„Fiul mic a venit la tatăl său și l-a întrebat pe Micut: „Ce sunt colțurile?”. Dar tata a uitat răspunsul. Asta e foarte rău!".

În articolul nostru, ne propunem să ne amintim lecțiile de matematică și să găsim răspunsuri la întrebările bebelușului.

Ce este un unghi

Ceea ce este un unghi este, desigur, mai ușor de arătat decât de explicat. Din clasele elementare, știm că un unghi plat:

1. Aceasta este o figură geometrică.
2. Este format din două laturi - raze.
3. Razele ies dintr-un vârf - un punct.
4. Măsurată în grade.

Adică, dacă puneți un punct pe orice plan și apoi desenați două raze din acest punct (o rază este o linie dreaptă care are un început, dar fără sfârșit), atunci obținem un unghi și nu unul, ci doi. Acest lucru se datorează faptului că razele au împărțit planul în două părți. Am format două colțuri - interior și exterior.

Desemnarea unghiului

Un unghi este notat în matematică printr-un astfel de semn - „˪” și litere grecești: β, δ, φ. De asemenea, puteți desemna unghiuri cu litere latine mici sau mari. Literele mici (d, c, b) indică razele care formează un unghi, prin urmare, numele va fi format din două litere și pictograma - ˪ab. Literele latine majuscule indică cele trei puncte ale unui unghi: două pe laturi și un vârf (˪DEF). Mai mult decât atât, litera din partea de sus va fi întotdeauna în mijlocul numelui, iar modul în care se citește DEF sau FED, acest lucru deja nu face nicio diferență.

Tipuri de colțuri

În funcție de grade (valoarea măsurată), unghiurile sunt împărțite în:

• Acut (> 90 de grade);
• Direct (exact 90);
• Mut (180);
• Extins (egal cu 180);
• Neconvex (mai mult de 180, dar mai puțin de 360);
• Complet (360);

Toate unghiurile care nu sunt drepte sau drepte se numesc oblice.

De asemenea, care sunt colțurile?

• Adiacente - au o latură în comun, în timp ce celelalte se află, fără a coincide, pe același plan. Suma acestor unghiuri va fi întotdeauna 180.
• Verticale - unghiuri formate din două drepte care se intersectează și nu au laturi comune, dar razele lor ies dintr-un punct. Adică, partea unui colț este o continuare a celuilalt. Aceste unghiuri sunt egale.
• Central - Un unghi al cărui vârf este centrul cercului.
• Unghiul înscris. Vârful său este pe un cerc, iar razele care îl formează intersectează acest cerc.

Acum știi ce este un unghi drept și poți spune și care unghi este ascuțit. A aminti acest lucru nu este dificil, iar alte tipuri de unghiuri au, de asemenea, nume caracteristice.

În acest articol, vom analiza cuprinzător una dintre principalele forme geometrice - unghiul. Să începem cu concepte și definiții auxiliare care ne vor conduce la definirea unghiului. După aceea, oferim metodele acceptate pentru desemnarea unghiurilor. În continuare, ne vom ocupa în detaliu de procesul de măsurare a unghiurilor. În concluzie, vă vom arăta cum puteți marca colțurile în desen. Am pus la dispoziție toată teoria desenele și ilustrațiile grafice necesare pentru o mai bună memorare a materialului.

Navigare în pagină.

Definirea unghiului.

Unghiul este una dintre cele mai importante figuri din geometrie. Definiția unghiului este dată prin definiția unei raze. La rândul său, ideea unei raze nu poate fi obținută fără cunoașterea unor astfel de figuri geometrice precum un punct, o linie dreaptă și un plan. Prin urmare, înainte de a vă familiariza cu definiția unghiului, vă recomandăm să reîmprospătați teoria din secțiuni și.

Deci, vom pleca de la conceptele de punct, linie dreaptă pe un plan și plan.

Să dăm mai întâi definiția unei raze.

Să ni se dea o linie dreaptă în avion. Să o notăm cu litera a. Fie O un punct al dreptei a . Punctul O împarte dreapta a în două părți. Fiecare dintre aceste părți împreună cu punctul O se numește grindă, iar punctul O se numește începutul fasciculului. De asemenea, puteți auzi că fasciculul este numit semidirectă.

Pentru concizie și comoditate, a fost introdusă următoarea notație pentru raze: o rază este desemnată fie printr-o literă latină mică (de exemplu, raza p sau raza k), fie prin două litere mari latine, prima dintre care corespunde începutului de raza, iar a doua denotă un punct al acestei raze (de exemplu, raza OA sau fasciculul CD). Să arătăm imaginea și denumirea razelor din desen.

Acum putem da prima definiție a unghiului.

Definiție.

Injecţie- aceasta este o figură geometrică plată (adică situată în întregime într-un anumit plan), care este formată din două raze nepotrivite cu o origine comună. Fiecare dintre raze este numită partea de colt, începutul comun al laturilor unghiului se numește colțul de sus.

Este posibil ca laturile unui unghi să formeze o linie dreaptă. Acest unghi are propriul nume.

Definiție.

Dacă ambele laturi ale unui unghi se află pe aceeași linie, atunci unghiul se numește dislocat.

Vă aducem în atenție o ilustrare grafică a unui unghi dezvoltat.

Un simbol unghi este folosit pentru a desemna un unghi. Dacă laturile unghiului sunt indicate cu litere mici latine (de exemplu, o parte a unghiului este k, iar cealaltă este h), atunci pentru a desemna acest unghi, după pictograma unghi, literele corespunzătoare laturilor sunt scrise în un rând, iar ordinea înregistrării nu contează (adică sau). Dacă laturile unghiului sunt indicate prin două litere mari latine (de exemplu, o parte a unghiului OA și a doua latură a unghiului OB), atunci unghiul se notează după cum urmează: după semnul unghiului, trei litere sunt scrise care participă la desemnarea laturilor unghiului și litera corespunzătoare vârfului unghiului, situată în mijloc (în cazul nostru, unghiul va fi indicat ca sau ). Dacă vârful unui unghi nu este vârful altui unghi, atunci un astfel de unghi poate fi notat cu litera corespunzătoare vârfului unghiului (de exemplu, ). Uneori puteți vedea că colțurile din desene sunt marcate cu numere (1, 2 etc.), aceste colțuri sunt notate ca și așa mai departe. Pentru claritate, vă prezentăm o figură în care sunt arătate și indicate colțurile.

Orice unghi împarte planul în două părți. În plus, dacă unghiul nu este dezvoltat, atunci se numește o parte a planului zona colțului interior, si celalalt zona de colt exterior. Următoarea imagine explică ce parte a planului corespunde cu interiorul colțului și care parte cu exteriorul.

Oricare dintre cele două părți în care un unghi aplatizat împarte un plan poate fi considerată o regiune interioară a unghiului aplatizat.

Definiția interiorului unui unghi ne conduce la a doua definiție a unghiului.

Definiție.

Injecţie- aceasta este o figură geometrică, care este formată din două raze nepotrivite cu o origine comună și regiunea interioară corespunzătoare a unghiului.

Trebuie remarcat faptul că a doua definiție a unghiului este mai strictă decât prima, deoarece conține mai multe condiții. Cu toate acestea, nu ar trebui să respingem prima definiție a unghiului și nici nu ar trebui să ia în considerare prima și a doua definiție a unghiului separat. Să explicăm acest punct. Când vine vorba de un unghi ca figură geometrică, atunci un unghi este înțeles ca o figură compusă din două raze cu o origine comună. Dacă devine necesară efectuarea oricăror acțiuni cu acest unghi (de exemplu, măsurarea unui unghi), atunci un unghi ar trebui să fie deja înțeles ca două raze cu o origine comună și o regiune internă (altfel ar apărea o situație dublă din cauza prezența atât a unei regiuni interne, cât și a uneia externe a unghiului ).

Să dăm mai multe definiții ale unghiurilor adiacente și verticale.

Definiție.

Colțuri adiacente- acestea sunt două unghiuri în care o latură este comună, iar celelalte două formează un unghi drept.

Din definiție rezultă că unghiurile adiacente se completează până la un unghi drept.

Definiție.

Unghiuri verticale sunt două unghiuri în care laturile unui unghi sunt prelungiri ale laturilor celuilalt.

Figura prezintă unghiuri verticale.

Evident, două linii care se intersectează formează patru perechi de unghiuri adiacente și două perechi de unghiuri verticale.

Comparația unghiurilor.

În acest paragraf al articolului, ne vom ocupa de definițiile unghiurilor egale și inegale și, de asemenea, în cazul unghiurilor inegale, vom explica care unghi este considerat mare și care este mai mic.

Amintiți-vă că două figuri geometrice sunt numite egale dacă pot fi suprapuse.

Să ni se dea două unghiuri. Să oferim un raționament care ne va ajuta să obținem un răspuns la întrebarea: „Sunt aceste două unghiuri egale sau nu”?

Evident, putem întotdeauna potrivi vârfurile a două colțuri, precum și o latură a primului colț cu oricare dintre laturile celui de-al doilea colț. Să combinăm partea primului colț cu cea a celui de-al doilea colț, astfel încât părțile rămase ale colțurilor să fie pe aceeași parte a liniei drepte pe care se află laturile combinate ale colțurilor. Apoi, dacă celelalte două laturi ale colțurilor sunt aliniate, atunci colțurile sunt numite egal.

Dacă celelalte două laturi ale unghiurilor nu se potrivesc, atunci unghiurile sunt numite inegal, și mai mici unghiul este considerat a fi parte a altuia ( mare este unghiul care contine complet un alt unghi).

Evident, cele două unghiuri drepte sunt egale. De asemenea, este evident că un unghi dezvoltat este mai mare decât orice unghi nedezvoltat.

Măsurarea unghiului.

Măsurarea unghiului se bazează pe compararea unghiului măsurat cu unghiul luat ca unitate de măsură. Procesul de măsurare a unghiurilor arată astfel: pornind de la una dintre laturile unghiului măsurat, zona sa interioară este umplută succesiv cu unghiuri individuale, stivuindu-le strâns unul pe celălalt. În același timp, se reține numărul de colțuri stivuite, ceea ce oferă măsura unghiului măsurat.

De fapt, orice unghi poate fi luat ca unitate de măsură pentru unghiuri. Cu toate acestea, există multe unități general acceptate pentru măsurarea unghiurilor legate de diverse domenii ale științei și tehnologiei, ele au primit denumiri speciale.

Una dintre unitățile de măsurare a unghiurilor este grad.

Definiție.

un grad este un unghi egal cu o sută optzecime dintr-un unghi îndreptat.

Un grad este notat cu simbolul „”, prin urmare, un grad este notat ca.

Astfel, într-un unghi dezvoltat, putem încadra 180 de unghiuri într-un grad. Va arăta ca o jumătate de plăcintă rotundă tăiată în 180 de bucăți egale. Foarte important: „bucățile de plăcintă” se potrivesc strâns între ele (adică părțile laterale ale colțurilor sunt aliniate), cu partea primului colț aliniată cu o parte a colțului turtit și partea ultimului colț al unității a coincis cu cealaltă parte a colțului turtit.

La măsurarea unghiurilor, se află de câte ori se încadrează un grad (sau altă unitate de măsură a unghiurilor) în unghiul măsurat până când zona interioară a unghiului măsurat este complet acoperită. După cum am văzut deja, într-un unghi dezvoltat, gradul se potrivește exact de 180 de ori. Mai jos sunt exemple de unghiuri în care un unghi de un grad se potrivește exact de 30 de ori (un astfel de unghi este o șesime dintr-un unghi drept) și exact de 90 de ori (jumătate de unghi drept).

Pentru a măsura unghiuri mai mici de un grad (sau altă unitate de măsură a unghiurilor) și în cazurile în care unghiul nu poate fi măsurat cu un număr întreg de grade (unități de măsură luate), trebuie să utilizați părți dintr-un grad (părți din unități de măsură). Anumite părți ale gradului au primit nume speciale. Cele mai comune sunt așa-numitele minute și secunde.

Definiție.

Minut este o şaizecime dintr-un grad.

Definiție.

Al doilea este o şaizecime dintr-un minut.

Cu alte cuvinte, există șaizeci de secunde într-un minut și șaizeci de minute (3600 de secunde) într-un grad. Simbolul „” este folosit pentru a desemna minute, iar simbolul „” este folosit pentru a desemna secunde (a nu se confunda cu semnele derivatei și ale derivatei a doua). Apoi, cu definițiile și notația introduse, avem , iar unghiul în care se încadrează 17 grade 3 minute și 59 secunde poate fi notat ca .

Definiție.

Măsura gradului unui unghi se numește un număr pozitiv, care arată de câte ori se încadrează un grad și părțile sale într-un unghi dat.

De exemplu, gradul de măsurare a unui unghi îndreptat este o sută optzeci, iar gradul de măsurare a unui unghi este .

Pentru măsurarea unghiurilor, există instrumente speciale de măsurare, dintre care cel mai faimos este raportorul.

Dacă sunt cunoscute atât denumirea unghiului (de exemplu,) cât și măsura gradului său (fie 110), atunci utilizați o notație scurtă a formei și spuneți: „Unghiul AOB este de o sută zece grade”.

Din definițiile unghiului și gradului de măsură a unghiului rezultă că în geometrie măsura unghiului în grade se exprimă printr-un număr real din intervalul (0, 180] (în trigonometrie, unghiuri cu grad arbitrar). sunt considerate, sunt numite).Un unghi de nouăzeci de grade are o denumire specială, se numește unghi drept. Se numește un unghi mai mic de 90 de grade unghi ascutit. Se numește un unghi mai mare de nouăzeci de grade unghi obtuz. Deci, măsura unui unghi ascuțit în grade este exprimată printr-un număr din intervalul (0, 90), măsura unui unghi obtuz - printr-un număr din intervalul (90, 180), un unghi drept este egal cu nouăzeci grade. Iată ilustrații ale unui unghi ascuțit, un unghi obtuz și un unghi drept.

Din principiul măsurării unghiurilor, rezultă că măsurile gradului de unghiuri egale sunt aceleași, măsura gradului unui unghi mai mare este mai mare decât măsura gradului unui unghi mai mic și măsura gradului unui unghi care constă din mai multe unghiuri este egală cu suma gradelor unghiurilor componente. Figura de mai jos arată unghiul AOB, care este format din unghiurile AOC, COD și DOB, în timp ce .

Prin urmare, suma unghiurilor adiacente este de o sută optzeci de grade, deoarece formează un unghi drept.

Din această afirmație rezultă că . Într-adevăr, dacă unghiurile AOB și COD sunt verticale, atunci unghiurile AOB și BOC sunt adiacente și unghiurile COD și BOC sunt de asemenea adiacente, deci sunt valabile egalitățile și, din care rezultă egalitatea.

Împreună cu gradul, se numește o unitate convenabilă pentru măsurarea unghiurilor radian. Măsura radianilor este utilizată pe scară largă în trigonometrie. Să definim un radian.

Definiție.

Un unghi radian- Acest colțul central, care corespunde lungimii arcului, egală cu lungimea razei cercului corespunzător.

Să dăm o ilustrare grafică a unui unghi de un radian. În desen, lungimea razei OA (precum și a razei OB ) este egală cu lungimea arcului AB , prin urmare, prin definiție, unghiul AOB este egal cu un radian.

Abrevierea „rad” este folosită pentru a desemna radiani. De exemplu, scrierea a 5 rad înseamnă 5 radiani. Cu toate acestea, în scris, denumirea „rad” este adesea omisă. De exemplu, când se scrie că unghiul este egal cu pi, înseamnă pi rad.

Trebuie remarcat separat că valoarea unghiului, exprimată în radiani, nu depinde de lungimea razei cercului. Acest lucru se datorează faptului că figurile delimitate de un unghi dat și un arc de cerc centrat la vârful unui unghi dat sunt similare între ele.

Măsurarea unghiurilor în radiani se poate face în același mod ca și măsurarea unghiurilor în grade: aflați de câte ori se încadrează un unghi de un radian (și părțile sale) într-un unghi dat. Și puteți calcula lungimea arcului unghiului central corespunzător și apoi o puteți împărți la lungimea razei.

Pentru nevoile de practică, este util să cunoaștem modul în care măsurile de grad și radian se relaționează între ele, deoarece o parte importantă trebuie efectuată. În acest articol, se stabilește o relație între gradul și măsura în radiani a unui unghi și sunt date exemple de conversie a gradelor în radiani și invers.

Desemnarea colțurilor în desen.

În desene, pentru comoditate și claritate, colțurile pot fi marcate cu arce, care sunt de obicei desenate în regiunea interioară a colțului de la o parte a colțului la cealaltă. Unghiurile egale sunt marcate cu același număr de arce, unghiurile inegale cu un număr diferit de arce. Unghiurile drepte din desen sunt notate printr-un simbol al formei "", care este reprezentat în regiunea interioară a unghiului drept de la o parte a colțului la cealaltă.

Dacă trebuie să marcați mai multe unghiuri diferite în desen (de obicei mai mult de trei), atunci când desemnați unghiuri, în plus față de arce obișnuite, este permis să folosiți arce de un tip special. De exemplu, puteți reprezenta arce zimțate sau ceva similar.

Trebuie remarcat faptul că nu ar trebui să vă lăsați duși de desemnarea unghiurilor în desene și să nu aglomerați desenele. Vă recomandăm să marcați doar acele unghiuri care sunt necesare în procesul de rezolvare sau dovedire.

Bibliografie.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Clasele 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 de liceu.
• Pogorelov A.V., Geometrie. Manual pentru clasele 7-11 ale instituțiilor de învățământ.

Ce este un unghi?

Un unghi este o figură formată din două raze care ies dintr-un punct (Fig. 160).
Razele care se formează injecţie, se numesc laturile unghiului, iar punctul din care ies se numeste varful unghiului.
În figura 160, laturile unghiului sunt razele OA și OB, iar vârful său este punctul O. Acest unghi este desemnat astfel: AOB.

Când scrieți un unghi în mijloc, scrieți o literă care indică vârful acestuia. Un unghi poate fi de asemenea notat printr-o singură literă - numele vârfului său.

De exemplu, în loc de „unghi AOB” se scrie mai scurt: „unghi O”.

În loc de cuvântul „colț” scriu un semn.

De exemplu, AOB, O.

În figura 161, punctele C și D se află în interiorul unghiului AOB, punctele X și Y se află în afara acestui unghi și puncte M și H - pe părțile laterale ale colțului.

Ca toate formele geometrice, unghiurile sunt comparate folosind o suprapunere.

Dacă un unghi poate fi suprapus peste altul astfel încât să coincidă, atunci aceste unghiuri sunt egale.

De exemplu, în Figura 162 ABC = MNK.

Din partea de sus a unghiului SOK (Fig. 163) a fost desenată un fascicul OR. El împarte unghiul SOC în două unghiuri - COP și ROCK. Fiecare dintre aceste unghiuri este mai mic decât unghiul ROC.

Scris de: COP< COK и POK < COK.

Drept și înclinat

Două complementare unul altuia grindă formează un colț îndoit. Laturile acestui unghi formează împreună o linie dreaptă pe care se află vârful unghiului extins (Fig. 164).

Acele ore și minute ale ceasului formează un unghi dezvoltat la ora 6 (Fig. 165).

Să îndoim de două ori o bucată de hârtie în jumătate, apoi să o desfacem (Fig. 166).

Liniile de pliere formează 4 unghiuri egale. Fiecare dintre aceste unghiuri este egal cu jumătate din unghiul îndreptat. Astfel de unghiuri se numesc unghiuri drepte.

Un unghi drept este jumătate de unghi îndreptat.

triunghi de desen

Pentru a construi un unghi drept, utilizați desenul triunghi(Fig. 167). Pentru a construi un unghi drept, una dintre laturile căruia este raza OL, este necesar:

a) aranjați triunghiul desenat astfel încât vârful unghiului său drept să coincidă cu punctul O, iar una dintre laturi să meargă de-a lungul razei OA;

b) trageți o rază OB de-a lungul celei de-a doua laturi a triunghiului.

Ca rezultat, obținem un unghi drept AOB.

Întrebări la subiect

1. Ce este un unghi?
2. Ce unghi se numește desfășurat?
3. Ce unghiuri se numesc egale?
4. Ce unghi se numește drept?
5. Cum se construiește un unghi drept folosind un triunghi desenat?

Știm deja că orice unghi împarte planul în două părți. Dar, dacă la un unghi ambele părți se află pe aceeași linie dreaptă, atunci un astfel de unghi se numește desfășurat. Adică, la un unghi dezvoltat, o parte a acestuia este o continuare a celeilalte părți a unghiului.

Acum să ne uităm la figură, care arată doar unghiul dezvoltat O.

Dacă luăm și desenăm o rază din vârful unui unghi drept, atunci acesta va împărți acest unghi drept în încă două unghiuri, care vor avea o latură comună, iar celelalte două unghiuri vor forma o linie dreaptă. Adică dintr-un colț desfăcut, ne-am luat două alăturate.

Dacă luăm un unghi drept și desenăm o bisectoare, atunci această bisectoare va împărți unghiul drept în două unghiuri drepte.

Și, în cazul în care tragem o rază arbitrară din vârful unghiului dezvoltat, care nu este o bisectoare, atunci o astfel de rază va împărți unghiul extins în două unghiuri, dintre care unul va fi acut și celălalt obtuz.

Proprietăți de colț plat

Unghiul extins are următoarele proprietăți:

În primul rând, laturile unui unghi drept sunt antiparalele și formează o linie dreaptă;
în al doilea rând, unghiul dezvoltat este de 180°;
în al treilea rând, două unghiuri adiacente formează un unghi drept;
în al patrulea rând, unghiul dezvoltat este jumătate din unghiul complet;
în al cincilea rând, unghiul complet va fi egal cu suma a două unghiuri dezvoltate;
al șaselea, jumătate din unghiul îndreptat este un unghi drept.

Măsurarea unghiului

Pentru a măsura orice unghi, în aceste scopuri se folosește cel mai adesea un raportor, în care unitatea de măsură este un grad. Când se măsoară unghiuri, trebuie reținut că orice unghi are propria măsură specifică a gradului și, în mod natural, această măsură este mai mare decât zero. Și unghiul dezvoltat, după cum știm deja, este egal cu 180 de grade.

Adică, dacă luăm orice plan al unui cerc și îl împărțim pe raze în 360 de părți egale, atunci 1/360 din acest cerc va fi un grad unghiular. După cum știți deja, un grad este indicat de o anumită pictogramă, care arată astfel: „°”.

Acum știm și că un grad 1° = 1/360 dintr-un cerc. Dacă unghiul este egal cu planul cercului și are 360 ​​de grade, atunci un astfel de unghi este plin.

Și acum luăm și împărțim planul cercului cu ajutorul a două raze situate pe o singură linie dreaptă în două părți egale. Apoi, în acest caz, planul semicercului va fi jumătate din unghiul complet, adică 360: 2 = 180 °. Am primit un unghi care este egal cu semiplanul cercului și are 180 °. Acesta este unghiul răsucit.

Sarcina practică

1613. Numiți unghiurile prezentate în figura 168. Notați denumirile lor.

1614. Desenați patru raze: OA, OB, OS și OD. Scrieți numele celor șase unghiuri ale căror laturi sunt aceste raze. În câte părți se împart aceste raze avion?

1615. Indicați ce puncte din figura 169 se află în interiorul unghiului KOM.Care puncte se află în afara acestui unghi? Ce puncte sunt pe partea OK și care sunt pe partea OM?

1616. Desenați un unghi MOD și desenați o rază OT în interiorul lui. Denumiți și etichetați unghiurile în care această rază împarte unghiul MOD.

1617. Minutul în 10 minute s-a întors la unghiul AOB, în următoarele 10 minute - la unghiul BOC, iar în alte 15 minute - la unghiul COD. Comparați unghiurile AOB și BOC, BOC și COD, AOC și AOB, AOC și COD (Fig. 170).

1618. Folosește triunghiul de desen pentru a desena 4 unghiuri drepte în poziții diferite.

1619. Folosind triunghiul desenat, găsiți unghiuri drepte în figura 171. Notează-le desemnările.

1620. Subliniază unghiurile drepte în clasă.

a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Câte la sută din 400 este numărul 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Găsiți numărul lipsă:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Desenați un pătrat a cărui latură este egală cu lungimea a 10 celule ale caietului. Fie acest pătrat să reprezinte un câmp. Secara ocupă 12% din câmp, ovăz - 8%, grâu - 64%, iar restul câmpului este ocupat de hrișcă. Arată în imagine partea de câmp ocupată de fiecare cultură. Ce procent din câmp este hrișcă?

1632. Pe parcursul anului universitar, Petya a consumat 40% din caietele cumpărate la începutul anului și i-au mai rămas 30 de caiete. Câte caiete au fost cumpărate pentru Petya la începutul anului școlar?

1633. Bronzul este un aliaj de staniu și cupru. Ce procent din aliaj este cuprul într-o bucată de bronz, formată din 6 kg de staniu și 34 kg de cupru?

1634. Farul din Alexandria, construit în antichitate, care a fost numit una dintre cele șapte minuni ale lumii, este de 1,7 ori mai înalt decât turnurile Kremlinului din Moscova, dar mai jos decât clădirea Universității din Moscova cu 119 m. Găsiți înălțimea din fiecare dintre aceste structuri dacă turnurile Kremlinului din Moscova sunt cu 49 m mai jos Farul Alexandriei.

1635. Găsiți cu ajutorul unui microcalculator:

a) 4,5% din 168; c) 28,3% din 569,8;
b) 147,6% din 2500; d) 0,09% din 456.800.

1636. Rezolvați problema:

1) Suprafața grădinii este de 6,4 a. În prima zi a fost săpat 30% din grădină, iar în a doua zi, 35% din grădină. Câte ari au mai rămas de săpat?

2) Serezha a avut 4,8 ore de timp liber. A petrecut 35% din acest timp citind o carte și 40% uitându-se la emisiuni TV. Cât timp mai are?

1637. Faceți următoarele:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 Desenați un unghi BAC și marcați câte un punct în interiorul unghiului, în afara unghiului și pe laturile unghiului.

1639. Care dintre punctele marcate în figura 172 se află în interiorul unghiului AMK. Care punct se află în interiorul unghiului AMB> dar în afara unghiului AMK. Care puncte se află pe laturile unghiului AMK?

1640. Folosiți triunghiul desenat pentru a găsi unghiurile drepte din figura 173.

1641. Construiți un pătrat cu latura de 43 mm. Calculați perimetrul și aria acestuia.

1642. Aflați valoarea expresiei:

a) 14,791: a + 160,961: b, dacă a = 100, b = 10;
b) 361,62s + 1848: d dacă c = 100, d = 100.

1643. Muncitorul trebuia să facă 450 de piese. În prima zi a făcut 60% din piese, iar restul în a doua. Câte părți au făcut muncitorîn a doua zi?

1644. În bibliotecă erau 8.000 de cărți. Un an mai târziu, numărul lor a crescut cu 2000 de cărți. Cu ce ​​procent a crescut numărul de cărți din bibliotecă?

1645. Camioanele au acoperit în prima zi 24% din traseul prevăzut, în a doua zi - 46% din traseu, iar în a treia - restul de 450 km. Câți kilometri au parcurs aceste camioane?

1646. Află câte sunt:

a) 1% dintr-o tonă; c) 5% din 7 tone;
b) 1% dintr-un litru; d) 6% din 80 km.

1647. Masa unui pui de morsă este de 9 ori mai mică decât masa unei morse adulte. Care este masa unei morse adulte dacă, împreună cu puiul, masa lor este de 0,9 tone?

1648. În timpul manevrelor, comandantul a lăsat 0,3 din toți soldații săi pentru a păzi trecerea, iar pe restul i-a împărțit în 2 detașamente pentru a apăra două înălțimi. Primul detașament avea de 6 ori mai mulți soldați decât al doilea. Câți soldați erau în primul detașament dacă erau 200 de soldați în total?

N.Da. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematică clasa a 5-a, Manual pentru instituțiile de învățământ

Măsurarea unghiului

Unghiul in se măsoară în grade (grad, minut, secundă), în rotații - raportul dintre lungimea arcului s și circumferința L, în radiani - raportul dintre lungimea arcului s și raza r; istoric, s-a folosit și măsura grindinei pentru măsurarea unghiurilor; în prezent, aproape niciodată nu este folosită.

1 tură = 2π radiani = 360° = 400 grade.

În terminologia nautică, unghiurile sunt indicate prin puncte.

Tipuri de colțuri

Unghiurile adiacente sunt acute (a) și obtuze (b). Unghi inversat (c)

În plus, se consideră unghiul dintre curbele netede în punctul tangent: prin definiție, valoarea acestuia este egală cu unghiul dintre tangentele la curbe.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți care este „unghiul dezvoltat” în alte dicționare:

Un unghi egal cu două unghiuri drepte. * SCANUL unei suprafețe este o figură obținută într-un plan cu o astfel de combinație de puncte ale unei suprafețe date cu acest plan, în care lungimile liniilor rămân neschimbate. Dezvoltarea curbei vezi Involute... Dicţionar enciclopedic mare

injecţie- ▲ diferența de direcție (în spațiu) unghiul extinderii virajului dintr-o direcție în alta; diferența de direcție; parte dintr-o viraj complet (înclinare #. forma #). înclinaţie. înclinat. deviere. deviază (drumul a deviat la dreapta). ... ...

Injecţie- Colțuri: 1 vedere generală; 2 adiacente; 3 adiacente; 4 verticale; 5 dislocați; 6 drepte, ascuțite și contondente; 7 între curbe; 8 între o linie dreaptă și un plan; 9 între drepte care se intersectează (nu se află în același plan) drepte. UNGHI, geometric… … Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

O figură geometrică formată din două raze diferite care emană din același punct. Sună Rays laturile U., iar începutul lor comun este vârful U. Fie [ BA), [ BC) laturile unghiului, B vârful acestuia, planul determinat de laturile U. Figura împarte planul ... ... Enciclopedie matematică

Un unghi egal cu două unghiuri drepte. * * * UNGHI REVELAT ANGUL REVELAT, un unghi egal cu două unghiuri drepte... Dicţionar enciclopedic

O ramură a matematicii care studiază proprietățile diferitelor forme (puncte, linii, unghiuri, obiecte bidimensionale și tridimensionale), dimensiunea și poziția relativă a acestora. Pentru comoditatea predării, geometria este împărțită în planimetrie și geometrie solidă. LA… … Enciclopedia Collier

1) O linie întreruptă închisă, și anume: dacă puncte diferite, nici trei consecutive nu se află pe o linie dreaptă, atunci se numește mulțimea de segmente. poligon (vezi fig. 1). M. poate fi spațial sau plat (sub ...... Enciclopedie matematică

peste- ▲ la un unghi maxim, unghi oblic transversal. peste în unghi drept. . unghi drept de deviere maximă; un unghi egal cu cel alăturat; sfert de tură. perpendicular. perpendiculară în unghi drept. perpendicular. ... ... Dicționar ideologic al limbii ruse

grad- a, m. 1) Unitatea de măsură a unui unghi plat, egală cu 1/90 dintr-un unghi drept sau, respectiv, cu 1/360 dintr-un cerc. Un unghi de 90 de grade se numește unghi drept. Unghiul extins este de 180 de grade. 2) O unitate de măsură pentru un interval de temperatură având ... ... Dicționar popular al limbii ruse

Teorema lui Schwartz Christoffel, o teoremă importantă în teoria funcțiilor unei variabile complexe, poartă numele matematicienilor germani Karl Schwartz și Alvin Christoffel. Foarte importantă din punct de vedere practic este problema conformării ...... Wikipedia

În școala elementară, elevii sunt introduși în conceptul de unghi. Dar ca figură geometrică cu anumite proprietăți, încep să o studieze din clasa a VII-a la geometrie. Pare, formă destul de simplă ce se poate spune despre ea. Dar, dobândind noi cunoștințe, școlarii înțeleg din ce în ce mai mult că poți afla fapte destul de interesante despre ea.

In contact cu

Când sunt studiate

Cursul de geometrie școlară este împărțit în două secțiuni: planimetrie și geometrie solidă. Fiecare dintre ele are multă atenție. dat la colturi:

• În planimetrie, este dat conceptul lor de bază, are loc cunoașterea tipurilor lor în mărime. Proprietățile fiecărui tip de triunghi sunt studiate mai detaliat. Apar noi definiții pentru elevi - acestea sunt forme geometrice formate la intersecția a două linii una cu alta și la intersecția mai multor linii ale unei secante.
• În stereometrie se studiază unghiurile spațiale - diedrul și triedrul.

Atenţie! Acest articol discută toate tipurile și proprietățile unghiurilor în planimetrie.

Definiție și măsurare

Începând să studiezi, mai întâi determină, ce este un unghiîn planimetrie.

Dacă luăm un anumit punct din plan și desenăm două raze arbitrare din el, obținem o figură geometrică - un unghi, constând din următoarele elemente:

• vârful - punctul din care au fost trase razele, este indicat printr-o majusculă a alfabetului latin;
• laturile sunt trase pe jumătate de linie de sus.

Toate elementele care formează figura în care luăm în considerare împart planul două părți:

• intern - în planimetrie nu depășește 180 de grade;
• extern.

Principiul măsurării unghiurilor în planimetrie explicat intuitiv. Pentru început, elevii sunt introduși în conceptul de unghi dezvoltat.

Important! Se spune că un unghi este dezvoltat dacă semi-liniile care emană din vârful său formează o linie dreaptă. Un unghi desfășurat sunt toate celelalte cazuri.

Dacă este împărțit în 180 de părți egale, atunci se obișnuiește să se ia în considerare măsura unei părți egală cu 10. În acest caz, se spune că măsurarea se face în grade, iar măsura gradului unei astfel de figuri este de 180 de grade.

Principalele tipuri

Tipurile de unghiuri sunt subdivizate în funcție de criterii precum măsurarea gradului, natura formării lor și categoriile de mai jos.

După mărime

Având în vedere mărimea, unghiurile sunt împărțite în:

• dislocat;
• Drept;
• bont;
• picant.

Ce unghi se numește desfășurat a fost prezentat mai sus. Să definim conceptul de linie dreaptă.

Poate fi obținut prin împărțirea desfășurată în două părți egale. În acest caz, este ușor să răspunzi la întrebarea: un unghi drept, de câte grade are?

Împărțiți 180 de grade la 2 pentru a obține unghiul drept este de 90 de grade. Aceasta este o figură minunată, deoarece multe fapte din geometrie sunt asociate cu ea.

De asemenea, are propriile sale caracteristici în denumire. Pentru a arăta un unghi drept în figură, acesta este indicat nu printr-un arc, ci printr-un pătrat.

Unghiurile care se obțin prin împărțirea unei raze arbitrare a unei drepte se numesc acute. Conform logicii lucrurilor, rezultă că un unghi ascuțit este mai mic decât un unghi drept, dar măsura lui este diferită de 0 grade. Adică are o valoare de la 0 la 90 de grade.

Un unghi obtuz este mai mare decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept. Măsura gradului său variază de la 90 la 180 de grade.

Acest element poate fi împărțit în diferite tipuri de figuri luate în considerare, excluzând cea extinsă.

Indiferent de modul în care este rupt unghiul nerotat, se folosește întotdeauna axioma de bază a planimetriei - „proprietatea principală a măsurării”.

La împărțind unghiul cu un fascicul sau mai multe, măsura gradului unei figuri date este egală cu suma măsurilor unghiurilor în care este împărțită.

La nivelul clasei a VII-a se termină acolo tipurile de unghiuri în mărimea lor. Dar pentru a spori erudiția, se poate adăuga că există și alte soiuri care au o măsură a gradului mai mare de 180 de grade.Se numesc convexe.

Cifre la intersecția liniilor

Următoarele tipuri de unghiuri în care sunt prezentate elevii sunt elementele formate atunci când două drepte se intersectează. Figurile care sunt plasate una față de alta se numesc verticale. Caracteristica lor distinctivă este că sunt egali.

Elementele care sunt adiacente aceleiași linii sunt numite adiacente. Teorema de cartografiere a proprietății lor spune că Unghiurile adiacente se adaugă până la 180 de grade.

Elementele dintr-un triunghi

Dacă considerăm figura ca un element dintr-un triunghi, atunci unghiurile sunt împărțite în interne și externe. Triunghiul este delimitat de trei segmente și este format din trei vârfuri. Unghiurile situate în interiorul triunghiului la fiecare vârf, numite interne.

Dacă luăm orice element intern la orice vârf și extindem orice latură, atunci unghiul care se formează și este adiacent celui intern se numește extern. Această pereche de elemente are următoarea proprietate: suma lor este de 180 de grade.

Intersecția a două drepte

Intersecția liniilor

Când două drepte se intersectează, se formează și unghiuri, care sunt de obicei distribuite în perechi. Fiecare pereche de elemente are propriul nume. Arata cam asa:

• încrucișare internă: ∟4 și ∟6, ∟3 și ∟5;
• interioare unilaterale: ∟4 și ∟5, ∟3 și ∟6;
• corespunzând: ∟1 și ∟5, ∟2 și ∟6, ∟4 și ∟8, ∟3 și ∟7.

Când o secantă intersectează două