Totalitatea statistică constă dintr-un set de unități, obiecte sau fenomene omogene în anumite privințe și, în același timp, diferite ca trăsături de dimensiune. Valoarea trăsăturilor fiecărui obiect este determinată atât de comunul pentru toate unitățile populației, cât și de trăsăturile sale individuale.
Analizând seria de distribuţie ordonată (clasament, interval etc.), se poate observa că elementele populaţiei statistice sunt clar concentrate în jurul unor valori centrale. O astfel de concentrare a valorilor individuale ale unei caracteristici în jurul unor valori centrale, de regulă, are loc în toate distribuțiile statistice. Se numește tendința valorilor individuale ale caracteristicii studiate de a se grupa în jurul centrului de distribuție a frecvenței tendință centrală. Pentru a caracteriza tendința centrală de distribuție se folosesc indicatori generalizatori, care se numesc valori medii.
Valoarea medieîn statistică, ei numesc un indicator de generalizare care caracterizează dimensiunea tipică a unei caracteristici într-o populație omogenă calitativ în condiții specifice de loc și timp și reflectă valoarea unei caracteristici variabile pe unitatea de populație. Valoarea medie este calculată în majoritatea cazurilor prin împărțirea volumului total al caracteristicii la numărul de unități care au această caracteristică. Dacă, de exemplu, se cunosc masa salarială lunară și numărul de lucrători pe lună, atunci salariul mediu lunar poate fi determinat împărțind masa salarială la numărul de lucrători.
Valorile medii sunt indicatori precum durata medie a zilei de lucru, a săptămânii, a anului, categoria salarială medie a lucrătorilor, nivelul mediu al productivității muncii, venitul național mediu pe cap de locuitor, randamentul mediu al culturii în țară, consumul mediu de alimente pe cap de locuitor etc. .d.
Valorile medii sunt calculate atât din valori absolute, cât și din valori relative, sunt denumiți indicatori și sunt măsurate în aceleași unități de măsură ca și atributul mediu. Ele caracterizează valoarea populației studiate cu un număr. Valorile medii reflectă nivelul obiectiv și tipic al fenomenelor și proceselor socio-economice.
Fiecare medie caracterizează populația studiată în funcție de unul dintre unele semne, dar pentru a caracteriza orice populație, a descrie trăsăturile sale tipice și caracteristicile calitative, este nevoie de un sistem de indicatori medii. Prin urmare, în practica statisticii interne, pentru a studia fenomenele socio-economice, de regulă, se utilizează sistem de medii. Deci, de exemplu, indicatorii salariului mediu sunt evaluați împreună cu indicatorii productivității muncii (producția medie pe unitatea de timp de lucru), raportul capital-muncă și conservarea energiei, nivelul de mecanizare și automatizare a muncii etc.
În știința și practica statistică, mediile sunt extrem de importante. Metoda mediilor este una dintre cele mai importante metode statistice, iar media este una dintre principalele categorii ale științei statistice. Teoria mediilor ocupă unul dintre locurile centrale în teoria statisticii. Valorile medii sunt baza pentru calcularea măsurilor de variație (Secțiunea 5), erorile de eșantionare (Secțiunea 6), ANOVA (Secțiunea 8) și analiza corelației (Secțiunea 9).
de asemenea, este imposibil să prezinți statistici fără indici, iar aceștia din urmă sunt în esență medii. Utilizarea metodei grupărilor statistice conduce și la utilizarea valorilor medii.
După cum sa menționat deja, metoda grupării este una dintre principalele metode de statistică. Metoda mediilor în combinație cu metoda grupărilor este o parte integrantă a unei metodologii statistice dezvoltate științific. Indicatorii medii completează organic metoda grupărilor statistice.
Valorile medii sunt folosite pentru a caracteriza schimbarea fenomenelor în timp, pentru a calcula ratele medii de creștere și creștere. De exemplu, o comparație a ratelor medii de creștere a productivității muncii și a remunerației acesteia pe o anumită perioadă (un număr de ani) relevă natura dezvoltării fenomenului pe perioada studiată, separat productivitatea muncii și separat salariile. Compararea ratelor de creștere a acestor două fenomene oferă o idee despre natura și particularitatea raportului de creștere sau scădere a productivității muncii în raport cu plata acesteia pentru anumite perioade de timp.
În toate cazurile, atunci când devine necesar să se caracterizeze printr-un număr totalitatea valorilor unei caracteristici care se modifică, se folosește valoarea medie a acesteia.
În populația statistică, valoarea atributului se modifică de la obiect la obiect, adică variază. Făcând o medie a acestor valori și furnizând nivelul valorii atributului fiecărui membru al populației, facem abstracție de la valorile individuale ale atributului, înlocuind astfel seria de distribuție a valorilor atributului cu aceeași valoare egală cu valoarea medie. Cu toate acestea, o astfel de abstractizare este justificată numai dacă media nu schimbă proprietatea principală în raport cu caracteristica dată în ansamblu. Aceasta este proprietatea principală a populației statistice, asociată cu valorile individuale ale trăsăturii și care, atunci când se face media, trebuie menținută neschimbată, se numește proprietatea definitorie a mediei în raport cu trăsătura studiată. Cu alte cuvinte, media, înlocuind valorile individuale ale atributului, nu ar trebui să modifice volumul total al fenomenului, adică. o asemenea egalitate obligatorie: volumul fenomenului este egal cu produsul valorii medii cu mărimea populaţiei. De exemplu, dacă din trei valori ale randamentului de orz (x, = 20,0; 23,3; 23,6 cenți / ha), se calculează media (20,0 + 23,3 + 23,6): 3 = 22,3 cenți / ha, atunci conform proprietății definitorii a mediei, trebuie respectată următoarea egalitate:
După cum se poate observa din exemplul de mai sus, randamentul mediu de orz nu coincide cu niciuna dintre cele individuale, întrucât în niciuna dintre ferme randamentul obţinut este de 22,3 c/ha. Totuși, dacă ne imaginăm că fiecare fermă a primit 22,3 c/ha, atunci randamentul total nu se va modifica și va fi egal cu 66,9 c/ha. În consecință, media, înlocuind valoarea reală a indicatorilor individuali individuali, nu poate modifica dimensiunea întregii sume a valorilor trăsăturii studiate.
Valoarea principală a valorilor medii este funcția lor de generalizare, adică. în înlocuirea unui set de valori individuale diferite ale unei trăsături cu o valoare medie care caracterizează întregul set de fenomene. Proprietatea mediei de a caracteriza nu unități individuale, ci de a exprima nivelul atributului pe fiecare unitate a populației este capacitatea sa distinctivă. Această caracteristică face din media un indicator generalizator al nivelului de caracteristici diferite, de exemplu. un indicator care este extras din valorile individuale ale valorii atributului în unități individuale ale populației. Dar faptul că media este abstractă nu o privează de cercetare științifică. Abstracția este un grad necesar oricărei cercetări științifice. În valoarea medie, ca în orice abstracție, se realizează unitatea dialectică a individului și a generalului. Interrelația dintre valorile medii și separate ale semnelor medii servește ca expresie a conexiunii dialectice dintre individ și general.
Utilizarea mediilor ar trebui să se bazeze pe înțelegerea și interconectarea categoriilor dialectice ale generalului și individului, ale masei și ale individului.
Valoarea medie reflectă generalul care se formează în fiecare obiect individual, individual. Din această cauză, media devine de mare importanță pentru dezvăluirea tiparelor inerente fenomenelor sociale de masă și neobservabile în fenomenele singulare.
Necesitatea este combinată cu șansa în dezvoltarea fenomenelor. Prin urmare, mediile sunt legate de legea numerelor mari. Esența acestei relații constă în faptul că, atunci când se calculează valoarea medie, fluctuațiile aleatoare cu direcții diferite, datorită funcționării legii numerelor mari, sunt echilibrate reciproc, anulate, iar principala regularitate, necesitate și influență. a condiţiilor generale caracteristice acestei populaţii sunt clar afişate în valoarea medie. Media reflectă nivelul tipic, real, al fenomenelor studiate. Estimarea acestor niveluri și modificarea lor în timp și spațiu este una dintre principalele probleme ale mediilor. Deci, prin medii, de exemplu, se manifestă modelul de creștere a productivității muncii, a randamentelor culturilor și a productivității animalelor. În consecință, valorile medii sunt indicatori generalizatori în care acțiunea condițiilor generale, regularitatea fenomenului studiat, își găsește expresia.
Cu ajutorul valorilor medii, ei studiază schimbarea fenomenelor în timp și spațiu, tendințele dezvoltării lor, conexiunile și dependențele dintre caracteristici, eficiența diferitelor forme de organizare a producției, muncii și tehnologiei, introducerea progresului științific și tehnologic. , identificarea unui nou, progresiv în dezvoltarea anumitor fenomene și procese sociale și economice.
Valorile medii sunt utilizate pe scară largă în analiza statistică a fenomenelor socio-economice, deoarece în ele își găsesc manifestarea tiparele și tendințele de dezvoltare a fenomenelor sociale de masă care variază atât în timp, cât și în spațiu. Deci, de exemplu, modelul de creștere a productivității muncii în economie se reflectă în creșterea producției medii per muncitor angajat în producție, creșterea randamentelor brute - în creșterea producției medii a culturilor etc.
Valoarea medie oferă o caracteristică generalizată a fenomenului studiat doar pe o singură bază, care reflectă unul dintre aspectele sale cele mai importante. În acest sens, pentru o analiză cuprinzătoare a fenomenului studiat, este necesară construirea unui sistem de valori medii pentru o serie de caracteristici esențiale interdependente și complementare.
Pentru ca media să reflecte ceea ce este cu adevărat tipic și natural în fenomenele sociale studiate, atunci când se calculează, este necesar să se respecte astfel de condiții.
1. Semnul prin care se calculează media trebuie să fie semnificativ. În caz contrar, se va obține o medie nesemnificativă sau distorsionată.
2. Media trebuie calculată numai pentru o populație omogenă calitativ. Prin urmare, calculul direct al mediilor ar trebui precedat de gruparea statistică, care să permită împărțirea populației studiate în grupuri omogene calitativ. În acest sens, baza științifică a metodei mediilor este metoda grupărilor statistice.
Problema omogenității populației nu trebuie decisă formal în ceea ce privește forma distribuției acesteia. Ea, precum și problema tipicității mediei, trebuie rezolvată pe baza cauzelor și condițiilor care formează agregatul. Agregatul este de asemenea omogen, ale cărui unități se formează sub influența principalelor cauze și condiții comune care determină nivelul general al acestei trăsături, caracteristică întregului agregat.
3. Calculul valorii medii ar trebui să se bazeze pe acoperirea tuturor unităților de un anumit tip sau a unui set suficient de mare de obiecte, astfel încât fluctuațiile aleatorii să se anuleze reciproc și să apară o regularitate, dimensiuni tipice și caracteristice ale trăsăturii studiate. .
4. Cerința generală în calculul oricărui fel de medii este păstrarea obligatorie a volumului total al atributului în agregat la înlocuirea valorilor sale individuale cu o valoare medie (așa-numita proprietate definitorie a mediei).
Valoarea medie este un indicator generalizator care caracterizează nivelul tipic al fenomenului. Exprimă valoarea atributului, raportată la unitatea populației.
Valoarea medie este:
1) valoarea cea mai tipică a atributului pentru populație;
2) volumul semnului populaţiei, distribuit în mod egal între unităţile populaţiei.
Caracteristica pentru care se calculează valoarea medie se numește „medie” în statistici.
Media generalizează întotdeauna variația cantitativă a trăsăturii, adică. în valori medii se anulează diferențele individuale în unitățile populației datorate unor circumstanțe aleatorii. Spre deosebire de medie, valoarea absolută care caracterizează nivelul unei caracteristici a unei unități individuale a populației nu permite compararea valorilor caracteristicii pentru unitățile aparținând diferitelor populații. Deci, dacă trebuie să comparați nivelurile de remunerare a lucrătorilor la două întreprinderi, atunci nu puteți compara doi angajați ai unor întreprinderi diferite pe această bază. Este posibil ca salariile lucrătorilor selectați pentru comparație să nu fie tipice pentru aceste întreprinderi. Dacă comparăm mărimea fondurilor de salarii la întreprinderile luate în considerare, atunci numărul de angajați nu este luat în considerare și, prin urmare, este imposibil de stabilit unde nivelul salariilor este mai mare. În cele din urmă, doar mediile pot fi comparate, adică. Cât câștigă în medie un muncitor în fiecare companie? Astfel, este necesar să se calculeze valoarea medie ca caracteristică generalizantă a populației.
Este important de menționat că în procesul de mediere, valoarea agregată a nivelurilor de atribut sau valoarea finală a acesteia (în cazul calculării nivelurilor medii într-o serie temporală) trebuie să rămână neschimbată. Cu alte cuvinte, la calcularea valorii medii, volumul trăsăturii studiate nu trebuie distorsionat, iar expresiile făcute la calcularea mediei trebuie neapărat să aibă sens.
Calcularea mediei este o tehnică comună de generalizare; indicatorul mediu neagă generalul care este tipic (tipic) pentru toate unitățile populației studiate, în același timp ignoră diferențele dintre unitățile individuale. În fiecare fenomen și în dezvoltarea lui există o combinație de întâmplare și necesitate. La calcularea mediilor, datorită funcționării legii numerelor mari, aleatorietatea se anulează reciproc, se echilibrează, astfel încât să puteți face abstracție de la trăsăturile nesemnificative ale fenomenului, de la valorile cantitative ale atributului în fiecare caz specific. În capacitatea de a face abstracție de la aleatorietatea valorilor individuale, a fluctuațiilor, se află valoarea științifică a mediilor ca caracteristici generalizatoare ale agregatelor.
Pentru ca media să fie cu adevărat tipică, aceasta trebuie calculată ținând cont de anumite principii.
Să ne oprim asupra unor principii generale de aplicare a mediilor.
1. Media trebuie determinată pentru populațiile formate din unități omogene calitativ.
2. Media ar trebui calculată pentru o populație formată dintr-un număr suficient de mare de unități.
3. Ar trebui calculată media pentru populația ale cărei unități se află într-o stare normală, naturală.
4. Media trebuie calculată ținând cont de conținutul economic al indicatorului studiat.
5.2. Tipuri de medii și metode de calculare a acestora
Să luăm acum în considerare tipurile de medii, caracteristicile calculului lor și domeniile de aplicare. Valorile medii sunt împărțite în două clase mari: medii de putere, medii structurale.
Mediile legii puterii includ cele mai cunoscute și frecvent utilizate tipuri, cum ar fi media geometrică, media aritmetică și pătratul mediu.
Modul și mediana sunt considerate ca medii structurale.
Să ne oprim asupra mediilor de putere. Mediile de putere, în funcție de prezentarea datelor inițiale, pot fi simple și ponderate. medie simplă se calculează din date negrupate și are următoarea formă generală:
,
unde X i este varianta (valoarea) caracteristicii mediate;
n este numărul de opțiuni.
Medie ponderată se calculează prin date grupate și are o formă generală
,
unde X i este varianta (valoarea) caracteristicii medii sau valoarea medie a intervalului în care este măsurată varianta;
m este exponentul mediei;
f i - frecvența care arată de câte ori apare valoarea i-e a caracteristicii medii.
Dacă calculăm toate tipurile de medii pentru aceleași date inițiale, atunci valorile lor nu vor fi aceleași. Aici se aplică regula majorității mediilor: cu o creștere a exponentului m, crește și valoarea medie corespunzătoare:
În practica statistică, mai des decât alte tipuri de medii ponderate, se folosesc medii ponderate aritmetice și armonice.
Tipuri de mijloace de putere
|
Tip de putere |
Indicator |
Formula de calcul |
|
|
Simplu |
ponderat |
||
|
armonic |
|||
|
Geometric |
|
|
|
|
Aritmetic |
|||
|
pătratică |
|||
|
cub |
|||
Media armonică are o structură mai complexă decât media aritmetică. Media armonică este utilizată pentru calcule atunci când ponderile nu sunt unitățile populației - purtătorii trăsăturii, ci produsele acestor unități și valorile trăsăturii (adică m = Xf). Timpul mediu de oprire armonică trebuie utilizat în cazurile de determinare, de exemplu, a costurilor medii ale forței de muncă, timpului, materialelor pe unitatea de producție, pe parte pentru două (trei, patru, etc.) întreprinderi, lucrători angajați în fabricarea același tip de produs, aceeași piesă, produs.
Principala cerință pentru formula de calcul a valorii medii este ca toate etapele calculului să aibă o justificare reală semnificativă; valoarea medie rezultată ar trebui să înlocuiască valorile individuale ale atributului pentru fiecare obiect fără a întrerupe legătura dintre indicatorii individuali și sumar. Cu alte cuvinte, valoarea medie ar trebui calculată în așa fel încât, atunci când fiecare valoare individuală a indicatorului mediu este înlocuită cu valoarea sa medie, un indicator rezumativ final conectat într-un fel sau altul cu indicatorul mediu să rămână neschimbat. Acest rezultat se numește determinareaîntrucât natura relației sale cu valorile individuale determină formula specifică pentru calcularea valorii medii. Să arătăm această regulă pe exemplul mediei geometrice.
Formula medie geometrică
cel mai adesea folosit la calcularea valorii medii a valorilor relative individuale ale dinamicii.
Media geometrică este utilizată dacă este dată o succesiune de valori relative ale dinamicii în lanț, indicând, de exemplu, o creștere a producției față de nivelul din anul precedent: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Evident, volumul producției din ultimul an este determinat de nivelul său inițial (q 0) și de creșterea ulterioară de-a lungul anilor:
q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .
Luând q n ca indicator definitoriu și înlocuind valorile individuale ale indicatorilor de dinamică cu cele medii, ajungem la relația
De aici
Un tip special de valori medii - medii structurale - este utilizat pentru a studia structura internă a seriei de distribuție a valorilor atributelor, precum și pentru a estima valoarea medie (tipul de putere), dacă, conform datelor statistice disponibile, calculul acestuia nu poate fi efectuat (de exemplu, dacă nu existau date în exemplul considerat).și asupra volumului producției și asupra mărimii costurilor pe grupuri de întreprinderi).
Indicatorii sunt folosiți cel mai adesea ca medii structurale. Modă - valoarea caracteristică cel mai frecvent repetată - și mediana - valoarea unei caracteristici care împarte succesiunea ordonată a valorilor sale în două părți egale ca număr. Ca urmare, într-o jumătate din unitățile populației, valoarea atributului nu depășește nivelul median, iar în cealaltă jumătate nu este mai mică decât acesta.
Dacă caracteristica studiată are valori discrete, atunci nu există dificultăți deosebite în calcularea modului și a mediei. Dacă datele despre valorile atributului X sunt prezentate sub formă de intervale ordonate ale modificării acestuia (serie de intervale), calculul modului și al mediei devine oarecum mai complicat. Deoarece valoarea mediană împarte întreaga populație în două părți egale ca număr, ea ajunge într-unul dintre intervalele caracteristicii X. Utilizând interpolare, valoarea mediană se găsește în acest interval median:
,
unde X Me este limita inferioară a intervalului median;
h Eu este valoarea lui;
(Suma m) / 2 - jumătate din numărul total de observații sau jumătate din volumul indicatorului care se folosește ca ponderare în formulele de calcul a valorii medii (în termeni absoluti sau relativi);
S Me-1 este suma observațiilor (sau volumul caracteristicii de ponderare) acumulate înainte de începutul intervalului median;
m Me este numărul de observații sau volumul caracteristicii de ponderare în intervalul median (și în termeni absoluti sau relativi).
Când se calculează valoarea modală a unei caracteristici în funcție de datele seriei de intervale, este necesar să se acorde atenție faptului că intervalele sunt aceleași, deoarece indicatorul frecvenței valorilor caracteristicii X depinde de acest lucru. o serie de intervale cu intervale egale, valoarea modului este determinată ca
,
unde X Mo este valoarea inferioară a intervalului modal;
m Mo este numărul de observații sau volumul caracteristicii de ponderare în intervalul modal (în termeni absoluti sau relativi);
m Mo-1 - la fel pentru intervalul premergător modalului;
m Mo+1 - la fel pentru intervalul care urmează modalului;
h este valoarea intervalului de modificare a trăsăturii în grupuri.
SARCINA 1
Următoarele date sunt disponibile pentru grupul de întreprinderi industriale pentru anul de raportare
|
№ întreprinderilor |
Volumul producției, milioane de ruble |
Număr mediu de angajați, pers. |
Profit, mii de ruble |
|
|
197,7 |
10,0 |
13,5 |
||
|
22,8 |
1500 |
136,2 |
||
|
465,5 |
18,4 |
1412 |
97,6 |
|
|
296,2 |
12,6 |
1200 |
44,4 |
|
|
584,1 |
22,0 |
1485 |
146,0 |
|
|
480,0 |
119,0 |
1420 |
110,4 |
|
|
57805 |
21,6 |
1390 |
138,7 |
|
|
204,7 |
30,6 |
|||
|
466,8 |
19,4 |
1375 |
111,8 |
|
|
292,2 |
113,6 |
1200 |
49,6 |
|
|
423,1 |
17,6 |
1365 |
105,8 |
|
|
192,6 |
30,7 |
|||
|
360,5 |
14,0 |
1290 |
64,8 |
|
|
280,3 |
10,2 |
33,3 |
Este necesar să se efectueze o grupare de întreprinderi pentru schimbul de produse, luând următoarele intervale:
de la 400 la 600 de milioane de ruble
Pentru fiecare grup și pentru toate împreună, determinați numărul de întreprinderi, volumul producției, numărul mediu de angajați, producția medie per angajat. Rezultatele grupării trebuie prezentate sub forma unui tabel statistic. Formulați o concluzie.
DECIZIE
Să facem o grupare de întreprinderi pentru schimbul de produse, calculul numărului de întreprinderi, volumul producției, numărul mediu de angajați după formula mediei simple. Rezultatele grupării și calculelor sunt rezumate într-un tabel.
Grupări după volumul de producție
№
întreprinderilor
Volumul producției, milioane de ruble
Costul mediu anual al mijloacelor fixe, milioane de ruble
somn mediu
număr suculent de angajați, pers.
Profit, mii de ruble
Producția medie per muncitor
1 grup
până la 200 de milioane de ruble
1,8,12
197,7
204,7
192,6
10,0
9,4
8,8
900
817
13,5
30,6
30,7
28,2
2567
74,8
0,23
Nivel mijlociu
198,3
24,9
2 grupa
de la 200 la 400 de milioane de ruble
4,10,13,14
196,2
292,2
360,5
280,3
12,6
113,6
14,0
10,2
1200
1200
1290
44,4
49,6
64,8
33,3
1129,2
150,4
4590
192,1
0,25
Nivel mijlociu
282,3
37,6
1530
64,0
3 grupa
de la 400 la
600 de milioane
2,3,5,6,7,9,11
592
465,5
584,1
480,0
578,5
466,8
423,1
22,8
18,4
22,0
119,0
21,6
19,4
17,6
1500
1412
1485
1420
1390
1375
1365
136,2
97,6
146,0
110,4
138,7
111,8
105,8
3590
240,8
9974
846,5
0,36
Nivel mijlociu
512,9
34,4
1421
120,9
Total în total
5314,2
419,4
17131
1113,4
0,31
Media agregată
379,6
59,9
1223,6
79,5
Concluzie. Astfel, în totalul luat în considerare, cel mai mare număr de întreprinderi din punct de vedere al producției a intrat în grupa a treia - șapte sau jumătate dintre întreprinderi. În această grupă se află și valoarea valorii medii anuale a mijloacelor fixe, precum și valoarea mare a numărului mediu de angajați - 9974 persoane, întreprinderile din primul grup sunt cele mai puțin profitabile.
SARCINA 2
Avem următoarele date despre întreprinderile companiei
Numărul întreprinderii aparținând companiei
eu sfert
trimestrul II
Ieșire, mii de ruble
Lucrat prin zile-muncă
Producția medie per muncitor pe zi, frecare.
59390,13
până la 200 de milioane de ruble
de la 200 la 400 de milioane de ruble
Valoarea medie este cea mai valoroasă din punct de vedere analitic și o formă universală de exprimare a indicatorilor statistici. Cea mai comună medie - media aritmetică - are o serie de proprietăți matematice care pot fi utilizate în calculul ei. În același timp, atunci când se calculează o medie specifică, este întotdeauna recomandabil să se bazeze pe formula sa logică, care este raportul dintre volumul atributului și volumul populației. Pentru fiecare medie, există un singur raport de referință adevărat, care, în funcție de datele disponibile, poate necesita diferite forme de medii. Cu toate acestea, în toate cazurile în care natura valorii medii implică prezența ponderilor, este imposibil să se utilizeze formulele lor neponderate în locul formulelor medii ponderate.
Valoarea medie este valoarea cea mai caracteristică a atributului pentru populație și mărimea atributului populației distribuite în părți egale între unitățile populației.
Se numește caracteristica pentru care se calculează valoarea medie mediat .
Valoarea medie este un indicator calculat prin compararea valorilor absolute sau relative. Valoarea medie este
Valoarea medie reflectă influența tuturor factorilor care influențează fenomenul studiat și este rezultatul acestora. Cu alte cuvinte, rambursând abaterile individuale și eliminând influența cazurilor, valoarea medie, reflectând măsura generală a rezultatelor acestei acțiuni, acționează ca un model general al fenomenului studiat.
Condiții de utilizare a mediilor:
Ø omogenitatea populatiei studiate. Dacă unele elemente ale populației supuse influenței unui factor aleatoriu au valori semnificativ diferite ale trăsăturii studiate față de restul, atunci aceste elemente vor afecta mărimea mediei pentru această populație. În acest caz, media nu va exprima valoarea cea mai tipică a caracteristicii pentru populație. Dacă fenomenul studiat este eterogen, se impune defalcarea lui în grupuri care conțin elemente omogene. În acest caz, se calculează mediile de grup - medii de grup care exprimă valoarea cea mai caracteristică a fenomenului din fiecare grup, iar apoi se calculează valoarea medie generală pentru toate elementele, caracterizând fenomenul în ansamblu. Se calculează ca media medie a grupului, ponderată cu numărul de elemente ale populației incluse în fiecare grupă;
Ø un numar suficient de unitati in agregat;
Ø valorile maxime si minime ale trasaturii in populatia studiata.
Valoarea medie (indicator)- aceasta este o caracteristică cantitativă generalizată a unei trăsături într-o populație sistematică în condiții specifice de loc și timp.
În statistică, sunt utilizate următoarele forme (tipuri) de medii, numite putere și structurală:
Ø medie aritmetică(simplu și ponderat);
simplu
LUCRARE DE CURS
TEORIA STATISTICII
Pe subiect: Medii
Completat de: Număr grup: STP - 72
Yunusova Gulnazia Chamilevna
Verificat de: Cercei Lyudmila Konstantinovna
Introducere
1. Esența mediilor, principii generale de aplicare
2. Tipuri de medii și sfera lor de aplicare
2.1 Medii de putere
2.1.1 Media aritmetică
2.1.2 Medie armonică
2.1.3 Media geometrică
2.1.4 RMS
2.2. Medii structurale
2.2.1 Mediană
3. Cerințe metodologice de bază pentru calcularea corectă a mediilor
Concluzie
Lista literaturii folosite
Introducere
Istoria aplicării practice a mediilor datează de zeci de secole. Scopul principal al calculului mediei a fost studiul proporțiilor dintre cantități. Importanța calculării mediilor a crescut în legătură cu dezvoltarea teoriei probabilităților și a statisticii matematice. Rezolvarea multor probleme teoretice și practice ar fi imposibilă fără calcularea mediei și evaluarea fluctuației valorilor individuale ale atributului.
Oamenii de știință din diferite direcții au căutat să definească media. De exemplu, remarcabilul matematician francez O. L. Cauchy (1789 - 1857) credea că media mai multor valori este o valoare nouă, care se află între cea mai mică și cea mai mare dintre valorile luate în considerare.
Totuși, statisticianul belgian A. Quetelet (1796 - 1874) ar trebui considerat creatorul teoriei mediilor. El a încercat să determine natura valorilor medii și regularitățile care se manifestă în ele. Potrivit lui Quetelet, cauzele permanente acționează în același mod (permanent) asupra fiecărui fenomen studiat. Ei sunt cei care fac aceste fenomene asemănătoare între ele, creează modele comune pentru toate.
O consecință a învățăturilor lui A. Quetelet despre cauzele generale și individuale a fost alocarea valorilor medii ca principală metodă de analiză statistică. El a subliniat că mediile statistice nu sunt doar o măsură a măsurării matematice, ci o categorie a realității obiective. El a identificat o medie tipică, cu adevărat existentă, cu o valoare adevărată, abaterile de la care pot fi doar aleatorii.
O expresie vie a viziunii declarate asupra mediei este teoria lui despre „persoana medie”, i.e. o persoană cu înălțime medie, greutate, forță, volum mediu toracic, capacitate pulmonară, acuitate vizuală medie și ten normal. Mediile caracterizează tipul „adevărat” al unei persoane, toate abaterile de la acest tip indică urâțenie sau boală.
Părerile lui A. Quetelet au fost dezvoltate în continuare în lucrările statisticianului german V. Lexis (1837 - 1914).
O altă versiune a teoriei idealiste a mediilor se bazează pe filozofia machismului. Fondatorul acesteia a fost statisticianul englez A. Bowley (1869 - 1957). În medii, el a văzut cel mai simplu mod de a descrie caracteristicile cantitative ale unui fenomen. În definirea sensului mediilor sau, după cum spune el, „funcția lor”, Bowley aduce în prim-plan principiul machian al gândirii. Astfel, el a scris că funcția mediilor este clară: ea constă în exprimarea unui grup complex cu ajutorul câtorva numere prime. Mintea nu poate înțelege imediat mărimile milioanelor de statistici; ele trebuie grupate, simplificate, mediate.
Adeptul lui A. Quetelet a fost statisticianul italian C. Gini (1884-1965), autorul marii monografii „Valorile medii”. K.Gini a criticat definiția mediei dată de statisticianul sovietic A.Ya. . Boyarsky și și-a formulat propriul: „Media mai multor valori este rezultatul acțiunilor efectuate asupra acestor valori conform unei anumite reguli și este fie una dintre aceste valori, care nu este mai mult și nici mai puțin decât toate altele (media reală sau efectivă), sau unele o nouă valoare intermediară între cea mai mică și cea mai mare dintre valorile date (media de numărare).
În această lucrare de curs, vom analiza în detaliu principalele probleme ale teoriei mediilor. În primul capitol, vom dezvălui esența mediilor și principiile generale de aplicare. În al doilea capitol, vom lua în considerare tipurile de medii și domeniul de aplicare a acestora folosind exemple specifice. Al treilea capitol va lua în considerare principalele cerințe metodologice pentru calcularea mediilor.
1. Esența mediilor, principii generale de aplicare
Mediile sunt una dintre cele mai comune statistici rezumative. Ele urmăresc să caracterizeze printr-un număr o populație statistică formată dintr-o minoritate de unități. Valorile medii sunt strâns legate de legea numerelor mari. Esența acestei dependențe constă în faptul că, cu un număr mare de observații, abaterile aleatorii de la statisticile generale se anulează reciproc și, în medie, o regularitate statistică este manifestat mai clar.
Valoarea medie este un indicator generalizator care caracterizează nivelul tipic al fenomenului în condiţii specifice de loc şi timp. Exprimă nivelul caracteristicii, tipic pentru fiecare unitate a populației.
Media este o caracteristică obiectivă numai pentru fenomene omogene. Mediile pentru populațiile eterogene se numesc sweeping și pot fi utilizate numai în combinație cu medii parțiale ale populațiilor omogene.
Media este utilizată în studiile statistice pentru a evalua nivelul actual al unui fenomen, pentru a compara mai multe populații pe aceeași bază între ele, pentru a studia dinamica dezvoltării fenomenului studiat în timp, pentru a studia relația dintre fenomene.
Mediile sunt utilizate pe scară largă în diverse calcule financiare planificate, de prognoză.
Valoarea principală a valorilor medii este funcția lor de generalizare, adică. înlocuirea unui set de valori individuale diferite ale unei caracteristici cu o valoare medie care caracterizează întregul set de fenomene. Toată lumea cunoaște trăsăturile dezvoltării oamenilor moderni, care se manifestă, printre altele, în creșterea mai mare a fiilor în comparație cu tații, a fiicelor în comparație cu mamele de aceeași vârstă. Dar cum se măsoară acest fenomen?
În diferite familii, există rapoarte foarte diferite de creștere a generațiilor mai în vârstă și a celor mai tinere. Nu orice fiu este mai înalt decât tatăl său și nici fiecare fiică este mai presus decât mama lui. Dar dacă măsurăm înălțimea medie a multor mii de oameni, atunci prin înălțimea medie a fiilor și a taților, a fiicelor și a mamelor, se poate stabili cu exactitate atât faptul însuși al accelerației, cât și creșterea medie tipică a înălțimii într-o generație.
Pentru producerea aceleiași cantități de mărfuri de un anumit tip și calitate, diferiți producători (fabrici, firme) cheltuiesc o cantitate inegală de forță de muncă și resurse materiale. Dar piața face o medie a acestor costuri, iar costul mărfurilor este determinat de consumul mediu de resurse pentru producție.
Vremea într-un anumit punct al globului în aceeași zi în diferiți ani poate fi foarte diferită. De exemplu, la Sankt Petersburg, pe 31 martie, temperatura aerului pe parcursul a peste o sută de ani de observații a variat de la -20,1° în 1883 la +12,24° în 1920. Aproximativ aceleași fluctuații apar în alte zile ale anului. Potrivit unor astfel de date meteorologice individuale în orice an arbitrar, este imposibil să vă faceți o idee despre clima din Sankt Petersburg. Caracteristicile climatice sunt caracteristicile meteorologice medii pe o perioadă lungă de timp - temperatura aerului, umiditatea, viteza vântului, cantitatea de precipitații, numărul de ore de soare pe săptămână, lună și întregul an etc.
Dacă valoarea medie generalizează valori calitativ omogene ale unei trăsături, atunci aceasta este o caracteristică tipică a unei trăsături într-o anumită populație. Deci, putem vorbi despre măsurarea creșterii tipice a fetelor ruse născute în 1973 când împlinesc vârsta de 20 de ani. O caracteristică tipică va fi producția medie de lapte de la vacile albe-negru în primul an de lactație la o rată de hrănire de 12,5 unități de furaj pe zi.
Cu toate acestea, este greșit să reducem rolul valorilor medii doar la caracteristicile valorilor tipice ale caracteristicilor în populațiile care sunt omogene în ceea ce privește această caracteristică. În practică, mult mai des statisticile moderne folosesc valori medii care generalizează fenomene evident eterogene, cum ar fi, de exemplu, randamentul tuturor culturilor de cereale în toată Rusia. Sau luați în considerare o astfel de medie precum consumul mediu de carne pe cap de locuitor: la urma urmei, printre această populație sunt copii sub un an care nu consumă carne deloc, și vegetarieni, și nordici, și sudici, mineri, sportivi și pensionari. Și mai clară este atipicitatea unui astfel de indicator mediu precum venitul național mediu produs pe cap de locuitor.
Venitul național mediu pe cap de locuitor, randamentul mediu de cereale pe întreg teritoriul țării, consumul mediu de diverse produse alimentare - acestea sunt caracteristicile statului ca sistem economic unic, acestea sunt așa-numitele medii de sistem.
Mediile de sistem pot caracteriza atât sisteme spațiale sau obiectuale care există simultan (stat, industrie, regiune, planeta Pământ etc.) cât și sisteme dinamice extinse în timp (an, deceniu, anotimp etc.).
Un exemplu de medie de sistem care caracterizează o perioadă de timp este temperatura medie a aerului din Sankt Petersburg pentru 1992, egală cu +6,3°. Această medie rezumă temperaturile extrem de eterogene din zilele și nopțile geroase de iarnă, zilele fierbinți de vară, primăvara și toamna. 1992 a fost un an cald, temperatura medie nu este tipică pentru Sankt Petersburg. Ca o temperatură medie anuală tipică a aerului în oraș, ar trebui să se utilizeze media pe termen lung, să zicem, pentru 30 de ani din 1963 până în 1992, care este egală cu +5,05 °. Această medie este o medie tipică, deoarece generalizează cantități omogene; temperaturile medii anuale ale aceluiași punct geografic, variind pe parcursul a 30 de ani de la +2,90° în 1976 la +7,44° în 1989
În etapa prelucrării statistice, pot fi stabilite o varietate de sarcini de cercetare, pentru a căror soluție este necesar să se aleagă media adecvată. În acest caz, este necesar să vă ghidați după următoarea regulă: valorile care reprezintă numărătorul și numitorul mediei trebuie să fie legate logic între ele.
- medii de putere;
- medii structurale.
Să introducem următoarea notație:
Valorile pentru care se calculează media;
Medie, unde linia de mai sus indică faptul că are loc media valorilor individuale;
Frecvență (repetabilitate a valorilor trăsăturilor individuale).
Din formula generală a mediei puterii sunt derivate diferite mijloace:
(5.1)
pentru k = 1 - medie aritmetică; k = -1 - medie armonică; k = 0 - medie geometrică; k = -2 - rădăcină pătrată medie.
Mediile sunt fie simple, fie ponderate.
medii ponderate se numesc cantități care țin cont de faptul că unele variante ale valorilor atributului pot avea numere diferite și, prin urmare, fiecare variantă trebuie înmulțită cu acest număr. Cu alte cuvinte, „greutățile” sunt numerele de unități de populație din diferite grupuri, i.e. fiecare opțiune este „ponderată” de frecvența sa. Frecvența f se numește ponderea statistică sau medie de cântărire.
Se știe că tranzacțiile au fost efectuate în termen de 5 zile (5 tranzacții), numărul de acțiuni vândute la rata de vânzare a fost repartizat astfel:
1 - 800 ac. - 1010 ruble
2 - 650 ac. - 990 de ruble.
3 - 700 ak. - 1015 ruble.
4 - 550 ac. - 900 de ruble.
5 - 850 ak. - 1150 de ruble.
Raportul inițial pentru determinarea prețului mediu al acțiunilor este raportul dintre valoarea totală a tranzacțiilor (TCA) și numărul de acțiuni vândute (KPA):
OSS = 1010 800 + 990 650 + 1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;
CPA = 800+650+700+550+850=3550.
În acest caz, prețul mediu al acțiunilor a fost egal cu:
Este necesar să se cunoască proprietățile mediei aritmetice, care este foarte importantă atât pentru utilizarea ei, cât și pentru calculul ei. Există trei proprietăți principale care au condus cel mai mult la utilizarea pe scară largă a mediei aritmetice în calculele statistice și economice.
Proprietatea unu (zero): suma abaterilor pozitive ale valorilor individuale ale unei trăsături de la valoarea sa medie este egală cu suma abaterilor negative. Aceasta este o proprietate foarte importantă, deoarece arată că orice abateri (atât cu +, cât și cu -) datorate unor cauze aleatoare vor fi anulate reciproc.
Dovada:
Proprietatea a doua (minim): suma abaterilor pătrate ale valorilor individuale ale trăsăturii de la media aritmetică este mai mică decât de la orice alt număr (a), adică este numărul minim.
Dovada.
Compuneți suma abaterilor pătrate de la variabila a:
(5.4)
Pentru a găsi extremul acestei funcții, este necesar să echivalăm derivata ei în raport cu a la zero:
De aici obținem:
(5.5)
Prin urmare, extremul sumei abaterilor pătrate este atins la . Acest extremum este minim, deoarece funcția nu poate avea un maxim.
Proprietatea trei: media aritmetică a unei constante este egală cu această constantă: la a = const.
Pe lângă aceste trei proprietăți cele mai importante ale mediei aritmetice, există și așa-numitele proprietăți de proiectare, care își pierd treptat semnificația din cauza utilizării computerelor electronice:
- dacă valoarea individuală a atributului fiecărei unități este înmulțită sau împărțită cu un număr constant, atunci media aritmetică va crește sau scade cu aceeași valoare;
- media aritmetică nu se va modifica dacă ponderea (frecvența) fiecărei valori caracteristice este împărțită la un număr constant;
- dacă valorile individuale ale atributului fiecărei unități sunt reduse sau crescute cu aceeași sumă, atunci media aritmetică va scădea sau crește cu aceeași sumă.
Armonică medie. Această medie se numește medie aritmetică reciprocă, deoarece această valoare este utilizată când k = -1.
Mijloace armonică simplă este utilizat atunci când ponderile valorilor caracteristice sunt aceleași. Formula sa poate fi derivată din formula de bază prin înlocuirea k = -1:
De exemplu, trebuie să calculăm viteza medie a două mașini care au parcurs aceeași cale, dar cu viteze diferite: prima la 100 km/h, a doua la 90 km/h.
Folosind metoda mediei armonice, calculăm viteza medie:
În practica statistică, ponderea armonică este mai des utilizată, a cărei formulă este:
Această formulă este utilizată în cazurile în care ponderile (sau volumele fenomenelor) pentru fiecare atribut nu sunt egale. În raportul original, numărătorul este cunoscut pentru a calcula media, dar numitorul este necunoscut.
De exemplu, atunci când calculăm prețul mediu, trebuie să folosim raportul dintre suma vândută și numărul de unități vândute. Nu cunoaștem numărul de unități vândute (vorbim despre diferite bunuri), dar cunoaștem sumele vânzărilor acestor diferite bunuri.
Să presupunem că doriți să aflați prețul mediu al bunurilor vândute:
Primim
Dacă utilizați aici formula mediei aritmetice, puteți obține un preț mediu care va fi nerealist:
Medie geometrică. Cel mai adesea, media geometrică își găsește aplicația în determinarea ratei medii de creștere (rate medii de creștere), atunci când valorile individuale ale trăsăturii sunt prezentate ca valori relative. Se folosește și dacă este necesar să se găsească media dintre valorile minime și maxime ale unei caracteristici (de exemplu, între 100 și 1000000). Există formule pentru medie geometrică simplă și ponderată.
Pentru o medie geometrică simplă:
Pentru o medie geometrică ponderată:
RMS. Scopul principal al aplicării sale este măsurarea variației unei trăsături în populație (calculul abaterii standard).
Formula rădăcină medie pătrată simplă:
Formula pătratică medie ponderată:
(5.11)
Ca urmare, putem spune că rezolvarea cu succes a problemelor cercetării statistice depinde de alegerea corectă a tipului de valoare medie în fiecare caz concret.
Alegerea mediei presupune următoarea succesiune:
a) stabilirea unui indicator generalizator al populaţiei;
b) determinarea unui raport matematic de valori pentru un indicator de generalizare dat;
c) înlocuirea valorilor individuale cu valori medii;
d) calculul mediei folosind ecuația corespunzătoare.
