Luați în considerare o grindă care se află în îndoire plană directă sub acțiunea unor sarcini transversale arbitrare în planul principal Ohu(Fig. 7.31, A). Tăiem fasciculul la o distanță x de capătul său stâng și luăm în considerare echilibrul părții stângi. Influența părții drepte în acest caz trebuie înlocuită cu acțiunea momentului încovoietor A / și a forței transversale Q yîn secțiunea desenată (Fig. 7.31, b). Momentul încovoietor L7 în cazul general nu este constant ca mărime, așa cum a fost cazul îndoirii pure, ci variază de-a lungul lungimii grinzii. De la momentul încovoietor M

conform (7.14) este asociată cu tensiuni normale o = a x, atunci tensiunile normale din fibrele longitudinale se vor modifica și ele pe lungimea grinzii. Prin urmare, în cazul încovoierii transversale, tensiunile normale sunt funcții ale variabilelor x și y: a x = a x (x, y).

În cazul îndoirii transversale în secțiunea grinzii, acţionează nu numai tensiunile normale, ci și tangenţiale (Fig. 7.31, în), a cărei rezultantă este forța transversală Qy:

Prezența tensiunilor de forfecare x wowînsoţită de apariţia deformaţiilor unghiulare y. Tensiunile de forfecare, ca și tensiunile normale, sunt distribuite neuniform pe secțiunea transversală. În consecință, deformațiile unghiulare asociate acestora prin legea Hooke în forfecare vor fi, de asemenea, distribuite neuniform. Aceasta înseamnă că în îndoirea transversală, spre deosebire de îndoirea pură, secțiunile grinzii nu rămân plate (ipoteza lui J. Bernoulli este încălcată).

Curbura secțiunilor transversale poate fi demonstrată clar prin exemplul de îndoire a unei grinzi dreptunghiulare de cauciuc în consolă cauzată de o forță concentrată aplicată la capăt (Fig. 7.32). Dacă mai întâi desenați linii drepte perpendiculare pe axa grinzii pe fețele laterale, atunci, după îndoire, aceste linii nu rămân drepte. În acest caz, ele sunt îndoite astfel încât cea mai mare deplasare să aibă loc la nivelul stratului neutru.

Studii mai precise au stabilit că efectul distorsiunii în secțiune transversală asupra valorii tensiunilor normale este nesemnificativ. Depinde de raportul dintre înălțimea secțiunii h la lungimea grinzii / si la h/ / o x în încovoiere transversală, se utilizează de obicei formula (7.14), derivată pentru cazul îndoirii pure.

A doua caracteristică a îndoirii transversale este prezența tensiunilor normale despre y, care acționează în secțiunile longitudinale ale grinzii și caracterizează presiunea reciprocă dintre straturile longitudinale. Aceste tensiuni apar în zonele în care există o sarcină distribuită q,şi locurile de aplicare a forţelor concentrate. De obicei, aceste tensiuni sunt foarte mici în comparație cu tensiunile normale. un x. Un caz special este acțiunea unei forțe concentrate, în zona de aplicare a căreia pot apărea solicitări locale semnificative. si tu.

Astfel, un element infinitezimal în plan Ohuîn cazul îndoirii transversale, aceasta se află în stare de efort biaxială (Fig. 7.33).

Tensiunile m și o, precum și tensiunea o Y , sunt în general funcții ale coordonatelor* și y. Ele trebuie să satisfacă ecuațiile de echilibru diferențial, care pentru o stare de efort biaxială ( a z = T yz = = 0) în lipsă

forțele de volum au următoarea formă:

Aceste ecuații pot fi utilizate pentru a determina tensiunile de forfecare = t și tensiunile normale OU. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este pentru un fascicul cu secțiune transversală dreptunghiulară. În acest caz, la determinarea lui m, se face ipoteza despre distribuția lor uniformă pe lățimea secțiunii (Fig. 7.34). Această presupunere a fost făcută de celebrul constructor rus de poduri D.I. Zhuravsky. Studiile arată că această ipoteză corespunde aproape exact cu natura reală a distribuției tensiunilor tăietoare în încovoiere pentru grinzi destul de înguste și înalte. (b « ȘI).

Folosind prima dintre ecuațiile diferențiale (7.26) și formula (7.14) pentru tensiuni normale un x, primim

Integrarea acestei ecuații în raport cu variabila y, găsi

Unde f(x)- o funcție arbitrară, pentru definiția căreia se folosește condiția absenței tensiunilor de forfecare pe fața inferioară a grinzii:

Ținând cont de această condiție la limită, din (7.28) găsim

În cele din urmă, expresia tensiunilor tăietoare care acționează în secțiunile transversale ale grinzii ia următoarea formă:

În virtutea legii împerecherii tensiunilor tangenţiale, în secţiunile longitudinale apar şi tensiuni tangenţiale t, = t

hu uh

grinzi paralele cu stratul neutru.

Din formula (7.29) se poate observa că eforturile de forfecare se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii transversale a grinzii conform legii parabolei pătrate. Tensiunile de forfecare au cea mai mare valoare în punctele de la nivelul axei neutre la y= 0, iar în fibrele extreme ale fasciculului la y = ±h/2 sunt egale cu zero. Folosind formula (7.23) pentru momentul de inerție al unei secțiuni dreptunghiulare, obținem

Unde F=bh- zona secțiunii transversale a fasciculului.

Graficul t este prezentat în fig. 7.34.

În cazul grinzilor cu secțiune transversală nedreptunghiulară (Fig. 7.35), este dificil să se determine tensiunile tăietoare m din ecuația de echilibru (7.27), deoarece condiția la limită pentru m nu este cunoscută în toate punctele crucii. conturul secțiunii. Acest lucru se datorează faptului că, în acest caz, în secțiune transversală acționează tensiunile tăietoare m, care nu sunt paralele cu forța transversală. Q y .Într-adevăr, se poate demonstra că în punctele din apropierea conturului secțiunii transversale, efortul total de forfecare m este direcționat tangențial la contur. Considerăm, în vecinătatea unui punct arbitrar al conturului (vezi Fig. 7.35), o zonă infinit de mică dFîn planul secțiunii transversale și o platformă perpendiculară pe aceasta dF" pe partea laterală a grinzii. Dacă efortul total m în punctul de contur nu este direcționat tangențial, atunci ea poate fi descompusă în două componente: xvxîn direcţia v-ului normal spre contur şi Xîn direcția tangentei t la contur. Prin urmare, conform legii împerecherii tensiunilor tăietoare pe șantier dF" ar trebui să-

dar acționează efortul de forfecare x egal cu x vv . Dacă suprafața laterală este liberă de sarcini tangențiale, atunci componenta x vv = zvx = 0, adică efortul total de forfecare x trebuie direcționat tangențial la conturul secțiunii transversale, așa cum se arată, de exemplu, în punctele L și LA contur.

În consecință, efortul de forfecare x atât în ​​punctele conturului, cât și în orice punct al secțiunii transversale poate fi descompus în componente x ale acestora.

Pentru a determina componentele x ale efortului de forfecare în grinzi cu secțiune transversală nedreptunghiulară (Fig. 7.36, b) să presupunem că secțiunea are o axă de simetrie verticală și că componenta x a efortului total de forfecare x, ca în cazul unei secțiuni transversale dreptunghiulare, este distribuită uniform pe lățimea sa.

Folosind o secțiune longitudinală paralelă cu planul Oxz si trecand la distanta la din el și două secțiuni transversale xx + dx decupat mental din partea de jos a grinzii un element infinitezimal de lungime dx(Fig. 7.36, în).

Presupunem că momentul încovoietor M variază în lungime dx element considerat al grinzii și forța transversală Q constant. Apoi în secțiuni transversale x și x + dx grinzile vor acționa cu aceleași solicitări de forfecare x, iar tensiunile normale care decurg din momentele încovoietoare MzmMz+ dM, vor fi, respectiv, egali Ași A + da. De-a lungul feței orizontale a elementului selectat (în Fig. 7.36, în se arată în axonometrie) conform legii de împerechere a tensiunilor de forfecare, solicitările x v „ \u003d x vor acționa.

hu uh

rezultanta Rși R+dR tensiunile normale o și o + d aplicate la capetele elementului, ținând cont de formula (7.14) sunt egale cu

Unde

moment static de întrerupere F(în Fig. 7.36, b umbrite) în raport cu axa neutră Oz y, - variabilă auxiliară, care se schimbă în interiorul la

Efortul de forfecare rezultat t aplicat

hu

la marginea orizontală a elementului, ținând cont de ipoteza introdusă despre distribuția uniformă a acestor tensiuni pe lățime de) poate fi găsită prin formula

Condiția de echilibru pentru un element? X=0 dă

Înlocuind valorile forțelor rezultante, obținem

De aici, ținând cont de (7.6), obținem o formulă pentru determinarea tensiunilor tăietoare:

Această formulă în literatura internă se numește formula D.I. Zhuravsky.

Conform formulei (7.32), distribuția tensiunilor tăietoare m de-a lungul înălțimii secțiunii depinde de modificarea lățimii secțiunii. b(y) și momentul static al părții tăiate a secțiunii S OTC (y).

Utilizând formula (7.32), tensiunile tăietoare sunt cel mai simplu determinate pentru grinda dreptunghiulară considerată mai sus (Fig. 7.37).

Momentul static al ariei secțiunii transversale de tăiere F qtc este egal cu

Înlocuind 5° TC în (7.32), obținem formula derivată anterior (7.29).

Formula (7.32) poate fi utilizată pentru a determina eforturile de forfecare în grinzi cu o lățime a secțiunii constantă în trepte. În cadrul fiecărei secțiuni cu lățime constantă, eforturile de forfecare se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii conform legii parabolei pătrate. În locurile de modificare bruscă a lățimii secțiunii, tensiunile tăietoare au și salturi sau discontinuități. Natura diagramei m pentru o astfel de secțiune este prezentată în Fig. 7.38.

Orez. 7.37

Orez. 7.38

Luați în considerare distribuția tensiunilor de forfecare într-o secțiune I (Fig. 7.39, A) la aplecarea in plan Ohu. O secțiune I poate fi reprezentată ca o conjugare a trei dreptunghiuri înguste: două rafturi orizontale și un perete vertical.

Când se calculează m în perete în formula (7.32), trebuie luat b(y) - d. Drept urmare, obținem

Unde S° 1C calculată ca suma momentelor statice în jurul axei Oz zona raftului F nși părți ale zidului F, umbrită în fig. 7.39, A:

Tensiunile tăietoare t au cea mai mare valoare la nivelul axei neutre la y= 0:

unde este momentul static al ariei semisecțiunii în raport cu axa neutră:

Pentru grinzi și canale rulante, valoarea momentului static a jumătate de secțiune este dată în sortiment.

Orez. 7.39

La nivelul la care peretele se învecinează cu flanșele, tensiuni de forfecare 1 ? egal

Unde S"- Momentul static al ariei de secțiune a flanșei în raport cu axa neutră:

Tensiunile de forfecare verticală t în flanșele unei grinzi în I nu pot fi găsite prin formula (7.32), deoarece datorită faptului că b :» t, presupunerea distribuției lor uniforme pe lățimea raftului devine inacceptabilă. Pe fețele de sus și de jos ale raftului, aceste tensiuni trebuie să fie egale cu zero. Prin urmare, t in

Wow

rafturile sunt foarte mici și nu prezintă interes practic. De un interes mult mai mare sunt tensiunile de forfecare orizontale din rafturile m, pentru a determina pe care le considerăm echilibrul unui element infinitezimal selectat din raftul inferior (Fig. 7.39). , b).

Conform legii împerecherii tensiunilor tăietoare pe faţa longitudinală a acestui element, paralelă cu planul Ohu tensiunea acţionează xxz, egală ca mărime cu efortul t care acționează în secțiunea transversală. Datorită grosimii mici a flanșei I, se poate presupune că aceste tensiuni sunt distribuite uniform pe grosimea flanșei. Având în vedere acest lucru, din ecuația de echilibru pentru elementul 5^=0 vom avea

De aici găsim

Înlocuind în această formulă expresia pentru un x din (7.14) și ținând cont că obținem

Dat fiind

Unde S° TC - momentul static al zonei de tăiere a raftului (în Fig. 7. 39, A umbrită de două ori) în raport cu axa Oz, ajungem in sfarsit

În conformitate cu fig. 7.39 , A

Unde z- variabilă bazată pe axe OU.

Având în vedere acest lucru, formula (7.34) poate fi reprezentată ca

Aceasta arată că tensiunile de forfecare orizontale se modifică liniar de-a lungul axei Ozși luați cea mai mare valoare la z = d/2:

Pe fig. 7.40 prezintă diagrame ale tensiunilor tăietoare t și t^, precum și direcțiile acestor tensiuni în rafturi și peretele grinzii în I sub acțiunea unei forțe transversale pozitive în secțiunea grinzii. Q. Tensiunile de forfecare, la figurat vorbind, formează un flux continuu în secțiunea grinzii în I, direcționat în fiecare punct paralel cu conturul secțiunii.

Să trecem la definiția tensiunilor normale iar laîn secţiunile longitudinale ale grinzii. Luați în considerare o secțiune a grinzii cu o sarcină distribuită uniform de-a lungul feței superioare (Fig. 7.41). Se presupune că secțiunea transversală a grinzii este dreptunghiulară.

Folosim pentru a determina a doua dintre ecuațiile de echilibru diferențial (7.26). Înlocuind în această ecuație formula (7.32) pentru eforturile de forfecare m uh,ținând cont de (7.6), obținem

Prin integrarea peste variabila y, găsi

Aici f(x) - o funcție arbitrară care este definită folosind o condiție la limită. În funcție de condițiile problemei, fasciculul este încărcat cu o sarcină distribuită uniform q de-a lungul feței superioare, iar fața inferioară este liberă de sarcini. Atunci condițiile la limită corespunzătoare sunt scrise ca

Folosind a doua dintre aceste condiții, obținem

Având în vedere acest lucru, formula pentru stres iar la va lua următoarea formă:

Din această expresie se poate observa că tensiunile o se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii conform legii unei parabole cubice. În acest caz, ambele condiții la limită (7.35) sunt îndeplinite. Cea mai mare valoare a tensiunii preia suprafata superioara a grinzii la y=-h/2:

Natura intrigii iar la prezentată în fig. 7.41.

Pentru a estima magnitudinea celor mai mari tensiuni o. a și m și relațiile dintre ele, luați în considerare, de exemplu, îndoirea unei grinzi cantilever cu secțiune transversală dreptunghiulară cu dimensiuni bxh, sub acţiunea unei sarcini uniform distribuite aplicată pe faţa superioară a grinzii (Fig. 7.42). Cele mai mari tensiuni absolute apar la terminare. În conformitate cu formulele (7.22), (7.30) și (7.37), aceste tensiuni sunt egale cu

Ca de obicei pentru grinzi l/h» 1, atunci din expresiile obţinute rezultă că tensiunile cu xîn valoare absolută depășesc tensiunile m și, mai ales, si tu. Deci, de exemplu, când 1/I == 10 obținem a x / m xy \u003d 20 ‘, o x / c y \u003d 300.

Astfel, cel mai mare interes practic în calculul grinzilor pentru încovoiere îl reprezintă tensiunile un x, grinzi care acţionează în secţiuni transversale. Voltaj cu y, care caracterizează presiunea reciprocă a straturilor longitudinale ale grinzii, sunt neglijabile în comparaţie cu o v .

Rezultatele obţinute în acest exemplu arată că ipotezele introduse în § 7.5 sunt bine întemeiate.

În cazul încovoierii transversale în secțiunile grinzii, apare nu numai un moment încovoietor, ci și o forță transversală. În consecință, în acest caz, în secțiunile transversale ale grinzii apar nu numai tensiuni normale, ci și tangenţiale.

Deoarece tensiunile tangenţiale sunt în general distribuite neuniform pe secţiunea transversală, atunci, strict vorbind, secţiunile transversale ale grinzii nu rămân plate în timpul îndoirii transversale. Cu toate acestea, la (unde h- înălțimea secțiunii transversale, l- lungimea grinzii) se dovedește că aceste distorsiuni nu afectează în mod semnificativ munca grinzii în îndoire. În acest caz, ipoteza secțiunilor plate este acceptabilă și cu suficientă precizie în cazul îndoirii pure. Prin urmare, aceeași formulă (5) este utilizată pentru a calcula tensiunile normale.

Luați în considerare derivarea formulelor de calcul pentru tensiunile de forfecare. Să evidențiem dintr-o bară care experimentează îndoirea transversală un element cu o lungime (Fig. 6.28, A).

Orez. 6.28

Cu o secțiune longitudinală orizontală desenată la o distanță y de axa neutră, împărțim elementul în două părți (Fig. 6.28, în) și luați în considerare echilibrul părții superioare, care are o bază de lățime b. În același timp, ținând cont de legea împerecherii tensiunilor tangențiale, obținem că tensiunile tangențiale în secțiune transversală sunt egale cu tensiunile tangențiale care apar în secțiunile longitudinale (Fig. 6.28, b). Ținând cont de această împrejurare și din ipoteza că eforturile de forfecare sunt distribuite uniform pe suprafață, folosind condiția , obținem:

unde este rezultanta forțelor normale în secțiunea transversală din stânga a elementului în zona umbrită:

Ținând cont de (5), ultima expresie poate fi reprezentată ca

unde este momentul static al părții de secțiune transversală situată deasupra coordonatei y (în Fig. 6.28, b această zonă este umbrită). Prin urmare, (15) poate fi rescris ca

Ca urmare a luării în comun a (13) și (16), obținem

sau in sfarsit

Formula rezultată (17) poartă numele omului de știință rus DI. Zhuravsky.

Condiții de rezistență pentru solicitările de forfecare:

unde este valoarea maximă a forței transversale în secțiune; - efortul de forfecare admisibil, este de obicei egal cu jumătate.

Pentru a studia starea de efort într-un punct arbitrar al unei grinzi care experimentează îndoire transversală, selectăm o prismă elementară din compoziția grinzii în jurul punctului studiat (Fig. 6.28, G), astfel încât platforma verticală face parte din secțiunea transversală a fasciculului, iar platforma înclinată formează un unghi arbitrar față de orizont. Acceptăm că elementul selectat are următoarele dimensiuni de-a lungul axelor de coordonate: de-a lungul axei longitudinale - dz, adică de-a lungul axei z; de-a lungul axei verticale - dy, adică de-a lungul axei la; de-a lungul axei X- egală cu lățimea grinzii.

Deoarece aria verticală a elementului selectat aparține secțiunii transversale a grinzii care suferă încovoiere transversală, tensiunile normale pe această zonă sunt determinate de formula (5), iar tensiunile de forfecare sunt determinate de D.I. Zhuravsky (17). Ținând cont de legea împerecherii tensiunilor de forfecare, este ușor de stabilit că și tensiunile de forfecare pe o platformă orizontală sunt egale. Tensiunile normale pe acest sit sunt egale cu zero, conform ipotezei teoriei de încovoiere deja cunoscută nouă că straturile longitudinale nu exercită presiune unele asupra altora.

Să notăm valorile tensiunilor normale și tangențiale pe zona înclinată prin și, respectiv. Luând zona platformei înclinate, pentru platformele verticale și orizontale vom avea și, respectiv.

Alcătuirea ecuațiilor de echilibru pentru o prismă tăiată elementară (Fig. 6.28, G), primim:

de unde vom avea:

În consecință, expresiile finale pentru tensiuni pe o platformă înclinată iau forma:

Să determinăm orientarea site-ului, i.e. valoarea la care tensiunea atinge valoarea sa extremă. Conform regulii de determinare a extremelor funcțiilor din analiza matematică, luăm derivata funcției de la și o echivalăm cu zero:

Presupunând că obținem:

De unde vom avea în sfârșit:

Conform ultimei expresii, tensiunile extreme apar pe două zone reciproc perpendiculare, numite principal , și stresul în sine - tensiuni principale.

Comparând expresiile și , avem:

de unde rezultă că tensiunile tangenţiale pe zonele principale sunt întotdeauna egale cu zero.

În concluzie, ținând cont de binecunoscutele identități trigonometrice:

si formule,

determinăm tensiunile principale, exprimând prin și:

În secțiunea anterioară, am văzut că numai solicitările normale apar în îndoirea pură. În consecință, forțele interne sunt reduse la un moment încovoietor în secțiune.

Cu îndoirea transversală în secțiunea transversală a grinzii, nu apare doar un moment de încovoiere, ci și o forță de forfecare. Această forță este rezultanta forțelor elementare situate în planul secțiunii (Fig. 5.8).

Astfel, în timpul îndoirii transversale apar nu numai tensiuni normale, ci și tangenţiale. Apariția tensiunilor tangențiale este însoțită de apariția deformațiilor unghiulare. Prin urmare, ipoteza secțiunilor plate este încălcată. Figura 5.9 prezintă un model tipic de curbură în secțiune transversală.

S-a dovedit teoretic și experimental că distorsiunea planului secțiunii transversale nu afectează în mod semnificativ magnitudinea tensiunilor normale. Astfel, tensiunile normale în încovoiere transversală sunt calculate folosind aceleași formule ca și în încovoiere pură

Astfel, ipoteza secțiunilor plane este extinsă la încovoiere transversală.

Acum să determinăm aproximativ magnitudinea tensiunilor de forfecare în timpul îndoirii transversale. Să selectăm un element de lungime din grindă (Fig. 5.10).

În cazul îndoirii transversale, momentele care apar în secțiunile din stânga și din dreapta ale elementului nu sunt aceleași și diferă cu .

Cu o secțiune longitudinală orizontală desenată la distanță de stratul neutru (Fig. 5.10, b), împărțim acest element în două părți și luăm în considerare starea de echilibru a părții superioare. În partea dreaptă, tensiunea în fiecare punct este mai mare decât în ​​stânga, deoarece. momentul încovoietor în dreapta este mai mare decât în ​​stânga (Fig. 5.10, b).

Rezultanta forțelor normale în secțiunea din stânga din zona umbrită este egală cu

sau conform formulei (5.8)

,

unde este ordonata curentă a sitului (Fig. 5.10, b),

Moment static în jurul axei părții din zonă situată deasupra secțiunii longitudinale.

În secțiunea din dreapta, forța normală va fi diferită

.

Diferența dintre aceste forțe în secțiunile din dreapta și din stânga este egală cu

.

Această diferență trebuie echilibrată de forțele tangențiale care apar în secțiunea longitudinală a elementului (Fig. 5.10, b și c).

Ca o aproximare, presupunem că eforturile de forfecare sunt distribuite uniform pe lățimea secțiunii.

Apoi .

De la (5,11)

Această formulă vă permite să calculați tensiunile în secțiunile longitudinale ale grinzii. Tensiunile din secțiunile transversale sunt egale cu acestea conform legii împerecherii.

Astfel, formula face posibilă calcularea tensiunilor de forfecare în orice punct de-a lungul înălțimii secțiunii transversale.

Luați în considerare distribuția tensiunilor tăietoare pentru unele tipuri de secțiuni transversale.

Secțiune dreptunghiulară (Fig. 5.11).

Să luăm un punct arbitrar , distanțat de axa neutră la o distanță . Desenați o secțiune prin acest punct paralel cu axa; lățimea acestei secțiuni este de .

Momentul static al părții tăiate (umbrite) este egal cu

; ,

Prin urmare,

.

După cum se știe,

Înlocuind valorile obținute în formula (5.11), avem

(5.12)

Formula (5.12) arată că eforturile de forfecare de-a lungul înălțimii secțiunii se modifică conform legii parabolei pătrate. Pentru că primim și pentru că avem .

I-secţiune (Fig. 5.12). O trăsătură caracteristică a acestei secțiuni este o schimbare bruscă a lățimii secțiunii la trecerea de la peretele grinzii în I la flanșa acestuia. Practic, forța transversală este percepută de perete, iar o cantitate mică cade pe cota rafurilor.

Luați în considerare un punct arbitrar (Figura 5.12). Desenați o linie paralelă cu axa prin acest punct. Momentul static al zonei părții tăiate superioare (umbrite în Fig. 5.12) poate fi găsit ca suma momentelor statice ale zonelor și:

.

Această formulă este valabilă atunci când punctul se află în interiorul peretelui vertical, adică atâta timp cât valoarea este în . Diagrama tensiunilor tăietoare pentru un perete vertical are forma prezentată în fig. 5.12.

.

.

Cură oblică pură

O îndoire se numește oblică dacă planul forțelor care acționează trece prin axa grinzii, dar nu coincide cu niciuna dintre axele principale ale secțiunii.

Cel mai convenabil este să o considerăm ca o îndoire simultană a grinzii în două planuri principale și (Fig. 5.13).

Pentru aceasta, momentul încovoietor este descompus în componente raportate la axe și:

, .

Astfel, o îndoire oblică este redusă la două îndoituri plate în jurul axelor și . Momentele încovoietoare sunt considerate pozitive dacă provoacă tensiune în primul cadran.

Tensiunile normale într-un punct având coordonate și vor fi egale cu suma tensiunilor din , i.e. ,

Panta dreptei neutre este

.

pentru că în cazul general, atunci condiția de perpendicularitate a liniilor, cunoscută din geometria analitică, nu este respectată, deoarece

Prin urmare, linia neutră nu este perpendiculară pe planul momentului, ci este oarecum îndreptată spre momentul minim de inerție. Grinda „preferă” îndoirea nu în planul momentului de încovoiere, ci în alt plan, unde planul de încovoiere va fi mai mic.

pentru că diagrama tensiunilor normale în secțiunea transversală a riglei, atunci tensiunile maxime apar în punctul cel mai îndepărtat de linia neutră. Fie coordonatele acestui punct atunci:

. (5.15)

Condiția de rezistență poate fi scrisă astfel:

. (5.16)

Dacă secțiunea are o formă simplă, atunci punctele cele mai îndepărtate sunt găsite imediat, dacă este complexă, atunci prin desenarea secțiunii pe o scară (Fig. 5.14), este trasată poziția liniei neutre și punctul cel mai îndepărtat. este situat grafic (Fig. 5.14).

În cazul încovoierii transversale plane, când momentul încovoietor acţionează şi în secţiunile grinzii Mși forța de forfecare Q, nu numai normal
, dar și tensiuni de forfecare .

Tensiunile normale în încovoiere transversală sunt calculate folosind aceleași formule ca și în îndoirea pură:

;
.(6.24)

P

Fig.6.11. îndoire plată

Când derivăm formula, vom face câteva ipoteze:

Tensiuni de forfecare care acționează la aceeași distanță la din axa neutră, constantă de-a lungul lățimii fasciculului;

Tensiunile tangenţiale sunt peste tot paralele cu forţa Q.

Să considerăm o grindă cantilever în condiții de încovoiere transversală sub acțiunea unei forțe R. Să construim diagrame ale forțelor interne O y, și M z .

La distanta X din capătul liber al grinzii, selectăm o secțiune elementară a grinzii cu o lungime dXși o lățime egală cu lățimea grinzii b. Să arătăm forțele interne care acționează asupra fețelor elementului: asupra fețelor CD există o forță transversală Q yși momentul încovoietor M z, dar la un pas ab- de asemenea forță transversală Q yși momentul încovoietor M z +dM z(la fel de Q y rămâne constantă de-a lungul lungimii fasciculului și a momentului M z modificări, fig. 6.12). La distanta la tăiați o parte a elementului de pe axa neutră abcd, vom arăta tensiunile care acționează asupra fețelor elementului rezultat mbcn, și luați în considerare echilibrul său. Nu există solicitări pe fețele care fac parte din suprafața exterioară a grinzii. Pe fețele laterale ale elementului din acțiunea momentului încovoietor M z, apar tensiuni normale:

; (6.25)

. (6.26)

În plus, pe aceste fețe, din acțiunea unei forțe transversale Q y, apar tensiuni de forfecare , aceleași tensiuni apar conform legii împerecherii tensiunilor tangențiale pe fața superioară a elementului.

Să compunem ecuația de echilibru a elementului mbcn, proiectând tensiunile rezultate luate în considerare pe axă X:

. (6.29)

Expresia de sub semnul integral este momentul static al feței laterale a elementului mbcn despre axa X, ca să putem scrie

. (6.30)

Având în vedere că, conform dependențelor diferențiale ale lui D. I. Zhuravsky, la îndoire,

, (6.31)

expresie pentru tangente tensiunile în timpul îndoirii transversale pot fi rescrise după cum urmează ( formula lui Zhuravsky)

. (6.32)

Să analizăm formula lui Zhuravsky.

Q y este forța transversală în secțiunea considerată;

J z - momentul de inerție axial al secțiunii în jurul axei z;

b- lăţimea secţiunii în locul unde se determină tensiunile tăietoare;

este momentul static în jurul axei z a părții din secțiune situată deasupra (sau dedesubt) fibrei în care se determină efortul de forfecare:

, (6.33)

Unde și F„- coordonatele centrului de greutate și, respectiv, aria părții considerate a secțiunii.

6.6 Test de rezistență complet. Secțiuni periculoase și puncte periculoase

Pentru a verifica rezistența la încovoiere, în funcție de sarcinile externe care acționează asupra grinzii, se construiesc diagrame ale modificărilor forțelor interne de-a lungul lungimii acesteia și se determină secțiunile periculoase ale grinzii, pentru fiecare dintre acestea fiind necesar să se efectueze un test de rezistență. .

Cu un test de rezistență completă, vor exista cel puțin trei astfel de secțiuni (uneori coincid):

Secțiunea în care momentul încovoietor M z atinge valoarea maximă modulo;

Secțiunea în care forța transversală Q y, atinge valoarea maximă modulo;

Secțiunea în care și momentul încovoietor M z și forța de forfecare Q y atinge valori suficient de mari în modul.

În fiecare dintre secțiunile periculoase, este necesar, având construite diagrame ale tensiunilor normale și tăietoare, să găsiți punctele periculoase ale secțiunii (se efectuează verificarea rezistenței pentru fiecare dintre ele), care vor fi, de asemenea, cel puțin trei:

Punctul în care tensiunile normale , își ating valoarea maximă, - adică punctul de pe suprafața exterioară a fasciculului este cel mai îndepărtat de axa neutră a secțiunii;

Punctul în care solicitările de forfecare atinge valoarea lor maximă, - un punct situat pe axa neutră a secțiunii;

Punctul în care atât tensiunile normale, cât și eforturile de forfecare ating valori suficient de mari (această verificare are sens pentru secțiuni precum un tee sau o grindă în I, unde lățimea secțiunii nu este constantă în înălțime).

După cum sa stabilit mai devreme, în secțiunile transversale ale grinzii în timpul îndoirii transversale apar nu numai tensiuni normale, ci și tangenţiale, care provoacă deformari de forfecare. În virtutea legii de împerechere, aceleași tensiuni tangențiale vor apărea și în secțiuni longitudinale paralele cu stratul neutru. Prezența tensiunilor de forfecare în secțiunile longitudinale este confirmată de apariția fisurilor longitudinale în grinzile de lemn în timpul îndoirii transversale.

Să trecem la derivarea unei formule pentru calcularea tensiunilor de forfecare în timpul îndoirii transversale a grinzilor dreptunghiulare. Această formulă a fost derivată în 1855 de către D.I. Zhuravsky. Necesitatea unei astfel de formule a fost cauzată de faptul că, în secolul trecut, structurile din lemn au fost utilizate pe scară largă în construcția de poduri, iar grinzile din lemn au de obicei o secțiune transversală dreptunghiulară și nu funcționează bine pentru așchierea de-a lungul fibrelor.

Luați în considerare o grindă dreptunghiulară bxh (Fig. 6.19). Lăsați în secțiune transversală 1 există un moment de încovoiere M k, iar în secțiunea 2, distanțat de primul cu o distanță infinit d z - momentul încovoietor M și + dM". La distanta la din axa neutră trasăm o secțiune longitudinală as și considerăm echilibrul paralelipipedului elementar atps , care are măsurători

Rezultatele forțelor interne normale care acționează asupra feței a.m , denota N u dar acţionând pe margine cn - N 2; notăm tensiunile normale variabile din aceste fețe cu cTi și, respectiv, 02. În secțiunea transversală a grinzii, selectăm o bandă infinit îngustă cL4 situată la o distanță variabilă la din axa neutră. Apoi

Să presupunem că eforturile de forfecare în secțiunea transversală a unei grinzi dreptunghiulare sunt paralele cu forța transversală Q și sunt distribuite uniform pe lățimea secțiunii. Presupunând că tensiunile tangenţiale m sunt de asemenea distribuite uniform în secţiunea longitudinală, determinăm forţa tangenţială d F, operand pe margine as: d F-xbdz.

Să compunem ecuația de echilibru a paralelipipedului atps :IZ = 0; N x + dF-N 2 = 0, de unde dF \u003d N 2 - N x, sau

Orez. 6.19

Expresia J ydA există un moment static umbrit

piata hovannaya Și la secțiuni relativ la axa neutră; să o notăm prin S. Apoi

Unde

Deoarece, conform teoremei lui Zhuravsky,

Această egalitate se numește formula lui Zhuravsky.

Formula lui Zhuravsky sună astfel: tensiunile de forfecare în secțiunea transversală a grinzii sunt egale cu produsul dintre forța transversală Q și momentul static S față de axa neutră a părții secțiunii, situat deasupra stratului de fibre luat în considerare, împărțit la momentul de inerție I al întregii secțiuni în jurul axei neutre și la lățimea b a stratului de fibre luat în considerare.

Formula derivată dă valoarea tensiunilor tăietoare în secțiuni longitudinale, dar conform legii împerecherii, în punctele secțiunii transversale situate pe linia de intersecție a planurilor longitudinal și transversal vor acționa eforturile de forfecare de același modul.

Să definim legea de distribuție a tensiunilor tangențiale pentru o grindă dreptunghiulară (Fig. 6.20, A). Pentru stratul de fibre anunț:

la la= ±I/ 2 t = 0;

la la= 0 t = t max = 2Q/(2bh)= 3Q/2A= Zx media /2.

Astfel, în straturile superioare și inferioare ale fibrelor, tensiunile de forfecare sunt egale cu zero, iar în fibrele stratului neutru ating o valoare maximă. Legile de distribuție a tensiunilor tăietoare pe lățimea și înălțimea unei secțiuni dreptunghiulare sunt prezentate în fig. 6.20 A.

Cu o anumită aproximare, formula Zhuravsky poate fi utilizată pentru a calcula tensiunile de forfecare în grinzi cu secțiuni transversale de altă formă. Să luăm în considerare o grindă cantilever a unui profil de jgheab, a cărei secțiune este prezentată în fig. 6.20 b, îndoit cu forța Y 7 la capăt.

avion 1-1 tăiați o parte a raftului cu o zonă DAR. Deoarece îndoirea grinzii este transversală, atunci în plan 1-1 vor acţiona forţele şi tensiunile tangenţiale longitudinale xz(prin analogie, vezi Figura 6.19). Conform legii împerecherii, în secțiunea transversală a raftului vor apărea tensiuni tangenţiale x x de aceeași valoare și poate fi calculată folosind formula Zhuravsky

Unde Q- forța transversală în secțiunea fasciculului; S x- moment static de întrerupere DAR despre axa x (axa neutră), S x = AhJ2 ; / - momentul de inerție al întregii secțiuni față de axa neutră; t- grosimea raftului.

Orez. 6.20

Dacă grosimea flanșei este constantă, atunci solicitările de forfecare x x modificarea conform unei legi liniare; apoi

Rezultat Rx tensiunile tangenţiale în raftul superior este egală cu

Aceeași forță acționează și asupra raftului inferior R, dar îndreptată în sens invers. Două forțe Ri formează o pereche cu momentul M la = Rhx. Prin urmare, în secțiune, împreună cu forța transversală verticală Q = Ri exista si un cuplu M k, care răsucește fasciculul. R2- rezultanta tensiunilor de forfecare in banda grinzii.

Pentru a preveni deformarea la torsiune, o forță externă F ar trebui aplicat la un moment dat LA pe distanta A de la mijlocul peretelui și observați starea Fa \u003d M k. De aici a = M K / F. Un astfel de punct LA numit centru de îndoire. Dacă secțiunea fasciculului are două axe de simetrie, atunci centrul de îndoire coincide cu centrul de greutate al secțiunii.

Fără derivare, dăm o formulă pentru determinarea tensiunilor de forfecare maxime la grinzi rotunde:

Tensiunile tăietoare din grinzi corespund deformării prin forfecare, drept urmare secțiunile transversale plane în timpul îndoirii transversale nu rămân plate, ca în îndoirea pură, ci sunt îndoite (Fig. 6.21).

Orez. 6.21

Majoritatea grinzilor sunt proiectate numai pentru solicitări normale; dar trebuie verificate și trei tipuri de grinzi pentru tensiuni tăietoare și anume:

• 1) grinzi de lemn, deoarece lemnul nu funcționează bine pentru așchiere;
• 2) grinzi înguste (de exemplu, grinzi în I), deoarece solicitările maxime de forfecare sunt invers proporționale cu lățimea stratului neutru;
• 3) grinzi scurte, deoarece cu un moment încovoietor relativ mic și solicitări normale, astfel de grinzi pot suferi forțe transversale și solicitări tăietoare semnificative.

Tensiunea maximă de forfecare într-o secțiune I este determinată de formula Zhuravsky. Tabelele cu gama de produse arată valorile momentului static al zonei semi-secțiunii pentru grinzi în I și canale.

Exemplul 6.7

Grinda cantilever, prinsă rigid la un capăt în încasă, este formată din două grinzi de lemn cu secțiune pătrată conectate la celălalt capăt cu un șurub (Fig. 6.22). Se aplică o forță la capătul liber al grinzii R= 15 kN. Lungimea grinzii / = 4 m. Determinați diametrul arborelui șurubului dacă efortul de forfecare admisibil [t cf ] = 120 MPa. Dimensiunea secțiunii transversale a barelor a = 20 cm

Orez. 6.22

Decizie. În toate secțiunile transversale ale grinzii, pe lângă momentul încovoietor, apare o forță transversală Q=R= 15 kN și tensiunile de forfecare tangenţiale corespunzătoare calculate conform formulei Zhuravsky, iar tensiunile maxime m max apar pe axa neutră, adică în punctul de contact al barelor. Conform legii de împerechere, aceleași solicitări de forfecare apar și în secțiunile longitudinale ale grinzii. Apoi

Unde Q - forta transversala: Q = 15-103N; S - momentul static al ariei de semi-secțiune a fasciculului în raport cu axa neutră: S= a 2 -a / 2= a r /2 ; eu- momentul de inerție al întregii secțiuni în jurul axei neutre: eu - a(2a) 3 /2-2a 4 /3 ; b - latimea sectiunii: b= A.

Înlocuind aceste expresii în formula Zhuravsky, avem m max \u003d 3 () / (4n 2) și înlocuind valori numerice și ținând cont de dimensiuni, obținem

Forta bruta F= x max Și sd, unde este zona de forfecare A sd = al. Prin urmare F== Htah Aeu= 0,282 10 6 0,2 4 = 226 10 3 N. Forță F, acționând la joncțiunea grinzilor, tinde să taie șurubul. Găsiți diametrul necesar d arborele șurubului pe baza forfei sale: F/A Cf) A cf - zonă de tăiere egală cu aria secțiunii transversale a tijei șurubului: D. p \u003d lx / 2/4

Înlocuind această expresie în formula de calcul, avem,