Printre numărul mare de sarcini stereometrice din manualele de geometrie, în diverse colecții de sarcini, manuale de pregătire pentru universități, sarcinile pentru găsirea distanței dintre liniile oblice sunt extrem de rare. Poate că acest lucru se datorează atât îngustării aplicării lor practice (față de programa școlară, spre deosebire de sarcinile „câștigătoare” pentru calcularea suprafețelor și volumelor), cât și complexității acestui subiect.

Practica desfășurării examenului de stat unificat arată că mulți studenți nu încep deloc să finalizeze sarcinile de geometrie care sunt incluse în lucrarea de examen. Pentru a asigura finalizarea cu succes a sarcinilor geometrice cu un nivel crescut de complexitate, este necesar să se dezvolte flexibilitatea gândirii, capacitatea de a analiza configurația propusă și de a izola părțile din ea, a căror luare în considerare vă permite să găsiți o modalitate de a rezolva problema.

Cursul școlar presupune studiul a patru modalități de rezolvare a problemelor pentru găsirea distanței dintre liniile care se intersectează. Alegerea metodei este determinată, în primul rând, de caracteristicile unei anumite sarcini, de oportunitățile de alegere oferite de aceasta și, în al doilea rând, de abilitățile și caracteristicile „gândirii spațiale” ale unui anumit elev. Fiecare dintre aceste metode vă permite să rezolvați cea mai importantă parte a problemei - construcția unui segment perpendicular pe ambele linii de intersectare (pentru partea de calcul a problemelor, nu este necesară împărțirea în metode).

Principalele metode de rezolvare a problemelor de găsire a distanței dintre liniile oblice

Aflarea lungimii perpendicularei comune a două drepte care se intersectează, i.e. un segment cu capete pe aceste drepte și perpendicular pe fiecare dintre aceste drepte.

Aflarea distanței de la una dintre liniile care se intersectează la un plan paralel cu aceasta care trece prin cealaltă dreaptă.

Aflarea distanței dintre două plane paralele care trec prin linii oblice date.

Găsirea distanței de la un punct care este proiecția uneia dintre liniile oblice pe un plan perpendicular pe acesta (așa-numitul „ecran”) până la proiecția unei alte linii pe același plan.

Vom demonstra toate cele patru metode pe următoarele cele mai simple sarcină: „Într-un cub cu muchie A găsiți distanța dintre orice muchie și diagonala unei fețe care nu o intersectează.” Răspuns: .

Poza 1

h skr este perpendicular pe planul feței laterale care conține diagonala dși este perpendicular pe margine, deci h scrși este distanța dintre margine Ași diagonală d.

Figura 2

Planul A este paralel cu muchia și trece prin diagonala dată, deci și dată h scr nu este doar distanța de la margine la planul A, ci și distanța de la margine la diagonala dată.

Figura 3

Planurile A și B sunt paralele și trec prin două linii oblice date, astfel încât distanța dintre aceste plane este egală cu distanța dintre cele două linii oblice.

Figura 4

Planul A este perpendicular pe muchia cubului. Când este proiectat pe diagonala A d această diagonală se întoarce spre una dintre laturile bazei cubului. Acest h scr este distanța dintre linia care conține muchia și proiecția diagonalei pe planul C și, prin urmare, între linia care conține muchia și diagonala.

Să ne oprim mai în detaliu asupra aplicării fiecărei metode pentru poliedre studiate la școală.

Aplicarea primei metode este destul de limitată: este bine folosită numai în unele probleme, deoarece este destul de dificil să se determine și să justifice locația exactă în cele mai simple probleme și locația aproximativă a perpendicularei comune a două drepte care se intersectează în complex. Probleme. În plus, la găsirea lungimii acestei perpendiculare în probleme complexe, se pot întâlni dificultăți insurmontabile.

Problema 1. Într-un paralelipiped dreptunghiular cu dimensiuni a, b, h găsiți distanța dintre marginea laterală și diagonala bazei care nu se intersectează cu ea.

Figura 5

Lasă AHBD. Deoarece A 1 A este perpendicular pe planul ABCD, atunci A 1 A AH.

AH este perpendiculară pe ambele drepte care se intersectează, prin urmare AH2 este distanța dintre liniile A 1 A și BD. Într-un triunghi dreptunghic ABD, cunoscând lungimile catetelor AB și AD, găsim înălțimea AH, folosind formulele pentru calcularea ariei unui triunghi dreptunghic. Răspuns:

Problema 2. Într-o piramidă obișnuită cu 4 laturi cu o margine laterală Lși partea de bază A găsiți distanța dintre apotem și latura bazei care intersectează fața laterală care conține acest apotem.

Figura 6

SHCD ca apotem, ADCD ca ABCD este un pătrat. Prin urmare, DH este distanța dintre liniile SH și AD. DH este egal cu jumătate din latura CD. Răspuns:

Utilizarea acestei metode este limitată și datorită faptului că, dacă puteți construi rapid (sau găsiți un plan gata făcut) care trece printr-una dintre liniile de intersectare paralele cu o altă linie, atunci construiți o perpendiculară din orice punct al celei de-a doua linii. la acest plan (în interiorul poliedrului) provoacă dificultăţi. Cu toate acestea, în sarcinile simple, în care construcția (sau găsirea) perpendicularei indicate nu provoacă dificultăți, această metodă este cea mai rapidă și mai ușoară și, prin urmare, accesibilă.

Sarcina 2. Rezolvarea problemei deja indicate mai sus în acest fel nu provoacă dificultăți deosebite.

Figura 7

Planul EFM este paralel cu dreapta AD, deoarece AD ​​|| EF. Linia MF se află în acest plan, deci distanța dintre linia AD și planul EFM este egală cu distanța dintre linia AD și linia MF. Să facem un OHAD. OHEF, OHMO, deci OH(EFM), deci OH este distanța dintre linia AD și planul EFM și, prin urmare, distanța dintre linia AD și linia MF. Aflarea OH din triunghiul AOD.

Problema 3. Într-un paralelipiped dreptunghiular cu dimensiuni a,bși h aflați distanța dintre marginea laterală și diagonala paralelipipedului care nu se intersectează cu aceasta.

Figura 8

Linia AA 1 este paralelă cu planul BB 1 D 1 D, B 1 D aparține acestui plan, deci distanța de la AA 1 la planul BB 1 D 1 D este egală cu distanța dintre liniile AA 1 și B 1 D. Desenați AHBD . De asemenea, AH B 1 B, deci AH(BB 1 D 1 D), deci AHB 1 D, adică AH este distanța necesară. Aflați AH din triunghiul dreptunghic ABD.

Răspuns:

Problema 4. Într-o prismă hexagonală regulată A:F 1 cu înălțime hși partea de bază A găsiți distanța dintre linii:

Figura 9 Figura 10

a) AA 1 și ED 1.

Se consideră planul E 1 EDD 1 . A 1 E 1 EE 1 , A 1 E 1 E 1 D 1 , prin urmare

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). De asemenea A 1 E 1 AA 1 . Prin urmare, A 1 E 1 este distanța de la linia AA 1 la planul E 1 EDD 1 . ED 1 (E 1 EDD 1), prin urmare AE 1 este distanța de la linia dreaptă AA 1 la linia dreaptă ED 1. Găsim A 1 E 1 din triunghiul F 1 A 1 E 1 folosind teorema cosinusului. Răspuns:

b) AF și diagonala BE 1.

Să trasăm o dreaptă FH perpendiculară pe BE din punctul F. EE 1 FH, FHBE, deci FH(BEE 1 B 1), deci FH este distanța dintre linia AF și (BEE 1 B 1), și deci distanța dintre linia AF și diagonala BE 1 . Răspuns:

METODA III

Utilizarea acestei metode este extrem de limitată, deoarece este mai ușor să construiți un plan paralel cu una dintre drepte (metoda II) decât două plane paralele, cu toate acestea, metoda III poate fi utilizată în prisme dacă liniile care se intersectează aparțin unor fețe paralele, și, de asemenea, în cazurile în care într-un poliedru este ușor să construiți secțiuni paralele care conțin linii date.

Sarcina 4.

Figura 11

a) Planele BAA 1 B 1 și DEE 1 D 1 sunt paralele deoarece AB || ED și AA 1 || EE1. ED 1 DEE 1 D 1 , AA 1 (BAA 1 B 1), prin urmare, distanța dintre liniile drepte AA 1 și ED 1 este egală cu distanța dintre planele BAA 1 B 1 și DEE 1 D 1 . A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 , prin urmare, A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Demonstrăm în mod similar că A 1 E 1 (DEE 1 D 1). Astfel, A 1 E 1 este distanţa dintre planele BAA 1 B 1 şi DEE 1 D 1 , şi deci între liniile AA 1 şi ED 1 . Găsiți A 1 E 1 din triunghiul A 1 F 1 E 1 , care este isoscel cu unghiul A 1 F 1 E 1 egal cu . Răspuns:

Figura 12

b) Distanța dintre AF și diagonala BE 1 este similară.

Problema 5. Într-un cub cu muchie A găsiți distanța dintre două diagonale care nu se intersectează a două fețe adiacente.

Această problemă este considerată una clasică în unele manuale, dar, de regulă, soluția ei este dată de metoda IV, totuși, este destul de accesibilă pentru rezolvare folosind metoda III.

Figura 13

O anumită dificultate în această problemă este demonstrarea că diagonala A 1 C este perpendiculară pe ambele plane paralele (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 și BC 1 A 1 B 1 , prin urmare, dreapta BC 1 este perpendiculară pe planul A 1 B 1 C, și deci BC 1 A 1 C. De asemenea, A 1 CBD. Prin urmare, dreapta A 1 C este perpendiculară pe planul BC 1 D. Partea de calcul a problemei nu provoacă dificultăți deosebite, deoarece h scr= EF se găsește ca diferența dintre diagonala cubului și înălțimile a două piramide regulate identice A 1 AB 1 D 1 și CC 1 BD.

METODA IV.

Această metodă are o aplicație destul de largă. Pentru sarcinile de dificultate medie și crescută, poate fi considerată cea principală. Nu este nevoie să-l aplicați numai atunci când una dintre cele trei metode anterioare funcționează mai ușor și mai rapid, deoarece în astfel de cazuri metoda IV nu poate decât să complice soluția problemei sau să îngreuneze accesul. Această metodă este foarte avantajoasă de utilizat în cazul perpendicularității liniilor care se intersectează, deoarece nu este nevoie să construiți o proiecție a uneia dintre linii pe „ecran”

L și partea de bază A.

Figura 16

În această problemă și în probleme similare, metoda IV duce la o soluție mai rapidă decât alte metode, deoarece prin construirea unei secțiuni care joacă rolul unui „ecran” perpendicular pe AC (triunghi BDM), este clar că în continuare nu este nevoie să construim. o proiecție a unei alte linii (BM) pe acest ecran. DH - distanta dorita. DH se găsește din triunghiul MDB folosind formulele de suprafață. Răspuns: .

„Distanța dintre liniile oblice” - Teoremă. Sarcini orale pregătitoare. Aflați distanța dintre linia MN și planul AA1D1D. Găsiți distanța dintre linia B1K și avionul DD1C1C. OK=OO1?OM/O1M =a/3 (conform teoremei lui Pitagora O1M=3/2?2, OM=1/2?2). Planul diagonal AA1C1C este perpendicular pe dreapta BD. Noile poziții ale punctelor B și N vor fi punctele liniilor AD și BM cele mai apropiate unul de celălalt.

„Viteza lecției timp distanță” - Încălzire matematică. Scopul lecției: să-i învețe pe elevi să rezolve probleme legate de mișcare. Distanţă. Cât durează să mergi 30 km cu o viteză constantă de 5 km/h? Relația dintre viteză, timp și distanță. Câți oameni au mers în oraș? Un avion parcurge distanța de la orașul A la orașul B în 1 oră și 20 de minute.

„Viteza timp distanță matematică” - Reduceți suma numerelor 5 și 65 de 2 ori. Nu stiu sa dus pe luna. Călătorie prin paginile unei cărți de basme. Fizkultminutka. Unul a plecat la ora 8 și celălalt la ora 10. Rezumând. Are dreptate Laura? -Laura a rezolvat următoarea problemă: „500 km. O mașină va trece în 10 ore. Timp. Cheia cu răspunsul „38” deschide cartea:

„Dialog direct speech” - Care este diferența dintre discurs direct și dialog? De exemplu: L. N. Tolstoi a spus: „Toți avem nevoie unul de celălalt în lume”. Grafica vorbirii directe. A: "p." Sarcina 3. Înlocuiți vorbirea directă cu dialogul. De exemplu: "P?" - A. "P!" - A. Subliniază diagramele corecte pentru următoarele propoziții. Dialog grafic. Cum să scrieți discursul direct și dialogul în scris?

„Propoziții cu vorbire directă” – Petronius, scriitor roman antic. Jocul „Găsește greșeala” (bifează). Cuvintele autorului introducând vorbirea directă: Am reapărut și m-am dus la casa părintelui Gherasim. Un prieten din sat a venit să mă viziteze. Propuneri cu discurs direct. Sarcina creativă. În scris, discursul direct este cuprins între ghilimele. Citit!" exclamă Konstantin Georgievici Paustovski.

„Distanța și scara” - Modelul atomului la scară de mărire mare. Pe o hartă cu o scară, distanța este de 5 cm.Dacă scara este dată de o fracție cu numărător de 1, atunci. Macheta la scară a unei mașini de pompieri. Algoritm de aflare a distantei la sol: Pe autostrada lungimea traseului este de 700 km. Termină propoziția: Distanța dintre două orașe este de 400 km.

În acest articol, folosind exemplul de rezolvare a problemei C2 de la Unified State Examination, este analizată metoda de găsire a coordonatelor folosind metoda. Amintiți-vă că liniile sunt înclinate dacă nu se află în același plan. În special, dacă o linie se află într-un plan și a doua linie intersectează acest plan într-un punct care nu se află pe prima linie, atunci astfel de linii sunt oblice (vezi figura).

Pentru găsire distanțele dintre liniile care se intersectează necesar:

1. Desenați un plan printr-una dintre liniile de înclinare care este paralelă cu cealaltă linie de înclinare.
2. Aruncă o perpendiculară din orice punct al celei de-a doua drepte către planul rezultat. Lungimea acestei perpendiculare va fi distanța dorită dintre linii.

Să analizăm acest algoritm mai detaliat folosind exemplul de rezolvare a problemei C2 de la Unified State Examination în matematică.

Distanța dintre liniile din spațiu

Sarcină.într-un singur cub ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 găsiți distanța dintre linii BA 1 și D.B. 1 .

Orez. 1. Desen pentru sarcină

Decizie. Prin punctul de mijloc al diagonalei cubului D.B. 1 (punct O) trageți o dreaptă paralelă cu dreapta A 1 B. Puncte de intersecție ale unei linii date cu muchii î.Hrși A 1 D 1 denotă, respectiv Nși M. Drept MN zace în avion MNB 1 și paralel cu linia A 1 B, care nu se află în acest plan. Aceasta înseamnă că direct A 1 B paralel cu planul MNB 1 pe baza paralelismului unei drepte și a unui plan (Fig. 2).

Orez. 2. Distanța dorită dintre liniile de încrucișare este egală cu distanța de la orice punct al liniei selectate la planul reprezentat

Acum căutăm distanța de la un punct de pe linia dreaptă A 1 B până la avion MNB unu . Această distanță, prin definiție, va fi distanța dorită între liniile oblice.

Pentru a găsi această distanță, folosim metoda coordonatelor. Introducem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare astfel încât originea lui să coincidă cu punctul B, axa X a fost îndreptată de-a lungul marginii BA, axa Y- de-a lungul coastei î.Hr, axa Z- de-a lungul coastei BB 1 (Fig. 3).

Orez. 3. Alegem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare așa cum se arată în figură

Găsim ecuația planului MNB 1 în acest sistem de coordonate. Pentru a face acest lucru, determinăm mai întâi coordonatele punctelor M, Nși B 1: Inlocuim coordonatele obtinute in ecuatia generala a unei drepte si obtinem urmatorul sistem de ecuatii:

Din a doua ecuație a sistemului, obținem din a treia, iar apoi din prima obținem. Înlocuim valorile obținute în ecuația generală a dreptei:

Rețineți că, altfel, avionul MNB 1 ar trece prin origine. Împărțim ambele părți ale acestei ecuații la și obținem:

Distanța de la un punct la un plan este determinată de formulă.

DISTANȚA ÎNTRE DREPTELE ÎN SPAȚIU Distanța dintre două drepte care se intersectează în spațiu este lungimea perpendicularei comune trasate pe aceste drepte. Dacă una dintre cele două drepte care se intersectează se află într-un plan, iar cealaltă este paralelă cu acest plan, atunci distanța dintre aceste linii este egală cu distanța dintre linie și plan. Dacă două drepte care se intersectează se află în planuri paralele, atunci distanța dintre aceste drepte este egală cu distanța dintre planele paralele.

Cubul 1 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și BC. Raspunsul 1.

Cubul 2 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și CD. Raspunsul 1.

Cubul 3 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și B 1 C 1. Răspuns: 1.

Cubul 4 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și C 1 D 1. Răspuns: 1.

Cubul 5 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și BC 1. Răspuns: 1.

Cubul 6 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și B 1 C. Răspuns: 1.

Cubul 7 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și CD 1. Răspuns: 1.

Cubul 8 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și DC 1. Răspuns: 1.

Cubul 9 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și CC 1. Răspuns:

Cubul 10 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și BD. Decizie. Fie O punctul de mijloc al BD. Distanța dorită este lungimea segmentului AO. Este egal cu Răspuns:

Cubul 11 ​​În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și B 1 D 1. Răspuns:

Cubul 12 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și BD 1. Rezolvare. Fie P, Q punctele medii ale AA 1, BD 1. Distanța dorită este lungimea segmentului PQ. Este egal cu Răspuns:

Cubul 13 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AA 1 și BD 1. Răspuns:

Cubul 14 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța prin liniile AB 1 și CD 1. Răspuns: 1.

Cubul 15 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AB 1 și BC 1. Rezolvare. Distanța dorită este egală cu distanța dintre planele paralele AB 1 D 1 și BDC 1. Diagonala A 1 C este perpendiculară pe aceste plane și este împărțită în trei părți egale la punctele de intersecție. Prin urmare, distanța dorită este egală cu lungimea segmentului EF și este egală cu Răspuns:

Cubul 16 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre dreptele AB 1 și A 1 C 1. Soluția este similară celei precedente. Răspuns:

Cubul 17 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța dintre liniile AB 1 și BD. Soluția este similară cu cea anterioară. Răspuns:

Cubul 18 În cubul unității A…D 1 găsiți distanța prin liniile AB 1 și BD 1. Rezolvare. Diagonala BD 1 este perpendiculară pe planul triunghiului echilateral ACB 1 și îl intersectează în centrul P al cercului său înscris. Distanța dorită este egală cu raza OP a acestui cerc. OP = Raspuns:

Piramida 1 În tetraedrul unității ABCD găsiți distanța dintre liniile AD și BC. Decizie. Distanța dorită este egală cu lungimea segmentului EF, unde E, F sunt punctele medii ale muchiilor AD, GF. În triunghi DAG DA = 1, AG = DG = Răspuns: Prin urmare, EF =

Piramida 2 Într-o piramidă obișnuită SABCD, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile AB și CD. Raspunsul 1.

Piramida 3 Într-o piramidă obișnuită SABCD, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile SA și BD. Decizie. Distanța dorită este egală cu înălțimea OH a triunghiului SAO, unde O este punctul de mijloc al BD. Într-un triunghi dreptunghic SAO avem: SA = 1, AO = SO = Răspuns: Prin urmare, OH =

Piramida 4 Într-o piramidă obișnuită SABCD, ale căror margini sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile SA și BC. Decizie. Planul SAD este paralel cu dreapta BC. Prin urmare, distanța dorită este egală cu distanța dintre linia BC și planul SAD. Este egală cu înălțimea EH a triunghiului SEF, unde E, F sunt punctele mijlocii ale muchiilor BC, AD. În triunghiul SEF avem: EF = 1, SE = SF = Înălțimea SO este Prin urmare, EH = Răspuns:

Piramida 5 Într-o piramidă a 6-a regulată SABCDEF cu marginile bazei egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile AB și DE. Răspuns:

Piramida 6 În piramida a 6-a obișnuită SABCDEF, ale cărei margini laterale sunt 2 și marginile bazei sunt 1, găsiți distanța dintre liniile SA și BC. Rezolvare: Extindeți muchiile BC și AF până se intersectează în punctul G. Perpendiculara comună pe SA și BC este altitudinea AH a triunghiului ABG. Este egal cu Răspuns:

Piramida 7 În piramida a 6-a obișnuită SABCDEF, ale cărei margini laterale sunt 2 și marginile de bază sunt 1, găsiți distanța dintre liniile SA și BF. Rezolvare: Distanța dorită este înălțimea GH a triunghiului SAG, unde G este punctul de intersecție dintre BF și AD. În triunghiul SAG avem: SA = 2, AG = 0,5, înălțimea SO este egală cu De aici găsim GH = Răspuns:

Piramida 8 În piramida a 6-a obișnuită SABCDEF, ale cărei margini laterale sunt 2 și marginile de bază sunt 1, găsiți distanța dintre liniile SA și CE. Rezolvare: Distanța dorită este înălțimea GH a triunghiului SAG, unde G este punctul de intersecție al CE și AD. În triunghiul SAG avem: SA = 2, AG = , înălțimea SO este egală cu De aici găsim GH = Răspuns:

Piramida 9 În piramida a 6-a obișnuită SABCDEF, ale cărei margini laterale sunt 2 și marginile de bază sunt 1, găsiți distanța dintre liniile SA și BD. Soluție: Linia BD este paralelă cu planul SAE. Distanța dorită este egală cu distanța dintre linia BD și acest plan și este egală cu înălțimea PH a triunghiului SPQ. În acest triunghi, înălțimea SO este, PQ = 1, SP = SQ = De aici găsim PH = Răspuns:

Piramida 10 În piramida a 6-a regulată SABCDEF, ale cărei margini laterale sunt 2 și marginile bazei sunt 1, găsiți distanța dintre liniile SA și BG, unde G este punctul mijlociu al muchiei SC. Rezolvare: Desenați o dreaptă prin punctul G paralel cu SA. Fie Q să desemneze punctul său de intersecție cu dreapta AC. Distanța dorită este egală cu înălțimea QH a triunghiului dreptunghic ASQ, în care AS = 2, AQ = , SQ = De aici găsim QH = Răspuns: .

Prisma 1 Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: BC și B 1 C 1. Răspuns: 1.

Prisma 2 Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și BC. Răspuns:

Prisma 3 Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și BC 1. Răspuns:

Prisma 4 Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AB și A 1 C 1. Răspuns: 1.

Prisma 5 Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AB și A 1 C. Rezolvare: Distanța dorită este egală cu distanța dintre dreapta AB iar planul A 1 B 1 C. Să notăm D și D 1 punctele medii ale muchiilor AB și A 1 B 1. Într-un triunghi dreptunghic CDD 1, se trasează o înălțime DE de la vârful D. Va fi distanța dorită. Avem, DD 1 = 1, CD = Răspuns: Prin urmare, DE = , CD 1 = .

Prisma 6 Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AB 1 și BC 1. Rezolvare: Să construim prisma la o prismă cu 4 unghiuri. Distanța dorită va fi egală cu distanța dintre planele paralele AB 1 D 1 și BDC 1. Este egală cu înălțimea OH a triunghiului dreptunghic AOO 1, în care Răspunsul. Această înălțime este

Prisma 7 În cea de-a 6-a prismă corectă A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AB și A 1 B 1. Răspuns: 1.

Prisma 8 În prisma a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AB și B 1 C 1. Răspuns: 1.

Prisma 9 În prisma a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AB și C 1 D 1. Răspuns: 1.

Prisma 10 În cea de-a 6-a prismă corectă A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AB și DE. Răspuns: .

Prisma 11 În prisma a 6-a corectă A ... F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AB și D 1 E 1. Răspuns: 2.

Prisma 12 În prisma a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și CC 1. Răspuns: .

Prisma 13 În prisma a 6-a corectă A ... F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și DD 1. Răspuns: 2.

Prisma 14 În prisma a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și B 1 C 1. Rezolvare: Să continuăm laturile B 1 C 1 și A 1 F 1 până când se intersectează în punctul G. Triunghiul A 1 B 1 G este echilateral. Înălțimea sa A 1 H este perpendiculara comună dorită. Lungimea sa este egală. Răspuns: .

Prisma 15 În prisma a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și C 1 D 1. Rezolvare: Perpendiculara comună dorită este segmentul A 1 C 1. Lungimea acestuia este egal. Răspuns: .

Prisma 16 În prisma a 6-a corectă A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și BC 1. Rezolvare: Distanța dorită este distanța dintre planele paralele ADD 1 și BCC 1. Este egal. Răspuns: .

Prisma 17 În prisma a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și CD 1. Rezolvare: Perpendiculara comună dorită este segmentul AC. Lungimea sa este egală. Răspuns: .

Prisma 18 În prisma a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și DE 1. Rezolvare: Perpendiculara comună dorită este segmentul A 1 E 1. Lungimea sa este egală . Răspuns: .

Prisma 19 În prisma a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre dreptele: AA 1 și BD 1. Rezolvare: Perpendiculara comună dorită este segmentul AB. Lungimea sa este de 1. Răspuns: 1.

Prisma 20 Într-o prismă a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și CE 1. Rezolvare: Distanța dorită este distanța dintre dreapta AA 1 și planul CEE 1 Este egal. Răspuns: .

Prisma 21 În prisma a 6-a corectă A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și BE 1. Rezolvare: Distanța necesară este distanța dintre dreapta AA 1 și planul BEE 1 Este egal. Răspuns: .

Prisma 22 În prisma a 6-a corectă A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AA 1 și CF 1. Rezolvare: Distanța dorită este distanța dintre dreapta AA 1 și planul CFF 1 Este egal. Răspuns: .

Prisma 23 În prisma a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți unghiul dintre dreptele: AB 1 și DE 1. Rezolvare: Distanța dorită este distanța dintre planele paralele ABB 1 și DEE 1. Distanța dintre ele este egală. Răspuns: .

Prisma 24 În prisma a 6-a corectă A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți unghiul dintre liniile: AB 1 și CF 1. Rezolvare: Distanța dorită este distanța dintre dreapta AB 1 și planul CFF 1 Este egal. Răspuns:

Prisma 25 Într-o prismă a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre liniile: AB 1 și BC 1. Rezolvare: Fie O, O 1 centrele fețelor prismei. Planele AB 1 O 1 și BC 1 O sunt paralele. Planul ACC 1 A 1 este perpendicular pe aceste planuri. Distanţa dorită d este egală cu distanţa dintre dreptele AG 1 şi GC 1. În paralelogramul AGC 1 G 1 avem AG = Răspuns: ; AG 1 = Înălțimea trasă pe latura AA 1 este egală cu 1. Prin urmare, d= . .

Prisma 26 În prisma a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre dreptele: AB 1 și BD 1. Rezolvare: Se consideră planul A 1 B 1 HG perpendicular pe BD 1. Proiecția ortogonală pe acest plan translată dreapta BD 1 în punctul H, iar linia AB 1 în linia GB 1. Prin urmare, distanța dorită d este egală cu distanța de la punctul H la dreapta GB 1. Într-un triunghi dreptunghic GHB 1 avem GH = 1; Răspuns: B 1 H = . Prin urmare, d = .

Prisma 27 În prisma a 6-a regulată A…F 1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța dintre dreptele: AB 1 și BE 1. Rezolvare: Se consideră planul A 1 BDE 1, perpendicular pe AB 1. Proiecția ortogonală pe acest plan translată linia AB 1 în punctul G, iar linia BE 1 pleacă pe loc. Prin urmare, distanța dorită d este egală cu distanța GH de la punctul G la dreapta BE 1. Într-un triunghi dreptunghic A 1 BE 1 avem A 1 B = ; A 1 E 1 =. Răspuns: Prin urmare, d = .