În demonstrarea proprietăților limitei unei funcții, ne-am asigurat că nu se cere nimic cu adevărat din vecinătățile perforate în care au fost definite funcțiile noastre și care au apărut în cursul dovezilor, cu excepția proprietăților indicate în introducerea la paragraful precedent. 2. Această împrejurare servește drept justificare pentru evidențierea următorului obiect matematic.

A. Baza; definiție și exemple principale

Definiție 11. O mulțime B de submulțimi ale unei mulțimi X va fi numită bază într-o mulțime X dacă sunt îndeplinite două condiții:

Cu alte cuvinte, elementele colecției B sunt mulțimi nevide, iar intersecția a două dintre ele conține un element din aceeași colecție.

Să indicăm câteva dintre cele mai frecvent utilizate baze în analiză.

Dacă atunci în schimb scriu și spun că x tinde spre a din dreapta sau din partea valorilor mari (respectiv, din stânga sau din partea valorilor mai mici). Când o înregistrare scurtă este acceptată în loc de

Înregistrarea va fi folosită în loc de Înseamnă că a; tinde peste mulțimea E spre a, rămânând mai mare (mai mică) decât a.

apoi în schimb ei scriu și spun că x tinde spre plus infinit (respectiv, spre minus infinit).

În schimb, se va folosi notația

Când în loc de noi (dacă acest lucru nu duce la neînțelegeri) vom scrie, așa cum este obișnuit în teoria limitei unei secvențe,

Rețineți că toate bazele enumerate au caracteristica că intersecția oricăror două elemente ale bazei este ea însăși un element al acestei baze și nu conține doar un element al bazei. Ne vom întâlni cu alte baze atunci când studiem funcții care nu sunt date pe axa reală.

De asemenea, menționăm că termenul „bază” folosit aici este o denumire scurtă a ceea ce se numește „bază de filtru” în matematică, iar limita de bază introdusă mai jos este partea cea mai esențială pentru analiza conceptului de limită de filtru creat de francezul modern. matematicianul A. Cartan

b. Limita funcției de bază

Definiția 12. Fie o funcție pe mulțimea X; B este o bază în X. Un număr se numește limita unei funcții față de baza B dacă pentru orice vecinătate a punctului A există un element al bazei a cărui imagine este conținută în vecinătate.

Dacă A este limita funcției față de baza B, atunci scriem

Să repetăm ​​definiția limitei de bază în simbolismul logic:

Deoarece acum luăm în considerare funcțiile cu valori numerice, este util să ținem cont de următoarea formă a acestei definiții de bază:

În această formulare, în loc de o vecinătate arbitrară V(A), luăm o vecinătate care este simetrică (în raport cu punctul A) (e-vecinătate). Echivalența acestor definiții pentru funcțiile cu valori reale rezultă din faptul că, așa cum sa menționat deja, orice vecinătate a unui punct conține o vecinătate simetrică a aceluiași punct (efectuați demonstrația în întregime!).

Am dat o definiție generală a limitei unei funcții față de bază. Mai sus au fost considerate exemple ale celor mai comune baze în analiză. Într-o problemă specifică în care apare una sau alta dintre aceste baze, este necesar să se poată descifra definiția generală și să o noteze pentru o anumită bază.

Luând în considerare exemple de baze, am introdus, în special, conceptul de vecinătate a infinitului. Dacă folosim acest concept, atunci, în conformitate cu definiția generală a limitei, este rezonabil să adoptăm următoarele convenții:

sau, care este la fel,

De obicei, printr-o valoare mică. În definițiile de mai sus, acest lucru nu este, desigur, cazul. În conformitate cu convențiile acceptate, de exemplu, putem scrie

Pentru a fi considerate dovedite în cazul general al unei limite peste o bază arbitrară, toate acele teoreme asupra limitelor pe care le-am demonstrat în secțiunea 2 pentru o bază specială, este necesar să se dea definițiile adecvate: în final constante, în final mărginite și infinit mic pentru o bază dată de funcții.

Definiție 13. O funcție se numește în final constantă la baza B dacă există un număr și un astfel de element al bazei, în orice punct din care

În prezent, principalul beneficiu al observației făcute și al conceptului de bază introdus în legătură cu aceasta este că ne scutesc de verificări și dovezi formale ale teoremelor limită pentru fiecare tip specific de trecere la limită sau, în terminologia noastră actuală, pentru fiecare tip specific de baze

Pentru a ne obișnui în sfârșit cu conceptul de limită peste o bază arbitrară, vom demonstra proprietățile ulterioare ale limitei unei funcții într-o formă generală.

număr constant A numit limită secvente(x n ) dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar micε > 0 există un număr N astfel încât toate valorile x n, pentru care n>N, satisface inegalitatea

|x n - a|< ε. (6.1)

Scrieți-o astfel: sau x n → A.

Inegalitatea (6.1) este echivalentă cu inegalitatea dublă

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

ceea ce înseamnă că punctele x n, pornind de la un număr n>N, se află în interiorul intervalului (a-ε, a + ε ), adică cad în orice micε -vecinatatea punctului A.

Se numește o secvență care are o limită convergente, in caz contrar - divergente.

Conceptul de limită a unei funcții este o generalizare a conceptului de limită a unei secvențe, deoarece limita unei secvențe poate fi considerată ca limita funcției x n = f(n) a unui argument întreg. n.

Fie dată o funcție f(x) și fie A - punct limită domeniul de definitie al acestei functii D(f), i.e. un astfel de punct, a cărui vecinătate conține puncte ale mulțimii D(f) diferite de A. Punct A poate aparține sau nu mulțimii D(f).

Definiția 1.Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a if pentru orice succesiune (x n ) de valori ale argumentului care tind la A, secvențele corespunzătoare (f(x n)) au aceeași limită A.

Această definiție se numește definirea limitei unei funcții după Heine, sau " în limbajul secvenţelor”.

Definiția 2. Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a dacă, dat un număr pozitiv arbitrar arbitrar mic ε, se poate găsi astfel de δ>0 (în funcție de ε), care pentru toți Xîntins înε-vecinătăți ale unui număr A, adică pentru X satisfacerea inegalitatii
0 < x-a< ε , se vor afla valorile funcției f(x).ε-vecinătatea numărului A, adică.|f(x)-A|< ε.

Această definiție se numește definirea limitei unei funcții după Cauchy, sau „în limbajul ε - δ “.

Definițiile 1 și 2 sunt echivalente. Dacă funcția f(x) ca x →a are limită egal cu A, acesta se scrie ca

. (6.3)

În cazul în care șirul (f(x n)) crește (sau scade) la nesfârșit pentru orice metodă de aproximare X la limita ta A, atunci vom spune că funcția f(x) are limita infinita, si scrie-l ca:

Se numește o variabilă (adică o secvență sau o funcție) a cărei limită este zero infinit de mici.

Se numește o variabilă a cărei limită este egală cu infinitul infinit de mare.

Pentru a găsi limita în practică, utilizați următoarele teoreme.

Teorema 1 . Dacă există orice limită

(6.4)

(6.5)

(6.6)

cometariu. Expresii ca 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sunt incerte, de exemplu, raportul a două cantități infinitezimale sau infinit de mari, iar găsirea unei limite de acest fel se numește „dezvăluirea incertitudinii”.

Teorema 2. (6.7)

acestea. este posibil să treceți la limita de la baza gradului la un exponent constant, în special, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Unde e » 2.7 este baza logaritmului natural. Formulele (6.10) și (6.11) se numesc primele limita minunata iar a doua limită remarcabilă.

Corolarele formulei (6.11) sunt de asemenea utilizate în practică:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

în special limita

Dacă x → a și în același timp x > a, apoi scrieți x→a + 0. Dacă, în special, a = 0, atunci în locul simbolului 0+0 se scrie +0. În mod similar, dacă x→a și în același timp x a-0. Numerele și sunt denumite în consecință. limita dreaptași limita stângă funcții f(x) la punct A. Pentru ca limita funcției f(x) să existe ca x→a este necesar şi suficient pentru . Se numește funcția f(x). continuu la punct x 0 dacă limită

. (6.15)

Condiția (6.15) poate fi rescrisă ca:

,

adică trecerea la limita sub semnul unei funcţii este posibilă dacă aceasta este continuă într-un punct dat.

Dacă egalitatea (6.15) este încălcată, atunci spunem că la x = xo funcţie f(x) Are decalaj. Se consideră funcția y = 1/x. Domeniul acestei funcții este mulțimea R, cu excepția x = 0. Punctul x = 0 este un punct limită al mulțimii D(f), deoarece în oricare din vecinătățile sale, adică, orice interval deschis care conține punctul 0 conține puncte din D(f), dar el însuși nu aparține acestei mulțimi. Valoarea f(x o)= f(0) nu este definită, deci funcția are o discontinuitate în punctul x o = 0.

Se numește funcția f(x). continuă pe dreapta într-un punct x o dacă limită

,

și continuu pe stanga intr-un punct x o dacă limită

.

Continuitatea unei funcții într-un punct x o este echivalentă cu continuitatea sa în acest punct atât în ​​dreapta cât și în stânga.

Pentru ca o funcție să fie continuă într-un punct x o, de exemplu, în dreapta, este necesar, în primul rând, să existe o limită finită , iar în al doilea rând, ca această limită să fie egală cu f(x o). Prin urmare, dacă cel puțin una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, atunci funcția va avea un decalaj.

1. Dacă limita există și nu este egală cu f(x o), atunci ei spun că funcţie f(x) la punct xo are pauză de primul fel, sau a sari.

2. Dacă limita este+∞ sau -∞ sau nu există, atunci spunem că în punct x o funcția are pauză al doilea fel.

De exemplu, funcția y = ctg x la x→ +0 are o limită egală cu +∞, prin urmare, în punctul x=0 are o discontinuitate de al doilea fel. Funcția y = E(x) (parte întreagă a X) în punctele cu abscise întregi are discontinuități de primul fel, sau salturi.

Se numește o funcție care este continuă în fiecare punct al intervalului continuuîn . O funcție continuă este reprezentată printr-o curbă solidă.

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă. Astfel de sarcini, de exemplu, includ: creșterea contribuției conform legii dobânzii compuse, creșterea populației țării, degradarea unei substanțe radioactive, înmulțirea bacteriilor etc.

Considera exemplu de Ya. I. Perelman, care dă interpretarea numărului eîn problema dobânzii compuse. Număr e există o limită . În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă conexiunea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, extrem de simplificat. Lasă banca să pună 100 de den. unitati la rata de 100% pe an. Dacă banii purtători de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până la acest moment 100 den. unitati se va transforma in 200 den. Acum să vedem în ce se vor transforma 100 de den. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. Dupa o jumatate de an 100 den. unitati creste pana la 100× 1,5 \u003d 150, iar după alte șase luni - la 150× 1,5 \u003d 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati transforma in 100× (1 +1/3) 3 » 237 (den. unităţi). Vom mări intervalul de timp pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, 0,01 an, 0,001 an și așa mai departe. Apoi din 100 den. unitati un an mai tarziu:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Cu o reducere nelimitată a termenelor de participare, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul plasat la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată ar fi fost adăugat la capital în fiecare secundă deoarece limita

Exemplul 3.1.Folosind definiția limitei unei secvențe de numere, demonstrați că șirul x n =(n-1)/n are o limită egală cu 1.

Decizie.Trebuie să dovedim asta indiferentε > 0 luăm, pentru el există un număr natural N astfel încât pentru tot n N inegalitatea|xn-1|< ε.

Luați orice e > 0. Deoarece ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, atunci pentru a găsi N este suficient să rezolvi inegalitatea 1/n< e. Prin urmare n>1/ e și, prin urmare, N poate fi luat ca parte întreagă a lui 1/ e, N = E(1/ e ). Am demonstrat astfel că limita .

Exemplul 3.2 . Aflați limita unei șiruri date de un termen comun .

Decizie.Aplicați teorema sumei limită și găsiți limita fiecărui termen. Pentru n→ ∞ numărătorul și numitorul fiecărui termen tinde spre infinit și nu putem aplica direct teorema limitei coeficientului. Prin urmare, mai întâi ne transformăm x n, împărțind numărătorul și numitorul primului termen la n 2, iar al doilea n. Apoi, aplicând teorema limitei coeficientului și teorema limitei sumei, găsim:

.

Exemplul 3.3. . A găsi .

Decizie. .

Aici am folosit teorema limitei gradului: limita unui grad este egală cu gradul limitei bazei.

Exemplul 3.4 . A găsi ( ).

Decizie.Este imposibil să se aplice teorema limitei diferențelor, deoarece avem o incertitudine a formei ∞-∞ . Să transformăm formula termenului general:

.

Exemplul 3.5 . Având în vedere o funcție f(x)=2 1/x . Demonstrați că limita nu există.

Decizie.Folosim definiția 1 a limitei unei funcții în termeni de succesiune. Luați o secvență ( x n ) care converge la 0, adică. Să arătăm că valoarea f(x n)= se comportă diferit pentru secvențe diferite. Fie x n = 1/n. Evident, atunci limita Să alegem acum ca x n o secvență cu un termen comun x n = -1/n, de asemenea, tinde spre zero. Prin urmare, nu există limită.

Exemplul 3.6 . Demonstrați că limita nu există.

Decizie.Fie x 1 , x 2 ,..., x n ,... o succesiune pentru care
. Cum se comportă șirul (f(x n)) = (sin x n ) pentru diferite x n → ∞

Dacă x n \u003d p n, atunci sin x n \u003d sin p n = 0 pentru toate n si limita Daca
xn=2 p n+ p /2, atunci sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pentru toate n si de aici limita. Astfel nu există.

Widget pentru calcularea limitelor on-line

În caseta de sus, în loc de sin(x)/x, introduceți funcția a cărei limită doriți să o găsiți. În caseta de jos, introduceți numărul la care tinde x și faceți clic pe butonul Calculator, obțineți limita dorită. Și dacă faceți clic pe Afișare pași în colțul din dreapta sus în fereastra de rezultate, veți obține o soluție detaliată.

Reguli de introducere a funcției: sqrt(x) - rădăcină pătrată, cbrt(x) - rădăcină cubă, exp(x) - exponent, ln(x) - logaritm natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangentă, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangent. Semne: * înmulțire, / împărțire, ^ exponențiere, în loc de infinit Infinit. Exemplu: funcția este introdusă ca sqrt(tan(x/2)).

Fie definită funcția y=ƒ(x) într-o vecinătate a punctului x o, cu excepția, poate, a punctului x o însuși.

Să formulăm două definiții echivalente ale limitei unei funcții într-un punct.

Definiția 1 (în „limbajul secvențelor”, sau după Heine).

Numărul A se numește limita funcției y \u003d ƒ (x) în cuptorul x 0 (sau la x® x o), dacă pentru orice succesiune de valori admisibile ale argumentului x n, n є N (x n ¹ x 0) convergând la x o succesiunea valorilor corespunzătoare ale funcției ƒ(х n), n є N, converge către numărul A

În acest caz, scrieți
sau ƒ(x)->A la x→x o. Semnificația geometrică a limitei unei funcții: înseamnă că pentru toate punctele x suficient de aproape de punctul x o, valorile corespunzătoare ale funcției diferă în mod arbitrar puțin de numărul A.

Definiția 2 (în „limba lui ε”, sau după Cauchy).

Numărul A se numește limita funcției în punctul x o (sau în x→x o) dacă pentru orice ε pozitiv există un număr pozitiv δ astfel încât pentru toate x¹ x o care satisfac inegalitatea |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Semnificația geometrică a limitei funcției:

dacă pentru orice vecinătate ε a punctului A există o astfel de vecinătate δ a punctului x o astfel încât pentru toate x¹ ho din această vecinătate δ valorile corespunzătoare ale funcției ƒ(x) se află în vecinătatea ε a punctului A. Cu alte cuvinte, punctele graficului funcției y = ƒ(x) se află în interiorul unei fâșii de lățime 2ε mărginite de drepte y=A+ ε , y=A-ε (vezi Fig. 110) . Evident, valoarea lui δ depinde de alegerea lui ε, deci scriem δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Demonstrează asta

Rezolvare: Luați un ε>0 arbitrar, găsiți δ=δ(ε)>0 astfel încât pentru tot x care satisface inegalitatea |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Luând δ=ε/2, vedem că pentru tot x care satisface inegalitatea |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Limite unilaterale

În definirea limitei funcției, se consideră că x tinde spre x 0 în orice fel: rămânând mai mic decât x 0 (în stânga x 0), mai mare decât x o (în dreapta lui x o), sau fluctuant. în jurul punctului x 0 .

Există cazuri când metoda de abordare a argumentului x la xo afectează semnificativ valoarea limitei funcției. Prin urmare, este introdus conceptul de limite unilaterale.

Numărul A 1 se numește limita funcției y \u003d ƒ (x) din stânga în punctul x o, dacă pentru orice număr ε> 0 există un număr δ \u003d δ (ε)> 0 astfel încât pentru x є (x 0 -δ; x o), inegalitatea |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 sau pe scurt: ƒ (x o- 0) \u003d A 1 (notația Dirichlet) (vezi Fig. 111).

Limita funcției din dreapta este definită în mod similar, o scriem folosind simboluri:

Pe scurt, limita din dreapta se notează cu ƒ(x o +0)=A.

Limitele unei funcții din stânga și din dreapta se numesc limite unilaterale. Evident, dacă există, atunci există ambele limite unilaterale și A=A 1 =A 2 .

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă ambele limite ƒ(x 0 -0) și ƒ(x 0 +0) există și sunt egale, atunci există o limită și A \u003d ƒ(x 0 -0).

Dacă A 1 ¹ A 2, atunci acest culoar nu există.

16.3. Limita funcției la x ® ∞

Fie definită funcția y=ƒ(x) în intervalul (-∞;∞). Se numește numărul A limita functieiƒ(x) la x→ ∞ , dacă pentru orice număr pozitiv ε există un astfel de număr М=М()>0 încât pentru toate х care satisfac inegalitatea |х|>М inegalitatea |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Sensul geometric al acestei definiții este următorul: pentru „ε>0 $ M>0, că pentru x є(-∞; -M) sau x є(M; +∞) valorile corespunzătoare ale funcției ƒ( x) se încadrează în vecinătatea ε a punctului A , adică punctele graficului se află într-o fâșie de lățime 2ε, delimitată de linii drepte y \u003d A + ε și y \u003d A-ε (vezi Fig. 112 ).

16.4. Funcție infinit de mare (b.b.f.)

Funcția y=ƒ(x) se numește infinit mare pentru x→x 0 dacă pentru orice număr M>0 există un număr δ=δ(M)>0, care pentru tot x care satisface inegalitatea 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

De exemplu, funcția y=1/(x-2) este un b.b.f. la x->2.

Dacă ƒ(x) tinde spre infinit ca x→x o și ia doar valori pozitive, atunci scriem

dacă numai valori negative, atunci

Funcția y \u003d ƒ (x), dată pe întreaga linie numerică, numit infinit pentru x→∞, dacă pentru orice număr M>0 există un număr N=N(M)>0 astfel încât pentru tot x care satisface inegalitatea |x|>N, inegalitatea |ƒ(x)|>M este satisfăcută . Mic de statura:

De exemplu, y=2x are un b.b.f. la x→∞.

Rețineți că dacă argumentul х, care tinde spre infinit, ia numai valori naturale, adică хєN, atunci b.b.f corespunzătoare. devine o succesiune infinit de mare. De exemplu, șirul v n =n 2 +1, n є N, este o secvență infinit de mare. Evident, fiecare b.b.f. într-o vecinătate a punctului x o este nemărginit în această vecinătate. Reversul nu este adevărat: o funcție nemărginită poate să nu fie un b.b.f. (De exemplu, y=xsinx.)

Totuși, dacă limƒ(x)=A pentru x→x 0 , unde A este un număr finit, atunci funcția ƒ(x) este mărginită în vecinătatea punctului x o.

Într-adevăr, din definiția limitei funcției rezultă că pentru x → x 0 condiția |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Astăzi la lecție vom analiza secvențiere strictăși definirea strictă a limitei unei funcții, precum și să învețe cum să rezolve problemele corespunzătoare de natură teoretică. Articolul este destinat în primul rând studenților din anul I de științe naturale și specialități de inginerie care au început să studieze teoria analizei matematice și au întâmpinat dificultăți în înțelegerea acestei secțiuni a matematicii superioare. În plus, materialul este destul de accesibil elevilor de liceu.

De-a lungul anilor de existență a site-ului, am primit o duzină nemiloasă de scrisori cu aproximativ următorul conținut: „Nu înțeleg bine analiza matematică, ce să fac?”, „Nu înțeleg deloc matan, eu' mă gândesc să renunț la studii” etc. Într-adevăr, matanul este cel care deseori subțiază grupul de studenți chiar după prima sesiune. De ce sunt lucrurile așa? Pentru că subiectul este de neconceput de complex? Deloc! Teoria analizei matematice nu este atât de dificilă pe cât este deosebită. Și trebuie să o accepți și să o iubești pentru cine este =)

Să începem cu cel mai dificil caz. În primul rând, nu abandona școala. Înțelege corect, renunță, va avea timp mereu ;-) Bineînțeles, dacă într-un an sau doi din specialitatea aleasă te va îmbolnăvi, atunci da - ar trebui să te gândești la asta (și să nu bată febra!) despre schimbarea activităților. Dar deocamdată merită să continui. Și, vă rog, uitați expresia „Nu înțeleg nimic” - nu se întâmplă să nu înțelegeți absolut nimic.

Ce să faci dacă teoria este proastă? Apropo, acest lucru se aplică nu numai analizei matematice. Dacă teoria este proastă, atunci mai întâi trebuie să puneți SERIOZ în practică. În același timp, două sarcini strategice sunt rezolvate simultan:

– În primul rând, o proporție semnificativă a cunoștințelor teoretice a fost obținută prin practică. Și atât de mulți oameni înțeleg teoria prin... - așa este! Nu, nu, nu te-ai gândit la asta.

- Și, în al doilea rând, abilitățile practice sunt foarte probabil să te „întindă” la examen, chiar dacă..., dar să nu ne acordăm așa! Totul este real și totul este cu adevărat „ridicat” într-un timp destul de scurt. Analiza matematică este secțiunea mea preferată de matematică superioară și, prin urmare, pur și simplu nu m-am putut abține să nu vă dau o mână de ajutor:

La începutul semestrului I, limitele de secvență și limitele de funcție trec de obicei. Nu înțelegi ce este și nu știi cum să le rezolvi? Începe cu un articol Limite de funcționare, în care conceptul în sine este considerat „pe degete” și sunt analizate cele mai simple exemple. Apoi lucrați prin alte lecții pe acest subiect, inclusiv o lecție despre în cadrul secvenţelor, asupra căruia de fapt am formulat deja o definiție riguroasă.

Ce icoane, în afară de semnele de inegalitate și modul, cunoașteți?

- un baston vertical lung citește astfel: „astfel care”, „astfel care”, „astfel că” sau „astfel că”, în cazul nostru, evident, vorbim despre un număr - deci „astfel încât”;

- pentru toate „en” mai mari decât ;

– semnul modulului înseamnă distanță, adică această intrare ne spune că distanța dintre valori este mai mică decât epsilon.

Ei bine, este greu de moarte? =)

După stăpânirea practicii, vă aștept în următorul paragraf:

Într-adevăr, să ne gândim puțin - cum să formulezi o definiție riguroasă a unei secvențe? ... Primul lucru care îmi vine în minte în lumină sesiune practica: „limita unei secvențe este numărul de care membrii secvenței se apropie la infinit.”

Bine, hai să scriem ulterior :

Este ușor de înțeles asta ulterior se apropie infinit de -1 și termeni pari - la „unitate”.

Poate două limite? Dar atunci de ce nu poate o secvență să aibă zece sau douăzeci dintre ele? Așa poți ajunge departe. În acest sens, este logic să presupunem că dacă secvența are o limită, atunci este unică.

Notă : secvența nu are limită, dar de ea se pot distinge două subsecvențe (vezi mai sus), fiecare având propria sa limită.

Astfel, definiția de mai sus se dovedește a fi insuportabilă. Da, funcționează pentru cazuri precum (pe care nu l-am folosit corect în explicațiile simplificate ale exemplelor practice), dar acum trebuie să găsim o definiție strictă.

Încercarea a doua: „limita unei secvențe este numărul pe care TOȚI membrii secvenței îl abordează, cu excepția, poate, a lor. final cantități.” Acest lucru este mai aproape de adevăr, dar încă nu este complet exact. Deci, de exemplu, secvența jumătate dintre membri nu se apropie deloc de zero - pur și simplu sunt egali cu acesta =) Apropo, „lumina intermitentă” ia în general două valori fixe.

Formularea nu este greu de clarificat, dar apoi apare o altă întrebare: cum să scrieți definiția în termeni matematici? Lumea științifică s-a luptat mult timp cu această problemă până când situația a fost rezolvată. maestru celebru, care, în esență, a oficializat analiza matematică clasică în toată rigoarea ei. Cauchy s-a oferit să opereze împrejurimi care a avansat mult teoria.

Luați în considerare un punct și acesta arbitrar-Cartier:

Valoarea lui „epsilon” este întotdeauna pozitivă și, în plus, avem dreptul să o alegem noi înșine. Să presupunem că vecinătatea dată conține un set de termeni (nu neaparat toate) o anumită secvență. Cum să notez faptul că, de exemplu, al zecelea termen a căzut în cartier? Lasă-l pe partea dreaptă a ei. Apoi, distanța dintre puncte și ar trebui să fie mai mică decât „epsilon”: . Cu toate acestea, dacă „x zecimea” este situată la stânga punctului „a”, atunci diferența va fi negativă și, prin urmare, semnul trebuie adăugat la acesta. modul: .

Definiție: un număr se numește limita unei secvențe dacă pentru oriceîmprejurimile sale (preselectat) există un număr natural – AȘA încât TOATE membrii secvenței cu numere mai mari vor fi în interiorul cartierului:

Sau mai scurt: dacă

Cu alte cuvinte, oricât de mică ar fi valoarea „epsilonului” pe care o luăm, mai devreme sau mai târziu „coada infinită” a secvenței va fi COMPLET în acest cartier.

Deci, de exemplu, „coada infinită” a secvenței FULLY intră în orice vecinătate arbitrar mică a punctului. Astfel, această valoare este limita secvenței prin definiție. Vă reamintesc că se numește o secvență a cărei limită este zero infinitezimal.

Trebuie remarcat faptul că pentru secvență nu se mai poate spune „coadă infinită va veni”- membrii cu numere impare sunt de fapt egali cu zero și „nu mergeți nicăieri” \u003d) De aceea, verbul „va ajunge” este folosit în definiție. Și, desigur, membrii unei astfel de secvențe, de asemenea, „nu merg nicăieri”. Apropo, verificați dacă numărul va fi limita.

Să arătăm acum că succesiunea nu are limită. Luați în considerare, de exemplu, o vecinătate a punctului . Este destul de clar că nu există un astfel de număr, după care TOȚI membrii vor fi în cartierul dat - membrii impari vor „sări” întotdeauna la „minus unu”. Dintr-un motiv similar, nu există nicio limită la punctul .

Fixați materialul cu practică:

Exemplul 1

Demonstrați că limita șirului este zero. Specificați numărul după care se garantează că toți membrii secvenței se află în orice vecinătate arbitrar mică a punctului.

Notă : pentru multe secvențe, numărul natural dorit depinde de valoare - de unde notația .

Decizie: considera arbitrar va fi acolo număr - astfel încât TOȚI membrii cu numere mai mari se vor afla în acest cartier:

Pentru a arăta existența numărului necesar, exprimăm în termeni de .

Deoarece pentru orice valoare „en”, atunci semnul modulului poate fi eliminat:

Folosim acțiuni „școlare” cu inegalități pe care le-am repetat la lecții Inegalități liniareși Domeniul de aplicare a funcției. În acest caz, o circumstanță importantă este că „epsilon” și „en” sunt pozitive:

Deoarece în stânga vorbim despre numere naturale, iar partea dreaptă este în general fracțională, trebuie rotunjită:

Notă : uneori se adaugă o unitate la dreptul de reasigurare, dar de fapt aceasta este o exagerare. Relativ vorbind, dacă slăbim și rezultatul prin rotunjirea în jos, atunci cel mai apropiat număr potrivit („trei”) va satisface totuși inegalitatea inițială.

Și acum ne uităm la inegalitate și ne amintim că inițial am luat în considerare arbitrar-cartier, i.e. „epsilon” poate fi egal cu oricine număr pozitiv.

Concluzie: pentru orice vecinătate arbitrar mică a punctului, valoarea . Astfel, un număr este limita unei secvențe prin definiție. Q.E.D.

Apropo, din rezultat un model natural este clar vizibil: cu cât este mai mic -vecinația, cu atât este mai mare numărul după care TOȚI membrii secvenței vor fi în acest cartier. Dar oricât de mic este „epsilonul”, va exista întotdeauna o „coadă infinită” înăuntru și în exterior – chiar dacă este mare, totuși final numarul de membri.

Cum sunt impresiile? =) Sunt de acord că este ciudat. Dar strict! Vă rugăm să recitiți și să vă gândiți din nou.

Luați în considerare un exemplu similar și familiarizați-vă cu alte tehnici:

Exemplul 2

Decizie: prin definirea unei secvente, este necesar sa se demonstreze ca (Vorbește cu voce tare!!!).

Considera arbitrar-vecinatatea punctului si verifica, există oare număr natural - astfel încât pentru toate numerele mai mari să fie valabilă următoarea inegalitate:

Pentru a arăta existența unui astfel de , trebuie să exprimați „en” prin „epsilon”. Simplificam expresia sub semnul modulului:

Modulul distruge semnul minus:

Numitorul este pozitiv pentru orice „en”, prin urmare, bastoanele pot fi îndepărtate:

Amestecare:

Acum ar trebui să luăm rădăcina pătrată, dar problema este că pentru unii „epsiloni” partea dreaptă va fi negativă. Pentru a evita acest necaz hai sa intarim modul de inegalitate:

De ce se poate face asta? Dacă, relativ vorbind, se dovedește că , atunci condiția va fi îndeplinită și mai mult. Modulul poate doar crește numărul dorit și asta ne va convine și nouă! Aproximativ vorbind, dacă suta este potrivită, atunci a două sute va fi potrivită! Conform definiției, trebuie să arăți însăşi existenţa numărului(cel puțin unii), după care toți membrii secvenței vor fi în vecinătate. Apropo, de aceea nu ne este frică de rotunjirea finală a părții drepte în sus.

Extragerea rădăcinii:

Și rotunjește rezultatul:

Concluzie: deoarece valoarea lui „epsilon” a fost aleasă în mod arbitrar, apoi pentru orice vecinătate arbitrar mică a punctului, valoarea , astfel încât inegalitatea . Prin urmare, a-prioriu. Q.E.D.

recomand in mod deosebitînțelege întărirea și slăbirea inegalităților - acestea sunt metode tipice și foarte comune de analiză matematică. Singurul lucru de care aveți nevoie pentru a monitoriza corectitudinea acestei acțiuni sau aceleia. Deci, de exemplu, inegalitatea în nici un caz slăbiți, scăzând, să spunem, unul:

Din nou, condiționat: dacă numărul se potrivește exact, atunci s-ar putea ca cel precedent să nu se mai potrivească.

Următorul exemplu este pentru o soluție autonomă:

Exemplul 3

Folosind definiția unei secvențe, demonstrați că

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.

Dacă succesiunea infinit de grozav, atunci definiția limitei este formulată într-un mod similar: un punct se numește limita unei secvențe dacă pentru oricare, arbitrar de mare există un număr astfel încât pentru toate numerele mai mari, inegalitatea va fi satisfăcută. Numărul este sunat vecinătatea punctului „plus infinit”:

Cu alte cuvinte, indiferent cât de mare este valoarea pe care o luăm, „coada infinită” a secvenței va merge neapărat în vecinătatea punctului , lăsând doar un număr finit de termeni în stânga.

Exemplu de lucru:

Și o notație prescurtată: dacă

Pentru cazul, scrieți singur definiția. Versiunea corectă este la sfârșitul lecției.

După ce ți-ai „umplut” mâna cu exemple practice și ai dat seama de definiția limitei unei secvențe, poți apela la literatura despre analiză matematică și/sau cartea de prelegeri. Recomand să descărcați primul volum din Bohan (mai ușor - pentru studenții cu fracțiune de normă)și Fikhtengoltz (mai detaliat și amănunțit). Dintre ceilalți autori, îl consiliez pe Piskunov, al cărui curs este axat pe universitățile tehnice.

Încercați să studiați cu conștiință teoremele care privesc limita șirului, demonstrațiile lor, consecințele. La început, teoria poate părea „înnoră”, dar acest lucru este normal - este nevoie doar de puțină obișnuire. Și mulți chiar vor avea un gust!

Definirea strictă a limitei unei funcții

Să începem cu același lucru - cum să formulăm acest concept? Definiția verbală a limitei unei funcții este formulată mult mai simplu: „un număr este limita unei funcții, dacă „x” tinde spre (atat la stanga cat si la dreapta), valorile corespunzătoare ale funcției tind să » (vezi desen). Totul pare a fi normal, dar cuvintele sunt cuvinte, sensul este sens, o icoană este o icoană, iar notația matematică strictă nu este suficientă. Și în al doilea paragraf, ne vom familiariza cu două abordări pentru rezolvarea acestei probleme.

Să fie definită funcția pe un anumit interval, cu excepția, eventual, a punctului . În literatura educațională, este general acceptat că funcția acolo nu definit:

Această alegere evidențiază esența limitei funcției: "X" infinit de aproape abordări, iar valorile corespunzătoare ale funcției sunt infinit de aproape la . Cu alte cuvinte, conceptul de limită nu implică o „abordare exactă” a punctelor și anume aproximare infinit de apropiată, nu contează dacă funcția este definită la punct sau nu.

Prima definiție a limitei unei funcții, nu este surprinzător, este formulată folosind două secvențe. În primul rând, conceptele sunt legate, iar în al doilea rând, limitele funcțiilor sunt de obicei studiate după limitele secvențelor.

Luați în considerare succesiunea puncte (nu pe desen) aparţinând intervalului şi în afară de, care converge la . Apoi, valorile corespunzătoare ale funcției formează și o secvență numerică, ai cărei membri sunt localizați pe axa y.

Limita funcției Heine pentru orice secvențe de puncte (aparținând și diferit de), care converge către punctul , secvența corespunzătoare de valori ale funcției converge către .

Eduard Heine este un matematician german. ... Și nu e nevoie să te gândești la așa ceva, există un singur gay în Europa - acesta este Gay-Lussac =)

S-a construit a doua definiție a limitei... da, da, ai dreptate. Dar mai întâi, să ne uităm la designul său. Luați în considerare o vecinătate arbitrară a punctului cartier („negru”). Pe baza paragrafului anterior, notația înseamnă că ceva valoare funcția este situată în interiorul mediului „epsilon”.

Acum să găsim -neighborhood care corespunde cartierului - dat (desenați mental linii punctate negre de la stânga la dreapta și apoi de sus în jos). Rețineți că valoarea este aleasă pe lungimea segmentului mai mic, în acest caz, pe lungimea segmentului mai scurt din stânga. Mai mult decât atât, vecinătatea „crimson” a unui punct poate fi chiar redusă, deoarece în următoarea definiție însuși faptul existenței este important acest cartier. Și, în mod similar, intrarea înseamnă că o anumită valoare se află în cartierul „delta”.

Limita Cauchy a unei funcții: numărul se numește limita funcției în punctul dacă pentru orice preselectate Cartier (arbitrar mic), exista- vecinătatea punctului, ASTFEL DE că: CA NUMAI valori (Deținut) incluse în acest domeniu: (săgeți roșii)- DECI IMMEDIAT, valorile corespunzătoare ale funcției sunt garantate să intre în vecinătate: (săgeți albastre).

Trebuie să vă avertizez că, de dragul clarității, am improvizat puțin, așa că nu abuzați =)

Stenografia: dacă

Care este esența definiției? Figurat vorbind, prin scăderea infinită a cartierului, „însoțem” valorile funcției până la limita ei, ne lăsând nicio alternativă pentru a se apropia de altundeva. Destul de neobișnuit, dar din nou strict! Pentru a înțelege corect, recitiți din nou formularea.

! Atenţie: dacă trebuie doar să formulezi definiţie după Heine sau numai Definiție Cauchy te rog nu uita semnificativ comentariu preliminar: „Luați în considerare o funcție care este definită pe un anumit interval, cu excepția poate unui punct”. Am spus acest lucru o dată la început și nu l-am repetat de fiecare dată.

Conform teoremei corespunzătoare de analiză matematică, definițiile Heine și Cauchy sunt echivalente, dar a doua variantă este cea mai cunoscută (încă ar fi!), care se mai numește și „limita pe limbă”:

Exemplul 4

Folosind definiția unei limite, demonstrați că

Decizie: funcţia este definită pe întreaga linie numerică cu excepţia punctului . Folosind definiția lui , demonstrăm existența unei limite la un punct dat.

Notă : magnitudinea cartierului „delta” depinde de „epsilon”, de unde denumirea

Considera arbitrar-Cartier. Sarcina este să folosiți această valoare pentru a verifica dacă există oare- Cartier, ASTFEL DE, care din inegalitate urmează inegalitatea .

Presupunând că , transformăm ultima inegalitate:
(descompune trinomul pătrat)

Luați în considerare o funcție %%f(x)%% definită cel puțin într-o zonă perforată %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% din punctul %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% linie numerică extinsă.

Conceptul de limită după Cauchy

Numărul %%A \in \mathbb(R)%% este numit limita functiei%%f(x)%% la %%a \in \mathbb(R)%% (sau când %%x%% tinde spre %%a \in \mathbb(R)%%) dacă, indiferent de pozitiv numărul %%\varepsilon%% este, există un număr pozitiv %%\delta%% astfel încât pentru toate punctele din vecinătatea punctului %%\delta%% a punctului %%a%% valorile funcției aparțin %%\varepsilon %%-cartierul punctului %%A%%, sau

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Această definiție se numește definiția în limbajul %%\varepsilon%% și %%\delta%%, propusă de matematicianul francez Augustin Cauchy și a fost folosită de la începutul secolului al XIX-lea până în prezent, deoarece are rigoare și acuratețe matematică.

Combinând diferite vecinătăți ale punctului %%a%% cum ar fi %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text( U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^- ( a) %% cu cartierele %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \text( U) _\varepsilon (-\infty)%%, obținem 24 de definiții ale limitei Cauchy.

sens geometric

Sensul geometric al limitei unei funcții

Să aflăm care este sensul geometric al limitei unei funcții într-un punct. Să diagramăm funcția %%y = f(x)%% și să marchem punctele %%x = a%% și %%y = A%% pe ea.

Limita funcției %%y = f(x)%% în punctul %%x \to a%% există și este egală cu A dacă pentru orice %%\varepsilon%%-vecinația punctului %%A% % se poate specifica o astfel de %%\ delta%%-vecinătate a punctului %%a%%, astfel încât pentru orice %%x%% din acest %%\delta%%-vecinătate, valoarea %%f(x )%% va fi în punctele de vecinătate %%\varepsilon%% %%A%%.

Rețineți că, conform definiției Cauchy a limitei unei funcții, pentru existența unei limite la %%x \to a%%, nu contează ce valoare ia funcția chiar în punctul %%a%%. Puteți da exemple în care funcția nu este definită când %%x = a%% sau ia o altă valoare decât %%A%%. Cu toate acestea, limita poate fi %%A%%.

Definiția limitei Heine

Elementul %%A \in \overline(\mathbb(R))%% se numește limita funcției %%f(x)%% la %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , dacă pentru orice secvență %%\(x_n\) \la un%% din domeniu, secvența valorilor corespunzătoare ​​%%\big\(f(x_n)\big\)%% tinde la %%A%%.

Definiția limitei după Heine este convenabil de utilizat atunci când există îndoieli cu privire la existența limitei unei funcții la un punct dat. Dacă este posibil să construiți cel puțin o secvență %%\(x_n\)%% cu o limită în punctul %%a%% astfel încât secvența %%\big\(f(x_n)\big\)%% nu are limită, atunci putem concluziona că funcția %%f(x)%% nu are nicio limită în acest moment. Dacă pentru doi variat secvențele %%\(x"_n\)%% și %%\(x""_n\)%% având la fel limită %%a%%, secvențele %%\big\(f(x"_n)\big\)%% și %%\big\(f(x""_n)\big\)%% au variat limite, atunci în acest caz nici limita funcției %%f(x)%% nu există.

Exemplu

Fie %%f(x) = \sin(1/x)%%. Să verificăm dacă limita acestei funcții există în punctul %%a = 0%%.

Alegem mai întâi o secvență $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) care converge în acest punct. $$

Este clar că %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% și %%\lim (x_n) = 0%%. Apoi %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% și %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Apoi luați șirul $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

pentru care %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% și %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. În mod similar, pentru secvența $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \dreapta\), $$

de asemenea, convergând către punctul %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

Toate cele trei secvențe au dat rezultate diferite, ceea ce contrazice condiția definiției Heine, i.e. această funcție nu are limită în punctul %%x = 0%%.

Teorema

Definirea limitei după Cauchy și după Heine sunt echivalente.