GEOMETRIE
Planuri de lecție pentru clasele a 10-a
Lecția 56
Subiect. Aria unei proiecții ortogonale a unui poligon
Scopul lecției: studiul teoremei pe aria proiecției ortogonale a unui poligon, formarea abilităților elevilor de a aplica teorema studiată la rezolvarea problemelor.
Echipament: set stereometric, model cub.
În timpul orelor
I. Verificarea temelor
1. Doi elevi reproduc pe tablă soluțiile problemelor nr. 42, 45.
2. Interogatoriu frontal.
1) Definiți unghiul dintre două plane care se intersectează.
2) Care este unghiul dintre:
a) plane paralele;
b) planuri perpendiculare?
3) În ce măsură se poate schimba unghiul dintre două plane?
4) Este adevărat că un plan care intersectează plane paralele le intersectează la aceleași unghiuri?
5) Este adevărat că un plan care intersectează planuri perpendiculare le intersectează la aceleași unghiuri?
3. Verificarea corectitudinii soluționării problemelor nr. 42, 45, pe care elevii le-au recreat la tablă.
II. Percepția și conștientizarea noului material
Temă către studenți
1. Demonstrați că aria de proiecție a unui triunghi cu o latură în planul de proiecție este egală cu produsul ariei sale și cosinusul unghiului dintre planul poligonului și planul de proiecție.
2. Demonstrați teorema pentru cazul în care triunghiul reticulat are o latură paralelă cu planul de proiecție.
3. Demonstrați teorema pentru cazul în care triunghiul reticulat nu are niciuna dintre laturile sale paralele cu planul de proiecție.
4. Demonstrați teorema oricărui poligon.
Rezolvarea problemelor
1. Aflați aria proiecției ortogonale a unui poligon a cărui zonă este de 50 cm2 și unghiul dintre planul poligonului și proiecția acestuia este de 60°.
2. Aflați aria poligonului dacă aria proiecției ortogonale a acestui poligon este de 50 cm2, iar unghiul dintre planul poligonului și proiecția acestuia este de 45°.
3. Aria poligonului este de 64 cm2, iar aria proiecției ortogonale este de 32 cm2. Aflați unghiul dintre planele poligonului și proiecția acestuia.
4. Sau poate aria proiecției ortogonale a poligonului este egală cu aria acestui poligon?
5. Muchia cubului este a. Găsiți aria secțiunii transversale a unui cub printr-un plan care trece prin partea superioară a bazei la un unghi de 30 ° față de această bază și care intersectează toate marginile laterale. (Răspuns. )
6. Problema nr. 48 (1, 3) din manual (p. 58).
7. Problema nr. 49 (2) din manual (p. 58).
8. Laturile dreptunghiului au 20 si 25 cm.Proiecția lui pe un plan este asemănătoare cu acesta. Găsiți perimetrul de proiecție. (Răspuns. 72 cm sau 90 cm.)
III. Teme pentru acasă
§4, n. 34; întrebarea de securitate nr. 17; sarcini Nr. 48 (2), 49 (1) (p. 58).
IV. Rezumând lecția
Întrebare pentru clasă
1) Formulați o teoremă pe aria proiecției ortogonale a unui poligon.
2) Poate aria proiecției ortogonale a unui poligon să fie mai mare decât aria poligonului?
3) Un plan α este trasat prin ipotenuza AB a unui triunghi dreptunghic ABC la un unghi de 45° pe planul triunghiului și o perpendiculară CO pe planul α. AC \u003d 3 cm, BC \u003d 4 cm. Indicați care dintre următoarele afirmații sunt corecte și care sunt incorecte:
a) unghiul dintre planele ABC și α este egal cu unghiul CMO, unde punctul H este baza altitudinii CM a triunghiului ABC;
b) SD = 2,4 cm;
c) triunghiul AOC este o proiecție ortogonală a triunghiului ABC pe planul α;
d) aria triunghiului AOB este de 3 cm2.
(Răspuns. a) Corect; b) greșit; c) greșit; d) corect.)
În problemele de geometrie, succesul depinde nu numai de cunoașterea teoriei, ci de un desen de calitate.
Cu desene plate, totul este mai mult sau mai puțin clar. Dar în stereometrie, situația este mai complicată. La urma urmei, este necesar să descrii tridimensională corpul pe apartament desen, și în așa fel încât atât tu însuți, cât și cel care se uită la desenul tău să vezi același corp tridimensional.
Cum să o facă?
Desigur, orice imagine a unui corp tridimensional pe un plan va fi condiționată. Cu toate acestea, există un anumit set de reguli. Există o modalitate general acceptată de a construi planuri − proiecție paralelă.
Să luăm un corp solid.
Să alegem planul de proiectie.
Prin fiecare punct al corpului volumetric trasăm linii drepte, paralele între ele și care intersectează planul de proiecție la un anumit unghi. Fiecare dintre aceste linii intersectează planul de proiecție la un moment dat. Împreună, aceste puncte se formează proiecție corp volumetric pe un plan, adică imaginea lui plată.
Cum se construiesc proiecții ale corpurilor volumetrice?
Imaginează-ți că ai un cadru al unui corp tridimensional - o prismă, o piramidă sau un cilindru. Iluminând-o cu un fascicul de lumină paralel, obținem o imagine - o umbră pe perete sau pe ecran. Rețineți că diferite imagini sunt obținute din unghiuri diferite, dar unele modele sunt încă prezente:
Proiecția segmentului va fi segmentul.
Desigur, dacă segmentul este perpendicular pe planul de proiecție, acesta va fi afișat la un moment dat.
În cazul general, proiecția unui cerc va fi o elipsă.
Proiecția unui dreptunghi este un paralelogram.
Iată cum arată proiecția unui cub pe un plan:
Aici fețele din față și din spate sunt paralele cu planul de proiecție
O poți face diferit:
Indiferent de unghiul pe care îl alegem, proiecțiile segmentelor paralele din desen vor fi, de asemenea, segmente paralele. Acesta este unul dintre principiile proiecției paralele.
Desenăm proiecții ale piramidei,
cilindru:
Încă o dată, repetăm principiul de bază al proiecției paralele. Selectăm planul de proiecție și trasăm linii drepte paralele între ele prin fiecare punct al corpului volumetric. Aceste linii intersectează planul de proiecție la un anumit unghi. Dacă acest unghi este de 90°, este proiecție dreptunghiulară. Cu ajutorul proiecției dreptunghiulare, se construiesc desene ale pieselor tridimensionale în inginerie. În acest caz, vorbim despre vedere de sus, vedere frontală și vedere laterală.
Dovada detaliată a teoremei proiecției ortogonale a poligonului
Dacă - proiecția unui apartament n -gon la un plan, atunci, unde este unghiul dintre planele poligoanelor și. Cu alte cuvinte, aria de proiecție a unui poligon plat este egală cu produsul dintre aria poligonului proiectat și cosinusul unghiului dintre planul de proiecție și planul poligonului proiectat.
Dovada. eu etapă. Să facem mai întâi demonstrația pentru triunghi. Să luăm în considerare 5 cazuri.
1 caz. se află în planul de proiecție .
Fie proiecțiile punctelor pe plan, respectiv. În cazul nostru. Să presupunem că. Fie - înălțime, apoi prin teorema a trei perpendiculare, putem concluziona că - înălțime (- proiecția înclinului, - baza lui și dreapta trece prin baza înclinului, de altfel).
Considera. Este dreptunghiular. Prin definiția cosinusului:
Pe de altă parte, întrucât și, atunci, prin definiție, este unghiul liniar al unghiului diedru format din semiplanele planurilor și cu linia de limită și, prin urmare, măsura lui este și măsura unghiului dintre planurile de proiecție ale triunghiului și triunghiul însuși, adică.
Găsiți raportul dintre suprafață și:
Rețineți că formula rămâne adevărată chiar și atunci când . În acest caz
al 2-lea caz. Se află doar în planul de proiecție și este paralel cu planul de proiecție .
Fie proiecțiile punctelor pe plan, respectiv. În cazul nostru.
Să tragem o linie dreaptă prin punct. În cazul nostru, linia dreaptă intersectează planul de proiecție, ceea ce înseamnă că, după lemă, linia dreaptă intersectează și planul de proiecție. Fie într-un punct Deoarece, atunci punctele se află în același plan și, deoarece este paralel cu planul de proiecție, rezultă din semnul de paralelism al dreptei și al planului că. Prin urmare, este un paralelogram. Luați în considerare și. Sunt egale pe trei laturi (- comune, ca laturile opuse ale unui paralelogram). Rețineți că patrulaterul este un dreptunghi și este egal (de-a lungul catetei și ipotenuzei), prin urmare, este egal pe trei laturi. De aceea.
Pentru 1 caz este aplicabil:, i.e.
al 3-lea caz. Se află doar în planul de proiecție și nu este paralel cu planul de proiecție .
Fie punctul de punctul de intersecție al dreptei cu planul de proiecție. Să remarcăm că i. Cu 1 ocazie: i. Astfel obținem asta
4 caz. Vârfurile nu se află în planul de proiecție . Luați în considerare perpendicularele. Luați cea mai mică dintre aceste perpendiculare. Lasă-l să fie perpendicular. Se poate dovedi că fie numai, fie numai. Atunci încă o luăm.
Să lăsăm deoparte un punct dintr-un punct pe un segment, astfel încât și dintr-un punct pe un segment, un punct, astfel încât. O astfel de construcție este posibilă, deoarece - cea mai mică dintre perpendiculare. Rețineți că este o proiecție și, prin construcție. Să demonstrăm că și suntem egali.
Să luăm în considerare un patrulater. Prin condiție - perpendiculare pe un plan, așadar, conform teoremei, așadar. Deoarece prin construcție, atunci, pe baza unui paralelogram (pe laturi opuse paralele și egale), putem concluziona că - un paralelogram. Mijloace, . Se dovedește în mod similar că, . Prin urmare, și sunt egale pe trei părți. Asa de. Rețineți că și, ca laturi opuse ale paralelogramelor, prin urmare, pe baza paralelismului planelor, . Deoarece aceste plane sunt paralele, ele formează același unghi cu planul de proiecție.
Pentru cazurile anterioare se aplica:
5 caz. Planul de proiecție intersectează laturile . Să ne uităm la liniile drepte. Ele sunt perpendiculare pe planul de proiecție, deci după teoremă sunt paralele. Pe razele co-dirijate cu origini în puncte, lăsăm deoparte segmente egale, respectiv, astfel încât vârfurile să se afle în afara planului de proiecție. Rețineți că este o proiecție și, prin construcție. Să arătăm că este egal.
De când și, prin construcție, atunci. Prin urmare, pe baza unui paralelogram (pe două laturi egale și paralele), - un paralelogram. Se poate dovedi în mod similar că și sunt paralelograme. Dar atunci și (ca laturi opuse), prin urmare, este egal în trei laturi. Mijloace, .
În plus, și, prin urmare, pe baza paralelismului planurilor. Deoarece aceste plane sunt paralele, ele formează același unghi cu planul de proiecție.
Pentru cazul aplicabil 4:.
II etapă. Să împărțim un poligon plat în triunghiuri folosind diagonalele desenate din vârf: Apoi, conform cazurilor anterioare pentru triunghiuri: .
Q.E.D.
Capitolul IV. Linii și avioane în spațiu. Poliedre
§ 55. Aria de proiecție a unui poligon.
Amintiți-vă că unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre o dreaptă dată și proiecția acesteia pe plan (Fig. 164).
Teorema. Aria proiecției ortogonale a poligonului pe plan este egală cu aria poligonului proiectat înmulțită cu cosinusul unghiului format de planul poligonului și planul de proiecție.
Fiecare poligon poate fi împărțit în triunghiuri, a căror sumă a ariilor este egală cu aria poligonului. Prin urmare, este suficient să demonstrați teorema pentru un triunghi.
Lasa /\
ABC este proiectat pe un avion R. Luați în considerare două cazuri:
a) una dintre părți /\
ABC este paralel cu planul R;
b) niciuna dintre părți /\
ABC nu este paralel R.
Considera primul caz: lasă [AB] || R.
Desenați prin planul (AB). R 1 || Rși proiectați ortogonal /\
ABC activat R 1 și mai departe R(Fig. 165); primim /\
ABC 1 și /\
A"B"S".
După proprietatea proiecției, avem /\
ABC 1 /\
A"B"C" și, prin urmare
S /\ ABC1=S /\ A"B"C"
Să desenăm _|_ și segmentul D 1 C 1 . Atunci _|_ , a = φ este unghiul dintre plan /\ ABC și avion R unu . Asa de
S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ
și deci S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.
Să trecem la considerare al doilea caz. Desenați un avion R 1 || R peste acel vârf /\
ABC, distanța de la care până la avion R cel mai mic (fie vârful A).
Vom proiecta /\
ABC într-un avion R 1 și R(Fig. 166); fie proiecţiile sale, respectiv /\
AB 1 C 1 și /\
A"B"S".
Lasă (soarele) p 1 = D. Atunci
S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ
Sarcină. Un plan este trasat prin latura bazei unei prisme triunghiulare regulate la un unghi φ = 30° față de planul bazei sale. Găsiți aria secțiunii rezultate dacă partea bazei prismei A= 6 cm.
Să înfățișăm secțiunea acestei prisme (Fig. 167). Deoarece prisma este regulată, marginile sale laterale sunt perpendiculare pe planul bazei. Mijloace, /\ ABC este o proiecție /\ ADC, deci
Luați în considerare avionul p și linia care o intersectează . Lasa DAR este un punct arbitrar în spațiu. Desenați o linie prin acest punct , paralel cu linia . Lasa . Punct se numeste proiectie punctuala DAR spre avion pîn proiectare paralelă de-a lungul unei linii date . Avion p , pe care sunt proiectate punctele spațiului se numește plan de proiecție.
p - planul de proiecție;
- proiectare directa; ;
; ; ;
Design ortogonal este un caz special de proiectare paralelă. Proiecția ortogonală este o proiecție paralelă în care linia de proiecție este perpendiculară pe planul de proiecție. Proiecția ortogonală este utilizată pe scară largă în desenul tehnic, unde o figură este proiectată pe trei planuri - orizontal și două verticale.
Definiție:
Proiecția ortografică a unui punct M spre avion p numită bază M 1 perpendicular MM 1, coborât din punct M spre avion p.
Desemnare: , 
, .
Definiție: Proiecția ortografică a figurii F spre avion p este mulțimea tuturor punctelor planului care sunt proiecții ortogonale ale mulțimii de puncte din figură F spre avion p.
Designul ortogonal, ca caz special de proiectare paralelă, are aceleași proprietăți:
p - planul de proiecție;
- proiectare directa; ;
1) ;
2) , .
- Proiecțiile dreptelor paralele sunt paralele.
ZONA DE PROIECȚIE A FIGURII PLATE
Teorema: Aria proiecției unui poligon plat pe un anumit plan este egală cu aria poligonului proiectat înmulțită cu cosinusul unghiului dintre planul poligonului și planul de proiecție.
Etapa 1: Figura proiectată este un triunghi ABC, a cărui latură AC se află în planul de proiecție a (paralel cu planul de proiecție a).
Dat:
Dovedi:
Dovada:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Conform teoremei celor trei perpendiculare;
ВD - înălțime; În 1 D - înălțime;
5. - unghiul liniar al unghiului diedru;
6. ; ; ; 
;
Etapa 2: Figura proiectată este un triunghi ABC, niciuna dintre laturile căruia nu se află în planul de proiecție a și nu este paralelă cu acesta.
Dat:
Dovedi:
Dovada:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(Etapa 1);
5. ; ; ;
(Etapa 1);
Etapa: Figura proiectată este un poligon arbitrar.
Dovada:
Poligonul este împărțit prin diagonale trase dintr-un vârf într-un număr finit de triunghiuri, pentru fiecare dintre ele teorema este adevărată. Prin urmare, teorema va fi valabilă și pentru suma ariilor tuturor triunghiurilor ale căror planuri formează același unghi cu planul de proiecție.
cometariu: Teorema demonstrată este valabilă pentru orice figură plată mărginită de o curbă închisă.
Exerciții:
1. Aflați aria unui triunghi al cărui plan este înclinat față de planul de proiecție la un unghi dacă proiecția sa este un triunghi regulat cu latura a.
2. Aflați aria unui triunghi al cărui plan este înclinat față de planul de proiecție la un unghi dacă proiecția sa este un triunghi isoscel cu latura de 10 cm și baza de 12 cm.
3. Aflați aria unui triunghi al cărui plan este înclinat față de planul de proiecție la un unghi dacă proiecția sa este un triunghi cu laturile 9, 10 și 17 cm.
4. Calculați aria trapezului, al cărui plan este înclinat față de planul de proiecție într-un unghi dacă proiecția sa este un trapez isoscel, a cărui bază mai mare este de 44 cm, latura este de 17 cm și diagonala este 39 cm.
5. Calculați aria de proiecție a unui hexagon obișnuit cu o latură de 8 cm, al cărui plan este înclinat într-un unghi față de planul de proiecție.
6. Un romb cu latura de 12 cm și un unghi ascuțit formează un unghi cu un plan dat. Calculați aria proiecției rombului pe acest plan.
7. Un romb cu latura de 20 cm și diagonala de 32 cm formează un unghi cu un plan dat. Calculați aria proiecției rombului pe acest plan.
8. Proiecția copertinei pe un plan orizontal este un dreptunghi cu laturile și . Găsiți aria copertinei dacă fețele laterale sunt dreptunghiuri egale înclinate față de planul orizontal la un unghi, iar partea din mijloc a copertinei este un pătrat paralel cu planul de proiecție.
11. Exerciții pe tema „Linii și planuri în spațiu”:
Laturile triunghiului sunt 20 cm, 65 cm, 75 cm.De la vârful unghiului mai mare al triunghiului la planul său se trasează o perpendiculară egală cu 60 cm.Aflați distanța de la capetele perpendicularei la latura mai mare. a triunghiului.
2. Dintr-un punct separat de plan la o distanță de cm se desenează două înclinate, formând unghiuri cu planul egal cu , iar între ele - un unghi drept. Aflați distanța dintre punctele de intersecție ale planului înclinat.
3. Latura unui triunghi regulat este de 12 cm.Punctul M se alege astfel încât segmentele care leagă punctul M cu toate vârfurile triunghiului să formeze unghiuri cu planul său. Aflați distanța de la punctul M la vârfurile și laturile triunghiului.
4. Un plan este trasat prin latura pătratului la un unghi față de diagonala pătratului. Aflați unghiurile la care două laturi ale pătratului sunt înclinate față de plan.
5. catetul unui triunghi dreptunghic isoscel este înclinat față de planul a care trece printr-un unghi prin ipotenuză. Demonstrați că unghiul dintre planul a și planul triunghiului este .
6. Unghiul diedric dintre planele triunghiurilor ABC și DBC este . Aflați AD dacă AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Întrebări de control pe tema „Linii și avioane în spațiu”
1. Enumerați conceptele de bază ale stereometriei. Formulați axiomele stereometriei.
2. Demonstrați consecințele axiomelor.
3. Care este poziția relativă a două drepte în spațiu? Definiți linii care se intersectează, paralele și care se intersectează.
4. Demonstrați criteriul pentru intersectarea liniilor.
5. Care este poziția relativă a dreptei și a planului? Dați definiții de intersectare, drepte paralele și plane.
6. Demonstrați semnul de paralelism al unei drepte și al unui plan.
7. Care este poziția relativă a celor două plane?
8. Definiți plane paralele. Demonstrați un criteriu pentru paralelismul a două plane. Formulați teoreme despre plane paralele.
9. Definiți unghiul dintre linii.
10. Demonstrați semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan.
11. Dați definiții ale bazei perpendicularei, ale bazei oblicului, ale proiecției oblicului pe un plan. Formulați proprietățile perpendicularului și oblicului, coborât la plan dintr-un punct.
12. Definiți unghiul dintre o dreaptă și un plan.
13. Demonstrați teorema pe trei perpendiculare.
14. Dați definiții ale unui unghi diedru, un unghi liniar al unui unghi diedru.
15. Demonstrați semnul perpendicularității a două plane.
16. Definiți distanța dintre două puncte diferite.
17. Definiți distanța de la un punct la o dreaptă.
18. Definiți distanța de la un punct la un plan.
19. Definiți distanța dintre o dreaptă și un plan paralel cu aceasta.
20. Definiți distanța dintre plane paralele.
21. Definiți distanța dintre liniile oblice.
22. Definiți proiecția ortogonală a unui punct pe un plan.
23. Definiți proiecția ortogonală a unei figuri pe un plan.
24. Formulați proprietățile proiecțiilor pe un plan.
25. Formulați și demonstrați o teoremă asupra aria de proiecție a unui poligon plat.
