Ecuația unei drepte pe un plan.

După cum se știe, orice punct din plan este determinat de două coordonate într-un sistem de coordonate. Sistemele de coordonate pot fi diferite în funcție de alegerea bazei și a originii.

Definiție. Ecuația liniilor este relaţia y = f(x) între coordonatele punctelor care alcătuiesc această dreaptă.

Rețineți că ecuația liniei poate fi exprimată într-un mod parametric, adică fiecare coordonată a fiecărui punct este exprimată printr-un parametru independent t.

Un exemplu tipic este traiectoria unui punct în mișcare. În acest caz, timpul joacă rolul unui parametru.

Ecuația unei drepte pe un plan.

Definiție. Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ah + Wu + C = 0,

în plus, constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp, adică. A 2 + B 2  0. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte.

În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C \u003d 0, A  0, B  0 - linia trece prin origine

A \u003d 0, B  0, C  0 (Prin + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - linia dreaptă coincide cu axa Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.

Ecuația unei drepte printr-un punct și un vector normal.

Definiție. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B) este perpendicular pe dreapta dată de ecuația Ax + By + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul A (1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).

Să compunem la A \u003d 3 și B \u003d -1 ecuația dreptei: 3x - y + C \u003d 0. Pentru a găsi coeficientul C, înlocuim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată.

Obținem: 3 - 2 + C \u003d 0, prin urmare C \u003d -1.

Total: ecuația dorită: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Să fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, apoi ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte:

Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero.

Pe un plan, ecuația unei drepte scrise mai sus este simplificată:

dacă x 1  x 2 și x \u003d x 1, dacă x 1 \u003d x 2.

Fracțiune
=k se numește factor de pantă Drept.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Aplicând formula de mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte după un punct și o pantă.

Dacă ecuația generală a dreptei Ax + Vy + C = 0 duce la forma:

și desemnează
, atunci ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte cu pantăk.

Ecuația unei drepte pe un punct și un vector de direcție.

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei drepte prin vectorul normal, puteți introduce alocarea unei drepte printr-un punct și a unui vector de direcție al unei drepte.

Definiție. Fiecare vector diferit de zero ( 1 ,  2), ale cărei componente îndeplinesc condiția A 1 + B 2 = 0 se numește vectorul de direcție al dreptei

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector direcție (1, -1) și trecând prin punctul A(1, 2).

Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției, coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1A + (-1)B = 0, adică. A = B.

Atunci ecuația unei drepte are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C/A = 0.

la x = 1, y = 2 obținem С/A = -3, adică. ecuația dorită:

Ecuația unei drepte în segmente.

Dacă în ecuația generală a dreptei Ah + Wu + C = 0 C 0, atunci, împărțind la –C, obținem:
sau

, Unde

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul A este coordonata punctului de intersecție al dreptei cu axa x și b- coordonata punctului de intersectie a dreptei cu axa Oy.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a dreptei x - y + 1 = 0. Aflați ecuația acestei drepte în segmente.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Ecuația normală a unei linii drepte.

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Wy + C = 0 împărțit la număr
, Care e numit factor de normalizare, apoi primim

xcos + ysin - p = 0 –

ecuația normală a unei linii drepte.

Semnul  al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât С< 0.

p este lungimea perpendicularei coborâte de la origine la dreapta, iar  este unghiul format de această perpendiculară cu direcția pozitivă a axei Ox.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a dreptei 12x - 5y - 65 = 0. Este necesar să se scrie diverse tipuri de ecuații pentru această dreaptă.

ecuația acestei drepte în segmente:

ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

ecuația normală a unei linii drepte:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, drepte paralele cu axele sau care trec prin origine.

Exemplu. Linia dreaptă taie segmente pozitive egale pe axele de coordonate. Scrieți ecuația unei drepte dacă aria triunghiului format din aceste segmente este de 8 cm2.

Ecuația unei drepte are forma:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nu se potrivește cu condiția problemei.

Total:
sau x + y - 4 = 0.

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul A (-2, -3) și originea.

Ecuația unei drepte are forma:
, unde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Unghiul dintre liniile unui plan.

Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca

.

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2 .

Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Linii drepte Ax + Vy + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții A sunt proporționali 1 =  A, B 1 =  B. Dacă și C 1 =  C, atunci liniile coincid.

Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat

perpendicular pe această dreaptă.

Definiție. Linia care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y \u003d kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la un punct la o linie.

Teorema. Dacă un punct M(x 0 , y 0 ), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C = 0 este definită ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute de la punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată.

Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

.

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.

Găsim: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, prin urmare, liniile sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Găsim ecuația laturii AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime dorită este: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b.

k = . Atunci y =
. pentru că înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație:
de unde b = 17. Total:
.

Răspuns: 3x + 2y - 34 = 0.

Geometrie analitică în spațiu.

Ecuația dreaptă în spațiu.

Ecuația unei drepte în spațiu cu un punct și

vector de direcție.

Luați o linie arbitrară și un vector (m, n, p) paralel cu dreapta dată. Vector numit vector ghid Drept.

Să luăm două puncte arbitrare M 0 (x 0 , y 0 , z 0) și M(x, y, z) pe linia dreaptă.

z

M1

Să notăm vectorii cu rază ai acestor puncte ca și , este evident că - =
.

pentru că vectori
și sunt coliniare, atunci relația este adevărată
= t, unde t este un parametru.

În total, putem scrie: = + t.

pentru că această ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct de pe linie, atunci ecuația rezultată este ecuația parametrică a unei linii drepte.

Această ecuație vectorială poate fi reprezentată sub formă de coordonate:

Transformând acest sistem și echivalând valorile parametrului t, obținem ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu:

.

Definiție. Cosinusuri de direcție directe sunt cosinusurile de direcție ale vectorului , care poate fi calculat prin formulele:

;

.

De aici obținem: m: n: p = cos : cos : cos.

Se numesc numerele m, n, p factori de pantă Drept. pentru că este un vector diferit de zero, m, n și p nu pot fi zero în același timp, dar unul sau două dintre aceste numere pot fi zero. În acest caz, în ecuația unei linii drepte, numărătorii corespunzători ar trebui să fie egalați cu zero.

Ecuația unei drepte în spațiu care trece

prin două puncte.

Dacă două puncte arbitrare M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) sunt marcate pe o dreaptă în spațiu, atunci coordonatele acestor puncte trebuie să satisfacă ecuația linie dreaptă obținută mai sus:

.

În plus, pentru punctul M 1 putem scrie:

.

Rezolvând aceste ecuații împreună, obținem:

.

Aceasta este ecuația unei drepte care trece prin două puncte din spațiu.

Ecuații generale ale unei drepte în spațiu.

Ecuația unei drepte poate fi considerată drept ecuația unei linii de intersecție a două plane.

După cum sa discutat mai sus, un plan în formă vectorială poate fi dat de ecuația:

+ D = 0, unde

- plan normal; - raza-vector al unui punct arbitrar al planului.

Lecție din seria „Algoritmi geometrici”

Bună dragă cititor!

Astăzi vom începe să învățăm algoritmi legați de geometrie. Cert este că există o mulțime de probleme la olimpiade în informatică legate de geometria computațională, iar rezolvarea unor astfel de probleme provoacă adesea dificultăți.

În câteva lecții, vom lua în considerare o serie de subprobleme elementare pe care se bazează soluția majorității problemelor de geometrie computațională.

În această lecție, vom scrie un program pentru aflarea ecuatiei unei drepte trecând prin dat două puncte. Pentru a rezolva probleme geometrice, avem nevoie de anumite cunoștințe de geometrie computațională. Vom dedica o parte a lecției cunoașterii lor.

Informații din geometria computațională

Geometria computațională este o ramură a informaticii care studiază algoritmii pentru rezolvarea problemelor geometrice.

Datele inițiale pentru astfel de probleme pot fi un set de puncte pe plan, un set de segmente, un poligon (date, de exemplu, printr-o listă a vârfurilor sale în ordinea acelor de ceasornic), etc.

Rezultatul poate fi fie un răspuns la o întrebare (cum ar fi un punct aparține unui segment, două segmente se intersectează, ...), fie un obiect geometric (de exemplu, cel mai mic poligon convex care leagă punctele date, aria de un poligon etc.).

Vom lua în considerare probleme de geometrie computațională doar în plan și numai în sistemul de coordonate carteziene.

Vectori și coordonate

Pentru a aplica metodele geometriei computaționale, este necesară traducerea imaginilor geometrice în limbajul numerelor. Presupunem că un sistem de coordonate carteziene este dat pe plan, în care direcția de rotație în sens invers acelor de ceasornic este numită pozitivă.

Acum obiectele geometrice primesc o expresie analitică. Deci, pentru a stabili un punct, este suficient să specificați coordonatele acestuia: o pereche de numere (x; y). Un segment poate fi specificat prin specificarea coordonatele capetelor sale, o linie dreaptă poate fi specificată prin specificarea coordonatele unei perechi de puncte.

Dar principalul instrument pentru rezolvarea problemelor vor fi vectorii. Permiteți-mi să vă reamintesc, așadar, câteva informații despre ei.

Segment de linie AB, care are rost DAR considerat începutul (punctul de aplicare) și punctul LA- capătul se numește vector ABși notat fie prin , fie cu o literă minusculă aldine, de exemplu A .

Pentru a desemna lungimea unui vector (adică lungimea segmentului corespunzător), vom folosi simbolul modulului (de exemplu, ).

Un vector arbitrar va avea coordonatele egale cu diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale sfârșitului și începutului său:

,

puncte aici Ași B au coordonate respectiv.

Pentru calcule vom folosi conceptul unghi orientat, adică un unghi care ține cont de poziția relativă a vectorilor.

Unghi orientat între vectori A și b pozitiv dacă rotația este departe de vector A la vector b se face în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic) și negativ în celălalt caz. Vezi fig.1a, fig.1b. Se mai spune că o pereche de vectori A și b orientat pozitiv (negativ).

Astfel, valoarea unghiului de orientare depinde de ordinea de enumerare a vectorilor și poate lua valori în intervalul .

Multe probleme de geometrie computațională folosesc conceptul de produse vectoriale (înclinate sau pseudoscalare) ale vectorilor.

Produsul vectorial al vectorilor a și b este produsul dintre lungimile acestor vectori și sinusul unghiului dintre ei:

.

Produs vectorial al vectorilor în coordonate:

Expresia din dreapta este un determinant de ordinul doi:

Spre deosebire de definiția dată în geometria analitică, acesta este un scalar.

Semnul produsului încrucișat determină poziția vectorilor unul față de celălalt:

A și b orientat pozitiv.

Dacă valoarea este , atunci perechea de vectori A și b orientat negativ.

Produsul încrucișat al vectorilor nenuli este zero dacă și numai dacă sunt coliniari ( ). Aceasta înseamnă că se află pe aceeași linie sau pe linii paralele.

Să luăm în considerare câteva sarcini simple necesare pentru rezolvarea celor mai complexe.

Să definim ecuația unei linii drepte prin coordonatele a două puncte.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte diferite date de coordonatele lor.

Pe linie sunt date două puncte necoincidente: cu coordonatele (x1;y1) și cu coordonatele (x2; y2). În consecință, vectorul cu începutul în punct și sfârșitul în punct are coordonate (x2-x1, y2-y1). Dacă P(x, y) este un punct arbitrar pe dreapta noastră, atunci coordonatele vectorului sunt (x-x1, y - y1).

Cu ajutorul produsului încrucișat, condiția de coliniaritate a vectorilor și poate fi scrisă după cum urmează:

Acestea. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Rescriem ultima ecuație după cum urmează:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Deci, linia dreaptă poate fi dată de o ecuație de forma (1).

Sarcina 1. Sunt date coordonatele a două puncte. Găsiți reprezentarea sa sub forma ax + by + c = 0.

În această lecție, ne-am familiarizat cu câteva informații din geometria computațională. Am rezolvat problema găsirii ecuației dreptei după coordonatele a două puncte.

În lecția următoare, vom scrie un program pentru a găsi punctul de intersecție a două drepte date de ecuațiile noastre.

Proprietățile unei drepte în geometria euclidiană.

Există infinit de linii care pot fi trase prin orice punct.

Prin oricare două puncte care nu coincid, există o singură linie dreaptă.

Două drepte non-coincidente în plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt

paralel (urmează din precedentul).

În spațiul tridimensional, există trei opțiuni pentru poziția relativă a două linii:

• liniile se intersectează;

• liniile drepte sunt paralele;

• linii drepte se intersectează.

Drept linia- curba algebrică de ordinul întâi: în sistemul de coordonate carteziene, o dreaptă

este dat pe plan de o ecuație de gradul I (ecuație liniară).

Ecuația generală a unei drepte.

Definiție. Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ah + Wu + C = 0,

și constantă A, B nu este egal cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește general

ecuație în linie dreaptă.În funcție de valorile constantelor A, Bși Cu Sunt posibile următoarele cazuri speciale:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linia trece prin origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Prin + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linia coincide cu axa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linia coincide cu axa Oh

Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în diferite forme în funcție de orice dat

condiții inițiale.

Ecuația unei drepte printr-un punct și un vector normal.

Definiție. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B)

perpendicular pe dreapta dată de ecuație

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct A(1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).

Decizie. Să compunem la A \u003d 3 și B \u003d -1 ecuația dreptei: 3x - y + C \u003d 0. Pentru a găsi coeficientul C

substituim coordonatele punctului dat A in expresia rezultata.Se obtine: 3 - 2 + C = 0, deci

C = -1. Total: ecuația dorită: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Să fie date două puncte în spațiu M 1 (x 1 , y 1 , z 1)și M2 (x 2, y 2 , z 2), apoi ecuație în linie dreaptă,

trecând prin aceste puncte:

Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero. Pe

plan, ecuația unei drepte scrisă mai sus este simplificată:

dacă x 1 ≠ x 2și x = x 1, dacă x 1 = x 2 .

Fracțiune = k numit factor de pantă Drept.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Decizie. Aplicând formula de mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte după un punct și o pantă.

Dacă ecuația generală a unei drepte Ah + Wu + C = 0 aduce la forma:

și desemnează , atunci ecuația rezultată se numește

ecuația unei drepte cu panta k.

Ecuația unei drepte pe un punct și un vector de direcție.

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei linii drepte prin vectorul normal, puteți intra în sarcină

o dreaptă printr-un punct și un vector de direcție al unei drepte.

Definiție. Fiecare vector diferit de zero (α 1 , α 2), ale căror componente satisfac condiția

Aα 1 + Bα 2 = 0 numit vector de direcție al dreptei.

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).

Decizie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției,

coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.

Atunci ecuația unei drepte are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0.

la x=1, y=2 primim C/ A = -3, adică ecuația dorită:

x + y - 3 = 0

Ecuația unei drepte în segmente.

Dacă în ecuația generală a dreptei Ah + Wu + C = 0 C≠0, atunci, împărțind la -C, obținem:

sau unde

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul a este coordonata punctului de intersecție

drept cu ax Oh, A b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa OU.

Exemplu. Este dată ecuația generală a unei drepte x - y + 1 = 0. Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Ecuația normală a unei linii drepte.

Dacă ambele părți ale ecuației Ah + Wu + C = 0împărțiți la număr , Care e numit

factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuația normală a unei linii drepte.

Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * C< 0.

R- lungimea perpendicularei coborâte de la origine la linie,

A φ - unghiul format de aceasta perpendiculara cu directia pozitiva a axei Oh.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a unei drepte 12x - 5y - 65 = 0. Necesar pentru a scrie diferite tipuri de ecuații

această linie dreaptă.

Ecuația acestei drepte în segmente:

Ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

Ecuația unei linii drepte:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii drepte,

paralel cu axele sau trecând prin origine.

Unghiul dintre liniile unui plan.

Definiție. Dacă sunt date două rânduri y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, apoi unghiul ascuțit dintre aceste linii

va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare

dacă k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direct Ah + Wu + C = 0și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele când coeficienții sunt proporționali

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Dacă de asemenea С 1 \u003d λС, apoi liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte

se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat este perpendiculară pe o dreaptă dată.

Definiție. Linie care trece printr-un punct M 1 (x 1, y 1)și perpendicular pe linie y = kx + b

reprezentată de ecuația:

Distanța de la un punct la o linie.

Teorema. Dacă se acordă un punct M(x 0, y 0), apoi distanța până la linie Ah + Wu + C = 0 definit ca:

Dovada. Lasă punctul M 1 (x 1, y 1)- baza perpendicularei coborâtă din punct M pentru un dat

direct. Apoi distanța dintre puncte Mși M 1:

(1)

Coordonatele x 1și 1 poate fi găsită ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece perpendicular printr-un punct dat M 0

linie dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu sunt ecuații care definesc o dreaptă care trece printr-un punct dat în mod coliniar către un vector de direcție.

Fie dat un punct și un vector direcție. Un punct arbitrar se află pe o dreaptă l numai dacă vectorii și sunt coliniari, adică îndeplinesc condiția:

.

Ecuațiile de mai sus sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

Numerele m , nși p sunt proiecții ale vectorului direcție pe axele de coordonate. Deoarece vectorul este diferit de zero, atunci toate numerele m , nși p nu poate fi zero în același timp. Dar unul sau două dintre ele pot fi zero. În geometria analitică, de exemplu, este permisă următoarea notație:

,

ceea ce înseamnă că proiecţiile vectorului pe axe Oiși Oz sunt egale cu zero. Prin urmare, atât vectorul cât și dreapta dată de ecuațiile canonice sunt perpendiculare pe axele Oiși Oz, adică avioane yOz .

Exemplul 1 Alcătuiți ecuații ale unei drepte în spațiu perpendicular pe un plan şi trecând prin punctul de intersecţie a acestui plan cu axa Oz .

Decizie. Aflați punctul de intersecție al planului dat cu axa Oz. Din moment ce orice punct al axei Oz, are coordonatele , atunci, presupunând în ecuația dată a planului x=y= 0, obținem 4 z- 8 = 0 sau z= 2 . Prin urmare, punctul de intersecție al planului dat cu axa Oz are coordonatele (0; 0; 2) . Deoarece linia dorită este perpendiculară pe plan, este paralelă cu vectorul său normal. Prin urmare, vectorul normal poate servi ca vector de direcție al dreptei avion dat.

Acum scriem ecuațiile dorite ale dreptei care trece prin punct A= (0; 0; 2) în direcția vectorului :

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date

O linie dreaptă poate fi definită prin două puncte aflate pe ea și În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul . Atunci ecuațiile canonice ale dreptei iau forma

.

Ecuațiile de mai sus definesc o linie dreaptă care trece prin două puncte date.

Exemplul 2 Scrieți ecuația unei drepte în spațiu care trece prin punctele și .

Decizie. Scriem ecuațiile dorite ale dreptei în forma dată mai sus în referința teoretică:

.

Deoarece , atunci linia dorită este perpendiculară pe axă Oi .

Drept ca o linie de intersecție a planelor

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca o linie de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuații liniare

Ecuațiile sistemului sunt numite și ecuații generale ale unei linii drepte în spațiu.

Exemplul 3 Alcătuiți ecuații canonice ale unei drepte în spațiul dat de ecuații generale

Decizie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii drepte sau, ceea ce este același lucru, ecuația unei drepte care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linia dreaptă. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două plane de coordonate, de exemplu yOzși xOz .

Punct de intersecție a unei drepte cu un plan yOz are o abscisă X= 0 . Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații X= 0 , obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei y = 2 , z= 6 împreună cu X= 0 definește un punct A(0; 2; 6) din linia dorită. Presupunând atunci în sistemul dat de ecuații y= 0, obținem sistemul

Decizia ei X = -2 , z= 0 împreună cu y= 0 definește un punct B(-2; 0; 0) intersecția unei drepte cu un plan xOz .

Acum scriem ecuațiile unei drepte care trece prin puncte A(0; 2; 6) și B (-2; 0; 0) :

,

sau după împărțirea numitorilor la -2:

,

Acest articol continuă subiectul ecuației unei linii drepte pe un plan: luați în considerare un astfel de tip de ecuație ca ecuația generală a unei linii drepte. Să definim o teoremă și să dăm dovada acesteia; Să ne dăm seama ce este o ecuație generală incompletă a unei linii drepte și cum să facem tranziții de la o ecuație generală la alte tipuri de ecuații ale unei linii drepte. Vom consolida întreaga teorie cu ilustrații și rezolvarea problemelor practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular O x y pe plan.

Teorema 1

Orice ecuație de gradul întâi, având forma A x + B y + C \u003d 0, unde A, B, C sunt numere reale (A și B nu sunt egale cu zero în același timp) definește o linie dreaptă în un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan. La rândul său, orice linie dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan este determinată de o ecuație care are forma A x + B y + C = 0 pentru un anumit set de valori A, B, C.

Dovada

Această teoremă constă din două puncte, vom demonstra fiecare dintre ele.

1. Să demonstrăm că ecuația A x + B y + C = 0 definește o dreaptă pe plan.

Să existe un punct M 0 (x 0 , y 0) ale cărui coordonate corespund ecuației A x + B y + C = 0 . Astfel: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Scădeți din partea stângă și dreaptă a ecuațiilor A x + B y + C \u003d 0 laturile stânga și dreapta ale ecuației A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, obținem o nouă ecuație care arată ca A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Este echivalent cu A x + B y + C = 0 .

Ecuația rezultată A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 este o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea vectorilor n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x) 0, y - y 0). Astfel, mulțimea punctelor M (x, y) definește într-un sistem de coordonate dreptunghiular o dreaptă perpendiculară pe direcția vectorului n → = (A, B) . Putem presupune că nu este așa, dar atunci vectorii n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nu ar fi perpendiculari, iar egalitatea A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nu ar fi adevărat.

Prin urmare, ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definește o anumită linie într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și, prin urmare, ecuația echivalentă A x + B y + C \u003d 0 definește aceeași linie. Astfel am demonstrat prima parte a teoremei.

1. Să demonstrăm că orice dreaptă dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan poate fi dată printr-o ecuație de gradul I A x + B y + C = 0 .

Să stabilim o linie dreaptă a într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan; punctul M 0 (x 0 , y 0) prin care trece această dreaptă, precum și vectorul normal al acestei drepte n → = (A , B) .

Să existe și un punct M (x , y) - un punct flotant al dreptei. În acest caz, vectorii n → = (A , B) și M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) sunt perpendiculari între ei, iar produsul lor scalar este zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Să rescriem ecuația A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definim C: C = - A x 0 - B y 0 și în final obținem ecuația A x + B y + C = 0 .

Deci, am demonstrat a doua parte a teoremei și am demonstrat întreaga teoremă ca întreg.

Definiția 1

O ecuație care arată ca A x + B y + C = 0 - Acest ecuația generală a unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiularO x y .

Pe baza teoremei demonstrate, putem concluziona că o dreaptă dată pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular fix și ecuația sa generală sunt indisolubil legate. Cu alte cuvinte, linia originală corespunde ecuației sale generale; ecuația generală a unei drepte corespunde unei drepte date.

De asemenea, din demonstrarea teoremei rezultă că coeficienții A și B pentru variabilele x și y sunt coordonatele vectorului normal al dreptei, care este dat de ecuația generală a dreptei A x + B y + C = 0 .

Luați în considerare un exemplu specific de ecuație generală a unei linii drepte.

Să fie dată ecuația 2 x + 3 y - 2 = 0, care corespunde unei linii drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat. Vectorul normal al acestei linii este vectorul n → = (2, 3) ​​. Desenați o linie dreaptă dată în desen.

Se mai poate argumenta și următoarele: linia dreaptă pe care o vedem în desen este determinată de ecuația generală 2 x + 3 y - 2 = 0, deoarece coordonatele tuturor punctelor unei drepte date corespund acestei ecuații.

Putem obține ecuația λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 înmulțind ambele părți ale ecuației generale drepte cu un număr diferit de zero λ. Ecuația rezultată este echivalentă cu ecuația generală inițială, prin urmare, va descrie aceeași dreaptă în plan.

Definiția 2

Ecuația generală completă a unei linii drepte- o astfel de ecuație generală a dreptei A x + B y + C \u003d 0, în care numerele A, B, C sunt diferite de zero. În caz contrar, ecuația este incomplet.

Să analizăm toate variațiile ecuației generale incomplete a dreptei.

1. Când A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ecuația generală devine B y + C \u003d 0. O astfel de ecuație generală incompletă definește o linie dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y care este paralelă cu axa O x, deoarece pentru orice valoare reală a lui x, variabila y va lua valoarea - C B . Cu alte cuvinte, ecuația generală a liniei A x + B y + C \u003d 0, când A \u003d 0, B ≠ 0, definește locul punctelor (x, y) ale căror coordonate sunt egale cu același număr - C B .
2. Dacă A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ecuația generală devine y \u003d 0. O astfel de ecuație incompletă definește axa x O x .
3. Când A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, obținem o ecuație generală incompletă A x + C \u003d 0, care definește o linie dreaptă paralelă cu axa y.
4. Fie A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, atunci ecuația generală incompletă va lua forma x \u003d 0, iar aceasta este ecuația dreptei de coordonate O y.
5. În cele din urmă, când A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ecuația generală incompletă ia forma A x + B y \u003d 0. Și această ecuație descrie o linie dreaptă care trece prin origine. Într-adevăr, perechea de numere (0 , 0) corespunde egalității A x + B y = 0 , întrucât A · 0 + B · 0 = 0 .

Să ilustrăm grafic toate tipurile de mai sus ale ecuației generale incomplete a unei linii drepte.

Exemplul 1

Se știe că linia dreaptă dată este paralelă cu axa y și trece prin punctul 2 7 , - 11 . Este necesar să scrieți ecuația generală a unei linii drepte date.

Decizie

O linie dreaptă paralelă cu axa y este dată de o ecuație de forma A x + C \u003d 0, în care A ≠ 0. Condiția specifică și coordonatele punctului prin care trece linia, iar coordonatele acestui punct corespund condițiilor ecuației generale incomplete A x + C = 0 , adică. egalitatea este corectă:

A 2 7 + C = 0

Este posibil să se determine C din el dând lui A o valoare diferită de zero, de exemplu, A = 7 . În acest caz, obținem: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Cunoaștem ambii coeficienți A și C, înlocuiți-i în ecuația A x + C = 0 și obținem ecuația necesară a dreptei: 7 x - 2 = 0

Răspuns: 7 x - 2 = 0

Exemplul 2

Desenul arată o linie dreaptă, este necesar să scrieți ecuația acesteia.

Decizie

Desenul dat ne permite să luăm cu ușurință datele inițiale pentru rezolvarea problemei. Vedem în desen că linia dată este paralelă cu axa O x și trece prin punctul (0 , 3) ​​​​.

Linia dreaptă, care este paralelă cu abscisa, este determinată de ecuația generală incompletă B y + С = 0. Aflați valorile lui B și C. Coordonatele punctului (0, 3), deoarece o dreaptă dată trece prin el, vor satisface ecuația dreptei B y + С = 0, atunci egalitatea este valabilă: В · 3 + С = 0. Să setăm B la o altă valoare decât zero. Să spunem B \u003d 1, în acest caz, din egalitatea B · 3 + C \u003d 0 putem găsi C: C \u003d - 3. Folosind valorile cunoscute ale lui B și C, obținem ecuația necesară a dreptei: y - 3 = 0.

Răspuns: y - 3 = 0 .

Ecuația generală a unei drepte care trece printr-un punct dat al planului

Să treacă dreapta dată prin punctul M 0 (x 0, y 0), apoi coordonatele ei corespund ecuației generale a dreptei, adică. egalitatea este adevărată: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Scădeți părțile stânga și dreaptă ale acestei ecuații din laturile stânga și dreapta ale ecuației generale complete a dreptei. Obținem: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, această ecuație este echivalentă cu cea generală inițială, trece prin punctul M 0 (x 0, y 0) și are o vector normal n → \u003d (A, B) .

Rezultatul pe care l-am obținut face posibilă scrierea ecuației generale a unei drepte pentru coordonatele cunoscute ale vectorului normal al dreptei și coordonatele unui anumit punct al acestei drepte.

Exemplul 3

Dat un punct M 0 (- 3, 4) prin care trece dreapta și vectorul normal al acestei drepte n → = (1 , - 2) . Este necesar să scrieți ecuația unei linii drepte date.

Decizie

Condițiile inițiale ne permit să obținem datele necesare pentru compilarea ecuației: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Apoi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problema ar fi putut fi rezolvată altfel. Ecuația generală a unei drepte are forma A x + B y + C = 0 . Vectorul normal dat vă permite să obțineți valorile coeficienților A și B, apoi:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Acum să găsim valoarea lui C, folosind punctul M 0 (- 3, 4) dat de condiția problemei, prin care trece linia. Coordonatele acestui punct corespund ecuației x - 2 · y + C = 0 , adică. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Prin urmare, C = 11. Ecuația necesară dreptei ia forma: x - 2 · y + 11 = 0 .

Răspuns: x - 2 y + 11 = 0 .

Exemplul 4

Având în vedere o dreaptă 2 3 x - y - 1 2 = 0 și un punct M 0 situat pe această dreaptă. Numai abscisa acestui punct este cunoscută și este egală cu - 3. Este necesar să se determine ordonata punctului dat.

Decizie

Să setăm desemnarea coordonatelor punctului M 0 ca x 0 și y 0 . Datele inițiale indică faptul că x 0 \u003d - 3. Deoarece punctul aparține unei linii date, atunci coordonatele sale corespund ecuației generale a acestei drepte. Atunci următoarea egalitate va fi adevărată:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiți y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Răspuns: - 5 2

Trecerea de la ecuația generală a unei linii drepte la alte tipuri de ecuații a unei linii drepte și invers

După cum știm, există mai multe tipuri de ecuații ale aceleiași drepte în plan. Alegerea tipului de ecuație depinde de condițiile problemei; se poate alege pe cea mai convenabila solutiei sale. Aici este foarte utilă abilitatea de a converti o ecuație de un fel într-o ecuație de alt fel.

Pentru început, luăm în considerare trecerea de la ecuația generală de forma A x + B y + C = 0 la ecuația canonică x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Dacă A ≠ 0, atunci transferăm termenul B y în partea dreaptă a ecuației generale. În partea stângă, scoatem A din paranteze. Ca rezultat, obținem: A x + C A = - B y .

Această egalitate poate fi scrisă ca proporție: x + C A - B = y A .

Dacă B ≠ 0, lăsăm doar termenul A x în partea stângă a ecuației generale, le transferăm pe celelalte în partea dreaptă, obținem: A x \u003d - B y - C. Scoatem - B din paranteze, apoi: A x \u003d - B y + C B.

Să rescriem egalitatea ca proporție: x - B = y + C B A .

Desigur, nu este nevoie să memorezi formulele rezultate. Este suficient să cunoaștem algoritmul acțiunilor în timpul trecerii de la ecuația generală la cea canonică.

Exemplul 5

Este dată ecuația generală a dreptei 3 y - 4 = 0. Trebuie convertit într-o ecuație canonică.

Decizie

Scriem ecuația originală ca 3 y - 4 = 0 . În continuare, acționăm conform algoritmului: termenul 0 x rămâne în partea stângă; iar pe partea dreaptă scoatem - 3 din paranteze; obținem: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Să scriem egalitatea rezultată ca proporție: x - 3 = y - 4 3 0 . Astfel, am obținut o ecuație a formei canonice.

Răspuns: x - 3 = y - 4 3 0.

Pentru a transforma ecuația generală a unei linii drepte în cele parametrice, se efectuează mai întâi trecerea la forma canonică, apoi trecerea de la ecuația canonică a dreptei la ecuațiile parametrice.

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația 2 x - 5 y - 1 = 0 . Notați ecuațiile parametrice ale acestei drepte.

Decizie

Să facem trecerea de la ecuația generală la cea canonică:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Acum să luăm ambele părți ale ecuației canonice rezultate egale cu λ, atunci:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Răspuns:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ecuația generală poate fi convertită într-o ecuație în linie dreaptă cu o pantă y = k x + b, dar numai când B ≠ 0. Pentru trecerea pe partea stângă, lăsăm termenul B y , restul se transferă la dreapta. Se obține: B y = - A x - C . Să împărțim ambele părți ale egalității rezultate la B , care este diferit de zero: y = - A B x - C B .

Exemplul 7

Ecuația generală a unei drepte este dată: 2 x + 7 y = 0 . Trebuie să convertiți acea ecuație într-o ecuație a pantei.

Decizie

Să efectuăm acțiunile necesare conform algoritmului:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Răspuns: y = - 2 7 x .

Din ecuația generală a unei linii drepte, este suficient să obțineți pur și simplu o ecuație în segmente de forma x a + y b \u003d 1. Pentru a face o astfel de tranziție, transferăm numărul C în partea dreaptă a egalității, împărțim ambele părți ale egalității rezultate cu - С și, în final, transferăm coeficienții pentru variabilele x și y la numitori:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exemplul 8

Este necesar să convertiți ecuația generală a dreptei x - 7 y + 1 2 = 0 în ecuația unei drepte în segmente.

Decizie

Să mutăm 1 2 în partea dreaptă: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Împărțiți la -1/2 ambele părți ale ecuației: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Răspuns: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

În general, trecerea inversă este și ea ușoară: de la alte tipuri de ecuații la cea generală.

Ecuația unei linii drepte în segmente și ecuația cu o pantă pot fi ușor convertite într-una generală prin simpla colectare a tuturor termenilor din partea stângă a ecuației:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ecuația canonică este convertită în cea generală după următoarea schemă:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Pentru a trece de la parametric, se realizează mai întâi trecerea la canonic, apoi la cea generală:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplul 9

Sunt date ecuațiile parametrice ale dreptei x = - 1 + 2 · λ y = 4. Este necesar să scrieți ecuația generală a acestei linii.

Decizie

Să facem tranziția de la ecuațiile parametrice la cele canonice:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Să trecem de la canonic la general:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Răspuns: y - 4 = 0

Exemplul 10

Este dată ecuația unei drepte în segmente x 3 + y 1 2 = 1. Este necesar să se efectueze tranziția la forma generală a ecuației.

Decizie:

Să rescriem ecuația în forma necesară:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Răspuns: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Întocmirea unei ecuații generale a unei linii drepte

Mai sus, am spus că ecuația generală poate fi scrisă cu coordonatele cunoscute ale vectorului normal și coordonatele punctului prin care trece dreapta. O astfel de dreaptă este definită de ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . În același loc am analizat exemplul corespunzător.

Acum să ne uităm la exemple mai complexe în care, mai întâi, este necesar să se determine coordonatele vectorului normal.

Exemplul 11

Dată o dreaptă paralelă cu dreapta 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . De asemenea, este cunoscut punctul M 0 (4 , 1) prin care trece linia dată. Este necesar să scrieți ecuația unei linii drepte date.

Decizie

Condițiile inițiale ne spun că dreptele sunt paralele, apoi, ca vector normal al dreptei a cărei ecuație trebuie scrisă, luăm vectorul de direcție al dreptei n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Acum cunoaștem toate datele necesare pentru a compune ecuația generală a unei linii drepte:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Răspuns: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exemplul 12

Linia dată trece prin originea perpendiculară pe dreapta x - 2 3 = y + 4 5 . Este necesar să scrieți ecuația generală a unei linii drepte date.

Decizie

Vectorul normal al dreptei date va fi vectorul de direcție al dreptei x - 2 3 = y + 4 5 .

Atunci n → = (3 , 5) . Linia dreaptă trece prin origine, adică. prin punctul O (0, 0) . Să compunem ecuația generală a unei drepte date:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Răspuns: 3 x + 5 y = 0 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter