Când ne gândim la rezolvarea unei anumite probleme, este necesar să fim atenți la ce cantități sunt folosite în ea. Întregul sau fracționat? Pozitiv sau negativ? La urma urmei, un detaliu nesemnificativ ajută nu numai la eliminarea unei erori în rezolvarea unei anumite probleme, ci și la găsirea soluției în sine. Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Lasă-l pe Misha (îmi cer scuze în avans dacă vizitatorul site-ului este Mihail) să aibă monede de cinci ruble și, să zicem, de opt ruble. Sunt treizeci și nouă de ruble în total. Câte monede de cinci ruble și câte monede de opt ruble are Misha.

Se pare că nu există suficiente date aici, dacă, de exemplu, x indică numărul de monede de 5 ruble și y - monede de 8 ruble, atunci starea problemei în sine ne permite să scriem o singură ecuație:

Acestea și alte ecuații și sistemele lor, în care numărul de necunoscute depășește numărul de ecuații, se numesc nedefinite.

Se poate observa din condiția că numărul de monede nu poate fi măsurat prin numere neîntregi sau negative. Deci, dacă x este un număr întreg nenegativ, atunci:

trebuie să fie nenegativ și întreg. Aceasta înseamnă că expresia 39 - 5x trebuie să fie divizibilă cu 8. Cu ajutorul selecției, vă puteți asigura că acest lucru este posibil cu x = 3. Prin urmare, y = 3.

Numerarea opțiunilor nu este convenabilă atunci când lucrăm cu numere mari. Este mult mai bine să folosiți metoda împrăștierii sau metoda coborârii, care a fost inventată de matematicienii indieni antici. Metoda de coborâre va fi discutată mai jos.

(material preluat din enciclopedia Avanta+ „Matematică”)

Să continuăm luarea în considerare a unei ecuații nedefinite de forma:

unde a, b, c sunt coeficienți întregi cunoscuți.

Să aruncăm o privire la asta cu un exemplu familiar:

Alegem necunoscuta cu cel mai mic coeficient și o exprimăm în termenii unei alte necunoscute:

Acum să selectăm întreaga parte:

Numărul întreg va fi un număr întreg dacă valoarea (4 - 3y) / 5 se dovedește a fi un număr întreg. Acest lucru este posibil doar atunci când numărul (4 - 3y) este divizibil cu 5 fără rest. Introducând o variabilă întreagă suplimentară z, ​​scriem ultima condiție sub forma

Am ajuns la o ecuație de același tip cu cea inițială, dar cu coeficienți mai mici. Acum trebuie să o rezolvi în raport cu variabilele y și z.

Continuăm să acționăm pe același principiu:

Pentru ca y să se dovedească un număr întreg, este necesar ca numărul 1 - 2z să fie divizibil cu 3 fără rest: 1 - 2z = 3u (a fost introdusă din nou o variabilă suplimentară u, care ia doar valori întregi) . De aici, conform schemei deja elaborate, obținem:

Să continuăm... Numărul z va fi un întreg dacă numărul 1 - u este divizibil cu 2 fără rest: 1 - u = 2v, unde v este un număr întreg arbitrar. Prin urmare u =1 - 2v. Nu mai sunt lovituri, coborarea s-a terminat.

Rămâne acum în siguranță „să se ridice”. Să exprimăm în termeni ai variabilei v mai întâi z, apoi y și în final x:

Formulele x = 3 + 8v, y = 3 - 5v reprezintă soluția generală a ecuației inițiale în numere întregi. Și dacă ne interesează doar numerele întregi nenegative, atunci dintre toate soluțiile întregi trebuie să le alegem pe cele pentru care

Rezolvarea acestei ecuații înseamnă:

1) determinați setul de valori admisibile ale necunoscutului și parametrilor;

2) pentru fiecare sistem admisibil de valori ale parametrilor, găsiți seturile corespunzătoare de soluții ale ecuațiilor.

Cea mai simplă ecuație de gradul întâi cu o necunoscută are forma ax-b=0.

Când ecuația are o soluție unică, care va fi: pozitivă, dacă sau; nul dacă; negativ dacă sau.

Dacă a=0, atunci există un număr infinit de soluții pentru b=0 și nu există soluții pentru b0.

Exemplul 1. Pentru fiecare valoare a lui a, rezolvați ecuația; găsiți pentru care și rădăcinile sunt mai mari decât zero.

Această ecuație nu este o ecuație liniară (adică este o fracție), dar pentru x-1 și x0 se reduce la aceasta: sau a-1-x=0.

Am identificat deja valorile admisibile ale lui x (x-1 și x0), acum vom dezvălui valorile admisibile ale parametrului a:

a-1-x=0 a=x+1

Din aceasta se poate observa că la x0 a1, iar la x-1 a0.

Astfel, pentru a1 și a0 x=a-1 și această rădăcină este mai mare decât zero pentru a>1.

Răspuns: la a<0 х=а-1; при решений нет, а при a>1 rădăcini sunt pozitive.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația (1).

Valorile valide ale lui k și x vor fi valorile pentru care.

Să aducem ecuația la cea mai simplă formă:

(9 - k)x =3k-12 (2)

Să găsim k pentru care ecuația inițială nu are sens:

Înlocuind în (2) , obținem:

Dacă înlocuim, obținem același lucru.

Astfel, la , ecuația (1) nu are semnificație numerică, adică sunt valori nevalide ale parametrului k pentru (1). La , putem rezolva doar ecuația (2).

1. Dacă, atunci ecuația (2) și împreună cu ea ecuația (1) au o soluție unică, care va fi:

a) pozitiv dacă, la 4

b) zero dacă;

c) negativ dacă și k>9, ținând cont

Noi primim.

2. Dacă, atunci ecuația (2) nu are soluții.

Răspuns: a) pentru și, și x>0 pentru; x=0 pentru k=4; X<0 при;

b) la , ecuația nu are soluții.

Rezolvarea ecuațiilor liniare cu modul

Pentru început, merită să ne amintim care este modulul unui număr. Deci, valoarea absolută sau modulul unui număr este numărul x însuși, dacă x este pozitiv, numărul (-x), dacă x este negativ, sau zero, dacă x=0. Valoarea modulului poate fi doar pozitivă.

Pentru a înțelege soluția ecuațiilor parametrice care conțin semnul modulului, cel mai bine este să demonstrați soluția vizual, adică. dă exemple:

Exemplul 1. Rezolvați ecuația |x-2|=b.

Deoarece, după definiția modulului, |x-2|, atunci pentru b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.

Dacă b>0, atunci soluțiile ecuației sunt numerele x=2+b și x=2-b.

Răspuns: pentru b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 x=2+b și x=2-b.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația |x-a|=|x-4|. Cel mai convenabil este să rezolvați această ecuație prin metoda intervalului, pentru două cazuri:

1. Primul interval:

Al doilea interval:

Acestea. în cazul în care un<4, то.

Al treilea interval:

a=4, adică dacă a=4, atunci.

2. Primul interval:

Al doilea interval:

a>4, adică daca 4<а, то

Al treilea interval:

Răspuns: cu un \u003d 4 x-orice;, cu a<4 .

Exemplul 3. Pentru fiecare valoare a parametrului a, găsiți toate valorile lui x care satisfac ecuația |x+3|- a| x - 1| =4.

Luați în considerare 3 intervale: 1), 2) , 3) ​​​​și rezolvați ecuația inițială pe fiecare interval.

Pentru a=1, ecuația nu are soluții, dar pentru a1, ecuația are rădăcină. Acum trebuie să aflăm pentru care un x cade pe intervalul x< - 3, т.е. , . Следовательно, исходное уравнение на x< - 3 имеет один корень при, а на остальных а корней не имеет.

Când a = - 1, soluția ecuației este orice x; dar noi decidem între ele. Dacă a1, atunci ecuația are o rădăcină x=1.

Pentru a=1, soluția este orice număr, dar noi decidem. Dacă a1, atunci x=1.

Raspuns: la; la a= - 1 și la a1 x=1; pentru a=1 și pentru a1 x=1.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un parametru

Pentru început, permiteți-mi să vă reamintesc că o ecuație pătratică este o ecuație de formă, unde a, b și c sunt numere, în plus, a0.

Condițiile ecuațiilor pătratice parametrice pot fi diferite, dar pentru soluțiile tuturor este necesar să se aplice proprietățile unei ecuații pătratice obișnuite:

a) Dacă D>0, a>0, atunci ecuația are două rădăcini reale diferite, ale căror semne pentru c>0 sunt aceleași și opuse în semnul coeficientului b, iar pentru c<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.

b) Dacă D=0, a>0, atunci ecuația are două rădăcini reale și egale, al căror semn este opus semnului coeficientului b.

c) Dacă D<0, а>0, atunci ecuația nu are rădăcini reale.

În mod similar, se pot reprezenta proprietățile rădăcinilor pentru a<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:

1. Dacă schimbați coeficienții a și c, atunci rădăcinile ecuației pătratice rezultate vor fi inverse cu rădăcinile acesteia.

2. Dacă schimbați semnul coeficientului b, rădăcinile ecuației pătratice rezultate vor fi opuse rădăcinilor acesteia.

3. Dacă coeficienții a și c au semne diferite, atunci ecuația are rădăcini reale.

Exemplul 1. Găsiți toate valorile parametrului a pentru care ecuația pătratică: a) are două rădăcini diferite; b) nu are rădăcini; c) are două rădăcini egale.

Această ecuație este pătratică după condiție, deci a-1. Luați în considerare discriminantul acestei ecuații:

Pentru a>-1, ecuația are două rădăcini diferite, deoarece D>0, pentru a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.

Exemplul2. rezolva ecuatia

Pentru a=0, ecuația este liniară 2x+1=0, care are o soluție unică x=-0,5. Și la a0, ecuația este pătratică și discriminantul ei este D=4-4a.

Pentru a>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1.

Pentru o<1, но а0, D>0 și această ecuație are două rădăcini diferite

Raspuns: si pentru a<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1.

Exemplul 3. Rădăcinile ecuației sunt astfel încât. Gaseste un.

Conform teoremei lui Vieta şi. Să punem la pătrat ambele părți ale primei egalități: . Având în vedere că, a, obținem: sau, . Verificarea arată că toate valorile satisfac condiția.

Formule de putere utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este o n-a-a putere a unui număr A când:

Operațiuni cu puteri.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adună:

a ma n = a m + n .

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora se scad:

3. Gradul produsului a 2 sau mai mulți factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ridicarea unei puteri la o putere, exponenții se înmulțesc:

(am) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este corectă în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

de exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp ridică la n Puterea este un număr de rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă scădem gradul rădăcinii în n rădăcină în același timp n gradul de la numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui anumit număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și la m< n.

de exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n = a m - n a devenit corect la m=n, aveți nevoie de prezența gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egală cu unu.

de exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Un grad cu un exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real Aîntr-o măsură m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m puterea acestui număr A.

137. Sarcina. Din experiență s-a constatat că un lingot de argint și cupru cu o greutate de 148 kg pierde 14 2/3 kg în apă. Determinați cât argint și cât cupru este în el, dacă se știe că 21 kg de argint pierd 2 kg în apă, iar 9 kg de cupru pierd 1 kg.

Să presupunem că acest lingou conține argint X kg și cupru la kg. Atunci o ecuație ar fi: x + y =148 . Pentru a întocmi o altă ecuație, să ținem cont că dacă 21 kg de argint pierd 2 kg de greutate în apă, atunci asta înseamnă că 1 kg de argint pierde 2/21 kg în apă. Apoi X kg trebuie pierdute în apă 2 / 21 X kg greutate. În mod similar, dacă 9 kg de cupru pierd 1 kg în apă, aceasta înseamnă că 1 kg de cupru pierde 1/9 kg; prin urmare, la kg de cupru pierde 1 / 9 la kg. Deci a doua ecuație va fi: 2 / 21 X + 1 / 9 la = 14 2 / 3 Am obținut astfel două ecuații cu 2 necunoscute:

x + y =148 și 2 / 21 X + 1 / 9 la = 14 2 / 3 = 44 / 3

A doua ecuație poate fi simplificată eliberând-o de fracții. Pentru a face acest lucru, reducem toate fracțiile la un numitor:

6 / 63 X + 7 / 63 la = 924 / 63

Acum înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 63; obținem o ecuație echivalentă:

x + y = 924

Acum avem două ecuații:

x + y =148 și 6x + 7y = 924

Putem rezolva aceste două ecuații în mai multe moduri. De exemplu, după cum urmează: din prima ecuație determinăm X depinzând de la (cu alte cuvinte, definiți X ca o funcție a la ):

x = 148 - y.

Deoarece în a doua ecuaţie literele X și la înseamnă aceleași numere ca în prima ecuație, atunci putem înlocui în a doua ecuație în loc de X diferență 148 - la .

6 (148 - y) + 7y = 924

Să rezolvăm această ecuație cu o necunoscută:

888 - 6y + 7y \u003d 924; y \u003d 924 - 888 \u003d 36.

Apoi x \u003d 148 - 36 \u003d 112.

Astfel, acest lingou conține 112 kg de argint și 36 kg de cupru.

138. Forma normală a unei ecuații de gradul I cu două necunoscute. Luați acest exemplu de ecuație cu 2 necunoscute:

2 (2x + 3y - 5) = 5 / 8 (x + 3) + 3 / 4 (y - 4).

Pentru a simplifica această ecuație, vom face în ea aceeași serie de transformări, care a fost indicată mai devreme pentru o ecuație cu 1 necunoscută și anume.

1) Extindeți parantezele: 4x + 6y - 10 = 5 / 8 x + 15 / 8 + 3 / 4 y - 3

2) Scăpați de numitori înmulțind toți termenii cu 8 :

32x + 48y - 80 = 5x + 15 + 6y - 24

3) Transferăm termenii necunoscuți într-o parte a ecuației, iar pe cei cunoscuți în cealaltă:

32x + 48y -5x - 6y = 15 - 24 + 80

4) Să facem o reducere a termenilor similari:

27x + 42y = 71.

Astfel, această ecuație, după transformările indicate, se dovedește a fi de o asemenea formă, în care sunt doar doi termeni în partea stângă a ecuației: unul cu o necunoscută. X (în gradul I) și altul cu o necunoscută la (la primul grad), partea dreaptă a ecuației constă dintr-un singur termen care nu conține necunoscute. Coeficienți la X și la pot exista fie ambele pozitive (ca în exemplul pe care l-am luat), fie ambele negative (acest caz, totuși, poate fi redus la cel precedent prin înmulțirea tuturor termenilor ecuației cu - 1), fie unul este pozitiv și celălalt este negativ; termenul din partea dreaptă poate fi fie un număr pozitiv (ca în exemplul de față), fie negativ și chiar zero. Notând coeficienții la X și la scrisori A și b si un termen care nu contine necunoscute, cu litera cu , putem reprezenta în general ecuația cu 2 necunoscute de gradul I astfel:

ax + by = c.

Acest tip de ecuație se numește forma normală a unei ecuații de gradul I cu 2 necunoscute.

139. Incertitudinea unei ecuații cu 2 necunoscute. O ecuație cu 2 necunoscute are un număr infinit de rădăcini. Într-adevăr, dacă pentru una dintre unele necunoscute atribuim un număr arbitrar și înlocuim acest număr în ecuație, atunci vom obține o ecuație cu o singură altă necunoscută; din această ecuație se poate găsi această altă necunoscută. Deci, dacă în ecuație 3x-2y=-6 vom accepta asta y = 2 , atunci ecuația va fi 3x - 4 = -6 de unde gasim: 3x = - 2 și X = - 2 / 3 . Astfel, dacă y = 2 , apoi X = - 2 / 3 .

Acum atribuiți la la alt număr, de exemplu, y = 1 . Apoi primim 3x-2=-6 , 3x = - 4 , X = -1 1 / 3 . Astfel, dacă y = 1 , apoi. X = -1 1 / 3 . Astfel, putem găsi câte perechi de soluții ne dorim și, prin urmare, ecuația va fi nedeterminată.

Acest lucru poate fi prezentat și grafic. Din ecuație:

3x-2y=-6 (1)

defini la ca o funcție a X :

Este necesar să te obișnuiești rapid și precis dintr-o ecuație dată pentru a determina o necunoscută în funcție de o altă necunoscută. Deci, pentru a determina din ecuația noastră la ca o funcție a X , este necesar să mutați mental termenul - 2 ani la dreapta, iar membrul - 6 spre stânga, apoi rearanjați părțile ecuației și împărțiți-le la 2 ; rezultatul acestor transformări trebuie scris direct.

Această funcție este un binom de gradul I, iar un astfel de binom este reprezentat în axele de coordonate sub forma unei linii drepte, pe care o putem construi din două puncte (secțiunea 3 § 118), de exemplu. ca aceasta:

Coordonatele fiecărui punct al acestei drepte satisfac ecuația (2) și, prin urmare, satisfac și ecuația (1); și întrucât există un număr infinit de puncte pe linie, ecuația (1) are un număr infinit de soluții.

140. Sistem de ecuații. Se obișnuiește să se spună că mai multe ecuații formează un sistem dacă în toate aceste ecuații fiecare dintre litere X y, . . înseamnă același număr pentru toate ecuațiile.

Dacă, de exemplu, două ecuații:

sunt considerate cu condiția ca litera X înseamnă același număr în ambele ecuații, la fel și litera la , atunci astfel de ecuații formează un sistem. Acest lucru se întâmplă ori de câte ori ecuațiile sunt compuse din condițiile aceleiași probleme.

Indicăm trei moduri de a rezolva un sistem de 2 ecuații de gradul I cu 2 necunoscute.

141. Modalitate de substituire. Am folosit deja această metodă1 înainte, când am rezolvat problema unui lingou de argint și cupru (). Să luăm un exemplu mai complex acum:

8x - 5y = - 16; 10x + 3y = 17

(ambele ecuații au fost reduse la forma normală).

Dintr-o ecuație, de exemplu, din prima, determinăm o necunoscută, de exemplu, X , în funcție de o altă necunoscută:

Deoarece a doua ecuație trebuie să satisfacă aceleași valori ca prima, putem înlocui în ea în loc de X expresie găsită, din care obținem o ecuație cu o necunoscută la :

Să rezolvăm această ecuație:

Am putea determina dintr-o singură ecuație la ca o funcție a X și înlocuiți expresia rezultată la într-o altă ecuație; atunci am obține o ecuație cu o necunoscută X .

Această metodă este deosebit de convenabilă atunci când coeficientul pentru o necunoscută este 1; atunci cel mai bine este să definiți această necunoscută ca o funcție a unei alte necunoscute (nu este nevoie să împărțiți cu un factor) și așa mai departe.

Din a doua ecuație găsim:

y \u003d 22-4x.

Atunci prima ecuație dă:

3x - 2 (22 - 4x) = 11; 3x -44 + 8x = 11; 11x = 44+ 11 = 55.

x \u003d 55 / 11 \u003d 5; y = 22 - 4 5 = 2.

Regulă. Pentru a rezolva un sistem de două ecuații cu 2 necunoscute prin metoda substituției, este necesar să se determine o necunoscută dintr-o ecuație în funcție de o altă necunoscută și să se substituie expresia rezultată într-o altă ecuație; rezultă o ecuație cu o necunoscută. După ce l-au rezolvat, găsesc această necunoscută. Prin înlocuirea numărului găsit în expresia derivată mai devreme pentru prima necunoscută, se găsește și această altă necunoscută.

142. Metoda de adunare sau scădere. Să presupunem mai întâi că într-un sistem dat de ecuații (redus anterior la formă normală), coeficienții pentru o necunoscută, de exemplu, pentru la , va fi la fel. În acest caz, pot apărea două cazuri:

1) semnele din fața unor astfel de coeficienți sunt diferite și

2) semnele sunt aceleași. Să luăm în considerare aceste două cazuri în paralel. Să fie date, de exemplu, două sisteme:

Dacă adunăm termen cu termen ecuațiile primului sistem și scădem termen cu termen ecuațiile celui de-al doilea sistem, atunci necunoscuta y va fi eliminată:

Unde: x=5 x=3

Înlocuind într-una dintre aceste ecuații în loc de X numărul găsit pentru el, găsim la :

Să luăm acum un sistem în care coeficienții sunt diferiți, de exemplu. ca aceasta:

Putem apoi egaliza preliminar coeficienții pentru o necunoscută, de exemplu, pentru X . Pentru a face acest lucru, găsim un multiplu (cel mai bun dintre toate, cel mai mic) al coeficienților 7 și 5 (acesta va fi 35) și înmulțim ambele părți ale fiecărei ecuații cu factorul suplimentar corespunzător (așa cum se face atunci când reducem fracțiile la un comun comun). numitor):

După aceea, rămâne doar să adunăm sau să scădem ecuațiile transformate. În exemplul nostru, semnele din fața coeficienților X variat; deci trebuie adăugate ecuațiile:

Acum prima ecuație dă:

7x + 6 2 1 / 2 = 29; 7x + 15 = 29; 7x = 14; x = 2.

Regulă. Pentru a rezolva un sistem de două ecuații cu 2 necunoscute prin adunare sau scădere, trebuie mai întâi să egalizați coeficienții din ambele ecuații pentru o necunoscută și apoi să adăugați ambele ecuații dacă semnele din fața acestor coeficienți sunt diferite sau să scădeți ecuațiile dacă semnele sunt aceleasi.

143. Soluție grafică. Să fie dat sistemul:

8x - 5y \u003d - 16; 10x + 3y = 17.

Din fiecare ecuație, determinăm la ca o funcție a X :

Graficele acestor funcții ar trebui să fie drepte. Să construim pe un desen, fiecare dintre ele cu două puncte, de exemplu, după următoarele:

din ecuatie...... y = 1 3 / 5 x + 3 1 / 5 :

din ecuatie...... y \u003d 5 2 / 3 - 3 1 / 3 x:

Desenul arată că două drepte se intersectează într-un punct a cărui abscisă este egală cu 1 / 2 , iar ordonata 4 . Aceste valori X și la , satisfacand ambele ecuatii, si vor fi solutii ale acestui sistem.

Observatii . 1) Dacă s-ar întâmpla ca dreptele care exprimă aceste ecuații să se dovedească a fi paralele și, prin urmare, să nu existe niciun punct al intersecției lor, atunci aceasta ar însemna că ecuațiile nu au rădăcini.

2) Uneori se poate întâmpla ca 2 linii să se îmbine într-una singură; atunci coordonatele oricărui punct al acestei drepte satisfac ecuațiile date și, prin urmare, sistemul este nedefinit.

3) La sfârșitul părții a 2-a a acestei cărți sunt date formule generale pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu 2 necunoscute de gradul I (§ 396 și urm.).

Capitolul doi.

Sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.

144. Forma normală a unei ecuații de gradul I cu trei necunoscute. Dacă în ecuaţia gradului I cu 3 necunoscute X y și z făcut aceleași transformări pe care le-am indicat anterior pentru o ecuație cu 1 și 2 necunoscute, atunci vom aduce ecuația la o astfel de formă (numită normală), în care sunt doar trei termeni în partea stângă a ecuației: unul cu X , altul cu la iar al treilea cu z , iar în partea dreaptă va fi un termen care nu conține necunoscute.

De exemplu, aceasta este ecuația:

5x - 3y - 4z = -12.

Aspectul său general este următorul:

ax + by + cz = d,

Unde a, b, c și d unele numere relative.

145. Incertitudinea a două și a unei ecuații cu trei necunoscute. Să presupunem că ni se oferă un sistem de 2 ecuații cu 3 necunoscute:

5x-3y + z = 2; 2x + y-z = 6.

Atribuiți unul necunoscut, de ex. z , un număr arbitrar, pune 1 și înlocuiește acest număr z :

Am obtinut astfel un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute. Rezolvând-o într-un fel, găsim: x=2, y=3 ; prin urmare, acest sistem cu 3 necunoscute este satisfăcut pentru x = 2 , y = 3 și z=1 . Să dăm acum necunoscutului z o altă valoare, de exemplu. z = 0 , și înlocuiți această valoare în aceste ecuații:

5x-3y = 2; 2x + y = 6.

Obținem din nou un sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute.

Rezolvând-o într-un fel, găsim:

X = 20 / 11 = 1 9 / 11 y = 2 4 / 11

Aceasta înseamnă că acest sistem este satisfăcut când X = 1 9 / 11 y = 2 4 / 11 și z = 0 . Numirea pentru z altă (a treia) valoare, obținem din nou un sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute, din care găsim noi valori pentru X și la . Întrucât pentru z putem atribui oricâte numere diferite dorim, apoi pentru X și la putem obține orice număr de valori (corespunzător valorilor luate z ). Prin urmare, 2 ecuații cu 3 necunoscute admit un număr infinit de soluții; cu alte cuvinte, un astfel de sistem este nedeterminat.

Va exista o incertitudine și mai mare dacă există doar 1 ecuație cu 3 necunoscute. Apoi va fi posibil să atribuiți numere arbitrare pentru vreo 2 necunoscute; a treia necunoscută poate fi găsită din această ecuație dacă înlocuim în ea valorile luate arbitrar pentru două necunoscute.

146. Sistem de 3 ecuații cu 3 necunoscute. Pentru a putea găsi valori numerice definite pentru trei necunoscute X y și z , este necesar să fie dat un sistem de 3 ecuații. Un astfel de sistem poate fi rezolvat prin metoda substituției, precum și prin metoda adunării sau scăderii ecuațiilor. Vom arăta aplicarea acestor metode în următorul exemplu (fiecare ecuație este redusă anterior la forma normală):

147. Modalitate de substituire. Dintr-o ecuație, de exemplu, din prima, determinăm o necunoscută, de exemplu, X, în funcție de celelalte două necunoscute:

Deoarece în toate ecuaţiile X înseamnă același număr, atunci putem înlocui expresia găsită în loc X la restul ecuațiilor:

Ajungem astfel la un sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute la și z . După ce am rezolvat acest sistem prin oricare dintre metodele indicate mai devreme, vom găsi valorile numerice pentru la și G . În exemplul nostru, acestea vor fi valorile: y=3, z=2 ; înlocuind aceste numere în expresia pentru care am derivat X , să găsim această necunoscută:

Astfel, sistemul propus are o soluție x=1, y=3, z=2 (care poate fi verificat prin verificare).

148. Metoda adunării sau scăderii. Din cele 3 ecuații date, luăm vreo două, de exemplu. 1 și 2 și, după ce au egalat coeficienții din ei înaintea unei necunoscute, de exemplu, înainte de z , excludem din ele această necunoscută prin metoda adunării sau scăderii; de aici obținem o ecuație cu 2 necunoscute X și la . Apoi, să luăm alte două ecuații din 3 date, de exemplu. 1 și 3 (sau 2 și 3), și în același mod excludem din ele aceeași necunoscută, adică. z ; de aici obținem o altă ecuație cu X și la :

Rezolvăm cele două ecuații rezultate: x=1, y=3 . Inserăm aceste numere într-una dintre cele trei ecuații date, de exemplu, în prima:

3 1 - 2 3 + 5z = 7; 5z = 7 -3 + 6 = 10; z=2.

Cometariu. În aceleași două moduri, putem reduce un sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute la un sistem de 3 ecuații cu 3 necunoscute (și acest sistem - la un sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute etc.). Sistem general m ecuatii cu m necunoscut putem aduce în sistem m - 1 ecuatii cu m - 1 necunoscut (și acest sistem pentru sistem m - 2 ecuatii cu m - 2 necunoscut etc.).

Capitolul trei.

Câteva cazuri speciale de sisteme de ecuații.

149. Cazul în care nu toate necunoscutele sunt incluse în fiecare dintre ecuațiile date; de exemplu:

În acest caz, sistemul este rezolvat mai repede decât de obicei, deoarece anumite necunoscute au fost deja eliminate în unele ecuații. Este necesar doar să ne dăm seama ce necunoscute și din ce ecuații ar trebui excluse pentru a ajunge la o ecuație cu o necunoscută cât mai curând posibil. În exemplul nostru, excluzând z din ecuațiile 1 și 3 și v din a 2-a și a 1-a, obținem 2 ecuații cu X și la :

Rezolvând aceste ecuații, găsim: x = 0, y = 1/3.

Acum vom introduce aceste numere în ecuația a 2-a și a 3-a; atunci obținem:

v = 3/2; z = 16 / 9 = 1 7 / 9

150. Cazul când necunoscutele intra sub formă de fracții: 1/x

x" = 2, y" = 1 / 2, z" = 5;

1/x=2, 1/y=1/2, 1/z=5

x = 1 / 2 , y = 2 , z = 1 / 5 ;

151. Cazul când este util să adunăm toate aceste ecuații.

Să presupunem că avem, de exemplu, sistemul:

Adunând toate cele trei ecuații, găsim:

Scăzând fiecare dintre datele din ultima ecuație, obținem:

___________________

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce ecuație exponențială? Aceasta este o ecuație în care se află necunoscutele (x) și expresiile cu acestea indicatori unele grade. Și numai acolo! Este important.

Iată-te exemple de ecuații exponențiale:

3 x 2 x = 8 x + 3

Notă! În bazele de grade (mai jos) - doar numere. LA indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu x. Dacă, brusc, un x apare în ecuație în altă parte decât indicator, de exemplu:

aceasta va fi o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare de rezolvare. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Aici ne vom ocupa rezolvarea ecuațiilor exponențialeîn forma sa cea mai pură.

De fapt, chiar și ecuațiile exponențiale pure nu sunt întotdeauna rezolvate clar. Dar există anumite tipuri de ecuații exponențiale care pot și ar trebui rezolvate. Acestea sunt tipurile pe care le vom analiza.

Rezolvarea celor mai simple ecuații exponențiale.

Să începem cu ceva foarte elementar. De exemplu:

Chiar și fără nicio teorie, prin simpla selecție este clar că x = 2. Nimic mai mult, nu!? Nu există alte role de valoare x. Și acum să ne uităm la soluția acestei ecuații exponențiale complicate:

Ce am făcut? Noi, de fapt, tocmai am aruncat aceleași funduri (triple). Complet aruncat afară. Și, ceea ce îți place, lovește-te!

Într-adevăr, dacă în ecuația exponențială din stânga și din dreapta sunt aceeași numere în orice grad, aceste numere pot fi eliminate și pot fi egale cu exponenți. Matematica permite. Rămâne de rezolvat o ecuație mult mai simplă. E bine, nu?)

Cu toate acestea, să ne amintim în mod ironic: poti scoate bazele doar atunci cand numerele de baza din stanga si dreapta sunt in splendida izolare! Fără vecini și coeficienți. Să spunem în ecuații:

2 x +2 x + 1 = 2 3 sau

Nu poți elimina dublurile!

Ei bine, am stăpânit cel mai important lucru. Cum să treceți de la expresii exponențiale malefice la ecuații mai simple.

„Iată acele vremuri!” - tu spui. "Cine va da un asemenea primitiv la control si examene!?"

Forțat să fie de acord. Nimeni nu o va face. Dar acum știi unde să mergi când rezolvi exemple confuze. Este necesar să-l aduceți în minte, când același număr de bază este în stânga - în dreapta. Atunci totul va fi mai ușor. De fapt, acesta este clasicul matematicii. Luăm exemplul original și îl transformăm în cel dorit ne minte. După regulile matematicii, desigur.

Luați în considerare exemple care necesită un efort suplimentar pentru a le aduce la cel mai simplu. Să-i numim ecuații exponențiale simple.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple. Exemple.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale, regulile principale sunt actiuni cu puteri. Fără cunoașterea acestor acțiuni, nimic nu va funcționa.

La acțiunile cu grade, trebuie adăugate observație și ingeniozitate personală. Avem nevoie de aceleași numere de bază? Deci, le căutăm în exemplu într-o formă explicită sau criptată.

Să vedem cum se face acest lucru în practică?

Să ne dăm un exemplu:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prima privire la temeiuri. Ei... Sunt diferiți! Doi și opt. Dar este prea devreme pentru a fi descurajat. Este timpul să ne amintim asta

Doi și opt sunt rude în grad.) Este foarte posibil să scrieți:

8 x+1 = (2 3) x+1

Dacă ne amintim formula din acțiuni cu puteri:

(a n) m = a nm ,

in general functioneaza excelent:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Exemplul original arată astfel:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Noi transferam 2 3 (x+1) la dreapta (nimeni nu a anulat acțiunile elementare ale matematicii!), obținem:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Asta e practic tot. Scoaterea bazelor:

Rezolvăm acest monstru și obținem

Acesta este răspunsul corect.

În acest exemplu, cunoașterea puterilor a doi ne-a ajutat. Noi identificatîn opt, deuce criptat. Această tehnică (codificarea bazelor comune sub numere diferite) este un truc foarte popular în ecuațiile exponențiale! Da, chiar și în logaritmi. Trebuie să fii capabil să recunoști puterile altor numere în numere. Acest lucru este extrem de important pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Faptul este că ridicarea oricărui număr la orice putere nu este o problemă. Înmulțiți, chiar și pe o bucată de hârtie, și atât. De exemplu, toată lumea poate ridica 3 la puterea a cincea. 243 se va dovedi dacă cunoașteți tabla înmulțirii.) Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des este necesar să nu ridicați la o putere, ci invers ... ce număr în ce măsură se ascunde în spatele numărului 243 sau, să zicem, 343... Nici un calculator nu te va ajuta aici.

Trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere, da... Să exersăm?

Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numere:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Răspunsuri (în mizerie, desigur!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Dacă te uiți cu atenție, poți vedea un fapt ciudat. Există mai multe răspunsuri decât întrebări! Ei bine, se întâmplă... De exemplu, 2 6 , 4 3 , 8 2 sunt toate 64.

Să presupunem că ați luat notă de informațiile despre cunoașterea numerelor.) Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale, aplicăm întregul stoc de cunoștințe matematice. Inclusiv din clasele mijlocii inferioare. Nu ai mers direct la liceu, nu?

De exemplu, atunci când rezolvați ecuații exponențiale, scoaterea factorului comun dintre paranteze foarte des ajută (bună ziua a 7-a!). Să vedem un exemplu:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Și din nou, prima privire - pe teren! Bazele gradelor sunt diferite... Trei și nouă. Și vrem să fie la fel. Ei bine, în acest caz, dorința este destul de fezabilă!) Pentru că:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Conform acelorași reguli pentru acțiunile cu grade:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

E grozav, poți scrie:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Am dat un exemplu din aceleași motive. Deci, ce urmează!? Trei nu pot fi aruncați afară... O fundătură?

Deloc. Amintirea celei mai universale și puternice reguli de decizie toate sarcini de matematica:

Dacă nu știi ce să faci, fă ce poți!

Uite, totul este format).

Ce este în această ecuație exponențială poate sa do? Da, partea stângă cere direct paranteze! Factorul comun de 3 2x sugerează clar acest lucru. Să încercăm și apoi vom vedea:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Exemplul este din ce în ce mai bun!

Reamintim că pentru a elimina bazele avem nevoie de un grad pur, fără coeficienți. Ne deranjează numărul 70. Deci împărțim ambele părți ale ecuației la 70, obținem:

Op-pa! Totul a fost bine!

Acesta este răspunsul final.

Se întâmplă, totuși, să se obțină taxiul pe aceleași motive, dar lichidarea lor nu. Acest lucru se întâmplă în ecuații exponențiale de alt tip. Să luăm acest tip.

Modificarea variabilei în rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Să rezolvăm ecuația:

4 x - 3 2 x +2 = 0

În primul rând - ca de obicei. Să trecem la bază. Către zece.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Obtinem ecuatia:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Și aici vom spânzura. Trucurile anterioare nu vor funcționa, indiferent cum le-ați întoarce. Va trebui să luăm din arsenalul unui alt mod puternic și versatil. Se numeste substituție variabilă.

Esența metodei este surprinzător de simplă. În loc de o pictogramă complexă (în cazul nostru, 2 x), scriem alta, mai simplă (de exemplu, t). O astfel de înlocuire aparent lipsită de sens duce la rezultate uimitoare!) Totul devine pur și simplu clar și de înțeles!

Asa ca lasa

Apoi 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Inlocuim in ecuatia noastra toate puterile cu x cu t:

Ei bine, se ivește?) Nu ați uitat încă ecuațiile patratice? Rezolvăm prin discriminant, obținem:

Aici, principalul lucru este să nu ne oprim, așa cum se întâmplă ... Acesta nu este încă răspunsul, avem nevoie de x, nu de t. Ne întoarcem la X, adică. făcând un înlocuitor. Mai întâi pentru t 1:

Acesta este,

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea, din t 2:

Hm... Stânga 2 x, Dreapta 1... Un cârlig? Da, deloc! Este suficient să ne amintim (din acțiuni cu grade, da...) că o unitate este orice număr la zero. Orice. Orice ai nevoie, îl vom pune. Avem nevoie de doi. Mijloace:

Acum asta-i tot. Am 2 rădăcini:

Acesta este răspunsul.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale la sfârșit, se obține uneori o expresie incomodă. Tip:

De la șapte, un deuce printr-un grad simplu nu funcționează. Nu sunt rude... Cum pot fi aici? Cineva poate fi confuz... Dar persoana care a citit pe acest site subiectul „Ce este un logaritm?” , doar zâmbește ușor și notează cu o mână fermă răspunsul absolut corect:

Nu poate exista un astfel de răspuns în sarcinile „B” de la examen. Este necesar un număr specific. Dar în sarcinile „C” - ușor.

Această lecție oferă exemple de rezolvare a celor mai comune ecuații exponențiale. Să-l evidențiem pe cel principal.

Sfaturi practice:

1. În primul rând, ne uităm la temeiuri grade. Să vedem dacă nu se pot face aceeași. Să încercăm să facem acest lucru utilizând activ actiuni cu puteri. Nu uitați că și numerele fără x pot fi transformate în puteri!

2. Încercăm să aducem ecuația exponențială la forma când sunt stânga și dreapta aceeași numere în orice grad. Folosim actiuni cu puteriși factorizarea. Ceea ce poate fi numărat în numere - numărăm.

3. Dacă al doilea sfat nu a funcționat, încercăm să aplicăm substituția variabilă. Rezultatul poate fi o ecuație care este ușor de rezolvat. Cel mai adesea - pătrat. Sau fracțional, care se reduce și la un pătrat.

4. Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoști gradele unor numere „din vedere”.

Ca de obicei, la sfârșitul lecției ești invitat să rezolvi puțin.) Pe cont propriu. De la simplu la complex.

Rezolvați ecuații exponențiale:

Mai dificil:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Găsiți produsul rădăcinilor:

2 3-x + 2 x = 9

S-a întâmplat?

Ei bine, atunci cel mai complicat exemplu (se rezolvă, totuși, în minte...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Ce este mai interesant? Atunci iată un exemplu rău pentru tine. Destul de trage de dificultate crescută. Voi sugera că în acest exemplu, ingeniozitatea și cea mai universală regulă pentru rezolvarea tuturor sarcinilor matematice salvează.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un exemplu este mai simplu, pentru relaxare):

9 2 x - 4 3 x = 0

Si pentru desert. Aflați suma rădăcinilor ecuației:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da Da! Aceasta este o ecuație de tip mixt! Pe care nu le-am luat în considerare în această lecție. Și ce să le considerați, trebuie rezolvate!) Această lecție este suficientă pentru a rezolva ecuația. Ei bine, este nevoie de ingeniozitate... Și da, clasa a șaptea te va ajuta (acesta este un indiciu!).

Răspunsuri (în dezordine, separate prin punct și virgulă):

unu; 2; 3; 4; nu există soluții; 2; -2; -5; 4; 0.

Este totul reușit? Amenda.

Există o problemă? Nici o problema! În Secțiunea Specială 555, toate aceste ecuații exponențiale sunt rezolvate cu explicații detaliate. Ce, de ce și de ce. Și, desigur, există informații suplimentare valoroase despre lucrul cu tot felul de ecuații exponențiale. Nu numai cu acestea.)

O ultimă întrebare amuzantă de luat în considerare. În această lecție, am lucrat cu ecuații exponențiale. De ce nu am spus un cuvânt despre ODZ aici?În ecuații, acesta este un lucru foarte important, apropo...

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.