Numerele prime sunt unul dintre cele mai interesante fenomene matematice care a atras atenția oamenilor de știință și a cetățenilor de rând de mai bine de două milenii. În ciuda faptului că acum trăim în era computerelor și a celor mai moderne programe de informare, multe mistere ale numerelor prime nu au fost încă rezolvate, există chiar și acelea pe care oamenii de știință nu știu să le abordeze.

Numerele prime sunt, după cum se știe din cursul aritmeticii elementare, acelea care sunt divizibile fără rest doar cu unul și cu el însuși. Apropo, dacă un număr natural este divizibil, pe lângă cele enumerate mai sus, cu un alt număr, atunci se numește compus. Una dintre cele mai cunoscute teoreme afirmă că orice număr compus poate fi reprezentat ca singurul produs posibil al numerelor prime.

Câteva fapte interesante. În primul rând, unitatea este unică în sensul că, de fapt, nu aparține nici numerelor prime, nici numerelor compuse. În același timp, în comunitatea științifică este încă obișnuit să-l atribuie primului grup, deoarece formal își satisface pe deplin cerințele.

În al doilea rând, singurul număr par care s-a strecurat în grupul „numere prime” este, desigur, doi. Orice alt număr par pur și simplu nu poate ajunge aici, deoarece prin definiție, în afară de el și unu, este și divizibil cu doi.

Numerele prime, a căror listă, după cum am menționat mai sus, poate începe cu unul, sunt o serie infinită, la fel de infinită ca și seria numerelor naturale. Pe baza teoremei fundamentale a aritmeticii, se poate ajunge la concluzia că numerele prime nu sunt niciodată întrerupte și nu se termină niciodată, deoarece altfel seria numerelor naturale ar fi inevitabil întreruptă.

Numerele prime nu apar aleatoriu în seria naturală, așa cum ar putea părea la prima vedere. După ce le-ați analizat cu atenție, puteți observa imediat câteva caracteristici, dintre care cele mai curioase sunt asociate cu așa-numitele numere „gemene”. Se numesc astfel pentru că într-un fel de neînțeles au ajuns unul lângă altul, despărțiți doar de un delimitator par (cinci și șapte, șaptesprezece și nouăsprezece).

Dacă te uiți la ele cu atenție, vei observa că suma acestor numere este întotdeauna un multiplu de trei. Mai mult decât atât, atunci când se împarte la un triplu din partea stângă, restul rămâne întotdeauna un doi, iar cel drept - unu. În plus, însăși distribuția acestor numere de-a lungul seriei naturale poate fi prezisă dacă întreaga serie este prezentată sub formă de sinusoide oscilatorii, ale căror puncte principale se formează atunci când numerele sunt împărțite la trei și doi.

Numerele prime nu sunt doar obiectul unei examinări minuțioase de către matematicienii din întreaga lume, dar au fost de multă vreme folosite cu succes în compilarea diferitelor serii de numere, care stă la baza, inclusiv pentru criptografie. În același timp, trebuie recunoscut că un număr mare de mistere asociate cu aceste elemente minunate așteaptă încă să fie rezolvate, multe întrebări au o semnificație nu numai filosofică, ci și practică.

Un număr prim este un număr natural care este divizibil doar cu el însuși și unul.

Restul numerelor se numesc compuse.

Numere naturale simple

Dar nu toate numerele naturale sunt prime.

Numerele naturale simple sunt doar acelea care sunt divizibile numai prin ele însele și cu unul.

Exemple de numere prime:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

numere întregi simple

Rezultă că numai numerele naturale sunt numere prime.

Aceasta înseamnă că numerele prime sunt în mod necesar naturale.

Dar toate numerele naturale sunt și numere întregi.

Astfel, toate numerele prime sunt numere întregi.

Exemple de numere prime:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Chiar și numere prime

Există un singur număr prim par și acesta este doi.

Toate celelalte numere prime sunt impare.

De ce un număr par mai mare de doi nu poate fi număr prim?

Dar pentru că orice număr par mai mare de doi va fi divizibil prin el însuși, nu cu unu, ci cu doi, adică un astfel de număr va avea întotdeauna trei divizori și, eventual, mai mulți.

Toate numerele naturale, cu excepția unuia, sunt împărțite în numere prime și compuse. Un număr prim este un număr natural care are doar doi divizori: unul și el însuși.. Toate celelalte sunt numite compozite. Studiul proprietăților numerelor prime se ocupă de o secțiune specială a matematicii - teoria numerelor. În teoria inelelor, numerele prime sunt legate de elemente ireductibile.

Iată o succesiune de numere prime începând de la 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... etc.

Conform teoremei fundamentale a aritmeticii, fiecare număr natural care este mai mare decât unu poate fi reprezentat ca produs de numere prime. Totuși, aceasta este singura modalitate de a reprezenta numere naturale până la ordinea factorilor. Pe baza acestui fapt, putem spune că numerele prime sunt părțile elementare ale numerelor naturale.

O astfel de reprezentare a unui număr natural se numește descompunerea unui număr natural în numere prime sau factorizarea unui număr.

Una dintre cele mai vechi și mai eficiente modalități de a calcula numere prime este „siuta lui Erastothenes”.

Practica a arătat că după calcularea numerelor prime folosind sita Erastofen, este necesar să se verifice dacă numărul dat este prim. Pentru aceasta, au fost dezvoltate teste speciale, așa-numitele teste de simplitate. Algoritmul acestor teste este probabilistic. Cel mai adesea sunt folosite în criptografie.

Apropo, pentru unele clase de numere există teste de primalitate eficiente specializate. De exemplu, pentru a testa simplitatea numerelor Mersenne, se folosește testul Lucas-Lehmer, iar pentru a testa simplitatea numerelor Fermat, se folosește testul Pepin.

Știm cu toții că există o infinitate de numere. Pe bună dreptate se pune întrebarea: câte numere prime sunt atunci? Există, de asemenea, un număr infinit de numere prime. Cea mai veche dovadă a acestei judecăți este dovada lui Euclid, care este expusă în Elemente. Dovada lui Euclid este următoarea:

Imaginează-ți că numărul primelor este finit. Să le înmulțim și să adăugăm una. Numărul rezultat nu poate fi împărțit la niciunul din setul finit de numere prime, deoarece restul împărțirii la oricare dintre ele dă unul. Astfel, numărul trebuie să fie divizibil cu un număr prim care nu este inclus în această mulțime.

Teorema distribuției numerelor prime afirmă că numărul de numere prime mai mici decât n, notat cu π(n), crește ca n / ln(n).

De-a lungul a mii de ani de studiu a numerelor prime, s-a descoperit că cel mai mare număr prim cunoscut este 243112609 − 1. Acest număr are 12.978.189 de cifre zecimale și este un prim Mersenne (M43112609). Această descoperire a fost făcută pe 23 august 2008 la Departamentul de Matematică al Universității uCLA, ca parte a căutării distribuite GIMPS pentru numerele prime Mersenne.

Principala caracteristică distinctivă a numerelor Mersenne este prezența unui test de primalitate Luc-Lehmer extrem de eficient. Odată cu acesta, numerele prime de Mersenne sunt, pe o perioadă lungă de timp, cele mai mari numere prime cunoscute.

Cu toate acestea, până în prezent, multe întrebări despre numerele prime nu au primit răspunsuri exacte. La cel de-al 5-lea Congres Internațional de Matematică, Edmund Landau a formulat principalele probleme din domeniul numerelor prime:

Problema Goldbach, sau prima problemă a lui Landau, este să dovedească sau să infirme că fiecare număr par mai mare de doi poate fi reprezentat ca suma a două numere prime, iar fiecare număr impar mai mare de 5 poate fi reprezentat ca suma a trei numere prime.
A doua problemă a lui Landau necesită găsirea unui răspuns la întrebarea: există un set infinit de „gemeni simpli” - numere prime, a căror diferență este egală cu 2?
Conjectura lui Legendre sau a treia problemă a lui Landau este: este adevărat că între n2 și (n + 1)2 există întotdeauna un număr prim?
A patra problemă a lui Landau: Mulțimea numerelor prime de forma n2 + 1 este infinită?
Pe lângă problemele de mai sus, există și problema determinării unui număr infinit de numere prime în multe secvențe întregi precum numărul Fibonacci, numărul Fermat etc.

Răspunsul lui Ilya este corect, dar nu foarte detaliat. În secolul al XVIII-lea, apropo, unul era considerat încă un număr prim. De exemplu, matematicieni importanți precum Euler și Goldbach. Goldbach este autorul uneia dintre cele șapte sarcini ale mileniului - ipoteza Goldbach. Formularea originală afirmă că orice număr par poate fi reprezentat ca suma a două numere prime. Mai mult, inițial 1 a fost luat în considerare ca număr prim și vedem așa: 2 = 1 + 1. Acesta este cel mai mic exemplu care satisface formularea originală a ipotezei. Ulterior a fost corectată, iar formularea a căpătat un aspect modern: „fiecare număr par, începând de la 4, poate fi reprezentat ca suma a două numere prime”.

Să ne amintim definiția. Un număr prim este un număr natural p care are doar 2 divizori naturali diferiți: p însuși și 1. O consecință a definiției: un număr prim p are un singur divizor prim - p însuși.

Acum să presupunem că 1 este un număr prim. Prin definiție, un număr prim are un singur divizor prim - el însuși. Apoi se dovedește că orice număr prim mai mare decât 1 este divizibil cu un număr prim care diferă de acesta (cu 1). Dar două numere prime distincte nu pot fi divizibile între ele, deoarece altfel nu sunt numere prime, ci numere compuse, iar acest lucru contrazice definiția. Cu această abordare, se dovedește că există doar un număr prim - unitatea în sine. Dar acest lucru este absurd. Prin urmare, 1 nu este un număr prim.

1, precum și 0, formează o altă clasă de numere - clasa elementelor neutre în raport cu operațiile n-nar într-un subset al câmpului algebric. Mai mult, în ceea ce privește operația de adăugare, 1 este, de asemenea, un element generator pentru inelul de numere întregi.

Având în vedere acest lucru, nu este dificil să găsești analogi ai numerelor prime în alte structuri algebrice. Să presupunem că avem un grup multiplicativ format din puterile lui 2 începând de la 1: 2, 4, 8, 16, ... etc. 2 acţionează aici ca element de formare. Un număr prim din acest grup este un număr care este mai mare decât cel mai mic element și divizibil numai cu el însuși și cu cel mai mic element. În grupul nostru, doar 4 au astfel de proprietăți. Nu mai există numere prime în grupul nostru.

Dacă 2 ar fi, de asemenea, un număr prim în grupul nostru, atunci vezi primul paragraf - din nou s-ar dovedi că doar 2 este un număr prim.

Articolul tratează conceptele de numere prime și compuse. Sunt date definiții ale unor astfel de numere cu exemple. Dăm o dovadă că numărul primelor este nelimitat și facem o intrare în tabelul primelor folosind metoda lui Eratostene. Se vor dovedi dacă un număr este prim sau compus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numere prime și compuse - Definiții și exemple

Numerele prime și compuse sunt clasificate ca numere întregi pozitive. Ele trebuie să fie mai mari decât unul. Divizorii sunt, de asemenea, împărțiți în simpli și compuși. Pentru a înțelege conceptul de numere compuse, este necesar să studiem mai întâi conceptele de divizori și multipli.

Definiția 1

Numerele prime sunt numere întregi mai mari decât unu și au doi divizori pozitivi, adică ele însele și 1.

Definiția 2

Numerele compuse sunt numere întregi care sunt mai mari decât unu și au cel puțin trei divizori pozitivi.

Unul nu este nici prim, nici numar compus. Are un singur divizor pozitiv, deci este diferit de toate celelalte numere pozitive. Toate numerele întregi pozitive sunt numite naturale, adică folosite în numărare.

Definiția 3

numere prime sunt numere naturale care au doar doi divizori pozitivi.

Definiția 4

Numar compus este un număr natural care are mai mult de doi divizori pozitivi.

Orice număr mai mare decât 1 este prim sau compus. Din proprietatea divizibilității, avem că 1 și numărul a va fi întotdeauna divizori pentru orice număr a, adică va fi divizibil cu el însuși și cu 1. Oferim definiția numerelor întregi.

Definiția 5

Numerele naturale care nu sunt prime se numesc numere compuse.

Numerele prime: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Ele sunt divizibile numai cu ei înșiși și cu 1. Numere compuse: 6, 63, 121, 6697. Adică, numărul 6 poate fi descompus în 2 și 3, iar 63 în 1, 3, 7, 9, 21, 63 și 121 în 11, 11, adică divizorii săi vor fi 1, 11, 121. Numărul 6697 se va descompune în 37 și 181. Rețineți că conceptele de numere prime și numere prime relativ sunt concepte diferite.

Pentru a ușura utilizarea numerelor prime, trebuie să utilizați un tabel:

Un tabel pentru toate numerele naturale existente este nerealist, deoarece există un număr infinit de ele. Când numerele ajung la dimensiuni de 10000 sau 1000000000, atunci ar trebui să te gândești să folosești sita lui Eratosthenes.

Luați în considerare o teoremă care explică ultima afirmație.

Teorema 1

Cel mai mic divizor pozitiv al unui număr natural mai mare decât 1, altul decât 1, este un număr prim.

Dovada 1

Să presupunem că a este un număr natural mai mare decât 1, b este cel mai mic divizor non-unic al lui a. Trebuie să demonstrăm că b este un număr prim folosind metoda contradicției.

Să presupunem că b este un număr compus. De aici avem că există un divizor pentru b, care este diferit de 1, precum și de b. Un astfel de divizor este notat cu b 1 . Este necesară această condiție 1< b 1 < b a fost completat.

Se poate observa din condiția că a este divizibil cu b, b este divizibil cu b 1, ceea ce înseamnă că conceptul de divizibilitate este exprimat astfel: a = b qși b = b 1 q 1 , de unde a = b 1 (q 1 q) , unde q și q 1 sunt numere întregi. Conform regulii înmulțirii numerelor întregi, avem că produsul numerelor întregi este un număr întreg cu o egalitate de forma a = b 1 · (q 1 · q) . Se poate observa că b 1 este divizorul lui a. Inegalitatea 1< b 1 < b nu potrivește, deoarece obținem că b este cel mai mic divizor pozitiv non-1 al lui a.

Teorema 2

Există infinit de numere prime.

Dovada 2

Să presupunem că luăm un număr finit de numere naturale n și notăm p 1 , p 2 , … , p n . Să luăm în considerare o variantă de găsire a unui număr prim diferit de cele indicate.

Se consideră numărul p, care este egal cu p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Nu este egal cu fiecare dintre numerele corespunzătoare numerelor prime de forma p 1 , p 2 , … , p n . Numărul p este prim. Atunci teorema este considerată a fi demonstrată. Dacă este compus, atunci trebuie să luăm notația p n + 1 și arată nepotrivirea divizorului cu oricare dintre p 1 , p 2 , … , p n .

Dacă nu ar fi așa, atunci, pe baza proprietății de divizibilitate a produsului p 1 , p 2 , … , p n , obținem că ar fi divizibil cu p n + 1 . Rețineți că expresia p n + 1 numărul p este împărțit egal cu suma p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Obținem că expresia p n + 1 al doilea termen al acestei sume, care este egal cu 1, trebuie împărțit, dar acest lucru este imposibil.

Se poate observa că orice număr prim poate fi găsit între orice număr de numere prime date. Rezultă că există infinit de numere prime.

Deoarece există o mulțime de numere prime, tabelele sunt limitate la numerele 100, 1000, 10000 și așa mai departe.

Atunci când compilați un tabel de numere prime, ar trebui să țineți cont de faptul că o astfel de sarcină necesită o verificare secvențială a numerelor, începând de la 2 la 100. Dacă nu există divizor, acesta este înregistrat în tabel; dacă este compus, atunci nu este introdus în tabel.

Să luăm în considerare pas cu pas.

Dacă începeți cu numărul 2, atunci acesta are doar 2 divizori: 2 și 1, ceea ce înseamnă că poate fi introdus în tabel. Tot cu cifra 3 . Numărul 4 este compus, ar trebui descompus în 2 și 2. Numărul 5 este prim, ceea ce înseamnă că poate fi fixat în tabel. Faceți asta până la numărul 100.

Această metodă este incomodă și necesită timp. Puteți face o masă, dar va trebui să petreceți mult timp. Este necesar să se utilizeze criterii de divizibilitate, care vor grăbi procesul de găsire a divizorilor.

Metoda care utilizează sita lui Eratosthenes este considerată cea mai convenabilă. Să aruncăm o privire la tabelele de mai jos. Pentru început, se scriu numerele 2, 3, 4, ..., 50.

Acum trebuie să tăiați toate numerele care sunt multipli de 2. Efectuați baraj secvențial. Obținem un tabel de forma:

Să trecem la tăierea numerelor care sunt multipli de 5. Primim:

Tăiem numerele care sunt multipli ai lui 7, 11. În sfârșit, tabelul arată ca

Să trecem la formularea teoremei.

Teorema 3

Cel mai mic divizor pozitiv și non-1 al numărului de bază a nu depășește a , unde a este rădăcina aritmetică a numărului dat.

Dovada 3

Este necesar să notăm b ca cel mai mic divizor al unui număr compus a. Există un întreg q , unde a = b · q , și avem că b ≤ q . O inegalitate a formei b > q deoarece condiția este încălcată. Ambele părți ale inegalității b ≤ q ar trebui înmulțite cu orice număr pozitiv b care nu este egal cu 1. Obținem că b b ≤ b q , unde b 2 ≤ a și b ≤ a .

Din teorema demonstrată se poate observa că tăierea numerelor din tabel conduce la faptul că este necesar să începem cu un număr care este egal cu b 2 și satisface inegalitatea b 2 ≤ a . Adică, dacă tăiați numerele care sunt multipli de 2, atunci procesul începe de la 4, iar cele care sunt multipli de 3 încep de la 9 și așa mai departe până la 100.

Compilarea unui astfel de tabel folosind teorema lui Eratostene spune că atunci când toate numerele compuse sunt tăiate, vor rămâne primele care nu depășesc n. În exemplul în care n = 50 , avem că n = 50 . De aici obținem că sita lui Eratosthenes cerne toate numerele compuse care nu sunt mai mari decât valoarea rădăcinii lui 50. Căutarea numerelor se face prin tăiere.

Înainte de a rezolva, este necesar să aflăm dacă numărul este prim sau compus. Criteriile de divizibilitate sunt adesea folosite. Să ne uităm la asta în exemplul de mai jos.

Exemplul 1

Demonstrați că 898989898989898989 este un număr compus.

Decizie

Suma cifrelor numărului dat este 9 8 + 9 9 = 9 17 . Deci numărul 9 17 este divizibil cu 9, pe baza semnului divizibilității cu 9. Rezultă că este compus.

Astfel de semne nu sunt capabile să demonstreze primitatea unui număr. Dacă este necesară verificarea, ar trebui luate alți pași. Cel mai potrivit mod este de a enumera numerele. În timpul procesului, pot fi găsite numere prime și compuse. Adică, numerele în valoare nu trebuie să depășească un . Adică, numărul a trebuie descompus în factori primi. dacă acest lucru este adevărat, atunci numărul a poate fi considerat prim.

Exemplul 2

Determinați numărul compus sau prim 11723.

Decizie

Acum trebuie să găsiți toți divizorii numărului 11723. Trebuie evaluat 11723 .

De aici vedem că 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , și 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Pentru o estimare mai precisă a numărului 11723, este necesar să scrieți expresia 108 2 = 11 664 și 109 2 = 11 881 , apoi 108 2 < 11 723 < 109 2 . De aici rezultă că 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Când descompunem, obținem că 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 59 , 61 , 7, 7, 7, 1, 6 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 sunt toate numere prime. Întregul proces poate fi descris ca o împărțire pe o coloană. Adică, împărțiți 11723 la 19. Numărul 19 este unul dintre factorii săi, deoarece obținem împărțirea fără rest. Să descriem împărțirea după o coloană:

Rezultă că 11723 este un număr compus, deoarece în plus față de el și 1 are un divizor 19 .

Răspuns: 11723 este un număr compus.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter