Este timpul să dezasamblați metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special pe egalitate, ceea ce este valabil pentru orice număr nenegativ b.

Mai jos vom analiza pe rând principalele metode de extragere a rădăcinilor.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabelele de pătrate, cuburi etc. nu este la îndemână, este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care presupune descompunerea numărului rădăcinii în factori simpli.

Separat, merită să insistăm asupra, ceea ce este posibil pentru rădăcini cu exponenți ciudați.

În cele din urmă, luați în considerare o metodă care vă permite să găsiți secvențial cifrele valorii rădăcinii.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai simple cazuri, tabele de pătrate, cuburi etc permit extragerea rădăcinilor. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri; selectând un anumit rând și o anumită coloană, vă permite să creați un număr de la 0 la 99. De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul tabelului. Fiecare dintre celulele sale este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția rândului nostru de 8 zeci și coloana 3 a unu, există o celulă cu numărul 6889, care este pătratul numărului 83.

Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, doar că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, rădăcini a patra etc. respectiv din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul aplicării lor în extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina gradului al n-lea din numărul a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul cu al n-lea grad. Conform acestui tabel, găsim numărul b astfel încât a=b n . Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum este extrasă rădăcina cubă a lui 19683 folosind tabelul cub. Găsim numărul 19 683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este un cub al numărului 27, prin urmare, .

Este clar că tabelele de grade n sunt foarte convenabile atunci când se extrag rădăcini. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită o anumită perioadă de timp. Mai mult decât atât, este adesea necesar să extragi rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgem la alte metode de extragere a rădăcinilor.

Descompunerea numărului rădăcină în factori primi

O modalitate destul de convenabilă de a extrage rădăcina dintr-un număr natural (dacă, desigur, rădăcina este extrasă) este de a descompune numărul rădăcinii în factori primi. A lui esența este următoarea: după ce este destul de ușor să-l reprezinte ca un grad cu indicatorul dorit, ceea ce vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să explicăm acest punct.

Să se extragă rădăcina gradului al n-lea dintr-un număr natural a, iar valoarea lui este egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b ca orice număr natural poate fi reprezentat ca un produs al tuturor factorilor săi primi p 1 , p 2 , …, p m sub forma p 1 p 2 … p m , iar numărul rădăcină a în acest caz este reprezentat ca (p 1 p 2 ... p m) n . Deoarece descompunerea numărului în factori primi este unică, descompunerea rădăcinii a în factori primi va arăta ca (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii ca .

Rețineți că dacă factorizarea numărului rădăcină a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , atunci rădăcina gradului al n-lea dintr-un astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne ocupăm de asta atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144 .

Decizie.

Dacă ne întoarcem la tabelul de pătrate dat în paragraful precedent, se vede clar că 144=12 2 , din care rezultă clar că rădăcina pătrată a lui 144 este 12 .

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului rădăcină 144 în factori primi. Să aruncăm o privire la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2 2 2 2 3 3 . Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile din încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Decizie.

Descompunerea în factori primi a rădăcinii numărului 243 este 243=3 5 . Prin urmare, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcinii un număr întreg?

Decizie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să descompunăm numărul rădăcină în factori primi și să vedem dacă poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 3 6 7 2 . Descompunerea rezultată nu este reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece gradul factorului prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu este luată complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să ne dăm seama cum este extrasă rădăcina dintr-un număr fracționar. Să se scrie numărul rădăcinii fracționare ca p/q . Conform proprietății rădăcinii coeficientului, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula rădăcinii fracțiunii: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul împărțirii rădăcinii numărătorului la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a fracției comune 25/169.

Decizie.

Conform tabelului cu pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii dintr-o fracție obișnuită 25/169.

Răspuns:

Rădăcina unei fracții zecimale sau a unui număr mixt este extrasă după înlocuirea numerelor rădăcinii cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a zecimalei 474,552.

Decizie.

Să reprezentăm zecimala inițială ca o fracție comună: 474,552=474552/1000 . Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. La fel de 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000=10 3 , atunci și . Rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Extragerea rădăcinii unui număr negativ

Separat, merită să ne gândim la extragerea rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci un număr negativ poate fi sub semnul rădăcinii. Am dat astfel de notații următorul sens: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, avem . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina dintr-un număr negativ, trebuie să extrageți rădăcina din numărul pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcină.

Decizie.

Să transformăm expresia originală astfel încât un număr pozitiv să apară sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuim numărul mixt cu o fracție obișnuită: . Aplicam regula extragerii radacinii dintr-o fractiune obisnuita: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Găsirea valorii rădăcină pe biți

În cazul general, sub rădăcină există un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar, în același timp, este nevoie să cunoaștem valoarea unei rădăcini date, cel puțin până la un anumit semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți în mod constant un număr suficient de valori ale cifrelor numărului dorit.

Primul pas al acestui algoritm este de a afla care este bitul cel mai semnificativ al valorii rădăcină. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până când se obține un număr care depășește numărul rădăcinii. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea lui n în pasul anterior va indica ordinea superioară corespunzătoare.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcina pătrată a lui cinci. Luăm numerele 0, 10, 100, ... și le pătram până obținem un număr mai mare decât 5 . Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra unităților. Valoarea acestui bit, precum și a celor mai mici, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți următorii pași ai algoritmului vizează rafinarea succesivă a valorii rădăcinii datorită faptului că se găsesc valorile următoarelor cifre ale valorii dorite a rădăcinii, începând de la cea mai mare și trecând la cea mai mică. . De exemplu, valoarea rădăcinii din primul pas este 2 , în al doilea - 2,2 , în al treilea - 2,23 și așa mai departe 2,236067977 ... . Să descriem cum sunt găsite valorile biților.

Găsirea biților se realizează prin enumerarea valorilor lor posibile 0, 1, 2, ..., 9 . În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul rădăcină. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită și se face trecerea la pasul următor al algoritmului de extracție a rădăcinii, dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci valoarea acestei cifre este 9 .

Să explicăm toate aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi, găsiți valoarea cifrei unităților. Vom itera peste valorile 0, 1, 2, …, 9 , calculând respectiv 0 2 , 1 2 , …, 9 2 până când obținem o valoare mai mare decât radicalul 5 . Toate aceste calcule sunt prezentate convenabil sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (deoarece 2 2<5 , а 2 3 >5). Să trecem la găsirea valorii locului zece. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile obținute cu numărul rădăcină 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , atunci valoarea locului al zecelea este 2 . Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Deci următoarea valoare a rădăcinii lui cinci este găsită, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori în continuare: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

În primul rând, definim cifra senior. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151,186 . Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i definim valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151,186 , atunci valoarea cifrei zecilor este 1 . Să trecem la unități.

Astfel, valoarea locului celor este 2 . Să trecem la zece.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186 , valoarea locului al zecelea este 9 . Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului, ne va oferi valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită până la sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele pe care le-am studiat mai sus sunt suficiente.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

Formule de rădăcină. proprietățile rădăcinilor pătrate.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În lecția anterioară, ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care sunt formule pentru rădăcini, ce sunt proprietățile rădăciniiși ce se poate face cu toate acestea.

Formule rădăcină, proprietăți rădăcină și reguli pentru acțiunile cu rădăcini- în esență este același lucru. Există surprinzător de puține formule pentru rădăcini pătrate. Ceea ce, desigur, mulțumește! Mai degrabă, puteți scrie o mulțime de tot felul de formule, dar doar trei sunt suficiente pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini. Orice altceva decurge din acești trei. Deși mulți se rătăcesc în cele trei formule ale rădăcinilor, da...

Să începem cu cel mai simplu. Iat-o:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Printre multele cunoștințe care sunt un semn al alfabetizării, alfabetul este pe primul loc. Următoarele, același element „semn”, sunt abilitățile de adunare-înmulțire și, alăturate acestora, dar inverse în sens, operații aritmetice de scădere-împărțire. Abilitățile învățate în copilăria școlară îndepărtată servesc cu fidelitate zi și noapte: TV, ziar, SMS, Și peste tot citim, scriem, numărăm, adunăm, scădem, înmulțim. Și, spune-mi, ai fost deseori nevoit să prinzi rădăcini în viață, decât la țară? De exemplu, o astfel de problemă distractivă, cum ar fi rădăcina pătrată a numărului 12345 ... Mai există praf de pușcă în baloanele cu pulbere? Putem sa o facem? Da, nimic mai ușor! Unde este calculatorul meu... Și fără el, corp la mână, slab?

Mai întâi, să clarificăm ce este - rădăcina pătrată a unui număr. În general, „a extrage o rădăcină dintr-un număr” înseamnă a efectua operația aritmetică opusă ridicării la o putere - aici ai unitatea contrariilor în aplicarea vieții. să presupunem că un pătrat este o înmulțire a unui număr prin el însuși, adică, așa cum au predat la școală, X * X = A sau într-o altă notație X2 = A, iar în cuvinte - „X pătratul este egal cu A”. Atunci problema inversă sună astfel: rădăcina pătrată a numărului A este numărul X, care, la pătrat, este egal cu A.

Extragerea rădăcinii pătrate

Din cursul școlar de aritmetică se cunosc metode de calcul „în coloană”, care ajută la efectuarea oricăror calcule folosind primele patru operații aritmetice. Vai... Pentru pătrate, și nu numai pătrate, rădăcinile unor astfel de algoritmi nu există. Și în acest caz, cum să extrageți rădăcina pătrată fără un calculator? Pe baza definiției rădăcinii pătrate, există o singură concluzie - este necesar să se selecteze valoarea rezultatului prin enumerarea secvențială a numerelor, al căror pătrat se apropie de valoarea expresiei rădăcinii. Numai și totul! O oră sau două nu vor avea timp să treacă, deoarece puteți calcula folosind metoda binecunoscută de înmulțire într-o „coloană”, orice rădăcină pătrată. Dacă aveți abilitățile, câteva minute sunt suficiente pentru asta. Chiar și un calculator nu prea avansat sau un utilizator de PC o face dintr-o singură lovitură - progres.

Dar, serios, calculul rădăcinii pătrate este adesea efectuat folosind tehnica „furcă de artilerie”: în primul rând, ei iau un număr al cărui pătrat corespunde aproximativ cu expresia rădăcinii. Este mai bine dacă „pătratul nostru” este puțin mai mic decât această expresie. Apoi corectează numărul în funcție de propria lor înțelegere a abilităților, de exemplu, înmulțesc cu doi și ... pătrați din nou. Dacă rezultatul este mai mare decât numărul de sub rădăcină, ajustând succesiv numărul inițial, apropiindu-se treptat de „colegul” său de sub rădăcină. După cum puteți vedea - fără calculator, doar capacitatea de a număra „într-o coloană”. Desigur, există mulți algoritmi motivați științific și optimizați pentru calcularea rădăcinii pătrate, dar pentru „utilizare acasă” tehnica de mai sus oferă 100% încredere în rezultat.

Da, aproape că am uitat, pentru a confirma alfabetizarea noastră crescută, calculăm rădăcina pătrată a numărului indicat anterior 12345. O facem pas cu pas:

1. Luați, pur intuitiv, X=100. Să calculăm: X * X = 10000. Intuiția este în top - rezultatul este mai mic decât 12345.

2. Să încercăm, de asemenea, pur intuitiv, X = 120. Apoi: X * X = 14400. Și din nou, cu intuiție, ordinea - rezultatul este mai mult de 12345.

3. Deasupra se obține o „furcă” de 100 și 120. Să alegem numere noi - 110 și 115. Obținem, respectiv, 12100 și respectiv 13225 - furculița se îngustează.

4. Încercăm „poate” X = 111. Obținem X * X = 12321. Acest număr este deja destul de aproape de 12345. În conformitate cu precizia necesară, „potrivirea” poate fi continuată sau oprită la rezultatul obținut. Asta e tot. După cum am promis - totul este foarte simplu și fără calculator.

Un pic de istorie...

Chiar și pitagoreenii, elevi ai școlii și adepți ai lui Pitagora, s-au gândit să folosească rădăcini pătrate, 800 î.Hr. și chiar acolo, „a dat peste” noi descoperiri în domeniul numerelor. Și de unde a venit?

1. Rezolvarea problemei cu extragerea rădăcinii, dă rezultatul sub formă de numere ale unei noi clase. Au fost numite iraționale, cu alte cuvinte, „nerezonabile”, pentru că. nu sunt scrise ca un număr complet. Cel mai clasic exemplu de acest fel este rădăcina pătrată a lui 2. Acest caz corespunde calculului diagonalei unui pătrat cu latura egală cu 1 - aici este, influența școlii pitagoreice. S-a dovedit că într-un triunghi cu o unitate de mărime foarte specifică a laturilor, ipotenuza are o dimensiune care este exprimată printr-un număr care „nu are sfârșit”. Deci în matematică a apărut

2. Se știe că S-a dovedit că această operație matematică mai conține o captură - extragerea rădăcinii, nu știm ce pătrat al cărui număr, pozitiv sau negativ, este expresia rădăcinii. Această incertitudine, rezultatul dublu dintr-o singură operație, se notează.

Studiul problemelor asociate cu acest fenomen a devenit o direcție în matematică numită teoria unei variabile complexe, care are o mare importanță practică în fizica matematică.

Este curios că notația rădăcinii – radical – a fost folosită în „Aritmetica universală” a sa de către același omniprezent I. Newton, iar exact forma modernă de scriere a rădăcinii este cunoscută încă din 1690 din cartea francezului Roll „Algebra Manual”. ".

Suprafața unui teren pătrat este de 81 dm². Găsiți partea lui. Să presupunem că lungimea laturii pătratului este X decimetri. Atunci aria parcelei este X² decimetri pătrați. Întrucât, conform stării, această suprafață este de 81 dm², atunci X² = 81. Lungimea laturii unui pătrat este un număr pozitiv. Un număr pozitiv al cărui pătrat este 81 este numărul 9. La rezolvarea problemei, a fost necesar să se găsească numărul x, al cărui pătrat este 81, adică să se rezolve ecuația X² = 81. Această ecuație are două rădăcini: X 1 = 9 și X 2 \u003d - 9, deoarece 9² \u003d 81 și (- 9)² \u003d 81. Ambele numere 9 și - 9 sunt numite rădăcini pătrate ale numărului 81.

Rețineți că una dintre rădăcinile pătrate X= 9 este un număr pozitiv. Se numește rădăcina pătrată aritmetică a lui 81 și se notează √81, deci √81 = 9.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu A.

De exemplu, numerele 6 și -6 sunt rădăcinile pătrate ale lui 36. Numărul 6 este rădăcina pătrată aritmetică a lui 36, deoarece 6 este un număr nenegativ și 6² = 36. Numărul -6 nu este o rădăcină aritmetică.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A notată după cum urmează: √ A.

Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice; A se numește expresie rădăcină. Expresia √ A citit astfel: rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A. De exemplu, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. În cazurile în care este clar că vorbim despre o rădăcină aritmetică, ei spun pe scurt: „rădăcina pătrată a A«.

Acțiunea de a găsi rădăcina pătrată a unui număr se numește luarea rădăcinii pătrate. Această acțiune este inversul pătratului.

Orice număr poate fi pătrat, dar nu orice număr poate fi rădăcină pătrată. De exemplu, este imposibil să extrageți rădăcina pătrată a numărului - 4. Dacă o astfel de rădăcină a existat, atunci, notând-o cu litera X, am obține o egalitate greșită x² \u003d - 4, deoarece există un număr nenegativ în stânga și un număr negativ în dreapta.

Expresia √ A are sens doar când a ≥ 0. Definiția rădăcinii pătrate poate fi scrisă pe scurt ca: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Egalitatea (√ A)² = A valabil pentru a ≥ 0. Astfel, pentru a vă asigura că rădăcina pătrată a unui număr nenegativ A egală b, adică că √ A =b, trebuie să verificați dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții: b ≥ 0, b² = A.

Rădăcina pătrată a unei fracții

Să calculăm. Rețineți că √25 = 5, √36 = 6 și verificați dacă egalitatea este valabilă.

La fel de și , atunci egalitatea este adevărată. Asa de, .

Teorema:În cazul în care un A≥ 0 și b> 0, adică rădăcina fracției este egală cu rădăcina numărătorului împărțită la rădăcina numitorului. Se cere să se demonstreze că: și .

Din moment ce √ A≥0 și √ b> 0, atunci .

Prin proprietatea de a ridica o fractie la o putere si de a determina radacina patrata teorema este demonstrată. Să ne uităm la câteva exemple.

Calculați , conform teoremei dovedite .

Al doilea exemplu: Demonstrează asta , dacă A ≤ 0, b < 0. .

Un alt exemplu: Calculați .

.

Transformarea rădăcinii pătrate

Scoaterea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii. Să fie dată o expresie. În cazul în care un A≥ 0 și b≥ 0, apoi prin teorema rădăcinii produsului, putem scrie:

O astfel de transformare se numește factorizarea semnului rădăcină. Luați în considerare un exemplu;

Calculați la X= 2. Substituție directă X= 2 în expresia radicală duce la calcule complicate. Aceste calcule pot fi simplificate dacă mai întâi eliminăm factorii de sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuind x = 2, obținem:.

Deci, la scoaterea factorului de sub semnul rădăcinii, expresia radicală este reprezentată ca un produs în care unul sau mai mulți factori sunt pătratele numerelor nenegative. Apoi se aplică teorema produsului rădăcină și se ia rădăcina fiecărui factor. Luați în considerare un exemplu: simplificați expresia A = √8 + √18 - 4√2 scotând factorii de sub semnul rădăcinii în primii doi termeni, obținem:. Subliniem că egalitatea valabil numai atunci când A≥ 0 și b≥ 0. dacă A < 0, то .

Destul de des, atunci când rezolvăm probleme, ne confruntăm cu numere mari din care trebuie să extragem Rădăcină pătrată. Mulți elevi decid că aceasta este o greșeală și încep să rezolve întregul exemplu. Sub nicio formă nu trebuie făcut acest lucru! Există două motive pentru aceasta:

1. Rădăcinile unui număr mare apar în probleme. Mai ales în text;
2. Există un algoritm prin care aceste rădăcini sunt considerate aproape verbal.

Vom lua în considerare acest algoritm astăzi. Poate că unele lucruri ți se vor părea de neînțeles. Dar dacă acordați atenție acestei lecții, veți obține cea mai puternică armă împotriva rădăcini pătrate.

Deci algoritmul:

1. Limitați rădăcina dorită deasupra și dedesubt la multipli de 10. Astfel, vom reduce intervalul de căutare la 10 numere;
2. Din aceste 10 numere, îndepărtați-le pe cele care cu siguranță nu pot fi rădăcini. Ca urmare, vor rămâne 1-2 numere;
3. Patratează aceste 1-2 numere. Acela dintre ei, al cărui pătrat este egal cu numărul inițial, va fi rădăcina.

Înainte de a aplica acest algoritm funcționează în practică, să ne uităm la fiecare pas individual.

Constrângerea rădăcinilor

În primul rând, trebuie să aflăm între ce numere se află rădăcina noastră. Este foarte de dorit ca numerele să fie multiplu de zece:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Obținem o serie de numere:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ce ne oferă aceste numere? Este simplu: primim limite. Luați, de exemplu, numărul 1296. Se află între 900 și 1600. Prin urmare, rădăcina sa nu poate fi mai mică de 30 și mai mare de 40:

[Figura]

Același lucru este cu orice alt număr din care puteți găsi rădăcina pătrată. De exemplu, 3364:

[Figura]

Astfel, în loc de un număr de neînțeles, obținem un interval foarte specific în care se află rădăcina originală. Pentru a restrânge și mai mult domeniul de aplicare al căutării, treceți la pasul al doilea.

Eliminarea numerelor evident superflue

Deci, avem 10 numere - candidați pentru rădăcină. Le-am primit foarte repede, fără gândire complexă și înmulțire în coloană. E timpul să mergem mai departe.

Credeți sau nu, acum vom reduce numărul de numere de candidați la două - și din nou fără calcule complicate! Este suficient să cunoașteți regula specială. Iată-l:

Ultima cifră a pătratului depinde doar de ultima cifră numărul original.

Cu alte cuvinte, este suficient să ne uităm la ultima cifră a pătratului - și vom înțelege imediat unde se termină numărul inițial.

Există doar 10 cifre care pot fi pe ultimul loc. Să încercăm să aflăm în ce se transformă atunci când sunt la pătrat. Aruncă o privire la tabel:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Acest tabel este un alt pas către calcularea rădăcinii. După cum puteți vedea, numerele din a doua linie s-au dovedit a fi simetrice față de cele cinci. De exemplu:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

După cum puteți vedea, ultima cifră este aceeași în ambele cazuri. Și asta înseamnă că, de exemplu, rădăcina lui 3364 se termină în mod necesar în 2 sau 8. Pe de altă parte, ne amintim restricția din paragraful anterior. Primim:

[Figura]

Pătratele roșii arată că nu cunoaștem încă această cifră. Dar la urma urmei, rădăcina se află între 50 și 60, pe care există doar două numere care se termină în 2 și 8:

[Figura]

Asta e tot! Dintre toate rădăcinile posibile, am lăsat doar două opțiuni! Și acesta este în cel mai dificil caz, pentru că ultima cifră poate fi 5 sau 0. Și atunci va fi singurul candidat pentru rădăcini!

Calcule finale

Deci, mai avem 2 numere de candidat. De unde știi care este rădăcina? Răspunsul este evident: pătratează ambele numere. Cel care la pătrat va da numărul inițial și va fi rădăcina.

De exemplu, pentru numărul 3364, am găsit două numere candidate: 52 și 58. Să le pătram:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Asta e tot! S-a dovedit că rădăcina este 58! Totodată, pentru a simplifica calculele, am folosit formula pătratelor sumei și diferenței. Datorită acestui lucru, nici nu a fost nevoie să înmulți numerele dintr-o coloană! Acesta este un alt nivel de optimizare a calculelor, dar, desigur, este complet opțional :)

Exemple de calcul rădăcină

Teoria este bună, desigur. Dar să-l testăm în practică.

[Figura]

Mai întâi, să aflăm între ce numere se află numărul 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Acum să ne uităm la ultimul număr. Este egal cu 6. Când se întâmplă acest lucru? Doar dacă rădăcina se termină cu 4 sau 6. Obținem două numere:

Rămâne să pătrați fiecare număr și să comparați cu originalul:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Amenda! Primul pătrat s-a dovedit a fi egal cu numărul inițial. Deci aceasta este rădăcina.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Figura]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Să ne uităm la ultimul număr:

1369 → 9;
33; 37.

Să-l pătram:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Iată răspunsul: 37.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Figura]

Limităm numărul:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Să ne uităm la ultimul număr:

2704 → 4;
52; 58.

Să-l pătram:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Am primit răspunsul: 52. Al doilea număr nu va mai trebui să fie pătrat.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Figura]

Limităm numărul:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Să ne uităm la ultimul număr:

4225 → 5;
65.

După cum puteți vedea, după al doilea pas, rămâne o singură opțiune: 65. Aceasta este rădăcina dorită. Dar să facem totuși la pătrare și să verificăm:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Totul este corect. Scriem răspunsul.

Concluzie

Vai, nu mai bine. Să aruncăm o privire asupra motivelor. Sunt două dintre ele:

• Este interzisă utilizarea calculatoarelor la orice examen normal de matematică, fie că este vorba de GIA sau de examenul de stat unificat. Și pentru că purtați un calculator în clasă, aceștia pot fi scoși cu ușurință din examen.
• Nu fi ca americanii proști. Care nu sunt ca rădăcinile - nu pot adăuga două numere prime. Și la vederea fracțiilor, acestea devin în general isterice.