G. Glaser,
Academician al Academiei Ruse de Educație, Moscova

Despre teorema lui Pitagora și cum se demonstrează

Aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catetele sale...

Aceasta este una dintre cele mai cunoscute teoreme geometrice ale antichității, numită teorema lui Pitagora. Este încă cunoscut aproape tuturor celor care au studiat vreodată planimetria. Mi se pare că, dacă vrem să anunțăm civilizațiile extraterestre despre existența vieții inteligente pe Pământ, atunci ar trebui să trimitem o imagine a figurii lui Pitagora în spațiu. Cred că, dacă ființele gânditoare pot accepta aceste informații, vor înțelege fără decodare complexă a semnalelor că există o civilizație destul de dezvoltată pe Pământ.

Faimosul filozof și matematician grec Pitagora din Samos, după care poartă numele teoremei, a trăit în urmă cu aproximativ 2,5 mii de ani. Informațiile biografice despre Pitagora care au ajuns până la noi sunt fragmentare și departe de a fi de încredere. Multe legende sunt asociate cu numele lui. Se știe cu adevărat că Pitagora a călătorit mult în țările din Orient, a vizitat Egiptul și Babilonul. Într-una dintre coloniile grecești din sudul Italiei, a fondat celebra „școală pitagoreică”, care a jucat un rol important în viața științifică și politică a Greciei antice. Lui Pitagora i se atribuie dovezirea binecunoscutei teoreme geometrice. Pe baza legendelor răspândite de matematicieni celebri (Proclus, Plutarh etc.), multă vreme s-a crezut că această teoremă nu era cunoscută înainte de Pitagora, de unde și numele - teorema lui Pitagora.

Cu toate acestea, nu există nicio îndoială că această teoremă a fost cunoscută cu mulți ani înainte de Pitagora. Deci, cu 1500 de ani înainte de Pitagora, egiptenii antici știau că un triunghi cu laturile 3, 4 și 5 este dreptunghiular și au folosit această proprietate (adică, teorema inversă a lui Pitagora) pentru a construi unghiuri drepte atunci când plănuiesc terenuri și construiesc clădiri. Și chiar și astăzi, constructorii și dulgherii rurali, punând temelia colibei, făcând detaliile acesteia, desenează acest triunghi pentru a obține un unghi drept. Același lucru s-a făcut cu mii de ani în urmă în construcția de temple magnifice în Egipt, Babilon, China și, probabil, în Mexic. În cea mai veche lucrare chineză de matematică și astronomie care a ajuns până la noi, Zhou-bi, scrisă cu aproximativ 600 de ani înainte de Pitagora, printre alte propuneri legate de un triunghi dreptunghic, este cuprinsă și teorema lui Pitagora. Chiar și mai devreme această teoremă era cunoscută hindușilor. Astfel, Pitagora nu a descoperit această proprietate a unui triunghi dreptunghic; el a fost probabil primul care a generalizat-o și a dovedit-o, transferând-o astfel din domeniul practicii în domeniul științei. Nu știm cum a făcut-o. Unii istorici ai matematicii presupun că, totuși, demonstrația lui Pitagora nu a fost fundamentală, ci doar o confirmare, o verificare a acestei proprietăți pe o serie de tipuri particulare de triunghiuri, începând cu un triunghi dreptunghic isoscel, pentru care rezultă evident din Fig. unu.

DIN Din cele mai vechi timpuri, matematicienii au găsit din ce în ce mai multe dovezi ale teoremei lui Pitagora, din ce în ce mai multe idei pentru demonstrațiile acesteia. Se cunosc peste o sută și jumătate de astfel de dovezi – mai mult sau mai puțin riguroase, mai mult sau mai puțin vizuale –, dar s-a păstrat dorința de a le crește numărul. Cred că „descoperirea” independentă a dovezilor teoremei lui Pitagora va fi utilă școlarilor moderni.

Să luăm în considerare câteva exemple de dovezi care pot sugera direcția unor astfel de căutări.

Dovada lui Pitagora

";Un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catetele sale. "; Cea mai simplă demonstrație a teoremei se obține în cel mai simplu caz al unui triunghi dreptunghic isoscel. Probabil, teorema a început cu el. Într-adevăr, este suficient să ne uităm la placarea triunghiurilor dreptunghiulare isoscele pentru a vedea că teorema este adevărată. De exemplu, pentru DABC: un pătrat construit pe ipotenuză AU, conține 4 triunghiuri inițiale și pătrate construite pe picioare de două. Teorema a fost demonstrată.

Dovezi bazate pe utilizarea conceptului de suprafață egală a figurilor.

În același timp, putem lua în considerare dovezi în care pătratul construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic dat este „compus” din aceleași figuri ca și pătratele construite pe catete. Putem lua în considerare și astfel de dovezi în care se folosește permutarea termenilor figurilor și se iau în considerare o serie de idei noi.

Pe fig. 2 arată două pătrate egale. Lungimea laturilor fiecărui pătrat este a + b. Fiecare dintre pătrate este împărțit în părți formate din pătrate și triunghiuri dreptunghiulare. Este clar că dacă scădem aria cvadruplă a unui triunghi dreptunghic cu catete a, b din aria pătrată, atunci rămân zone egale, adică c 2 \u003d a 2 + b 2. Cu toate acestea, vechii hinduși, cărora le aparține acest raționament, de obicei nu l-au notat, ci au însoțit desenul cu un singur cuvânt: „uite!” Este foarte posibil ca Pitagora să fi oferit aceeași dovadă.

dovezi aditive.

Aceste dovezi se bazează pe descompunerea pătratelor construite pe catete în figuri, din care se poate adăuga un pătrat construit pe ipotenuză.

Aici: ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Demonstrați pe cont propriu egalitatea pe perechi a triunghiurilor obținute prin împărțirea pătratelor construite pe catete și a ipotenuzei.

Demonstrați teorema folosind această partiție.

 Pe baza demonstrației lui al-Nairiziya, s-a făcut o altă descompunere a pătratelor în cifre egale în perechi (Fig. 5, aici ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C).

 O altă dovadă prin metoda descompunerii pătratelor în părți egale, numită „roata cu lame”, este prezentată în fig. 6. Aici: ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C; O - centrul unui pătrat construit pe un picior mare; liniile punctate care trec prin punctul O sunt perpendiculare sau paralele cu ipotenuza.

 Această descompunere a pătratelor este interesantă prin faptul că patrulaterele sale egale în perechi pot fi mapate unul pe celălalt prin translație paralelă. Multe alte dovezi ale teoremei lui Pitagora pot fi oferite folosind descompunerea pătratelor în figuri.

Dovezi prin metoda extensiei.

Esența acestei metode este că cifrele egale sunt atașate la pătratele construite pe picioare și la pătratul construit pe ipotenuză în așa fel încât să se obțină cifre egale.

Valabilitatea teoremei lui Pitagora rezultă din dimensiunea egală a hexagoanelor AEDFPB și ACBNMQ. Aici CEP, linia EP împarte hexagonul AEDFPB în două patrulatere cu arii egale, linia CM împarte hexagonul ACBNMQ în două patrulatere egale; o rotație de 90° a planului în jurul centrului A mapează patrulaterul AEPB cu patrulaterul ACMQ.

Pe fig. 8 Figura lui Pitagora este completată cu un dreptunghi, ale cărui laturi sunt paralele cu laturile corespunzătoare ale pătratelor construite pe picioare. Să despărțim acest dreptunghi în triunghiuri și dreptunghiuri. Mai întâi, scădem toate poligoanele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 din dreptunghiul rezultat, lăsând un pătrat construit pe ipotenuză. Apoi din același dreptunghi scădem dreptunghiurile 5, 6, 7 și dreptunghiurile umbrite, obținem pătrate construite pe picioare.

Acum să demonstrăm că cifrele scăzute în primul caz sunt egale ca mărime cu cifrele scăzute în al doilea caz.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

deci c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c 2 ;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Metoda algebrică de demonstrare.

	Orez. 12 ilustrează dovada marelui matematician indian Bhaskari (celemul autor al lui Lilavati, X secolul al II-lea). Desenul a fost însoțit de un singur cuvânt: UITE! Printre dovezile teoremei lui Pitagora prin metoda algebrică, primul loc (poate cel mai vechi) este ocupat de o demonstrație folosind asemănarea.
	Să prezentăm într-o prezentare modernă una dintre astfel de dovezi, care îi aparține lui Pitagora.

H iar fig. 13 ABC - dreptunghiular, C - unghi drept, CMAB, b 1 - proiecția catetei b pe ipotenuză, a 1 - proiecția catetei a pe ipotenuză, h - înălțimea triunghiului trasat la ipotenuză.

Din faptul că ABC este asemănător cu ACM rezultă

b 2 \u003d cb 1; (unu)

din faptul că ABC este asemănător cu BCM rezultă

a 2 = ca 1 . (2)

Adunând egalitățile (1) și (2) termen cu termen, obținem a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Dacă Pitagora a oferit într-adevăr o astfel de demonstrație, atunci era și familiarizat cu o serie de teoreme geometrice importante pe care istoricii moderni ai matematicii le atribuie de obicei lui Euclid.

Dovada lui Möllmann (Fig. 14). Aria acestui triunghi dreptunghic, pe de o parte, este egală, pe de altă parte, unde p este semiperimetrul triunghiului, r este raza cercului înscris în el. Avem:

de unde rezultă că c 2 =a 2 +b 2 .

in secunda

Echivalând aceste expresii, obținem teorema lui Pitagora.

Metoda combinata

Egalitatea triunghiurilor

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Comparând relațiile (3) și (4), obținem că

c 1 2 = c 2 sau c 1 = c.

Astfel, triunghiurile - date și construite - sunt egale, deoarece au trei laturi egale corespunzător. Unghiul C 1 este drept, deci și unghiul C al acestui triunghi este drept.

Dovezi indiene antice.

Matematicienii Indiei antice au observat că, pentru a demonstra teorema lui Pitagora, este suficient să folosiți interiorul desenului chinez antic. În tratatul „Siddhanta Shiromani” („Coroana Cunoașterii”) scris pe frunze de palmier de cel mai mare matematician indian al secolului al XX-lea. Bha-skara a plasat un desen (Fig. 4)

caracteristică dovezilor indiene l cuvântul „uite!”. După cum puteți vedea, triunghiurile dreptunghiulare sunt stivuite aici cu ipotenuza lor spre exterior și pătratul din 2 mutat pe „fotoliul miresei” din 2 -b 2 . Rețineți că cazurile speciale ale teoremei lui Pitagora (de exemplu, construcția unui pătrat a cărui suprafață este de două ori mai mare fig.4 zona acestui pătrat) se găsesc în vechiul tratat indian „Sulva”;

Au rezolvat un triunghi dreptunghic și pătrate construite pe picioarele sale, sau, cu alte cuvinte, figuri formate din 16 triunghiuri dreptunghiulare isoscele identice și, prin urmare, se potrivesc într-un pătrat. E un crin. o mică parte din bogățiile ascunse în perla matematicii antice - teorema lui Pitagora.

Dovezi chineze antice.

Tratatele de matematică din China antică au ajuns până la noi în ediția secolului al II-lea. î.Hr. Cert este că în 213 î.Hr. Împăratul chinez Shi Huang-di, căutând să elimine vechile tradiții, a ordonat să ardă toate cărțile antice. În P c. î.Hr. hârtia a fost inventată în China și în același timp a început și reconstrucția cărților antice. Cheia acestei dovezi nu este greu de găsit. Într-adevăr, în desenul chinez antic există patru triunghiuri dreptunghiulare egale cu catetele a, b și ipotenuză. din stivuite G) astfel încât conturul lor exterior să formeze Fig. 2 un pătrat cu laturile a + b, iar cel interior este un pătrat cu latura c, construit pe ipotenuză (Fig. 2, b). Dacă se decupează un pătrat cu latura c și celelalte 4 triunghiuri umbrite sunt plasate în două dreptunghiuri (Fig. 2, în), este clar că golul rezultat, pe de o parte, este egal cu DIN 2 , iar pe de alta - din 2 +b 2 , acestea. c 2 \u003d  2 + b 2. Teorema a fost demonstrată. Rețineți că cu o astfel de demonstrație nu sunt folosite construcțiile din interiorul pătratului de pe ipotenuză, pe care le vedem în desenul chinez antic (Fig. 2, a). Aparent, vechii matematicieni chinezi au avut o altă dovadă. Tocmai dacă într-un pătrat cu latură din două triunghiuri umbrite (Fig. 2, b) tăiați și atașați ipotenuzele la celelalte două ipotenuze (Fig. 2, G), este ușor să găsești asta

Figura rezultată, denumită uneori „scaunul miresei”, este formată din două pătrate cu laturi darȘi b, acestea. c 2 == A 2 +b 2 .

H Figura 3 reproduce un desen din tratatul „Zhou-bi ...”. Aici se consideră teorema lui Pitagora pentru triunghiul egiptean cu catetele 3, 4 și ipotenuza 5 unități. Pătratul de pe ipotenuză conține 25 de celule, iar pătratul înscris în el pe catetul mai mare conține 16. Este clar că partea rămasă conține 9 celule. Acesta va fi pătratul de pe piciorul mai mic.

1

Shapovalova L.A. (stația Egorlykskaya, MBOU ESOSH nr. 11)

1. Glazer G.I. Istoria matematicii la școala clasele VII - VIII, ghid pentru profesori, - M: Educație, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „În spatele paginilor unui manual de matematică” Manual pentru elevii din clasele 5-6. – M.: Iluminismul, 1989.

3. Zenkevici I.G. „Estetica lecției de matematică”. – M.: Iluminismul, 1981.

4. Litzman V. Teorema lui Pitagora. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. „Pitagora”. - M., 1993.

6. Pichurin L.F. „Dincolo de paginile unui manual de algebră”. - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. „Geometrie în clasa a X-a”. - M., 1986.

8. Ziarul „Matematică” 17/1996.

9. Ziarul „Matematică” 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. „Culegere de probleme de matematică elementară”. - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. „Manual de matematică”. - M., 1973.

12. Şchetnikov A.I. „Doctrina pitagoreică a numărului și mărimii”. - Novosibirsk, 1997.

13. „Numere reale. Expresii iraționale» Clasa a VIII-a. Presa Universității din Tomsk. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. „Geometrie” clasa 7-9. – M.: Iluminismul, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

În acest an universitar, m-am familiarizat cu o teoremă interesantă, cunoscută, după cum sa dovedit, din cele mai vechi timpuri:

„Pătratul construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catete.”

De obicei, descoperirea acestei afirmații este atribuită filozofului și matematicianului grec antic Pitagora (sec. VI î.Hr.). Dar studiul manuscriselor antice a arătat că această afirmație era cunoscută cu mult înainte de nașterea lui Pitagora.

M-am întrebat de ce, în acest caz, este asociat cu numele lui Pitagora.

Relevanța subiectului: Teorema lui Pitagora este de mare importanță: este folosită în geometrie literalmente la fiecare pas. Consider că lucrările lui Pitagora sunt încă relevante, pentru că oriunde ne uităm, peste tot putem vedea roadele marilor sale idei, întruchipate în diverse ramuri ale vieții moderne.

Scopul cercetării mele a fost: să aflu cine a fost Pitagora și ce relație are el cu această teoremă.

Studiind istoria teoremei, am decis să aflu:

Există și alte dovezi ale acestei teoreme?

Care este semnificația acestei teoreme în viața oamenilor?

Ce rol a jucat Pitagora în dezvoltarea matematicii?

Din biografia lui Pitagora

Pitagora din Samos este un mare om de știință grec. Faima sa este asociată cu numele teoremei lui Pitagora. Deși acum știm deja că această teoremă era cunoscută în Babilonul antic cu 1200 de ani înainte de Pitagora, iar în Egipt, cu 2000 de ani înainte de el, se cunoștea un triunghi dreptunghic cu laturile 3, 4, 5, încă îl numim cu numele acestui antic. om de stiinta.

Aproape nimic nu este cunoscut cu certitudine despre viața lui Pitagora, dar un număr mare de legende sunt asociate cu numele său.

Pitagora s-a născut în anul 570 î.Hr. pe insula Samos.

Pitagora avea un aspect frumos, purta o barbă lungă și o diademă de aur pe cap. Pitagora nu este un nume, ci o poreclă pe care a primit-o filozoful pentru că a vorbit mereu corect și convingător, ca un oracol grec. (Pitagora - „vorbire persuasivă”).

În anul 550 î.Hr., Pitagora ia o decizie și pleacă în Egipt. Așadar, înaintea lui Pitagora se deschide o țară necunoscută și o cultură necunoscută. Mult uimit și surprins pe Pitagora în această țară, iar după câteva observații asupra vieții egiptenilor, Pitagora și-a dat seama că calea către cunoaștere, ocrotită de casta preoților, este prin religie.

După unsprezece ani de studii în Egipt, Pitagora pleacă în patria sa, unde pe parcurs cade în robia babiloniană. Acolo face cunoștință cu știința babiloniană, care era mai dezvoltată decât cea egipteană. Babilonienii au știut să rezolve ecuații liniare, pătratice și unele tipuri de ecuații cubice. Scăpat din captivitate, nu a putut rămâne mult timp în patria sa din cauza atmosferei de violență și tiranie care domnea acolo. A decis să se mute la Croton (o colonie greacă din nordul Italiei).

În Croton începe cea mai glorioasă perioadă din viața lui Pitagora. Acolo a înființat ceva ca o frăție religios-etică sau un ordin monahal secret, ai cărui membri erau obligați să ducă așa-zisul mod de viață pitagoreic.

Pitagora și pitagoreenii

Pitagora a organizat într-o colonie greacă din sudul peninsulei Apenini o frăție religioasă și etică, precum un ordin monahal, care mai târziu avea să se numească Uniunea Pitagoreică. Membrii uniunii trebuiau să adere la anumite principii: în primul rând, să se străduiască pentru frumos și glorios, în al doilea rând, să fie folositori și, în al treilea rând, să se străduiască pentru o mare plăcere.

Sistemul de reguli morale și etice, lăsat moștenire de Pitagora studenților săi, a fost compilat într-un fel de cod moral al pitagoreenilor „Versuri de aur”, care au fost foarte populare în epoca Antichității, Evul Mediu și Renaștere.

Sistemul pitagoreic de studii a constat din trei secțiuni:

Învățături despre numere - aritmetică,

Învățături despre figuri - geometrie,

Învățături despre structura universului - astronomie.

Sistemul de învățământ stabilit de Pitagora a durat multe secole.

Școala lui Pitagora a făcut mult pentru a da geometriei caracterul unei științe. Principala caracteristică a metodei pitagoreice a fost combinarea geometriei cu aritmetica.

Pitagora s-a ocupat mult de proporții și progresii și, probabil, de asemănarea cifrelor, întrucât i se atribuie rezolvarea problemei: „Construiți un al treilea, egal ca mărime cu unul dintre date și asemănător celui de-al doilea, pe baza date două cifre.”

Pitagora și studenții săi au introdus conceptul de numere poligonale, prietenoase, perfecte și le-au studiat proprietățile. Aritmetica, ca practică de calcul, nu-l interesa pe Pitagora, iar el declara cu mândrie că „pune aritmetica mai presus de interesele negustorului”.

Membrii Uniunii Pitagoreice erau rezidenți ai multor orașe din Grecia.

Pitagoreii au acceptat și femeile în societatea lor. Uniunea a înflorit timp de mai bine de douăzeci de ani, iar apoi a început persecuția membrilor săi, mulți dintre studenți au fost uciși.

Au existat multe legende despre moartea lui Pitagora însuși. Dar învățăturile lui Pitagora și ale ucenicilor lui au continuat să trăiască.

Din istoria creării teoremei lui Pitagora

În prezent se știe că această teoremă nu a fost descoperită de Pitagora. Cu toate acestea, unii cred că Pitagora a fost primul care a dat dovada completă, în timp ce alții îi neagă acest merit. Unii îi atribuie lui Pitagora dovada pe care Euclid o dă în prima carte a Elementelor sale. Pe de altă parte, Proclu susține că demonstrația din Elemente se datorează lui Euclid însuși. După cum putem vedea, istoria matematicii nu are aproape date concrete sigure despre viața lui Pitagora și activitatea sa matematică.

Să începem revizuirea istorică a teoremei lui Pitagora cu China antică. Aici cartea de matematică a lui Chu-pei atrage o atenție deosebită. Acest eseu spune asta despre triunghiul lui Pitagora cu laturile 3, 4 și 5:

„Dacă un unghi drept este descompus în părțile sale componente, atunci linia care leagă capetele laturilor sale va fi 5 când baza este 3 și înălțimea este 4.”

Este foarte ușor să reproduci metoda lor de construcție. Luați o frânghie de 12 m lungime și legați-o de ea de-a lungul unei benzi colorate la o distanță de 3 m. de la un capăt și la 4 metri de celălalt. Un unghi drept va fi închis între laturile de 3 și 4 metri lungime.

Geometria în rândul hindușilor era strâns legată de cultul. Este foarte probabil ca teorema ipotenuzei pătratului să fie deja cunoscută în India în jurul secolului al VIII-lea î.Hr. Alături de prescripțiile pur ritualice, există lucrări de natură geometrică teologică. În aceste scrieri, datând din secolul al IV-lea sau al V-lea î.Hr., întâlnim construirea unui unghi drept folosind un triunghi cu laturile 15, 36, 39.

În Evul Mediu, teorema lui Pitagora a definit limita, dacă nu cea mai mare posibilă, atunci cel puțin a bunelor cunoștințe matematice. Desenul caracteristic al teoremei lui Pitagora, care acum este uneori transformat de școlari, de exemplu, într-o pălărie de cilindru îmbrăcat în halatul unui profesor sau al unui bărbat, a fost adesea folosit în acele vremuri ca simbol al matematicii.

În concluzie, prezentăm diverse formulări ale teoremei lui Pitagora traduse din greacă, latină și germană.

Teorema lui Euclid spune (traducere literală):

„Într-un triunghi dreptunghic, pătratul laturii care se întinde pe unghiul drept este egal cu pătratele de pe laturile care încadrează unghiul drept.”

După cum puteți vedea, în diferite țări și limbi diferite, există diferite versiuni ale formulării teoremei familiare. Create în momente diferite și în limbi diferite, ele reflectă esența unui model matematic, a cărui dovadă are și mai multe opțiuni.

Cinci moduri de a demonstra teorema lui Pitagora

dovadă chineză veche

Într-un desen chinez antic, patru triunghiuri dreptunghiulare egale cu catetele a, b și ipotenuza c sunt stivuite astfel încât conturul lor exterior să formeze un pătrat cu latura a + b, iar cel interior să formeze un pătrat cu latura c, construit pe ipotenuză

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Dovada de J. Gardfield (1882)

Să aranjam două triunghiuri dreptunghiulare egale, astfel încât catetul unuia dintre ele să fie o continuare a celuilalt.

Aria trapezului luat în considerare se găsește ca produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea

Pe de altă parte, aria trapezului este egală cu suma ariilor triunghiurilor obținute:

Echivalând aceste expresii, obținem:

Dovada este simplă

Această demonstrație se obține în cel mai simplu caz al unui triunghi dreptunghic isoscel.

Probabil, teorema a început cu el.

Într-adevăr, este suficient să ne uităm la placarea triunghiurilor dreptunghiulare isoscele pentru a vedea că teorema este adevărată.

De exemplu, pentru triunghiul ABC: pătratul construit pe ipotenuza AC conține 4 triunghiuri inițiale, iar pătratele construite pe catete conțin două. Teorema a fost demonstrată.

Dovada hindușilor antici

Un pătrat cu o latură (a + b), poate fi împărțit în părți fie ca în fig. 12. a, sau ca în fig. 12b. Este clar că părțile 1, 2, 3, 4 sunt aceleași în ambele figuri. Și dacă egali sunt scăzuți din egali (arii), atunci egali vor rămâne, i.e. c2 = a2 + b2.

Dovada lui Euclid

Timp de două milenii, cea mai comună a fost demonstrarea teoremei lui Pitagora, inventată de Euclid. Este plasat în celebra sa carte „Începuturi”.

Euclid a coborât înălțimea BH de la vârful unghiului drept la ipotenuză și a demonstrat că extinderea sa împarte pătratul completat pe ipotenuză în două dreptunghiuri, ale căror arii sunt egale cu ariile pătratelor corespunzătoare construite pe catete.

Desenul folosit în demonstrarea acestei teoreme este numit în glumă „pantaloni pitagoreici”. Multă vreme a fost considerat unul dintre simbolurile științei matematice.

Aplicarea teoremei lui Pitagora

Semnificația teoremei lui Pitagora constă în faptul că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi derivate din ea sau cu ajutorul ei și se pot rezolva multe probleme. În plus, semnificația practică a teoremei lui Pitagora și a teoremei sale inverse este că pot fi folosite pentru a găsi lungimile segmentelor fără a măsura segmentele în sine. Aceasta, așa cum spuneam, deschide calea de la o linie dreaptă la un plan, de la un plan la spațiul volumetric și mai departe. Din acest motiv este atât de importantă teorema lui Pitagora pentru umanitate, care caută să descopere mai multe dimensiuni și să creeze tehnologii în aceste dimensiuni.

Concluzie

Teorema lui Pitagora este atât de faimoasă încât este dificil să-ți imaginezi o persoană care nu a auzit despre ea. Am învățat că există mai multe moduri de a demonstra teorema lui Pitagora. Am studiat o serie de surse istorice și matematice, inclusiv informații de pe internet, și am realizat că teorema lui Pitagora este interesantă nu numai pentru istoria sa, ci și pentru că ocupă un loc important în viață și știință. Acest lucru este dovedit de diferitele interpretări ale textului acestei teoreme prezentate de mine în această lucrare și de modalitățile de demonstrare a acesteia.

Deci, teorema lui Pitagora este una dintre principalele și, s-ar putea spune, cea mai importantă teoremă de geometrie. Semnificația sa constă în faptul că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi deduse din ea sau cu ajutorul ei. Teorema lui Pitagora este de asemenea remarcabilă prin faptul că nu este deloc evidentă în sine. De exemplu, proprietățile unui triunghi isoscel pot fi văzute direct pe desen. Dar oricât de mult te uiți la un triunghi dreptunghic, nu vei vedea niciodată că există o relație simplă între laturile lui: c2 = a2 + b2. Prin urmare, vizualizarea este adesea folosită pentru a dovedi acest lucru. Meritul lui Pitagora a fost că a dat o demonstrație științifică completă a acestei teoreme. Personalitatea omului de știință însuși, a cărui memorie nu este păstrată accidental de această teoremă, este interesantă. Pitagora este un orator minunat, profesor și educator, organizatorul școlii sale, axat pe armonia muzicii și a numerelor, bunătate și dreptate, cunoaștere și un stil de viață sănătos. El poate servi drept exemplu pentru noi, descendenții îndepărtați.

Link bibliografic

Tumanova S.V. MAI MULTE MODALITĂȚI DE DEMONSTRARE A TEOREMA PITAGORICE // Începeți în știință. - 2016. - Nr. 2. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (data accesului: 28/02/2020).

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

Introducere

La cursul școlar de geometrie, folosind teorema lui Pitagora, se rezolvă numai probleme matematice. Din păcate, problema aplicării practice a teoremei lui Pitagora nu este luată în considerare.

În acest sens, scopul lucrării mele a fost acela de a afla domeniul de aplicare al teoremei lui Pitagora.

În prezent, este general recunoscut că succesul dezvoltării multor domenii ale științei și tehnologiei depinde de dezvoltarea diferitelor domenii ale matematicii. O condiție importantă pentru creșterea eficienței producției este introducerea pe scară largă a metodelor matematice în tehnologie și în economia națională, ceea ce presupune crearea unor metode noi, eficiente de cercetare calitativă și cantitativă, care să permită rezolvarea problemelor puse de practică.

Voi lua în considerare exemple de aplicare practică a teoremei lui Pitagora. Nu voi încerca să dau toate exemplele de utilizare a teoremei - cu greu ar fi posibil. Aria de aplicare a teoremei este destul de extinsă și, în general, nu poate fi indicată cu suficientă completitate.

Ipoteză:

Folosind teorema lui Pitagora, puteți rezolva nu numai probleme matematice.

Pentru această lucrare de cercetare se definește următorul scop:

Aflați domeniul de aplicare al teoremei lui Pitagora.

Pe baza obiectivului de mai sus, au fost identificate următoarele sarcini:

Colectați informații despre aplicarea practică a teoremei lui Pitagora în diverse surse și determinați domeniile de aplicare ale teoremei.

Aflați câteva informații istorice despre Pitagora și teorema sa.

Arată aplicarea teoremei în rezolvarea problemelor istorice.

Procesați datele colectate pe subiect.

Am fost implicat în căutarea și colectarea de informații - am studiat materiale tipărite, am lucrat cu materiale pe Internet și am procesat datele colectate.

Metodologia de cercetare:

Studiul materialului teoretic.

Studiul metodelor de cercetare.

Implementarea practică a studiului.

Comunicativ (metoda de măsurare, chestionare).

Tip proiect: cercetarea informaţiei. Lucrarea a fost făcută în timpul meu liber.

Despre Pitagora.

Pitagora este un filozof, matematician și astronom grec antic. A fundamentat multe proprietăți ale figurilor geometrice, a dezvoltat teoria matematică a numerelor și a proporțiilor acestora. El a adus o contribuție semnificativă la dezvoltarea astronomiei și acusticii. Autor al „Versurilor de aur”, fondator al școlii pitagoreice din Croton.

Potrivit legendei, Pitagora s-a născut în jurul anului 580 î.Hr. e. pe insula Samos într-o familie bogată de negustori. Mama lui, Pythasis, și-a primit numele în onoarea Pythiei, preoteasa lui Apollo. Pythia a prezis lui Mnesarchus și soției sale nașterea unui fiu, fiul fiind numit și după Pythia. Potrivit multor mărturii străvechi, băiatul era fabulos de frumos și în curând și-a arătat abilitățile remarcabile. Primele cunoștințe le-a primit de la tatăl său Mnesarchus, un bijutier și sculptor de pietre prețioase, care a visat că fiul său își va continua munca. Dar viața a judecat altfel. Viitorul filozof a dat dovadă de o mare aptitudine pentru științe. Printre profesorii lui Pitagora s-au numărat Pherekides din Syros și bătrânul Germodamant. Prima a insuflat băiatului dragostea pentru știință, iar a doua pentru muzică, pictură și poezie. Ulterior, Pitagora l-a cunoscut pe celebrul filozof - matematicianul Thales din Milet și, la sfatul acestuia, a plecat în Egipt - centrul activităților științifice și de cercetare de atunci. După ce a trăit 22 de ani în Egipt și 12 ani în Babilon, s-a întors pe insula Samos, apoi a părăsit-o din motive necunoscute și s-a mutat în orașul Croton, din sudul Italiei. Aici a creat școala (uniunea) pitagoreică, care a studiat diverse probleme de filozofie și matematică. La vârsta de aproximativ 60 de ani, Pitagora s-a căsătorit cu Theano, unul dintre elevii săi. Au trei copii și toți devin urmași ai tatălui lor. Condițiile istorice ale vremii sunt caracterizate de o mișcare largă a demosului împotriva puterii aristocraților. Fugând de valurile de furie populară, Pitagora și studenții săi s-au mutat în orașul Tarentum. Potrivit unei versiuni: Kilon, un om bogat și rău, a venit la el, dorind să se alăture frăției în stare de ebrietate. După ce a fost refuzat, Cylon a început o luptă cu Pitagora. În timpul incendiului, elevii pe cheltuiala lor au salvat viața profesorului. Pitagora a devenit dor de casă și în curând s-a sinucis.

Trebuie remarcat faptul că aceasta este una dintre variantele biografiei sale. Datele exacte ale nașterii și morții sale nu au fost stabilite, multe fapte din viața lui sunt contradictorii. Dar un lucru este clar: acest om a trăit și a lăsat urmașilor săi o mare moștenire filozofică și matematică.

Teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora este cea mai importantă afirmație a geometriei. Teorema se formulează astfel: aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catetele sale.

Descoperirea acestei afirmații este atribuită lui Pitagora din Samos (sec. XII î.Hr.)

Studiul tăblițelor cuneiforme babiloniene și al manuscriselor chinezești antice (copii ale manuscriselor și mai vechi) a arătat că celebra teoremă era cunoscută cu mult înaintea lui Pitagora, poate cu câteva milenii înaintea lui.

(Dar există o presupunere că Pitagora i-a dat o dovadă completă)

Dar există o altă părere: în școala pitagoreică era un obicei minunat să-i atribuie lui Pitagora toate meritele și să nu-și însuşească oarecum gloria descoperitorilor, cu excepţia poate în câteva cazuri.

(Iamblichus-scriitor siriac vorbitor de greacă, autor al tratatului „Viața lui Pitagora.” (secolul II d.Hr.)

Deci, istoricul german de matematică Kantor crede că egalitatea 3 2 + 4 2= 5 2 a fost

cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e. pe vremea regelui Amenechmet (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin). Unii cred că Pitagora a dat teoremei o demonstrație completă, în timp ce alții îi neagă acest merit.

Unii îi atribuie lui Pitagora dovada dată de Euclid în Elementele sale. Pe de altă parte, Proclus (matematician, secolul al V-lea) susține că demonstrația din „Principii” i-a aparținut însuși Euclid, adică istoria matematicii aproape că nu a păstrat date sigure despre activitatea matematică a lui Pitagora. În matematică, poate, nu există altă teoremă care să merite tot felul de comparații.

În unele liste ale „Începuturilor” lui Euclid, această teoremă a fost numită „teorema nimfei” pentru asemănarea desenului cu o albină, fluture („teorema fluturelui”), care în greacă era numită nimfă. Grecii au numit acest cuvânt și alte zeițe, precum și tinere și mirese. Traducătorul arabă nu a acordat atenție desenului și a tradus cuvântul „nimfă” ca „mireasă”. Așa a apărut numele afectuos „teorema miresei”. Există o legendă că atunci când Pitagora din Samos și-a dovedit teorema, el a mulțumit zeilor sacrificând 100 de tauri. De aici un alt nume - „teorema unei sute de tauri”.

În țările vorbitoare de limba engleză, se numea: „moară de vânt”, „coada păunului”, „scaunul miresei”, „podul măgarului” (dacă elevul nu putea „trece”, atunci era un adevărat „măgar”).

În Rusia prerevoluționară, desenul teoremei lui Pitagora pentru cazul unui triunghi isoscel a fost numit „pantaloni pitagoreici”.

Acești „pantaloni” apar atunci când pe fiecare parte a unui triunghi dreptunghic pentru a construi pătrate spre exterior.

Câte dovezi diferite ale teoremei lui Pitagora există?

Din vremea lui Pitagora au apărut peste 350. Teorema a fost inclusă în Cartea Recordurilor Guinness. Dacă analizăm dovezile teoremei, atunci ele folosesc câteva idei fundamental diferite.

Domenii de aplicare a teoremei.

Este utilizat pe scară largă în rezolvare geometric sarcini.

Cu ajutorul acestuia puteți găsi geometric valorile rădăcinilor pătrate ale numerelor întregi:

Pentru a face acest lucru, construim un triunghi dreptunghic AOB (unghiul A este de 90 °) cu catete unități. Atunci ipotenuza sa este √2. Apoi construim un singur segment BC, BC este perpendicular pe OB, lungimea ipotenuzei OS=√3 etc.

(această metodă se găsește la Euclid și F. Kirensky).

Sarcini în curs fizică liceul necesită cunoașterea teoremei lui Pitagora.

Acestea sunt sarcini legate de adăugarea vitezelor.

Atenție la diapozitiv: o sarcină dintr-un manual de fizică de clasa a IX-a. În sens practic, poate fi formulat astfel: în ce unghi față de curgerea râului ar trebui să se deplaseze o ambarcațiune care transportă pasageri între debarcadere pentru a respecta programul? (digurile sunt pe malurile opuse ale râului)

Când un biatlet trage la o țintă, el face o „corecție de vânt”. Dacă vântul bate din dreapta, iar sportivul trage în linie dreaptă, atunci glonțul va merge spre stânga. Pentru a lovi ținta, trebuie să mutați vizorul spre dreapta cu distanța de deplasare a glonțului. Pentru ei au fost întocmite tabele speciale (pe baza consecințelor tovarășului Pitagora). Biatletul știe în ce unghi să schimbe vederea la o viteză cunoscută a vântului.

Astronomie - de asemenea, o zonă largă de aplicare a teoremei calea fasciculului de lumină. Figura arată traseul unui fascicul de lumină de la A la B și înapoi. Calea fasciculului este afișată cu o săgeată curbă pentru claritate, de fapt, fasciculul de lumină este drept.

Care este calea fasciculului? Lumina se deplasează înainte și înapoi în același mod. Care este jumătate din drumul pe care îl parcurge raza? Dacă marcam segmentul AB simbol l, jumătate din timp ca t, și, de asemenea, indicând viteza luminii prin literă c, atunci ecuația noastră va lua forma

c*t=l

Acesta este produsul timpului petrecut cu viteza!

Acum să încercăm să privim același fenomen dintr-un alt cadru de referință, de exemplu, de la o navă spațială care zboară pe lângă un fascicul care călătorește cu o viteză v. Cu o astfel de observație, vitezele tuturor corpurilor se vor schimba, iar corpurile staționare vor începe să se miște cu o viteză. vîn sens invers. Să presupunem că nava se mișcă spre stânga. Apoi cele două puncte între care aleargă iepurașul se vor deplasa spre dreapta cu aceeași viteză. Mai mult, în timp ce iepurașul își aleargă drumul, punctul de plecare A se schimbă și fasciculul revine într-un nou punct C.

Întrebare: cât timp se va mișca punctul (pentru a se transforma în punctul C) în timp ce se deplasează fasciculul de lumină? Mai precis: cu ce este egală jumătate din această compensare? Dacă notăm jumătate din timpul de călătorie al fasciculului cu literă t", și jumătate din distanță AC scrisoare d, atunci obținem ecuația noastră sub forma:

v * t" = d

scrisoare v indică viteza navei spațiale.

O altă întrebare: ce cale va parcurge raza de lumină în acest caz?(Mai precis, care este jumătate din această cale? Care este distanța până la obiectul necunoscut?)

Dacă notăm jumătate din lungimea căii luminii cu litera s, atunci obținem ecuația:

c * t" = s

Aici c este viteza luminii și t" este același timp cu cel discutat mai sus.

Acum luați în considerare triunghiul ABC. Este un triunghi isoscel a cărui înălțime este l, pe care l-am introdus atunci când luăm în considerare procesul dintr-un punct de vedere fix. Deoarece mișcarea este perpendiculară l, atunci nu putea să o afecteze.

Triunghi ABC compus din două jumătăți - triunghiuri dreptunghiulare identice, ale căror ipotenuze ABȘi î.Hr trebuie conectat cu picioarele conform teoremei lui Pitagora. Unul dintre picioare este d, pe care tocmai l-am calculat, iar al doilea picior este s, prin care trece lumina și pe care l-am calculat și noi. Obținem ecuația:

s 2 =l 2 +d 2

Aceasta este teorema lui Pitagora!

Fenomen aberație stelară, descoperit în 1729, constă în faptul că toate stelele din sfera cerească descriu elipse. Semi-axa majoră a acestor elipse este observată de pe Pământ la un unghi de 20,5 grade. Acest unghi este asociat cu mișcarea Pământului în jurul Soarelui cu o viteză de 29,8 km pe oră. Pentru a observa o stea de pe un Pământ în mișcare, este necesar să înclinați tubul telescopului înainte de-a lungul mișcării stelei, deoarece în timp ce lumina străbate lungimea telescopului, ocularul se deplasează înainte împreună cu pământul. Adunarea vitezelor luminii și a Pământului se face vectorial, folosind așa-numitele.

Pitagora. U 2 \u003d C 2 + V 2

C este viteza luminii

Viteza la sol în V

tubul telescopului

La sfârșitul secolului al XIX-lea, s-au făcut diverse presupuneri cu privire la existența unor locuitori pe Marte asemănători oamenilor, acesta a fost rezultatul descoperirilor astronomului italian Schiaparelli (a deschis canale pe Marte care au fost considerate artificiale multă vreme) . Desigur, întrebarea dacă este posibil să comunici cu aceste creaturi ipotetice cu ajutorul semnalelor luminoase a provocat o discuție plină de viață. Academia de Științe din Paris a stabilit chiar și un premiu de 100.000 de franci pentru prima persoană care a stabilit contactul cu vreun locuitor al unui alt corp ceresc; acest premiu îl așteaptă încă pe norocos. Ca o glumă, deși nu complet nerezonabilă, s-a decis să se trimită un semnal locuitorilor de pe Marte sub forma teoremei lui Pitagora.

Nu se știe cum să facă asta; dar este evident pentru toată lumea că faptul matematic exprimat de teorema lui Pitagora are loc peste tot și, prin urmare, locuitorii unei alte lumi ca noi ar trebui să înțeleagă un astfel de semnal.

conexiune mobilă

Cine în lumea de astăzi nu folosește un telefon mobil? Fiecare abonat mobil este interesat de calitatea acestuia. Iar calitatea, la rândul ei, depinde de înălțimea antenei operatorului de telefonie mobilă. Pentru a calcula în ce rază poate fi recepționată o transmisie, folosim teorema lui Pitagora.

Care este înălțimea maximă a antenei operatorului de telefonie mobilă pentru a primi o transmisie pe o rază de R=200 km? (Raza Pământului este de 6380 km.)

Soluţie:

Lasa AB= x , BC=R=200 km , OC= r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x.

Folosind teorema lui Pitagora, obținem Raspuns: 2,3 km.

Când se construiesc case și cabane, apare adesea întrebarea cu privire la lungimea căpriorii pentru acoperiș, dacă grinzile au fost deja făcute. De exemplu: se plănuiește construirea unui acoperiș în două versanți într-o casă (forma în secțiune). Ce lungime ar trebui să aibă căpriorii dacă grinzile sunt făcute AC=8 m. și AB=BF.

Soluţie:

Triunghiul ADC este isoscel AB=BC=4 m., BF=4 m. Dacă presupunem că FD=1,5 m., atunci:

A) Din triunghiul DBC: DB=2,5 m.

B) Din triunghiul ABF:

Fereastră

În clădiri Stil gotic și romanic părțile superioare ale ferestrelor sunt împărțite prin nervuri de piatră, care nu numai că joacă rolul unui ornament, dar contribuie și la rezistența ferestrelor. Figura prezintă un exemplu simplu de astfel de fereastră în stil gotic. Metoda de construire este foarte simplă: din figură este ușor să găsiți centrele a șase arce de cerc, ale căror raze sunt egale cu

lăţimea ferestrei (b) pentru arcade exterioare

jumătate de lățime, (b/2) pentru arcuri interne

Există încă un cerc complet care atinge cele patru arce. Deoarece este închis între două cercuri concentrice, diametrul său este egal cu distanța dintre aceste cercuri, adică b / 2 și, prin urmare, raza este egală cu b / 4. Și atunci devine clar

poziţia centrului său.

ÎN Arhitectura romanica motivul prezentat în figură este adesea găsit. Dacă b tot desemnează lățimea ferestrei, atunci razele semicercurilor vor fi egale cu R = b / 2 și r = b / 4. Raza p a cercului interior poate fi calculată din triunghiul dreptunghic prezentat în fig. linie punctata. Ipotenuza acestui triunghi, care trece prin punctul tangent al cercurilor, este egală cu b/4+p, un catet este egal cu b/4, iar celălalt este b/2-p. După teorema lui Pitagora avem:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 - bp / 2 + p 2,

Împărțind cu b și aducând termeni similari, obținem:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

În industria forestieră: pentru nevoile de construcție, buștenii sunt tăiați în cherestea, în timp ce sarcina principală este de a obține cât mai puține deșeuri. Cea mai mică cantitate de deșeuri va fi atunci când fasciculul are cel mai mare volum. Ce ar trebui să fie în secțiune? După cum se poate vedea din soluție, secțiunea transversală trebuie să fie pătrată și teorema lui Pitagora iar alte considerente permit tragerea unei asemenea concluzii.

Bar cu cel mai mare volum

O sarcină

Dintr-un buștean cilindric este necesar să tăiați un fascicul dreptunghiular de cel mai mare volum. Ce formă ar trebui să aibă secțiunea sa transversală (Fig. 23)?

Soluţie

Dacă laturile unei secțiuni dreptunghiulare sunt x și y, atunci după teorema lui Pitagora

x 2 + y 2 \u003d d 2,

unde d este diametrul bușteanului. Volumul lemnului este cel mai mare atunci când aria sa transversală este cea mai mare, adică atunci când xy atinge valoarea sa cea mai mare. Dar dacă xy este cel mai mare, atunci produsul x 2 y 2 va fi și cel mai mare. Deoarece suma x 2 + y 2 este neschimbată, atunci, conform celor dovedite mai devreme, produsul x 2 y 2 este cel mai mare atunci când

x 2 \u003d y 2 sau x \u003d y.

Deci, secțiunea transversală a fasciculului ar trebui să fie pătrată.

Sarcini de transport(așa-numitele sarcini de optimizare; sarcini, a căror soluție permite răspunsul la întrebarea: cum să dispuneți de fonduri pentru a obține beneficii mari)

La prima vedere, nimic deosebit: măsurați înălțimea de la podea la tavan în mai multe puncte, scădeți câțiva centimetri pentru ca dulapul să nu se sprijine de tavan. După ce a făcut acest lucru, în procesul de asamblare a mobilierului, pot apărea dificultăți. La urma urmei, producătorii de mobilă asamblează cadrul prin plasarea dulapului într-o poziție orizontală, iar când cadrul este asamblat, îl ridică într-o poziție verticală. Luați în considerare peretele lateral al dulapului. Înălțimea dulapului trebuie să fie cu 10 cm mai mică decât distanța de la podea la tavan, cu condiția ca această distanță să nu depășească 2500 mm. Și adâncimea dulapului este de 700 mm. De ce 10 cm, și nu 5 cm sau 7, și ce legătură are teorema lui Pitagora cu ea?

Deci: perete lateral 2500-100=2400(mm) - inaltimea maxima a structurii.

Peretele lateral în procesul de ridicare a cadrului trebuie să treacă liber atât în ​​înălțime, cât și în diagonală. De teorema lui Pitagora

AC \u003d √ AB 2 + BC 2

AC= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Ce se întâmplă dacă înălțimea dulapului este redusă cu 50 mm?

AC= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonala 2548 mm. Deci, nu poți pune un dulap (poți strica tavanul).

Paratrăsnet.

Se știe că un paratrăsnet protejează toate obiectele de trăsnet, a căror distanță de la bază nu depășește înălțimea sa dublată. Este necesar să se determine poziția optimă a paratrăsnetului pe un acoperiș cu fronton, oferind cea mai mică înălțime disponibilă.

Conform teoremei lui Pitagora h 2 ≥ a 2 +b 2 înseamnă h≥(a 2 +b 2) 1/2

De urgență, la cabana lor de vară este necesar să se facă o seră pentru răsaduri.

Din scânduri a doborât un pătrat de 1m1m. Există rămășițe de peliculă care măsoară 1,5 m1,5 m. La ce înălțime în centrul pătratului ar trebui să fie fixată șina astfel încât filmul să o acopere complet?

1) Diagonala serei d == 1,4; 0,7

2) Diagonala filmului d 1= 2,12 1,06

3) Înălțimea șinei x= 0,7

Concluzie

În urma cercetărilor, am aflat câteva domenii de aplicare a teoremei lui Pitagora. Am adunat și prelucrat o mulțime de materiale din surse literare și de pe Internet pe această temă. Am studiat câteva informații istorice despre Pitagora și teorema lui. Da, într-adevăr, folosind teorema lui Pitagora, poți rezolva nu numai probleme matematice. Teorema lui Pitagora și-a găsit aplicația în construcții și arhitectură, comunicații mobile și literatură.

Studiul și analiza surselor de informații despre teorema lui Pitagora

a aratat ca:

dar) atenția exclusivă a matematicienilor și amatorilor de matematică față de teorema se bazează pe simplitatea, frumusețea și semnificația acesteia;

b) teorema lui Pitagora de multe secole servește drept imbold pentru descoperiri matematice interesante și importante (teorema lui Fermat, teoria relativității a lui Einstein);

în) teorema lui Pitagora - este întruchiparea limbajului universal al matematicii, valabil în întreaga lume;

G) domeniul de aplicare al teoremei este destul de extins și, în general, nu poate fi indicat cu suficientă completitudine;

d) secretele teoremei lui Pitagora continuă să excite umanitatea și, prin urmare, fiecăruia dintre noi i se oferă șansa de a fi implicat în dezvăluirea lor.

Bibliografie

Uspekhi matematicheskikh nauk, 1962, vol. 17, nr. 6 (108).

Alexander Danilovici Alexandrov (la cea de-a 50-a aniversare),

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometrie, 10 - 11 celule. - M.: Iluminismul, 1992.

Atanasyan L.S. etc Geometrie, 10 - 11 celule. - M.: Iluminismul, 1992.

Vladimirov Yu.S. Spațiu - timp: dimensiuni explicite și ascunse. - M.: „Nauka”, 1989.

Voloshin A.V. Pitagora. - M.: Iluminismul, 1993.

Ziarul „Matematică”, nr. 21, 2006.

Ziarul „Matematică”, nr. 28, 1995.

Geometrie: Proc. Pentru 7 - 11 celule. gimnaziu / G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Iluminismul, 1992.

Geometrie: manual pentru 7 - 9 celule. educatie generala Institutii/ L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev și alții - ed. a VI-a. - M.: Iluminismul, 1996.

Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala: IX - Xcl. Un ghid pentru profesori. - M.: Iluminismul, 1983.

Capitole suplimentare la manualul școlar clasa a VIII-a: Manual pentru elevi. si cursuri cu aprofundare. studiu matematică /L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev și alții - M .: Educație, 1996.

Yelensky Sh. Pe urmele lui Pitagora. M., 1961.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometrie: Planimetrie: 7 - 9 celule: Manual și carte de probleme. - M.: Dropia, 1995.

Kline M. Matematică. Caută adevăr: traducere din engleză. / Ed. și prefață. IN SI. Arshinova, Yu.V. Sachkov. - M.: Mir, 1998.

Liturman V. Teorema lui Pitagora. - M., 1960.

Matematică: Manualul școlarilor și elevilor / B. Frank și alții; Traducere de la el. - Ed. a III-a, stereotip. - M.: Dropia, 2003.

Peltwer A. Cine ești tu Pitagora? - M.: Cunoașterea este putere, nr. 12, 1994.

Perelman Ya. I. Matematică distractivă. - M.: „Știință”, 1976.

Ponomareva T.D. Mari oameni de știință. - M .: SRL Editura Astrel, 2002.

Sveshnikova A. Călătorie în istoria matematicii. - M., 1995.

Semyonov E.E. Studiem geometria: Cartea. Pentru elevi 6 - 8 celule. gimnaziu - M.: Iluminismul, 1987.

Smyshlyaev V.K. Despre matematică și matematicieni. - Editura Carte Mari, 1977.

Tuchnin N.P. Cum să pui o întrebare. - M.: Iluminismul, 1993.

Cherkasov O.Yu. Planimetrie la examenul de admitere. - M.: Liceul din Moscova, 1996.

Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician. Comp. A.P. Savin. - M.: Pedagogie, 1985.

Enciclopedie pentru copii. T. 11. Matematică. /Ch. Ed. M.D. Aksenova. - M.: Avanta +, 2001.

Teorema lui Pitagora spune:

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei:

a 2 + b 2 = c 2,

• AȘi b- picioarele formând un unghi drept.
• din este ipotenuza triunghiului.

Formule ale teoremei lui Pitagora

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Dovada teoremei lui Pitagora

Aria unui triunghi dreptunghic se calculează cu formula:

S = \frac(1)(2)ab

Pentru a calcula aria unui triunghi arbitrar, formula ariei este:

• p- semiperimetrul. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
• r este raza cercului înscris. Pentru un dreptunghi r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Apoi echivalăm laturile drepte ale ambelor formule pentru aria unui triunghi:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Teorema inversă a lui Pitagora:

Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este un triunghi dreptunghic. Adică pentru orice triplu de numere pozitive a, bȘi c, astfel încât

a 2 + b 2 = c 2,

există un triunghi dreptunghic cu catete AȘi b si ipotenuza c.

teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia dintre laturile unui triunghi dreptunghic. A fost dovedit de savantul matematician și filozoful Pitagora.

Sensul teoremei prin aceea că poate fi folosit pentru a demonstra alte teoreme și pentru a rezolva probleme.

Material suplimentar:

Un lucru de care poți fi sigur sută la sută, că la întrebarea care este pătratul ipotenuzei, orice adult va răspunde cu îndrăzneală: „Suma pătratelor picioarelor”. Această teoremă este ferm plantată în mintea fiecărei persoane educate, dar este suficient doar să ceri cuiva să o demonstreze și atunci pot apărea dificultăți. Prin urmare, să ne amintim și să luăm în considerare diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora.

Scurtă prezentare a biografiei

Teorema lui Pitagora este familiară aproape tuturor, dar din anumite motive biografia persoanei care a produs-o nu este atât de populară. O vom repara. Prin urmare, înainte de a studia diferitele modalități de a demonstra teorema lui Pitagora, trebuie să vă familiarizați pe scurt cu personalitatea sa.

Pitagora - un filozof, matematician, gânditor de astăzi este foarte greu să-i deosebești biografia de legendele care s-au dezvoltat în memoria acestui mare om. Dar, după cum reiese din scrierile adepților săi, Pitagora din Samos s-a născut pe insula Samos. Tatăl său era un tăietor de pietre obișnuit, dar mama lui provenea dintr-o familie nobilă.

Potrivit legendei, nașterea lui Pitagora a fost prezisă de o femeie pe nume Pythia, în cinstea căreia băiatul a fost numit. Conform predicției ei, un băiat născut avea să aducă multe beneficii și bine omenirii. Ceea ce a făcut de fapt.

Nașterea unei teoreme

În tinerețe, Pitagora s-a mutat în Egipt pentru a-i întâlni pe celebrii înțelepți egipteni de acolo. După întâlnirea cu ei, a fost admis la studii, unde a învățat toate marile realizări ale filozofiei, matematicii și medicinei egiptene.

Probabil, în Egipt, Pitagora a fost inspirat de măreția și frumusețea piramidelor și a creat marea sa teorie. Acest lucru poate șoca cititorii, dar istoricii moderni cred că Pitagora nu și-a dovedit teoria. Dar el a transmis cunoștințele sale doar adepților săi, care ulterior au finalizat toate calculele matematice necesare.

Oricum ar fi, astăzi nu se cunoaște o tehnică de demonstrare a acestei teoreme, ci mai multe deodată. Astăzi putem doar ghici cum exact grecii antici și-au făcut calculele, așa că aici vom lua în considerare diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Înainte de a începe orice calcul, trebuie să vă dați seama ce teorie să demonstrați. Teorema lui Pitagora sună astfel: „Într-un triunghi în care unul dintre unghiuri este de 90 o, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei”.

Există 15 moduri diferite de a demonstra teorema lui Pitagora în total. Acesta este un număr destul de mare, așa că să acordăm atenție celor mai populare dintre ele.

Metoda unu

Să definim mai întâi ce avem. Aceste date se vor aplica și altor modalități de demonstrare a teoremei lui Pitagora, așa că ar trebui să vă amintiți imediat toată notația disponibilă.

Să presupunem că este dat un triunghi dreptunghic, cu catetele a, b și ipotenuza egală cu c. Prima metodă de demonstrare se bazează pe faptul că un pătrat trebuie trasat dintr-un triunghi dreptunghic.

Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați un segment egal cu piciorul în lungimea piciorului a și invers. Deci ar trebui să iasă două laturi egale ale pătratului. Rămâne doar să desenați două linii paralele, iar pătratul este gata.

În interiorul figurii rezultate, trebuie să desenați un alt pătrat cu o latură egală cu ipotenuza triunghiului original. Pentru a face acest lucru, din vârfurile ac și sv, trebuie să desenați două segmente paralele egale cu c. Astfel, obținem trei laturi ale pătratului, dintre care una este ipotenuza triunghiului dreptunghic inițial. Rămâne doar să desenăm al patrulea segment.

Pe baza cifrei rezultate, putem concluziona că aria pătratului exterior este (a + b) 2. Dacă te uiți în interiorul figurii, poți vedea că, pe lângă pătratul interior, are patru triunghiuri dreptunghiulare. Suprafața fiecăruia este de 0,5 av.

Prin urmare, aria este: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Prin urmare (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Și, prin urmare, cu 2 \u003d a 2 + în 2

Teorema a fost demonstrată.

Metoda a doua: triunghiuri similare

Această formulă pentru demonstrarea teoremei lui Pitagora a fost derivată pe baza unei afirmații din secțiunea de geometrie despre triunghiuri similare. Se spune că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională cu ipotenuza sa și segmentul de ipotenuză care provine din vârful unui unghi de 90 o.

Datele inițiale rămân aceleași, așa că să începem imediat cu dovada. Să desenăm un segment CD perpendicular pe latura AB. Pe baza afirmației de mai sus, catetele triunghiurilor sunt egale:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Pentru a răspunde la întrebarea cum să demonstrăm teorema lui Pitagora, demonstrația trebuie făcută prin pătrarea ambelor inegalități.

AC 2 \u003d AB * IAD și SV 2 \u003d AB * DV

Acum trebuie să adăugăm inegalitățile rezultate.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), unde AD + DV \u003d AB

Rezultă că:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Prin urmare:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Demonstrarea teoremei lui Pitagora și diferitele modalități de rezolvare a acesteia necesită o abordare versatilă a acestei probleme. Cu toate acestea, această opțiune este una dintre cele mai simple.

O altă metodă de calcul

Descrierea diferitelor moduri de a demonstra teorema lui Pitagora poate să nu spună nimic, până când nu începeți să exersați pe cont propriu. Multe metode implică nu numai calcule matematice, ci și construcția de noi figuri din triunghiul original.

În acest caz, este necesar să finalizați un alt triunghi dreptunghic VSD de la piciorul aeronavei. Astfel, acum există două triunghiuri cu catetă comună BC.

Știind că ariile figurilor similare au un raport ca pătratele dimensiunilor lor liniare similare, atunci:

S avs * s 2 - S avd * în 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (de la 2 la 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

de la 2 la 2 \u003d un 2

c 2 \u003d a 2 + în 2

Deoarece această opțiune nu este potrivită din diferite metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora pentru clasa a 8-a, puteți utiliza următoarea tehnică.

Cel mai simplu mod de a demonstra teorema lui Pitagora. Recenzii

Istoricii cred că această metodă a fost folosită pentru prima dată pentru a demonstra o teoremă în Grecia antică. Este cel mai simplu, deoarece nu necesită absolut niciun calcul. Dacă desenați corect o imagine, atunci dovada afirmației că a 2 + b 2 \u003d c 2 va fi clar vizibilă.

Condițiile pentru această metodă vor fi ușor diferite de cea anterioară. Pentru a demonstra teorema, să presupunem că triunghiul dreptunghic ABC este isoscel.

Luăm ipotenuza AC ca latură a pătratului și desenăm cele trei laturi ale acestuia. În plus, este necesar să desenați două linii diagonale în pătratul rezultat. Astfel încât în ​​interiorul ei să obții patru triunghiuri isoscele.

Pentru picioarele AB și CB, trebuie de asemenea să desenați un pătrat și să desenați o linie diagonală în fiecare dintre ele. Desenăm prima linie de la vârful A, a doua - de la C.

Acum trebuie să te uiți cu atenție la imaginea rezultată. Deoarece există patru triunghiuri pe ipotenuza AC, egale cu cea inițială, și două pe catete, acest lucru indică veridicitatea acestei teoreme.

Apropo, datorită acestei metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora, s-a născut celebra frază: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”.

Dovada de J. Garfield

James Garfield este al 20-lea președinte al Statelor Unite ale Americii. Pe lângă faptul că și-a lăsat amprenta asupra istoriei ca conducător al Statelor Unite, a fost și un autodidact talentat.

La începutul carierei, a fost profesor obișnuit la o școală populară, dar în curând a devenit directorul uneia dintre instituțiile de învățământ superior. Dorința de auto-dezvoltare i-a permis să ofere o nouă teorie a demonstrației teoremei lui Pitagora. Teorema și un exemplu de soluție sunt după cum urmează.

Mai întâi trebuie să desenați două triunghiuri dreptunghiulare pe o bucată de hârtie, astfel încât piciorul unuia dintre ele să fie o continuare a celui de-al doilea. Vârfurile acestor triunghiuri trebuie să fie conectate pentru a ajunge la un trapez.

După cum știți, aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale și înălțimea.

S=a+b/2 * (a+b)

Dacă considerăm trapezul rezultat ca o figură formată din trei triunghiuri, atunci aria sa poate fi găsită după cum urmează:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Acum trebuie să egalăm cele două expresii originale

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + în 2

Se pot scrie mai mult de un volum dintr-un manual despre teorema lui Pitagora și despre cum se demonstrează. Dar are sens atunci când aceste cunoștințe nu pot fi puse în practică?

Aplicarea practică a teoremei lui Pitagora

Din păcate, programele școlare moderne prevăd utilizarea acestei teoreme doar în problemele geometrice. Absolvenții vor părăsi în curând zidurile școlii fără să știe cum își pot aplica cunoștințele și abilitățile în practică.

De fapt, oricine poate folosi teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi. Și nu numai în activități profesionale, ci și în treburile casnice obișnuite. Să luăm în considerare câteva cazuri în care teorema lui Pitagora și metodele de demonstrare a acesteia pot fi extrem de necesare.

Legătura dintre teoremă și astronomie

S-ar părea cum stelele și triunghiurile pot fi conectate pe hârtie. De fapt, astronomia este un domeniu științific în care teorema lui Pitagora este utilizată pe scară largă.

De exemplu, luați în considerare mișcarea unui fascicul de lumină în spațiu. Știm că lumina se deplasează în ambele direcții cu aceeași viteză. Numim traiectoria AB de-a lungul căreia se mișcă raza de lumină l. Și jumătate din timpul necesar pentru ca lumina să ajungă din punctul A în punctul B, să sunăm t. Și viteza fasciculului - c. Rezultă că: c*t=l

Dacă te uiți la același fascicul dintr-un alt plan, de exemplu, dintr-o linie spațială care se mișcă cu o viteză v, atunci cu o astfel de observare a corpurilor, viteza lor se va schimba. În acest caz, chiar și elementele staționare se vor deplasa cu o viteză v în direcția opusă.

Să presupunem că linia de benzi desenate navighează spre dreapta. Apoi punctele A și B, între care raza se repezi, se vor deplasa spre stânga. Mai mult, atunci când fasciculul se deplasează din punctul A în punctul B, punctul A are timp să se miște și, în consecință, lumina va ajunge deja într-un nou punct C. Pentru a găsi jumătate din distanța la care punctul A sa deplasat, trebuie să înmulțiți valoarea viteza căptușelii cu jumătate din timpul de călătorie al fasciculului (t ").

Și pentru a afla cât de departe ar putea călători o rază de lumină în acest timp, trebuie să desemnați jumătate din calea noului fag și să obțineți următoarea expresie:

Dacă ne imaginăm că punctele de lumină C și B, precum și linia spațială, sunt vârfurile unui triunghi isoscel, atunci segmentul de la punctul A la căptușeală îl va împărți în două triunghiuri dreptunghiulare. Prin urmare, datorită teoremei lui Pitagora, puteți afla distanța pe care o poate parcurge o rază de lumină.

Acest exemplu, desigur, nu este cel mai de succes, deoarece doar câțiva pot avea norocul să-l încerce în practică. Prin urmare, luăm în considerare aplicații mai banale ale acestei teoreme.

Raza de transmisie a semnalului mobil

Viața modernă nu mai poate fi imaginată fără existența smartphone-urilor. Dar cât de mult le-ar fi de folos dacă nu ar putea conecta abonații prin comunicații mobile?!

Calitatea comunicațiilor mobile depinde direct de înălțimea la care se află antena operatorului de telefonie mobilă. Pentru a calcula cât de departe de un turn mobil un telefon poate primi un semnal, puteți aplica teorema lui Pitagora.

Să presupunem că trebuie să găsiți înălțimea aproximativă a unui turn staționar, astfel încât să poată propaga un semnal pe o rază de 200 de kilometri.

AB (înălțimea turnului) = x;

BC (raza de transmisie a semnalului) = 200 km;

OS (raza globului) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Aplicând teorema lui Pitagora, aflăm că înălțimea minimă a turnului ar trebui să fie de 2,3 kilometri.

Teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi

În mod ciudat, teorema lui Pitagora poate fi utilă chiar și în chestiuni de zi cu zi, cum ar fi determinarea înălțimii unui dulap, de exemplu. La prima vedere, nu este nevoie să folosiți astfel de calcule complexe, deoarece puteți efectua pur și simplu măsurători cu o bandă de măsurare. Mulți sunt însă surprinși de ce apar anumite probleme în timpul procesului de asamblare dacă toate măsurătorile au fost luate mai mult decât exact.

Faptul este că dulapul este asamblat în poziție orizontală și abia apoi se ridică și este instalat pe perete. Prin urmare, peretele lateral al dulapului în procesul de ridicare a structurii trebuie să treacă liber atât de-a lungul înălțimii, cât și în diagonală a încăperii.

Să presupunem că există un dulap cu o adâncime de 800 mm. Distanța de la podea la tavan - 2600 mm. Un producător de mobilier cu experiență va spune că înălțimea dulapului ar trebui să fie cu 126 mm mai mică decât înălțimea camerei. Dar de ce exact 126 mm? Să ne uităm la un exemplu.

Cu dimensiunile ideale ale dulapului, să verificăm funcționarea teoremei lui Pitagora:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - totul converge.

Să presupunem că înălțimea dulapului nu este de 2474 mm, ci de 2505 mm. Apoi:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Prin urmare, acest dulap nu este potrivit pentru instalarea în această cameră. Deoarece atunci când îl ridicați într-o poziție verticală, poate fi cauzată deteriorarea corpului.

Poate, având în vedere diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora de către diferiți oameni de știință, putem concluziona că este mai mult decât adevărată. Acum puteți utiliza informațiile primite în viața de zi cu zi și puteți fi complet sigur că toate calculele vor fi nu numai utile, ci și corecte.