Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este 5a 2 .

De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade variabile variateși diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtrahendului trebuie schimbate în consecință.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterii

Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.

Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât este puterea lui n;

Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

Asa de, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt - negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Împărțirea gradelor

Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau prin plasarea lor sub forma unei fracții.

Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .

Sau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac(a^5)(a^3)$. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac(yyy)(yy) = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Reduceți exponenții în $\frac(5a^4)(3a^2)$ Răspuns: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduceți exponenții în $\frac(6x^6)(3x^5)$. Răspuns: $\frac(2x)(1)$ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un prim numărător -2.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Răspuns: a/a.

9. Împărțiți (h 3 - 1)/d 4 la (d n + 1)/h.

În acest articol, vom înțelege ce este gradul de. Aici vom da definiții ale gradului unui număr, luând în considerare în detaliu toți exponenții posibili ai gradului, începând cu un exponent natural, terminând cu unul irațional. În material veți găsi o mulțime de exemple de grade care acoperă toate subtilitățile care apar.

Navigare în pagină.

Gradul cu exponent natural, pătratul unui număr, cubul unui număr

Sa incepem cu . Privind în viitor, să presupunem că definiția gradului a cu exponent natural n este dată pentru a , pe care o vom numi baza gradului, și n , pe care le vom numi exponent. De asemenea, menționăm că gradul cu indicator natural este determinat prin produs, așa că pentru a înțelege materialul de mai jos, trebuie să aveți o idee despre înmulțirea numerelor.

Definiție.

Puterea numărului a cu exponent natural n este o expresie de forma a n , a cărei valoare este egală cu produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a , adică .
În special, gradul unui număr a cu exponentul 1 este numărul a însuși, adică a 1 =a.

Imediat merită menționat regulile de citire a gradelor. Modul universal de a citi intrarea a n este: „a la puterea lui n”. În unele cazuri, sunt acceptabile și astfel de opțiuni: „a la a n-a putere” și „a n-a putere a numărului a”. De exemplu, să luăm puterea lui 8 12, aceasta este „opt la puterea lui doisprezece”, sau „opt la puterea a douăsprezecea”, sau „puterea a douăsprezecea a opt”.

A doua putere a unui număr, precum și a treia putere a unui număr, au propriile nume. Se numește a doua putere a unui număr pătratul unui număr, de exemplu, 7 2 se citește ca „șapte pătrat” sau „pătrat al numărului șapte”. Se numește a treia putere a unui număr numărul cubului, de exemplu, 5 3 poate fi citit ca „cinci cuburi” sau spune „cubul numărului 5”.

E timpul să aduci exemple de grade cu indicatori fizici. Să începem cu puterea lui 5 7 , unde 5 este baza puterii și 7 este exponentul. Să dăm un alt exemplu: 4,32 este baza, iar numărul natural 9 este exponentul (4,32) 9 .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul exemplu, baza gradului 4,32 este scrisă între paranteze: pentru a evita discrepanțe, vom lua între paranteze toate bazele gradului care sunt diferite de numerele naturale. Ca exemplu, oferim următoarele grade cu indicatori naturali , bazele lor nu sunt numere naturale, deci sunt scrise între paranteze. Ei bine, pentru o claritate completă în acest punct, vom arăta diferența conținută în înregistrările de forma (−2) 3 și −2 3 . Expresia (−2) 3 este puterea lui −2 cu exponent natural 3, iar expresia −2 3 (se poate scrie ca −(2 3) ) corespunde numărului, valorii puterii 2 3 .

Rețineți că există o notație pentru gradul lui a cu un exponent n de forma a^n . Mai mult, dacă n este un număr natural cu mai multe valori, atunci exponentul este luat între paranteze. De exemplu, 4^9 este o altă notație pentru puterea lui 4 9 . Și aici sunt mai multe exemple de scriere a grade folosind simbolul „^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . În cele ce urmează, vom folosi în principal notația gradului formei a n .

Una dintre probleme, inversul exponențiației cu un exponent natural, este problema găsirii bazei gradului dintr-o valoare cunoscută a gradului și un exponent cunoscut. Această sarcină duce la .

Se știe că mulțimea numerelor raționale este formată din numere întregi și numere fracționale, iar fiecare număr fracționar poate fi reprezentat ca o fracție ordinară pozitivă sau negativă. Am definit gradul cu un exponent întreg în paragraful anterior, prin urmare, pentru a completa definiția gradului cu un exponent rațional, trebuie să dăm semnificația gradului numărului a cu un exponent fracționar m / n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. S-o facem.

Să considerăm un grad cu un exponent fracționar de forma . Pentru ca proprietatea gradului în grad să rămână valabilă, egalitatea trebuie să fie valabilă . Dacă luăm în considerare egalitatea rezultată și modul în care am definit , atunci este logic să acceptăm, cu condiția ca pentru m, n și a dat expresia să aibă sens.

Este ușor de verificat că toate proprietățile unui grad cu un exponent întreg sunt valabile pentru ca (acest lucru se face în secțiunea despre proprietățile unui grad cu un exponent rațional).

Raționamentul de mai sus ne permite să facem următoarele concluzie: dacă pentru m, n și a dat expresia are sens, atunci puterea numărului a cu exponent fracționar m / n este rădăcina gradului al n-lea al lui a la puterea m.

Această afirmație ne aduce aproape de definiția unui grad cu exponent fracționar. Rămâne doar să descriem pentru care m, n și a expresia are sens. În funcție de restricțiile impuse asupra m , n și a, există două abordări principale.

Cel mai simplu mod de a constrânge a este să presupunem a≥0 pentru m pozitiv și a>0 pentru m negativ (deoarece m≤0 nu are o putere de 0 m). Apoi obținem următoarea definiție a gradului cu un exponent fracționar.

Definiție.

Puterea unui număr pozitiv a cu exponent fracționar m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural, se numește rădăcină a n-a a numărului a la puterea lui m, adică .

Gradul fracționar de zero este, de asemenea, definit cu singura avertizare că exponentul trebuie să fie pozitiv.

Definiție.

Puterea lui zero cu exponent pozitiv fracționar m/n, unde m este un întreg pozitiv și n este un număr natural, este definit ca .
Când gradul nu este definit, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracționar nu are sens.

De remarcat că, cu o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar, există o nuanță: pentru unele negative a și unele m și n, expresia are sens și am înlăturat aceste cazuri introducând condiția a≥0 . De exemplu, are sens să scrii sau , iar definiția dată mai sus ne obligă să spunem că grade cu un exponent fracționar al formei sunt lipsite de sens, deoarece baza nu trebuie să fie negativă.

O altă abordare pentru determinarea gradului cu un exponent fracționar m / n este de a lua în considerare separat exponenții pari și impari ai rădăcinii. Această abordare necesită o condiție suplimentară: gradul numărului a, al cărui exponent este , este considerat gradul numărului a, al cărui exponent este fracția ireductibilă corespunzătoare (importanța acestei condiții va fi explicată mai jos). Adică, dacă m/n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este mai întâi înlocuit cu .

Pentru n par și m pozitiv, expresia are sens pentru orice a nenegativ (rădăcina unui grad par dintr-un număr negativ nu are sens), pentru m negativ, numărul a trebuie să fie în continuare diferit de zero (altfel există va fi o împărțire cu zero). Și pentru n impar și m pozitiv, numărul a poate fi orice (rădăcina unui grad impar este definită pentru orice număr real), iar pentru m negativ, numărul a trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe o împărțire cu zero).

Raționamentul de mai sus ne conduce la o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar.

Definiție.

Fie m/n o fracție ireductibilă, m un număr întreg și n un număr natural. Pentru orice fracție ordinară reductibilă, gradul este înlocuit cu . Puterea lui a cu un exponent fracționar ireductibil m / n este pentru



Să explicăm de ce un grad cu un exponent fracționar reductibil este mai întâi înlocuit cu un grad cu un exponent ireductibil. Dacă am defini pur și simplu gradul ca , și nu am face o rezervă cu privire la ireductibilitatea fracției m / n , atunci am întâlni situații similare cu următoarele: deoarece 6/10=3/5 , atunci egalitatea , dar , A .

Lecție și prezentare pe tema: „Grad cu indicator negativ. Definiție și exemple de rezolvare a problemelor”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a VIII-a
Manual pentru manualul Muravina G.K. Manual pentru manualul Alimova Sh.A.

Determinarea gradului cu exponent negativ

Băieți, suntem buni să ridicăm cifrele la putere.
De exemplu: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Știm bine că orice număr la puterea zero este egal cu unu. $a^0=1$, $a≠0$.
Apare întrebarea, ce se întâmplă dacă ridici un număr la o putere negativă? De exemplu, cu ce ar fi egal numărul $2^(-2)$?
Primii matematicieni care au pus această întrebare au decis că nu merită să reinventăm roata și a fost bine ca toate proprietățile gradelor să rămână aceleași. Adică, la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună.
Să luăm în considerare acest caz: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Am înțeles că produsul unor astfel de numere ar trebui să dea unitate. Unitatea din produs se obține prin înmulțirea reciprocelor, adică $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Un astfel de raționament a condus la următoarea definiție.
Definiție. Dacă $n$ este un număr natural și $а≠0$, atunci este valabilă următoarea egalitate: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

O identitate importantă care este adesea folosită: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
În special, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Exemple de soluții

Exemplul 1
Calculați: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Decizie.
Să luăm în considerare fiecare termen separat.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Rămâne de efectuat operații de adunare și scădere: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Răspuns: $6\frac(1)(4)$.

Exemplul 2
Exprimați numărul dat ca putere a unui număr prim $\frac(1)(729)$.

Decizie.
Evident $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Dar 729 nu este un număr prim care se termină cu 9. Putem presupune că acest număr este o putere a trei. Să împărțim succesiv 729 la 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Au fost finalizate șase operațiuni, ceea ce înseamnă: $729=3^6$.
Pentru sarcina noastră:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Răspuns: $3^(-6)$.

Exemplul 3. Exprimați expresia ca putere: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Decizie. Prima operație se face întotdeauna între paranteze, apoi înmulțirea $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Răspuns: $a$.

Exemplul 4. Demonstrați identitatea:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Decizie.
În partea stângă, luați în considerare fiecare factor între paranteze separat.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Să trecem la fracția cu care împărțim.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Să facem împărțirea.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Am obținut identitatea corectă, care trebuia să fie dovedită.

La sfârșitul lecției, vom scrie din nou regulile pentru acțiunile cu grade, aici exponentul este un număr întreg.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Calculați: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Reprezentați numărul dat ca putere a unui număr prim $\frac(1)(16384)$.
3. Exprimați expresia ca grad:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Demonstrați identitatea:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Ridicarea la o putere negativă este unul dintre elementele de bază ale matematicii, care este adesea întâlnită în rezolvarea problemelor algebrice. Mai jos este o instrucțiune detaliată.

Cum să ridici la o putere negativă - teorie

Când luăm un număr la puterea obișnuită, îi înmulțim de mai multe ori valoarea. De exemplu, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Cu o fracție negativă, opusul este adevărat. Forma generală conform formulei va fi următoarea: a -n = 1/a n . Astfel, pentru a ridica un număr la o putere negativă, trebuie să împărțiți unul la numărul dat, dar deja la o putere pozitivă.

Cum să ridici la o putere negativă - exemple despre numere obișnuite

Având în vedere regula de mai sus, să rezolvăm câteva exemple.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Răspuns: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Răspunsul este -4 -2 = 1/16.

Dar de ce răspunsul din primul și al doilea exemplu este același? Faptul este că atunci când un număr negativ este ridicat la o putere pară (2, 4, 6 etc.), semnul devine pozitiv. Dacă gradul ar fi par, atunci minusul se păstrează:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Cum să ridici la o putere negativă - numere de la 0 la 1

Amintiți-vă că atunci când un număr între 0 și 1 este ridicat la o putere pozitivă, valoarea scade pe măsură ce puterea crește. Deci, de exemplu, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Exemplul 3: Calculați 0,5 -2
Rezolvare: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Răspuns: 0,5 -2 = 4

Analizare (secvență de acțiuni):

• Convertiți zecimalul 0,5 în fracțional 1/2. E mai usor.
  Ridicați 1/2 la o putere negativă. 1/(2) -2 . Împărțim 1 la 1/(2) 2 , obținem 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Exemplul 4: Calculați 0,5 -3
Rezolvare: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Exemplul 5: Calculați -0,5 -3
Rezolvare: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Răspuns: -0,5 -3 = -8

Pe baza exemplelor al 4-lea și al 5-lea, vom trage câteva concluzii:

• Pentru un număr pozitiv între 0 și 1 (exemplul 4) ridicat la o putere negativă, indiferent dacă puterea este pară sau impară, valoarea expresiei va fi pozitivă. În acest caz, cu cât gradul este mai mare, cu atât valoarea este mai mare.
• Pentru un număr negativ între 0 și 1 (Exemplul 5), ridicat la o putere negativă, indiferent dacă puterea este pară sau impară, valoarea expresiei va fi negativă. În acest caz, cu cât gradul este mai mare, cu atât valoarea este mai mică.

Cum să ridici la o putere negativă - puterea ca număr fracționar

Expresiile de acest tip au următoarea formă: a -m/n , unde a este un număr obișnuit, m este numărătorul gradului, n este numitorul gradului.

Luați în considerare un exemplu:
Calculați: 8 -1/3

Soluție (secvență de acțiuni):

• Amintiți-vă de regula pentru ridicarea unui număr la o putere negativă. Se obține: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Rețineți că numitorul este 8 la o putere fracțională. Forma generală de calcul a unui grad fracționar este următoarea: a m/n = n √8 m .
• Astfel, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Obținem rădăcina cubă a lui opt, care este 2. Pe baza acesteia, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Răspuns: 8 -1/3 = 2

De la școală, știm cu toții regula despre ridicarea la o putere: orice număr cu un exponent N este egal cu rezultatul înmulțirii acestui număr cu el însuși de N ori. Cu alte cuvinte, 7 la puterea lui 3 este 7 înmulțit cu el însuși de trei ori, adică 343. O altă regulă - ridicarea oricărei valori la puterea lui 0 dă unul, iar creșterea unei valori negative este rezultatul exponențiației obișnuite, dacă este par și același rezultat cu semnul minus dacă este impar.

Regulile oferă, de asemenea, un răspuns despre cum să ridici un număr la o putere negativă. Pentru a face acest lucru, trebuie să creșteți valoarea necesară de către modulul indicatorului în mod obișnuit și apoi să împărțiți unitatea la rezultat.

Din aceste reguli, devine clar că implementarea sarcinilor reale cu cantități mari va necesita disponibilitatea mijloacelor tehnice. Manual, va fi posibil să se înmulțească singur un interval maxim de numere până la douăzeci sau treizeci și apoi nu mai mult de trei sau patru ori. Ca să nu mai vorbim de faptul că apoi împărțiți și unitatea la rezultat. Prin urmare, pentru cei care nu au un calculator special de inginerie la îndemână, vă vom spune cum să ridicați un număr la o putere negativă în Excel.

Rezolvarea problemelor in Excel

Pentru a rezolva problemele de exponențiere, Excel vă permite să utilizați una dintre cele două opțiuni.

Primul este utilizarea formulei cu simbolul standard de capac. Introduceți următoarele date în celulele foii de lucru:

În același mod, puteți crește valoarea dorită la orice putere - negativă, fracțională. Să facem următoarele și să răspundem la întrebarea cum să ridicăm un număr la o putere negativă. Exemplu:

Este posibil să corectați direct în formula =B2^-C2.

A doua opțiune este să utilizați funcția gata „Grad”, care necesită două argumente obligatorii - un număr și un indicator. Pentru a începe să-l utilizați, este suficient să puneți un semn egal (=) în orice celulă liberă, indicând începutul formulei și să introduceți cuvintele de mai sus. Rămâne să selectați două celule care vor participa la operațiune (sau să specificați manual anumite numere) și să apăsați tasta Enter. Să ne uităm la câteva exemple simple.

			Formulă	Rezultat
			PUTERE(B2;C2)
			PUTERE(B3;C3)	0,002915

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat despre cum să ridicați un număr la o putere negativă și la una obișnuită folosind Excel. La urma urmei, pentru a rezolva această problemă, puteți utiliza atât simbolul familiar „capac”, cât și funcția încorporată ușor de reținut a programului. Acesta este un plus sigur!

Să trecem la exemple mai complexe. Să ne amintim regula despre cum să ridici un număr la o putere negativă a unui caracter fracționar și vom vedea că această sarcină este rezolvată foarte simplu în Excel.

Indicatori fracționali

Pe scurt, algoritmul pentru calcularea unui număr cu un exponent fracționar este următorul.

1. Transformați un exponent fracționar într-o fracție proprie sau improprie.
2. Ridicați numărul nostru la numărătorul fracției convertite rezultată.
3. Din numărul obținut în paragraful anterior se calculează rădăcina, cu condiția ca indicatorul rădăcină să fie numitorul fracției obținute în prima etapă.

Sunteți de acord că, chiar și atunci când operați cu numere mici și fracții adecvate, astfel de calcule pot dura mult timp. E bine că procesorului de foi de calcul Excel nu îi pasă ce număr și în ce măsură să ridice. Încercați să rezolvați următorul exemplu într-o foaie de lucru Excel:

Folosind regulile de mai sus, puteți verifica și vă asigurați că calculul este corect.

La sfârșitul articolului nostru, vom oferi sub forma unui tabel cu formule și rezultate mai multe exemple despre cum să ridici un număr la o putere negativă, precum și câteva exemple cu numere fracționale și puteri.

Exemplu de tabel

Verificați foaia de lucru Excel pentru următoarele exemple. Pentru ca totul să funcționeze corect, trebuie să utilizați o referință mixtă atunci când copiați formula. Fixați numărul coloanei care conține numărul ridicat și numărul rândului care conține indicatorul. Formula dvs. ar trebui să arate cam așa: „=$B4^C$3”.

Număr/Grad

Vă rugăm să rețineți că numerele pozitive (chiar și cele care nu sunt întregi) sunt calculate fără probleme pentru orice exponenți. Nu există probleme cu ridicarea oricăror numere la numere întregi. Dar ridicarea unui număr negativ la o putere fracțională se va dovedi a fi o greșeală pentru tine, deoarece este imposibil să urmezi regula indicată la începutul articolului nostru despre creșterea numerelor negative, deoarece paritatea este o caracteristică a unui număr exclusiv INTEGER.

Un număr ridicat la putere apelați un număr care se înmulțește cu el însuși de mai multe ori.

Puterea unui număr cu valoare negativă (a - n) poate fi definit în același mod în care se determină gradul aceluiași număr cu exponent pozitiv (un) . Cu toate acestea, necesită și o definiție suplimentară. Formula este definită astfel:

un = (1 / a n)

Proprietățile valorilor negative ale puterilor numerelor sunt similare cu puterile cu exponent pozitiv. Ecuația reprezentată A m / a n = un m-n poate fi corect ca

« Nicăieri, ca în matematică, claritatea și acuratețea concluziei nu permit unei persoane să scape de răspuns vorbind în jurul întrebării.».

A. D. Alexandrov

la n Mai mult m , precum și m Mai mult n . Să ne uităm la un exemplu: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Mai întâi trebuie să determinați numărul care acționează ca o definiție a gradului. b=a(-n) . În acest exemplu -n este un indicator al gradului b - valoarea numerică dorită, A - baza gradului ca valoare numerică naturală. Apoi determinați modulul, adică valoarea absolută a unui număr negativ, care acționează ca un exponent. Calculați gradul numărului dat în raport cu numărul absolut ca indicator. Valoarea gradului se află prin împărțirea unu la numărul rezultat.

Orez. unu

Luați în considerare puterea unui număr cu exponent fracționar negativ. Imaginați-vă că numărul a este orice număr pozitiv, numerele n și m - numere întregi. Prin definitie A , care este ridicat la putere - este egal cu unu împărțit la același număr cu grad pozitiv (Fig. 1). Când puterea unui număr este o fracție, atunci în astfel de cazuri sunt folosite numai numere cu exponenți pozitivi.

Merită amintit că zero nu poate fi niciodată un exponent al unui număr (regula împărțirii cu zero).

Răspândirea unui astfel de concept ca număr a început manipulări precum calculele de măsurare, precum și dezvoltarea matematicii ca știință. Introducerea valorilor negative s-a datorat dezvoltării algebrei, care a dat soluții generale problemelor aritmetice, indiferent de semnificația lor specifică și de datele numerice inițiale. În India, în secolele VI-XI, valorile negative ale numerelor erau utilizate sistematic la rezolvarea problemelor și erau interpretate în același mod ca și astăzi. În știința europeană, numerele negative au început să fie utilizate pe scară largă datorită lui R. Descartes, care a dat o interpretare geometrică a numerelor negative ca direcții ale segmentelor. Descartes a fost cel care a sugerat ca numărul ridicat la o putere să fie afișat ca o formulă cu două etaje un n .

Ridicarea la o putere negativă este unul dintre elementele de bază ale matematicii, care este adesea întâlnită în rezolvarea problemelor algebrice. Mai jos este o instrucțiune detaliată.

Cum să ridici la o putere negativă - teorie

Când luăm un număr la puterea obișnuită, îi înmulțim de mai multe ori valoarea. De exemplu, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Cu o fracție negativă, opusul este adevărat. Forma generală conform formulei va fi următoarea: a -n = 1/a n . Astfel, pentru a ridica un număr la o putere negativă, trebuie să împărțiți unul la numărul dat, dar deja la o putere pozitivă.

Cum să ridici la o putere negativă - exemple despre numere obișnuite

Având în vedere regula de mai sus, să rezolvăm câteva exemple.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Răspuns: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Răspunsul este -4 -2 = 1/16.

Dar de ce răspunsul din primul și al doilea exemplu este același? Faptul este că atunci când un număr negativ este ridicat la o putere pară (2, 4, 6 etc.), semnul devine pozitiv. Dacă gradul ar fi par, atunci minusul se păstrează:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Cum să ridici la o putere negativă - numere de la 0 la 1

Amintiți-vă că atunci când un număr între 0 și 1 este ridicat la o putere pozitivă, valoarea scade pe măsură ce puterea crește. Deci, de exemplu, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Exemplul 3: Calculați 0,5 -2
Rezolvare: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Răspuns: 0,5 -2 = 4

Analizare (secvență de acțiuni):

• Convertiți zecimalul 0,5 în fracțional 1/2. E mai usor.
  Ridicați 1/2 la o putere negativă. 1/(2) -2 . Împărțim 1 la 1/(2) 2 , obținem 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Exemplul 4: Calculați 0,5 -3
Rezolvare: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Exemplul 5: Calculați -0,5 -3
Rezolvare: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Răspuns: -0,5 -3 = -8

Pe baza exemplelor al 4-lea și al 5-lea, vom trage câteva concluzii:

• Pentru un număr pozitiv între 0 și 1 (exemplul 4) ridicat la o putere negativă, indiferent dacă puterea este pară sau impară, valoarea expresiei va fi pozitivă. În acest caz, cu cât gradul este mai mare, cu atât valoarea este mai mare.
• Pentru un număr negativ între 0 și 1 (Exemplul 5), ridicat la o putere negativă, indiferent dacă puterea este pară sau impară, valoarea expresiei va fi negativă. În acest caz, cu cât gradul este mai mare, cu atât valoarea este mai mică.

Cum să ridici la o putere negativă - puterea ca număr fracționar

Expresiile de acest tip au următoarea formă: a -m/n, unde a este un număr obișnuit, m este numărătorul gradului, n este numitorul gradului.

Luați în considerare un exemplu:
Calculați: 8 -1/3

Soluție (secvență de acțiuni):

• Amintiți-vă de regula pentru ridicarea unui număr la o putere negativă. Se obține: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Rețineți că numitorul este 8 la o putere fracțională. Forma generală de calcul a unui grad fracționar este următoarea: a m/n = n √8 m .
• Astfel, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Obținem rădăcina cubă a lui opt, care este 2. Pe baza acesteia, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Răspuns: 8 -1/3 = 2