În problemele de geometrie, succesul depinde nu numai de cunoașterea teoriei, ci de un desen de calitate.
Cu desene plate, totul este mai mult sau mai puțin clar. Dar în stereometrie, situația este mai complicată. La urma urmei, este necesar să descrii tridimensională corpul pe apartament desen, și în așa fel încât atât tu însuți, cât și cel care se uită la desenul tău să vezi același corp tridimensional.

Cum să o facă?
Desigur, orice imagine a unui corp tridimensional pe un plan va fi condiționată. Cu toate acestea, există un anumit set de reguli. Există o modalitate general acceptată de a construi planuri − proiecție paralelă.

Să luăm un corp solid.
Să alegem planul de proiectie.
Prin fiecare punct al corpului volumetric trasăm linii drepte, paralele între ele și care intersectează planul de proiecție la un anumit unghi. Fiecare dintre aceste linii intersectează planul de proiecție la un moment dat. Împreună, aceste puncte se formează proiecție corp volumetric pe un plan, adică imaginea lui plată.

Cum se construiesc proiecții ale corpurilor volumetrice?
Imaginează-ți că ai un cadru al unui corp tridimensional - o prismă, o piramidă sau un cilindru. Iluminând-o cu un fascicul de lumină paralel, obținem o imagine - o umbră pe perete sau pe ecran. Rețineți că diferite imagini sunt obținute din unghiuri diferite, dar unele modele sunt încă prezente:

Proiecția segmentului va fi segmentul.

Desigur, dacă segmentul este perpendicular pe planul de proiecție, acesta va fi afișat la un moment dat.

În cazul general, proiecția unui cerc va fi o elipsă.

Proiecția unui dreptunghi este un paralelogram.

Iată cum arată proiecția unui cub pe un plan:

Aici fețele din față și din spate sunt paralele cu planul de proiecție

O poți face diferit:

Indiferent de unghiul pe care îl alegem, proiecțiile segmentelor paralele din desen vor fi, de asemenea, segmente paralele. Acesta este unul dintre principiile proiecției paralele.

Desenăm proiecții ale piramidei,

cilindru:

Încă o dată, repetăm ​​principiul de bază al proiecției paralele. Selectăm planul de proiecție și trasăm linii drepte paralele între ele prin fiecare punct al corpului volumetric. Aceste linii intersectează planul de proiecție la un anumit unghi. Dacă acest unghi este de 90°, este proiecție dreptunghiulară. Cu ajutorul proiecției dreptunghiulare, se construiesc desene ale pieselor tridimensionale în inginerie. În acest caz, vorbim despre vedere de sus, vedere frontală și vedere laterală.

Capitolul IV. Linii și avioane în spațiu. Poliedre

§ 55. Aria de proiecție a unui poligon.

Amintiți-vă că unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre o dreaptă dată și proiecția acesteia pe plan (Fig. 164).

Teorema. Aria proiecției ortogonale a poligonului pe plan este egală cu aria poligonului proiectat înmulțită cu cosinusul unghiului format de planul poligonului și planul de proiecție.

Fiecare poligon poate fi împărțit în triunghiuri, a căror sumă a ariilor este egală cu aria poligonului. Prin urmare, este suficient să demonstrați teorema pentru un triunghi.

Lasa /\ ABC este proiectat pe un avion R. Luați în considerare două cazuri:
a) una dintre părți /\ ABC este paralel cu planul R;
b) niciuna dintre părți /\ ABC nu este paralel R.

Considera primul caz: lasă [AB] || R.

Desenați prin planul (AB). R 1 || Rși proiectați ortogonal /\ ABC activat R 1 și mai departe R(Fig. 165); primim /\ ABC 1 și /\ A"B"S".
După proprietatea proiecției, avem /\ ABC 1 /\ A"B"C" și, prin urmare

S /\ ABC1=S /\ A"B"C"

Să desenăm _|_ și segmentul D 1 C 1 . Atunci _|_ , a = φ este unghiul dintre plan /\ ABC și avion R unu . Asa de

S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

și deci S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Să trecem la considerare al doilea caz. Desenați un avion R 1 || R peste acel vârf /\ ABC, distanța de la care până la avion R cel mai mic (fie vârful A).
Vom proiecta /\ ABC într-un avion R 1 și R(Fig. 166); fie proiecţiile sale, respectiv /\ AB 1 C 1 și /\ A"B"S".

Lasă (soarele) p 1 = D. Atunci

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Sarcină. Un plan este trasat prin latura bazei unei prisme triunghiulare regulate la un unghi φ = 30° față de planul bazei sale. Găsiți aria secțiunii rezultate dacă partea bazei prismei A= 6 cm.

Să înfățișăm secțiunea acestei prisme (Fig. 167). Deoarece prisma este regulată, marginile sale laterale sunt perpendiculare pe planul bazei. Mijloace, /\ ABC este o proiecție /\ ADC, deci

Dovada detaliată a teoremei proiecției ortogonale a poligonului

Dacă - proiecția unui apartament n -gon la un plan, atunci, unde este unghiul dintre planele poligoanelor și. Cu alte cuvinte, aria de proiecție a unui poligon plat este egală cu produsul dintre aria poligonului proiectat și cosinusul unghiului dintre planul de proiecție și planul poligonului proiectat.

Dovada. eu etapă. Să facem mai întâi demonstrația pentru triunghi. Să luăm în considerare 5 cazuri.

1 caz. se află în planul de proiecție .

Fie proiecțiile punctelor pe plan, respectiv. În cazul nostru. Să presupunem că. Fie - înălțime, apoi prin teorema a trei perpendiculare, putem concluziona că - înălțime (- proiecția înclinului, - baza lui și dreapta trece prin baza înclinului, de altfel).

Considera. Este dreptunghiular. Prin definiția cosinusului:

Pe de altă parte, întrucât și, atunci, prin definiție, este unghiul liniar al unghiului diedru format din semiplanele planurilor și cu linia de limită și, prin urmare, măsura lui este și măsura unghiului dintre planurile de proiecție ale triunghiului și triunghiul însuși, adică.

Găsiți raportul dintre suprafață și:

Rețineți că formula rămâne adevărată chiar și atunci când . În acest caz

al 2-lea caz. Se află doar în planul de proiecție și este paralel cu planul de proiecție .

Fie proiecțiile punctelor pe plan, respectiv. În cazul nostru.

Să tragem o linie dreaptă prin punct. În cazul nostru, linia dreaptă intersectează planul de proiecție, prin urmare, după lemă, linia dreaptă intersectează și planul de proiecție. Fie într-un punct Deoarece, atunci punctele se află în același plan și, deoarece este paralel cu planul de proiecție, rezultă din semnul de paralelism al dreptei și al planului că. Prin urmare, este un paralelogram. Luați în considerare și. Sunt egale pe trei laturi (- comune, ca laturile opuse ale unui paralelogram). Rețineți că patrulaterul este un dreptunghi și este egal (de-a lungul catetei și ipotenuzei), prin urmare, este egal pe trei laturi. De aceea.

Pentru 1 caz este aplicabil:, i.e.

al 3-lea caz. Se află doar în planul de proiecție și nu este paralel cu planul de proiecție .

Fie punctul de punctul de intersecție al dreptei cu planul de proiecție. Să remarcăm că i. Cu 1 ocazie: i. Astfel obținem asta

4 caz. Vârfurile nu se află în planul de proiecție . Luați în considerare perpendicularele. Luați cea mai mică dintre aceste perpendiculare. Lasă-l să fie perpendicular. Se poate dovedi că fie numai, fie numai. Atunci încă o luăm.

Să lăsăm deoparte un punct dintr-un punct pe un segment, astfel încât și dintr-un punct pe un segment, un punct, astfel încât. O astfel de construcție este posibilă, deoarece - cea mai mică dintre perpendiculare. Rețineți că este o proiecție și, prin construcție. Să demonstrăm că și suntem egali.

Să luăm în considerare un patrulater. Prin condiție - perpendiculare pe un plan, așadar, conform teoremei, așadar. Deoarece prin construcție, apoi pe baza unui paralelogram (pe laturi opuse paralele și egale), putem concluziona că - un paralelogram. Mijloace, . Se dovedește în mod similar că, . Prin urmare, și sunt egale pe trei părți. Asa de. Rețineți că și, ca laturi opuse ale paralelogramelor, prin urmare, pe baza paralelismului planelor, . Deoarece aceste plane sunt paralele, ele formează același unghi cu planul de proiecție.

Pentru cazurile anterioare se aplica:

5 caz. Planul de proiecție intersectează laturile . Să ne uităm la liniile drepte. Ele sunt perpendiculare pe planul de proiecție, deci după teoremă sunt paralele. Pe razele co-dirijate cu origini în puncte, lăsăm deoparte segmente egale, respectiv, astfel încât vârfurile să se afle în afara planului de proiecție. Rețineți că este o proiecție și, prin construcție. Să arătăm că este egal.

De când și, prin construcție, atunci. Prin urmare, pe baza unui paralelogram (pe două laturi egale și paralele), - un paralelogram. Se poate dovedi în mod similar că și sunt paralelograme. Dar atunci și (ca laturi opuse), prin urmare, este egal în trei laturi. Mijloace, .

În plus, și, prin urmare, pe baza paralelismului planurilor. Deoarece aceste plane sunt paralele, ele formează același unghi cu planul de proiecție.

Pentru cazul aplicabil 4:.

II etapă. Să împărțim poligonul plat în triunghiuri folosind diagonalele desenate din vârf: Apoi, conform cazurilor anterioare pentru triunghiuri: .

Q.E.D.