Cât de mari sunt. Care este cel mai mare număr? Nume compuse pentru numere mari

10 până la 3003 grade

Dezbaterea despre care este cea mai mare cifră din lume este în desfășurare. Diferite sisteme de calcul oferă opțiuni diferite și oamenii nu știu ce să creadă și care număr este considerat cel mai mare.

Această întrebare a interesat oamenii de știință încă de pe vremea Imperiului Roman. Cea mai mare problemă constă în definiția a ceea ce este un „număr” și a ceea ce este un „număr”. La un moment dat, oamenii au considerat pentru o lungă perioadă de timp cel mai mare număr ca fiind un decilion, adică de la 10 la a 33-a putere. Dar, după ce oamenii de știință au început să studieze în mod activ sistemele metrice americane și engleze, s-a constatat că cel mai mare număr din lume este de 10 la puterea 3003 - un milion. Oamenii din viața de zi cu zi cred că cel mai mare număr este un trilion. Mai mult, acest lucru este destul de formal, deoarece după un trilion pur și simplu nu se dau nume, pentru că contul începe prea complicat. Totuși, pur teoretic, numărul de zerouri poate fi adăugat la nesfârșit. Prin urmare, să-ți imaginezi chiar și un trilion pur vizual și ceea ce urmează este aproape imposibil.

cu cifre romane

Pe de altă parte, definiția „numărului” în înțelegerea matematicienilor este puțin diferită. Un număr este un semn care este universal acceptat și este folosit pentru a indica o cantitate exprimată în termeni numerici. Al doilea concept de „număr” înseamnă exprimarea caracteristicilor cantitative într-o formă convenabilă prin utilizarea numerelor. Rezultă că numerele sunt formate din cifre. De asemenea, este important ca figura să aibă proprietăți de semn. Sunt condiționate, recognoscibile, neschimbabile. Numerele au și proprietăți de semn, dar ele decurg din faptul că numerele sunt formate din cifre. Din aceasta putem concluziona că un trilion nu este deloc o cifră, ci un număr. Atunci care este cel mai mare număr din lume dacă nu este un trilion, care este un număr?

Important este că numerele sunt folosite ca numere constitutive, dar nu numai atât. Cifra, însă, este aceeași cifră dacă vorbim despre unele lucruri, numărându-le de la zero la nouă. Un astfel de sistem de semne se aplică nu numai cifrelor arabe cunoscute nouă, ci și numerelor romane I, V, X, L, C, D, M. Acestea sunt cifre romane. Pe de altă parte, V I I I este un număr roman. În calculul arab, acesta corespunde cu numărul opt.

cu cifre arabe

Astfel, se dovedește că numărarea unităților de la zero la nouă sunt considerate numere, iar orice altceva sunt numere. De aici concluzia că cel mai mare număr din lume este nouă. 9 este un semn, iar un număr este o simplă abstractizare cantitativă. Un trilion este un număr, și nu un număr și, prin urmare, nu poate fi cel mai mare număr din lume. Un trilion poate fi numit cel mai mare număr din lume și apoi pur nominal, deoarece numerele pot fi numărate până la infinit. Numărul de cifre este strict limitat - de la 0 la 9.

De asemenea, trebuie amintit că numerele și numerele diferitelor sisteme de calcul nu se potrivesc, așa cum am văzut din exemplele cu numere și cifre arabe și romane. Acest lucru se datorează faptului că numerele și numerele sunt concepte simple pe care o persoană le inventează însuși. Prin urmare, numărul unui sistem de calcul poate fi cu ușurință numărul altuia și invers.

Astfel, cel mai mare număr este de nenumărat, deoarece poate fi continuat să fie adăugat la infinit din cifre. În ceea ce privește numerele în sine, în sistemul general acceptat, 9 este considerat cel mai mare număr.

John Sommer

Puneți zerouri după orice număr sau înmulțiți cu zecile ridicate la o putere arbitrar mare. Nu va părea mult. O să pară multe. Dar înregistrările goale, până la urmă, nu sunt prea impresionante. Numărul de zerouri din științe umaniste provoacă nu atât o surpriză, cât un căscat ușor. În orice caz, oricărui număr cel mai mare din lume pe care ți-l poți imagina, poți oricând să adaugi încă unul... Și numărul va ieși și mai mult.

Și totuși, există cuvinte în rusă sau în altă limbă pentru a desemna numere foarte mari? Cele care sunt mai mult de un milion, miliard, trilioane, miliarde? Și, în general, un miliard este cât?

Se pare că există două sisteme de denumire a numerelor. Dar nu arabă, egipteană sau orice altă civilizație antică, ci americană și engleză.

În sistemul american numerele se numesc astfel: numeralul latin se ia + - milion (sufix). Astfel, se obțin numerele:

Trilioane - 1.000.000.000.000 (12 zerouri)

Cadrilion - 1.000.000.000.000.000 (15 zerouri)

Quintillion - 1 și 18 zerouri

Sextilion - 1 și 21 zero

Septillion - 1 și 24 zero

octillion - 1 urmat de 27 de zerouri

Nonillion - 1 și 30 de zerouri

Deciliul - 1 și 33 zero

Formula este simplă: 3 x + 3 (x este un număr latin)

În teorie, ar trebui să existe și numere anilion (unus în latină - unu) și duolion (duo - doi), dar, după părerea mea, astfel de nume nu sunt folosite deloc.

Sistem de denumire engleză mai răspândită.

Și aici se ia numeralul latin și i se adaugă sufixul -milion. Cu toate acestea, numele următorului număr, care este de 1.000 de ori mai mare decât cel precedent, este format folosind același număr latin și sufixul - miliard. Vreau să spun:

Trilion - 1 și 21 zero (în sistemul american - sextilion!)

Trilion - 1 și 24 de zerouri (în sistemul american - septillion)

Cadrilion - 1 și 27 de zerouri

Padrubiliar - 1 urmat de 30 de zerouri

Quintillion - 1 și 33 zero

Quinilliard - 1 urmat de 36 de zerouri

Sextilion - 1 urmat de 39 de zerouri

Sextilion - 1 și 42 zero

Formulele de numărare a numărului de zerouri sunt:

Pentru numerele care se termină în - ilion - 6 x+3

Pentru numerele care se termină în - miliard - 6 x+6

După cum puteți vedea, confuzia este posibilă. Dar să nu ne fie frică!

În Rusia, a fost adoptat sistemul american de denumire a numerelor. Din sistemul englez, am împrumutat numele numărului „miliard” - 1.000.000.000 \u003d 10 9

Și unde este miliardul „prețuit”? - De ce, un miliard este un miliard! Stil american. Și deși folosim sistemul american, am luat „miliardul” din cel englez.

Folosind numele latine ale numerelor și sistemul american, să numim numerele:

- vigintilion- 1 și 63 de zerouri

- centilion- 1 și 303 zerouri

- Milion- unu și 3003 zerouri! Oh-hoo...

Dar asta, se pare, nu este totul. Există și numere în afara sistemului.

Și primul este probabil nenumărate- o sută de sute = 10.000

googol(în onoarea lui este numit celebrul motor de căutare) - unu și o sută de zerouri

Într-unul dintre tratatele budiste, un număr este numit asankhiya- unu și o sută patruzeci de zerouri!

Nume număr googolplex(ca Google) a fost inventat de matematicianul englez Edward Kasner și nepotul său în vârstă de nouă ani - unitatea c - dragă mamă! - zerouri googol!!!

Dar asta nu este tot...

Matematicianul Skewes a numit numărul Skewes după sine. Inseamna e in masura e in masura e la puterea lui 79, adică e e e 79

Și atunci a apărut o mare problemă. Vă puteți gândi la nume pentru numere. Dar cum să le notez? Numărul de grade de grade de grade este deja așa încât pur și simplu nu se potrivește pe pagină! :)

Și atunci unii matematicieni au început să scrie numere în figuri geometrice. Și prima, spun ei, o astfel de metodă de înregistrare a fost inventată de remarcabilul scriitor și gânditor Daniil Ivanovich Kharms.

Și totuși, care este CEL MAI MARE NUMĂR DIN LUME? - Se numește STASPLEX și este egal cu G 100,

unde G este numărul Graham, cel mai mare număr folosit vreodată în dovezile matematice.

Acest număr - stasplex - a fost inventat de o persoană minunată, compatriotul nostru Stas Kozlovsky, lui LJ caruia iti adresez :) - ctac

Răspunzând la o întrebare atât de dificilă, ce este, cel mai mare număr din lume, trebuie remarcat mai întâi că astăzi există 2 moduri acceptate de denumire a numerelor - engleză și americană. Conform sistemului englez, sufixele -miliard sau -milion sunt adăugate pe rând fiecărui număr mare, rezultând numerele milion, miliard, trilion, triliard și așa mai departe. Dacă pornim de la sistemul american, atunci în conformitate cu acesta, este necesar să adăugați sufixul -milion la fiecare număr mare, în urma căruia se formează numerele trilion, cvadrilion și mari. De asemenea, trebuie remarcat aici că sistemul numeric englezesc este mai comun în lumea modernă, iar numerele disponibile în el sunt destul de suficiente pentru funcționarea normală a tuturor sistemelor lumii noastre.

Desigur, răspunsul la întrebarea despre cel mai mare număr din punct de vedere logic nu poate fi lipsit de ambiguitate, deoarece trebuie doar să adăugați câte unul la fiecare cifră ulterioară, apoi se obține un nou număr mai mare, prin urmare, acest proces nu are limită. Cu toate acestea, în mod ciudat, cel mai mare număr din lume există încă și este trecut în Cartea Recordurilor Guinness.

Numărul lui Graham este cel mai mare număr din lume

Acest număr este recunoscut în lume drept cel mai mare din Cartea Recordurilor, în timp ce este foarte greu de explicat ce este și cât de mare este. În sens general, acestea sunt triplete înmulțite între ele, rezultând un număr cu 64 de ordine de mărime mai mare decât punctul de înțelegere al fiecărei persoane. Ca rezultat, putem da doar ultimele 50 de cifre ale numărului Graham 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

Numărul de golol

Istoria acestui număr nu este la fel de complicată ca cea de mai sus. Așa că un matematician din America, Edward Kasner, vorbind cu nepoții săi despre numerele mari, nu a putut răspunde la întrebarea cum să denumească numerele care au 100 de zerouri sau mai mult. Un nepot plin de resurse a oferit astfel de numere numele său - googol. Trebuie remarcat faptul că acest număr nu are o semnificație practică prea mare, totuși, uneori este folosit în matematică pentru a exprima infinitul.

Googleplex

Acest număr a fost inventat și de matematicianul Edward Kasner și nepotul său Milton Sirotta. Într-un sens general, este un număr la a zecea putere a unui googol. Răspunzând la întrebarea multor naturi curios, câte zerouri sunt în googleplex, este de remarcat faptul că în versiunea clasică acest număr nu este posibil de reprezentat, chiar dacă toată hârtia de pe planetă este acoperită cu zerouri clasice.

Număr înclinat

Un alt candidat pentru titlul celui mai mare număr este numărul Skewes, dovedit de John Littwood în 1914. Conform dovezilor date, acest număr este de aproximativ 8.185 10370.

numărul Moser

Această metodă de a numi numere foarte mari a fost inventată de Hugo Steinhaus, care a sugerat ca acestea să fie notate prin poligoane. În urma a trei operații matematice efectuate, numărul 2 se naște într-un megagon (un poligon cu mega laturi).

După cum puteți vedea deja, un număr mare de matematicieni au făcut eforturi pentru a-l găsi - cel mai mare număr din lume. Cât de reușite au fost aceste încercări, desigur, nu este de competența noastră să judecăm, cu toate acestea, trebuie remarcat că aplicabilitatea reală a unor astfel de numere este îndoielnică, deoarece ele nici măcar nu sunt susceptibile de înțelegerea umană. În plus, va exista întotdeauna un număr care va fi mai mare dacă efectuați o operație matematică foarte ușoară +1.

În numele numerelor arabe, fiecare cifră aparține categoriei sale, iar fiecare trei cifre formează o clasă. Astfel, ultima cifră dintr-un număr indică numărul de unități din acesta și se numește, în consecință, locul unităților. Următoarea cifră, a doua de la sfârșit, indică zeci (cifra zecilor), iar a treia cifră de la sfârșit indică numărul de sute din număr - cifra sutelor. Mai mult, cifrele sunt repetate exact în același mod în fiecare clasă, indicând unități, zeci și sute în clasele de mii, milioane și așa mai departe. Dacă numărul este mic și nu conține o cifră de zeci sau sute, se obișnuiește să le luăm ca zero. Clasele grupează numerele în numere de trei, adesea în dispozitivele de calcul sau înregistrează o perioadă sau un spațiu este plasat între clase pentru a le separa vizual. Acest lucru se face pentru a facilita citirea numerelor mari. Fiecare clasă are propriul nume: primele trei cifre sunt clasa unităților, urmate de clasa miilor, apoi milioane, miliarde (sau miliarde) și așa mai departe.

Deoarece folosim sistemul zecimal, unitatea de bază a mărimii este zece, sau 10 1 . În consecință, odată cu creșterea numărului de cifre dintr-un număr, crește și numărul zecilor de 10 2, 10 3, 10 4 etc. Cunoscând numărul de zeci, puteți determina cu ușurință clasa și categoria numărului, de exemplu, 10 16 este zeci de cvadrilioane, iar 3 × 10 16 este trei zeci de cvadrilioane. Descompunerea numerelor în componente zecimale are loc după cum urmează - fiecare cifră este afișată într-un termen separat, înmulțit cu coeficientul necesar 10 n, unde n este poziția cifrei în numărătoarea de la stânga la dreapta.
De exemplu: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1

De asemenea, puterea lui 10 este folosită și la scrierea zecimalelor: 10 (-1) este 0,1 sau o zecime. În mod similar cu paragraful anterior, un număr zecimal poate fi, de asemenea, descompus, caz în care n va indica poziția cifrei din virgulă de la dreapta la stânga, de exemplu: 0,347629= 3x10 (-1) +4x10 (-2) +7x10 (-3) +6x10 (-4) +2x10 (-5) +9x10 (-6) )

Numele numerelor zecimale. Numerele zecimale sunt citite de ultima cifră după virgulă, de exemplu 0,325 - trei sute douăzeci și cinci de miimi, unde miimile sunt cifra ultimei cifre 5.

Tabel cu nume de numere mari, cifre și clase

unitate de clasa I Prima cifră de unitate
locul 2 zece
Sute de rangul 3
1 = 10 0
10 = 10 1
100 = 10 2
clasa a II-a mie Unitățile de mii din prima cifră
A doua cifră zeci de mii
Locul 3 sute de mii
1 000 = 10 3
10 000 = 10 4
100 000 = 10 5
milioane de clasa a 3-a Unități de prima cifră milioane
A doua cifră zeci de milioane
A treia cifră sute de milioane
1 000 000 = 10 6
10 000 000 = 10 7
100 000 000 = 10 8
miliarde de clasa a 4-a Unități de prima cifră miliarde
A doua cifră zeci de miliarde
A treia cifră sute de miliarde
1 000 000 000 = 10 9
10 000 000 000 = 10 10
100 000 000 000 = 10 11
Trilioane clasa a 5-a Prima cifră trilion de unități
A doua cifră zeci de trilioane
A treia cifră o sută de trilioane
1 000 000 000 000 = 10 12
10 000 000 000 000 = 10 13
100 000 000 000 000 = 10 14
cvadrilioane clasa a VI-a Unități de cvadrilion de prima cifră
A doua cifră zeci de cvadrilioane
A treia cifră zeci de cvadrilioane
1 000 000 000 000 000 = 10 15
10 000 000 000 000 000 = 10 16
100 000 000 000 000 000 = 10 17
chintilioane clasa a VII-a Unități de prima cifră de chintilioane
A doua cifră zeci de chintilioane
Locul 3 o sută de chintilioane
1 000 000 000 000 000 000 = 10 18
10 000 000 000 000 000 000 = 10 19
100 000 000 000 000 000 000 = 10 20
sextilioane de clasa a VIII-a Unități de sextilioane cu prima cifră
A doua cifră zeci de sextilioane
Locul 3 sute de sextilioane
1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21
10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22
1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23
septillion clasa a IX-a Unitățile de prima cifră ale septillionului
A doua cifră zeci de septilioane
Locul 3 o sută de septilioane
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24
10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25
100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26
octillion clasa a 10-a Octillion de unități de prima cifră
A doua cifră zece octilioane
Locul 3 o sută de octillioane
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29

În clasa a patra, m-a interesat întrebarea: „Cum se numesc numerele de peste un miliard? Și de ce?”. De atunci, am căutat de multă vreme toate informațiile despre această problemă și le-am adunat puțin câte puțin. Dar odată cu apariția accesului la Internet, căutarea s-a accelerat semnificativ. Acum vă prezint toate informațiile pe care le-am găsit pentru ca și alții să răspundă la întrebarea: „Care se numesc numerele mari și foarte mari?”.

Un pic de istorie

Popoarele slave din sud și est au folosit numerotarea alfabetică pentru a înregistra numerele. Mai mult, printre ruși, nu toate literele au jucat rolul numerelor, ci doar cele care sunt în alfabetul grecesc. Deasupra literei, care indică un număr, a fost plasată o pictogramă specială „titlo”. În același timp, valorile numerice ale literelor au crescut în aceeași ordine în care au urmat literele din alfabetul grecesc (ordinea literelor din alfabetul slav a fost oarecum diferită).

În Rusia, numerotarea slavă a supraviețuit până la sfârșitul secolului al XVII-lea. Sub Petru I a predominat așa-numita „numerotare arabă”, pe care o folosim și astăzi.

Au fost și modificări ale numelor numerelor. De exemplu, până în secolul al XV-lea, numărul „douăzeci” era desemnat ca „două zece” (două zeci), dar apoi a fost redus pentru o pronunție mai rapidă. Până în secolul al XV-lea, numărul „patruzeci” era notat cu cuvântul „patruzeci”, iar în secolele XV-XVI acest cuvânt a fost înlocuit cu cuvântul „patruzeci”, care însemna inițial o pungă în care erau 40 de piei de veveriță sau de samur. plasat. Există două opțiuni despre originea cuvântului „mii”: de la vechiul nume „o sută de grăsime” sau de la o modificare a cuvântului latin centum - „o sută”.

Numele „milion” a apărut pentru prima dată în Italia în 1500 și s-a format prin adăugarea unui sufix augmentativ la numărul „mile” - o mie (adică înseamnă „mii mari”), a pătruns mai târziu în limba rusă, iar înainte de aceasta, același sens în rusă a fost notat cu numărul „leodr”. Cuvântul „miliard” a intrat în uz abia din timpul războiului franco-prusac (1871), când francezii au fost nevoiți să plătească Germaniei o indemnizație de 5.000.000.000 de franci. La fel ca „milion”, cuvântul „miliard” provine de la rădăcina „mii” cu adăugarea unui sufix de mărire italian. În Germania și America, de ceva vreme, cuvântul „miliard” a însemnat numărul 100.000.000; asta explică de ce cuvântul miliardar a fost folosit în America înainte ca oricare dintre bogați să aibă 1.000.000.000 de dolari. În vechea „Aritmetică” (secolul XVIII) a lui Magnitsky, există un tabel cu nume de numere, aduse la „cadrilion” (10 ^ 24, conform sistemului prin 6 cifre). Perelman Ya.I. în cartea „Entertaining Arithmetic” sunt date denumirile unor numere mari din acea vreme, oarecum diferite de azi: septillion (10 ^ 42), octalion (10 ^ 48), nonalion (10 ^ 54), decalion (10 ^ 60) , endecalion (10 ^ 66), dodecalion (10 ^ 72) și este scris că „nu există alte nume”.

Principiile denumirii și lista numerelor mari
Toate denumirile numerelor mari sunt construite într-un mod destul de simplu: la început există un număr ordinal latin, iar la sfârșit i se adaugă sufixul -milion. Excepție este numele „milion” care este numele numărului mie (mile) și sufixul de mărire -milion. Există două tipuri principale de nume pentru numere mari în lume:
Sistem 3x+3 (unde x este un număr ordinal latin) - acest sistem este utilizat în Rusia, Franța, SUA, Canada, Italia, Turcia, Brazilia, Grecia
și sistemul 6x (unde x este un număr ordinal latin) - acest sistem este cel mai comun din lume (de exemplu: Spania, Germania, Ungaria, Portugalia, Polonia, Cehia, Suedia, Danemarca, Finlanda). În ea, intermediarul lipsă 6x + 3 se termină cu sufixul -miliard (din el am împrumutat un miliard, care se mai numește și miliard).

Lista generală a numerelor utilizate în Rusia este prezentată mai jos:

Număr Nume numeral latin lupă SI SI prefix diminutiv Valoare practică
10 1 zece deca- decide- Număr de degete pe 2 mâini
10 2 sută hecto- centi- Aproximativ jumătate din numărul tuturor statelor de pe Pământ
10 3 o mie kilogram- mili- Număr aproximativ de zile în 3 ani
10 6 milion unus (eu) mega- micro- De 5 ori numărul de picături într-o găleată de apă de 10 litri
10 9 miliard (miliard) duo(II) giga- nano Populația aproximativă a Indiei
10 12 trilion trei (III) tera- pico- 1/13 din produsul intern brut al Rusiei în ruble pentru 2003
10 15 cvadrilion Quattor(IV) peta- femto- 1/30 din lungimea unui parsec în metri
10 18 chintilion quinque (V) exa- la- 1/18 din numărul de boabe de la legendarul premiu al inventatorului șahului
10 21 sextilion sex (VI) zetta- zepto- 1/6 din masa planetei Pământ în tone
10 24 septilion septem (VII) yotta- yocto- Numărul de molecule în 37,2 litri de aer
10 27 octillion oct (VIII) Nu- sită- Jumătate din masa lui Jupiter în kilograme
10 30 chintilion noiembrie (IX) Divizia Narcotice- tredo- 1/5 din toate microorganismele de pe planetă
10 33 decilion decem(X) una- revo- Jumătate din masa Soarelui în grame

Pronunția numerelor care urmează este adesea diferită.
Număr Nume numeral latin Valoare practică
10 36 andecilion undecim (XI)
10 39 duodecilion duodecim(XII)
10 42 tredecilion tredecim(XIII) 1/100 din numărul de molecule de aer de pe Pământ
10 45 quattordecillion quattuordecim (XIV)
10 48 quindecilion quindecim (XV)
10 51 sexdecilion sedecim (XVI)
10 54 septemdecilion septendecim (XVII)
10 57 octodecilion Atâtea particule elementare în soare
10 60 novemdecillion
10 63 vigintillion viginti (XX)
10 66 anvigintilion unus et viginti (XXI)
10 69 duovigintilion duo et viginti (XXII)
10 72 trevigintillion tres et viginti (XXIII)
10 75 quattorvigintillion
10 78 quinvigintilion
10 81 sexvigintillion Atâtea particule elementare în univers
10 84 septemvigintillion
10 87 octovigintilion
10 90 novemvigintillion
10 93 trigintilion triginta (XXX)
10 96 antirigintilion
    ...
  • 10 100 - googol (numărul a fost inventat de nepotul de 9 ani al matematicianului american Edward Kasner)


  • 10 123 - quadragintillion (quadragaginta, XL)

  • 10 153 - quinquagintillion (quinquaginta, L)

  • 10 183 - sexagintillion (sexaginta, LX)

  • 10 213 - septuagintillion (septuaginta, LXX)

  • 10 243 - octogintillion (octoginta, LXXX)

  • 10 273 - nonagintillion (nonaginta, XC)

  • 10 303 - centilion (Centum, C)

Alte nume pot fi obținute fie prin ordinea directă, fie inversă a numerelor latine (nu se știe cum să se facă corect):

  • 10 306 - ancentillion sau centunillion

  • 10 309 - duocentillion sau centduollion

  • 10 312 - trecentilion sau centtrilion

  • 10 315 - quattorcentillion sau centquadriillon

  • 10 402 - tretrigintacentillion sau centtretrigintillion

Cred că a doua ortografie va fi cea mai corectă, deoarece este mai în concordanță cu construcția numerelor în limba latină și evită ambiguitățile (de exemplu, în numărul trecentillion, care în prima ortografie este atât 10903, cât și 10312).
Următoarele numere:
Câteva referințe literare:

  1. Perelman Ya.I. „Aritmetică distractivă”. - M.: Triada-Litera, 1994, p. 134-140

  2. Vygodsky M.Ya. „Manual de matematică elementară”. - Sankt Petersburg, 1994, p. 64-65

  3. „Enciclopedia Cunoașterii”. - comp. IN SI. Korotkevici. - Sankt Petersburg: Bufniță, 2006, p. 257

  4. „Distracție despre fizică și matematică.” - Biblioteca Kvant. problema 50. - M.: Nauka, 1988, p. 50