Instruire

Metoda substituției Exprimă o variabilă și înlocuiește-o într-o altă ecuație. Puteți exprima orice variabilă doriți. De exemplu, exprimați „y” din a doua ecuație:
x-y=2 => y=x-2 Apoi introduceți totul în prima ecuație:
2x+(x-2)=10 Mutați totul fără x în partea dreaptă și numărați:
2x+x=10+2
3x=12 Apoi, pentru „x, împărțiți ambele părți ale ecuației la 3:
x=4. Deci, ați găsit „x. Găsiți „la. Pentru a face acest lucru, înlocuiți „x” în ecuația din care ați exprimat „y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Faceți o verificare. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile rezultate în ecuații:
2*4+2=10
4-2=2
Necunoscut găsit corect!

Cum să adunăm sau să scădeți ecuații Scăpați de orice variabilă deodată. În cazul nostru, acest lucru este mai ușor de făcut cu „y.
Deoarece în „y” este „+” și în al doilea „-”, atunci puteți efectua operația de adăugare, adică. Adăugăm partea stângă la stânga și partea dreaptă la dreapta:
2x+y+(x-y)=10+2Convertire:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Înlocuiți „x” în orice ecuație și găsiți „y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Conform primei metode, poți găsi corect ceea ce ai găsit.

Dacă nu există variabile clar definite, atunci este necesar să se transforme ușor ecuațiile.
În prima ecuație avem „2x”, iar în a doua doar „x. Pentru ca suma sau „x să scadă, înmulțiți a doua ecuație cu 2:
x-y=2
2x-2y=4 Apoi scade a doua ecuație din prima ecuație:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
găsiți y \u003d 2 "x exprimând din orice ecuație, adică.
x=4

Videoclipuri asemănătoare

Sfat 2: Cum se rezolvă o ecuație liniară cu două variabile

Ecuația, scrisă în formă generală ax + by + c \u003d 0, se numește ecuație liniară cu două variabile. O astfel de ecuație în sine conține un număr infinit de soluții, așa că în probleme este întotdeauna completată cu ceva - o altă ecuație sau condiții limită. În funcție de condițiile oferite de problemă, rezolvați o ecuație liniară cu două variabile urmată în moduri diferite.

Vei avea nevoie

• - ecuație liniară cu două variabile;
• - a doua ecuație sau condiții suplimentare.

Instruire

Având în vedere un sistem de două ecuații liniare, rezolvați-l după cum urmează. Alegeți una dintre ecuațiile în care coeficienții de dinainte variabile mai mic și exprimă una dintre variabile, de exemplu, x. Apoi introduceți acea valoare care conține y în a doua ecuație. În ecuația rezultată va exista o singură variabilă y, mutați toate părțile cu y în partea stângă, iar cele libere la dreapta. Găsiți y și înlocuiți în oricare dintre ecuațiile originale, găsiți x.

Există o altă modalitate de a rezolva un sistem de două ecuații. Înmulțiți una dintre ecuații cu un număr, astfel încât coeficientul din fața uneia dintre variabile, de exemplu, în fața lui x, să fie același în ambele ecuații. Apoi scădeți una dintre ecuații din cealaltă (dacă partea dreaptă nu este 0, nu uitați să scădeți partea dreaptă în același mod). Veți vedea că variabila x a dispărut și rămâne doar un y. Rezolvați ecuația rezultată și înlocuiți valoarea găsită a lui y în oricare dintre egalitățile originale. Găsiți x.

A treia modalitate de a rezolva un sistem de două ecuații liniare este grafică. Desenați un sistem de coordonate și desenați grafice a două linii drepte, ale căror ecuații sunt indicate în sistemul dvs. Pentru a face acest lucru, înlocuiți oricare două valori x în ecuație și găsiți y-ul corespunzător - acestea vor fi coordonatele punctelor aparținând dreptei. Cel mai convenabil este să găsiți intersecția cu axele de coordonate - doar înlocuiți valorile x=0 și y=0. Coordonatele punctului de intersecție al acestor două linii vor fi sarcinile.

Dacă există o singură ecuație liniară în condițiile problemei, atunci vi se oferă condiții suplimentare datorită cărora puteți găsi o soluție. Citiți cu atenție problema pentru a găsi aceste condiții. În cazul în care un variabile x și y sunt distanța, viteza, greutatea - nu ezitați să setați limita x≥0 și y≥0. Este foarte posibil ca x sau y să ascundă numărul de , mere etc. – atunci valorile pot fi doar . Dacă x este vârsta fiului, este clar că acesta nu poate fi mai în vârstă decât tatăl său, așa că indicați acest lucru în condițiile problemei.

Surse:

• cum se rezolvă o ecuație cu o variabilă

De la sine ecuația cu trei necunoscut are multe soluții, așa că cel mai adesea este completat de încă două ecuații sau condiții. În funcție de care sunt datele inițiale, cursul deciziei va depinde în mare măsură.

Vei avea nevoie

• - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.

Instruire

Dacă două dintre cele trei sisteme au doar două dintre cele trei necunoscute, încercați să exprimați unele variabile în termenii celorlalte și să le conectați la ecuația cu trei necunoscut. Scopul tău cu asta este să-l transformi într-un normal ecuația cu necunoscutul. Dacă aceasta este , soluția ulterioară este destul de simplă - înlocuiți valoarea găsită în alte ecuații și găsiți toate celelalte necunoscute.

Unele sisteme de ecuații pot fi scăzute dintr-o ecuație de alta. Vedeți dacă este posibil să înmulțiți unul dintre sau cu o variabilă, astfel încât două necunoscute să fie reduse simultan. Dacă există o astfel de oportunitate, folosiți-o, cel mai probabil, decizia ulterioară nu va fi dificilă. Nu uitați că atunci când înmulțiți cu un număr, trebuie să înmulțiți atât partea stângă, cât și cea dreaptă. În mod similar, atunci când scădeți ecuații, rețineți că și partea dreaptă trebuie scăzută.

Dacă metodele anterioare nu au ajutat, utilizați metoda generală pentru rezolvarea oricăror ecuații cu trei necunoscut. Pentru a face acest lucru, rescrieți ecuațiile sub forma a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Acum faceți o matrice de coeficienți la x (A), o matrice de necunoscute (X) și o matrice de coeficienți liberi (B). Atenție, înmulțind matricea de coeficienți cu matricea de necunoscute, veți obține o matrice, o matrice de membri liberi, adică A * X \u003d B.

Aflați matricea A la puterea (-1) după ce ați găsit , rețineți că nu ar trebui să fie egală cu zero. După aceea, înmulțiți matricea rezultată cu matricea B, ca rezultat veți obține matricea X dorită, indicând toate valorile.

De asemenea, puteți găsi o soluție la un sistem de trei ecuații folosind metoda Cramer. Pentru a face acest lucru, găsiți determinantul de ordinul trei ∆ corespunzător matricei sistemului. Apoi găsiți succesiv încă trei determinanți ∆1, ∆2 și ∆3, înlocuind valorile termenilor liberi în locul valorilor coloanelor corespunzătoare. Acum găsiți x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Surse:

• soluții de ecuații cu trei necunoscute

Rezolvarea unui sistem de ecuații este complexă și interesantă. Cu cât sistemul este mai complex, cu atât este mai interesant de rezolvat. Cel mai adesea la matematica din liceu există sisteme de ecuații cu două necunoscute, dar la matematica superioară pot exista mai multe variabile. Sistemele pot fi rezolvate în mai multe moduri.

Instruire

Cea mai comună metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații este substituția. Pentru a face acest lucru, trebuie să exprimați o variabilă prin alta și să o înlocuiți în a doua ecuația sisteme, aducând astfel ecuația la o variabilă. De exemplu, având în vedere ecuațiile: 2x-3y-1=0; x+y-3=0.

Este convenabil să exprimați una dintre variabilele din a doua expresie, transferând totul în partea dreaptă a expresiei, fără a uita să schimbați semnul coeficientului: x = 3-y.

Deschidem parantezele: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. Valoarea rezultată a lui y este înlocuită în expresia: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; x \u003d 2.

În prima expresie, toți membrii sunt 2, puteți scoate 2 din paranteză la proprietatea distributivă a înmulțirii: 2 * (2x-y-3) = 0. Acum ambele părți ale expresiei pot fi reduse cu acest număr și apoi exprimați y, deoarece coeficientul modulo pentru acesta este egal cu unul: -y \u003d 3-2x sau y \u003d 2x-3.

La fel ca în primul caz, substituim această expresie în al doilea ecuațiași obținem: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Înlocuiți valoarea rezultată în expresia: y=2x -3;y=4-3=1.

Vedem că coeficientul de la y este același ca valoare, dar diferit ca semn, prin urmare, dacă adunăm aceste ecuații, vom scăpa complet de y: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0; x=2. Înlocuim valoarea lui x în oricare dintre cele două ecuații ale sistemului și obținem y=1.

Videoclipuri asemănătoare

Bisquare ecuația reprezintă ecuația al patrulea grad, a cărui formă generală este reprezentată de expresia ax^4 + bx^2 + c = 0. Rezolvarea lui se bazează pe utilizarea metodei de substituire a necunoscutelor. În acest caz, x^2 este înlocuit cu o altă variabilă. Astfel, rezultatul este un pătrat obișnuit ecuația, care urmează să fie rezolvată.

Instruire

Rezolvați pătratul ecuația care rezultă din înlocuire. Pentru a face acest lucru, mai întâi calculați valoarea în conformitate cu formula: D = b^2 ? 4ac. În acest caz, variabilele a, b, c sunt coeficienții ecuației noastre.

Aflați rădăcinile ecuației biquadratice. Pentru a face acest lucru, luați rădăcina pătrată a soluțiilor obținute. Dacă a existat o soluție, atunci vor fi două - o valoare pozitivă și una negativă a rădăcinii pătrate. Dacă ar exista două soluții, ecuația biquadratică ar avea patru rădăcini.

Videoclipuri asemănătoare

Una dintre metodele clasice de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare este metoda Gauss. Constă în excluderea succesivă a variabilelor, atunci când sistemul de ecuații este convertit într-un sistem în trepte cu ajutorul unor transformări simple, din care se regăsesc secvenţial toate variabilele, începând cu ultimele.

Instruire

Mai întâi, aduceți sistemul de ecuații într-o astfel de formă când toate necunoscutele vor fi într-o ordine strict definită. De exemplu, toate X-urile necunoscute vor veni pe primul loc în fiecare linie, toți Y-urile vor veni după X, toate Z-urile vor veni după Y și așa mai departe. Nu ar trebui să existe necunoscute în partea dreaptă a fiecărei ecuații. Determinați mental coeficienții din fața fiecărei necunoscute, precum și coeficienții din partea dreaptă a fiecărei ecuații.

Toată lumea de la școală știe așa ceva ca ecuații. O ecuație este o egalitate care conține una sau mai multe variabile. Știind că una dintre părțile acestei egalități este egală cu cealaltă, este posibil să izolați părțile individuale ale ecuației, transferând una sau alta dintre componentele sale dincolo de semnul egal conform unor reguli clar definite. Puteți simplifica ecuația până la concluzia logică dorită sub forma x=n, unde n este orice număr.

De la școala elementară, toți copiii urmează un curs de studiu de complexitate diferită. Mai târziu, în program apar ecuații liniare mai complexe - ecuații pătratice, apoi vin ecuații cubice. Fiecare următoarea vedere ecuațiile are noi metode de rezolvare, devine mai dificil de învățat și repetat.

Cu toate acestea, după aceasta, se pune problema rezolvării unor astfel de ecuații ca ecuații biquadratice. Acest tip, în ciuda complexității aparente, este rezolvat destul de simplu: principalul lucru este să puteți aduce astfel de ecuații în forma adecvată. Soluția lor este studiată în una sau două lecții, împreună cu sarcini practice, dacă elevii au cunoștințe de bază de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Ce trebuie să știe o persoană care întâlnește acest tip de ecuații? Pentru început, ele includ doar puteri pare ale variabilei „x”: a patra și, respectiv, a doua. Pentru ca ecuația biquadratică să fie rezolvată, este necesar să o aducem la forma Cum se face asta? Destul de simplu! Trebuie doar să înlocuiți „x” din pătrat cu „y”. Apoi, „x”, care este înfricoșător pentru mulți școlari, la gradul al patrulea se va transforma într-un „y” pătrat, iar ecuația va lua forma unui pătrat obișnuit.

În plus, este rezolvată ca o ecuație pătratică obișnuită: este descompusă în factori, după care se află valoarea misteriosului „joc”. Pentru a rezolva ecuația biquadratică până la sfârșit, trebuie să găsiți „y” din număr - aceasta va fi valoarea dorită a lui „x”, după ce ați găsit valorile pentru care vă puteți felicita pentru finalizarea cu succes. a calculelor.

Ce trebuie reținut atunci când rezolvați ecuații de acest tip? În primul rând: Y nu poate fi un număr negativ! Condiția ca y să fie pătratul numărului x exclude o astfel de soluție. Prin urmare, dacă în timpul soluției inițiale a ecuației biquadratice, una dintre valorile „y” se dovedește a fi pozitivă pentru dvs., iar a doua este negativă, trebuie să luați doar versiunea sa pozitivă, în caz contrar, ecuația biquadratică va fi rezolvată incorect. Este mai bine să introduceți imediat regula că variabila „y” este mai mare sau egală cu zero.

A doua nuanță importantă: numărul „x”, fiind rădăcina pătrată a numărului „y”, poate fi atât pozitiv, cât și negativ. Să presupunem că dacă „y” este egal cu patru, atunci ecuația biquadratică va avea două soluții: două și minus două. Aceasta deoarece un număr negativ ridicat la o putere pară este egal cu un număr de același modul, dar de semn diferit, ridicat la aceeași putere. Prin urmare, merită întotdeauna să vă amintiți acest punct important, altfel puteți pierde pur și simplu unul sau mai multe răspunsuri la ecuație. Cel mai bine este să scrieți imediat că „x” este egal cu plus sau minus rădăcina pătrată a lui „y”.

În general, soluția ecuațiilor biquadratice este destul de simplă și nu necesită mult timp. Două ore academice sunt suficiente pentru a studia această temă în programa școlară - fără a număra, desigur, repetările și testele. Ecuațiile biquadratice ale formei standard se rezolvă foarte ușor dacă sunt respectate regulile enumerate mai sus. Soluția lor nu vă va fi dificilă, deoarece este descrisă în detaliu în manualele de matematică. Succes la studii și succes în rezolvarea oricăror probleme, nu numai de matematică!

În lecțiile anterioare, am învățat cum să rezolvăm ecuații patratice. Aceasta a necesitat introducerea unui nou obiect matematic, discriminantul. Dacă nu vă amintiți ce este, vă recomand să reveniți la lecția „Cum se rezolvă ecuații patratice”.

Pentru început, definiția a ceea ce este o ecuație biquadratică în general este orice expresie în care variabila este prezentă numai în puterea a 4-a și a 2-a.

1)introduceți o nouă variabilă $((x)^(2))=t$. În acest caz, punând la pătrat ambele părți ale acestei ecuații, obținem

\[\begin(align)& (((((x)^(2))))^(2))=((t)^(2)) \\& ((x)^(4))= ((t)^(2)) \\\end(align)\]

2) rescrieți expresia noastră — $a((x)^(4))+b((x)^(2))+4=0\to a((t)^(2))+bt+c=0 $

3) găsim o soluție pentru ecuația rezultată și găsim variabilele $((t)_(1))$ și $((t)_(2))$ dacă există două rădăcini.

4) efectuăm o înlocuire inversă, adică ne amintim ce este $t$, obținem două construcții: $((x)^(2))=((t)_(1))$ și $((x)^ ( 2))=((t)_(2))$.

5) rezolvăm ecuațiile obținute și găsim x-urile.

Sarcini reale

Exemplul #1

Să vedem cum funcționează acest circuit pe ecuații biquadratice reale.

Rezolvam prima problema:

\[((x)^(4))-5((x)^(2))+4=0\]

Introducem o nouă variabilă și rescriem:

\[((x)^(2))=t\la ((t)^(2))-5t+4=0\]

Aceasta este o ecuație pătratică comună, o calculăm folosind discriminantul:

Acesta este un număr bun. Rădăcina este 3.

Acum găsiți valoarea lui $t$:

\[\begin(array)((35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2)=\text( )\frac(8)(2)\text( )=\text( ) 4 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2)=\text( )\frac(2)(2)\text(= )1 \\\end (matrice)\]

Dar atenție, am găsit doar $t$ - aceasta nu este o soluție, acesta este doar al treilea pas. Să trecem la pasul al patrulea - amintiți-vă ce este $t$ și decideți:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=4\to ((x)^(2))-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=2 \\& x=-2 \\\end(align) \right. \\\end(align)\]

Aici am rezolvat prima parte. Să trecem la a doua valoare a lui $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1\to ((x)^(2))-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right. \\\end(align)\]

În total, am primit patru răspunsuri: 2; -2; unu; -1, adică O ecuație biquadratică poate avea până la patru rădăcini.

Exemplul #2

Să trecem la al doilea exemplu:

\[((x)^(4))-25((x)^(2))+144=0\]

Aici nu voi descrie totul în detaliu. Să decidem cum am proceda în clasă.

Inlocuim:

Atunci vom avea:

\[((t)^(2))-25t+144=0\]

Count$D$:

Rădăcina discriminantului este 7. Găsiți $t$:

\[\begin(array)((35)(l))

((t)_(1))\text( )=\frac(25+7)(2)\text( )=\text( )\frac(32)(2)=\text( )16 \\( (t)_(2))\text( )=\frac(25-7)(2)=\text( )\frac(18)(2)\text( )=\text( )9 \\\end (matrice)\]

Amintiți-vă ce este $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=16 \\& \left[ \begin(align)& x=4 \\& x=-4 \\\end(align) \right . \\\end(align)\]

A doua varianta:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=9 \\& \left[ \begin(align)& x=3 \\& x=-3 \\\end(align) \right . \\\end(align)\]

Asta e tot. Avem din nou patru răspunsuri: 4; -4; 3; -3.

Exemplul #3

Să trecem la ultima ecuație biquadratică:

\[((x)^(4))-\frac(5)(4((x)^(2)))+\frac(1)(4)=0\]

Din nou, introducem un înlocuitor:

\[((t)^(2))-\frac(5)(4t)+\frac(1)(4)=0\]

Să înmulțim ambele părți cu 4 pentru a scăpa de coeficienții fracționali:

Găsiți $D$:

Rădăcina discriminantului este trei:

\[\begin(array)((35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(8)(8)\text( )=\ text( )1 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(2)(8)=\text( )\frac(1)(4) \\\end(matrice)\]

Numărăm X. Amintiți-vă ce este $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1 \\& \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right . \\\end(align)\]

A doua opțiune este puțin mai complicată:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=\frac(1)(4) \\& \left[ \begin(align)& x=\frac(1)(2) \\ & x=-\frac(1)(2) \\\end(align) \right. \\\end(align)\]

Avem din nou patru rădăcini:

Așa se rezolvă toate ecuațiile biquadratice. Desigur, aceasta nu este cea mai rapidă cale, dar este cea mai fiabilă. Încercați să rezolvați singur aceleași exemple ca în acest videoclip. În răspuns, valorile x trebuie să fie scrise printr-un punct și virgulă - așa am notat-o. Această lecție s-a terminat. Noroc!

Înainte de a rezolva ecuații biquadratice, este necesar să înțelegem care este această expresie. Deci, aceasta este o ecuație de gradul al patrulea, care poate fi scrisă sub această formă: „ (ax 4) + (bx 2) + c = 0". Forma sa generală poate fi scrisă ca Oh". Pentru a rezolva o ecuație de acest fel, este necesar să se aplice o metodă numită „substituție de necunoscute”. Potrivit lui, expresia x 2' trebuie înlocuit cu o altă variabilă. După o astfel de înlocuire, se obține o ecuație pătratică simplă, a cărei soluție în viitor nu este dificilă.

Necesar:

- o coală goală de hârtie;
- stilou de scris;
- abilități de bază la matematică.

Instructiuni:

• Deci, trebuie mai întâi să notați expresia pe o bucată de hârtie. Prima etapă a soluției sale constă într-o procedură simplă de înlocuire a expresiei „ x 2 ” la o variabilă simplă (de exemplu, „ la"). După ce ați făcut acest lucru, ar trebui să aveți o nouă ecuație: (ak 2) - (bk) + c \u003d 0».
• Mai mult, pentru a rezolva corect ecuația biquadratică, trebuie mai întâi să găsiți rădăcinile pentru " (ak 2) – (bk) + с = 0”, pe care l-ați primit după înlocuire. Pentru a face acest lucru, va fi necesar să se calculeze valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = (b 2 ) − 4*ac". Cu toate acestea, toate aceste variabile A, bși cu) sunt coeficienții ecuației de mai sus.
• Pe parcursul calcularea discriminantului putem afla dacă ecuația noastră biquadratică are o soluție, deoarece dacă în final această valoare se dovedește cu un semn minus, atunci pur și simplu s-ar putea să nu aibă o soluție în viitor. Dacă discriminantul este egal cu zero, atunci vom avea o singură soluție, definită prin următoarea formulă: k \u003d - (b / 2 * a)". Ei bine, dacă discriminantul nostru este mai mare decât zero, atunci obținem două soluții. Pentru a găsi două soluții, va fi necesar să luăm rădăcina pătrată a lui " D” (adică de la discriminant). Valoarea rezultată va trebui scrisă ca o variabilă " QD».
• Următorul pas este direct rezolvarea unei ecuații pătratice pe care l-ai primit. Pentru a face acest lucru, va trebui să înlocuiți valorile deja cunoscute în formulă. Pentru una dintre soluții: k1 \u003d (-b + QD) / 2 * a', iar pentru celălalt: ' k2 \u003d (-b - QD) / 2 * a».
• Și în sfârșit, etapa finală - găsirea rădăcinilor unei ecuații biquadratice . Pentru a face acest lucru, va fi necesar să luăm rădăcina pătrată a soluțiilor obținute până acum a ecuației pătratice obișnuite. Dacă discriminantul a fost egal cu zero și am avut o singură soluție, atunci în acest caz vor exista două rădăcini (cu o valoare negativă și cu o valoare pozitivă a rădăcinii pătrate). În consecință, dacă discriminantul a fost mai mare decât zero, atunci ecuația noastră biquadratică va avea până la patru rădăcini.