Mai rămâne din ce în ce mai puțin timp până la promovarea examenului la matematică. Situația se încălzește, nervii școlarilor, părinților, profesorilor și tutorilor sunt din ce în ce mai încordați. Cursurile zilnice aprofundate de matematică te vor ajuta să scapi de tensiunea nervoasă. La urma urmei, nimic, după cum știți, încarcă atât de pozitiv și nu ajută la promovarea examenelor, precum încrederea în abilitățile și cunoștințele cuiva. Astăzi, un profesor de matematică vă va spune despre rezolvarea sistemelor de inegalități logaritmice și exponențiale, sarcini care în mod tradițional provoacă dificultăți pentru mulți liceeni moderni.

Pentru a învăța cum să rezolvi problemele C3 de la Examenul Unificat de Stat la matematică, în calitate de tutor la matematică, îți recomand să fii atent la următoarele puncte importante.

1. Înainte de a trece la rezolvarea sistemelor de inegalități logaritmice și exponențiale, este necesar să învățați cum să rezolvați separat fiecare dintre aceste tipuri de inegalități. În special, pentru a înțelege cum se găsește aria valorilor admisibile, se efectuează transformări echivalente ale expresiilor logaritmice și exponențiale. Puteți înțelege câteva dintre secretele legate de aceasta studiind articolele „” și „”.

2. În același timp, este necesar să ne dăm seama că soluția unui sistem de inegalități nu se rezumă întotdeauna la rezolvarea separată a fiecărei inegalități și la traversarea golurilor rezultate. Uneori, cunoscând soluția unei inegalități a sistemului, soluția celei de-a doua este mult simplificată. În calitate de tutore de matematică care pregătește studenții pentru examenele finale în format USE, voi dezvălui câteva secrete legate de acest lucru în acest articol.

3. Este necesar să înțelegeți clar diferența dintre intersecția și unirea mulțimilor. Aceasta este una dintre cele mai importante cunoștințe matematice pe care un tutor profesionist cu experiență încearcă să le ofere elevului său încă de la primele lecții. O reprezentare vizuală a intersecției și unirii mulțimilor este dată de așa-numitele „cercuri Euler”.

Stabiliți intersecția O mulțime se numește o mulțime care conține doar acele elemente pe care le are fiecare dintre aceste mulțimi.

intersecție

Imagine a intersecției multimilor folosind „cercurile Euler”

Explicație cu degetul. Diana are un „set” în poșetă, format din ( pixuri, creion, conducători, caiete, piepteni). Alice are un „set” în poșetă, format din ( caiet, creion, oglinzi, caiete, cotleturile Kievului). Intersecția acestor două „mulțimi” va fi „mulțimea” formată din ( creion, caiete), deoarece atât Diana, cât și Alice au ambele aceste „elemente”.

Important de reținut! Dacă soluția inegalității este intervalul și soluția inegalității este intervalul, atunci soluția sistemelor:

este intervalul care este intersecție intervalele originale. Aici și mai josoricare dintre personaje title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} si sub este semnul opus.

Unirea de seturi se numeşte mulţimea care este formată din toate elementele mulţimilor originale.

Cu alte cuvinte, dacă sunt date două seturi și apoi lor asociere va fi un set de forma următoare:

Imagine a uniunii seturilor folosind „cercurile Euler”

Explicație cu degetul. Unirea „multimilor” luata in exemplul anterior va fi „multimea” formata din ( pixuri, creion, conducători, caiete, piepteni, caiet, oglinzi, cotleturile Kievului), deoarece este format din toate elementele „mulților” originale. O precizare care poate să nu fie de prisos. O multime de nu poti conţin aceleaşi elemente.

Important de reținut! Dacă soluția inegalității este intervalul și soluția inegalității este intervalul, atunci soluția mulțimii este:

este intervalul care este Uniune intervalele originale.

Să trecem direct la exemple.

Exemplul 1 Rezolvați sistemul de inegalități:

Rezolvarea problemei C3.

1. Rezolvăm prima inegalitate. Folosind substituția, trecem la inegalitatea:

2. Acum rezolvăm a doua inegalitate. Intervalul valorilor sale admisibile este determinat de inegalitatea:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

În intervalul acceptabil, având în vedere că baza logaritmului title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Excluzând soluțiile care nu se încadrează în intervalul de valori admisibile, obținem intervalul

3. Raspunde la sistem inegalitățile vor intersecție

Lacunele rezultate pe linia numerică. Soluția este intersecția lor

Exemplul 2 Rezolvați sistemul de inegalități:

Rezolvarea problemei C3.

1. Rezolvăm prima inegalitate. Înmulțiți ambele părți prin title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Să trecem la înlocuirea inversă:

2.

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Reprezentarea grafică a intervalului rezultat. Soluția sistemului - intersecția lor

Exemplul 3 Rezolvați sistemul de inegalități:

Rezolvarea problemei C3.

1. Rezolvăm prima inegalitate. Înmulțiți ambele părți ale acestuia prin title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Folosind substituția, trecem la următoarea inegalitate:

Să trecem la înlocuirea inversă:

2. Acum rezolvăm a doua inegalitate. Să determinăm mai întâi intervalul de valori admisibile ale acestei inegalități:

ql-right-eqno">

Vă rugăm să rețineți că

Apoi, ținând cont de intervalul de valori admisibile, obținem:

3. Găsim soluția generală a inegalităților. Compararea valorilor iraționale obținute ale punctelor nodale nu este deloc o sarcină trivială în acest exemplu. Acest lucru se poate face în felul următor. La fel de

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

apoi iar răspunsul final la sistem este:

Exemplul 4 Rezolvați sistemul de inegalități:

Rezolvarea problemei С3.

1. Să rezolvăm mai întâi a doua inegalitate:

2. Prima inegalitate a sistemului original este o inegalitate logaritmică de bază variabilă. O modalitate convenabilă de a rezolva astfel de inegalități este descrisă în articolul „Inegalități logaritmice complexe”, se bazează pe o formulă simplă:

În loc de semn, orice semn de inegalitate poate fi înlocuit, principalul lucru este ca acesta să fie același în ambele cazuri. Folosirea acestei formule simplifică foarte mult soluția inegalității:

Să determinăm acum intervalul de valori admisibile ale acestei inegalități. Este dat de următorul sistem:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Este ușor de observat că, în același timp, acest interval va fi și soluția inegalității noastre.

3. Răspunsul final la original sisteme inegalitățile vor intersecție intervale obţinute, adică

Exemplul 5 Rezolvați sistemul de inegalități:

Rezolvarea problemei C3.

1. Rezolvăm prima inegalitate. Folosim substituția Trecem la următoarea inegalitate pătratică:

2. Acum rezolvăm a doua inegalitate. Intervalul valorilor sale permise este determinat de sistem:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Această inegalitate este echivalentă cu următorul sistem mixt:

În intervalul de valori valide, adică cu title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

Luând în considerare intervalul de valori admisibile, obținem:

3. Decizia finală a originalului sisteme este o

Rezolvarea problemei C3.

1. Rezolvăm prima inegalitate. Prin transformări echivalente îl aducem la forma:

2. Acum rezolvăm a doua inegalitate. Intervalul valorilor sale valide este determinat de intervalul: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Acest răspuns aparține în întregime gamei de valori acceptabile ale inegalității.

3. Încrucișând intervalele obținute în paragrafele precedente, obținem răspunsul final la sistemul de inegalități:

Astăzi am rezolvat sisteme de inegalități logaritmice și exponențiale. Sarcini de acest fel au fost oferite în versiuni de probă ale USE în matematică pe tot parcursul anului universitar curent. Cu toate acestea, în calitate de tutor de matematică cu experiență în pregătirea pentru USE, pot spune că acest lucru nu înseamnă deloc că sarcini similare vor fi în versiunile reale ale USE în matematică în iunie.

Permiteți-mi să exprim un avertisment, adresat în primul rând tutorilor și profesorilor implicați în pregătirea elevilor de liceu pentru USE în matematică. Este foarte periculos să pregătiți școlari pentru un examen strict pe subiecte date, deoarece în acest caz există riscul de a-l „umple” complet chiar și cu o ușoară modificare a formatului sarcinii menționat anterior. Educația la matematică trebuie să fie completă. Dragi colegi, vă rugăm să nu vă comparați studenții cu roboții prin așa-numitul „antrenament” pentru a rezolva un anumit tip de problemă. La urma urmei, nu există nimic mai rău decât formalizarea gândirii umane.

Succes tuturor și succes creativ!

Serghei Valerievici

Dacă încercați, atunci există două opțiuni: va funcționa sau nu va funcționa. Dacă nu încerci, există doar unul.
© Înțelepciunea populară

Rezolvarea majorității problemelor matematice este oarecum legată de transformarea expresiilor numerice, algebrice sau funcționale. Acest lucru se aplică mai ales soluției. În variantele USE în matematică, acest tip de sarcină include, în special, sarcina C3. Învățarea cum să rezolvi sarcinile C3 este importantă nu numai pentru promovarea cu succes a examenului, ci și pentru motivul că această abilitate va fi utilă atunci când studiezi un curs de matematică în învățământul superior.

Efectuând sarcinile C3, trebuie să rezolvi diverse tipuri de ecuații și inegalități. Printre acestea se numără raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice, care conțin module (valori absolute), precum și combinate. Acest articol discută principalele tipuri de ecuații și inegalități exponențiale, precum și diferite metode de rezolvare a acestora. Citiți despre rezolvarea altor tipuri de ecuații și inegalități la rubrica „” din articolele dedicate metodelor de rezolvare a problemelor C3 din variantele USE în matematică.

Înainte de a trece la analiza specifice ecuații exponențiale și inegalități, în calitate de profesor de matematică, vă sugerez să periați unele dintre materialele teoretice de care vom avea nevoie.

Functie exponentiala

Ce este o funcție exponențială?

Funcția de vizualizare y = un x, Unde A> 0 și A≠ 1, numit functie exponentiala.

Principal proprietățile funcției exponențiale y = un x:

Graficul unei funcții exponențiale

Graficul funcției exponențiale este expozant:

Grafice ale funcțiilor exponențiale (exponenți)

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

indicativ numite ecuații în care variabila necunoscută se găsește numai în exponenții oricăror puteri.

Pentru solutii ecuații exponențiale trebuie să cunoașteți și să puteți utiliza următoarea teoremă simplă:

Teorema 1. ecuație exponențială A f(X) = A g(X) (Unde A > 0, A≠ 1) este echivalentă cu ecuația f(X) = g(X).

În plus, este util să ne amintim formulele și acțiunile de bază cu grade:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Exemplul 1 Rezolvați ecuația:

Decizie: utilizați formulele de mai sus și înlocuiți:

Ecuația devine atunci:

Discriminantul ecuației pătratice obținute este pozitiv:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Aceasta înseamnă că această ecuație are două rădăcini. Le gasim:

Revenind la înlocuire, obținem:

A doua ecuație nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială este strict pozitivă pe întregul domeniu de definiție. Să o rezolvăm pe a doua:

Ținând cont de cele spuse în teorema 1, trecem la ecuația echivalentă: X= 3. Acesta va fi răspunsul la sarcină.

Răspuns: X = 3.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația:

Decizie: ecuația nu are restricții asupra zonei valorilor admisibile, deoarece expresia radicală are sens pentru orice valoare X(functie exponentiala y = 9 4 -X pozitiv și nu egal cu zero).

Rezolvăm ecuația prin transformări echivalente folosind regulile de înmulțire și împărțire a puterilor:

Ultima tranziție a fost efectuată în conformitate cu teorema 1.

Răspuns:X= 6.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația:

Decizie: ambele părți ale ecuației inițiale pot fi împărțite la 0,2 X. Această tranziție va fi echivalentă, deoarece această expresie este mai mare decât zero pentru orice valoare X(funcția exponențială este strict pozitivă pe domeniul său). Atunci ecuația ia forma:

Răspuns: X = 0.

Exemplul 4 Rezolvați ecuația:

Decizie: simplificăm ecuația la una elementară prin transformări echivalente folosind regulile de împărțire și înmulțire a puterilor date la începutul articolului:

Împărțirea ambelor părți ale ecuației la 4 X, ca în exemplul anterior, este o transformare echivalentă, deoarece această expresie nu este egală cu zero pentru nicio valoare X.

Răspuns: X = 0.

Exemplul 5 Rezolvați ecuația:

Decizie: funcţie y = 3X, aflat în partea stângă a ecuației, este în creștere. Funcţie y = —X-2/3, stând în partea dreaptă a ecuației, este în scădere. Aceasta înseamnă că dacă graficele acestor funcții se intersectează, atunci cel mult la un moment dat. În acest caz, este ușor de ghicit că graficele se intersectează în punct X= -1. Nu vor exista alte rădăcini.

Răspuns: X = -1.

Exemplul 6 Rezolvați ecuația:

Decizie: simplificăm ecuația prin transformări echivalente, ținând cont peste tot că funcția exponențială este strict mai mare decât zero pentru orice valoare Xși folosind regulile de calcul al produsului și puterilor parțiale date la începutul articolului:

Răspuns: X = 2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale

indicativ numite inegalităţi în care variabila necunoscută este cuprinsă numai în exponenţii unor puteri.

Pentru solutii inegalități exponențiale este necesară cunoașterea următoarei teoreme:

Teorema 2.În cazul în care un A> 1, apoi inegalitatea A f(X) > A g(X) este echivalentă cu o inegalitate de același sens: f(X) > g(X). Daca 0< A < 1, то показательное неравенство A f(X) > A g(X) este echivalentă cu o inegalitate de sens opus: f(X) < g(X).

Exemplul 7 Rezolvați inegalitatea:

Decizie: reprezentați inegalitatea inițială sub forma:

Împărțiți ambele părți ale acestei inegalități la 3 2 X, și (datorită pozitivității funcției y= 3 2X) semnul inegalității nu se va modifica:

Să folosim o înlocuire:

Atunci inegalitatea ia forma:

Deci, soluția inegalității este intervalul:

trecând la substituția inversă, obținem:

Inegalitatea din stânga, datorită pozitivității funcției exponențiale, este îndeplinită automat. Folosind proprietatea binecunoscută a logaritmului, trecem la inegalitatea echivalentă:

Deoarece baza gradului este un număr mai mare decât unu, echivalentul (prin teorema 2) va fi trecerea la următoarea inegalitate:

Așa că în sfârșit obținem Răspuns:

Exemplul 8 Rezolvați inegalitatea:

Decizie: folosind proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor, rescriem inegalitatea sub forma:

Să introducem o nouă variabilă:

Cu această înlocuire, inegalitatea ia forma:

Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu 7, obținem următoarea inegalitate echivalentă:

Deci, inegalitatea este satisfăcută de următoarele valori ale variabilei t:

Apoi, revenind la substituție, obținem:

Deoarece baza gradului aici este mai mare decât unu, este echivalent (prin teorema 2) să trecem la inegalitatea:

În sfârșit, obținem Răspuns:

Exemplul 9 Rezolvați inegalitatea:

Decizie:

Împărțim ambele părți ale inegalității prin expresia:

Este întotdeauna mai mare decât zero (deoarece funcția exponențială este pozitivă), deci semnul inegalității nu trebuie schimbat. Primim:

t , care sunt în intervalul:

Trecând la substituția inversă, constatăm că inegalitatea inițială se împarte în două cazuri:

Prima inegalitate nu are soluții datorită pozitivității funcției exponențiale. Să o rezolvăm pe a doua:

Exemplul 10 Rezolvați inegalitatea:

Decizie:

Ramuri de parabolă y = 2X+2-X 2 sunt îndreptate în jos, de aceea este delimitată de sus de valoarea pe care o atinge la vârful său:

Ramuri de parabolă y = X 2 -2X+2, care se află în indicator, sunt direcționate în sus, ceea ce înseamnă că este limitat de jos de valoarea pe care o atinge în partea de sus:

În același timp, funcția se dovedește a fi mărginită de jos y = 3 X 2 -2X+2 în partea dreaptă a ecuației. Ea atinge cea mai mică valoare în același punct cu parabola din exponent, iar această valoare este 3 1 = 3. Deci, inegalitatea inițială poate fi adevărată numai dacă funcția din stânga și funcția din dreapta iau valoarea , egal cu 3 (intersecția intervalelor acestor funcții este doar acest număr). Această condiție este îndeplinită într-un singur punct X = 1.

Răspuns: X= 1.

Pentru a învăța cum să rezolvi ecuații exponențiale și inegalități, trebuie să te antrenezi constant în soluția lor. Diverse manuale metodologice, cărți de probleme de matematică elementară, culegeri de probleme competitive, cursuri de matematică la școală, precum și lecții individuale cu un tutore profesionist vă pot ajuta în această sarcină dificilă. Vă doresc din suflet succes în pregătirea dumneavoastră și rezultate strălucitoare la examen.

Serghei Valerievici

P.S. Dragi oaspeți! Vă rugăm să nu scrieți solicitări pentru rezolvarea ecuațiilor dvs. în comentarii. Din păcate, nu am timp deloc pentru asta. Astfel de mesaje vor fi șterse. Vă rugăm să citiți articolul. Poate că în ea veți găsi răspunsuri la întrebări care nu v-au permis să vă rezolvați singur sarcina.

Inegalități iraționale

O inegalitate irațională este înțeleasă ca o inegalitate în care mărimile necunoscute sunt sub semnul radicalului. Rezolvarea unor astfel de inegalități constă de obicei în faptul că, cu ajutorul unor transformări, acestea sunt înlocuite cu ecuații raționale, inegalități sau sisteme de ecuații și inegalități echivalente (adesea sisteme mixte, adică cele care includ atât ecuații, cât și inegalități) , iar mai departe soluția poate urma pașii descriși mai sus. Aceste transformări sunt, pe lângă schimbarea variabilelor (introducerea de noi variabile) și factorizarea, și ridicarea ambelor părți ale inegalității în același grad. Cu toate acestea, în acest caz este necesar să se monitorizeze echivalența tranzițiilor de la o inegalitate la alta. Cu o exponențiere necugetă, rădăcinile inegalității pot fi atât pierdute, cât și câștigate în același timp. De exemplu, punerea la pătrat a inegalității corecte -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Totuși, principala aserțiune folosită aici este adevărată: dacă ambele părți ale unei inegalități sunt nenegative, atunci este echivalentă cu inegalitatea obținută din aceasta prin exponențiere în termeni.

La rezolvarea inegalităților în acest mod, trebuie avut grijă să nu dobândiți soluții străine. Prin urmare, este util, acolo unde este posibil, să găsim domeniul de definire a inegalității, precum și domeniul valorilor posibile ale soluțiilor.

Inegalități exponențiale și logaritmice

Rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice este precedată de studiul proprietăților funcțiilor corespunzătoare; efectuarea multor sarcini privind transformarea expresiilor exponențiale și logaritmice; rezolvarea ecuațiilor care conțin logaritmi și variabile în exponent. Rezolvarea celor mai simple inegalități, care sunt luate în considerare

unde înseamnă una dintre inegalități<,>,.

Ideea este că acest subiect este de obicei introdus ca unul absolut nou, bazat doar pe proprietățile studiate anterior ale acestor funcții. Este oportun, în opinia mea, să-l conectez cu soluția inegalităților în general (adică cu algoritmul deja cunoscut). Trebuie remarcat faptul că metoda intervalului nu poate fi utilizată direct. Dar soluția diferitelor inegalități exponențiale și logaritmice se bazează pe următoarele reguli:

Dacă a>1, atunci

Daca 0

Dacă a>1, atunci

Daca 0

Unde semnul înseamnă sensul opus semnului.

Folosind care inegalități exponențiale și logaritmice sunt de obicei reduse la cele raționale, care pot fi deja rezolvate prin metoda intervalelor descrisă mai sus.

Inegalități care conțin funcții trigonometrice

Acest subiect este slab acoperit în literatura educațională, iar în unele manuale este scos în general din sfera cursului studiat (așa cum sa menționat deja în capitolul I al acestei lucrări). Dintre inegalitățile trigonometrice, de regulă, sunt luate în considerare doar cele mai simple tipuri.

Întrucât sarcinile prezentate în partea practică aferentă acestui alineat se regăsesc în culegeri de probleme de concurență, în colecții pentru solicitanți și materiale pentru examenele de admitere la facultățile tehnice ale universităților. Acestea. acest material nu este inclus în studiul obligatoriu în școala primară și liceală, dar este util.

Metoda intervalului este eficientă în special în rezolvarea inegalităților care conțin funcții trigonometrice. La rezolvarea inegalităților pur trigonometrice prin această metodă, în loc de axa numerelor, este convenabil să se folosească un cerc numeric, care este împărțit la rădăcinile ecuațiilor trigonometrice corespunzătoare (numărător și numitor) în arce care joacă același rol ca și intervalele. pe axa numerelor. Pe aceste arce, expresia trigonometrică corespunzătoare inegalității care se rezolvă are semne constante, care pot fi determinate folosind regula unui punct „convenient” separat și proprietatea multiplicității rădăcinilor. Adesea, pentru a determina arcele în sine, nu este deloc necesar să se găsească întregul set (infinit) de rădăcini ale ecuațiilor corespunzătoare; este suficient din aceste ecuații să găsești valorile principalelor funcții trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă, cotangentă) și să marchezi punctele pe cercul numeric corespunzătoare acestor valori.

Puteți folosi cercul numeric direct pentru a rezolva inegalitatea trigonometrică inițială folosind metoda intervalului dacă toate funcțiile prin care este scrisă inegalitatea au perioada principală (cea mai mică pozitivă) sau, unde m este un număr întreg pozitiv. Dacă perioada principală a acestor funcții este mai mare decât sau, atunci ar trebui să modificați mai întâi variabilele și apoi să utilizați cercul numeric.

Dacă inegalitatea conține atât funcții trigonometrice, cât și alte funcții, atunci axa numerică trebuie utilizată pentru a o rezolva prin metoda intervalului.

Toate problemele B7 pe care le-am văzut au fost formulate aproape în același mod: rezolvarea unei ecuații. În acest caz, ecuațiile în sine aparțin unuia dintre cele trei tipuri:

1. logaritmică;
2. Demonstrativ;
3. Iraţional.

În general, un ghid complet pentru fiecare tip de ecuație va dura mai mult de o duzină de pagini, depășind cu mult domeniul de aplicare al examenului. Prin urmare, vom lua în considerare doar cazurile cele mai simple care necesită raționamente și calcule fără pretenții. Aceste cunoștințe vor fi suficiente pentru a rezolva orice problemă B7.

În matematică, termenul „rezolvarea unei ecuații” înseamnă a găsi mulțimea tuturor rădăcinilor unei ecuații date sau a demonstra că această mulțime este goală. Dar numai numere pot fi introduse în formularul USE - fără seturi. Prin urmare, dacă a existat mai mult de o rădăcină în sarcina B7 (sau, dimpotrivă, nici una) - a fost făcută o eroare în soluție.

Ecuații logaritmice

O ecuație logaritmică este orice ecuație care se reduce la forma log A f(X) = k, Unde A > 0, A≠ 1 este baza logaritmului, f(X) este o funcție arbitrară, k este o constantă.

O astfel de ecuație se rezolvă prin introducerea constantei k sub semnul logaritmului: k= jurnal A A k. Baza noului logaritm este egală cu baza originalului. Obținem jurnalul ecuației A f(X) = jurnal A A k, care se rezolvă prin eliminarea logaritmului.

Rețineți că, prin condiție A> 0, deci f(X) = A k> 0, adică logaritmul original există.

Sarcină. Rezolvați ecuația: log 7 (8 − X) = 2.

Decizie. log 7 (8 − X) = 2 ⇔ log 7 (8 − X) = log 7 7 2 ⇔ 8 − X = 49 ⇔ X = −41.

Sarcină. Rezolvați ecuația: log 0,5 (6 − X) = −2.

Decizie. log 0,5 (6 − X) = −2 ⇔ log 0,5 (6 − X) = log 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − X = 4 ⇔ X = 2.

Dar ce se întâmplă dacă ecuația inițială se dovedește a fi mai complicată decât jurnalul standard A f(X) = k? Apoi îl reducem la cel standard, adunând toți logaritmii într-o direcție, iar numerele în cealaltă.

Dacă există mai mult de un logaritm în ecuația originală, va trebui să căutați intervalul de valori acceptabile (RTV) pentru fiecare funcție sub logaritm. În caz contrar, pot apărea rădăcini suplimentare.

Sarcină. Rezolvați ecuația: log 5 ( X+ 1) + log 5 ( X + 5) = 1.

Deoarece există doi logaritmi în ecuație, găsim ODZ:

1. X + 1 > 0 ⇔ X > −1
2. X + 5 > 0 ⇔ X > −5

Obținem că ODZ este intervalul (−1, +∞). Acum rezolvăm ecuația:

jurnal 5 ( X+ 1) + log 5 ( X+ 5) = 1 ⇒ log 5 ( X + 1)(X+ 5) = 1 ⇔ log 5 ( X + 1)(X+ 5) = log 5 5 1 ⇔ ( X + 1)(X + 5) = 5 ⇔ X 2 + 6X + 5 = 5 ⇔ X (X + 6) = 0 ⇔ X 1 = 0, X 2 = −6.

Dar X 2 = -6 nu se califică pentru ODZ. Rămâne rădăcina X 1 = 0.

ecuații exponențiale

O ecuație exponențială este orice ecuație care se reduce la forma A f(X) = k, Unde A > 0, A≠ 1 - baza gradului, f(X) este o funcție arbitrară, k este o constantă.

Această definiție repetă aproape textual definiția unei ecuații logaritmice. Ecuatiile exponentiale se rezolva si mai usor decat cele logaritmice, deoarece aici nu se cere ca functia f(X) a fost pozitiv.

Pentru a rezolva acest lucru, facem înlocuirea k = A t, Unde tÎn general, logaritmul ( t= jurnal A k), dar în USE numerele Ași k va fi ales astfel încât să găsească t va fi usor. În ecuația rezultată A f(X) = A t bazele sunt egale, ceea ce înseamnă că exponenții sunt egali, adică. f(X) = t. Rezolvarea ultimei ecuații, de regulă, nu provoacă probleme.

Sarcină. Rezolvați ecuația: 7 X − 2 = 49.

Decizie. 7 X − 2 = 49 ⇔ 7 X − 2 = 7 2 ⇔ X − 2 = 2 ⇔ X = 4.

Sarcină. Rezolvați ecuația: 6 16 − X = 1/36.

Decizie. 6 16 - X = 1/36 ⇔ 6 16 − X = 6 −2 ⇔ 16 − X = −2 ⇔ X = 18.

Câteva despre transformarea ecuațiilor exponențiale. Dacă ecuația inițială este diferită de A f(X) = k , aplicăm regulile de lucru cu grade:

1. A n · A m = A n + m ,
2. A n / A m = A n − m ,
3. (A n) m = A n · m .

În plus, trebuie să cunoașteți regulile pentru înlocuirea rădăcinilor și fracțiilor cu grade cu un exponent rațional:

Astfel de ecuații sunt extrem de rare în USE, dar fără ele, analiza problemei B7 ar fi incompletă.

Sarcină. Rezolvați ecuația: (5/7) X− 2 (7/5) 2 X − 1 = 125/343

Observa asta:

1. (7/5) 2X − 1 = ((5/7) −1) 2X − 1 = (5/7) 1 − 2X ,
2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Avem: (5/7) X− 2 (7/5) 2 X − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) X− 2 · (5/7) 1 − 2 X = (5/7) 3 ⇔ (5/7) X − 2 + 1 − 2X = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −X − 1 = (5/7) 3 ⇔ −X − 1 = 3 ⇔ X = −4.

Ecuații iraționale

Irațional este înțeles ca orice ecuație care conține semnul rădăcinii. Dintre toată varietatea de ecuații iraționale, vom lua în considerare doar cel mai simplu caz, când ecuația are forma:

Pentru a rezolva această ecuație, pătram ambele părți. Obținem ecuația f(X) = A 2. În acest caz, cerința ODZ este îndeplinită automat: f(X) ≥ 0, deoarece A 2 ≥ 0. Rămâne de rezolvat o ecuație simplă f(X) = A 2 .

Sarcină. Rezolvați ecuația:

Punem la patrat ambele laturi si obtinem: 5 X − 6 = 8 2 ⇔ 5X − 6 = 64 ⇔ 5X = 70 ⇔ X = 14.

Sarcină. Rezolvați ecuația:

Mai întâi, ca și data trecută, pătrum ambele părți. Și apoi vom adăuga un semn minus la numărător. Noi avem:

Rețineți că atunci când X= −4 va exista un număr pozitiv sub rădăcină, adică. cerința ODZ a fost îndeplinită.