Buna! În acest articol, vom lua în considerare problemele cu mingile. Mai degrabă, aici va exista o combinație de corpuri: o minge sau, cu alte cuvinte, un cilindru descris lângă minge (care este același lucru) și un cub înscris în minge.

Blogul a luat în considerare deja un grup de sarcini cu mingi, . În sarcinile prezentate, vom vorbi despre găsirea volumului și a suprafeței corpurilor indicate.trebuie să știți!

Formula volumului sferei:

Formula pentru suprafața unei sfere este:

Formula pentru volumul unui cilindru este:

Formula pentru suprafața unui cilindru este:

Mai multe despre suprafața laterală a cilindrului:

Este un dreptunghi „răsucit” într-un cilindru, a cărui latură este egală cu circumferința bazei - aceasta este 2ПiR, cealaltă parte este egală cu înălțimea cilindrului - aceasta este N.

Ce trebuie remarcat cu privire la sarcinile prezentate?

1. Dacă o minge este înscrisă într-un cilindru, atunci acestea au o rază comună.

2. Înălțimea unui cilindru circumscris unei sfere este egală cu două din razele (sau diametrul) acestuia.

3. Dacă într-o sferă este înscris un cub, atunci diagonala acestui cub este egală cu diametrul sferei.

245348. Cilindrul este descris lângă minge. Volumul cilindrului este 33. Aflați volumul sferei.

Formula volumului sferei:

Trebuie să găsim raza sferei.

O sferă și un cilindru au o rază comună. Baza cilindrului este un cerc cu raza R, înălțimea cilindrului este egală cu două raze. Deci volumul cilindrului se calculează prin formula:

Înlocuiți volumul dat în condiție în formulă și exprimați raza:

Să lăsăm expresia în această formă, nu este necesar să exprimăm raza (extrageți rădăcina gradului trei), deoarece avem nevoie exact de R 3 .

Astfel, volumul sferei va fi egal cu:

Raspuns: 22

245349. Cilindrul este descris lângă minge. Volumul sferei este 24. Aflați volumul cilindrului.

Această sarcină este inversul celei anterioare.

Formula volumului sferei:

Volumul unui cilindru se calculează prin formula:

Deoarece volumul sferei este cunoscut, putem exprima raza și apoi găsim volumul cilindrului:

Prin urmare:

Raspuns: 36

316557. Bila este înscrisă într-un cilindru. Suprafața sferei este de 111. Aflați suprafața totală a cilindrului.

Formula suprafeței sferei:

Formula suprafeței cilindrului:

Să simplificăm:

Deoarece suprafața mingii ne este dată, putem exprima raza:

Răspuns: 166,5

O MINGE DESPRE UN CILINDRU ȘI UN CON se numește (a) dacă partea superioară a conului se află pe suprafața bilei, iar baza conului este secțiunea bilei. O minge poate fi întotdeauna circumscrisă lângă un con circular drept Centrul unei mingi circumscris lângă un con se află la înălțimea conului. Centrul mingii descris lângă con poate fi atât în ​​interiorul, cât și în exteriorul conului și, de asemenea, coincide cu centrul bazei.

se numeste) daca bazele cilindrului sunt sectiuni ale unei sfere. (a Un cilindru circular drept poate fi circumscris. Centrul unei sfere circumscris în jurul unui cilindru se află la înălțimea cilindrului.

Centrul cercului circumferitor al unui triunghi este punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale laturilor triunghiului.Centrul cercului circumscripțional al unui triunghi poate fi în afara triunghiului.Pentru un triunghi dreptunghic: R= Centrul cercului circumscripțional al unui triunghi dreptunghic este punctul mijlociu al ipotenuzei. Pentru un patrulater regulat: R= o latură; R este raza cercului înscris

Nr. 645. Un cilindru este înscris într-o sferă. Aflați raportul dintre aria suprafeței totale a cilindrului și aria sferei dacă înălțimea cilindrului este egală cu diametrul bazei. R R Dat: o sferă cu centrul O, este înscris un cilindru, h=2 R Aflați: R Analiza condițiilor: O R

O minge poate fi circumscrisă în apropierea unei piramide dacă și numai dacă un cerc poate fi circumscris lângă baza acesteia.

Pentru a construi centrul O al acestei mingi, aveți nevoie de:

1. Aflați centrul O, cercul circumscris lângă bază.

2. Prin punctul O, trasați o dreaptă perpendiculară pe planul bazei.

3. Prin mijlocul oricărei margini laterale a piramidei, trageți un plan perpendicular pe această margine.

4. Aflați punctul O al intersecției dreptei și planului construit.

Caz special: marginile laterale ale piramidei sunt egale. Apoi:

mingea poate fi descrisă;

centrul O al mingii se află la înălțimea piramidei;

Unde este raza sferei circumscrise; - coasta laterala; H este înălțimea piramidei.

5.2. bila si prisma

O sferă poate fi circumscrisă lângă o prismă dacă și numai dacă prisma este dreaptă și un cerc poate fi circumscris lângă baza sa.

Centrul mingii este mijlocul segmentului care leagă centrele cercurilor descrise lângă baze.

unde este raza sferei circumscrise; este raza cercului circumscris lângă bază; H este înălțimea prismei.

5.3. bila si cilindru

O sferă poate fi întotdeauna descrisă lângă un cilindru. Centrul sferei este centrul de simetrie al secțiunii axiale a cilindrului.

5.4. minge și con

O sferă poate fi întotdeauna descrisă lângă un con. centrul mingii; servește ca centru al unui cerc circumscris secțiunii axiale a conului.

Lumea din jurul nostru, în ciuda varietății de obiecte și fenomene care apar cu ele, este plină de armonie datorită acțiunii clare a legilor naturii. În spatele libertății aparente cu care natura trasează contururile și creează formele lucrurilor, există reguli și legi clare care sugerează involuntar prezența unei puteri superioare în procesul creației. În pragul științei pragmatice, care oferă o descriere a fenomenelor care apar din poziția formulelor matematice și a viziunilor teosofice asupra lumii, există o lume care ne oferă o grămadă de emoții și impresii din lucrurile care o umplu și evenimentele care au loc cu lor.

O minge, așa cum este cea mai comună formă găsită în natură pentru corpurile fizice. Majoritatea corpurilor macrocosmosului și microcosmosului au forma unei mingi sau tind să se apropie de una. De fapt, mingea este un exemplu de formă ideală. Definiția general acceptată pentru o minge este considerată a fi următoarea: este un corp geometric, un set (mult) de toate punctele din spațiu care sunt situate la o distanță de centru care nu depășește una dată. În geometrie, această distanță se numește raza, iar în raport cu o cifră dată se numește raza bilei. Cu alte cuvinte, volumul sferei conține toate punctele situate la o distanță de centru care nu depășește lungimea razei.

Bila este, de asemenea, considerată ca rezultat al rotației unui semicerc în jurul diametrului său, care în același timp rămâne nemișcat. În același timp, unor elemente și caracteristici precum raza și volumul mingii, se adaugă axa mingii (diametru fix), iar capetele acesteia se numesc polii mingii. Suprafața unei sfere se numește sferă. Dacă avem de-a face cu o minge închisă, atunci aceasta include această sferă, dacă este cu una deschisă, atunci o exclude.

Având în vedere definiții suplimentare legate de minge, ar trebui spus despre planurile de tăiere. Planul secant care trece prin centrul mingii se numește cerc mare. Pentru alte secțiuni plate ale mingii, se obișnuiește să se folosească denumirea de „cercuri mici”. Atunci când se calculează suprafețele acestor secțiuni, se utilizează formula πR².

Calculând volumul unei mingi, matematicienii au întâlnit câteva modele și particularități destul de fascinante. S-a dovedit că această valoare fie se repetă complet, fie este foarte apropiată în ceea ce privește metoda de determinare, de volumul unei piramide sau al unui cilindru descris în jurul unei mingi. Se dovedește că volumul mingii este egal dacă baza are aceeași suprafață cu suprafața mingii, iar înălțimea este egală cu raza mingii. Dacă luăm în considerare un cilindru descris în jurul mingii, atunci putem calcula modelul conform căruia volumul mingii este de o ori și jumătate mai mic decât volumul acestui cilindru.

Atrăgătoare și originală este metoda de retragere a mingii folosind principiul Cavalieri. Constă în aflarea volumului oricărei figuri prin adunarea ariilor obţinute de secţiunea ei printr-un număr infinit.Pentru concluzie, să luăm o emisferă cu raza R şi un cilindru având înălţimea R cu un cerc de bază cu raza R (la bazele emisferei și cilindrul sunt situate în același plan). În acest cilindru intrăm într-un con cu un vârf în centrul bazei sale inferioare. După ce am demonstrat că volumul emisferei și părțile cilindrului care se află în afara conului sunt egale, putem calcula cu ușurință volumul bilei. Formula sa ia următoarea formă: patru treimi din produsul cubului de rază și π (V= 4/3R^3×π). Acest lucru este ușor de demonstrat prin desenarea unui plan de tăiere comun printr-o emisferă și un cilindru. Zonele unui cerc mic și ale unui inel delimitate din exterior de laturile unui cilindru și ale unui con sunt egale. Și, folosind principiul Cavalieri, este ușor să ajungem la dovada formulei principale, cu ajutorul căreia determinăm volumul mingii.

Dar nu numai problema studierii corpurilor naturale este legată de găsirea modalităților de a determina diferitele lor caracteristici și proprietăți. O astfel de figură de stereometrie ca o minge este foarte utilizată în activitățile umane practice. Masa de dispozitive tehnice are în designul lor detalii nu numai de formă sferică, ci și formate din elemente ale unei mingi. Copierea soluțiilor naturale ideale în procesul activității umane este cea care dă rezultate de cea mai înaltă calitate.

Când în problemă este dată o piramidă înscrisă într-o minge, următoarele informații teoretice vor fi utile în rezolvarea acesteia.

Dacă piramida este înscrisă într-o bilă, atunci toate vârfurile acesteia se află pe suprafața acestei bile (pe sferă), respectiv, distanțele de la centrul bilei la vârfuri sunt egale cu raza bilei.

Fiecare față a unei piramide înscrisă într-o bilă este un poligon înscris într-un cerc. Bazele perpendicularelor căzute din centrul mingii pe planul fețelor sunt centrele acestor cercuri circumscrise. Astfel, centrul sferei descrise în apropierea piramidei este punctul de intersecție al perpendicularelor pe fețele piramidei, trasate prin centrele cercurilor descrise în apropierea fețelor.

Cel mai adesea, centrul mingii descris în apropierea piramidei este considerat ca punctul de intersecție al perpendicularei trase la bază prin centrul cercului circumscris lângă bază și bisectoarea perpendiculară pe marginea laterală (bisectoarea perpendiculară se află în planul care trece prin această margine laterală și prima perpendiculară (trasă pe bază).Dacă un cerc nu poate fi înscris lângă baza unei piramide, atunci această piramidă nu poate fi înscrisă într-o bilă.De aici rezultă că o bilă poate fi întotdeauna înscris în apropierea unei piramide triunghiulare, iar o piramidă patruunghiulară înscrisă într-o bilă cu un paralelogram la bază pot avea o bază dreptunghiulară sau pătrată.

Centrul sferei descrise în apropierea piramidei se poate afla în interiorul piramidei, pe suprafața piramidei (pe fața laterală, pe bază) și în afara piramidei. Dacă starea problemei nu spune exact unde se află centrul mingii descrise, este recomandabil să luați în considerare modul în care diferitele opțiuni pentru locația acesteia pot afecta soluția.

În apropierea oricărei piramide obișnuite, poate fi descrisă o sferă. Centrul său este punctul de intersecție al dreptei care conține înălțimea piramidei și bisectoarea perpendiculară pe marginea laterală.

Când se rezolvă probleme pe o piramidă înscrisă într-o minge, se iau în considerare cel mai adesea unele triunghiuri.

Să începem cu triunghiul SO1C. Este isoscel, deoarece cele două laturi ale sale sunt egale cu razele bilei: SO1=O1C=R. Prin urmare, O1F este înălțimea, mediana și bisectoarea sa.

Triunghiurile dreptunghic SOC și SFO1 sunt similare în unghiul ascuțit S. Prin urmare

SO=H este înălțimea piramidei, SC=b este lungimea marginii laterale, SF=b/2, SO1=R, OC=r este raza cercului circumscris lângă baza piramidei.

Într-un triunghi dreptunghic OO1C, ipotenuza este O1C=R, catetele sunt OC=r, OO1=H-R. Conform teoremei lui Pitagora:

Dacă continuăm înălțimea SO, obținem diametrul SM. Triunghiul SCM este dreptunghic (deoarece unghiul înscris SCM se sprijină pe diametru). În ea, OC este înălțimea trasă de ipotenuză, SO și OM sunt proiecțiile catetelor SC și CM pe ipotenuză. Conform proprietăților unui triunghi dreptunghic,