebuie să răspundeți la întrebarea dacă aceste drepte sunt paralele sau nu, atunci trebuie să găsiți coordonatele vectorilor de direcție ai acestor drepte și să verificați îndeplinirea condiţiei de coliniaritate a vectorilor de direcţie. Cu alte cuvinte, dacă și - vectorii de direcție ai liniilor drepte o linii date au coordonate și . La fel de , apoi . Astfel, este îndeplinită condiția necesară și suficientă pentru ca două drepte să fie paralele în spațiu. Aceasta dovedește paralelismul liniilor și .

Bibliografie.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Clasele 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 de liceu.
• Pogorelov A.V., Geometrie. Manual pentru clasele 7-11 ale instituțiilor de învățământ.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

În acest articol, vom vorbi despre linii paralele, vom da definiții, vom desemna semnele și condițiile paralelismului. Pentru claritatea materialului teoretic, vom folosi ilustrații și soluția de exemple tipice.

Definiția 1

Linii paralele în plan sunt două drepte în plan care nu au puncte comune.

Definiția 2

Linii paralele în spațiul 3D- două drepte în spațiu tridimensional care se află în același plan și nu au puncte comune.

De remarcat că, pentru a determina drepte paralele în spațiu, clarificarea „în același plan” este extrem de importantă: două drepte în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralel, dar care se intersectează.

Pentru a desemna drepte paralele, este obișnuit să folosiți simbolul ∥ . Adică, dacă dreptele date a și b sunt paralele, această condiție trebuie scrisă pe scurt după cum urmează: a ‖ b . Verbal, paralelismul dreptelor este indicat astfel: liniile a și b sunt paralele, sau linia a este paralelă cu dreapta b sau linia b este paralelă cu dreapta a.

Să formulăm o afirmație care joacă un rol important în tema studiată.

Axiomă

Printr-un punct care nu aparține unei drepte date, există doar o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată. Această afirmație nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei.

În cazul când vine vorba de spațiu, teorema este adevărată:

Teorema 1

Prin orice punct din spațiu care nu aparține unei linii date, va exista doar o singură dreaptă paralelă cu cea dată.

Această teoremă este ușor de demonstrat pe baza axiomei de mai sus (program de geometrie pentru clasele 10-11).

Semnul paralelismului este o condiție suficientă în care sunt garantate liniile paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a confirma faptul paralelismului.

În special, există condiții necesare și suficiente pentru paralelismul liniilor în plan și în spațiu. Să explicăm: necesar înseamnă condiția a cărei îndeplinire este necesară pentru liniile paralele; dacă nu este satisfăcut, liniile nu sunt paralele.

Rezumând, o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul liniilor este o astfel de condiție, a cărei respectare este necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele între ele. Pe de o parte, acesta este un semn de paralelism, pe de altă parte, o proprietate inerentă liniilor paralele.

Înainte de a da o formulare precisă a condițiilor necesare și suficiente, amintim încă câteva concepte suplimentare.

Definiția 3

linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre cele două drepte necoincidente date.

Intersectând două linii drepte, secantele formează opt unghiuri neexpandate. Pentru a formula condiția necesară și suficientă, vom folosi tipuri de unghiuri precum încrucișate, corespondente și unilaterale. Să le demonstrăm în ilustrație:

Teorema 2

Dacă două drepte dintr-un plan intersectează o secante, atunci pentru ca dreptele date să fie paralele este necesar și suficient ca unghiurile transversale să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 grade.

Să ilustrăm grafic condiția necesară și suficientă pentru drepte paralele pe plan:

Dovada acestor condiții este prezentă în programul de geometrie pentru clasele 7-9.

În general, aceste condiții sunt aplicabile și pentru spațiul tridimensional, cu condiția ca cele două drepte și secanta să aparțină aceluiași plan.

Să mai subliniem câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra faptul că dreptele sunt paralele.

Teorema 3

Într-un plan, două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele. Această caracteristică este dovedită pe baza axiomei paralelismului menționată mai sus.

Teorema 4

În spațiul tridimensional, două linii paralele cu o a treia sunt paralele între ele.

Dovada atributului este studiată în cadrul programului de geometrie de clasa a X-a.

Oferim o ilustrare a acestor teoreme:

Să mai indicăm încă o pereche de teoreme care dovedesc paralelismul dreptelor.

Teorema 5

Într-un plan, două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele între ele.

Să formulăm unul similar pentru un spațiu tridimensional.

Teorema 6

În spațiul tridimensional, două linii perpendiculare pe o a treia sunt paralele între ele.

Să ilustrăm:

Toate teoremele, semnele și condițiile de mai sus fac posibilă demonstrarea comodă a paralelismului dreptelor prin metodele geometriei. Adică, pentru a demonstra paralelismul dreptelor, se poate arăta că unghiurile corespunzătoare sunt egale sau se poate demonstra faptul că două drepte date sunt perpendiculare pe a treia și așa mai departe. Dar observăm că de multe ori este mai convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor într-un plan sau în spațiul tridimensional.

Paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, o linie dreaptă este determinată de ecuația unei drepte pe un plan de unul dintre tipurile posibile. În mod similar, o linie dreaptă dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu tridimensional corespunde unor ecuații ale unei linii drepte în spațiu.

Să scriem condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuație care descrie liniile date.

Să începem cu condiția dreptelor paralele în plan. Se bazează pe definițiile vectorului de direcție al dreptei și al vectorului normal al dreptei în plan.

Teorema 7

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele pe un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorii normali ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorul direcției unei linii să fie perpendicular pe vectorul normal al celeilalte drepte.

Devine evident că condiția dreptelor paralele pe plan se bazează pe condiția vectorilor coliniari sau condiția perpendicularității a doi vectori. Adică dacă a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b ;

și n b → = (n b x , n b y) sunt vectori normali ai dreptelor a și b , atunci scriem condiția necesară și suficientă de mai sus astfel: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y sau n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y sau a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , unde t este un număr real. Coordonatele vectorilor direcți sau direcți sunt determinate de ecuațiile date ale dreptelor. Să luăm în considerare principalele exemple.

1. Linia a într-un sistem de coordonate dreptunghiular este determinată de ecuația generală a dreptei: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; linia b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (A 1 , B 1) și respectiv (A 2 , B 2). Scriem condiția paralelismului după cum urmează:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Linia dreaptă a este descrisă de ecuația unei drepte cu panta de forma y = k 1 x + b 1 . Linie dreaptă b - y \u003d k 2 x + b 2. Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (k 1 , - 1) și respectiv (k 2 , - 1), și scriem condiția de paralelism după cum urmează:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Astfel, dacă liniile paralele pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt date de ecuații cu coeficienți de pantă, atunci coeficienții de pantă ai dreptelor date vor fi egali. Și afirmația inversă este adevărată: dacă liniile necoincidente pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt determinate de ecuațiile unei drepte cu aceiași coeficienți de pantă, atunci aceste drepte date sunt paralele.

1. Dreptele a și b într-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt date de ecuațiile canonice ale dreptei pe plan: x - x 1 a x = y - y 1 a y și x - x 2 b x = y - y 2 b y sau ecuațiile parametrice a dreptei pe plan: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y și x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Atunci vectorii de direcție ai dreptelor date vor fi: a x , a y și respectiv b x , b y și vom scrie condiția de paralelism astfel:

a x = t b x a y = t b y

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1

Date două drepte: 2 x - 3 y + 1 = 0 și x 1 2 + y 5 = 1 . Trebuie să determinați dacă sunt paralele.

Decizie

Scriem ecuația unei drepte în segmente sub forma unei ecuații generale:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vedem că n a → = (2 , - 3) este vectorul normal al dreptei 2 x - 3 y + 1 = 0 , iar n b → = 2 , 1 5 este vectorul normal al dreptei x 1 2 + y 5 = 1 .

Vectorii rezultați nu sunt coliniari, deoarece nu există o astfel de valoare a lui t pentru care egalitatea să fie adevărată:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Astfel, condiția necesară și suficientă a paralelismului dreptelor pe plan nu este îndeplinită, ceea ce înseamnă că dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns: liniile date nu sunt paralele.

Exemplul 2

Datele drepte y = 2 x + 1 și x 1 = y - 4 2 . Sunt paralele?

Decizie

Să transformăm ecuația canonică a dreptei x 1 \u003d y - 4 2 în ecuația unei linii drepte cu pantă:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vedem că ecuațiile dreptelor y = 2 x + 1 și y = 2 x + 4 nu sunt aceleași (dacă ar fi altfel, liniile ar fi aceleași) și pantele dreptelor sunt egale, ceea ce înseamnă că liniile date sunt paralele.

Să încercăm să rezolvăm problema altfel. În primul rând, verificăm dacă liniile date coincid. Folosim orice punct al liniei y \u003d 2 x + 1, de exemplu, (0, 1) , coordonatele acestui punct nu corespund cu ecuația liniei x 1 \u003d y - 4 2, ceea ce înseamnă că liniile nu coincid.

Următorul pas este de a determina îndeplinirea condiției de paralelism pentru liniile date.

Vectorul normal al dreptei y = 2 x + 1 este vectorul n a → = (2 , - 1) , iar vectorul direcție al celei de-a doua linii date este b → = (1 , 2) . Produsul scalar al acestor vectori este zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Astfel, vectorii sunt perpendiculari: aceasta ne demonstrează îndeplinirea condiției necesare și suficiente pentru ca dreptele inițiale să fie paralele. Acestea. liniile date sunt paralele.

Răspuns: aceste linii sunt paralele.

Pentru a demonstra paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se utilizează următoarea condiție necesară și suficientă.

Teorema 8

Pentru ca două linii necoincidente din spațiul tridimensional să fie paralele, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari.

Acestea. pentru ecuațiile date de drepte din spațiul tridimensional, răspunsul la întrebarea: sunt paralele sau nu, se găsește prin determinarea coordonatelor vectorilor de direcție ai dreptelor date, precum și prin verificarea stării de coliniaritate a acestora. Cu alte cuvinte, dacă a → = (a x, a y, a z) și b → = (b x, b y, b z) sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci pentru ca acestea să fie paralele, existența a unui astfel de număr real t este necesar, astfel încât egalitatea să fie valabilă:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Exemplul 3

Dreptele date x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 și x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Este necesar să se demonstreze paralelismul acestor drepte.

Decizie

Condițiile problemei sunt ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu și ecuațiile parametrice ale altei drepte în spațiu. Vectori de direcție a → și b → liniile date au coordonatele: (1 , 0 , - 3) și (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , atunci a → = 1 2 b → .

Prin urmare, condiția necesară și suficientă pentru linii paralele în spațiu este îndeplinită.

Răspuns: se demonstrează paralelismul dreptelor date.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Linii paralele. Proprietăți și semne ale dreptelor paralele

1. Axioma paralelei. Printr-un punct dat, se poate trasa cel mult o linie dreaptă paralelă cu cea dată.

2. Dacă două drepte sunt paralele cu aceeași linie, atunci sunt paralele între ele.

3. Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele.

4. Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o treime, atunci unghiurile interioare încrucișate formate în același timp sunt egale; unghiurile corespunzătoare sunt egale; unghiurile interioare unilaterale se adaugă până la 180°.

5. Dacă la intersecția a două drepte cea de-a treia formează unghiuri transversale interioare egale, atunci liniile drepte sunt paralele.

6. Dacă la intersecția a două drepte a treia formează unghiuri corespunzătoare egale, atunci liniile sunt paralele.

7. Dacă la intersecția a două linii ale celei de-a treia, suma unghiurilor interne unilaterale este de 180 °, atunci liniile sunt paralele.

Teorema lui Thales. Dacă segmentele egale sunt așezate pe o parte a unghiului și prin capetele lor sunt trasate linii drepte paralele, intersectând a doua latură a unghiului, atunci segmente egale vor fi depuse și pe a doua parte a unghiului.

Teorema segmentelor proportionale. Liniile drepte paralele care intersectează laturile unghiului taie segmente proporționale pe ele.

Triunghi. Semne de egalitate a triunghiurilor.

1. Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt congruente.

2. Dacă latura și două unghiuri adiacente ei ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu latura și două unghiuri adiacente acesteia ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt congruente.

3. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt congruente.

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

1. Pe două picioare.

2. De-a lungul catetei și ipotenuzei.

3. Prin ipotenuză și unghi ascuțit.

4. De-a lungul piciorului și un unghi ascuțit.

Teorema despre suma unghiurilor unui triunghi și consecințele sale

1. Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180°.

2. Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia.

3. Suma unghiurilor interioare ale unui n-gon convex este

4. Suma unghiurilor externe ale unui ga-gon este 360°.

5. Unghiurile cu laturile reciproc perpendiculare sunt egale dacă ambele sunt acute sau ambele obtuze.

6. Unghiul dintre bisectoarele unghiurilor adiacente este de 90°.

7. Bisectoarele unghiurilor interne unilaterale cu drepte paralele și o secantă sunt perpendiculare.

Principalele proprietăți și semne ale unui triunghi isoscel

1. Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale.

2. Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, atunci acesta este isoscel.

3. Într-un triunghi isoscel, mediana, bisectoarea și înălțimea trasate la bază sunt aceleași.

4. Dacă vreo pereche de segmente din triplu - mediană, bisectoare, înălțime - coincide într-un triunghi, atunci este isoscel.

Inegalitatea triunghiului și consecințele sale

1. Suma a două laturi ale unui triunghi este mai mare decât a treia latură a acestuia.

2. Suma legăturilor liniei întrerupte este mai mare decât segmentul care leagă începutul

prima legătură cu sfârșitul ultimei.

3. Opus unghiului mai mare al triunghiului se află latura mai mare.

4. Împotriva laturii mai mari a triunghiului se află un unghi mai mare.

5. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este mai mare decât catetul.

6. Dacă sunt trasate perpendiculare și înclinate de la un punct la o dreaptă, atunci

1) perpendiculara este mai scurtă decât cele înclinate;

2) o pantă mai mare corespunde unei proiecții mai mari și invers.

Linia de mijloc a triunghiului.

Segmentul de linie care leagă punctele medii ale celor două laturi ale unui triunghi se numește linia mediană a triunghiului.

Teorema liniei mediane a triunghiului.

Linia mediană a triunghiului este paralelă cu latura triunghiului și egală cu jumătatea acesteia.

Teoreme mediane triunghiulare

1. Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct și îl împart în raport de 2: 1, numărând de sus.

2. Dacă mediana unui triunghi este egală cu jumătate din latura de care este trasat, atunci triunghiul este dreptunghic.

3. Mediana unui triunghi dreptunghic tras de la vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză.

Proprietatea bisectoarelor perpendiculare pe laturile unui triunghi. Bisectoarele perpendiculare pe laturile triunghiului se intersectează într-un punct, care este centrul cercului circumscris triunghiului.

Teorema altitudinii triunghiului. Liniile care conțin altitudinile triunghiului se intersectează într-un punct.

Teorema bisectoarei triunghiului. Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct, care este centrul cercului înscris în triunghi.

Proprietatea bisectoarei unui triunghi. Bisectoarea unui triunghi își împarte latura în segmente proporționale cu celelalte două laturi.

Semne de asemănare ale triunghiurilor

1. Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altuia, atunci triunghiurile sunt similare.

2. Dacă două laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, proporționale cu două laturi ale altuia, iar unghiurile cuprinse între aceste laturi sunt egale, atunci triunghiurile sunt similare.

3. Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, proporționale cu cele trei laturi ale altuia, atunci triunghiurile sunt similare.

Arii triunghiurilor similare

1. Raportul ariilor triunghiurilor similare este egal cu pătratul coeficientului de asemănare.

2. Dacă două triunghiuri au unghiuri egale, atunci ariile lor sunt legate ca produse ale laturilor care încadrează aceste unghiuri.

Într-un triunghi dreptunghic

1. Catemul unui triunghi dreptunghic este egal cu produsul dintre ipotenuza și sinusul opusului sau cosinusul unghiului ascuțit adiacent acestui catet.

2. Categorul unui triunghi dreptunghic este egal cu celălalt catete înmulțit cu tangentei opusului sau cotangentei unghiului ascuțit adiacent acestui catete.

3. catetul unui triunghi dreptunghic situat opus unui unghi de 30 ° este egal cu jumătate din ipotenuză.

4. Dacă catetul unui triunghi dreptunghic este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus acestui catet este de 30°.

5. R = ; g \u003d, unde a, b sunt catete și c este ipotenuza unui triunghi dreptunghic; r și R sunt razele cercurilor înscrise și, respectiv, circumscrise.

Teorema lui Pitagora și inversul teoremei lui Pitagora

1. Pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor catetelor.

2. Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi ale sale, atunci triunghiul este dreptunghic.

Proporționalele medii într-un triunghi dreptunghic.

Înălțimea unui triunghi dreptunghic, trasă de la vârful unghiului drept, este media proporțională cu proiecțiile catetelor pe ipotenuză, iar fiecare catete este media proporțională cu ipotenuză și proiecția acesteia pe ipotenuză.

Raporturi metrice într-un triunghi

1. Teorema cosinusurilor. Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi fără a dubla produsul acelor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele.

2. Corolar din teorema cosinusului. Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor tuturor laturilor sale.

3. Formula pentru mediana unui triunghi. Dacă m este mediana triunghiului trasat pe latura c, atunci m = unde a și b sunt laturile rămase ale triunghiului.

4. Teorema sinusului. Laturile unui triunghi sunt proportionale cu sinusurile unghiurilor opuse.

5. Teorema sinusului generalizat. Raportul dintre o latură a unui triunghi și sinusul unghiului opus este egal cu diametrul cercului care circumscrie triunghiul.

Formulele ariei triunghiulare

1. Aria unui triunghi este jumătate din produsul bazei și al înălțimii.

2. Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul celor două laturi ale sale și sinusul unghiului dintre ele.

3. Aria unui triunghi este egală cu produsul semiperimetrului său și raza cercului înscris.

4. Aria unui triunghi este egală cu produsul celor trei laturi împărțit la de patru ori raza cercului circumscris.

5. Formula lui Heron: S=, unde p este semiperimetrul; a, b, c - laturile triunghiului.

Elementele unui triunghi echilateral. Fie h, S, r, R înălțimea, aria, razele cercurilor înscrise și circumscrise ale unui triunghi echilateral cu latura a. Apoi
Cadrilatere

Paralelogram. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi.

Proprietățile și caracteristicile unui paralelogram.

1. Diagonala împarte paralelogramul în două triunghiuri egale.

2. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale în perechi.

3. Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale în perechi.

4. Diagonalele paralelogramului intersectează și bisectează punctul de intersecție.

5. Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acest patrulater este un paralelogram.

6. Dacă două laturi opuse ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci acest patrulater este un paralelogram.

7. Dacă diagonalele unui patrulater sunt tăiate în două de punctul de intersecție, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Proprietatea punctelor medii ale laturilor unui patrulater. Punctele de mijloc ale laturilor oricărui patrulater sunt vârfurile unui paralelogram a cărui zonă este jumătate din aria patrulaterului.

Dreptunghi. Un dreptunghi este un paralelogram cu un unghi drept.

Proprietățile și semnele unui dreptunghi.

1. Diagonalele unui dreptunghi sunt egale.

2. Dacă diagonalele unui paralelogram sunt egale, atunci acest paralelogram este un dreptunghi.

Pătrat. Un pătrat este un dreptunghi care are toate laturile egale.

Romb. Un romb este un patrulater care are toate laturile egale.

Proprietățile și semnele unui romb.

1. Diagonalele rombului sunt perpendiculare.

2. Diagonalele unui romb îi bisectează colțurile.

3. Dacă diagonalele unui paralelogram sunt perpendiculare, atunci acest paralelogram este un romb.

4. Dacă diagonalele unui paralelogram împart unghiurile sale la jumătate, atunci acest paralelogram este un romb.

Trapez. Un trapez este un patrulater în care doar două laturi opuse (baze) sunt paralele. Linia mediană a unui trapez este un segment care leagă punctele medii ale laturilor neparalele (laturile laterale).

1. Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătatea sumei acestora.

2. Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor trapezului este egal cu semidiferența bazelor.

Proprietatea remarcabilă a unui trapez. Punctul de intersecție al diagonalelor trapezului, punctul de intersecție al prelungirilor laturilor și punctele medii ale bazelor se află pe aceeași dreaptă.

Trapez isoscel. Un trapez se numește isoscel dacă laturile sale sunt egale.

Proprietăți și semne ale unui trapez isoscel.

1. Unghiurile de la baza unui trapez isoscel sunt egale.

2. Diagonalele unui trapez isoscel sunt egale.

3. Dacă unghiurile de la baza trapezului sunt egale, atunci acesta este isoscel.

4. Dacă diagonalele unui trapez sunt egale, atunci acesta este isoscel.

5. Proiecția laturii laterale a unui trapez isoscel pe bază este egală cu jumătatea diferenței bazelor, iar proiecția diagonalei este jumătate din suma bazelor.

Formule pentru aria unui patrulater

1. Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre bază și înălțime.

2. Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor sale adiacente și sinusul unghiului dintre ele.

3. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul celor două laturi adiacente ale acestuia.

4. Aria unui romb este jumătate din produsul diagonalelor sale.

5. Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea.

6. Aria unui patrulater este egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale și sinusul unghiului dintre ele.

7. Formula lui Heron pentru un patrulater în jurul căruia poate fi descris un cerc:

S \u003d, unde a, b, c, d sunt laturile acestui patrulater, p este semiperimetrul și S este aria.

Cifre similare

1. Raportul elementelor liniare corespunzătoare unor figuri similare este egal cu coeficientul de similitudine.

2. Raportul ariilor figurilor similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine.

poligon regulat.

Fie a n latura unui n-gon regulat, iar r n și R n razele cercurilor înscrise și circumscrise. Apoi

Cerc.

Un cerc este locul punctelor dintr-un plan care se află la aceeași distanță pozitivă de un punct dat, numit centrul cercului.

Proprietățile de bază ale unui cerc

1. Diametrul perpendicular pe coardă împarte coarda și arcele pe care le scade în jumătate.

2. Un diametru care trece prin mijlocul unei coarde care nu este un diametru este perpendicular pe acel coard.

3. Mediana perpendiculară pe coardă trece prin centrul cercului.

4. Coardele egale sunt îndepărtate din centrul cercului la distanțe egale.

5. Coardele unui cerc care sunt echidistante de centru sunt egale.

6. Cercul este simetric în raport cu oricare dintre diametrele sale.

7. Arcele de cerc închise între coarde paralele sunt egale.

8. Dintre cele două acorduri, cea care este mai puțin îndepărtată de centru este mai mare.

9. Diametrul este cea mai mare coardă a unui cerc.

Tangenta la cerc. O dreaptă care are un singur punct în comun cu un cerc se numește tangentă la cerc.

1. Tangenta este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.

2. Dacă linia a care trece printr-un punct de pe cerc este perpendiculară pe raza trasată la acest punct, atunci linia a este tangentă la cerc.

3. Dacă dreptele care trec prin punctul M ating cercul în punctele A și B, atunci MA = MB și ﮮAMO = ﮮBMO, unde punctul O este centrul cercului.

4. Centrul unui cerc înscris într-un unghi se află pe bisectoarea acestui unghi.

cerc tangent. Se spune că două cercuri se ating dacă au un singur punct comun (punct tangent).

1. Punctul de contact a două cercuri se află pe linia lor de centre.

2. Cercurile cu razele r și R cu centrele O 1 și O 2 se ating în exterior dacă și numai dacă R + r \u003d O 1 O 2.

3. Cercuri cu razele r și R (r

4. Cercurile cu centrele O 1 și O 2 ating exterior în punctul K. O linie dreaptă atinge aceste cercuri în diferite puncte A și B și se intersectează cu o tangentă comună care trece prin punctul K în punctul C. Apoi ﮮAK B \u003d 90 ° și ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °.

5. Segmentul tangentei externe comune la două cercuri tangente de raze r și R este egal cu segmentul tangentei interne comune cuprinse între cele externe comune. Ambele segmente sunt egale.

Unghiuri asociate unui cerc

1. Valoarea arcului de cerc este egală cu valoarea unghiului central bazat pe acesta.

2. Un unghi înscris este egal cu jumătate din mărimea unghiulară a arcului pe care se sprijină.

3. Unghiurile înscrise bazate pe același arc sunt egale.

4. Unghiul dintre coarde care se intersectează este egal cu jumătate din suma arcurilor opuse tăiate de coarde.

5. Unghiul dintre două secante care se intersectează în afara cercului este egal cu jumătatea diferenței arcelor tăiate de secantele de pe cerc.

6. Unghiul dintre tangentă și coarda trasă din punctul de contact este egal cu jumătate din valoarea unghiulară a arcului tăiat pe cerc de această coardă.

Proprietățile acordurilor cercului

1. Linia centrelor a două cercuri care se intersectează este perpendiculară pe coarda lor comună.

2. Produsele lungimilor segmentelor coardelor AB și CD ale cercului care se intersectează în punctul E sunt egale, adică AE EB \u003d CE ED.

Cercuri înscrise și circumscrise

1. Centrele cercurilor înscrise și circumscrise ale unui triunghi regulat coincid.

2. Centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic este punctul mijlociu al ipotenuzei.

3. Dacă un cerc poate fi înscris într-un patrulater, atunci sumele laturilor sale opuse sunt egale.

4. Dacă un patrulater poate fi înscris într-un cerc, atunci suma unghiurilor sale opuse este de 180°.

5. Dacă suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este de 180°, atunci un cerc poate fi circumscris în jurul lui.

6. Dacă un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci latura laterală a trapezului este vizibilă din centrul cercului în unghi drept.

7. Dacă un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci raza cercului este media proporțională cu segmentele în care punctul tangent împarte latura laterală.

8. Dacă un cerc poate fi înscris într-un poligon, atunci aria lui este egală cu produsul dintre semiperimetrul poligonului și raza acestui cerc.

Teorema tangentei și secantei și corolarul acesteia

1. Dacă o tangentă și o secantă sunt trase dintr-un punct la cerc, atunci produsul întregii secante de partea ei exterioară este egal cu pătratul tangentei.

2. Produsul întregii secante de partea ei exterioară pentru un punct dat și un cerc dat este constant.

Circumferința unui cerc cu raza R este C= 2πR

CAPITOLUL III.
LINII PARALELE

§ 35. SEMNE DE PARALELITATE A DOUĂ LINII DIRECTE.

Teorema că două perpendiculare pe o dreaptă sunt paralele (§ 33) dă semnul că două drepte sunt paralele. Este posibil să se obțină semne mai generale de paralelism a două drepte.

1. Primul semn de paralelism.

Dacă, la intersecția a două drepte cu o a treia, unghiurile interioare aflate peste ele sunt egale, atunci aceste drepte sunt paralele.

Fie că liniile AB și CD intersectează dreapta EF și / 1 = / 2. Luați punctul O - mijlocul segmentului KL al secantei EF (Fig. 189).

Să aruncăm perpendiculara OM de la punctul O la dreapta AB și să o continuăm până când se intersectează cu dreapta CD, AB_|_MN. Să demonstrăm că CD_|_MN.
Pentru a face acest lucru, luați în considerare două triunghiuri: MOE și NOK. Aceste triunghiuri sunt egale între ele. Într-adevăr: / 1 = / 2 prin condiția teoremei; OK = OL - prin constructie;
/ MOL = / NOK ca colțuri verticale. Astfel, latura și două unghiuri adiacente acesteia ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu latura și două unghiuri adiacente acesteia ale altui triunghi; prin urmare, /\ MOL = /\ NOK și, prin urmare
/ LMO = / stiu dar / LMO este direct, prin urmare, și / KNO este, de asemenea, direct. Astfel, dreptele AB și CD sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă MN, deci sunt paralele (§ 33), ceea ce urma să fie demonstrat.

Notă. Intersecția dreptelor MO și CD poate fi stabilită prin rotirea triunghiului MOL în jurul punctului O cu 180°.

2. Al doilea semn de paralelism.

Să vedem dacă dreptele AB și CD sunt paralele dacă, la intersecția celei de-a treia linii EF, unghiurile corespunzătoare sunt egale.

Fie unele unghiuri corespunzătoare să fie egale, de exemplu / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, deoarece colțurile sunt verticale; mijloace, / 2 va fi egal / 1. Dar unghiurile 2 și 1 sunt unghiuri transversale interne și știm deja că, dacă la intersecția a două drepte cu o treime, unghiurile transversale interne sunt egale, atunci aceste drepte sunt paralele. Prin urmare, AB || CD.

Dacă la intersecția a două drepte ale celei de-a treia unghiurile corespunzătoare sunt egale, atunci aceste două drepte sunt paralele.

Construcția de linii paralele cu ajutorul unei rigle și a unui triunghi de desen se bazează pe această proprietate. Acest lucru se face după cum urmează.

Să atașăm triunghiul la riglă așa cum se arată în desenul 191. Vom muta triunghiul astfel încât una dintre laturile sale să alunece de-a lungul riglei și vom trasa mai multe linii drepte de-a lungul oricărei alte laturi a triunghiului. Aceste linii vor fi paralele.

3. Al treilea semn de paralelism.

Să știm că la intersecția a două drepte AB și CD cu a treia linie, suma oricăror unghiuri interne unilaterale este egală cu 2 d(sau 180°). Liniile AB și CD vor fi paralele în acest caz (Fig. 192).

Lasa / 1 și / 2 unghiuri interioare unilaterale și se adună până la 2 d.
Dar / 3 + / 2 = 2d ca unghiuri adiacente. Prin urmare, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

De aici / 1 = / 3, iar aceste colțuri sunt situate în interior transversal. Prin urmare, AB || CD.

Dacă la intersecția a două drepte cu o treime, suma unghiurilor unilaterale interioare este egală cu 2 d, atunci cele două drepte sunt paralele.

Un exercitiu.

Demonstrați că dreptele sunt paralele:
a) dacă unghiurile exterioare încrucișate sunt egale (Fig. 193);
b) dacă suma unghiurilor unilaterale externe este 2 d(diavolul 194).