Triunghi isoscel este un triunghi în care două laturi sunt egale în lungime. Laturile egale se numesc laterale, iar ultima - baza. Prin definiție, un triunghi obișnuit este și isoscel, dar inversul nu este adevărat.

Proprietăți

• Unghiurile opuse laturilor egale ale unui triunghi isoscel sunt egale între ele. Bisectoarele, medianele și înălțimile desenate din aceste unghiuri sunt de asemenea egale.
• Bisectoarea, mediana, înălțimea și bisectoarea perpendiculară desenate pe bază coincid una cu cealaltă. Centrele cercurilor înscrise și circumscrise se află pe această linie.
• Unghiurile opuse laturilor egale sunt întotdeauna acute (reduce din egalitatea lor).

Lasa A este lungimea a două laturi egale ale unui triunghi isoscel, b- lungimea celei de-a treia laturi, α și β - unghiuri corespunzătoare, R- raza cercului circumscris, r- raza înscrisului .

Laturile pot fi găsite astfel:

Unghiurile pot fi exprimate în următoarele moduri:

Perimetrul unui triunghi isoscel poate fi calculat în oricare dintre următoarele moduri:

Aria unui triunghi poate fi calculată în unul dintre următoarele moduri:

(formula lui Heron).

semne

• Cele două unghiuri ale unui triunghi sunt egale.
• Înălțimea este aceeași cu mediana.
• Înălțimea coincide cu bisectoarea.
• Bisectoarea este aceeași cu mediana.
• Cele două înălțimi sunt egale.
• Cele două mediane sunt egale.
• Două bisectoare sunt egale (teorema Steiner-Lemus).

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Triunghiul isoscel” în alte dicționare:

TRIANGUL ISOSHELES, UN TRIANGUL având două laturi egale în lungime; unghiurile din aceste laturi sunt de asemenea egale... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

Și (simplu) triunghi, triunghi, soț. 1. O figură geometrică delimitată de trei drepte care se intersectează reciproc formând trei unghiuri interne (mat.). Triunghi obtuz. Triunghi acut. Triunghi dreptunghic.… … Dicționar explicativ al lui Ushakov

ISOSHELES, oy, oy: un triunghi isoscel cu două laturi egale. | substantiv isoscel și, soții. Dicționar explicativ al lui Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Şvedova. 1949 1992... Dicționar explicativ al lui Ozhegov

triunghi- ▲ un poligon având, trei, triunghi unghiular este cel mai simplu poligon; este dat de 3 puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. triunghiular. unghi ascutit. unghiular acut. triunghi dreptunghic: picior. ipotenuză. triunghi isoscel. ▼… … Dicționar ideologic al limbii ruse

triunghi- TRIANGUL1, a, m din care sau cu def. Un obiect care are forma unei figuri geometrice delimitate de trei linii drepte care se intersectează care formează trei unghiuri interne. Ea a sortat prin scrisorile soțului ei, triunghiuri îngălbenite din prima linie. TRIANGUL 2, a, m ...... Dicționar explicativ al substantivelor rusești

Acest termen are alte semnificații, vezi Triunghi (sensuri). Un triunghi (în spațiul euclidian) este o figură geometrică formată din trei segmente de dreaptă care leagă trei puncte neliniare. Trei puncte, ...... Wikipedia

Triunghi (poligon)- Triunghiuri: 1 acut, dreptunghiular si obtuz; 2 regulate (echilaterale) și isoscele; 3 bisectoare; 4 mediane și centru de greutate; 5 înălțimi; 6 ortocentru; 7 linia de mijloc. TRIANGUL, poligon cu 3 laturi. Uneori sub... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

Dicţionar enciclopedic

triunghi- A; m. 1) a) O figură geometrică delimitată de trei drepte care se intersectează care formează trei unghiuri interne. Triunghi dreptunghiular, isoscel/in. Calculați aria triunghiului. b) resp. ce sau cu def. O figură sau obiect de o astfel de formă. ...... Dicționar cu multe expresii

DAR; m. 1. O figură geometrică delimitată de trei drepte care se intersectează care formează trei unghiuri interne. Dreptunghiular, isoscel m. Calculați aria triunghiului. // ce sau cu def. O figură sau obiect de o astfel de formă. T. acoperiş. T.… … Dicţionar enciclopedic

Subiectul lecției

Triunghi isoscel

Scopul lecției

Prezentați elevilor triunghiul isoscel;
Continuați să vă formați abilitățile de a construi triunghiuri dreptunghiulare;
Să extindă cunoștințele școlarilor despre proprietățile triunghiurilor isoscele;
Pentru a consolida cunoștințele teoretice în rezolvarea problemelor.

Obiectivele lecției

Să fie capabil să formuleze, să demonstreze și să utilizeze teorema privind proprietățile unui triunghi isoscel în procesul de rezolvare a problemelor;
Continuați dezvoltarea percepției conștiente a materialului educațional, gândirea logică, autocontrolul și abilitățile de autoevaluare;
Trezește interesul cognitiv pentru lecțiile de matematică;
Cultivați activitatea, curiozitatea și organizarea.

Planul lecției

1. Concepte și definiții generale despre un triunghi isoscel.
2. Proprietățile unui triunghi isoscel.
3. Semne ale unui triunghi isoscel.
4. Întrebări și sarcini.

Triunghi isoscel

Un triunghi isoscel este un triunghi care are două laturi egale, care se numesc laturile unui triunghi isoscel, iar a treia latură a sa se numește bază.

Partea de sus a acestei figuri este cea care se află vizavi de baza sa.

Unghiul care se află opus bazei se numește unghiul de la vârful acestui triunghi, iar celelalte două unghiuri se numesc unghiuri de la baza triunghiului isoscel.

Tipuri de triunghiuri isoscele

Un triunghi isoscel, ca și alte forme, poate avea diferite tipuri. Triunghiurile isoscele includ triunghiuri acute, drepte, obtuze și echilaterale.

Un triunghi ascuțit are toate unghiurile ascuțite.
Un triunghi dreptunghic are un unghi drept la vârf și unghiuri ascuțite la bază.
Obtuz are un unghi obtuz la vârf și unghiuri ascuțite la bază.
Un echilateral are toate unghiurile și laturile sale egale.

Proprietățile unui triunghi isoscel

Unghiurile opuse față de laturile egale ale unui triunghi isoscel sunt egale între ele;

Bisectoarele, medianele și înălțimile desenate din unghiuri opuse laturilor egale ale unui triunghi sunt egale între ele.

Bisectoarea, mediana și înălțimea, îndreptate și trase la baza triunghiului, coincid una cu cealaltă.

Centrele cercurilor înscrise și circumscrise se află la înălțime, bisectoare și mediană, (acestea coincid) trase la bază.

Unghiurile opuse laturilor egale ale unui triunghi isoscel sunt întotdeauna acute.

Aceste proprietăți ale unui triunghi isoscel sunt utilizate în rezolvarea problemelor.

Teme pentru acasă

1. Definiți un triunghi isoscel.
2. Care este particularitatea acestui triunghi?
3. Care este diferența dintre un triunghi isoscel și un triunghi dreptunghic?
4. Numiți proprietățile unui triunghi isoscel cunoscut de dvs.
5. Credeți că este posibil în practică să verificați egalitatea unghiurilor la bază și cum se face?

Exercițiu

Și acum haideți să facem un scurt test și să aflăm cum ați învățat noul material.

Ascultă cu atenție întrebările și răspunde dacă următoarea afirmație este adevărată:

1. Un triunghi poate fi considerat isoscel dacă cele două laturi ale sale sunt egale?
2. O bisectoare este un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse?
3. Este o bisectoare un segment care împarte unghiul care bisectează un vârf cu un punct pe latura opusă?

Sfaturi pentru rezolvarea problemelor triunghiului isoscel:

1. Pentru a determina perimetrul unui triunghi isoscel, este suficient să înmulțiți lungimea laturii cu 2 și să adăugați acest produs la lungimea bazei triunghiului.
2. Dacă în problemă se cunosc perimetrul și lungimea bazei unui triunghi isoscel, atunci pentru a afla lungimea laturii laterale este suficient să scădem lungimea bazei din perimetru și să împărțim diferența găsită la 2. .
3. Și pentru a găsi lungimea bazei unui triunghi isoscel, cunoscând atât perimetrul, cât și lungimea laturii, trebuie doar să înmulți latura cu două și să scazi acest produs din perimetrul triunghiului nostru.

Sarcini:

1. Dintre triunghiurile din figură, determină unul în plus și explică alegerea ta:

2. Determinați care dintre triunghiurile prezentate în figură sunt isoscele, denumiți bazele și laturile lor și calculați, de asemenea, perimetrul.

3. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 21 cm.Aflați laturile acestui triunghi dacă una dintre ele este cu 3 cm mai mare.Câte soluții poate avea această problemă?

4. Se știe că dacă latura laterală și unghiul opus bazei unui triunghi isoscel sunt egale cu latura laterală și unghiul celuilalt, atunci aceste triunghiuri vor fi egale. Demonstrează această afirmație.

5. Gândiți și spuneți, este vreun triunghi isoscel echilateral? Și orice triunghi echilateral va fi isoscel?

6. Dacă laturile unui triunghi isoscel au 4 m și 5 m, atunci care va fi perimetrul acestuia? Câte soluții poate avea această problemă?

7. Dacă unul dintre unghiurile unui triunghi isoscel este egal cu 91 de grade, atunci cu ce sunt egale celelalte unghiuri?

8. Gândiți-vă și răspundeți, ce unghiuri ar trebui să aibă un triunghi astfel încât să fie dreptunghiular și isoscel în același timp?

Știi ce este triunghiul lui Pascal? Triunghiul lui Pascal este adesea rugat să testeze abilitățile de bază de programare. În general, triunghiul lui Pascal se referă la combinatorică și teoria probabilității. Deci ce este acest triunghi?

Triunghiul lui Pascal este un triunghi aritmetic infinit sau un tabel în formă de triunghi care se formează folosind coeficienți binomi. Cu cuvinte simple, vârful și laturile acestui triunghi sunt unități și este umplut cu sumele celor două numere care sunt situate deasupra. Puteți adăuga un astfel de triunghi la infinit, dar dacă îl schițați, atunci obținem un triunghi isoscel cu linii simetrice în jurul axei sale verticale.

Gândește-te unde în viața de zi cu zi a trebuit să întâlnești triunghiuri isoscele? Nu este adevărat că acoperișurile caselor și structurile arhitecturale antice amintesc foarte mult de ele? Și amintiți-vă, care este baza piramidelor egiptene? Unde ai mai văzut triunghiuri isoscele?

Triunghiurile isoscele din cele mai vechi timpuri i-au ajutat pe greci și egipteni în determinarea distanțelor și înălțimii. Deci, de exemplu, grecii antici l-au folosit pentru a determina de departe distanța până la navă în mare. Și egiptenii antici au determinat înălțimea piramidelor lor datorită lungimii umbrei aruncate, deoarece. era un triunghi isoscel.

Din cele mai vechi timpuri, oamenii au apreciat deja frumusețea și caracterul practic al acestei figuri, deoarece formele triunghiurilor ne înconjoară peste tot. Deplasându-ne prin diferite sate, vedem acoperișurile caselor și alte structuri care ne amintesc de un triunghi isoscel.Când mergem la un magazin, vedem pachete de mâncare și sucuri de formă triunghiulară și chiar și unele fețe umane au forma unui triunghi. Această cifră este atât de populară încât poate fi găsită la fiecare pas.

Subiecte > Matematică > Matematică Clasa a VII-a

Un triunghi cu două laturi egale se numește triunghi isoscel. Aceste laturi se numesc laturi, iar a treia latura se numeste baza. În acest articol, vă vom spune despre proprietățile unui triunghi isoscel.

Teorema 1

Unghiurile de lângă baza unui triunghi isoscel sunt egale între ele

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi isoscel ABC a cărui bază este AB. Să ne uităm la triunghiul BAC. Aceste triunghiuri, după primul semn, sunt egale între ele. Așa este, deoarece BC = AC, AC = BC, unghiul ACB = unghiul ACB. De aici rezultă că unghiul BAC = unghiul ABC, deoarece acestea sunt unghiurile corespunzătoare ale triunghiurilor noastre egale între ele. Iată proprietatea unghiurilor unui triunghi isoscel.

Teorema 2

Mediana dintr-un triunghi isoscel trasat la baza sa este, de asemenea, înălțimea și bisectoarea

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi isoscel ABC a cărui bază este AB și CD este mediana pe care am tras-o la baza sa. În triunghiurile ACD și BCD, unghiul CAD = unghiul CBD, ca unghiuri corespunzătoare la baza unui triunghi isoscel (Teorema 1). Și latura AC = latura BC (prin definiția unui triunghi isoscel). Latura AD \u003d latura BD, La urma urmei, punctul D împarte segmentul AB în părți egale. De aici rezultă că triunghiul ACD = triunghiul BCD.

Din egalitatea acestor triunghiuri, avem egalitatea unghiurilor corespunzătoare. Adică unghiul ACD = unghiul BCD și unghiul ADC = unghiul BDC. Ecuația 1 implică faptul că CD este o bisectoare. Și unghiul ADC și unghiul BDC sunt unghiuri adiacente, iar din egalitatea 2 rezultă că ambele sunt unghiuri drepte. Se pare că CD este înălțimea triunghiului. Aceasta este proprietatea medianei unui triunghi isoscel.

Și acum puțin despre semnele unui triunghi isoscel.

Teorema 3

Dacă două unghiuri dintr-un triunghi sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi ABC în care unghiul CAB = unghiul CBA. Triunghiul ABC = triunghiul BAC după al doilea criteriu de egalitate între triunghiuri. Așa este, deoarece AB = BA; unghi CBA = unghi CAB, unghi CAB = unghi CBA. Dintr-o asemenea egalitate de triunghiuri, avem egalitatea laturilor corespunzătoare ale triunghiului - AC = BC. Apoi se dovedește că triunghiul ABC este isoscel.

Teorema 4

Dacă în orice triunghi mediana lui este și înălțimea sa, atunci un astfel de triunghi este isoscel

Demonstrarea teoremei.

În triunghiul ABC desenăm mediana CD. Va fi și înălțimea. Triunghi dreptunghic ACD = triunghi dreptunghic BCD, deoarece cateta CD le este comună, iar cateta AD = cateta BD. De aici rezultă că ipotenusele lor sunt egale între ele, ca părțile corespunzătoare ale triunghiurilor egale. Aceasta înseamnă că AB = BC.

Teorema 5

Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt congruente

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi ABC și un triunghi A1B1C1 astfel încât laturile să fie AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Luați în considerare demonstrarea acestei teoreme prin contradicție.

Să presupunem că aceste triunghiuri nu sunt egale între ele. Prin urmare avem că unghiul BAC nu este egal cu unghiul B1A1C1, unghiul ABC nu este egal cu unghiul A1B1C1, unghiul ACB nu este egal cu unghiul A1C1B1 în același timp. În caz contrar, aceste triunghiuri ar fi egale conform criteriului de mai sus.

Să presupunem că triunghiul A1B1C2 = triunghiul ABC. Vârful C2 al unui triunghi se află cu vârful C1 relativ la dreapta A1B1 în același semiplan. Am presupus că vârfurile C2 și C1 nu coincid. Să presupunem că punctul D este punctul de mijloc al segmentului C1C2. Deci avem triunghiuri isoscele B1C1C2 și A1C1C2, care au o bază comună C1C2. Se pare că medianele lor B1D și A1D sunt și înălțimile lor. Aceasta înseamnă că linia B1D și linia A1D sunt perpendiculare pe dreapta C1C2.

B1D și A1D au puncte diferite B1 și A1 și, prin urmare, nu pot coincide. Dar până la urmă, prin punctul D al dreptei C1C2 putem trage doar o singură dreaptă perpendiculară pe aceasta. Avem o contradicție.

Acum știi care sunt proprietățile unui triunghi isoscel!

Proprietățile unui triunghi isoscel exprimă următoarele teoreme.

Teorema 1. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.

Teorema 2. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și înălțimea.

Teorema 3. Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este bisectoarea și înălțimea.

Teorema 4. Într-un triunghi isoscel, înălțimea trasată la bază este bisectoarea și mediana.

Să demonstrăm una dintre ele, de exemplu, Teorema 2.5.

Dovada. Se consideră un triunghi isoscel ABC cu baza BC și se demonstrează că ∠ B = ∠ C. Fie AD bisectoarea triunghiului ABC (Fig. 1). Triunghiurile ABD și ACD sunt egale conform primului semn de egalitate al triunghiurilor (AB = AC prin condiție, AD este latura comună, ∠ 1 = ∠ 2, deoarece AD ​​​​este bisectoarea). Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că ∠ B = ∠ C. Se demonstrează teorema.

Folosind teorema 1, stabilim următoarea teoremă.

Teorema 5. Al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale (Fig. 2).

Cometariu. Propozițiile stabilite în exemplele 1 și 2 exprimă proprietățile bisectoarei perpendiculare pe segment. Din aceste propuneri rezultă că bisectoarele perpendiculare ale laturilor unui triunghi se intersectează într-un punct.

Exemplul 1 Demonstrați că un punct din plan echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Decizie. Fie punctul M să fie echidistant de capetele segmentului AB (Fig. 3), adică AM = VM.

Atunci ΔAMV este isoscel. Să trasăm o dreaptă p prin punctul M și mijlocul O al segmentului AB. Prin construcție, segmentul MO este mediana triunghiului isoscel AMB și, prin urmare (teorema 3), iar înălțimea, adică dreapta MO, este bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB.

Exemplul 2 Demonstrați că fiecare punct al bisectoarei perpendiculare a unui segment este echidistant de capetele sale.

Decizie. Fie p bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB și punctul O punctul de mijloc al segmentului AB (vezi Fig. 3).

Să considerăm un punct arbitrar M situat pe dreapta p. Să desenăm segmentele AM ​​și VM. Triunghiurile AOM și VOM sunt egale, deoarece unghiurile lor la vârful O sunt drepte, cateta OM este comună, iar cateta OA este egală cu cateta OB după condiție. Din egalitatea triunghiurilor AOM și BOM rezultă că AM = BM.

Exemplul 3În triunghiul ABC (vezi Fig. 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; în triunghi DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Comparați triunghiurile ABC și DEF. Găsiți unghiuri egale corespunzător.

Decizie. Aceste triunghiuri sunt egale la al treilea criteriu. În consecință, unghiuri egale: A și E (se află opuse laturilor egale BC și FD), B și F (se află vizavi de laturile egale AC și DE), C și D (se află opuse laturilor egale AB și EF).

Exemplul 4În figura 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

Găsiți unghiul D.

Decizie. Luați în considerare triunghiurile ABC și ADC. Ele sunt egale în a treia caracteristică (AB = DC, BC = AD după condiție și latura AC este comună). Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că ∠ B = ∠ D, dar unghiul B este de 100°, deci unghiul D este de 100°.

Exemplul 5Într-un triunghi isoscel ABC cu baza AC, unghiul exterior la vârful C este de 123°. Aflați unghiul ABC. Dați răspunsul în grade.

Soluție video.

În această lecție, va fi luat în considerare subiectul „Triunghiul isoscel și proprietățile sale”. Veți afla cum arată triunghiurile isoscele și echilaterale și cum sunt caracterizate. Demonstrați teorema privind egalitatea unghiurilor de la baza unui triunghi isoscel. Luați în considerare și teorema bisectoarei (mediană și înălțime) trasată la baza unui triunghi isoscel. La sfârșitul lecției, veți trece peste două probleme folosind definiția și proprietățile unui triunghi isoscel.

Definiție:Isoscel Se numeste un triunghi care are doua laturi egale.

Orez. 1. Triunghi isoscel

AB = AC - laturi. BC - baza.

Aria unui triunghi isoscel este jumătate din produsul bazei sale cu înălțimea sa.

Definiție:echilateral Se numeste triunghi in care toate cele trei laturi sunt egale.

Orez. 2. Triunghi echilateral

AB = BC = SA.

Teorema 1:Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.

Dat: AB = AC.

Dovedi:∠B = ∠C.

Orez. 3. Desenarea teoremei

Dovada: triunghi ABC \u003d triunghi DIA conform primului semn (pe două laturi egale și unghiul dintre ele). Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea tuturor elementelor corespunzătoare. Prin urmare, ∠B = ∠C, care trebuia demonstrat.

Teorema 2:Într-un triunghi isoscel bisectoare trasă la bază este medianși înălţime.

Dat: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Dovedi: BD = DC, AD perpendicular pe BC.

Orez. 4. Desen pentru teorema 2

Dovada: triunghi ADB = triunghi ADC după prima caracteristică (AD - comun, AB = AC după condiție, ∠BAD = ∠DAC). Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea tuturor elementelor corespunzătoare. BD = DC deoarece se află opuse unghiurilor egale. Deci AD este mediana. De asemenea, ∠3 = ∠4, deoarece se află opuse laturi egale. Dar, în plus, sunt egale în total. Prin urmare, ∠3 = ∠4 = . Prin urmare, AD este înălțimea triunghiului, care trebuia demonstrată.

În singurul caz a = b = . În acest caz, dreptele AC și BD se numesc perpendiculare.

Deoarece bisectoarea, înălțimea și mediana sunt același segment, următoarele afirmații sunt de asemenea adevărate:

Înălțimea unui triunghi isoscel trasat la bază este mediana și bisectoarea.

Mediana unui triunghi isoscel trasat la bază este înălțimea și bisectoarea.

Exemplul 1:Într-un triunghi isoscel, baza are jumătate din dimensiunea laturii, iar perimetrul este de 50 cm. Aflați laturile triunghiului.

Dat: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

A găsi: BC, AC, AB.

Decizie:

Orez. 5. Desen de exemplu 1

Notăm baza BC ca a, apoi AB \u003d AC \u003d 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Răspuns: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Exemplul 2: Demonstrați că toate unghiurile dintr-un triunghi echilateral sunt egale.

Dat: AB = BC = SA.

Dovedi:∠A = ∠B = ∠C.

Dovada:

Orez. 6. Desenul de exemplu

∠B = ∠C, deoarece AB=AC, și ∠A = ∠B, deoarece AC = BC.

Prin urmare, ∠A = ∠B = ∠C, ceea ce urma să fie demonstrat.

Răspuns: Dovedit.

În lecția de astăzi, am examinat un triunghi isoscel, am studiat proprietățile sale de bază. În lecția următoare, vom rezolva probleme pe tema unui triunghi isoscel, despre calcularea ariei unui triunghi isoscel și echilateral.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. etc Geometrie 7. - M.: Iluminismul.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al. Geometrie 7. Ed. a 5-a. - M.: Iluminismul.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichy V.A. - M.: Educație, 2010.

1. Dicționare și enciclopedii despre „Akademik” ().
2. Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. Nr 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichy V.A. - M.: Educație, 2010.

2. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 35 cm, iar baza este de trei ori mai mică decât latura. Aflați laturile triunghiului.

3. Având în vedere: AB = BC. Demonstrați că ∠1 = ∠2.

4. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 20 cm, una dintre laturile sale este de două ori pe cealaltă. Aflați laturile triunghiului. Câte soluții are problema?