Mod grafic de rezolvare a sistemelor de ecuații

(clasa a 9-a)

Manual: Algebră, clasa a 9-a, editat de Telyakovsky S.A.

Tip de lecție: o lecție de aplicare complexă a cunoștințelor, abilităților, abilităților.

Obiectivele lecției:

Educational: Dezvoltați capacitatea de a aplica în mod independent cunoștințele într-un complex, de a le transfera în condiții noi, inclusiv de a lucra cu un program de calculator pentru trasarea graficelor de funcții și de a găsi numărul de rădăcini în ecuații date.

Educational: Să formeze capacitatea elevilor de a evidenția principalele trăsături, de a stabili asemănări și diferențe. Îmbogățiți vocabularul. Dezvoltați vorbirea, complicându-i funcția semantică. Dezvoltați gândirea logică, interesul cognitiv, cultura construcției grafice, memoria, curiozitatea.

Educational: Cultivați simțul responsabilității pentru rezultatul muncii lor. Învață să empatizezi cu succesele și eșecurile colegilor de clasă.

Mijloace de educație : computer, proiector multimedia, fișă.

Planul lecției:

Organizarea timpului. Tema pentru acasă - 2 min.

Actualizare, repetare, corectare a cunoștințelor - 8 min.

Învățare material nou - 10 min.

Lucrări practice - 20 min.

Rezumat - 4 min.

Reflecție - 1 min.

ÎN CURILE CURĂRILOR

Moment organizatoric - 2 min.

Buna baieti! Astăzi este o lecție pe un subiect important: „Rezolvarea sistemelor de ecuații”.

Nu există astfel de domenii de cunoaștere în științele exacte, oriunde se aplică acest subiect. Epigraful lecției noastre este următoarele cuvinte : „Mintea nu este doar în cunoaștere, ci și în capacitatea de a aplica cunoștințele în practică ". (Aristotel)

Stabilirea temei, a scopurilor și a obiectivelor lecției.

Profesorul informează clasa despre ceea ce va fi studiat în lecție și stabilește sarcina de a învăța cum să rezolve sisteme de ecuații cu două variabile într-un mod grafic.

Tema pentru acasă (P.18 Nr. 416, 418, 419 a).

Repetarea materialului teoretic - 8 min.

DAR) Profesor de matematica: Conform desenelor finalizate, răspunde la întrebări și justifică răspunsul.

1). Aflați graficul funcției pătratice D =0 (Elevii răspund la întrebare și numesc graficul 3c).

2). Găsiți un grafic al unei funcții invers proporționale pentru k > 0 (Elevii răspund la întrebare, apelați graficul 3A ).

3). Găsiți graficul unui cerc cu centrul O(-1; -5). (Elevii răspund la întrebare, apelați graficul 1b).

4). Aflați graficul funcției y =3x -2. (Elevii răspund la întrebare și numesc graficul 3b).

5). Găsiți graficul unei funcții pătratice D >0, a >0. (Elevii răspund la întrebare și numesc graficul 1A ).

Profesor de matematica: – Pentru a rezolva cu succes sisteme de ecuații, să ne amintim:

unu). Ce este un sistem de ecuații? (Un sistem de ecuații se numește mai multe ecuații pentru care este necesar să se găsească valorile necunoscutelor care satisfac simultan toate aceste ecuații).

2). Ce înseamnă să rezolvi un sistem de ecuații? (A rezolva un sistem de ecuații înseamnă a găsi toate soluțiile sau a demonstra că nu există soluții).

3). Care este soluția unui sistem de ecuații? (Rezolvarea unui sistem de ecuații este o pereche de numere (x; y), în care toate ecuațiile sistemului se transformă în egalități adevărate).

4) Aflați dacă soluția sistemului de ecuații
pereche de numere: a) x = 1, y = 2;(–) b) x = 2, y = 4; (+) c) x \u003d - 2, y \u003d - 4? (+)

III Material nou - 10 min.

Punctul 18 al manualului este prezentat prin metoda conversației.

Profesor de matematica: La cursul de algebră de clasa a VII-a am luat în considerare sisteme de ecuații de gradul I. Acum să ne ocupăm de soluția sistemelor compuse din ecuații de gradul I și II.

1. Ce se numește un sistem de ecuații?

2. Ce înseamnă rezolvarea unui sistem de ecuații?

Știm că metoda algebrică vă permite să găsiți soluții exacte la sistem, iar metoda grafică vă permite să vedeți vizual câte rădăcini are sistemul și să le găsiți aproximativ. Prin urmare, vom continua să învățăm cum să rezolvăm sisteme de ecuații de gradul doi în lecțiile următoare, iar astăzi scopul principal al lecției va fi aplicarea practică a unui program de calculator pentru trasarea graficelor de funcții și găsirea numărului de rădăcini ale sisteme de ecuații.

IV . Lucrări practice - 20 min. Rezolvarea grafică a sistemelor de ecuații. Determinarea rădăcinilor ecuațiilor.(Tratarea unui grafic pe un computer.)

Temele sunt îndeplinite de studenți pe computer. Soluțiile sunt verificate în timpul funcționării.

y=2x2+5x+3

y=4

y \u003d -2x 2 + 5x + 3

y=-3x+4

y = -2x2 -5x-3

y=-4+2x

y=4x2+5x+3

y=2

y= -4 X 2 +5x+3

y=-3x+2

y = -4x2 -5x-3

y=-2+2x

y = 4 X 2 + 5 X+5

y=3

y = -4x2 +5x+5

y=-x+3

y = -4x2 -5x-5

y=-2+3x

Iată graficele a două ecuații. Scrieți sistemul definit de aceste ecuații și soluția acestuia.

– Care dintre următoarele sisteme poti rezolva cu poza asta?

– Au fost date 4 sisteme, acestea trebuiau corelate cu graficele. Acum sarcina este inversată: există grafice, acestea trebuie corelate cu sistemul.

1. Rezumând lecția. Notare - 4 min.

* Rezolvarea sistemelor de ecuații. ( Sarcini cu un asterisc*.)

Ecuații pentru prima grupă de elevi:

Ecuații pentru grupa a 2-a de elevi:

Ecuații pentru grupa a 3-a de elevi:

X y = 6

X 2 + y = 4

x 2 + y = 3

x - y + 1= 0

x 2 - y = 3

Luați în considerare următoarele ecuații:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Fiecare dintre ecuațiile de mai sus este o ecuație cu două variabile. Mulțimea punctelor planului de coordonate, ale căror coordonate transformă ecuația într-o egalitate numerică adevărată, se numește graficul unei ecuații în două necunoscute.

Graficul unei ecuații cu două variabile

Ecuațiile cu două variabile au o mare varietate de diagrame. De exemplu, pentru ecuația 2*x + 3*y = 15, graficul va fi o linie dreaptă, pentru ecuația x 2 + y 2 = 4, graficul va fi un cerc cu raza de 2, graficul lui ecuația y*x = 1 va fi o hiperbolă etc.

Ecuațiile întregi cu două variabile au și ele un grad. Acest grad se determină în același mod ca și pentru întreaga ecuație cu o variabilă. Pentru a face acest lucru, ecuația este adusă la forma când partea stângă este un polinom al formei standard, iar partea dreaptă este zero. Acest lucru se realizează prin transformări echivalente.

Mod grafic de rezolvare a sistemelor de ecuații

Să ne dăm seama cum să rezolvăm sisteme de ecuații care vor consta din două ecuații cu două variabile. Luați în considerare o modalitate grafică de a rezolva astfel de sisteme.

Exemplul 1. Rezolvați sistemul de ecuații:

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Să reprezentăm graficele primei și celei de-a doua ecuații în același sistem de coordonate. Graficul primei ecuații va fi un cerc centrat la origine și raza 5. Graficul celei de-a doua ecuații va fi o parabolă cu ramurile în jos.

Toate punctele graficelor își vor îndeplini fiecare propria ecuație. Trebuie să găsim astfel de puncte care să satisfacă atât prima cât și a doua ecuație. Evident, acestea vor fi punctele în care aceste două grafice se intersectează.

Folosind desenul nostru, găsim valorile aproximative ale coordonatelor la care aceste puncte se intersectează. Obtinem urmatoarele rezultate:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Deci sistemul nostru de ecuații are patru soluții.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Dacă substituim aceste valori în ecuațiile sistemului nostru, putem vedea că prima și a treia soluție sunt aproximative, iar a doua și a patra sunt exacte. Metoda grafică este adesea folosită pentru a estima numărul de rădăcini și limitele lor aproximative. Soluțiile sunt mai adesea aproximative decât exacte.

Data: ________________

Subiect: algebră

Subiect: „Metoda grafică pentru rezolvarea sistemelor de ecuații”.

Obiective: Utilizați grafice pentru a rezolva sisteme de ecuații.

Sarcini:

Educational: învață cum să rezolvi grafic sisteme de ecuații liniare cu două variabile.

În curs de dezvoltare: dezvoltarea abilităților de cercetare ale studenților, autocontrol, vorbire.

Hrănirea: promovarea unei culturi de comunicare, acuratețe.

Tip de lecție: combinate

Forme: Sondaj frontal, lucru în perechi.

În timpul orelor:

stadiu organizatoric. Raportarea subiectului lecției, stabilirea scopurilor lecției.(scrieți numărul, subiectul într-un caiet)

Repetarea și consolidarea materialului acoperit:

1. Verificarea temelor (analiza problemelor nerezolvate);

   Controlul asimilării materialului:

Opțiunea numărul 1	Opțiunea numărul 2
Trasează funcția: (xy-1)(x+1)=0 (x-2) 2 + (y + 1) 2 \u003d 4	Trasează funcția: (xy+1)(y-1)=0 (x-1) 2 + (y + 2) 2 \u003d 4

Actualizarea cunoștințelor de bază:

Definirea unei ecuații liniare în două variabile.

Cum se numește soluția unei ecuații liniare în două variabile?

Cum se numește graficul unei ecuații liniare cu două variabile?

Care este graficul unei ecuații liniare cu două variabile?

Câte puncte definesc o linie?

Ce înseamnă să rezolvi un sistem de ecuații?

Cum se numește soluția unui sistem de ecuații liniare cu două variabile?

Când se intersectează două drepte dintr-un plan?

Când două drepte dintr-un plan sunt paralele?

Când coincid două drepte într-un plan?

Învățarea de materiale noi:

Considera sistem de două ecuații cu două necunoscute. Decizie se numesc sisteme de ecuaţii pereche de valorivariabile, care se întorc fiecare ecuație a sistemului în egalitatea corectă. Rezolvarea unui sistem de ecuații înseamnă găsirea tuturor soluțiilor acestuia sau demonstrarea faptului că nu există soluții.

Una dintre modalitățile eficiente și vizuale de a rezolva și studia ecuații și sisteme de ecuații mod grafic.

Algoritm pentru reprezentarea grafică a unei ecuații cu două variabile.

Exprimați variabila y în termeni de x.

„Ia” punctele care definesc graficul.

Ecuația grafică

Algoritm pentru rezolvarea grafică a unui sistem de ecuații cu două variabile.

Construiți grafice pentru fiecare dintre ecuațiile sistemului.

Aflați coordonatele punctului de intersecție.

Scrieți răspunsul.

Exemplu 1

Să rezolvăm sistemul de ecuații:

Să construim într-un sistem de coordonate grafica primului X 2 + y 2 = 25
(cerc) și al doilea hu= 12 (hiperbolă) ecuații. Este clar că
graficele ecuațiilor se intersectează în patru puncte DAR(3; 4), LA(4; 3)
C(-3;-4) şi D(-4; 3), ale căror coordonate sunt soluții
un singur sistem.

T
Deoarece soluțiile pot fi găsite cu o oarecare acuratețe folosind metoda grafică, acestea trebuie verificate prin înlocuire.

Verificarea arată că sistemul are într-adevăr patru soluții: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3).

Sarcina din lecție: nr. 415 (b); nr. 416; nr. 419 (b); nr. 420 (b); nr. 421 (a, b); nr. 422 (a); nr. 424(b); nr. 426 p. 115-117.

Rezumat (evaluări).

Reflecţie.

Să repetăm ​​algoritmul pentru rezolvarea grafică a sistemelor de ecuații.

Câte soluții poate avea un sistem de ecuații?

Cine a învățat să rezolve sisteme de ecuații l grafic?

Cine nu a invatat?

Cine mai se îndoiește?

Ridicați mâinile, cui i-a plăcut lecția? Cine nu? Cine este indiferent?

Teme pentru acasă:§18 p. 114-115 învață regulile.

§17 pp.108-110 repetă regulile.

O modalitate de a rezolva ecuații este metoda grafică. Se bazează pe trasarea funcțiilor și determinarea punctelor lor de intersecție. Luați în considerare o modalitate grafică de a rezolva ecuația pătratică a*x^2+b*x+c=0.

Prima modalitate de rezolvare

Să transformăm ecuația a*x^2+b*x+c=0 în forma a*x^2 =-b*x-c. Construim grafice a două funcții y= a*x^2 (parabolă) și y=-b*x-c (linie dreaptă). Se caută puncte de intersecție. Abcisele punctelor de intersecție vor fi soluția ecuației.

Să arătăm cu un exemplu: rezolvați ecuația x^2-2*x-3=0.

Să-l transformăm în x^2 =2*x+3. Construim grafice ale funcțiilor y= x^2 și y=2*x+3 într-un sistem de coordonate.

Graficele se intersectează în două puncte. Abcisele lor vor fi rădăcinile ecuației noastre.

Formula Soluție

Pentru a fi convingător, verificăm analitic această soluție. Rezolvăm ecuația pătratică cu formula:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Mijloace, soluțiile se potrivesc.

Metoda grafică de rezolvare a ecuațiilor are și dezavantajul său, cu ajutorul căreia nu este întotdeauna posibil să se obțină o soluție exactă a ecuației. Să încercăm să rezolvăm ecuația x^2=3+x.

Să construim o parabolă y=x^2 și o dreaptă y=3+x în același sistem de coordonate.

Din nou am primit un model similar. O dreaptă și o parabolă se intersectează în două puncte. Dar nu putem spune valorile exacte ale absciselor acestor puncte, ci doar aproximative: x≈-1,3 x≈2,3.

Dacă suntem mulțumiți de răspunsurile cu o asemenea acuratețe, atunci putem folosi această metodă, dar acest lucru se întâmplă rar. De obicei sunt necesare soluții exacte. Prin urmare, metoda grafică este rar folosită, și în principal pentru a verifica soluțiile existente.

Ai nevoie de ajutor cu studiile tale?

Subiect anterior:

Instituție de învățământ de stat municipală

Școala secundară Popovskaya

numit după Eroul Uniunii Sovietice N.K. Gorbanev

Lecție publică

profesori de matematică

Voronina Vera Vladimirovna,

matematica in clasa a 9-a

pe tema: „Metoda grafică pentru rezolvarea sistemelor de ecuații”

Tip de lecție: lecția de învățare a materialelor noi.

Anul universitar 2017/2018

Mod grafic de rezolvare a sistemelor de ecuații. clasa a 9-a

Voronina Vera Vladimirovna, profesoară de matematică.

indiferent dacă lecția:

didactic:

descoperi, împreună cu elevii, un nou mod de rezolvare a sistemelor de ecuații;

afișarea grafică a unui algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații;

să poată determina câte soluții are un sistem de ecuații;

învață să găsești grafic soluții la un sistem de ecuații;

repetă construcția graficelor funcțiilor elementare;

crearea condițiilor pentru controlul (autocontrolul) elevilor:

educational:

promovarea unei atitudini responsabile față de muncă,

acuratețea păstrării înregistrărilor.

În timpul orelor.

I. Moment organizatoric.

Ce este o funcție? (diapozitivul 3-11)

Ce este un grafic al funcției?

Ce fel de funcții cunoașteți?

Care este formula pentru o funcție liniară? Care este graficul unei funcții liniare?

Care este formula proporționalității directe? Care este programul ei?

Care este formula pentru proporție inversă? Care este programul ei?

Care este formula pentru o funcție pătratică? Care este programul ei?

Care este ecuația pentru un cerc?

Ceea ce se numește graficul unei ecuații cu două variabile; (diapozitivul 12)

Se organizează cunoașterea ecuațiilor folosite în matematica superioară și a graficelor acestora (strofoid, Lemniscat lui Bernoulli, astroid, cardioid). (diapozitivul 13-16)

Povestea profesorului este însoțită de o prezentare de diapozitive cu aceste grafice.

Exprimați variabila y în termeni de x:
a) y - x² = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x - y + 3 = 0
d) xy = -12

Este o pereche de numere (1; 0) o soluție a ecuației
a) x² + y \u003d 1;
b) xy + 3 = x;
c) y(x +2) = 0.

Care este soluția unui sistem de ecuații cu două variabile?

Care dintre perechile de numere este soluția sistemului de ecuații
a) (6; 3)
b) (- 3; - 6)
la 21)
d) (3; 0)

Ce ecuații pot fi folosite pentru a alcătui un sistem de ecuații, a cărui soluție va fi o pereche de numere (2; 1)
a) 2x - y \u003d 3
b) 3x - 2y \u003d 5
c) x² + y² = 4
d) xy = 2

III. Actualizarea cunoștințelor elevilor asupra materialului studiat. (diapozitivul 20, 21)

Astăzi vom repeta și consolida una dintre modalitățile de rezolvare a sistemelor de ecuații. Consolidarea materialului studiat se realizează cu ajutorul percepției vizuale (diapozitivul prezintă o soluție grafică a sistemului de ecuații):

Graficul unei ecuații cu două variabile este un set de puncte din planul de coordonate ale căror coordonate transformă ecuația într-o egalitate adevărată. Graficele ecuațiilor cu două necunoscute sunt foarte diverse.

Întrebări pentru acest slide:

Care este graficul ecuației x² + y²=25?

Care este graficul ecuației y = - x² +2x +5?

Coordonatele oricărui punct de pe cerc vor satisface ecuația x² + y²=25, coordonatele oricărui punct de pe parabolă vor satisface ecuația y = - x² +2x +5.

Coordonatele căror puncte vor satisface atât prima cât și a doua ecuație?

Câte puncte de intersecție au aceste grafice?

Câte soluții are acest sistem?

Numiți aceste soluții?

Ce trebuie făcut pentru a rezolva grafic un sistem de ecuații cu două variabile?

Se propune un slide, care prezintă un algoritm pentru o metodă grafică de rezolvare a sistemelor de ecuații cu două necunoscute.

Mod grafic este aplicabilă la soluția oricărui sistem, dar cu ajutorul graficelor ecuațiilor, este posibil să găsim aproximativ soluții ale sistemului. Doar unele dintre soluțiile găsite ale sistemului se pot dovedi exacte. Acest lucru poate fi verificat prin înlocuirea coordonatele lor în ecuațiile sistemului.

IV. Aplicarea metodei studiate pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii.

1. Rezolvați grafic sistemul de ecuații (diapozitivul 23)

Care este graficul ecuației xy = 3?

Care este graficul ecuației 3x - y = 0?

2. Scrieți sistemul definit de aceste ecuații și soluția acestuia. (diapozitivul 24)

Pune întrebări principale:

Scrieți sistemul definit de aceste ecuații?

Câte puncte de intersecție au aceste grafice?

Câte soluții are acest sistem de ecuații?

Care sunt soluțiile acestui sistem de ecuații?

3. Finalizarea sarcinii din GIA (diapozitivul 25).

4. Rezolvați grafic sistemul de ecuații (diapozitivul 26)

Sarcina este finalizată de elevi în caiete. Se verifică soluția.

V. Rezultatele lecției.

Ce se înțelege prin rezolvarea unui sistem de ecuații în două variabile?

Cu ce ​​metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații cu două variabile v-ați familiarizat?

Care este esența lui?

Această metodă oferă rezultate precise?

Când sistemul de ecuații nu va avea soluții?

VI. Teme pentru acasă.

Punctul 18, nr. 420 (237), 425 (240)