Vă invităm la o lecție despre cum să rezolvați ecuații cu fracții Cel mai probabil, ați mai întâlnit astfel de ecuații în trecut, așa că în această lecție trebuie să repetăm ​​și să rezumam informațiile pe care le cunoașteți.

Mai multe lecții pe site

O ecuație fracționară-rațională este o ecuație în care există fracții raționale, adică o variabilă la numitor. Cel mai probabil, te-ai ocupat deja de astfel de ecuații în trecut, așa că în această lecție vom repeta și rezuma informațiile pe care le cunoști.

În primul rând, îmi propun să ne referim la lecția anterioară a acestui subiect - la lecția „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”. În acea lecție, a fost luat în considerare un exemplu de rezolvare a unei ecuații raționale fracționale. Ia in considerare

Rezolvarea acestei ecuații se realizează în mai multe etape:

• Transformarea unei ecuații care conține fracții raționale.
• Tranziția la întreaga ecuație și simplificarea acesteia;
• Rezolvarea unei ecuații pătratice.

Este necesar să parcurgeți primele 2 etape atunci când rezolvați orice ecuație fracțională-rațională. A treia etapă este opțională, deoarece ecuația obținută în urma simplificărilor poate să nu fie pătrată, ci liniară; rezolvarea unei ecuații liniare este mult mai ușoară. Există un alt pas important în rezolvarea unei ecuații raționale fracționale. Va fi vizibil la rezolvarea următoarei ecuații.

ce ar trebui facut mai intai? - Desigur, aduceți fracțiile la un numitor comun. Și este foarte important să găsiți exact cel mai puţin numitor comun, altfel, mai departe, în procesul de rezolvare, ecuația se va complica. Aici observăm că numitorul ultimei fracții poate fi factorizat lași y+2. Tocmai acest produs va fi numitorul comun în această ecuație. Acum trebuie să determinați factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții. Mai degrabă, pentru ultima fracție, un astfel de factor nu este necesar, deoarece numitorul său este egal cu cel comun. Acum, când toate fracțiile au aceiași numitori, puteți trece la întreaga ecuație, formată din niște numărători. Dar trebuie făcută o remarcă, că valoarea găsită a necunoscutului nu poate dispărea niciunul dintre numitori. Acesta este ODZ: y≠0, y≠2. Aceasta completează prima dintre etapele descrise anterior ale soluției și trece la a doua - simplificăm întreaga ecuație rezultată. Pentru a face acest lucru, deschidem parantezele, transferăm toți termenii într-o parte a ecuației și dăm altele similare. Fă-o singur și verifică dacă calculele mele sunt corecte, în care se obține ecuația 3y 2 - 12y = 0. Această ecuație este pătratică, este scrisă în formă standard, iar unul dintre coeficienții ei este egal cu zero.

T. Kosyakova,
școala N№ 80, Krasnodar

Rezolvarea ecuațiilor pătratice și fracționale-raționale care conțin parametri

Lecția 4

Subiectul lecției:

Scopul lecției: pentru a forma capacitatea de a rezolva ecuații fracționale-raționale care conțin parametri.

Tip de lecție: introducerea de material nou.

1. (Oral.) Rezolvați ecuațiile:

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

Decizie.

Găsiți valori nevalide A:

Răspuns. În cazul în care un dacă A = – 19 , atunci nu există rădăcini.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

Decizie.

Găsiți valori nevalide ale parametrilor A :

10 – A = 5, A = 5;

10 – A = A, A = 5.

Răspuns. În cazul în care un A = 5 A № 5 , apoi x=10– A .

Exemplul 3. La ce valori ale parametrului b ecuația Are:

a) două rădăcini b) singura rădăcină?

Decizie.

1) Găsiți valori nevalide ale parametrilor b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 sau b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 sau b = – 2.

2) Rezolvați ecuația x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

A)

Excluderea valorilor parametrilor nevalide b , obținem că ecuația are două rădăcini, dacă b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, dar aceasta este o valoare a parametrului nevalidă b ; dacă b 2 –1=0 , adică b=1 sau.

Răspuns: a) dacă b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , apoi două rădăcini; b) dacă b=1 sau b=-1 , apoi singura rădăcină.

Muncă independentă

Opțiunea 1

Rezolvați ecuațiile:

Opțiunea 2

Rezolvați ecuațiile:

Răspunsuri

ÎN 1. si daca A=3 , atunci nu există rădăcini; dacă b) dacă dacă A № 2 , atunci nu există rădăcini.

ÎN 2.În cazul în care un A=2 , atunci nu există rădăcini; dacă A=0 , atunci nu există rădăcini; dacă
b) dacă A=– 1 , atunci ecuația își pierde sensul; dacă atunci nu există rădăcini;
dacă

Temă pentru acasă.

Rezolvați ecuațiile:

Răspunsuri: a) Dacă A № –2 , apoi x= A ; dacă A=–2 , atunci nu există soluții; b) dacă A № –2 , apoi x=2; dacă A=–2 , atunci nu există soluții; c) dacă A=–2 , apoi X- orice alt număr decât 3 ; dacă A № –2 , apoi x=2; d) dacă A=–8 , atunci nu există rădăcini; dacă A=2 , atunci nu există rădăcini; dacă

Lecția 5

Subiectul lecției:„Rezolvarea ecuațiilor fracționale-raționale care conțin parametri”.

Obiectivele lecției:

invatarea rezolvarii ecuatiilor cu o conditie nestandard;
asimilarea conștientă de către studenți a conceptelor algebrice și a relațiilor dintre acestea.

Tip de lecție: sistematizare și generalizare.

Verificarea temelor.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

a) relativ la x; b) relativ la y.

Decizie.

a) Găsiți valori nevalide y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– valoarea parametrului nevalidă y.

În cazul în care un y№ 0 , apoi x=y-2; dacă y=0, atunci ecuația își pierde sensul.

b) Găsiți valori nevalide ale parametrilor X: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– valoarea parametrului nevalidă X; y(2+x-y)=0, y=0 sau y=2+x;

y=0 nu satisface conditia y(y–x)№ 0 .

Răspuns: a) dacă y=0, atunci ecuația își pierde sensul; dacă y№ 0 , apoi x=y-2; b) dacă x=0 X№ 0 , apoi y=2+x .

Exemplul 2. Pentru ce valori întregi ale parametrului a sunt rădăcinile ecuației aparțin intervalului

D = (3 A + 2) 2 – 4A(A+ 1) 2 = 9 A 2 + 12A + 4 – 8A 2 – 8A,

D = ( A + 2) 2 .

În cazul în care un A № 0 sau A № – 1 , apoi

Răspuns: 5 .

Exemplul 3. Găsiți relativ X soluții întregi ale ecuației

Răspuns. În cazul în care un y=0, atunci ecuația nu are sens; dacă y=–1, apoi X- orice număr întreg, altul decât zero; dacă y# 0, y# – 1, atunci nu există soluții.

Exemplul 4 Rezolvați ecuația cu parametrii A și b .

În cazul în care un A№ – b , apoi

Răspuns. În cazul în care un a= 0 sau b= 0 , atunci ecuația își pierde sensul; dacă A№ 0,b№ 0, a=-b , apoi X- orice alt număr decât zero; dacă A№ 0,b№ 0,a№ -b apoi x=-a, x=-b .

Exemplul 5. Demonstrați că pentru orice valoare diferită de zero a parametrului n, ecuația are o singură rădăcină egală cu – n .

Decizie.

adică x=-n, ceea ce urma să fie dovedit.

Temă pentru acasă.

1. Găsiți soluții întregi ale ecuației

2. La ce valori ale parametrului c ecuația Are:
a) două rădăcini b) singura rădăcină?

3. Găsiți toate rădăcinile întregi ale ecuației dacă A O N .

4. Rezolvați ecuația 3xy - 5x + 5y = 7: a) relativ y; b) relativ X .

1. Ecuația este satisfăcută de orice valori întregi egale ale lui x și y, altele decât zero.
2. a) Când
b) la sau
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Dacă atunci nu există rădăcini; dacă
b) dacă atunci nu există rădăcini; dacă

Test

Opțiunea 1

1. Determinați tipul de ecuație 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 la o) c=-3; b) c=2;în) c=4 .

2. Rezolvați ecuațiile: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; în)

3. Rezolvați ecuația 3x-xy-2y=1:

a) relativ X ;
b) relativ y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0,știind că parametrul n ia doar valori întregi.

5. Pentru ce valori ale lui b are ecuația Are:

a) două rădăcini
b) singura rădăcină?

Opțiunea 2

1. Determinați tipul de ecuație 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 la o) c=-4; b) c=7;în) c=1 .

2. Rezolvați ecuațiile: a) y2 +cy=0; b) ny2 –8y+2=0;în)

3. Rezolvați ecuația 6x-xy+2y=5:

a) relativ X ;
b) relativ y .

4. Aflați rădăcinile întregi ale ecuației nx 2 -22x+2n=0 ,știind că parametrul n ia doar valori întregi.

5. Pentru ce valori ale parametrului a ecuația Are:

a) două rădăcini
b) singura rădăcină?

Răspunsuri

ÎN 1. 1. a) Ecuație liniară;
b) ecuație pătratică incompletă; c) o ecuaţie pătratică.
2. a) Dacă b=0, apoi x=0; dacă b#0, apoi x=0, x=b;
b) dacă cО (9;+Ґ ), atunci nu există rădăcini;
c) dacă A=–4 , atunci ecuația își pierde sensul; dacă A№ –4 , apoi x=- A .
3. a) Dacă y=3, atunci nu există rădăcini; dacă);
b) A=–3, A=1.

Sarcini suplimentare

Rezolvați ecuațiile:

Literatură

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Despre parametrii de la bun început. - Tutor, nr 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Condiții necesare în sarcinile cu parametri. – Kvant, nr. 11/1991, p. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Rezolvarea problemelor care conțin parametri. Partea 2. - M., Perspectivă, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Cinci sute paisprezece sarcini cu parametri. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Sarcini cu parametri. - M., Educaţie, 1986.

Ecuații fracționale. ODZ.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Continuăm să stăpânim ecuațiile. Știm deja cum să lucrăm cu ecuații liniare și pătratice. Ramane ultima vedere ecuații fracționale. Sau sunt numite și mult mai solide - ecuații raționale fracționale. Asta e lafel.

Ecuații fracționale.

După cum sugerează și numele, aceste ecuații conțin în mod necesar fracții. Dar nu doar fracții, ci fracții care au necunoscut la numitor. Cel puțin într-una. De exemplu:

Permiteți-mi să vă reamintesc, dacă numai în numitori numerele, acestea sunt ecuații liniare.

Cum să decizi ecuații fracționale? În primul rând, scapă de fracții! După aceea, ecuația, cel mai adesea, se transformă într-una liniară sau pătratică. Și atunci știm ce să facem... În unele cazuri, se poate transforma într-o identitate, gen 5=5 sau o expresie incorectă, precum 7=2. Dar asta se întâmplă rar. Mai jos o voi aminti.

Dar cum să scapi de fracții!? Foarte simplu. Aplicând toate aceleași transformări identice.

Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu aceeași expresie. Ca să scadă toți numitorii! Totul va deveni imediat mai ușor. explic cu un exemplu. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația:

Cum au fost predate în școala elementară? Transferăm totul într-o singură direcție, îl reducem la un numitor comun etc. Uită cât de urât vis! Acesta este ceea ce trebuie să faceți atunci când adăugați sau scădeți expresii fracționale. Sau lucrează cu inegalități. Și în ecuații, înmulțim imediat ambele părți printr-o expresie care ne va oferi posibilitatea de a reduce toți numitorii (adică, în esență, cu un numitor comun). Și care este această expresie?

În partea stângă, pentru a reduce numitorul, trebuie să înmulțiți cu x+2. Și în dreapta este necesară înmulțirea cu 2. Deci, ecuația trebuie înmulțită cu 2(x+2). Înmulțim:

Aceasta este înmulțirea obișnuită a fracțiilor, dar voi scrie în detaliu:

Vă rugăm să rețineți că încă nu deschid paranteza. (x + 2)! Deci, în întregime, o scriu:

Pe partea stângă, este redusă în întregime (x+2), iar în dreapta 2. După cum este necesar! După reducere obținem liniar ecuația:

Oricine poate rezolva această ecuație! x = 2.

Să rezolvăm un alt exemplu, puțin mai complicat:

Dacă ne amintim că 3 = 3/1, și 2x = 2x/ 1 se poate scrie:

Și din nou scăpăm de ceea ce nu ne place cu adevărat - din fracții.

Vedem că pentru a reduce numitorul cu x, este necesar să înmulțim fracția cu (x - 2). Și unitățile nu sunt o piedică pentru noi. Ei bine, hai să ne înmulțim. Toate partea stângă și toate partea dreapta:

Din nou paranteze (x - 2) Nu dezvălui. Lucrez cu paranteza ca un întreg, de parcă ar fi un număr! Acest lucru trebuie făcut întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.

Cu un sentiment de profundă satisfacție, tăiem (x - 2)și obținem ecuația fără fracții, într-o riglă!

Și acum deschidem parantezele:

Dăm altele similare, transferăm totul în partea stângă și obținem:

Dar înainte de asta, vom învăța să rezolvăm alte probleme. Pentru interes. Greblele alea, apropo!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Continuăm să vorbim despre rezolvarea ecuatiilor. În acest articol, ne vom concentra asupra ecuații raționaleși principii pentru rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă. Mai întâi, să ne dăm seama ce fel de ecuații sunt numite raționale, să dăm o definiție a ecuațiilor raționale întregi și a ecuațiilor raționale fracționale și să dăm exemple. În plus, vom obține algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor raționale și, desigur, vom lua în considerare soluțiile exemplelor tipice cu toate explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Pe baza definițiilor sunate, dăm câteva exemple de ecuații raționale. De exemplu, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , sunt toate ecuații raționale.

Din exemplele prezentate, se poate observa că ecuațiile raționale, precum și ecuațiile de alte tipuri, pot fi fie cu o variabilă, fie cu două, trei etc. variabile. În paragrafele următoare, vom vorbi despre rezolvarea ecuațiilor raționale într-o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor cu două variabile iar numărul lor mare merită o atenție deosebită.

Pe lângă împărțirea ecuațiilor raționale la numărul de variabile necunoscute, ele sunt, de asemenea, împărțite în întregi și fracționale. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

Ecuația rațională se numește întreg, dacă ambele părți din stânga și din dreapta sunt expresii raționale întregi.

Definiție.

Dacă cel puțin una dintre părțile unei ecuații raționale este o expresie fracțională, atunci o astfel de ecuație se numește fracționat rațional(sau rațional fracțional).

Este clar că ecuațiile întregi nu conțin împărțirea printr-o variabilă; dimpotrivă, ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă (sau o variabilă în numitor). Deci 3 x+2=0 și (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 sunt ecuații raționale întregi, ambele părți sunt expresii întregi. A și x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sunt exemple de ecuații raționale fracționale.

Încheind acest paragraf, să acordăm atenție faptului că ecuațiile liniare și ecuațiile pătratice cunoscute până în acest moment sunt ecuații raționale întregi.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Una dintre principalele abordări pentru rezolvarea ecuațiilor întregi este reducerea lor la echivalent ecuații algebrice. Acest lucru se poate realiza întotdeauna prin efectuarea următoarelor transformări echivalente ale ecuației:

• mai întâi, expresia din partea dreaptă a ecuației întregi originale este transferată în partea stângă cu semnul opus pentru a obține zero în partea dreaptă;
• după aceea, în partea stângă a ecuației, forma standard rezultată.

Rezultatul este o ecuație algebrică care este echivalentă cu întreaga ecuație originală. Deci, în cazurile cele mai simple, soluția ecuațiilor întregi se reduce la soluția ecuațiilor liniare sau pătratice, iar în cazul general - la soluția unei ecuații algebrice de gradul n. Pentru claritate, să analizăm soluția exemplului.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile întregii ecuații 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Decizie.

Să reducem soluția întregii ecuații la soluția unei ecuații algebrice echivalente. Pentru a face acest lucru, în primul rând, transferăm expresia din partea dreaptă în stânga, ca urmare ajungem la ecuație 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Și, în al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă într-un polinom al formei standard făcând ceea ce este necesar: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Astfel, soluția ecuației întregi inițiale se reduce la soluția ecuației pătratice x 2 −5·x−6=0 .

Calculați discriminantul acestuia D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, este pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale, pe care le găsim prin formula rădăcinilor ecuației pătratice:

Pentru a fi complet sigur, hai să facem verificarea rădăcinilor găsite ale ecuației. În primul rând, verificăm rădăcina 6, înlocuim-o în loc de variabila x din ecuația întregă originală: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, care este același, 63=63 . Aceasta este o ecuație numerică validă, deci x=6 este într-adevăr rădăcina ecuației. Acum verificăm rădăcina −1 , avem 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, de unde, 0=0 . Pentru x=−1, ecuația originală s-a transformat și într-o egalitate numerică adevărată, prin urmare, x=−1 este și rădăcina ecuației.

Răspuns:

6 , −1 .

Aici trebuie remarcat și faptul că termenul „putere a unei ecuații întregi” este asociat cu reprezentarea unei ecuații întregi sub forma unei ecuații algebrice. Dăm definiția corespunzătoare:

Definiție.

Gradul întregii ecuații numiți gradul unei ecuații algebrice echivalent cu acesta.

Conform acestei definiții, întreaga ecuație din exemplul precedent are gradul doi.

Pe aceasta s-ar putea termina cu rezolvarea unor ecuații raționale întregi, dacă nu pentru una, dar .... După cum se știe, soluția ecuațiilor algebrice de grad mai mare decât al doilea este asociată cu dificultăți semnificative, iar pentru ecuațiile de grad mai mare decât a patra, nu există deloc formule generale pentru rădăcini. Prin urmare, pentru a rezolva ecuații întregi de gradul al treilea, al patrulea și superior, de multe ori trebuie să recurgem la alte metode de rezolvare.

În astfel de cazuri, uneori abordarea de a rezolva ecuații raționale întregi pe baza metoda factorizării. În același timp, se urmărește următorul algoritm:

• mai întâi ei caută să aibă zero în partea dreaptă a ecuației, pentru aceasta transferă expresia din partea dreaptă a întregii ecuații la stânga;
• apoi, expresia rezultată din partea stângă este prezentată ca un produs al mai multor factori, ceea ce vă permite să mergeți la un set de mai multe ecuații mai simple.

Algoritmul de mai sus pentru rezolvarea întregii ecuații prin factorizare necesită o explicație detaliată folosind un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați întreaga ecuație (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Decizie.

Mai întâi, ca de obicei, transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă a ecuației, fără a uita să schimbăm semnul, obținem (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Este destul de evident aici că nu este recomandabil să transformați partea stângă a ecuației rezultate într-un polinom de forma standard, deoarece aceasta va da o ecuație algebrică de gradul al patrulea al formei. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, a cărui soluție este dificilă.

Pe de altă parte, este evident că x 2 −10·x+13 poate fi găsit în partea stângă a ecuației rezultate, reprezentând-o astfel ca un produs. Noi avem (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ecuația rezultată este echivalentă cu întreaga ecuație originală și, la rândul său, poate fi înlocuită cu un set de două ecuații pătratice x 2 −10·x+13=0 și x 2 −2·x−1=0 . Găsirea rădăcinilor lor folosind formulele rădăcinilor cunoscute prin discriminant nu este dificilă, rădăcinile sunt egale. Ele sunt rădăcinile dorite ale ecuației originale.

Răspuns:

De asemenea, este util pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi. metoda de introducere a unei noi variabile. În unele cazuri, permite trecerea la ecuații al căror grad este mai mic decât gradul ecuației întregi originale.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile reale ale unei ecuații raționale (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Decizie.

Reducerea acestei ecuații raționale la o ecuație algebrică este, ca să spunem ușor, o idee nu foarte bună, deoarece în acest caz vom ajunge la necesitatea de a rezolva o ecuație de gradul al patrulea care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, va trebui să cauți o altă soluție.

Este ușor de observat aici că puteți introduce o nouă variabilă y și puteți înlocui expresia x 2 +3 x cu ea. O astfel de înlocuire ne conduce la întreaga ecuație (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , care, după transferarea expresiei −2 (y−4) în partea stângă și transformarea ulterioară a expresiei formate acolo, se reduce la ecuația y 2 +4 y+3=0 . Rădăcinile acestei ecuații y=−1 și y=−3 sunt ușor de găsit, de exemplu, ele pot fi găsite pe baza teoremei inverse a teoremei lui Vieta.

Acum să trecem la a doua parte a metodei de introducere a unei noi variabile, adică la efectuarea unei substituții inverse. După efectuarea substituției inverse, obținem două ecuații x 2 +3 x=−1 și x 2 +3 x=−3 , care pot fi rescrise ca x 2 +3 x+1=0 și x 2 +3 x+3 =0 . După formula rădăcinilor ecuației pătratice, găsim rădăcinile primei ecuații. Și a doua ecuație pătratică nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul ei este negativ (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Răspuns:

În general, atunci când avem de-a face cu ecuații întregi de grade înalte, trebuie să fim întotdeauna gata să căutăm o metodă non-standard sau o tehnică artificială pentru rezolvarea lor.

Rezolvarea ecuațiilor fracționale raționale

În primul rând, va fi util să înțelegem cum să rezolvați ecuații raționale fracționale de forma , unde p(x) și q(x) sunt expresii întregi raționale. Și apoi vom arăta cum să reducem soluția ecuațiilor raționale fracționale rămase la soluția ecuațiilor de forma indicată.

Una dintre abordările de rezolvare a ecuației se bazează pe următoarea afirmație: fracția numerică u / v, unde v este un număr diferit de zero (altfel vom întâlni , care nu este definit), este zero dacă și numai dacă numărătorul său este zero, atunci este, dacă și numai dacă u=0 . În virtutea acestei afirmații, soluția ecuației se reduce la îndeplinirea a două condiții p(x)=0 și q(x)≠0 .

Această concluzie este în concordanță cu următoarele algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale. Pentru a rezolva o ecuație rațională fracțională de forma

• rezolvați întreaga ecuație rațională p(x)=0 ;
• și verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru fiecare rădăcină găsită, în timp ce
• dacă este adevărată, atunci această rădăcină este rădăcina ecuației originale;
• dacă nu, atunci această rădăcină este străină, adică nu este rădăcina ecuației originale.

Să analizăm un exemplu de utilizare a algoritmului vocal atunci când rezolvăm o ecuație rațională fracțională.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Decizie.

Aceasta este o ecuație fracțională rațională de forma , unde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Conform algoritmului de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale de acest fel, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația 3·x−2=0 . Aceasta este o ecuație liniară a cărei rădăcină este x=2/3 .

Rămâne să verificăm această rădăcină, adică să verificăm dacă îndeplinește condiția 5·x 2 −2≠0 . Inlocuim numarul 2/3 in loc de x in expresia 5 x 2 −2, obtinem . Condiția este îndeplinită, deci x=2/3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

2/3 .

Soluția unei ecuații raționale fracționale poate fi abordată dintr-o poziție ușor diferită. Această ecuație este echivalentă cu întreaga ecuație p(x)=0 pe variabila x a ecuației inițiale. Adică poți urmări asta algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale :

• se rezolva ecuatia p(x)=0 ;
• găsiți variabila ODZ x ;
• luați rădăcinile care aparțin regiunii valorilor admisibile - sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

De exemplu, să rezolvăm o ecuație rațională fracțională folosind acest algoritm.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Decizie.

În primul rând, rezolvăm ecuația pătratică x 2 −2·x−11=0 . Rădăcinile sale pot fi calculate folosind formula rădăcinii pentru un al doilea coeficient chiar, avem D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, și .

În al doilea rând, găsim ODZ a variabilei x pentru ecuația originală. Este format din toate numerele pentru care x 2 +3 x≠0 , care este același x (x+3)≠0 , de unde x≠0 , x≠−3 .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite la primul pas sunt incluse în ODZ. Evident ca da. Prin urmare, ecuația originală rațională fracțională are două rădăcini.

Răspuns:

Rețineți că această abordare este mai profitabilă decât prima dacă ODZ este ușor de găsit și este deosebit de benefică dacă rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt iraționale, de exemplu, , sau raționale, dar cu o valoare destul de mare. numărător și/sau numitor, de exemplu, 127/1101 și -31/59 . Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, verificarea condiției q(x)≠0 va necesita eforturi de calcul semnificative și este mai ușor să excludeți rădăcinile străine din ODZ.

În alte cazuri, la rezolvarea ecuației, mai ales când rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt numere întregi, este mai avantajos să se folosească primul algoritm de mai sus. Adică, este recomandabil să găsiți imediat rădăcinile întregii ecuații p(x)=0 și apoi să verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru ele și să nu găsiți ODZ și apoi să rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că în astfel de cazuri este de obicei mai ușor să faceți o verificare decât să găsiți ODZ.

Luați în considerare soluția a două exemple pentru a ilustra nuanțele stipulate.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Decizie.

Mai întâi găsim rădăcinile întregii ecuații (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compilat folosind numărătorul fracției. Partea stângă a acestei ecuații este un produs, iar partea dreaptă este zero, prin urmare, conform metodei de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare, această ecuație este echivalentă cu mulțimea de patru ecuații 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Trei dintre aceste ecuații sunt liniare și una pătratică, le putem rezolva. Din prima ecuație găsim x=1/2, din a doua - x=6, din a treia - x=7, x=−2, din a patra - x=−1.

Cu rădăcinile găsite, este destul de ușor să le verificați pentru a vedea dacă numitorul fracției din partea stângă a ecuației inițiale nu dispare și nu este atât de ușor să determinați ODZ, deoarece aceasta va trebui să rezolve o ecuația algebrică de gradul cinci. Prin urmare, vom refuza să găsim ODZ în favoarea verificării rădăcinilor. Pentru a face acest lucru, le înlocuim pe rând în loc de variabila x din expresie x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obținut după înlocuire și comparați-le cu zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Astfel, 1/2, 6 și -2 sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale, iar 7 și -1 sunt rădăcini străine.

Răspuns:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplu.

Aflați rădăcinile unei ecuații raționale fracționale.

Decizie.

Mai întâi găsim rădăcinile ecuației (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Această ecuație este echivalentă cu o mulțime de două ecuații: pătratul 5·x 2 −7·x−1=0 și liniarul x−2=0 . După formula rădăcinilor ecuației pătratice, găsim două rădăcini, iar din a doua ecuație avem x=2.

Verificarea dacă numitorul nu dispare la valorile găsite ale lui x este destul de neplăcută. Și pentru a determina intervalul de valori acceptabile ale variabilei x în ecuația originală este destul de simplu. Prin urmare, vom acționa prin intermediul ODZ.

În cazul nostru, ODZ a variabilei x a ecuației raționale fracționale inițiale este alcătuită din toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția x 2 +5·x−14=0 este îndeplinită. Rădăcinile acestei ecuații pătratice sunt x=−7 și x=2, din care concluzionăm despre ODZ: este alcătuit din tot x astfel încât .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite și x=2 aparțin regiunii valorilor admisibile. Rădăcinile - aparțin, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației originale, iar x=2 nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns:

De asemenea, va fi util să ne oprim separat asupra cazurilor în care un număr este la numărător într-o ecuație rațională fracțională de formă, adică atunci când p (x) este reprezentat de un număr. în care

• dacă acest număr este diferit de zero, atunci ecuația nu are rădăcini, deoarece fracția este zero dacă și numai dacă numărătorul ei este zero;
• dacă acest număr este zero, atunci rădăcina ecuației este orice număr din ODZ.

Exemplu.

Decizie.

Deoarece există un număr diferit de zero în numărătorul fracției din partea stângă a ecuației, pentru nu x valoarea acestei fracții poate fi egală cu zero. Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Răspuns:

fara radacini.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Decizie.

Numătorul fracției din partea stângă a acestei ecuații raționale fracționale este zero, deci valoarea acestei fracții este zero pentru orice x pentru care are sens. Cu alte cuvinte, soluția acestei ecuații este orice valoare a lui x din DPV a acestei variabile.

Rămâne de determinat acest interval de valori acceptabile. Include toate astfel de valori x pentru care x 4 +5 x 3 ≠0. Soluțiile ecuației x 4 +5 x 3 \u003d 0 sunt 0 și -5, deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x + 5) \u003d 0 și, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 \u003d 0 și x +5=0 , de unde aceste rădăcini sunt vizibile. Prin urmare, intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0 și x=−5.

Astfel, o ecuație rațională fracțională are infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și minus cinci.

Răspuns:

În cele din urmă, este timpul să vorbim despre rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale arbitrare. Ele pot fi scrise ca r(x)=s(x) , unde r(x) și s(x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Privind în perspectivă, spunem că soluția lor se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă deja familiară nouă.

Se știe că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus duce la o ecuație echivalentă, deci ecuația r(x)=s(x) este echivalentă cu ecuația r(x)−s (x)=0.

De asemenea, știm că oricare poate fi identic egal cu această expresie. Astfel, putem transforma întotdeauna expresia rațională din partea stângă a ecuației r(x)−s(x)=0 într-o fracție rațională identic egală de forma .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x)=s(x) la ecuația , iar soluția ei, așa cum am aflat mai sus, se reduce la rezolvarea ecuației p(x)=0 .

Dar aici este necesar să se țină seama de faptul că la înlocuirea r(x)−s(x)=0 cu , și apoi cu p(x)=0 , intervalul de valori admisibile ale variabilei x se poate extinde .

Prin urmare, ecuația inițială r(x)=s(x) și ecuația p(x)=0, la care am ajuns, pot să nu fie echivalente, iar rezolvând ecuația p(x)=0, putem obține rădăcini care vor fi rădăcini străine ale ecuației originale r(x)=s(x) . Este posibil să se identifice și să nu includă rădăcini străine în răspuns, fie prin verificare, fie prin verificarea apartenenței acestora la ODZ a ecuației inițiale.

Rezum aceste informații în algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale r(x)=s(x). Pentru a rezolva ecuația rațională fracțională r(x)=s(x) , trebuie

• Obțineți zero în dreapta mutând expresia din partea dreaptă cu semnul opus.
• Efectuați acțiuni cu fracții și polinoame din partea stângă a ecuației, transformând-o într-o fracție rațională a formei.
• Rezolvați ecuația p(x)=0 .
• Identificați și excludeți rădăcinile străine, ceea ce se face prin substituirea lor în ecuația originală sau prin verificarea apartenenței lor la ODZ a ecuației originale.

Pentru o mai mare claritate, vom arăta întregul lanț de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale:
.

Să parcurgem soluțiile mai multor exemple cu o explicație detaliată a soluției pentru a clarifica blocul de informații dat.

Exemplu.

Rezolvați o ecuație rațională fracțională.

Decizie.

Vom acționa în conformitate cu algoritmul de soluție tocmai obținut. Și mai întâi transferăm termenii din partea dreaptă a ecuației în partea stângă, ca rezultat trecem la ecuația .

În al doilea pas, trebuie să convertim expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației rezultate în forma unei fracții. Pentru a face acest lucru, efectuăm reducerea fracțiilor raționale la un numitor comun și simplificăm expresia rezultată: . Așa că ajungem la ecuație.

În pasul următor, trebuie să rezolvăm ecuația −2·x−1=0 . Aflați x=−1/2 .

Rămâne de verificat dacă numărul găsit -1/2 este o rădăcină străină a ecuației originale. Pentru a face acest lucru, puteți verifica sau găsi variabila ODZ x a ecuației originale. Să demonstrăm ambele abordări.

Să începem cu o verificare. Înlocuim numărul −1/2 în loc de variabila x în ecuația originală, obținem , care este același, −1=−1. Substituția dă egalitatea numerică corectă, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației originale.

Acum vom arăta cum se realizează ultimul pas al algoritmului prin ODZ. Gama de valori admisibile ale ecuației originale este mulțimea tuturor numerelor, cu excepția −1 și 0 (când x=−1 și x=0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina x=−1/2 găsită la pasul anterior aparține ODZ, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

−1/2 .

Să luăm în considerare un alt exemplu.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Decizie.

Trebuie să rezolvăm o ecuație fracțională rațională, să parcurgem toți pașii algoritmului.

Mai întâi, transferăm termenul din partea dreaptă în stânga, obținem .

În al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă: . Ca rezultat, ajungem la ecuația x=0 .

Rădăcina sa este evidentă - este zero.

La al patrulea pas, rămâne să aflăm dacă rădăcina găsită nu este una exterioară pentru ecuația rațională fracțională inițială. Când este substituită în ecuația originală, se obține expresia. Evident, nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. De unde concluzionăm că 0 este o rădăcină străină. Prin urmare, ecuația originală nu are rădăcini.

7 , ceea ce duce la ecuația . De aici putem concluziona că expresia din numitorul laturii stângi trebuie să fie egală cu din partea dreaptă, adică . Acum scădem din ambele părți ale tripluului: . Prin analogie, de unde și mai departe.

Verificarea arată că ambele rădăcini găsite sunt rădăcinile ecuației raționale fracționale originale.

Răspuns:

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.

În primul rând, pentru a învăța cum să lucrezi cu fracții raționale fără erori, trebuie să înveți formulele de înmulțire abreviată. Și nu doar pentru a învăța - ele trebuie recunoscute chiar și atunci când sinusurile, logaritmii și rădăcinile acționează ca termeni.

Cu toate acestea, instrumentul principal este factorizarea numărătorului și numitorului unei fracții raționale. Acest lucru poate fi realizat în trei moduri diferite:

1. De fapt, conform formulei de înmulțire prescurtată: vă permit să restrângeți un polinom în unul sau mai mulți factori;
2. Prin factorizarea unui trinom pătrat în factori prin discriminant. Aceeași metodă face posibilă verificarea faptului că orice trinom nu poate fi factorizat deloc;
3. Metoda de grupare este cel mai complex instrument, dar este singurul care funcționează dacă cele două anterioare nu au funcționat.

După cum probabil ați ghicit din titlul acestui videoclip, vom vorbi din nou despre fracțiile raționale. Literal acum câteva minute, am terminat o lecție cu un elev de clasa a zecea și acolo am analizat tocmai aceste expresii. Prin urmare, această lecție va fi destinată special elevilor de liceu.

Cu siguranță mulți vor avea acum o întrebare: „De ce elevii din clasele 10-11 învață lucruri atât de simple precum fracțiile raționale, pentru că asta se face în clasa a 8-a?”. Dar asta e necazul, că majoritatea oamenilor doar „trec prin” acest subiect. În clasele 10-11, ei nu-și mai amintesc cum se fac înmulțirea, împărțirea, scăderea și adunarea fracțiilor raționale din clasa a 8-a și tocmai pe această cunoaștere simplă se construiesc în continuare structuri mai complexe, cum ar fi rezolvarea ecuațiilor logaritmice, trigonometrice. și multe alte expresii complexe, așa că practic nu este nimic de făcut în liceu fără fracții raționale.

Formule pentru rezolvarea problemelor

Sa trecem la treaba. În primul rând, avem nevoie de două fapte - două seturi de formule. În primul rând, trebuie să cunoașteți formulele pentru înmulțirea prescurtată:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ este diferența de pătrate;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ este pătratul sumei sau al diferenței ;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ este suma cuburilor;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ este diferența de cuburi.

În forma lor pură, ele nu se găsesc în niciun exemplu și în expresii reale serioase. Prin urmare, sarcina noastră este să învățăm să vedem construcții mult mai complexe sub literele $a$ și $b$, de exemplu, logaritmi, rădăcini, sinusuri etc. Poate fi învățat doar printr-o practică constantă. De aceea rezolvarea fracțiilor raționale este absolut necesară.

A doua formulă, destul de evidentă, este factorizarea unui trinom pătrat:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ sunt rădăcini.

Ne-am ocupat de partea teoretică. Dar cum să rezolvi fracțiile raționale reale, care sunt luate în considerare în clasa a 8-a? Acum mergem să exersăm.

Sarcina 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Să încercăm să aplicăm formulele de mai sus la rezolvarea fracțiilor raționale. În primul rând, vreau să explic de ce este necesară factorizarea. Cert este că, la prima vedere la prima parte a sarcinii, vreau să reduc cubul cu pătratul, dar acest lucru este absolut imposibil, deoarece sunt termeni la numărător și la numitor, dar în niciun caz nu sunt factori. .

Ce este mai exact o abreviere? Reducerea este utilizarea regulii de bază pentru a lucra cu astfel de expresii. Proprietatea principală a unei fracții este că putem înmulți numărătorul și numitorul cu același număr, altul decât „zero”. În acest caz, când reducem, atunci, dimpotrivă, împărțim la același număr, altul decât „zero”. Cu toate acestea, trebuie să împărțim toți termenii din numitor la același număr. Nu poți face asta. Și avem dreptul să reducem numărătorul cu numitorul numai atunci când ambele sunt factorizate. S-o facem.

Acum trebuie să vedeți câți termeni sunt într-un anumit element, în conformitate cu acesta, aflați ce formulă trebuie să utilizați.

Să transformăm fiecare expresie într-un cub exact:

Să rescriem numărătorul:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

Să ne uităm la numitor. Îl extindem conform formulei diferenței de pătrate:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ dreapta)\]

Acum să ne uităm la a doua parte a expresiei:

Numărător:

Rămâne să ne ocupăm de numitorul:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

Să rescriem întreaga construcție, ținând cont de faptele de mai sus:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Nuanțe ale înmulțirii fracțiilor raționale

Concluzia cheie a acestor construcții este următoarea:

• Nu orice polinom poate fi factorizat.
• Chiar dacă este descompus, este necesar să ne uităm cu atenție la ce formulă specială pentru înmulțirea prescurtată.

Pentru a face acest lucru, mai întâi, trebuie să estimăm câți termeni există (dacă sunt doi, atunci tot ce putem face este să-i extindem fie prin suma diferenței pătratelor, fie prin suma sau diferența cuburilor; și dacă sunt trei dintre ele, apoi aceasta , în mod unic, fie pătratul sumei, fie pătratul diferenței). Se întâmplă adesea ca fie numărătorul, fie numitorul să nu necesite deloc factorizare, poate fi liniar sau discriminantul său va fi negativ.

Sarcina #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

În general, schema de rezolvare a acestei probleme nu este diferită de cea anterioară - pur și simplu vor exista mai multe acțiuni și vor deveni mai diverse.

Să începem cu prima fracție: uită-te la numărătorul ei și fă posibile transformări:

Acum să ne uităm la numitor:

Cu a doua fracție: nu se poate face nimic la numărător, deoarece este o expresie liniară și este imposibil să scoți vreun factor din ea. Să ne uităm la numitor:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right) ))^(2))\]

Trecem la a treia fracțiune. Numărător:

Să ne ocupăm de numitorul ultimei fracții:

Să rescriem expresia ținând cont de faptele de mai sus:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \dreapta))\]

Nuanțe ale soluției

După cum puteți vedea, nu totul și nu întotdeauna se bazează pe formulele de înmulțire abreviate - uneori este suficient să puneți în paranteză o constantă sau o variabilă. Există însă și situația inversă, când există atât de mulți termeni sau sunt construiți în așa fel încât formula de înmulțire prescurtată la ei este în general imposibilă. În acest caz, ne vine în ajutor un instrument universal și anume metoda grupării. Aceasta este ceea ce vom aplica acum în următoarea problemă.

Sarcina #3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Să aruncăm o privire la prima parte:

\[((a)^(2))+ab=a\stanga(a+b\dreapta)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) ) )\dreapta)=\]

\[=\stanga(a-b\dreapta)\stanga(5-a-b\dreapta)\]

Să rescriem expresia originală:

\[\frac(a\left(a+b\right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Acum să ne ocupăm de a doua paranteză:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \dreapta)\]

Deoarece două elemente nu au putut fi grupate, am grupat trei. Rămâne să ne ocupăm doar de numitorul ultimei fracții:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\stanga(a-b \dreapta)\stanga(a+b \dreapta)\]

Acum să rescriem întreaga noastră structură:

\[\frac(a\left(a+b\right))(\left(a-b\right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \stanga(a-b \dreapta))^(2)))\]

Problema este rezolvată și nu se mai poate simplifica nimic aici.

Nuanțe ale soluției

Ne-am dat seama de grupare și am primit un alt instrument foarte puternic care extinde posibilitățile de factorizare. Dar problema este că, în viața reală, nimeni nu ne va oferi exemple atât de rafinate în care există mai multe fracții care trebuie doar luate în considerare la numărător și numitor și apoi, dacă este posibil, să le reducă. Expresiile reale vor fi mult mai complicate.

Cel mai probabil, pe lângă înmulțire și împărțire, vor exista scăderi și adunări, tot felul de paranteze - în general, va trebui să țineți cont de ordinea acțiunilor. Dar cel mai rău lucru este că atunci când se scad și se adună fracții cu numitori diferiți, acestea vor trebui reduse la una comună. Pentru a face acest lucru, fiecare dintre ele va trebui să fie descompus în factori, iar apoi aceste fracții vor fi transformate: dați altele similare și multe altele. Cum să o faci corect, rapid și, în același timp, să obții răspunsul corect fără ambiguități? Despre aceasta vom vorbi acum folosind exemplul construcției următoare.

Sarcina #4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \dreapta)\]

Să scriem prima fracție și să încercăm să o rezolvăm separat:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

Să trecem la al doilea. Să calculăm discriminantul numitorului:

Nu se factorizează, așa că scriem următoarele:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

Scriem separat numeratorul:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Prin urmare, acest polinom nu poate fi factorizat.

Maximul pe care l-am putut face și descompune, l-am făcut deja.

În total, rescriem construcția noastră originală și obținem:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Totul, sarcina este rezolvată.

Sincer să fiu, nu a fost o sarcină atât de dificilă: totul a fost ușor de luat în calcul acolo, termeni similari au fost dați rapid și totul a fost frumos redus. Deci acum să încercăm să rezolvăm problema mai serios.

Sarcina numărul 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

În primul rând, să ne ocupăm de prima paranteză. De la bun început, factorăm separat numitorul celei de-a doua fracții:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \dreapta)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ stânga(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \dreapta)\stanga(((x)^(2))+2x+4 \dreapta))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acum să lucrăm cu a doua fracție:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ stânga(x-2 \dreapta))(\stanga (x-2 \dreapta)\stanga (x+2 \dreapta))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Ne întoarcem la designul nostru original și scriem:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Puncte cheie

Încă o dată, faptele cheie ale tutorialului video de astăzi:

1. Trebuie să știi pe de rost formulele de înmulțire prescurtată – și nu doar să știi, ci să poți vedea în acele expresii pe care le vei întâlni în probleme reale. O regulă minunată ne poate ajuta cu asta: dacă există doi termeni, atunci aceasta este fie diferența de pătrate, fie diferența sau suma cuburilor; dacă trei, poate fi doar pătratul sumei sau al diferenței.
2. Dacă orice construcție nu poate fi descompusă folosind formule de înmulțire abreviate, atunci ne vine în ajutor fie formula standard pentru factorizarea trinoamelor în factori, fie metoda grupării.
3. Dacă ceva nu funcționează, priviți cu atenție expresia originală - și dacă sunt necesare transformări cu ea. Poate că va fi suficient doar să scoateți multiplicatorul din paranteză, iar aceasta este de multe ori doar o constantă.
4. În expresiile complexe în care trebuie să efectuați mai multe acțiuni la rând, nu uitați să aduceți la un numitor comun și numai după aceea, când toate fracțiile sunt reduse la acesta, asigurați-vă că aduceți același lucru în noul numărător și apoi factorizează din nou noul numărător - este posibil ca - să fie redus.

Atât am vrut să vă spun astăzi despre fracțiile raționale. Dacă ceva nu este clar, există încă o mulțime de tutoriale video pe site, precum și o mulțime de sarcini pentru o soluție independentă. Asa ca ramai cu noi!