ANALIZA MATEMATICĂ

Limita functiei

Limită de secvență și funcție. Teoreme limită

număr constant A numit limită de secvență(x n ) dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar mic e există un număr N astfel încât toate valorile x n, pentru care n>N, satisface inegalitatea

êx n - a ê< e. (1.1)

Notează-l după cum urmează: sau x n ® a.

Inegalitatea (1.1) este echivalentă cu inegalitatea dublă

a-e< x n < a + e, (1.2)

ceea ce înseamnă că punctele x n, pornind de la un număr n>N, se află în interiorul intervalului (a-e, a+e), adică. se încadrează în orice e-cartier mic al punctului A.

Se numește o secvență care are o limită convergente, in caz contrar - divergente.

Conceptul de limită a unei funcții este o generalizare a conceptului de limită a unei secvențe, deoarece limita unei secvențe poate fi considerată ca limita funcției x n = f(n) a unui argument întreg. n.

Fie dată o funcție f(x) și fie A - punct limită domeniul de definitie al acestei functii D(f), i.e. un astfel de punct, a cărui vecinătate conține puncte ale mulțimii D(f) diferite de A. Punct A poate aparține sau nu mulțimii D(f).

Definiția 1. Numărul constant A se numește limita functiei f(x) la x®a dacă pentru orice succesiune (x n ) de valori ale argumentului care tind la A, secvențele corespunzătoare (f(x n)) au aceeași limită A.

Această definiție se numește definirea limitei unei funcții după Heine, sau " în limbajul secvenţelor”.

Definiția 2. Numărul constant A se numește limita functiei f(x) la x®a dacă, dat un număr pozitiv arbitrar, arbitrar mic e, se poate găsi d >0 (în funcție de e) astfel încât pentru toate X, situată în cartierul d al numărului A, adică pentru X satisfacerea inegalitatii
0 < ½x-a½ < d, значения функции f(x) будут лежать в e-окрестности числа А, т.е. êf(x)-A ê < e.

Această definiție se numește definirea limitei unei funcții după Cauchy, sau „în limbă e - d".

Definițiile 1 și 2 sunt echivalente. Dacă funcția f(x) ca x ® a are o limită egală cu A, aceasta se scrie ca

F(x) = A. (1.3)

În cazul în care șirul (f(x n)) crește (sau scade) la nesfârșit pentru orice metodă de aproximare X la limita ta A, atunci vom spune că funcția f(x) are limita infinita, si scrie-l ca:

F(x) = ¥ ( f(x) = - ¥).

Se numește o variabilă (adică o secvență sau o funcție) care are zero ca limită infinit de mici.

Se numește o variabilă care are o limită infinită infinit de mare.

Pentru a găsi limitele în practică, se folosesc următoarele teoreme.

Teorema 1. Dacă există limite f(x)=A, g(x)=B, atunci

(f(x)+(g(x)) = A + B, (1,4)

F(x) g(x) = AB, (1,5)

F(x)/g(x) = A/B (B ¹ 0). (1,6)

cometariu. Expresiile de forma 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ sunt nedefinite, de exemplu, raportul a două cantități infinitezimale sau infinit de mari, iar găsirea unor limite de acest fel se numește „dezvăluire incertitudine”.

Teorema 2.(f(x)) a = ( f(x)) a , unde a = const, (1.7)

acestea. se poate trece la limita de la baza gradului la un exponent constant, în special, ;

B f(x) =b A , unde b = const, f(x)=A; (1,8)

Log c f(x) = log c f(x), unde c = const. (1,9)

Teorema 3.= 1, = 1, a = const, a >0,

(1 + a) 1/ a = e, (1.11)

Unde e» 2.7 este baza logaritmului natural. Formulele (1.10) și (1.11) sunt numite prima și a doua limită remarcabilă.

Corolarele formulei (1.11) sunt de asemenea utilizate în practică:

buștean c e, (1.12)

(a a - 1)/a = log a, (1.13)

((1 + a) m - 1)/a = m, (1,14)

în special,

Dacă x® a și x > a, atunci scrieți x® a+0. Dacă, în special, a=0, atunci în locul simbolului 0+0 scrieți +0. În mod similar, dacă x®a și, în plus, x limita din dreaptași limită din stânga funcției f(x) la punctul a. Pentru existenţa limitei funcţiei f(x) ca x®a este necesar şi suficient ca = .

Se numește funcția f(x). continuu la un punct x 0 dacă

Condiția (1.15) poate fi rescrisă ca:

adică trecerea la limita sub semnul unei funcţii este posibilă dacă aceasta este continuă într-un punct dat.

Dacă egalitatea (1.15) este încălcată, atunci spunem că la x = xo funcţie f(x) are un gol. Se consideră funcția y = 1/x. Domeniul acestei funcții este mulțimea R, cu excepția x = 0. Punctul x = 0 este un punct limită al mulțimii D(f), deoarece în oricare din vecinătățile sale, adică, orice interval deschis care conține punctul 0 conține puncte din D(f), dar el însuși nu aparține acestei mulțimi. Valoarea f(x o)= f(0) nu este definită, deci funcția are o discontinuitate în punctul x o = 0.

Se numește funcția f(x). continuă pe dreapta într-un punct xo daca

și continuu pe stanga intr-un punct x o dacă

Continuitatea unei funcții într-un punct x o este echivalentă cu continuitatea sa în acest punct atât în ​​dreapta cât și în stânga.

Pentru ca o funcție să fie continuă într-un punct x o, de exemplu, în dreapta, este necesar, în primul rând, să existe o limită finită , iar în al doilea rând, ca această limită să fie egală cu f(x o). Prin urmare, dacă cel puțin una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, atunci funcția va avea un decalaj.

1. Dacă există și nu este egal cu f(x o), atunci ei spun că funcţie f(x) la punct xo are pauză de primul fel, sau a sari.

2. Dacă ¥ este egal sau nu există, atunci ei spun că în punct x o funcţia are o discontinuitate de al doilea fel.

De exemplu, funcția y = ctg x la x® +0 are o limită egală cu +¥, ceea ce înseamnă că în punctul x=0 are o discontinuitate de al doilea fel. Funcția y = E(x) (parte întreagă a X) în punctele cu abscise întregi are discontinuități de primul fel, sau salturi.

Se numește o funcție care este continuă în fiecare punct al intervalului continuuîn . O funcție continuă este reprezentată printr-o curbă solidă.

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă. Astfel de sarcini, de exemplu, includ: creșterea contribuției conform legii dobânzii compuse, creșterea populației țării, degradarea unei substanțe radioactive, înmulțirea bacteriilor etc.

Considera exemplu de Ya. I. Perelman, care dă interpretarea numărului eîn problema dobânzii compuse. Număr e există o limită e= . În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă conexiunea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, extrem de simplificat. Lasă banca să pună 100 de den. unitati la rata de 100% pe an. Dacă banii purtători de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până la acest moment 100 den. unitati se va transforma in 200 den. Acum să vedem în ce se vor transforma 100 de den. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. Dupa o jumatate de an 100 den. unitati va crește cu 100 × 1,5 = 150, iar în alte șase luni - cu 150 × 1,5 = 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati se va transforma în 100 × (1 + 1/3) 3 "237 (unități den.). Vom mări intervalul de timp pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, 0,01 an, 0,001 an și așa mai departe. Apoi din 100 den. unitati un an mai tarziu:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Cu o reducere nelimitată a termenelor de participare, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul plasat la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată ar fi fost adăugat la capital în fiecare secundă, pentru că

Exemplul 1 Folosind definiția limitei unei secvențe de numere, demonstrați că șirul x n =(n-1)/n are o limită egală cu 1.

Decizie. Trebuie să demonstrăm că, indiferent de e>0 luăm, există un număr natural N pentru el, astfel încât pentru tot n > N inegalitatea ½ x n -1 ½

Să luăm orice e >0. Deoarece ½ x n -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, atunci pentru a găsi N este suficient să rezolvăm inegalitatea 1/n 1/e și, prin urmare, N pot fi luate ca parte întreagă a lui 1/e, N = E(1/e). Am demonstrat astfel că x n = 1.

Exemplul 2. Aflați limita șirului dat de termenul comun x n = .

Decizie. Aplicăm teorema limitei sumei și găsim limita fiecărui termen. Ca n ®¥ numărătorul și numitorul fiecărui termen tind spre infinit și nu putem aplica direct teorema limitei coeficientului. Prin urmare, mai întâi ne transformăm x n, împărțind numărătorul și numitorul primului termen la n 2, iar al doilea n. Apoi, aplicând teorema limitei coeficientului și teorema limitei sumei, găsim:

Exemplul 3. x n = . Găsiți x n.

Decizie. = .

Aici am folosit teorema limitei gradului: limita unui grad este egală cu gradul limitei bazei.

Exemplul 4. A găsi ().

Decizie. Este imposibil să se aplice teorema limitei diferențelor, deoarece avem o incertitudine de forma ¥ - ¥. Să transformăm formula termenului general:

Exemplul 5. Având în vedere o funcție f(x)=2 1/x . Demonstrează că nu există.

Decizie. Folosim definiția 1 a limitei unei funcții în termeni de succesiune. Luați o secvență ( x n ) care converge la 0, adică. xn=0. Să arătăm că valoarea f(x n)= se comportă diferit pentru secvențe diferite. Fie x n = 1/n. Evident, 1/n =0, atunci = 2 n = +¥. Să alegem acum ca x n o secvență cu un termen comun x n = -1/n, de asemenea, tinde spre zero. = 2 - n = 1/2 n = 0. Prin urmare, 2 1/x nu există.

Exemplul 6. Demonstrează că păcatul X nu exista.

Decizie. Fie x 1 , x 2 ,..., x n ,... o succesiune pentru care
x n = ¥. Cum se comportă șirul (f(x n)) = (sin x n ) pentru diferite x n ®¥?

Dacă x n = pn, atunci sin x n = sin pn = 0 pentru toate nși sinxn=0. Dacă
x n \u003d 2pn + p / 2, apoi sin x n \u003d sin (2pn + p / 2) \u003d sin p / 2 \u003d 1 pentru toate nși deci sin x n =1. Deci sin x nu există.

Exemplul 7 A găsi .

Decizie. Avem: = 5 . Notăm t = 5x. Pentru x®0 avem: t®0. Aplicând formula (3.10), obținem 5 .

Exemplul 8. Calculati .

Decizie. Să notăm y=p-x. Atunci, ca x®p, y®0, avem:

sin 3x \u003d sin 3 (p-y) \u003d sin (3p-3y) \u003d sin 3y.

sin 4x \u003d sin 4 (p-y) \u003d sin (4p-4y) \u003d - sin 4y.

Exemplul 9. A găsi .

Decizie. Se notează arcsin x=t. Atunci x=sin t și pentru x®0 t®0. = .

Exemplul 10. Găsiți 1); 2) ; 3).

Decizie.

1. Aplicând Teorema 1 asupra limitei diferenței și a produsului, găsim limita numitorului: .

Limita numitorului nu este egală cu zero, prin urmare, conform Teoremei 1 privind limita coeficientului, se obține: = .

2. Aici numărătorul și numitorul tind spre zero, adică. există o incertitudine de forma 0/0. Teorema limitei coeficientului nu este direct aplicabilă. Pentru a „dezvălui incertitudinea”, transformăm această funcție. Împărțind numărătorul și numitorul la x-2, obținem pentru x ¹ 2 egalitatea:

Deoarece (x + 1) ¹ 0, atunci, prin teorema limitei coeficientului, găsim

3. Numătorul și numitorul lui x®¥ sunt funcții infinit de mari. Prin urmare, teorema limitei coeficientului nu este direct aplicabilă. Împărțiți numărătorul și numitorul cu x2și aplicați teorema limitei coeficientului la funcția rezultată:

Exemplul 11. A găsi .

Decizie. Aici numărătorul și numitorul tind spre zero: , x-9®0, i.e. avem o incertitudine a formei .

Transformăm această funcție prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu pătratul incomplet al sumei expresiei, obținem

Exemplul 12. A găsi .

Decizie. = .

6.2. Aplicarea limitelor în calculele economice

Interes compus

În calculele practice se folosesc în principal procente discrete, adică. dobânda acumulată pentru intervale fixe de timp egale (an, jumătate de an, trimestru etc.). Timpul este o variabilă discretă. În unele cazuri, în dovezile și calculele legate de procese continue, devine necesară utilizarea procentelor continue. Luați în considerare formula dobânzii compuse:

S = P(1 + i) n . (1,16)

Aici P este suma inițială, i este rata dobânzii (sub formă de fracție zecimală), S este suma formată la sfârșitul termenului de împrumut la sfârșit n al-lea an. Creșterea dobânzii compuse este un proces care se dezvoltă exponențial. Adăugarea dobânzii acumulate la suma care a servit drept bază pentru determinarea acestora este adesea numită capitalizarea dobânzii.În practica financiară, ei se confruntă adesea cu o problemă care este opusă determinării sumei acumulate: pentru o anumită sumă S, care ar trebui plătită după un timp. n, este necesar să se determine cuantumul împrumutului primit P. În acest caz, spunem că suma S reduse, iar procentele sub forma diferenței S - P se numesc reducere. Se numește valoarea P găsită prin actualizarea lui S modern, sau dat, valoarea S. Avem:

P = z P = = 0.

Astfel, cu termene de plată foarte lungi, valoarea actuală a acestora din urmă va fi extrem de nesemnificativă.

În operațiunile practice financiare și de credit, procesele continue de acumulare a banilor, adică acumularea pe perioade de timp infinit de mici, sunt rar utilizate. Creșterea continuă are o importanță mult mai mare în analiza financiară și economică cantitativă a obiectelor și fenomenelor industriale și economice complexe, de exemplu, în selectarea și justificarea deciziilor de investiții. Necesitatea utilizării angajamentelor continue (sau a procentelor continue) este determinată în primul rând de faptul că multe fenomene economice sunt de natură continuă, prin urmare, o descriere analitică sub formă de procese continue este mai adecvată decât bazată pe cele discrete. Generalizăm formula dobânzii compuse pentru cazul în care se percepe dobândă m odata pe an:

S = P (1 + i/m) mn .

Cantitatea acumulată în procese discrete se găsește prin această formulă, aici m- numărul de perioade de acumulare într-un an, i- rata anuală sau nominală. Cu atât mai mult m, cu atât intervalele de timp dintre momentele de calcul ale dobânzii sunt mai scurte. În limita ca m ®¥ avem:

`S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m) n .

Deoarece (1 + i/m) m = e i , atunci `S = P e in .

Cu o creștere continuă a dobânzii, se utilizează un tip special de rată a dobânzii - puterea de crestere, care caracterizează creșterea relativă a cantității acumulate într-o perioadă de timp infinit de mică. La capitalizarea continuă a dobânzii, suma acumulată este egală cu suma finală, care depinde de suma inițială, perioada de acumulare și rata nominală a dobânzii. Pentru a distinge între ratele dobânzii continue și ratele dobânzii discrete, notăm primele cu d, apoi `S = Pe .

Forța de creștere d este rata nominală a dobânzii la m®¥. Multiplicatorul se calculează folosind un computer sau conform tabelelor de funcții.

Fluxuri de plată. chirie financiară

Contractele, tranzacțiile, operațiunile comerciale și de producție și de afaceri nu prevăd adesea plăți unice separate, ci multe plăți și încasări distribuite în timp. Se numesc elemente individuale ale unei astfel de serii și, uneori, seria de plăți în ansamblu fluxul de plată. Membrii fluxului de plăți pot fi valori pozitive (încasări) sau negative (plăți). Fluxul de plăți, a căror toți membrii sunt valori pozitive, iar intervalele de timp dintre două plăți succesive sunt constante, se numește chirie financiară. Anuitățile se împart în anuale și R- urgent, unde R caracterizează numărul de plăți în cursul anului. Acestea sunt chirii discrete. În practica financiară și economică, există și secvențe de plăți care se fac atât de des încât în ​​practică pot fi considerate continue. Astfel de plăți sunt descrise prin anuități continue.

Exemplul 13 Să presupunem că la sfârșitul fiecărui an timp de patru ani, 1 milion de ruble sunt depuse în bancă, dobânda se acumulează la sfârșitul anului, rata este de 5% pe an. În acest caz, prima tranșă se va transforma în suma de 10 6 ´ 1,05 3 până la sfârșitul perioadei de anuitate, deoarece suma corespunzătoare este în cont de 3 ani, a doua tranșă va crește la 10 6 ´ 1,05 2 , deoarece este in cont de 2 ani . Ultima rata nu plateste dobanda. Astfel, la sfârşitul perioadei de rentă, contribuţiile cu dobândă acumulată reprezintă o serie de numere: 10 6 ´ 1,05 3 ; 10 6 ´ 1,05 2 ; 10 6 ´ 1,05; 10 6. Valoarea acumulată până la sfârşitul perioadei de rentă va fi egală cu suma membrilor acestei serii. Pentru a rezuma ceea ce s-a spus, derivăm formula corespunzătoare pentru suma acumulată a anuității anuale. Notați: S - suma acumulată a anuității, R - mărimea membrului anuității,
i - rata dobânzii (fracție zecimală), n - termenul anuității (numărul de ani). Membrii de rentă vor plăti dobândă pentru n - 1, n - 2,..., 2, 1 și 0 ani, iar valoarea cumulată a membrilor de rentă va fi

R (1 + i) n-1, R (1 + i) n-2,..., R (1 + i), R.

Să rescriem această serie în ordine inversă. Este o progresie geometrică cu numitorul (1+i) și primul termen R. Să aflăm suma termenilor progresiei. Se obține: S = R´((1 + i) n - 1)/((1 + i) - 1) =
= R´((1 + i) n - 1)/ i. Se notează S n; i = ((1 + i) n - 1)/ i și îl va numi factor de acumulare a chiriei. Dacă se percepe dobândă m o dată pe an, atunci S = R´((1 + i/m) mn - 1)/((1 + i/m) m - 1), unde i este rata nominală a dobânzii.

Valoarea a n; i = (1 - (1 + i) - n)/ i se numește factor de reducere a chiriei. Coeficientul de reducere a anuității la n ®¥ arată de câte ori valoarea actuală a anuității este mai mare decât termenul ei:

Un; i \u003d (1 - (1 + i) - n) / i \u003d 1 / i.

Exemplul 14 Sub rentă eternă este înțeles ca o succesiune de plăți, al căror număr de membri nu este limitat - este plătit pentru un număr infinit de ani. Renta perpetuă nu este o pură abstractizare - în practică este vorba despre unele tipuri de împrumuturi cu obligațiuni, o evaluare a capacității fondurilor de pensii de a-și îndeplini obligațiile. Bazat
esența rentei perpetue, se poate presupune că suma sa acumulată
este egală cu o valoare infinit de mare, care este ușor de demonstrat prin formula:
R´((1 + i) n - 1)/ i ® ¥ ca n ® ¥.

Coeficient de reducere pentru renta perpetuă a n; i ® 1/i, de unde A = R/i, adică valoarea actuală depinde doar de valoarea termenului anuității și de rata dobânzii acceptată.

Matematica este știința care construiește lumea. Atât omul de știință, cât și omul de rând - nimeni nu se poate lipsi de el. În primul rând, copiii mici sunt învățați să numere, apoi să adună, să scadă, să înmulțească și să împartă, la gimnaziu intră în joc desemnările literelor, iar la cel mai mare nu se mai poate dispensa de ele.

Dar astăzi vom vorbi despre ce se bazează toată matematica cunoscută. Despre comunitatea de numere numită „limite de secvență”.

Ce sunt secvențele și unde este limita lor?

Sensul cuvântului „secvență” nu este greu de interpretat. Aceasta este o astfel de construcție a lucrurilor, în care cineva sau ceva se află într-o anumită ordine sau coadă. De exemplu, coada pentru bilete la grădina zoologică este o secvență. Și poate fi doar unul! Dacă, de exemplu, te uiți la coada către magazin, aceasta este o secvență. Și dacă o persoană părăsește brusc această coadă, atunci aceasta este o altă coadă, o altă ordine.

Cuvântul „limită” este, de asemenea, ușor de interpretat - acesta este sfârșitul a ceva. Cu toate acestea, în matematică, limitele secvențelor sunt acele valori de pe linia numerică la care tinde o secvență de numere. De ce se străduiește și nu se termină? Este simplu, linia numerică nu are sfârșit, iar cele mai multe secvențe, ca razele, au doar un început și arată astfel:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Prin urmare, definiția unei secvențe este o funcție a argumentului natural. Cu cuvinte mai simple, este o serie de membri ai unui set.

Cum se construiește o secvență de numere?

Cel mai simplu exemplu de succesiune de numere ar putea arăta astfel: 1, 2, 3, 4, … n…

În cele mai multe cazuri, în scopuri practice, secvențele sunt construite din numere, iar fiecare membru următor al seriei, să-l notăm cu X, are propriul nume. De exemplu:

x 1 - primul membru al secvenței;

x 2 - al doilea membru al secvenței;

x 3 - al treilea membru;

x n este al n-lea membru.

În metodele practice, succesiunea este dată de o formulă generală în care există o variabilă. De exemplu:

X n \u003d 3n, atunci seria de numere în sine va arăta astfel:

Merită să ne amintim că în notația generală a secvențelor, puteți folosi orice litere latine, și nu doar X. De exemplu: y, z, k etc.

Progresie aritmetică ca parte a secvențelor

Înainte de a căuta limitele secvențelor, este indicat să aprofundăm însuși conceptul unei astfel de serii de numere, pe care toată lumea le-a întâlnit când era în clasa de mijloc. O progresie aritmetică este o serie de numere în care diferența dintre termenii adiacenți este constantă.

Sarcină: „Fiți un 1 \u003d 15 și pasul de progresie a seriei de numere d \u003d 4. Construiți primii 4 membri ai acestui rând"

Rezolvare: a 1 = 15 (după condiție) este primul membru al progresiei (seria de numere).

iar 2 = 15+4=19 este al doilea membru al progresiei.

iar 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 este al treilea termen.

iar 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 este al patrulea termen.

Cu toate acestea, cu această metodă este dificil să se ajungă la valori mari, de exemplu, până la 125. . În special pentru astfel de cazuri, a fost derivată o formulă convenabilă pentru practică: a n \u003d a 1 + d (n-1). În acest caz, un 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Tipuri de secvențe

Cele mai multe dintre secvențele sunt nesfârșite, merită amintit toată viața. Există două tipuri interesante de serii de numere. Primul este dat de formula a n =(-1) n . Matematicienii se referă adesea la aceste secvențe intermitente. De ce? Să-i verificăm numerele.

1, 1, -1, 1, -1, 1 etc. Cu acest exemplu, devine clar că numerele din secvențe pot fi ușor repetate.

succesiune factorială. Este ușor de ghicit că există un factorial în formulă care definește secvența. De exemplu: și n = (n+1)!

Apoi secvența va arăta astfel:

și 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

și 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 etc.

O secvență dată de o progresie aritmetică se numește infinit descrescătoare dacă se observă inegalitatea -1 pentru toți membrii săi.

și 3 \u003d - 1/8 etc.

Există chiar și o secvență formată din același număr. Deci, și n \u003d 6 este format dintr-un număr infinit de șase.

Determinarea limitei unei secvențe

Limitele secvenței au existat de mult în matematică. Desigur, merită propriul lor design competent. Deci, este timpul să învățați definiția limitelor secvenței. Mai întâi, luați în considerare limita pentru o funcție liniară în detaliu:

1. Toate limitele sunt abreviate ca lim.
2. Intrarea limită constă din abrevierea lim, o variabilă care tinde către un anumit număr, zero sau infinit, precum și funcția în sine.

Este ușor de înțeles că definiția limitei unei secvențe poate fi formulată astfel: este un anumit număr, de care se apropie la infinit toți membrii șirului. Exemplu simplu: și x = 4x+1. Apoi secvența în sine va arăta astfel.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Astfel, această secvență va crește la infinit, ceea ce înseamnă că limita sa este egală cu infinitul ca x→∞, iar aceasta ar trebui scrisă după cum urmează:

Dacă luăm o secvență similară, dar x tinde spre 1, obținem:

Și seria de numere va fi așa: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 etc. De fiecare dată trebuie să înlocuiți numărul din ce în ce mai aproape de unul (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Din această serie se poate observa că limita funcției este cinci.

Din această parte, merită să ne amintim care este limita unei secvențe numerice, definiția și metoda de rezolvare a sarcinilor simple.

Notație generală pentru limita de secvențe

După ce am analizat limita șirului numeric, definiția și exemplele acesteia, putem trece la un subiect mai complex. Absolut toate limitele secvențelor pot fi formulate printr-o singură formulă, care este de obicei analizată în primul semestru.

Deci, ce înseamnă acest set de litere, module și semne de inegalitate?

∀ este un cuantificator universal, înlocuind expresiile „pentru toți”, „pentru tot”, etc.

∃ este un cuantificator de existență, în acest caz înseamnă că există o valoare N care aparține mulțimii numerelor naturale.

Un stick vertical lung după N înseamnă că setul dat N este „astfel încât”. În practică, poate însemna „astfel care”, „astfel care”, etc.

Pentru a consolida materialul, citiți formula cu voce tare.

Incertitudinea și certitudinea limitei

Metoda de găsire a limitei secvențelor, care a fost discutată mai sus, deși simplu de utilizat, nu este atât de rațională în practică. Încercați să găsiți limita pentru această funcție:

Dacă înlocuim diferite valori x (crescând de fiecare dată: 10, 100, 1000 etc.), atunci obținem ∞ la numărător, dar și ∞ la numitor. Se dovedește o fracție destul de ciudată:

Dar este chiar așa? Calcularea limitei șirului numeric în acest caz pare destul de ușoară. Ar fi posibil să lăsați totul așa cum este, pentru că răspunsul este gata și a fost primit în condiții rezonabile, dar există o altă cale specială pentru astfel de cazuri.

Mai întâi, să găsim cel mai înalt grad în numărătorul fracției - acesta este 1, deoarece x poate fi reprezentat ca x 1.

Acum să găsim cel mai înalt grad în numitor. De asemenea 1.

Împărțiți atât numărătorul cât și numitorul la variabilă la cel mai înalt grad. În acest caz, împărțim fracția la x 1.

În continuare, să aflăm la ce valoare tinde fiecare termen care conține variabila. În acest caz, sunt luate în considerare fracțiile. Ca x→∞, valoarea fiecăreia dintre fracții tinde spre zero. Când faceți o lucrare în scris, merită să faceți următoarele note de subsol:

Se obtine urmatoarea expresie:

Desigur, fracțiile care conțin x nu au devenit zero! Dar valoarea lor este atât de mică încât este destul de permis să nu o luăm în considerare în calcule. De fapt, x nu va fi niciodată egal cu 0 în acest caz, deoarece nu puteți împărți la zero.

Ce este un cartier?

Să presupunem că profesorul are la dispoziție o succesiune complexă, dată, evident, de o formulă nu mai puțin complexă. Profesorul a găsit răspunsul, dar se potrivește? La urma urmei, toți oamenii fac greșeli.

Auguste Cauchy a venit cu o modalitate grozavă de a demonstra limitele secvențelor. Metoda lui se numea operațiune de cartier.

Să presupunem că există un punct a, vecinătatea lui în ambele direcții pe linia reală este egală cu ε ("epsilon"). Deoarece ultima variabilă este distanța, valoarea ei este întotdeauna pozitivă.

Acum să stabilim o secvență x n și să presupunem că al zecelea membru al secvenței (x 10) este inclus în vecinătatea lui a. Cum se scrie acest fapt în limbaj matematic?

Să presupunem că x 10 este la dreapta punctului a, apoi distanța x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Acum este timpul să explicăm în practică formula menționată mai sus. Este corect să numim un număr a punctul final al unei secvențe dacă inegalitatea ε>0 este valabilă pentru oricare dintre limitele sale și întreaga vecinătate are propriul său număr natural N, astfel încât toți membrii șirului cu numere mai mari vor fi în interiorul șirului |x n - a|< ε.

Cu astfel de cunoștințe, este ușor să rezolvi limitele unei secvențe, să dovedești sau să infirmi un răspuns gata.

Teoreme

Teoremele privind limitele secvențelor sunt o componentă importantă a teoriei, fără de care practica este imposibilă. Există doar patru teoreme principale, amintindu-ne pe care, le puteți facilita în mod semnificativ procesul de rezolvare sau demonstrare:

1. Unicitatea limitei unei secvențe. Orice secvență poate avea o singură limită sau deloc. Același exemplu cu o coadă care poate avea doar un capăt.
2. Dacă o serie de numere are o limită, atunci succesiunea acestor numere este limitată.
3. Limita sumei (diferența, produsul) secvențelor este egală cu suma (diferența, produsul) limitelor acestora.
4. Limita câtului a două secvențe este egală cu câtul limitelor dacă și numai dacă numitorul nu dispare.

Dovada secvenței

Uneori se cere să se rezolve o problemă inversă, să se demonstreze o limită dată a unei secvențe numerice. Să ne uităm la un exemplu.

Demonstrați că limita șirului dată de formulă este egală cu zero.

Conform regulii de mai sus, pentru orice succesiune inegalitatea |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Să exprimăm n în termeni de „epsilon” pentru a arăta existența unui anumit număr și a demonstra existența unei limite de succesiune.

În această etapă, este important să ne amintim că „epsilon” și „en” sunt numere pozitive și nu sunt egale cu zero. Acum puteți continua transformările ulterioare folosind cunoștințele despre inegalități dobândite în liceu.

De unde rezultă că n > -3 + 1/ε. Deoarece merită să ne amintim că vorbim despre numere naturale, rezultatul poate fi rotunjit punându-l între paranteze drepte. Astfel, s-a demonstrat că pentru orice valoare a vecinătății „epsilon” a punctului a = 0 s-a găsit o valoare astfel încât inegalitatea inițială să fie satisfăcută. Din aceasta putem afirma cu siguranță că numărul a este limita secvenței date. Q.E.D.

Cu o metodă atât de convenabilă, puteți demonstra limita unei secvențe numerice, oricât de complicată ar părea la prima vedere. Principalul lucru este să nu intrați în panică la vederea sarcinii.

Sau poate nu exista?

Existența unei limite de secvență nu este necesară în practică. Este ușor să găsești astfel de serii de numere care într-adevăr nu au sfârșit. De exemplu, același intermitent x n = (-1) n . este evident că o succesiune formată din doar două cifre care se repetă ciclic nu poate avea o limită.

Aceeași poveste se repetă cu secvențe formate dintr-un singur număr, fracțional, având în cursul calculelor o incertitudine de orice ordin (0/0, ∞/∞, ∞/0 etc.). Cu toate acestea, trebuie amintit că are loc și un calcul incorect. Uneori, reverificarea propriei soluții vă va ajuta să găsiți limita succesiunilor.

secvență monotonă

Mai sus, am luat în considerare câteva exemple de secvențe, metode de rezolvare a acestora, iar acum să încercăm să luăm un caz mai specific și să-l numim „secvență monotonă”.

Definiție: este corect să numim orice succesiune monoton crescătoare dacă satisface inegalitatea strictă x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Alături de aceste două condiții, există și inegalități similare nestrictive. În consecință, x n ≤ x n +1 (secvență nedescrescătoare) și x n ≥ x n +1 (secvență necrescătoare).

Dar este mai ușor de înțeles acest lucru cu exemple.

Secvența dată de formula x n \u003d 2 + n formează următoarea serie de numere: 4, 5, 6 etc. Aceasta este o succesiune crescătoare monoton.

Și dacă luăm x n \u003d 1 / n, atunci obținem o serie: 1/3, ¼, 1/5 etc. Aceasta este o succesiune monotonă descrescătoare.

Limita secvenței convergente și mărginite

O secvență mărginită este o secvență care are o limită. O secvență convergentă este o serie de numere care are o limită infinitezimală.

Astfel, limita unei secvențe mărginite este orice număr real sau complex. Amintiți-vă că poate exista o singură limită.

Limita unei secvențe convergente este o mărime infinitezimală (reala sau complexă). Dacă desenați o diagramă de secvență, atunci, la un anumit punct, aceasta va converge, tinde să se transforme într-o anumită valoare. De aici și numele - succesiune convergentă.

Limită de secvență monotonă

O astfel de secvență poate avea sau nu o limită. În primul rând, este util să înțelegeți când este, de aici puteți începe când dovediți absența unei limite.

Dintre secvențele monotone se disting convergente și divergente. Convergent - aceasta este o secvență care este formată din mulțimea x și are o limită reală sau complexă în această mulțime. Divergent - o secvență care nu are limită în mulțimea sa (nici reală, nici complexă).

Mai mult, secvența converge dacă limitele sale superioare și inferioare converg într-o reprezentare geometrică.

Limita unei secvențe convergente poate fi în multe cazuri egală cu zero, deoarece orice succesiune infinitezimală are o limită cunoscută (zero).

Indiferent de secvența convergentă pe care o luați, toate sunt mărginite, dar departe de a converge toate secvențele mărginite.

Suma, diferența, produsul a două secvențe convergente este, de asemenea, o secvență convergentă. Totuși, coeficientul poate converge și dacă este definit!

Diverse acțiuni cu limite

Limitele secvenței sunt la fel de semnificative (în majoritatea cazurilor) ca și numerele și numerele: 1, 2, 15, 24, 362 etc. Se dovedește că unele operații pot fi efectuate cu limite.

În primul rând, la fel ca cifrele și numerele, limitele oricărei secvențe pot fi adăugate și scăzute. Pe baza celei de-a treia teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita sumei șirurilor este egală cu suma limitelor lor.

În al doilea rând, pe baza celei de-a patra teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita produsului celui de-al n-lea număr de secvențe este egală cu produsul limitelor acestora. Același lucru este valabil și pentru împărțire: limita câtului a două secvențe este egală cu câtul limitelor lor, cu condiția ca limita să nu fie egală cu zero. La urma urmei, dacă limita secvențelor este egală cu zero, atunci se va dovedi împărțirea cu zero, ceea ce este imposibil.

Proprietățile valorii secvenței

S-ar părea că limita succesiunii numerice a fost deja analizată în detaliu, dar expresii precum numere „infinit de mici” și „infinit de mari” sunt menționate de mai multe ori. Evident, dacă există o secvență 1/x, unde x→∞, atunci o astfel de fracție este infinit de mică, iar dacă aceeași secvență, dar limita tinde spre zero (x→0), atunci fracția devine o valoare infinit de mare . Și astfel de valori au propriile lor caracteristici. Proprietățile limitei unei secvențe având valori arbitrare mici sau mari sunt următoarele:

1. Suma oricărui număr de cantități arbitrar mici va fi, de asemenea, o cantitate mică.
2. Suma oricărui număr de valori mari va fi o valoare infinit de mare.
3. Produsul unor cantități arbitrar mici este infinit de mic.
4. Produsul unor numere arbitrar mari este o cantitate infinit de mare.
5. Dacă șirul inițial tinde către un număr infinit, atunci reciproca sa va fi infinitezimală și tinde spre zero.

De fapt, calcularea limitei unei secvențe nu este o sarcină atât de dificilă dacă cunoașteți un algoritm simplu. Dar limitele secvențelor sunt un subiect care necesită atenție și perseverență maximă. Desigur, este suficient să înțelegem pur și simplu esența soluției unor astfel de expresii. Începând de la mic, cu timpul, poți ajunge la înălțimi mari.

Teorema 1. Limita sumei algebrice a două, trei și, în general, un anumit număr de funcții este egală cu suma algebrică a limitelor acestor funcții, i.e.

Dovada. Vom efectua dovada pentru doi termeni, deoarece pentru orice număr de termeni se realizează în același mod. Lasă .Atunci f(x)=b+α(x)și g(x)=c+β(x), Unde α și β sunt funcții infinitezimale. Prin urmare,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

La fel de b+c este o constantă și α(x) + β(x) este o funcție infinitezimală, atunci

Exemplu. Teorema 2. Limita produsului a două, trei și, în general, a unui număr finit de funcții este egală cu produsul limitelor acestor funcții: Dovada. Lasa . Prin urmare, f(x)=b+α(x)și g(x)=c+β(x)și fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Muncă bc este o valoare constantă. Funcţie bβ + cα + αβ pe baza proprietăților funcțiilor infinitezimale, există o mărime infinitezimală. Asa de

Consecința 1. Factorul constant poate fi scos din semnul limită:

Consecința 2. Limita gradului este egală cu gradul limitei: Exemplu. Teorema 3. Limita câtului a două funcții este egală cu câtul limitelor acestor funcții dacă limita numitorului este diferită de zero, i.e. Dovada. Lasa . Prin urmare, f(x)=b+α(x)și g(x)=c+β(x), Unde α, β sunt infinit de mici. Luați în considerare coeficientul

O fracție este o funcție infinitezimală deoarece numărătorul este o funcție infinitezimală și numitorul are o limită c2 ≠0.

Exemple.

3. Luați în considerare. La x→1 numărătorul fracției tinde spre 1, iar numitorul tinde spre 0. Dar întrucât, i.e. este o funcție infinitezimală pentru x→ 1, atunci

Teorema 4. Să fie date trei funcții f(x), u(x)și v(x), satisfacerea inegalităţilor u (x)≤f(x)≤v(x). Dacă funcţiile u(x)și v(x) au aceeași limită x→a(sau x→∞), apoi funcția f(x) tinde spre aceeași limită, adică dacă

Teorema 5. Eu gras x→a(sau x→∞) funcție y=f(x) ia valori nenegative y≥0și tinde spre limită b, atunci această limită nu poate fi negativă: b≥0.

Dovada. Dovada se va face prin contradictie. Să ne prefacem că b<0 , apoi |y – b|≥|b|și, prin urmare, modulul diferenței nu tinde spre zero la x→a. Dar apoi y nu merge la limita b la x→a, ceea ce contrazice condiția teoremei.

Teorema 6. Dacă două funcţii f(x)și g(x) pentru toate valorile argumentului X satisface inegalitatea f(x)≥ g(x)și avem limite, atunci avem inegalitatea b≥c.

Dovada. Conform teoremei f(x)-g(x) ≥0, prin urmare, prin Teorema 5 , sau .

6. Dezvăluirea incertitudinilor (0/0), ∞ -∞

eu. Incertitudine.

La descompunerea numărătorului în factori, am folosit regula pentru împărțirea unui polinom la un polinom la un „unghi”. De la numărul X=1 este rădăcina polinomului x 3 – 6x2 + 11X– 6, apoi la împărțire obținem

7. Limita secvenței . Conceptul de logaritm natural.

A DOUA LIMITĂ REMARCABILĂ

A doua limită remarcabilă servește la relevarea incertitudinii 1 ∞ și arată astfel

Exemple:

logaritm de bază e (e- se numește un număr transcendental aproximativ egal cu 2,718281828 ...). logaritmul natural. Logaritmul natural al unui număr X notat ln X. Logaritmii naturali sunt folosiți pe scară largă în calcule de matematică, fizică și inginerie.

Logaritmii sunt folosiți pe scară largă

bază, numită naturală. Logaritmii naturali sunt notați prin simbol

Conceptul de limită a unei funcții.

Conceptul de continuitate a unei funcții este direct legat de conceptul de limită a unei funcții.

Un număr A se numește limita unei funcții f într-un punct a, ceea ce este limitativ pentru o mulțime E, dacă pentru orice vecinătate V(A) a punctului A, există o vecinătate perforată a punctului a astfel încât imaginea sa sub maparea f este o submulțime a vecinătății date V(A) a punctului A.

Limita funcției f la punctul a, care este limita pentru mulțimea E, se notează astfel: sau , dacă este posibil să se omite mențiunea mulțimii E.

Deoarece fiecare vecinătate poate fi asociată cu propria sa vecinătate regulată (simetrică), definiția limitei poate fi formulată în limbajul -δ sub forma obișnuită în analiza matematică:

Limita funcției în punctul f în punctul a, care este limita pentru mulțimea E, este direct legată de limita șirului.

Vom lua în considerare toate secvențele posibile de puncte ale mulțimii E care au punctul a drept limită și secvențele corespunzătoare de valori ale funcției în punctele șirului. Dacă limita funcției f în punctul a există, atunci această limită va fi limita fiecărei secvențe.

Este adevărat și invers: dacă toate secvențele converg către aceeași valoare, atunci funcția are o limită egală cu valoarea dată.

număr constant A numit limită secvente(x n ) dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar micε > 0 există un număr N astfel încât toate valorile x n, pentru care n>N, satisface inegalitatea

|x n - a|< ε. (6.1)

Scrieți-o astfel: sau x n → A.

Inegalitatea (6.1) este echivalentă cu inegalitatea dublă

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

ceea ce înseamnă că punctele x n, pornind de la un număr n>N, se află în interiorul intervalului (a-ε, a + ε ), adică cad în orice micε -vecinatatea punctului A.

Se numește o secvență care are o limită convergente, in caz contrar - divergente.

Conceptul de limită a unei funcții este o generalizare a conceptului de limită a unei secvențe, deoarece limita unei secvențe poate fi considerată ca limita funcției x n = f(n) a unui argument întreg. n.

Fie dată o funcție f(x) și fie A - punct limită domeniul de definitie al acestei functii D(f), i.e. un astfel de punct, a cărui vecinătate conține puncte ale mulțimii D(f) diferite de A. Punct A poate aparține sau nu mulțimii D(f).

Definiția 1.Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a if pentru orice succesiune (x n ) de valori ale argumentului care tind la A, secvențele corespunzătoare (f(x n)) au aceeași limită A.

Această definiție se numește definirea limitei unei funcții după Heine, sau " în limbajul secvenţelor”.

Definiția 2. Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a dacă, dat un număr pozitiv arbitrar arbitrar mic ε, se poate găsi astfel de δ>0 (în funcție de ε), care pentru toți Xîntins înε-vecinătăți ale unui număr A, adică pentru X satisfacerea inegalitatii
0 < x-a< ε , se vor afla valorile funcției f(x).ε-vecinătatea numărului A, adică.|f(x)-A|< ε.

Această definiție se numește definirea limitei unei funcții după Cauchy, sau „în limbajul ε - δ “.

Definițiile 1 și 2 sunt echivalente. Dacă funcția f(x) ca x →a are limită egal cu A, acesta se scrie ca

. (6.3)

În cazul în care șirul (f(x n)) crește (sau scade) la nesfârșit pentru orice metodă de aproximare X la limita ta A, atunci vom spune că funcția f(x) are limita infinita, si scrie-l ca:

Se numește o variabilă (adică o secvență sau o funcție) a cărei limită este zero infinit de mici.

Se numește o variabilă a cărei limită este egală cu infinitul infinit de mare.

Pentru a găsi limita în practică, utilizați următoarele teoreme.

Teorema 1 . Dacă există orice limită

(6.4)

(6.5)

(6.6)

cometariu. Expresii ca 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sunt incerte, de exemplu, raportul a două cantități infinitezimale sau infinit de mari, iar găsirea unei limite de acest fel se numește „dezvăluirea incertitudinii”.

Teorema 2. (6.7)

acestea. este posibil să treceți la limita de la baza gradului la un exponent constant, în special, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Unde e » 2.7 este baza logaritmului natural. Formulele (6.10) și (6.11) se numesc primele limita minunata iar a doua limită remarcabilă.

Corolarele formulei (6.11) sunt de asemenea utilizate în practică:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

în special limita

Dacă x → a și în același timp x > a, apoi scrieți x→a + 0. Dacă, în special, a = 0, atunci în locul simbolului 0+0 se scrie +0. În mod similar, dacă x→a și în același timp x a-0. Numerele și sunt denumite în consecință. limita dreaptași limita stângă funcții f(x) la punct A. Pentru ca limita funcției f(x) să existe ca x→a este necesar şi suficient pentru . Se numește funcția f(x). continuu la punct x 0 dacă limită

. (6.15)

Condiția (6.15) poate fi rescrisă ca:

,

adică trecerea la limita sub semnul unei funcţii este posibilă dacă aceasta este continuă într-un punct dat.

Dacă egalitatea (6.15) este încălcată, atunci spunem că la x = xo funcţie f(x) Are decalaj. Se consideră funcția y = 1/x. Domeniul acestei funcții este mulțimea R, cu excepția x = 0. Punctul x = 0 este un punct limită al mulțimii D(f), deoarece în oricare din vecinătățile sale, adică, orice interval deschis care conține punctul 0 conține puncte din D(f), dar el însuși nu aparține acestei mulțimi. Valoarea f(x o)= f(0) nu este definită, deci funcția are o discontinuitate în punctul x o = 0.

Se numește funcția f(x). continuă pe dreapta într-un punct x o dacă limită

,

și continuu pe stanga intr-un punct x o dacă limită

.

Continuitatea unei funcții într-un punct x o este echivalentă cu continuitatea sa în acest punct atât în ​​dreapta cât și în stânga.

Pentru ca o funcție să fie continuă într-un punct x o, de exemplu, în dreapta, este necesar, în primul rând, să existe o limită finită , iar în al doilea rând, ca această limită să fie egală cu f(x o). Prin urmare, dacă cel puțin una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, atunci funcția va avea un decalaj.

1. Dacă limita există și nu este egală cu f(x o), atunci ei spun că funcţie f(x) la punct xo are pauză de primul fel, sau a sari.

2. Dacă limita este+∞ sau -∞ sau nu există, atunci spunem că în punct x o funcția are pauză al doilea fel.

De exemplu, funcția y = ctg x la x→ +0 are o limită egală cu +∞, prin urmare, în punctul x=0 are o discontinuitate de al doilea fel. Funcția y = E(x) (parte întreagă a X) în punctele cu abscise întregi are discontinuități de primul fel, sau salturi.

Se numește o funcție care este continuă în fiecare punct al intervalului continuuîn . O funcție continuă este reprezentată printr-o curbă solidă.

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă. Astfel de sarcini, de exemplu, includ: creșterea contribuției conform legii dobânzii compuse, creșterea populației țării, degradarea unei substanțe radioactive, înmulțirea bacteriilor etc.

Considera exemplu de Ya. I. Perelman, care dă interpretarea numărului eîn problema dobânzii compuse. Număr e există o limită . În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă conexiunea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, extrem de simplificat. Lasă banca să pună 100 de den. unitati la rata de 100% pe an. Dacă banii purtători de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până la acest moment 100 den. unitati se va transforma in 200 den. Acum să vedem în ce se vor transforma 100 de den. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. Dupa o jumatate de an 100 den. unitati creste pana la 100× 1,5 \u003d 150, iar după alte șase luni - la 150× 1,5 \u003d 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati transforma in 100× (1 +1/3) 3 » 237 (den. unităţi). Vom mări intervalul de timp pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, 0,01 an, 0,001 an și așa mai departe. Apoi din 100 den. unitati un an mai tarziu:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Cu o reducere nelimitată a termenelor de participare, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul plasat la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată ar fi fost adăugat la capital în fiecare secundă deoarece limita

Exemplul 3.1.Folosind definiția limitei unei secvențe de numere, demonstrați că șirul x n =(n-1)/n are o limită egală cu 1.

Decizie.Trebuie să dovedim asta indiferentε > 0 luăm, pentru el există un număr natural N astfel încât pentru tot n N inegalitatea|xn-1|< ε.

Luați orice e > 0. Deoarece ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, atunci pentru a găsi N este suficient să rezolvi inegalitatea 1/n< e. Prin urmare n>1/ e și, prin urmare, N poate fi luat ca parte întreagă a lui 1/ e, N = E(1/ e ). Am demonstrat astfel că limita .

Exemplul 3.2 . Aflați limita unei șiruri date de un termen comun .

Decizie.Aplicați teorema sumei limită și găsiți limita fiecărui termen. Pentru n→ ∞ numărătorul și numitorul fiecărui termen tinde spre infinit și nu putem aplica direct teorema limitei coeficientului. Prin urmare, mai întâi ne transformăm x n, împărțind numărătorul și numitorul primului termen la n 2, iar al doilea n. Apoi, aplicând teorema limitei coeficientului și teorema limitei sumei, găsim:

.

Exemplul 3.3. . A găsi .

Decizie. .

Aici am folosit teorema limitei gradului: limita unui grad este egală cu gradul limitei bazei.

Exemplul 3.4 . A găsi ( ).

Decizie.Este imposibil să se aplice teorema limitei diferențelor, deoarece avem o incertitudine a formei ∞-∞ . Să transformăm formula termenului general:

.

Exemplul 3.5 . Având în vedere o funcție f(x)=2 1/x . Demonstrați că limita nu există.

Decizie.Folosim definiția 1 a limitei unei funcții în termeni de succesiune. Luați o secvență ( x n ) care converge la 0, adică. Să arătăm că valoarea f(x n)= se comportă diferit pentru secvențe diferite. Fie x n = 1/n. Evident, atunci limita Să alegem acum ca x n o secvență cu un termen comun x n = -1/n, de asemenea, tinde spre zero. Prin urmare, nu există limită.

Exemplul 3.6 . Demonstrați că limita nu există.

Decizie.Fie x 1 , x 2 ,..., x n ,... o succesiune pentru care
. Cum se comportă șirul (f(x n)) = (sin x n ) pentru diferite x n → ∞

Dacă x n \u003d p n, atunci sin x n \u003d sin p n = 0 pentru toate n si limita Daca
xn=2 p n+ p /2, atunci sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pentru toate n si de aici limita. Astfel nu există.

Widget pentru calcularea limitelor on-line

În caseta de sus, în loc de sin(x)/x, introduceți funcția a cărei limită doriți să o găsiți. În caseta de jos, introduceți numărul la care tinde x și faceți clic pe butonul Calculator, obțineți limita dorită. Și dacă faceți clic pe Afișare pași în colțul din dreapta sus în fereastra de rezultate, veți obține o soluție detaliată.

Reguli de introducere a funcției: sqrt(x) - rădăcină pătrată, cbrt(x) - rădăcină cubă, exp(x) - exponent, ln(x) - logaritm natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangentă, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangent. Semne: * înmulțire, / împărțire, ^ exponențiere, în loc de infinit Infinit. Exemplu: funcția este introdusă ca sqrt(tan(x/2)).

Sunt date enunțuri ale principalelor teoreme și proprietăți ale șirurilor numerice cu limite. Conține definiția unei secvențe și limita acesteia. Se iau în considerare operațiile aritmetice cu secvențe, proprietățile legate de inegalități, criteriile de convergență, proprietățile secvențelor infinit de mici și infinit de mari.

Secvențe

Succesiunea numerică numită lege (regula), conform căreia fiecărui număr natural i se atribuie un număr.
Numărul este numit al n-lea membru sau element al secvenței.
În cele ce urmează, vom presupune că elementele șirului sunt numere reale.

limitat, dacă există un număr M astfel încât pentru tot n real .

fata de sus secvențele sunt numite cel mai mic dintre numerele care mărginesc șirul de sus. Adică acesta este un număr s pentru care pentru tot n și pentru orice , există un astfel de element al șirului care depășește s′ : .

fata de jos secvențele numesc cel mai mare dintre numerele care delimitează șirul de jos. Adică acesta este un număr i pentru care pentru tot n și pentru orice , există un astfel de element al șirului care este mai mic decât i : .

Marginea superioară se mai numește limita superioară exactă, și limita inferioară limită inferioară precisă. Conceptele de limite superioare și inferioare sunt valabile nu numai pentru secvențe, ci și pentru orice mulțime de numere reale.

Determinarea limitei unei secvențe

Numărul a se numește limita secvenței, dacă pentru orice număr pozitiv există un astfel de număr natural N , în funcție de , încât pentru toate numerele naturale inegalitatea
.
Limita unei secvențe se notează după cum urmează:
.
Sau la .

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei poate fi scrisă după cum urmează:
.

Interval deschis (a - ε, a + ε) se numește ε-vecinătatea punctului a.

Se numește o secvență care are o limită succesiune convergentă. Se mai spune că succesiunea converge la a. Se numește o secvență care nu are limită divergente.

punctul a nu este limita secvenței, dacă există astfel încât pentru orice n natural să existe un astfel de m natural >n, ce
.
.
Aceasta înseamnă că puteți alege o astfel de ε - vecinătate a punctului a , în afara căreia va exista un număr infinit de elemente ale șirului.

Proprietăți ale limitelor finite ale șirurilor

Proprietăți de bază

Un punct a este limita unei secvențe dacă și numai dacă în afara oricărei vecinătăți a acestui punct se află număr finit de elemente secvente sau multimea goala.

Dacă numărul a nu este limita secvenței, atunci există o astfel de vecinătate a punctului a, în afara căreia se află număr infinit de elemente de secvență.

Teorema unicității pentru limita unei secvențe de numere. Dacă o secvență are o limită, atunci este unică.

Dacă o secvență are o limită finită, atunci aceasta limitat.

Dacă fiecare element al secvenței este egal cu același număr C : , atunci această succesiune are o limită egală cu numărul C .

Dacă succesiunea adăugați, plasați sau modificați primele m elemente, atunci acest lucru nu va afecta convergența acestuia.

Dovezi ale proprietăților de bază dat pe pagină
Proprietăţile de bază ale limitelor finite ale secvenţelor >>> .

Aritmetică cu limite

Să fie limite și secvențe finite și . Și să fie C o constantă, adică un număr dat. Apoi
;
;
;
, dacă .
În cazul coeficientului, se presupune că pentru tot n .

Daca atunci .

Demonstrații de proprietăți aritmetice dat pe pagină
Proprietăţi aritmetice ale limitelor finite ale secvenţelor >>> .

Proprietăți asociate cu inegalități

Dacă elementele șirului, pornind de la un număr, satisfac inegalitatea , atunci limita a a acestei secvențe satisface și inegalitatea .

Dacă elementele șirului, pornind de la un număr oarecare, aparțin unui interval (segment) închis, atunci și limita a aparține acestui interval: .

Dacă și și elementele șirurilor, pornind de la un număr, satisfac inegalitatea , atunci .

Dacă și, începând de la un număr, , atunci .
În special, dacă, pornind de la un anumit număr, , atunci
daca atunci ;
daca atunci .

Dacă și , atunci .

Lasă și . În cazul în care un < b , atunci există un număr natural N astfel încât pentru tot n > N inegalitatea este satisfăcută.

Dovezi de proprietăți legate de inegalități dat pe pagină
Proprietăţi ale limitelor secvenţei legate de >>> inegalităţi.

Secvențe infinitezimale și infinitezimale

Succesiunea infinitezimală

Urmare se numește șir infinitezimal dacă limita sa este zero:
.

Sumă și diferență numărul finit de secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală.

Produsul unei secvențe mărginite la un infinitezimal este o succesiune infinitezimală.

Produsul unui număr finit secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală.

Pentru ca o secvență să aibă o limită a , este necesar și suficient ca , unde este o secvență infinitezimală.

Demonstrații de proprietăți ale secvențelor infinitezimale dat pe pagină
Secvențe infinit de mici - definiție și proprietăți >>> .

Secvență infinit de mare

Urmare se numește șir infinit, dacă pentru orice număr pozitiv există un astfel de număr natural N , în funcție de , încât pentru toate numerele naturale inegalitatea
.
În acest caz, scrieți
.
Sau la .
Se spune că tinde spre infinit.

Dacă , începând de la un număr N , atunci
.
Daca atunci
.

Dacă secvențele sunt infinit de mari, atunci pornind de la un număr N , se definește o secvență care este infinit mică. Dacă sunt o secvență infinitezimală cu elemente diferite de zero, atunci șirul este infinit de mare.

Dacă șirul este infinit de mare și șirul este mărginit, atunci
.

Dacă valorile absolute ale elementelor secvenței sunt mărginite de jos de un număr pozitiv () și este infinit mic cu elemente diferite de zero, atunci
.

In detalii definirea unei secvențe infinit de mari cu exemple dat pe pagină
Definirea unei secvente infinit de mari >>> .
Demonstrații pentru proprietățile unor secvențe infinit de mari dat pe pagină
Proprietăţi ale unor secvenţe infinit de mari >>> .

Criterii de convergență a secvenței

Secvențe monotone

Secvența este numită strict crescând, dacă pentru toți n este valabilă următoarea inegalitate:
.
În consecință, pentru strict în scădere succesiune, este valabilă următoarea inegalitate:
.
Pentru nescădere:
.
Pentru necrescătoare:
.

Rezultă că o secvență strict crescătoare este, de asemenea, nedescrescătoare. O secvență strict descrescătoare este, de asemenea, necrescătoare.

Secvența este numită monoton dacă nu este în scădere sau în creştere.

O secvență monotonă este mărginită pe cel puțin o parte de . O succesiune nedescrescătoare este mărginită de jos: . O succesiune necrescătoare este mărginită de sus: .

Teorema Weierstrass. Pentru ca o secvență nedescrescătoare (necrescătoare) să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca aceasta să fie mărginită de sus (de jos). Aici M este un număr.

Deoarece orice succesiune nedescrescătoare (necrescătoare) este mărginită de jos (de sus), teorema Weierstrass poate fi reformulată după cum urmează:

Pentru ca o secvență monotonă să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca aceasta să fie mărginită: .

Secvență nemărginită monotonă are o limită infinită, egală pentru secvențele nedescrescătoare și necrescătoare.

Demonstrarea teoremei Weierstrass dat pe pagină
Teorema lui Weierstrass asupra limitei unei succesiuni monotone >>> .

Criteriul Cauchy pentru convergența secvenței

Starea Cauchy. O secvență satisface condiția Cauchy dacă pentru oricare există un număr natural astfel încât pentru toate numerele naturale n și m care îndeplinesc condiția, inegalitatea
.
Se mai numesc și secvențele care satisfac condiția Cauchy secvențe fundamentale.

Criteriul Cauchy pentru convergența secvenței. Pentru ca o secvență să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca aceasta să satisfacă condiția Cauchy.

Dovada criteriului de convergență Cauchy dat pe pagină
Criteriul de convergență al lui Cauchy pentru o secvență >>> .

Subsecvențele

Teorema Bolzano-Weierstrass. Din orice șir mărginit, se poate distinge o subsecvență convergentă. Și din orice succesiune nelimitată - o subsecvență infinit de mare care converge către sau către .

Demonstrarea teoremei Bolzano-Weierstrass dat pe pagină
Teorema Bolzano–Weierstrass >>> .

Definițiile, teoremele și proprietățile subsecvențelor și limitelor parțiale sunt discutate pe pagina
Subsecvențe și limite parțiale ale secvențelor >>>.

Referinte:
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
V.A. Zorich. Analiza matematică. Partea 1. Moscova, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Pozniak. Fundamentele analizei matematice. Partea 1. Moscova, 2005.