Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Variabile aleatorii”.

Sarcină 1 . Sunt 100 de bilete emise la loterie. S-a jucat o victorie de 50 USD. și zece câștiguri de 10 USD fiecare. Aflați legea distribuției valorii X - costul unui posibil câștig.

Decizie. Valori posibile ale lui X: x 1 = 0; X 2 = 10 și x 3 = 50. Deoarece există 89 de bilete „goale”, atunci p 1 = 0,89, probabilitatea de castig este de 10 c.u. (10 bilete) – p 2 = 0,10 și pentru un câștig de 50 c.u. –p 3 = 0,01. Prin urmare:

	0,89	0,10	0,01

Ușor de controlat: .

Sarcină 2. Probabilitatea ca cumpărătorul să se fi familiarizat în avans cu reclama produsului este de 0,6 (p = 0,6). Controlul selectiv al calității publicității este efectuat prin sondajul cumpărătorilor înaintea primului care a studiat reclama în prealabil. Faceți o serie de distribuție a numărului de cumpărători intervievați.

Decizie. După condiţia problemei p = 0,6. Din: q=1 -p = 0,4. Înlocuind aceste valori, obținem:și construiți o serie de distribuție:

pi		0,24

Sarcină 3. Un computer este format din trei elemente care funcționează independent: o unitate de sistem, un monitor și o tastatură. Cu o singură creștere bruscă a tensiunii, probabilitatea de defecțiune a fiecărui element este de 0,1. Pe baza distribuției Bernoulli, întocmește legea distribuției pentru numărul de elemente defectate în timpul unei supratensiuni în rețea.

Decizie. Considera distribuția Bernoulli(sau binom): probabilitatea ca în n teste, evenimentul A va apărea exact k o singura data: , sau:

	q n					p n

LA să revenim la sarcină.

Valori posibile ale lui X (număr de defecțiuni):

x 0 =0 - niciunul dintre elemente nu a eșuat;

x 1 =1 - defectarea unui element;

x 2 =2 - defectarea a două elemente;

x 3 =3 - defectarea tuturor elementelor.

Deoarece, prin condiție, p = 0,1, atunci q = 1 – p = 0,9. Folosind formula Bernoulli, obținem

, ,

, .

Controlul: .

Prin urmare, legea de distribuție dorită:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Sarcina 4. Produse 5000 de runde. Probabilitatea ca un cartuş să fie defect . Care este probabilitatea ca în întregul lot să fie exact 3 cartușe defecte?

Decizie. Aplicabil Distribuția Poisson: această distribuție este folosită pentru a determina probabilitatea ca, având în vedere un foarte mare

număr de încercări (încercări în masă), în fiecare dintre ele probabilitatea evenimentului A este foarte mică, evenimentul A va avea loc de k ori: , Unde .

Aici n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Găsim , apoi probabilitatea dorită: .

Sarcina 5. Când trageți înainte de prima lovitură cu probabilitatea de a lovi p = 0,6 pentru o lovitură, trebuie să găsiți probabilitatea ca lovitura să apară la a treia lovitură.

Decizie. Să aplicăm distribuția geometrică: să fie efectuate încercări independente, în fiecare dintre ele evenimentul A are o probabilitate de apariție p (și de neapariție q = 1 - p). Încercările se încheie imediat ce apare evenimentul A.

În astfel de condiții, probabilitatea ca evenimentul A să se producă la testul k este determinată de formula: . Aici p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4;k \u003d 3. Prin urmare, .

Sarcina 6. Fie dată legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Găsiți așteptările matematice.

Decizie. .

Rețineți că sensul probabilistic al așteptării matematice este valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Sarcina 7. Aflați varianța unei variabile aleatoare X cu următoarea lege de distribuție:

Decizie. Aici .

Legea distribuției pătratului lui X 2 :

X 2

Varianta necesară: .

Dispersia caracterizează gradul de abatere (împrăștiere) a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică.

Sarcina 8. Fie variabila aleatoare dată de distribuția:

			10m

Găsiți caracteristicile sale numerice.

Rezolvare: m, m 2 ,

M 2 , m.

Despre o variabilă aleatoare X, se poate spune fie - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o varianță de 13,04 m 2 , sau - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o abatere de m. A doua formulare este evident mai clară.

Sarcină 9. Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție:
.

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, valoarea X să capete o valoare cuprinsă în interval .

Decizie. Probabilitatea ca X să ia o valoare dintr-un interval dat este egală cu incrementul funcției integrale în acest interval, i.e. . În cazul nostru și, prin urmare

.

Sarcină 10. Variabilă aleatoare discretă X dat de legea distributiei:

Găsiți funcția de distribuție F(x ) și construiește-i graficul.

Decizie. Deoarece funcţia de distribuţie

pentru , apoi

la ;

la ;

la ;

la ;

Grafic relevant:

Sarcina 11. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcția de distribuție diferențială: .

Găsiți probabilitatea de a lovi X la interval

Decizie. Rețineți că acesta este un caz special al legii distribuției exponențiale.

Să folosim formula: .

Sarcină 12. Aflați caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete X date de legea distribuției:

	–5
	X 2 : x2 . , Unde este funcția Laplace. Valorile acestei funcții sunt găsite folosind un tabel. În cazul nostru: . Conform tabelului găsim:, prin urmare:

După cum se știe, variabilă aleatorie se numește o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor - cu literele mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

Variabilă aleatoare discretă se numește o variabilă aleatorie care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.

1 . Legea distribuției poate fi dată de tabelul:

unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

în) prin intermediul funcția de distribuție F(x) , care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).

Proprietățile funcției F(x)

3 . Legea distribuției poate fi stabilită grafic – poligon de distribuție (poligon) (vezi problema 3).

Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

Caracteristicile numerice de bază ale unei variabile aleatoare discrete :

• Așteptări matematice (valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i.
  Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
• Dispersia variabilă aleatoare discretă D(X)=M2 sau D(X) = M(X 2) − 2. Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
  Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ
• Deviație standard (deviație standard) σ(X)=√D(X).

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete”

Sarcina 1.

Au fost emise 1.000 de bilete de loterie: 5 dintre ele vor câștiga 500 de ruble, 10 vor câștiga 100 de ruble, 20 vor câștiga 50 de ruble și 50 vor câștiga 10 ruble. Determinați legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X - câștiguri pe bilet.

Decizie. În funcție de starea problemei, sunt posibile următoarele valori ale variabilei aleatoare X: 0, 10, 50, 100 și 500.

Numărul de bilete fără câștig este 1000 - (5+10+20+50) = 915, apoi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

În mod similar, găsim toate celelalte probabilități: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=0,01). =500) = 5/1000=0,005. Prezentăm legea rezultată sub forma unui tabel:

Aflați așteptările matematice ale lui X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Sarcina 3.

Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment, construiește un poligon de distribuție. Găsiți funcția de distribuție F(x) și reprezentați-o grafic. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete.

Decizie. 1. Variabila aleatorie discretă X=(numărul de elemente eșuate într-un experiment) are următoarele valori posibile: x 1 =0 (niciunul dintre elementele dispozitivului nu a eșuat), x 2 =1 (un element a eșuat), x 3 =2 ( două elemente au eșuat ) și x 4 \u003d 3 (trei elemente au eșuat).

Eșecurile elementelor sunt independente unele de altele, probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt egale între ele, prin urmare, este aplicabil formula lui Bernoulli . Având în vedere că, prin condiție, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinăm probabilitățile valorilor:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verificați: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Astfel, legea de distribuție binomială dorită X are forma:

Pe axa absciselor, graficăm valorile posibile x i, iar pe axa ordonatelor, probabilitățile corespunzătoare р i . Să construim punctele M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Conectând aceste puncte cu segmente de linie, obținem poligonul de distribuție dorit.

3. Găsiți funcția de distribuție F(x) = P(X

Pentru x ≤ 0 avem F(x) = P(X<0) = 0;
pentru 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
pentru 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
pentru 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pentru x > 3 va fi F(x) = 1, deoarece evenimentul este sigur.

Graficul funcției F(x)

4. Pentru distribuția binomială X:
- așteptarea matematică М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersia D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- abaterea standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Atribuirea serviciului. Calculatorul online este folosit pentru a construi un tabel de distribuție a unei variabile aleatoare X - numărul de experimente efectuate și pentru a calcula toate caracteristicile seriei: așteptare matematică, varianță și abatere standard. Procesul-verbal cu decizia se intocmeste in format Word. Exemplul #1. Se aruncă trei monede. Probabilitatea ca o stemă să cadă într-o singură rolă este de 0,5. Faceți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatoare X - numărul de steme care au căzut.
Decizie.
Probabilitatea ca nicio stemă să nu cadă: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Probabilitatea ca trei steme să cadă: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Legea distribuției unei variabile aleatoare X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Verificați: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Exemplul #2. Probabilitatea de a lovi ținta de către un trăgător cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea trăgător - 0,85. Trăgătorii au tras o singură lovitură în țintă. Presupunând că atingerea țintei pentru trăgători individuali ca evenimente independente, găsiți probabilitatea evenimentului A - exact o lovitură pe țintă.
Decizie.
Luați în considerare evenimentul A - o lovitură pe țintă. Posibilele apariții ale acestui eveniment sunt următoarele:

1. Primul trăgător lovit, al doilea trăgător ratat: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Primul trăgător a ratat, al doilea trăgător a lovit ținta: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Primul și al doilea trăgător lovesc independent ținta: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Atunci probabilitatea evenimentului A - exact o lovitură pe țintă, va fi egală cu: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Putem evidenția cele mai comune legi ale distribuției variabilelor aleatoare discrete:

• Legea distribuției binomiale
• Legea distribuției Poisson
• Legea distribuției geometrice
• Legea distribuției hipergeometrice

Pentru distribuții date de variabile aleatoare discrete, calculul probabilităților valorilor acestora, precum și al caracteristicilor numerice (așteptări matematice, varianță etc.) se efectuează conform anumitor „formule”. Prin urmare, este foarte important să cunoaștem aceste tipuri de distribuții și proprietățile lor de bază.

1. Legea distribuției binomiale.

O variabilă aleatoare discretă $X$ este supusă distribuției binomiale de probabilitate dacă ia valorile $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. De fapt, variabila aleatoare $X$ este numărul de apariții ale evenimentului $A$ în $n$ încercări independente. Legea distribuției probabilității pentru variabila aleatoare $X$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i și P_n\stanga(0\dreapta) și P_n\stanga(1\dreapta) și \dots și P_n\left(n\dreapta) \\
\hline
\end(matrice)$

Pentru o astfel de variabilă aleatorie, așteptarea este $M\left(X\right)=np$, varianța este $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Exemplu . În familie sunt doi copii. Presupunând probabilitățile de naștere a unui băiat și a unei fete egale cu $0,5$, găsiți legea distribuției variabilei aleatoare $\xi $ - numărul de băieți din familie.

Fie variabila aleatoare $\xi $ numărul de băieți din familie. Valorile pe care $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$ le poate lua. Probabilitățile acestor valori pot fi găsite prin formula $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, unde $n =2$ - numărul de încercări independente, $p=0,5$ - probabilitatea de apariție a unui eveniment într-o serie de $n$ încercări. Primim:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare $\xi $ este corespondența dintre valorile $0,\ 1,\ 2$ și probabilitățile acestora, adică:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(matrice)$

Suma probabilităților din legea distribuției trebuie să fie egală cu $1$, adică $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = 1 USD.

Așteptare $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, varianța $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, abatere standard $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\aproximativ 0,707 $.

2. Legea distribuției Poisson.

Dacă o variabilă aleatorie discretă $X$ poate lua numai valori întregi nenegative $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

cometariu. Particularitatea acestei distribuții este că, pe baza datelor experimentale, găsim estimările $M\left(X\right),\D\left(X\right)$, dacă estimările obținute sunt apropiate unele de altele, atunci avem au motive să afirme că variabila aleatoare este supusă legii distribuției Poisson.

Exemplu . Exemple de variabile aleatoare supuse legii distribuției Poisson pot fi: numărul de mașini care vor fi deservite mâine de o benzinărie; numărul de articole defecte din produsul fabricat.

Exemplu . Fabrica a trimis 500$ de produse la bază. Probabilitatea de deteriorare a produsului în timpul transportului este de 0,002 USD. Aflați legea de distribuție a variabilei aleatoare $X$ egală cu numărul de produse deteriorate; care este egal cu $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.

Fie o variabilă aleatorie discretă $X$ numărul de articole deteriorate. O astfel de variabilă aleatoare este supusă legii distribuției Poisson cu parametrul $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Probabilitățile valorilor sunt $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\peste (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\peste (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\peste (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\peste (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\peste (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\peste (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\peste (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Legea distribuției variabilei aleatoare $X$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(matrice)$

Pentru o astfel de variabilă aleatorie, așteptarea și varianța matematică sunt egale între ele și egale cu parametrul $\lambda $, adică $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Legea geometrică a distribuției.

Dacă o variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua numai valori naturale $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ dreapta)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, atunci spunem că o astfel de variabilă aleatoare $X$ este supusă legii geometrice a distribuției probabilităților. De fapt, distribuția geometrică pare a fi încercările lui Bernoulli la primul succes.

Exemplu . Exemple de variabile aleatoare care au o distribuție geometrică pot fi: numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei; numărul de teste ale dispozitivului înainte de prima defecțiune; numărul de aruncări de monede înainte de primul heads up și așa mai departe.

Așteptările și varianța matematică a unei variabile aleatoare supuse unei distribuții geometrice sunt, respectiv, $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.

Exemplu . Pe drumul deplasării peștilor către locul de depunere a icrelor există o blocare de $4$. Probabilitatea ca un pește să treacă prin fiecare ecluză este $p=3/5$. Construiți o serie de distribuție a variabilei aleatoare $X$ - numărul de ecluze trecute de pește înainte de prima oprire la ecluză. Găsiți $M\left(X\dreapta),\D\left(X\dreapta),\\sigma \left(X\right)$.

Fie variabila aleatoare $X$ numărul de ecluze trecute de pește înainte de prima oprire la ecluză. O astfel de variabilă aleatorie este supusă legii geometrice a distribuției probabilităților. Valorile pe care le poate lua variabila aleatoare $X sunt: ​​1, 2, 3, 4. Probabilitățile acestor valori sunt calculate prin formula: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, unde: $ p=2/5$ - probabilitatea ca peștele să fie prins prin ecluză, $q=1-p=3/5$ - probabilitatea ca peștele să treacă prin ecluză, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\right))^0=((2)\ peste(5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\peste (5))\cdot ((3)\peste (5))=((6)\peste (25))=0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\right))^2=((2)\ peste (5))\cdot ((9)\peste (25))=((18)\peste (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\right))^3+(\left(( (3)\peste (5))\dreapta))^4=((27)\peste (125))=0,216.$

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\stanga(X_i\dreapta) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(matrice)$

Valorea estimata:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Dispersie:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ stânga(1-2.176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2.176\right))^2+0.144\cdot (\left(3-2.176\right))^2+$

$+\ 0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\aproximativ 1,377.$

Deviație standard:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1.377)\aproximativ 1.173.$

4. Legea distribuției hipergeometrice.

Dacă există $N$ obiecte, printre care $m$ obiecte au proprietatea dată. În mod aleatoriu, fără înlocuire, sunt extrase $n$ obiecte, printre care se numără $k$ obiecte care au o proprietate dată. Distribuția hipergeometrică face posibilă estimarea probabilității ca exact $k$ obiecte dintr-o probă să aibă o proprietate dată. Fie variabila aleatoare $X$ numărul de obiecte din eșantion care au o proprietate dată. Apoi probabilitățile valorilor variabilei aleatoare $X$:

$P\stanga(X=k\dreapta)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\peste (C^n_N))$

cometariu. Funcția statistică HYPERGEOMET a Excel $f_x$ Function Wizard vă permite să determinați probabilitatea ca un anumit număr de încercări să aibă succes.

$f_x\la $ statistic$\la$ HIPERGEOMETĂ$\la$ Bine. Va apărea o casetă de dialog pe care trebuie să o completați. În grafic Număr_de_succese_în_eșantion specificați valoarea lui $k$. marime de mostra este egal cu $n$. În grafic Număr_de_succese_în_populație specificați valoarea lui $m$. Dimensiunea_populației este egal cu $N$.

Așteptările și varianța matematică a unei variabile aleatoare discrete $X$ supuse unei legi de distribuție geometrică sunt $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) (1 -((m)\peste (N))\dreapta)\stanga(1-((n)\peste (N))\dreapta))\peste (N-1))$.

Exemplu . Departamentul credit al băncii angajează 5 specialişti cu studii superioare financiare şi 3 specialişti cu studii superioare juridice. Conducerea băncii a decis să trimită 3 specialiști pentru pregătire avansată, selectându-i aleatoriu.

a) Realizează o serie de repartizare a numărului de specialişti cu studii superioare financiare care pot fi direcţionaţi către formare avansată;

b) Aflați caracteristicile numerice ale acestei distribuții.

Fie variabila aleatoare $X$ numărul de specialiști cu studii financiare superioare dintre cei trei selectați. Valori pe care $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ le pot lua. Această variabilă aleatoare $X$ este distribuită în funcție de distribuția hipergeometrică cu următorii parametri: $N=8$ - mărimea populației, $m=5$ - numărul de succese în populație, $n=3$ - dimensiunea eșantionului, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - numărul de succese din eșantion. Atunci probabilitățile $P\left(X=k\right)$ pot fi calculate folosind formula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ peste C_( N)^(n) ) $. Noi avem:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\peste (C^3_8))=((1)\peste (56))\aproximativ 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\peste (C^3_8))=((15)\peste (56))\aproximativ 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\peste (C^3_8))=((15)\peste (28))\aproximativ 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\peste (C^3_8))=((5)\peste (28))\aproximativ 0,179.$

Apoi seria de distribuție a variabilei aleatoare $X$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(matrice)$

Să calculăm caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare $X$ folosind formulele generale ale distribuției hipergeometrice.

$M\left(X\right)=((nm)\peste (N))=((3\cdot 5)\peste (8))=((15)\peste (8))=1.875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\peste (N))\dreapta)\left(1-((n)\peste (N))\dreapta)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\dreapta))\peste (8-1))=((225)\peste (448))\aproximativ 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\aproximativ 0,7085.$

LEGEA DISTRIBUȚIEI ȘI CARACTERISTICI

VALORI ALEATORII

Variabile aleatoare, clasificarea lor și metode de descriere.

O valoare aleatorie este o cantitate care, în urma unui experiment, poate lua una sau alta valoare, dar care nu este cunoscută dinainte. Pentru o variabilă aleatorie, prin urmare, pot fi specificate numai valori, dintre care una va lua neapărat ca rezultat al experimentului. Aceste valori vor fi denumite posibile valori ale variabilei aleatoare. Deoarece o variabilă aleatoare caracterizează cantitativ rezultatul aleatoriu al unui experiment, poate fi considerată ca o caracteristică cantitativă a unui eveniment aleatoriu.

Variabilele aleatoare sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin, de exemplu, X..Y..Z, iar valorile lor posibile prin literele mici corespunzătoare.

Există trei tipuri de variabile aleatoare:

discret; Continuu; Amestecat.

Discret se numește o astfel de variabilă aleatorie, numărul de valori posibile al cărui număr formează un set numărabil. La rândul său, o mulțime numărabilă este o mulțime ale cărei elemente pot fi numerotate. Cuvântul „discret” provine din latinescul discretus, care înseamnă „discontinuu, format din părți separate”.

Exemplul 1. O variabilă aleatorie discretă este numărul de părți defecte X dintr-un lot de nfl. Într-adevăr, valorile posibile ale acestei variabile aleatoare sunt o serie de numere întregi de la 0 la n.

Exemplul 2. O variabilă aleatorie discretă este numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei. Aici, ca și în exemplul 1, valorile posibile pot fi numerotate, deși în cazul limită valoarea posibilă este un număr infinit de mare.

Continuu se numește o variabilă aleatoare, ale cărei valori posibile umple continuu un anumit interval al axei numerice, uneori numit interval de existență a acestei variabile aleatoare. Astfel, pe orice interval finit de existență, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit de mare.

Exemplul 3. O variabilă aleatoare continuă este consumul de energie electrică la întreprindere pentru o lună.

Exemplul 4. O variabilă aleatoare continuă este eroarea în măsurarea înălțimii folosind un altimetru. Să se știe din principiul de funcționare al altimetrului că eroarea se află în intervalul de la 0 la 2 m. Prin urmare, intervalul de existență al acestei variabile aleatoare este intervalul de la 0 la 2 m.

Legea distribuției variabilelor aleatoare.

O variabilă aleatoare este considerată complet specificată dacă valorile ei posibile sunt indicate pe axa numerică și se stabilește legea distribuției.

Legea distribuției unei variabile aleatoare se numește relație care stabilește o relație între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare.

Se spune că o variabilă aleatoare este distribuită conform unei legi date sau supusă unei legi de distribuție date. Ca legi de distribuție sunt folosite un număr de probabilități, o funcție de distribuție, o densitate de probabilitate, o funcție caracteristică.

Legea distribuției oferă o descriere completă probabilă a unei variabile aleatoare. Conform legii distribuției, este posibil să se judece înainte de experiență care valori posibile ale unei variabile aleatoare vor apărea mai des și care sunt mai rar.

Pentru o variabilă aleatorie discretă, legea distribuției poate fi dată sub forma unui tabel, analitic (sub forma unei formule) și grafic.

Cea mai simplă formă de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este un tabel (matrice), care listează în ordine crescătoare toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile lor corespunzătoare, de exemplu.

Un astfel de tabel se numește o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. unu

Evenimente X 1 , X 2 ,..., X n , constând în faptul că, în urma testului, variabila aleatoare X va lua valorile x 1 , x 2 , respectiv... x n, sunt inconsecvente și singurele posibile (deoarece tabelul listează toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare), adică formează un grup complet. Prin urmare, suma probabilităților lor este egală cu 1. Astfel, pentru orice variabilă aleatoare discretă

(Această unitate este oarecum distribuită între valorile variabilei aleatoare, de unde și termenul „distribuție”).

O serie de distribuție poate fi afișată grafic dacă valorile unei variabile aleatoare sunt reprezentate grafic de-a lungul axei absciselor și probabilitățile lor corespunzătoare de-a lungul axei ordonatelor. Legătura punctelor obținute formează o linie întreruptă, numită poligon sau poligon al distribuției de probabilitate (Fig. 1).

Exemplu Se joacă loteria: o mașină de 5000 de den. unitati, 4 televizoare in valoare de 250 den. unitate, 5 VCR-uri în valoare de 200 den. unitati În total, 1000 de bilete sunt vândute pentru 7 den. unitati Întocmește legea de repartizare a câștigurilor nete primite de participantul la loterie care a cumpărat un bilet.

Decizie. Valorile posibile ale variabilei aleatoare X - câștiguri nete pe bilet - sunt 0-7 = -7 den. unitati (dacă biletul nu a câștigat), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unitati (dacă biletul a câștigat VCR-ul, respectiv televizorul sau mașina). Având în vedere că din 1000 de bilete numărul necâștigătorilor este de 990, iar câștigurile indicate sunt 5, 4 și, respectiv, 1 și folosind definiția clasică a probabilității, obținem.