>> Matematică: Ce înseamnă notația y = f(x) în matematică

Ce înseamnă intrarea y \u003d f (x) în matematică

Când studiază orice proces real, de obicei acordă atenție la două cantități implicate în proces (în procesele mai complexe nu sunt implicate două cantități, ci trei, patru etc., dar nu luăm în considerare încă astfel de procese): una dintre ele. se schimbă ca de la sine, indiferent de orice (am notat o astfel de variabilă cu litera x), iar cealaltă valoare ia valori care depind de valorile selectate ale variabilei x (am notat o astfel de variabilă dependentă prin litera y). model matematic procesul real este tocmai înregistrarea în limbajul matematic a dependenței lui y de x, adică. relațiile dintre x și y. Reamintim încă o dată că am studiat până acum următoarele modele matematice: y = b, y = kx, y = kx + m, y = x 2 .

Au aceste modele matematice ceva în comun? Există! Structura lor este aceeași: y = f(x).

Această intrare trebuie înțeleasă după cum urmează: există o expresie f (x) cu o variabilă x, cu ajutorul căreia se găsesc valorile variabilei y.

Matematicienii preferă notația y = f(x) dintr-un motiv. Fie, de exemplu, f (x) \u003d x 2, adică. vorbim despre funcțiile y = x 2. Să presupunem că trebuie să selectăm mai multe valori ale argumentului și valorile corespunzătoare ale funcției. Până acum am scris așa:

dacă x \u003d 1, atunci y \u003d I 2 \u003d 1;
dacă x \u003d - 3, atunci y \u003d (- Z) 2 \u003d 9 etc.

Dacă folosim notația f (x) \u003d x 2, atunci notația devine mai economică:

f(1) = 1 2 =1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.

Deci, ne-am familiarizat cu încă un fragment limbaj matematic: expresia „valoarea funcției y \u003d x 2 în punctul x \u003d 2 este 4” este scrisă mai scurtă:

"dacă y \u003d f (x), unde f (x) \u003d x 2, atunci f (2) \u003d 4."

Și iată un exemplu de traducere inversă:

Dacă y \u003d f (x), unde f (x) \u003d x 2, atunci f (- 3) \u003d 9. În alt mod, valoarea funcției y \u003d x 2 în punctul x \u003d - 3 este 9.

EXEMPLUL 1. Având în vedere o funcție y \u003d f (x), unde f (x) \u003d x 3. Calculati:

a) f(1); b) f(- 4); CFO); d) f(2a);
e) f(a-1); f) f(3x); g) f(-x).

Decizie. În toate cazurile, planul de acțiune este același: în expresia f(x), trebuie să înlocuiți în loc de x valoarea argumentului care este indicat între paranteze și să efectuați calculele și transformările corespunzătoare. Noi avem:

Cometariu. Desigur, în loc de litera f, puteți folosi orice altă literă (în mare parte din alfabetul latin): g (x), h (x), s (x), etc.

Exemplul 2 Sunt date două funcții: y \u003d f (x), unde f (x) \u003d x 2 și y \u003d g (x), unde g (x) \u003d x 3. Demonstrați că:

a) f(-x) = f(x); b) g(-x)=-g(x).

Soluție. a) Deoarece f (x) \u003d x 2, atunci f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2. Deci, f (x) \u003d x 2, f (- x) \u003d x 2, apoi f (- x) \u003d f (x)

b) Deoarece g (x) \u003d x 3, atunci g (- x) \u003d -x 3, adică. g(-x) = -g(x).

Utilizarea unui model matematic de forma y = f(x) se dovedește a fi convenabilă în multe cazuri, în special atunci când procesul real este descris prin formule diferite la intervale diferite de modificare a variabilei independente.

Să descriem câteva proprietăți ale funcției y - f (x) folosind graficul construit în Figura 68 - o astfel de descriere a proprietăților se numește de obicei citirea graficului.

Citirea unui grafic este un fel de trecere de la un model geometric (de la un model grafic) la un model verbal (la o descriere a proprietăților unei funcții). DAR
plotarea este o tranziție de la un model analitic (este prezentat în condiția exemplului 4) la un model geometric.

Deci, să începem să citim graficul funcției y \u003d f (x) (a se vedea Fig. 68).

1. Variabila independentă x trece prin toate valorile de la -4 la 4. Cu alte cuvinte, pentru fiecare valoare a lui x din segmentul [-4, 4], puteți calcula valoarea funcției f(x). Ei spun asta: [-4, 4] - domeniul de aplicare al funcției.

De ce, când am rezolvat exemplul 4, am spus că este imposibil să găsim f(5)? Da, pentru că valoarea x = 5 nu aparține domeniului de aplicare al funcției.

2. y naim = -2 (funcția atinge această valoare la x = -4); La nanb. = 2 (funcția atinge această valoare în orice punct al semiintervalului (0, 4).

3. y = 0 dacă 1 = -2 și dacă x = 0; în aceste puncte, graficul funcției y = f(x) intersectează axa x.

4. y > 0 dacă x є (-2, 0) sau dacă x є (0, 4]; la aceste intervale, graficul funcției y \u003d f (x) este situat deasupra axei x.

5. y< 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Funcția crește pe intervalul [-4, -1], scade pe intervalul [-1, 0] și este constantă (nici crescând, nici descrescător) pe jumătate de interval (0,4).

Pe măsură ce studiem noi proprietăți ale funcțiilor, procesul de citire a graficului va deveni mai intens, mai semnificativ și mai interesant.

Să discutăm una dintre aceste noi proprietăți. Graficul funcției luate în considerare în exemplul 4 este format din trei ramuri (din trei „piese”). Prima și a doua ramuri (un segment de linie dreaptă y \u003d x + 2 și o parte din parabolă) sunt „unite” cu succes: segmentul se termină în punctul (-1; 1), iar secțiunea parabolă începe în același punct . Dar a doua și a treia ramuri sunt „unite” cu mai puțin succes: a treia ramură („piesa” a liniei orizontale) nu începe în punctul (0; 0), ci în punctul (0; 4). Matematicienii spun așa: „funcția y = f(x) suferă o întrerupere la x = 0 (sau în punctul x = 0)”. Dacă funcția nu are puncte de discontinuitate, atunci se numește continuă. Deci, toate funcțiile pe care le-am întâlnit în paragrafele anterioare (y = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) sunt continue.

Exemplul 5. Dată o funcție. Este necesar să construiască și să citească programul său.

Decizie. După cum puteți vedea, aici funcția este dată de o expresie destul de complicată. Dar matematica este o știință unică și integrală, secțiunile sale sunt strâns legate între ele. Să folosim ceea ce am învățat în capitolul 5 și să reducem fracție algebrică

este valabilă numai sub restricția Prin urmare, putem reformula problema astfel: în loc de funcția y = x 2
vom lua în considerare funcția y \u003d x 2, unde Construim o parabolă y \u003d x 2 pe planul de coordonate xOy.
Linia x = 2 o intersectează în punctul (2; 4). Dar conform condiției, înseamnă că trebuie să excludem din considerare punctul (2; 4) al parabolei, pentru care notăm acest punct în desen cu un cerc ușor.

Astfel, se construiește graficul funcției - este o parabolă y \u003d x 2 cu un punct „perforat” (2; 4) (Fig. 69).

Să trecem la descrierea proprietăților funcției y \u003d f (x), adică la citirea graficului acesteia:

1. Variabila independentă x ia orice valoare, cu excepția x = 2. Aceasta înseamnă că domeniul funcției este format din două raze deschise (- 0 o, 2) și

2. y max = 0 (realizat la x = 0), y max _ nu există.

3. Funcția nu este continuă, suferă o discontinuitate la x = 2 (în punctul x = 2).

4. y = 0 dacă x = 0.

5. y\u003e 0 dacă x є (-oo, 0), dacă x є (0, 2) și dacă x є (B, + oo).
6. Funcția scade pe rază (- ω, 0], crește pe jumătate de interval .

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală

A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, instruiri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment în manual elemente de inovare în lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru anul recomandări metodologice ale programului de discuții Lecții integrate

Funcția $f(x)=|x|$

$|x|$ - modul. Acesta este definit după cum urmează: Dacă numărul real este nenegativ, atunci valoarea modulo este aceeași cu numărul însuși. Dacă este negativ, atunci valoarea modulului coincide cu valoarea absolută a numărului dat.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă astfel:

Exemplul 1

Funcția $f(x)=[x]$

Funcția $f\left(x\right)=[x]$ este o funcție a părții întregi a unui număr. Se găsește rotunjind numărul (dacă nu este un întreg în sine) „în jos”.

Exemplu: $=2.$

Exemplul 2

Haideți să-l explorăm și să-l trasăm.

1. $D\stanga(f\dreapta)=R$.
2. Evident, această funcție ia doar valori întregi, adică $\ E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Prin urmare, această funcție va fi de formă generală.
4. $(0,0)$ este singurul punct de intersecție cu axele de coordonate.
5. $f"\left(x\right)=0$
6. Funcția are puncte de întrerupere (sărituri de funcție) pentru toți $x\în Z$.

Figura 2.

Funcția $f\left(x\right)=\(x\)$

Funcția $f\left(x\right)=\(x\)$ este funcția părții fracționale a unui număr. Se găsește „eliminând” partea întreagă a acestui număr.

Exemplul 3

Explorarea și reprezentarea grafică a unei funcții

Funcția $f(x)=semn(x)$

Funcția $f\left(x\right)=sign(x)$ este o funcție semn. Această funcție arată ce semn are un număr real. Dacă numărul este negativ, atunci funcția are valoarea $-1$. Dacă numărul este pozitiv, atunci funcția este egală cu unu. Dacă valoarea numărului este zero, valoarea funcției va prelua și valoarea zero.

Dacă este dat un set de numere X si calea f, prin care pentru fiecare valoare XЄ X se potrivește doar cu un număr la. Apoi se ia în considerare funcţie dată y = f(X), in care domeniu X(de obicei la care se face referire D(f) = X). O multime de Y toate valorile la, pentru care există cel puțin o valoare XЄ X, astfel încât y = f(X), se numește un astfel de set set de valori funcții f(denumită cel mai frecvent E(f)= Y).

Sau dependență de o singură variabilă la de la altul X, pentru care fiecare valoare a variabilei X dintr-un anumit set D se potrivește cu valoarea unică a variabilei la, se numește funcţie.

Dependența funcțională a variabilei y de x este adesea subliniată de notația y(x), care este citită de y din x.

Domeniu funcții la(X), adică setul de valori al argumentului său X, notat cu simbolul D(y), care se citește din y.

Gama de valori funcții la(X), adică setul de valori pe care funcția y o preia este notat cu simbolul E(la), care citește e din Y.

Principalele moduri de a defini o funcție sunt:

A) analitic(folosind formula y = f(X)). Această metodă include și cazurile în care funcția este dată de un sistem de ecuații. Dacă o funcție este dată de o formulă, atunci domeniul ei de definiție este toate acele valori ale argumentului pentru care expresia scrisă în partea dreaptă a formulei are valori.

b) tabular(folosind un tabel cu valorile corespunzătoare Xși la). În acest fel, se stabilesc adesea regimul de temperatură sau cursurile de schimb, dar această metodă nu este la fel de clară ca următoarea;

în) grafic(folosind o diagramă). Aceasta este una dintre cele mai vizuale moduri de a seta o funcție, deoarece modificările sunt imediat „citite” conform graficului. Dacă funcţia la(X) este dat de grafic, apoi domeniul său de definiție D(y) este proiecția graficului pe axa x și intervalul de valori E(la) - proiecția graficului pe axa y (vezi figura).

G) verbal. Această metodă este adesea folosită în probleme, sau mai degrabă în descrierea condițiilor acestora. De obicei, această metodă este înlocuită cu una dintre cele de mai sus.

Funcții y = f(X), XЄ X, și y = g(X), XЄ X, sunt numite identic egale pe un subset M Cu X dacă pentru fiecare X 0 Є M egalitate corectă f(X 0) = g(X 0).

Graficul funcției y = f(X) poate fi reprezentat ca un set de astfel de puncte ( X; f(X)) pe planul de coordonate, unde X este o variabilă arbitrară, de la D(f). În cazul în care un f(X 0) = 0, unde X 0 apoi punctul cu coordonatele ( X 0; 0) este punctul în care graficul funcției y = f(X) se intersectează cu axa O X. Dacă 0Є D(f), apoi punctul (0; f(0)) este punctul în care graficul funcției la = f(X) se intersectează cu axa O la.

Număr X 0 din D(f) funcții y = f(X) este zero al funcției, când f(X 0) = 0.

Decalaj M Cu D(f) Acest interval de constanță funcții y = f(X) dacă fie pentru un arbitrar XЄ M dreapta f(X) > 0, sau pentru un arbitrar XЄ M dreapta f(X) < 0.

Există aparate, care desenează grafice ale dependențelor dintre mărimi. Acestea sunt barografe - dispozitive pentru fixarea dependenței presiunii atmosferice de timp, termografe - dispozitive pentru fixarea dependenței de temperatură în timp, cardiografe - dispozitive pentru înregistrarea grafică a activității inimii. Termograful are tambur, se rotește uniform. Hârtia înfășurată pe tambur este atinsă de un reportofon care, în funcție de temperatură, urcă și coboară și trasează o anumită linie pe hârtie.

De la reprezentarea unei funcții printr-o formulă, puteți trece la reprezentarea acesteia într-un tabel și grafic.

Când studiezi matematica, este foarte important să înțelegem ce este o funcție, domeniile și semnificațiile acesteia. Cu ajutorul studiului funcțiilor până la extrem, multe probleme din algebră pot fi rezolvate. Chiar și problemele de geometrie se reduc uneori la luarea în considerare a ecuațiilor figurilor geometrice pe un plan.

Lasay- o funcție variabilăX; în plus, nu contează cum este dată această funcție: printr-o formulă, un tabel sau într-un alt mod. Numai faptul însuși existența acestei dependențe funcționale este important, care se scrie după cum urmează:y = f(X). Scrisoaref(litera inițială a cuvântului latin „functio” - funcție) nu denotă nicio valoare, la fel ca literelebuștean, păcat, bronz în înregistrările funcțiilory= jurnalX, y= păcatX, y= bronzX. Vorbesc doar despre anumite dependențe funcționale.ydinX. Înregistrarey = f (X) esteoricedependenta functionala. Dacă două dependențe funcționale:ydinXșizdintdiferă unele de altele, sunt scrise folosind litere diferite:y = f (X) șiz = F (t). Dacă unele dependențe sunt aceleași, atunci ele sunt scrise cu aceeași literăf: y = f (X) șiz = f (t). Dacă expresia pentru dependenţa funcţionalăy = f (X) este cunoscut, atunci poate fi scris folosind ambele notații ale funcției. De exemplu,y= păcat X sau f(X) = păcat X. Ambele forme sunt complet echivalente. Uneori se folosește și o altă formă de scriere: y (X). Aceasta înseamnă la fel ca y = f (X).

Reprezentarea grafică a funcțiilor.

Pentru a reprezenta o funcțiey = f(X) sub forma unui grafic, aveți nevoie de:

1) Scrieți un număr de valori ale funcției și argumentul acesteia în tabel:

2) Transferați coordonatele punctelor funcției din tabel în sistemul de coordonate,

notând, în conformitate cu scara selectată, valorile absciselor pe

topoareXși valorile ordonatelor de pe axăY(Fig. 2). Drept urmare, în sistemul nostru

coordonate, se vor construi o serie de puncteA, B, C,. . . , F.

3) Conectarea punctelorA, B, C,. . . , Fcurbă netedă, obținem un grafic al unui dat

dependenta functionala.

O astfel de reprezentare grafică a unei funcții oferă o reprezentare vizuală a naturii comportamentului acesteia, dar precizia obținută în acest caz este insuficientă. Este posibil ca punctele intermediare care nu sunt reprezentate pe grafic să se afle departe de curba netedă desenată. Rezultatele bune depind și în mare măsură de o alegere bună a scalelor. Prin urmare, ar trebui determinat graficul funcției ca locul punctelor , coordonate care M (x, y) sunt conectate printr-o dependență funcțională dată .

Domeniul și domeniul de aplicare al funcției.În matematica elementară, funcțiile sunt studiate numai pe mulțimea numerelor reale R. Aceasta înseamnă că argumentul funcției poate lua numai acele valori reale pentru care funcția este definită, de exemplu. de asemenea, acceptă doar valori reale. O multime de X toate valorile valide ale argumentului X, pentru care funcția y= f(X) definit, numit domeniul de aplicare al funcției. O multime de Y toate valorile reale y pe care funcția o acceptă este apelată intervalul de funcții. Acum putem da o definiție mai precisă a funcției: regula (legea) corespondenței dintre mulțimile X și Y, prin care pentru fiecare element din multimea X se poate gasi unul si un singur element din multimea Y, se numeste functie.