Ca parte a acestui material, vom atinge un subiect atât de important precum adăugarea numerelor negative. În primul paragraf, vom descrie regula de bază pentru această acțiune, iar în al doilea, vom analiza exemple concrete de rezolvare a unor astfel de probleme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Regula de bază pentru adunarea numerelor naturale
Înainte de a deriva regula, să ne amintim ceea ce știm în general despre numerele pozitive și negative. Mai devreme am convenit că numerele negative ar trebui percepute ca o datorie, o pierdere. Modulul unui număr negativ exprimă mărimea exactă a acestei pierderi. Apoi, adăugarea numerelor negative poate fi considerată ca adunarea a două pierderi.
Folosind acest raționament, formulăm regula de bază pentru adunarea numerelor negative.
Definiția 1
Pentru a îndeplini adunarea numerelor negative, trebuie să adăugați valorile modulelor lor și să puneți un minus în fața rezultatului. În formă literală, formula arată ca (− a) + (− b) = − (a + b) .
Pe baza acestei reguli, putem concluziona că adunarea numerelor negative este asemănătoare cu adunarea celor pozitive, doar că în final trebuie să obținem cu siguranță un număr negativ, deoarece trebuie să punem semnul minus în fața sumei modulelor.
Ce dovezi pot fi date pentru această regulă? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim proprietățile de bază ale operațiilor cu numere reale (fie cu numere întregi, fie cu numere raționale - sunt aceleași pentru toate aceste tipuri de numere). Pentru a o demonstra, trebuie doar să demonstrăm că diferența dintre părțile stânga și dreaptă ale ecuației (− a) + (− b) = − (a + b) va fi egală cu 0 .
Scăderea unui număr dintr-altul este la fel cu adăugarea aceluiași număr opus. Prin urmare, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Reamintim că expresiile numerice cu adunare au două proprietăți principale - asociativă și comutativă. Atunci putem concluziona că (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Deoarece, adunând numere opuse, obținem întotdeauna 0, atunci (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0 și 0 + 0 \u003d 0. Egalitatea noastră poate fi considerată dovedită, ceea ce înseamnă că regula de adunare a numerelor negative am demonstrat-o si noi.
În al doilea paragraf, vom lua probleme specifice în care trebuie să adăugați numere negative și vom încerca să aplicați regula învățată în ele.
Exemplul 1
Aflați suma a două numere negative - 304 și - 18007.
Decizie
Să facem pașii pas cu pas. Mai întâi trebuie să găsim modulele numerelor de adăugat: - 304 = 304 , - 180007 = 180007 . În continuare, trebuie să efectuăm acțiunea de adăugare, pentru care folosim metoda de numărare a coloanelor:
Tot ce ne rămâne este să punem un minus în fața rezultatului și să obținem - 18 311 .
Răspuns: - - 18 311 .
Depinde ce numere avem, la ce putem reduce acțiunea adunării: la găsirea sumei numerelor naturale, la adunarea fracțiilor ordinare sau zecimale. Să analizăm problema cu astfel de numere.
Exemplul N
Aflați suma a două numere negative - 2 5 și − 4 , (12) .
Decizie
Găsim modulele numerelor dorite și obținem 2 5 și 4 , (12) . Avem două fracții diferite. Să reducem problema la adunarea a două fracții ordinare, pentru care reprezentăm fracția periodică sub forma unui ordinar:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Ca rezultat, am obținut o fracție care va fi ușor de adăugat la primul termen original (dacă ați uitat cum să adăugați corect fracții cu diferiți numitori, repetați materialul corespunzător).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Drept urmare, am obținut un număr mixt, în fața căruia trebuie doar să punem un minus. Aceasta completează calculele.
Răspuns: - 4 86 105 .
Numerele negative reale se adună în același mod. Rezultatul unei astfel de acțiuni este de obicei scris ca o expresie numerică. Valoarea sa nu poate fi calculată sau limitată la calcule aproximative. Deci, de exemplu, dacă trebuie să găsim suma - 3 + (− 5) , atunci scriem răspunsul ca - 3 − 5 . Am dedicat un material separat adunării numerelor reale, în care puteți găsi alte exemple.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Regula de adunare negativă
Dacă vă amintiți lecția de matematică și subiectul „Adunarea și scăderea numerelor cu semne diferite”, atunci pentru a adăuga două numere negative aveți nevoie:
- efectuează adăugarea modulelor lor;
- adăugați semnul „-” la suma primită.
Conform regulii de adunare, putem scrie:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Regula adunării negative se aplică numerelor întregi negative, numerelor raționale și numerelor reale.
Exemplul 1
Adăugați numere negative $−185$ și $−23 \ 789.$
Decizie.
Să folosim regula adunării numerelor negative.
Să găsim modulele acestor numere:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Să adăugăm numerele rezultate:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Punem semnul $"–"$ în fața numărului găsit și obținem $−23 \ 974$.
Rezolvare scurtă: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Răspuns: $−23 \ 974$.
Când se adună numere raționale negative, acestea trebuie convertite în numere naturale, fracții ordinare sau zecimale.
Exemplul 2
Adăugați numerele negative $-\frac(1)(4)$ și $−7,15$.
Decizie.
Conform regulii de adunare a numerelor negative, mai întâi trebuie să găsiți suma modulelor:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
Este convenabil să reduceți valorile obținute la fracții zecimale și să efectuați adunarea lor:
$\frac(1)(4)=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Să punem semnul $"-"$ în fața valorii primite și să obținem -7,4$.
Rezumatul soluției:
$(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, 4$.
Pentru a adăuga numere pozitive și negative:
- calcula module de numere;
- dacă sunt egale, atunci numerele originale sunt opuse și suma lor este egală cu zero;
- dacă nu sunt egale, atunci trebuie să vă amintiți semnul numărului al cărui modul este mai mare;
scade pe cel mai mic din cel mai mare;
- înaintea valorii primite se pune semnul numărului al cărui modul este mai mare.
compara numerele primite:
Adunarea numerelor cu semne opuse se reduce la scăderea unui număr negativ mai mic dintr-un număr pozitiv mai mare.
Regula adunării numerelor cu semne opuse se aplică pentru numere întregi, raționale și reale.
Exemplul 3
Adăugați numerele $4$ și $−8$.
Decizie.
Trebuie să adăugați numere cu semne opuse. Să folosim regula de adăugare adecvată.
Să găsim modulele acestor numere:
Modulul numărului $−8$ este mai mare decât modulul numărului $4$, adică. amintiți-vă semnul $"-"$.
Punem semnul $"–"$, pe care l-am memorat, în fața numărului rezultat și obținem $−4.$
Rezumatul soluției:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Răspuns: $4+(−8)=−4$.
Pentru a adăuga numere raționale cu semne opuse, este convenabil să le reprezentați ca fracții ordinare sau zecimale.
Scăderea numerelor cu semne diferite și negative
Regula pentru scăderea numerelor negative:
Pentru a scădea un număr negativ $b$ din numărul $a$, este necesar să adăugați la minuend $a$ numărul $−b$, care este opusul $b$ scăzut.
După regula scăderii, putem scrie:
$a−b=a+(−b)$.
Această regulă este valabilă pentru numere întregi, raționale și reale. Regula poate fi folosită atunci când scădeți un număr negativ dintr-un număr pozitiv, dintr-un număr negativ și din zero.
Exemplul 4
Scădeți din numărul negativ $−28$ numărul negativ $−5$.
Decizie.
Numărul opus pentru numărul $–5$ este numărul $5$.
Conform regulii de scădere a numerelor negative, obținem:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Să adunăm numere cu semne opuse:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Răspuns: $(−28)−(−5)=−23$.
Când scădeți numere fracționale negative, trebuie să convertiți numerele în forma de fracții obișnuite, numere mixte sau fracții zecimale.
Adunarea și scăderea numerelor cu semne diferite
Regula pentru scăderea numerelor cu semne opuse este aceeași cu regula pentru scăderea numerelor negative.
Exemplul 5
Scădeți numărul pozitiv $7$ din numărul negativ $−11$.
Decizie.
Numărul opus pentru numărul $7$ este numărul $–7$.
Conform regulii de scădere a numerelor cu semne opuse, obținem:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Să adăugăm numere negative:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Rezolvare scurtă: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Răspuns: $(−11)−7=−18$.
Când scădeți numere fracționale cu semne diferite, este necesar să convertiți numerele în forma de fracții ordinare sau zecimale.
Dezvoltarea abilităților de calcul este un obiectiv major urmărit de programele de matematică din clasele 1-6. Cât de repede și corect învață copilul să efectueze operații aritmetice va depinde de viteza operațiilor sale logice (semantice) din clasele superioare și de nivelul de înțelegere a subiectului în ansamblu. Nu este neobișnuit ca un profesor de matematică să întâmpine probleme de calcul ale elevilor care îi împiedică să obțină scoruri mari.
Ce fel de studenți nu trebuie să lucreze cu un tutore. Părinții au nevoie de pregătire pentru examenul de matematică, iar copilul lor nu poate înțelege fracțiile obișnuite sau se confundă cu numere negative. Ce măsuri ar trebui să întreprindă profesorul de matematică în astfel de cazuri? Cum să ajuți un student? Profesorul nu are timp pentru un studiu pe îndelete și consecvent al regulilor, așa că metodele tradiționale trebuie adesea înlocuite cu niște „semifabricate-acceleratoare”, ca să spunem așa. În acest articol, voi descrie una dintre modalitățile posibile de a dezvolta abilitatea de a efectua acțiuni cu numere negative, și anume, scăderea acestora.
Să presupunem că un profesor de matematică are plăcerea de a lucra cu un elev foarte slab ale cărui cunoștințe nu se extind dincolo de cele mai simple calcule cu numere pozitive. Să presupunem, de asemenea, că tutorele a reușit să explice legile adunării și să se apropie de regula a-b=a+(-b). Ce puncte ar trebui să țină cont un profesor de matematică?
Reducerea scăderii la adunare nu este o conversie simplă și evidentă. Manualele oferă formulări matematice stricte și precise: „Pentru a scădea numărul „b” din numărul „a”, trebuie să adăugați numărul opus „b” la numărul „a”. În mod oficial, nu puteți găsi greșeli în text, dar de îndată ce acesta începe să fie folosit de un profesor de matematică ca instrucțiune pentru efectuarea unor calcule specifice, apar probleme. O singură frază merită ceva: „Pentru a scădea, trebuie să adaugi”. Fără un comentariu clar din partea tutorelui, elevul nu va înțelege. De fapt, ce să faceți: scădeți sau adăugați?
Dacă lucrați cu regula conform intenției autorilor manualului, atunci, pe lângă elaborarea conceptului de „număr opus”, trebuie să-l învățați pe elev să coreleze denumirile „a” și „b” cu real. numerele din exemplu. Și asta va dura timp. Avand in vedere si faptul ca elevul gandeste si scrie in acelasi timp, sarcina tutorelui de matematica devine si mai complicata. Un elev slab nu are o memorie vizuală, semantică și motorie bună și, prin urmare, este mai bine să oferiți un text alternativ al regulii:
Pentru a scădea al doilea din primul număr,
A) Rescrie primul număr
B) pune un plus
B) Schimbați semnul celui de-al doilea număr la opus
D) Adaugă numerele rezultate
Aici, etapele algoritmului sunt clar separate prin puncte și nu sunt legate de denumiri de litere.
În cursul rezolvării unei sarcini practice pentru traduceri, profesorul de matematică recitește acest text elevului de mai multe ori (pentru memorare). Vă sfătuiesc să o notați într-un caiet teoretic. Numai după ce ați stabilit regula de tranziție la adunare, puteți scrie forma generală a-b=a+(-b)
Mișcarea semnelor minus și plus în capul unui copil (atât un adult mic, cât și un adult slab) amintește oarecum de Brownian. Un profesor de matematică trebuie să pună lucrurile în ordine în acest haos cât mai repede posibil. În procesul de rezolvare a exemplelor, se folosesc indicații de referință (verbale și vizuale), care, în combinație cu aspectul precis și detaliat, își fac treaba. Trebuie amintit că fiecare cuvânt rostit de un profesor de matematică în momentul rezolvării oricărei probleme are fie un indiciu, fie o piedică. Fiecare frază este analizată de copil pentru a stabili o legătură cu unul sau altul obiect (fenomen) matematic și imaginea acestuia pe hârtie.
O problemă tipică a școlarilor slabi este separarea semnului unei acțiuni de semnul numărului implicat în aceasta. Aceeași imagine vizuală face dificilă recunoașterea „a” redusă și „b” scăzut în diferența a-b. Când, în procesul de explicare, un profesor de matematică citește o expresie, trebuie să vă asigurați că cuvântul „scădere” este folosit în loc de „-”. Este necesar! De exemplu, intrarea ar trebui citită astfel: „De la minus cinci scădea minus trei. Nu trebuie să uităm de regula traducerii în adaos: „Deci din numărul“ a ” scădea numărul „b” este necesar...”.
Dacă un tutore de matematică zboară în mod constant de pe limbă „minus 5 minus minus 3”, atunci este clar că elevului îi va fi mai dificil să-și imagineze structura exemplului. O corespondență unu-la-unu între un cuvânt și o operație aritmetică ajută un profesor de matematică să transmită cu precizie informații.
Cum poate un tutore să explice trecerea la adăugare?
Desigur, se poate face referire la definiția „scăderii” și se caută numărul care trebuie adăugat la „b” pentru a obține „a”. Cu toate acestea, un elev slab se gândește departe de matematică strictă, iar tutorele va avea nevoie de unele analogii cu acțiuni simple atunci când lucrează cu el. Le spun adesea elevilor mei de clasa a șasea: „Nu există o operație aritmetică în matematică precum „diferența”. Scrierea 5 - 3 este o notație simplă pentru rezultatul adunării 5 + (-3). Semnul plus este pur și simplu omis și nu este scris.
Copiii sunt surprinși de cuvintele tutorelui și își amintesc involuntar că nu puteți scădea numerele direct. Profesorul de matematică declară termeni 5 și -3, iar pentru o mai mare motivare a cuvintelor sale, compară rezultatele acțiunilor 5-3 și 5+(-3). După aceea, se scrie identitatea a-b=a+(-b).
Oricare ar fi studentul și indiferent de cât timp i se acordă profesorului de matematică pentru cursuri cu el, trebuie să dezvolți la timp conceptul de „număr opus”. Înregistrarea „-x” merită o atenție specială din partea unui profesor de matematică. Un elev de clasa a VI-a trebuie să învețe că nu afișează un număr negativ, ci opusul lui x.
Este necesar să ne oprim separat asupra calculelor cu două semne minus situate unul lângă altul. Există o problemă de înțelegere a funcționării îndepărtării lor simultane. Este necesar să parcurgem cu atenție toate punctele algoritmului declarat pentru trecerea la adunare. Va fi mai bine dacă, atunci când lucrează cu diferența -5- (-3), înainte de orice comentarii, profesorul de matematică va evidenția într-un cadru numerele -5 și -3 sau le va sublinia. Acest lucru îl va ajuta pe elev să identifice componentele acțiunii.
Accentul profesorului de matematică pe memorare
Memorarea sigură este rezultatul aplicării practice a regulilor matematice, de aceea este important ca tutorele să asigure o bună densitate a exemplelor rezolvate independent. Pentru a îmbunătăți stabilitatea memorării, puteți solicita ajutor indicii vizuale - jetoane. De exemplu, o modalitate interesantă de a traduce scăderea unui număr negativ în adunare. 
Profesorul de matematică conectează două minusuri cu o singură linie (așa cum se arată în figură), iar privirea elevului deschide semnul plus (la intersecția cu paranteza).
Pentru a preveni distragerea atenției, recomand ca profesorii de matematică să evidențieze minuend și subtraend cu căsuțe. 
Dacă un profesor de matematică folosește casete sau cercuri pentru a evidenția componentele unei operații aritmetice, atunci elevul va învăța mai ușor și mai rapid să vadă structura exemplului și să o coreleze cu regula corespunzătoare. Nu trebuie să plasați bucăți din întregul obiect atunci când luați decizii pe diferite rânduri ale unei foi de caiet și, de asemenea, să începeți să adăugați până când este notat. Toate acțiunile și tranzițiile sunt afișate fără greșeală (cel puțin la începutul studierii subiectului).
Unii profesori de matematică se străduiesc pentru fundamentarea 100% corectă a regulilor de traducere, considerând această strategie singura corectă și utilă pentru formarea abilităților de calcul. Cu toate acestea, practica arată că această cale nu aduce întotdeauna dividende bune. Nevoia de conștientizare a ceea ce face o persoană apare cel mai adesea după memorarea pașilor algoritmului aplicat și fixarea practică a operațiilor de calcul.
Este extrem de important să se elaboreze tranziția la sumă într-o expresie numerică lungă cu mai multe scăderi, de exemplu. Înainte de a continua cu numărarea sau conversia, îl pun pe elev să încercuiască numerele împreună cu semnele lor în stânga. Figura arată un exemplu despre modul în care un profesor de matematică selectează termenii. Pentru elevii de clasa a șasea foarte slabi, puteți nuanța cercurile. Utilizați o culoare pentru termenii pozitivi și o altă culoare pentru termenii negativi. În cazuri speciale, iau foarfecele în mâini și tai expresia în bucăți. Ele pot fi rearanjate în mod arbitrar, imitând astfel o permutare a termenilor. Copilul va vedea că semnele se mișcă împreună cu termenii înșiși. Adică, dacă semnul minus a fost în stânga numărului 5, atunci oriunde am muta cardul corespunzător, acesta nu se va desprinde de cinci.
Kolpakov A.N. Profesor de matematică clasa 5-6. Moscova. Strogino.
Să începem cu un exemplu simplu. Să determinăm cu ce este egală expresia 2-5. De la punctul +2, să punem cinci diviziuni, două la zero și trei sub zero. Să ne oprim la punctul -3. Adică 2-5=-3. Acum observați că 2-5 nu este deloc egal cu 5-2. Dacă în cazul adunării numerelor ordinea lor nu contează, atunci în cazul scăderii, totul este diferit. Ordinea numerelor contează.
Acum să trecem la zona negativă cântare. Să presupunem că trebuie să adăugați +5 la -2. (De acum înainte, vom pune semnele „+” în fața numerelor pozitive și vom pune în paranteză atât numerele pozitive, cât și cele negative, astfel încât să nu confundăm semnele din fața numerelor cu semnele de adunare și scădere.) Acum problema noastră poate fi scrisă ca (-2)+ (+5). Pentru a o rezolva, de la punctul -2 vom urca cinci divizii si ne vom afla in punctul +3.
Are această sarcină vreun sens practic? Desigur că au. Să presupunem că ai 2 dolari în datorii și ai câștigat 5 dolari. Astfel, dupa ce vei rambursa datoria, iti vor ramane 3 dolari.
De asemenea, vă puteți deplasa în jos în zona negativă a scalei. Să presupunem că trebuie să scazi 5 din -2 sau (-2)-(+5). De la punctul -2 pe scară, să stabilim cinci diviziuni și să ne aflăm la punctul -7. Care este sensul practic al acestei sarcini? Să presupunem că ai avut datorii de 2 USD și a trebuit să împrumuți alți 5 USD. Acum datoria ta este de 7 USD.
Vedem că cu numere negative se poate proceda la fel operații de adunare și scădere, precum și cu cele pozitive.
Adevărat, nu am stăpânit încă toate operațiunile. Am adăugat doar numerelor negative și am scăzut doar cele pozitive din numerele negative. Dar ce să faceți dacă trebuie să adăugați numere negative sau să scădeți numerele negative din numerele negative?
În practică, acest lucru este similar cu gestionarea datoriilor. Să presupunem că ați fost taxat cu 5 USD în datorii, ceea ce înseamnă același lucru ca și cum ați primi 5 USD. Pe de altă parte, dacă te fac cumva să accepți responsabilitatea pentru datoria de 5 dolari a cuiva, este același lucru cu a-ți lua cei 5 dolari de la tine. Adică, scăderea -5 este la fel cu adăugarea +5. Și adăugarea -5 este la fel cu scăderea +5.
Acest lucru ne permite să scăpăm de operația de scădere. Într-adevăr, „5-2” este același cu (+5)-(+2) sau conform regulii noastre (+5)+(-2). În ambele cazuri, obținem același rezultat. De la punctul +5 de pe scară, trebuie să coborâm două divizii și obținem +3. În cazul lui 5-2, acest lucru este evident, deoarece scăderea este o mișcare în jos.
În cazul lui (+5)+(-2) acest lucru este mai puțin evident. Adăugăm un număr, ceea ce înseamnă deplasarea în sus, dar adăugăm un număr negativ, adică efectuăm acțiunea opusă, iar acești doi factori luați împreună înseamnă că trebuie să ne mișcăm nu în sus, ci în direcția opusă. , adică în jos.
Astfel, primim din nou răspunsul +3.
De ce este cu adevărat necesar înlocuiți scăderea cu adunarea? De ce să urcăm „în sens invers”? Nu este mai ușor să te miști în jos? Motivul este că în cazul adunării, ordinea termenilor nu contează, în timp ce în cazul scăderii, este foarte importantă.
Am aflat deja că (+5)-(+2) nu este deloc la fel cu (+2)-(+5). În primul caz, răspunsul este +3, iar în al doilea -3. Pe de altă parte, (-2)+(+5) și (+5)+(-2) au ca rezultat +3. Astfel, prin trecerea la adunarea și renunțarea la operațiile de scădere, putem evita erorile aleatorii asociate cu rearanjarea termenilor.
În mod similar, puteți acționa atunci când scădeți un negativ. (+5)-(-2) este același cu (+5)+(+2). În ambele cazuri, obținem răspunsul +7. Începem de la punctul +5 și ne deplasăm „în jos în direcția opusă”, adică în sus. În același mod, am acționa la rezolvarea expresiei (+5) + (+2).
Înlocuirea scăderii cu adunarea este utilizată în mod activ de către elevi atunci când încep să studieze algebra și, prin urmare, această operație se numește "adunare algebrică". De fapt, acest lucru nu este în întregime corect, deoarece o astfel de operație este evident aritmetică și deloc algebrică.
Aceste cunoștințe sunt neschimbate pentru toată lumea, așa că chiar dacă obțineți o educație în Austria prin www.salls.ru, deși studiul în străinătate este mai apreciat, puteți aplica în continuare aceste reguli acolo.
În acest articol vom vorbi despre adunarea numerelor negative. În primul rând, dăm o regulă pentru adunarea numerelor negative și o dovedim. După aceea, vom analiza exemple tipice de adăugare de numere negative.
Navigare în pagină.
Înainte de a da formularea regulii de adunare a numerelor negative, să ne întoarcem la materialul articolului numere pozitive și negative. Acolo am menționat că numerele negative pot fi percepute ca datorie, iar modulul numărului în acest caz determină valoarea acestei datorii. Prin urmare, adăugarea a două numere negative este adunarea a două datorii.
Această concluzie face posibilă înțelegerea regula de adunare negativă. Pentru a adăuga două numere negative, aveți nevoie de:
- stivuiți modulele lor;
- pune semnul minus în fața sumei primite.
Să scriem regula pentru adunarea numerelor negative −a și −b în formă literală: (−a)+(−b)=−(a+b) .
Este clar că regula vocală reduce adunarea numerelor negative la adunarea numerelor pozitive (modulul unui număr negativ este un număr pozitiv). De asemenea, este clar că rezultatul adunării a două numere negative este un număr negativ, așa cum demonstrează semnul minus care este plasat în fața sumei modulelor.
Regula de adunare a numerelor negative poate fi demonstrată pe baza proprietățile acțiunilor cu numere reale(sau aceleași proprietăți ale operațiilor cu numere raționale sau întregi). Pentru a face acest lucru, este suficient să arătăm că diferența dintre părțile din stânga și dreapta ale egalității (−a)+(−b)=−(a+b) este egală cu zero.
Deoarece scăderea unui număr este la fel cu adăugarea numărului opus (vezi regula pentru scăderea numerelor întregi), atunci (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b) +(a+b). În virtutea proprietăților comutative și asociative ale adunării, avem (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Deoarece suma numerelor opuse este egală cu zero, atunci (−a+a)+(−b+b)=0+0 și 0+0=0 datorită proprietății de a adăuga un număr la zero. Aceasta dovedește egalitatea (−a)+(−b)=−(a+b) și, prin urmare, regula pentru adunarea numerelor negative.
Astfel, această regulă de adunare se aplică atât numerelor întregi negative și numerelor raționale, cât și numerelor reale.
Rămâne doar să înveți cum să aplici în practică regula de adunare a numerelor negative, ceea ce vom face în paragraful următor.
Exemple de adăugare de numere negative
Să analizăm exemple de adunare a numerelor negative. Să începem cu cel mai simplu caz - adăugarea numerelor întregi negative, adunarea se va efectua conform regulii discutate în paragraful anterior.
Adăugați numere negative -304 și -18007.
Să urmăm toți pașii regulii de adunare a numerelor negative.
În primul rând, găsim modulele numerelor adăugate: și 
. Acum trebuie să adăugați numerele rezultate, aici este convenabil să efectuați adăugarea într-o coloană: 
Acum punem un semn minus în fața numărului rezultat, ca rezultat avem −18 311 .
Să scriem întreaga soluție sub formă scurtă: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
Adunarea numerelor raționale negative, în funcție de numerele în sine, se poate reduce fie la adunarea numerelor naturale, fie la adunarea fracțiilor obișnuite, fie la adunarea fracțiilor zecimale.
Adăugați un număr negativ și un număr negativ −4,(12) .
Conform regulii de adunare a numerelor negative, mai întâi trebuie să calculați suma modulelor. Modulele numerelor negative adăugate sunt 2/5 și, respectiv, 4 (12). Adunarea numerelor rezultate poate fi redusă la adunarea fracțiilor obișnuite. Pentru a face acest lucru, traducem fracția zecimală periodică într-o fracție obișnuită:. Deci 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Acum să adunăm fracții cu numitori diferiți: .
Rămâne să punem semnul minus în fața numărului rezultat: . Aceasta completează adăugarea numerelor negative originale.
Numerele reale negative se adună după aceeași regulă pentru adunarea numerelor negative. Este demn de remarcat aici că rezultatul adunării numerelor reale este foarte des scris ca expresie numerică, iar valoarea acestei expresii este calculată aproximativ și apoi, dacă este necesar.
De exemplu, să găsim suma numerelor negative și -5. Modulele acestor numere sunt egale cu rădăcina pătrată a lui trei și, respectiv, cinci, iar suma numerelor originale este . Așa este scris răspunsul. Alte exemple pot fi găsite în articol. adunarea numerelor reale.
www.cleverstudents.ru
Cum se adună două numere negative
Operații cu numere negative și pozitive
Valoarea absolută (modul). Plus.
Scădere. Multiplicare. Divizia.
Valoarea absolută (modul). Pentru număr negativ este un număr pozitiv obținut prin schimbarea semnului său din „-” în „+”; pentru număr pozitiv și zero este numărul în sine. Pentru a desemna valoarea absolută (modulul) unui număr se folosesc două linii drepte, în interiorul cărora este scris acest număr.
EXEMPLE: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
1) când se adună două numere cu același semn, se adună
valorile lor absolute, iar suma este precedată de un semn comun.
2) atunci când se adună două numere cu semne diferite, absolutul lor
se scad valorile (din cea mai mare pe cea mai mică) și se pune semnul
numere cu o valoare absolută mai mare.
Scădere. Puteți înlocui scăderea a două numere cu adunare, în timp ce minuendul își păstrează semnul, iar scăderea este luată cu semnul opus.
(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
Multiplicare. Când două numere sunt înmulțite, valorile lor absolute sunt înmulțite, iar produsul ia semnul „+” dacă semnele factorilor sunt aceleași și semnul „-” dacă semnele factorilor sunt diferite.
Următoarea schemă este utilă ( regulile semnelor de multiplicare):
La înmulțirea mai multor numere (două sau mai multe), produsul are semnul „+” dacă numărul de factori negativi este par și un semn „-” dacă numărul lor este impar.
Divizia. La împărțirea a două numere, valoarea absolută a dividendului este împărțită la valoarea absolută a divizorului, iar câtul ia semnul „+” dacă semnele dividendului și divizorului sunt aceleași, iar semnul „-” dacă semnele dividendului și divizorului sunt diferite.
Sunt Aceeași regulile semnelor, ca în înmulțire:
Adunarea numerelor negative
Adunarea numerelor pozitive și negative poate fi analizat folosind axa numerelor.
Adăugarea numerelor folosind linia de coordonate
Adunarea numerelor mici în valoare absolută se efectuează în mod convenabil pe linia de coordonate, imaginându-se mental ca un punct care indică numărul mișcărilor de-a lungul axei numerelor.
Să luăm un număr, de exemplu, 3. Să-l desemnăm pe o axă numerică cu un punct „A”.
Să adăugăm numărul pozitiv 2 la număr. Aceasta va însemna că punctul „A” trebuie deplasat cu două segmente de unitate în direcția pozitivă, adică spre dreapta. Ca rezultat, vom obține punctul „B” cu coordonata 5.
Pentru a adăuga un număr negativ „−5” unui număr pozitiv, de exemplu, 3, punctul „A” trebuie mutat cu 5 unități de lungime în direcția negativă, adică spre stânga.
În acest caz, coordonata punctului "B" este egală cu - "2".
Deci, ordinea adunării numerelor raționale folosind axa numerelor va fi următoarea:
Deplasându-ne de la punctul - 2 la stânga (deoarece există un semn minus în fața lui 6), obținem - 8.
Adunarea numerelor cu aceleași semne
Adăugarea numerelor raționale este mai ușoară dacă utilizați conceptul de modul.
Să presupunem că trebuie să adunăm numere care au același semn.
Pentru a face acest lucru, aruncăm semnele numerelor și luăm modulele acestor numere. Adunăm modulele și punem semnul în fața sumei, care era comună acestor numere.
Un exemplu de adăugare de numere negative.
Pentru a adăuga numere cu același semn, trebuie să adăugați modulele acestora și să puneți semnul în fața sumei care a fost în fața termenilor.
Adunarea numerelor cu semne diferite
Dacă numerele au semne diferite, atunci acționăm oarecum diferit decât atunci când adunăm numere cu aceleași semne.
Un exemplu de adăugare a unui număr negativ și a unui număr pozitiv.
Un exemplu de adăugare de numere mixte.
La adăugați numere de semn opus necesar:
- scade modulul mai mic din modulul mai mare;
- înainte de diferența rezultată se pune semnul numărului care are un modul mai mare.
- efectuează adăugarea modulelor lor;
- adăugați semnul „-” la suma primită.
- calcula module de numere;
- compara numerele primite:
- scade pe cel mai mic din cel mai mare;
- înaintea valorii primite se pune semnul numărului al cărui modul este mai mare.
Adunarea și scăderea numerelor pozitive și negative
Nu este clar?
Încercați să cereți ajutor profesorilor.
Regula de adunare negativă
Pentru a adăuga două numere negative:
Conform regulii de adunare, putem scrie:
Regula adunării negative se aplică numerelor întregi negative, numerelor raționale și numerelor reale.
Adăugați numere negative $−185$ și $−23 \ 789.$
Să folosim regula adunării numerelor negative.
Să adăugăm numerele rezultate:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Punem semnul $"–"$ în fața numărului găsit și obținem $−23 974$.
Rezolvare scurtă: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Când se adună numere raționale negative, acestea trebuie convertite în numere naturale, fracții ordinare sau zecimale.
Adăugați numerele negative $-\frac $ și $−7,15$.
Conform regulii de adunare a numerelor negative, mai întâi trebuie să găsiți suma modulelor:
Este convenabil să reduceți valorile obținute la fracții zecimale și să efectuați adunarea lor:
Să punem semnul $"-"$ în fața valorii primite și să obținem -7,4$.
Rezumatul soluției:
Adunarea numerelor cu semne opuse
Regula de adunare a numerelor cu semne opuse:
dacă sunt egale, atunci numerele originale sunt opuse și suma lor este egală cu zero;
dacă nu sunt egale, atunci trebuie să vă amintiți semnul numărului al cărui modul este mai mare;
Adunarea numerelor cu semne opuse se reduce la scăderea unui număr negativ mai mic dintr-un număr pozitiv mai mare.
Regula adunării numerelor cu semne opuse se aplică pentru numere întregi, raționale și reale.
Adăugați numerele $4$ și $−8$.
Trebuie să adăugați numere cu semne opuse. Să folosim regula de adăugare adecvată.
Să găsim modulele acestor numere:
Modulul numărului $−8$ este mai mare decât modulul numărului $4$, adică. amintiți-vă semnul $"-"$.
Punem semnul $"–"$, pe care l-am memorat, în fața numărului rezultat și obținem $−4.$
Prea lene să citești?
Întrebați experții și obțineți
raspuns in 15 minute!
Pentru a adăuga numere raționale cu semne opuse, este convenabil să le reprezentați ca fracții ordinare sau zecimale.
Scăderea numerelor negative
Regula pentru scăderea numerelor negative:
Pentru a scădea un număr negativ $b$ din numărul $a$, este necesar să adăugați la minuend $a$ numărul $−b$, care este opusul $b$ scăzut.
După regula scăderii, putem scrie:
Această regulă este valabilă pentru numere întregi, raționale și reale. Regula poate fi folosită atunci când scădeți un număr negativ dintr-un număr pozitiv, dintr-un număr negativ și din zero.
Scădeți din numărul negativ $−28$ numărul negativ $−5$.
Numărul opus pentru numărul $–5$ este numărul $5$.
Conform regulii de scădere a numerelor negative, obținem:
Să adunăm numere cu semne opuse:
Rezolvare scurtă: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Când scădeți numere fracționale negative, trebuie să convertiți numerele în forma de fracții obișnuite, numere mixte sau fracții zecimale.
Scăderea numerelor cu semne opuse
Regula pentru scăderea numerelor cu semne opuse este aceeași cu regula pentru scăderea numerelor negative.
Scădeți numărul pozitiv $7$ din numărul negativ $−11$.
Numărul opus pentru numărul $7$ este numărul $–7$.
Conform regulii de scădere a numerelor cu semne opuse, obținem:
Să adăugăm numere negative:
La scăderea numerelor fracționale cu semne opuse, este necesar să convertiți numerele în forma de fracții ordinare sau zecimale.
Nu am găsit încă un răspuns
la intrebarea ta?
Doar scrie cu ceea ce tu
Nevoie de ajutor
Adunarea numerelor negative: regulă, exemple
Ca parte a acestui material, vom atinge un subiect atât de important precum adăugarea numerelor negative. În primul paragraf, vom descrie regula de bază pentru această acțiune, iar în al doilea, vom analiza exemple concrete de rezolvare a unor astfel de probleme.
Regula de bază pentru adunarea numerelor naturale
Înainte de a deriva regula, să ne amintim ceea ce știm în general despre numerele pozitive și negative. Mai devreme am convenit că numerele negative ar trebui percepute ca o datorie, o pierdere. Modulul unui număr negativ exprimă mărimea exactă a acestei pierderi. Apoi, adăugarea numerelor negative poate fi considerată ca adunarea a două pierderi.
Folosind acest raționament, formulăm regula de bază pentru adunarea numerelor negative.
Pentru a îndeplini adunarea numerelor negative, trebuie să adăugați valorile modulelor lor și să puneți un minus în fața rezultatului. În formă literală, formula arată ca (− a) + (− b) = − (a + b) .
Pe baza acestei reguli, putem concluziona că adunarea numerelor negative este asemănătoare cu adunarea celor pozitive, doar că în final trebuie să obținem cu siguranță un număr negativ, deoarece trebuie să punem semnul minus în fața sumei modulelor.
Ce dovezi pot fi date pentru această regulă? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim proprietățile de bază ale operațiilor cu numere reale (fie cu numere întregi, fie cu numere raționale - sunt aceleași pentru toate aceste tipuri de numere). Pentru a o demonstra, trebuie doar să demonstrăm că diferența dintre părțile stânga și dreaptă ale ecuației (− a) + (− b) = − (a + b) va fi egală cu 0 .
Scăderea unui număr dintr-altul este la fel cu adăugarea aceluiași număr opus. Prin urmare, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Reamintim că expresiile numerice cu adunare au două proprietăți principale - asociativă și comutativă. Atunci putem concluziona că (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Deoarece, adunând numere opuse, obținem întotdeauna 0, atunci (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0 și 0 + 0 \u003d 0. Egalitatea noastră poate fi considerată dovedită, ceea ce înseamnă că regula de adunare a numerelor negative am demonstrat-o si noi.
Probleme de adunare a numerelor negative
În al doilea paragraf, vom lua probleme specifice în care trebuie să adăugați numere negative și vom încerca să aplicați regula învățată în ele.
Aflați suma a două numere negative - 304 și - 18007.
Decizie
Să facem pașii pas cu pas. Mai întâi trebuie să găsim modulele numerelor de adăugat: - 304 \u003d 304, - 180007 \u003d 180007. În continuare, trebuie să efectuăm acțiunea de adăugare, pentru care folosim metoda de numărare a coloanelor:
Tot ce ne rămâne este să punem un minus în fața rezultatului și să obținem - 18 311 .
Răspuns: — — 18 311 .
Depinde ce numere avem, la ce putem reduce acțiunea adunării: la găsirea sumei numerelor naturale, la adunarea fracțiilor ordinare sau zecimale. Să analizăm problema cu astfel de numere.
Aflați suma a două numere negative - 2 5 și - 4 , (12) .
Găsim modulele numerelor dorite și obținem 2 5 și 4 , (12) . Avem două fracții diferite. Să reducem problema la adunarea a două fracții ordinare, pentru care reprezentăm fracția periodică sub forma unui ordinar:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Ca rezultat, am obținut o fracție care va fi ușor de adăugat la primul termen original (dacă ați uitat cum să adăugați corect fracții cu diferiți numitori, repetați materialul corespunzător).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Drept urmare, am obținut un număr mixt, în fața căruia trebuie doar să punem un minus. Aceasta completează calculele.
Răspuns: — 4 86 105 .
Numerele negative reale se adună în același mod. Rezultatul unei astfel de acțiuni este de obicei scris ca o expresie numerică. Valoarea sa nu poate fi calculată sau limitată la calcule aproximative. Deci, de exemplu, dacă trebuie să găsim suma - 3 + (- 5), atunci scriem răspunsul ca - 3 - 5. Am dedicat un material separat adunării numerelor reale, în care puteți găsi alte exemple.
