Definiție.Formă cuadratică, corespunzătoare formei biliniare simetrice pe spațiul liniar V , se numește o funcție a unui argument vectorial .

Fie o formă pătratică , o formă biliniară simetrică corespunzătoare acesteia. Apoi

de unde rezultă că dintr-o formă pătratică se determină unic şi forma biliniară simetrică corespunzătoare. Deci, între forme simetrice biliniare și pătratice pe un spațiu liniar V se stabilește o corespondență unu-la-unu, astfel încât formele pătratice pot fi studiate folosind forme biliniare simetrice.

Considera n-spaţiu liniar dimensional. Matrice de formă pătratică într-o bază dată a unui spațiu liniar se numește matrice a formei biliniare simetrice corespunzătoare în aceeași bază. O matrice pătratică este întotdeauna simetrică.

Notați matricea formei pătratice într-o anumită bază de spațiu. Dacă, ca de obicei, notăm X coloana de coordonate a vectorului în aceeași bază, apoi din egalitatea 5.5 obținem forma matriceală a formei pătratice:

.

Teorema 5.4. Să fie date două baze într-un spațiu liniar

(5.10)

, (5.11)

și fie și matrice pătratică în bazele (5.10) și respectiv (5.11). Atunci unde T este matricea de tranziție de la (5.10) la (5.11).

Demonstrarea rezultă din teorema 5.2 și din definiția unei matrici de formă pătratică.

Datorită faptului că matricea de tranziţie T este nedegenerată, atunci rangul matricei formei pătratice nu se modifică la trecerea la o nouă bază. Prin urmare, putem formula următoarea definiție.

Definiție. rang a unei forme pătratice definite pe un spațiu liniar se numește rangul matricei sale în unele și, prin urmare, în orice bază a spațiului (notat cu ).

Acum scriem forma pătratică în formă de coordonate. Pentru a face acest lucru, extindem vectorul în funcție de baza (5.10): . Dacă este o matrice de formă pătratică în aceeași bază, atunci, în conformitate cu egalitatea (5.4), avem

– (5.12)

forma coordonată a unei forme pătratice. Să scriem (5.12) în detaliu pentru n= 3, având în vedere că

Deci, dacă este dată o bază, atunci forma pătratică în notație de coordonate arată ca un polinom omogen de gradul doi în n variabile – coordonate vectoriale în baza dată. Acest polinom se numește vedere formă pătratică într-o bază dată. Dar în aplicații, astfel de polinoame apar adesea independent, fără o legătură vizibilă cu spațiile liniare (de exemplu, a doua diferență de funcții), așa că formulăm încă o definiție a unei forme pătratice.

Definiție. formă pătratică din n variabile este un polinom omogen de gradul doi în aceste variabile, adică o funcție de forma (5.12). O matrice de formă pătratică (5.12) este o matrice simetrică.

Exemplu alcătuirea unei matrice de formă pătratică. Lasa

Din (5.12) și (5.13) se poate observa că coeficientul lui at coincide cu , adică elementele diagonale ale matricei formei pătratice sunt coeficienții pătratelor. În același mod, vedem că este jumătate din coeficientul produsului. Astfel, matricea formei pătratice (5.14) arată astfel:

.

Acum alegem din nou în spațiu două baze (5.10) și (5.11) și notăm, ca de obicei, sunt coloanele de coordonate ale vectorului în bazele (5.10) și respectiv (5.11). La trecerea de la baza (5.10) la baza (5.11), coordonatele vectorului se modifică conform legii:

unde este matricea de tranziție de la (5.10) la (5.11). Rețineți că matricea este nedegenerată. Scriem egalitatea (5.15) sub formă de coordonate:

sau in detaliu:

(5.17)

Cu ajutorul egalității (5.17) (sau (5.16), care este același), trecem de la variabile la variabile .

Definiție. Transformarea liniară nedegenerată a variabilelor este o transformare a variabilelor definite de un sistem de egalități (5.16) sau (5.17), sau de o singură egalitate matriceală (5.15), cu condiția să fie o matrice nesingulară. Matrice T se numește matricea acestei transformări de variabile.

Dacă în (5.12) în loc de variabile substituim expresiile acestora prin variabile după formulele (5.17), deschidem paranteze și dăm altele asemănătoare, atunci obținem un alt polinom omogen de gradul doi:

.

În acest caz, se spune că transformarea liniară nedegenerată a variabilelor (5.17) ia forma pătratică în forma pătratică . Se vor numi valorile variabilelor și legate prin relația (5.15) (sau relațiile (5.16) sau (5.17)) relevante pentru o transformare liniară nedegenerată dată a variabilelor.

Definiție. Setul de variabile este numit nebanală , dacă valoarea a cel puțin uneia dintre variabilele din aceasta este diferită de zero. În caz contrar, se numește setul de variabile banal .

Lema 5.2. Sub o transformare liniară nedegenerată a variabilelor, unui set trivial de variabile corespunde unei mulțimi triviale.

Rezultă evident din egalitate (5.15): dacă , atunci și . Pe de altă parte, folosind nesingularitatea matricei T, iar din (5.15) se obține , de unde este clar că pentru , de asemenea .◄

Consecinţă. Sub o transformare liniară nedegenerată a variabilelor, unui set netrivial de variabile corespunde unei mulțimi netriviale.

Teorema 5.5. Dacă transformarea liniară nedegenerată (5.15) ia forma pătratică cu matrice DARîntr-o formă pătratică cu matrice DAR", apoi (o altă formulare a Teoremei 5.4).

Consecinţă. Sub o transformare liniară nedegenerată a variabilelor, determinantul unei matrice de formă pătratică nu își schimbă semnul.

Cometariu. Spre deosebire de matricea de tranziție și de matricea unui operator liniar, matricea unei transformări liniare nedegenerate de variabile este scrisă nu prin coloane, ci prin rânduri.

Să fie date două transformări liniare nedegenerate ale variabilelor:

Să le aplicăm în succesiune:

Compoziția transformărilor liniare nedegenerate ale variabilelor(5.18) și (5.19) este aplicația lor secvențială, adică transformarea variabilelor Din (5.20) este clar că compoziția a două transformări liniare nedegenerate ale variabilelor este, de asemenea, o transformare liniară nedegenerată a variabilelor.

Definiție. Formele pătratice se numesc echivalent , dacă există o transformare liniară nedegenerată a variabilelor care transformă una dintre ele în alta.

Forme cuadratice

formă pătratică f(x 1, x 2,..., x n) a n variabile se numește sumă, al cărei termen este fie pătratul uneia dintre variabile, fie produsul a două variabile diferite, luate cu un anumit coeficient: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matricea A, compusă din acești coeficienți, se numește matrice de formă pătratică. E mereu simetric matrice (adică o matrice simetrică față de diagonala principală, a ij = a ji).

În notația matriceală, forma pătratică are forma f(X) = X T AX, unde

Într-adevăr

De exemplu, să scriem forma pătratică sub formă de matrice.

Pentru a face acest lucru, găsim o matrice de formă pătratică. Elementele sale diagonale sunt egale cu coeficienții de la pătratele variabilelor, iar elementele rămase sunt egale cu jumătate din coeficienții corespunzători formei pătratice. Asa de

Fie coloana-matrice a variabilelor X obținută printr-o transformare liniară nedegenerată a coloanei-matrice Y, adică. X = CY, unde C este o matrice nedegenerată de ordinul n. Apoi forma pătratică
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Astfel, sub o transformare liniară nedegenerată C, matricea formei pătratice ia forma: A * = C T AC.

De exemplu, să găsim forma pătratică f(y 1, y 2) obţinută din forma pătratică f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 printr-o transformare liniară.

Forma pătratică se numește canonic(Are vedere canonică) dacă toți coeficienții săi a ij = 0 pentru i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Matricea sa este diagonală.

Teorema(dovada nu este dată aici). Orice formă pătratică poate fi redusă la o formă canonică folosind o transformare liniară nedegenerată.

De exemplu, să reducem la forma canonică forma pătratică
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Pentru a face acest lucru, mai întâi selectați pătratul complet pentru variabila x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Acum selectăm pătratul complet pentru variabila x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Apoi transformarea liniară nedegenerată y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 și y 3 \u003d x 3 aduce această formă pătratică la forma canonică f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Rețineți că forma canonică a unei forme pătratice este definită ambiguu (aceeași formă pătratică poate fi redusă la forma canonică în moduri diferite). Cu toate acestea, formele canonice obținute prin diferite metode au o serie de proprietăți comune. În special, numărul de termeni cu coeficienți pozitivi (negativi) ai unei forme pătratice nu depinde de modul în care forma este redusă la această formă (de exemplu, în exemplul considerat vor fi întotdeauna doi coeficienți negativi și unul pozitiv). Această proprietate se numește legea inerției formelor pătratice.

Să verificăm acest lucru prin reducerea aceleiași forme pătratice la forma canonică într-un mod diferit. Să începem transformarea cu variabila x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, unde y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 și y 3 = x 1 . Aici, un coeficient pozitiv 2 la y 3 și doi coeficienți negativi (-3) la y 1 și y 2 (și folosind o altă metodă, am obținut un coeficient pozitiv 2 la y 1 și doi coeficienți negativi - (-5) la y 2 și (-1 /20) pentru y 3).

De asemenea, trebuie remarcat faptul că rangul unei matrice de formă pătratică, numită rangul formei pătratice, este egal cu numărul de coeficienți nenuli ai formei canonice și nu se modifică în cazul transformărilor liniare.

Se numește forma pătratică f(X). pozitiv (negativ) anumit, dacă pentru toate valorile variabilelor care nu sunt simultan egale cu zero, acesta este pozitiv, adică. f(X) > 0 (negativ, adică
f(X)< 0).

De exemplu, forma pătratică f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 este definită pozitiv, deoarece este suma pătratelor, iar forma pătratică f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 este definită negativă, deoarece îl reprezintă poate fi reprezentat ca f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

În majoritatea situațiilor practice, este oarecum mai dificil să se stabilească semnificația unei forme pătratice, așa că pentru aceasta se folosește una dintre următoarele teoreme (le formulăm fără dovezi).

Teorema. O formă pătratică este pozitivă (negativă) definită dacă și numai dacă toate valorile proprii ale matricei sale sunt pozitive (negative).

Teorema (criteriul lui Sylvester). O formă pătratică este pozitivă definită dacă și numai dacă toate principalele minore ale matricei acestei forme sunt pozitive.

Major (colț) minor Ordinul k al matricei A de ordinul n se numește determinant al matricei, compus din primele k rânduri și coloane ale matricei A ().

Rețineți că pentru formele pătratice negative-definite, semnele minorilor principali alternează, iar minorul de ordinul întâi trebuie să fie negativ.

De exemplu, examinăm forma pătratică f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 pentru definiția semnului.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Prin urmare, forma pătratică este definită pozitivă.

Metoda 2. Minorul principal de ordinul I al matricei A D 1 = a 11 = 2 > 0. Minorul principal de ordinul II D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Prin urmare, conform criteriului Sylvester, forma pătratică este definită pozitivă.

Examinăm o altă formă pătratică pentru definiția semnului, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Să construim o matrice de formă pătratică А = . Ecuația caracteristică va avea forma = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Prin urmare, forma pătratică este definită negativă.

formă pătratică f(x 1, x 2,..., x n) a n variabile se numește sumă, al cărei termen este fie pătratul uneia dintre variabile, fie produsul a două variabile diferite, luate cu un anumit coeficient: f(x 1, x 2, ...,х n) = (a ij =a ji).

Matricea A, compusă din acești coeficienți, se numește matrice de formă pătratică. E mereu simetric matrice (adică o matrice simetrică față de diagonala principală, a ij = a ji).

În notația matriceală, forma pătratică are forma f(X) = X T AX, unde

Într-adevăr

De exemplu, să scriem forma pătratică sub formă de matrice.

Pentru a face acest lucru, găsim o matrice de formă pătratică. Elementele sale diagonale sunt egale cu coeficienții de la pătratele variabilelor, iar elementele rămase sunt egale cu jumătate din coeficienții corespunzători formei pătratice. Asa de

Fie coloana-matrice a variabilelor X obținută printr-o transformare liniară nedegenerată a coloanei-matrice Y, adică. X = CY, unde C este o matrice nedegenerată de ordinul n. Atunci forma pătratică f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Astfel, cu o transformare liniară nedegenerată C, matricea formei pătratice ia forma: A * =C T AC.

De exemplu, să găsim forma pătratică f(y 1, y 2) obţinută din forma pătratică f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 printr-o transformare liniară.

Forma pătratică se numește canonic(Are vedere canonică), dacă toți coeficienții săi a ij \u003d 0 la i≠j, adică f (x 1, x 2,..., x n) \u003d a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Matricea sa este diagonală.

Teorema(dovada nu este dată aici). Orice formă pătratică poate fi redusă la o formă canonică folosind o transformare liniară nedegenerată.

De exemplu, să aducem la forma canonică forma pătratică f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Pentru a face acest lucru, mai întâi selectați pătratul complet pentru variabila x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Acum selectăm pătratul complet pentru variabila x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Apoi transformarea liniară nedegenerată y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 și y 3 \u003d x 3 aduce această formă pătratică la forma canonică f (y 1 , y 2, y 3) \u003d 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Rețineți că forma canonică a unei forme pătratice este definită ambiguu (aceeași formă pătratică poate fi redusă la forma canonică în moduri diferite1). Cu toate acestea, formele canonice obținute prin diferite metode au o serie de proprietăți comune. În special, numărul de termeni cu coeficienți pozitivi (negativi) ai unei forme pătratice nu depinde de modul în care forma este redusă la această formă (de exemplu, în exemplul considerat vor fi întotdeauna doi coeficienți negativi și unul pozitiv). Această proprietate se numește legea inerției formelor pătratice.

Să verificăm acest lucru prin reducerea aceleiași forme pătratice la forma canonică într-un mod diferit. Să începem transformarea cu variabila x 2: f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d - 3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2, unde y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1 /6) x 3 și y 3 = x 1 . Aici un coeficient pozitiv 2 la y 3 și doi coeficienți negativi (-3) la y 1 și y 2 ).

De asemenea, trebuie remarcat faptul că rangul unei matrice de formă pătratică, numită rangul formei pătratice, este egal cu numărul de coeficienți nenuli ai formei canonice și nu se modifică în cazul transformărilor liniare.

Se numește forma pătratică f(X). pozitiv(negativ)anumit, dacă pentru toate valorile variabilelor care nu sunt simultan egale cu zero, acesta este pozitiv, adică f(X) > 0 (negativ, adică f(X)< 0).

De exemplu, forma pătratică f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 este definită pozitiv, deoarece este suma pătratelor, iar forma pătratică f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 este definită negativă, deoarece îl reprezintă poate fi reprezentat ca f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

În majoritatea situațiilor practice, este oarecum mai dificil să se stabilească semnificația unei forme pătratice, așa că pentru aceasta se folosește una dintre următoarele teoreme (le formulăm fără dovezi).

Teorema. O formă pătratică este pozitivă (negativă) definită dacă și numai dacă toate valorile proprii ale matricei sale sunt pozitive (negative).

Teorema (criteriul lui Sylvester). O formă pătratică este pozitivă definită dacă și numai dacă toate principalele minore ale matricei acestei forme sunt pozitive.

Major (colț) minor Ordinul k al matricei de ordinul An se numește determinant al matricei, compus din primele k rânduri și coloane ale matricei A ().

Rețineți că pentru formele pătratice negative-definite, semnele minorilor principali alternează, iar minorul de ordinul întâi trebuie să fie negativ.

De exemplu, examinăm forma pătratică f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 pentru definiția semnului.

= (2 -)* *(3 -) - 4 = (6 - 2- 3+ 2) - 4 = 2 - 5+ 2 = 0; D= 25 - 8 = 17; . Prin urmare, forma pătratică este definită pozitivă.

Metoda 2. Minorul principal de ordinul I al matricei A  1 = a 11 = 2 > 0. Minorul principal de ordinul II  2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Prin urmare, conform criteriului Sylvester , forma pătratică este definită pozitivă.

Examinăm o altă formă pătratică pentru definiția semnului, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Să construim o matrice de formă pătratică А = . Ecuația caracteristică va avea forma = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17 ; . Prin urmare, forma pătratică este definită negativă.

Metoda 2. Minorul principal de ordinul întâi al matricei A  1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Prin urmare, conform criteriului Sylvester, forma pătratică este definită negativă (semnele minorilor principali alternează, începând de la minus).

Și ca un alt exemplu, examinăm forma pătratică f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 pentru definiția semnului.

Metoda 1. Să construim o matrice de formă pătratică А = . Ecuația caracteristică va avea forma = (2 -)* *(-3 -) - 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) - 4 = 2 +- 10 = 0; D= 1 + 40 = 41; . Unul dintre aceste numere este negativ, iar celălalt este pozitiv. Semnele valorilor proprii sunt diferite. Prin urmare, o formă pătratică nu poate fi definită nici negativă, nici pozitivă, adică. această formă pătratică nu este definită de semn (poate lua valori ale oricărui semn).

Metoda 2. Minorul principal de ordinul I al matricei A  1 = a 11 = 2 > 0. Minorul principal de ordinul II  2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Metoda luată în considerare de reducere a formei pătratice la forma canonică este convenabilă de utilizat atunci când coeficienții non-nuli apar sub pătratele variabilelor. Dacă nu sunt acolo, este totuși posibil să efectuați conversia, dar trebuie să utilizați alte trucuri. De exemplu, fie f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1) + x 2 ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, unde y 1 \u003d x 1 + x 2, ay 2 \u003d x 1 - x 2.

Forme pătrate.
Semnificația formelor. criteriul lui Sylvester

Adjectivul „pătrat” sugerează imediat că ceva aici este legat de un pătrat (gradul doi), și foarte curând vom ști acest „ceva” și ce este o formă. S-a dovedit imediat :)

Bun venit la noua mea lecție și, ca o încălzire imediată, ne vom uita la forma în dungi liniar. Forma liniară variabile numit omogen polinom de gradul I:

- unele numere specifice * (presupunem că cel puțin unul dintre ele este diferit de zero), și sunt variabile care pot lua valori arbitrare.

* În acest subiect, vom lua în considerare doar numere reale .

Am întâlnit deja termenul „omogen” în lecția despre sisteme omogene de ecuaţii liniare , iar în acest caz implică faptul că polinomul nu are o constantă adăugată .

De exemplu: – formă liniară a două variabile

Acum forma este pătratică. formă pătratică variabile numit omogen polinom de gradul II, fiecare termen din care conţine fie pătratul variabilei fie dubla produs de variabile. Deci, de exemplu, forma pătratică a două variabile are următoarea formă:

Atenţie! Aceasta este o intrare standard și nu trebuie să modificați nimic în ea! În ciuda aspectului „teribil”, totul este simplu aici - subindicele duble ale constantelor semnalează care variabile sunt incluse într-unul sau altul:
– acest termen conține produsul și (pătratul);
- aici este treaba;
- și aici este treaba.

- anticipez imediat o greșeală grosolană atunci când pierd „minusul” coeficientului, fără să realizez că se referă la termenul:

Uneori există o versiune „școală” a designului în spirit, dar numai uneori. Apropo, rețineți că constantele de aici nu ne spun absolut nimic și, prin urmare, este mai dificil să ne amintim „notația ușoară”. Mai ales când sunt mai multe variabile.

Și forma pătratică a trei variabile conține deja șase termeni:

... de ce se pun „doi” multiplicatori în termeni „mixti”? Acest lucru este convenabil și în curând va deveni clar de ce.

Cu toate acestea, vom nota formula generală, este convenabil să o aranjați cu o „foaie”:

- studiați cu atenție fiecare rând - nu este nimic în neregulă cu asta!

Forma pătratică conține termeni cu variabile pătrate și termeni cu produsele lor de pereche (cm. formula combinatorie a combinatiilor ) . Nimic altceva - fără „x singuratic” și fără constantă adăugată (atunci nu obțineți o formă pătratică, ci eterogen polinom de gradul II).

Notarea matricială a unei forme pătratice

În funcție de valori, forma considerată poate lua atât valori pozitive, cât și negative, și același lucru se aplică oricărei forme liniare - dacă cel puțin unul dintre coeficienții săi este diferit de zero, atunci se poate dovedi a fi pozitiv sau negativ (în funcție de valori). pe valori).

Această formă se numește alternativ. Și dacă totul este transparent cu forma liniară, atunci lucrurile sunt mult mai interesante cu forma pătratică:

Este destul de clar că această formă poate lua valorile oricărui semn, astfel, forma pătratică poate fi și alternantă.

Poate să nu fie:

– întotdeauna, cu excepția cazului în care ambele sunt egale cu zero.

- pentru oricine vector cu excepția zeroului.

Și în general vorbind, dacă pentru oricare diferit de zero vector , , atunci se numește forma pătratică definit pozitiv; daca atunci definitiv negativ.

Și totul ar fi bine, dar definiția formei pătratice este vizibilă numai în exemple simple, iar această vizibilitate se pierde deja cu o ușoară complicație:
– ?

S-ar putea presupune că forma este definită pozitiv, dar este într-adevăr așa? Dintr-o dată apar valori la care este mai mică decât zero?

Din acest punct de vedere, acolo teorema: eu cad valori proprii matricele de formă pătratică sunt pozitive * , atunci este definită pozitiv. Dacă toate sunt negative, atunci este negativ.

* Se dovedește în teorie că toate valorile proprii ale unei matrice simetrice reale valabil

Să scriem matricea formei de mai sus:
iar din ecuație hai sa o gasim valori proprii :

Rezolvăm vechiul bun ecuație pătratică :

, deci forma este definită pozitiv, adică pentru orice valoare diferită de zero, este mai mare decât zero.

Metoda luată în considerare pare să funcționeze, dar există un DAR mare. Deja pentru matricea „trei cu trei”, căutarea valorilor proprii este o sarcină lungă și neplăcută; cu mare probabilitate obțineți un polinom de gradul 3 cu rădăcini iraționale.

Cum să fii? Există o cale mai ușoară!

criteriul lui Sylvester

Nu, nu Sylvester Stallone :) În primul rând, permiteți-mi să vă reamintesc ce minori unghiulari matrici. Aceasta este determinanți care „cresc” din colțul din stânga sus:

iar ultima este exact egală cu determinantul matricei.

Acum, de fapt, criteriu:

1) Forma pătratică definită pozitiv dacă și numai dacă TOATE minorele sale unghiulare sunt mai mari decât zero: .

2) Forma pătratică definită negativ dacă și numai dacă minorele sale unghiulare alternează în semn, în timp ce primul minor este mai mic decât zero: , , dacă este par sau , dacă este impar.

Dacă cel puțin un minor unghiular are semnul opus, atunci forma semn-alternant. Dacă minorii unghiulari sunt de „acel” semn, dar sunt zerouri printre ei, atunci acesta este un caz special, pe care îl voi analiza puțin mai târziu, după ce am trecut peste exemplele mai des întâlnite.

Să analizăm minorele unghiulare ale matricei :

Și asta ne spune imediat că forma nu este determinată negativ.

Concluzie: toate unghiurile minore sunt mai mari decât zero, deci forma definit pozitiv.

Există o diferență cu metoda valorilor proprii? ;)

Scriem matricea formei din Exemplul 1:

primul său minor unghiular și al doilea , de unde rezultă că forma este alternantă de semne, adică. în funcție de valori, poate lua atât valori pozitive, cât și negative. Cu toate acestea, acest lucru este atât de evident.

Luați forma și matricea ei din Exemplul 2:

aici deloc fără perspicacitate să nu înțeleagă. Dar cu criteriul Sylvester, nu ne pasă:
, prin urmare forma cu siguranță nu este negativă.

, și cu siguranță nu pozitiv. (pentru că toate unghiurile minore trebuie să fie pozitive).

Concluzie: forma este alternanta.

Exemple de încălzire pentru auto-rezolvare:

Exemplul 4

Investigați formele pătratice pentru definirea semnului

A)

În aceste exemple, totul este fără probleme (vezi sfârșitul lecției), dar de fapt, pentru a finaliza o astfel de sarcină Criteriul lui Sylvester poate să nu fie suficient.

Ideea este că există cazuri „limită”, și anume: dacă pentru vreunul diferit de zero vector , atunci forma este definită nenegativ, daca atunci nepozitiv. Aceste forme au diferit de zero vectori pentru care .

Aici puteți aduce un astfel de „acordeon cu butoane”:

Evidențierea pătrat plin , vedem imediat non-negativitatea forma: , în plus, este egală cu zero pentru orice vector cu coordonate egale, de exemplu: .

Exemplu „oglindă”. nepozitiv anumită formă:

și un exemplu și mai banal:
– aici forma este egală cu zero pentru orice vector , unde este un număr arbitrar.

Cum să dezvălui non-negativitatea sau non-pozitivitatea unei forme?

Pentru asta avem nevoie de concept minori majori matrici. Minorul principal este un minor compus din elemente care se află la intersecția rândurilor și coloanelor cu aceleași numere. Deci, matricea are două minore principale de ordinul 1:
(elementul se află la intersecția primului rând și a primei coloane);
(elementul se află la intersecția celui de-al 2-lea rând și a 2-a coloană),

și un major minor de ordinul 2:
- compus din elemente din rândul 1, 2 și coloana 1, 2.

Matrice „trei câte trei” Există șapte minori principale și aici trebuie deja să vă fluturați bicepșii:
- trei minori de ordinul I,
trei minori de ordinul 2:
- compus din elemente de rândul 1, 2 și coloana 1, 2;
- compus din elemente de rândul 1, 3 și coloana 1, 3;
- compus din elemente de pe rândul 2, 3 și coloana 2, 3;
și un minor de ordinul 3:
- compus din elemente din rândul 1, 2, 3 și coloane 1, 2 și 3.
Exercițiu pentru înțelegere: notează toate principalele minore ale matricei .
Verificăm la sfârșitul lecției și continuăm.

criteriul Schwarzenegger:

1) Formă pătratică diferită de zero* definită nenegativ dacă și numai dacă TOȚI minorii săi principali nenegativ(mai mare sau egal cu zero).

* Forma pătratică zero (degenerată) are toți coeficienții egali cu zero.

2) Formă pătratică diferită de zero cu matrice definită nepozitiv dacă și numai dacă este:
– minori principali de ordinul I nepozitiv(mai mic sau egal cu zero);
sunt minori principali de ordinul 2 nenegativ;
– minori principali de ordinul III nepozitiv(alternanța a început);
…
– minor major de ordinul al III-lea nepozitiv, dacă este impar sau nenegativ, dacă este egal.

Dacă cel puțin un minor este de semn opus, atunci forma este alternantă de semne.

Să vedem cum funcționează criteriul în exemplele de mai sus:

Să facem o matrice de formă și în primul rând să calculăm minorii unghiulari - ce se întâmplă dacă este definit pozitiv sau negativ?

Valorile obținute nu îndeplinesc criteriul Sylvester, însă al doilea minor nu negativ, iar acest lucru face necesară verificarea celui de-al 2-lea criteriu (în cazul celui de-al 2-lea criteriu, acesta nu va fi îndeplinit automat, adică se ajunge imediat la o concluzie despre alternanța de semne a formei).

Minori majori de ordinul I:
- sunt pozitive
Minor major de ordinul 2:
- nu negativ.

Astfel, TOȚI minorii majori sunt non-negativi, deci forma nenegativ.

Să scriem matricea formei , pentru care, evident, nu este îndeplinit criteriul Sylvester. Dar nici nu am primit semne opuse (pentru că ambele minore unghiulare sunt egale cu zero). Prin urmare, verificăm îndeplinirea criteriului de non-negativitate/non-pozitivitate. Minori majori de ordinul I:
- nu pozitiv
Minor major de ordinul 2:
- nu negativ.

Astfel, conform criteriului Schwarzenegger (punctul 2), forma este determinată nepozitiv.

Acum, complet înarmați, vom analiza o problemă mai distractivă:

Exemplul 5

Examinați forma pătratică pentru definirea semnului

Această formă este decorată cu ordinea „alfa”, care poate fi egală cu orice număr real. Dar va fi doar mai distractiv decide.

În primul rând, să notăm matricea formei, probabil, mulți s-au adaptat deja să o facă oral: on diagonala principală punem coeficienții la pătrate și la locurile simetrice - jumătate de coeficienți ai produselor „mixte” corespunzătoare:

Să calculăm minorele unghiulare:

Voi extinde al treilea determinant de-a lungul liniei a treia: