\[(\Large(\text(Informații de bază despre zonă)))\]

Putem spune că aria unui poligon este o valoare care denotă partea de plan pe care o ocupă un anumit poligon. Unitatea de suprafață este luată ca aria unui pătrat cu latura de \(1\) cm, \(1\) mm etc. (un singur pătrat). Apoi aria va fi măsurată în cm\(^2\), respectiv mm\(^2\).

Cu alte cuvinte, putem spune că aria unei figuri este o valoare a cărei valoare numerică arată de câte ori se încadrează un pătrat unitar într-o anumită figură.

Proprietățile zonei

1. Aria oricărui poligon este o valoare pozitivă.

2. Poligoane egale au arii egale.

3. Dacă un poligon este compus din mai multe poligoane, atunci aria lui este egală cu suma ariilor acestor poligoane.

4. Aria unui pătrat cu latura \(a\) este \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Aria dreptunghiului și paralelogramului)))\]

Teorema: aria unui dreptunghi

Aria unui dreptunghi cu laturile \(a\) și \(b\) este \(S=ab\) .

Dovada

Să construim dreptunghiul \(ABCD\) într-un pătrat cu latura \(a+b\), așa cum se arată în figură:

Acest pătrat este format dintr-un dreptunghi \(ABCD\) , un alt dreptunghi egal cu acesta și două pătrate cu laturile \(a\) și \(b\) . Prin urmare,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multline*)\)

Definiție

Înălțimea unui paralelogram este perpendiculara trasă de la vârful paralelogramului la latura (sau prelungirea laturii) care nu conține acel vârf.
De exemplu, înălțimea \(BK\) cade pe latura \(AD\) , iar înălțimea \(BH\) cade pe prelungirea laturii \(CD\) :

Teorema: aria unui paralelogram

Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre înălțime și latura pe care este trasă această înălțime.

Dovada

Desenați perpendiculare \(AB"\) și \(DC"\) așa cum se arată în figură. Rețineți că aceste perpendiculare sunt egale cu înălțimea paralelogramului \(ABCD\) .

Atunci \(AB"C"D\) este un dreptunghi, deci \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Rețineți că triunghiurile dreptunghiulare \(ABB"\) și \(DCC"\) sunt egale. Prin urmare,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Aria triunghiului)))\]

Definiție

Vom numi latura la care este trasată altitudinea în triunghi baza triunghiului.

Teorema

Aria unui triunghi este jumătate din produsul bazei sale și înălțimea trasă la acea bază.

Dovada

Fie \(S\) aria triunghiului \(ABC\) . Să luăm latura \(AB\) ca bază a triunghiului și să desenăm înălțimea \(CH\) . Să demonstrăm asta \ Completam triunghiul \(ABC\) la paralelogramul \(ABDC\), așa cum se arată în figură:

Triunghiurile \(ABC\) și \(DCB\) sunt egale în trei laturi (\(BC\) este latura lor comună, \(AB = CD\) și \(AC = BD\) ca laturi opuse ale paralelogramului \ (ABDC\ ) ), deci ariile lor sunt egale. Prin urmare, aria \(S\) a triunghiului \(ABC\) este egală cu jumătate din aria paralelogramului \(ABDC\), adică. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Teorema

Dacă două triunghiuri \(\triunghi ABC\) și \(\triunghi A_1B_1C_1\) au înălțimi egale, atunci ariile lor sunt legate ca bazele la care sunt desenate aceste înălțimi.

Consecinţă

Mediana unui triunghi îl împarte în două triunghiuri de arie egală.

Teorema

Dacă două triunghiuri \(\triangle ABC\) și \(\triangle A_2B_2C_2\) au fiecare același unghi, atunci ariile lor sunt legate ca produse ale laturilor care formează acest unghi.

Dovada

Fie \(\angle A=\angle A_2\) . Să combinăm aceste colțuri așa cum se arată în figură (punctul \(A\) este aliniat cu punctul \(A_2\) ):

Desenați înălțimile \(BH\) și \(C_2K\) .

Triunghiurile \(AB_2C_2\) și \(ABC_2\) au aceeași înălțime \(C_2K\), prin urmare: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Triunghiurile \(ABC_2\) și \(ABC\) au aceeași înălțime \(BH\), deci: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Înmulțind ultimele două egalități, obținem: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( sau ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimii catetelor:

Este adevărat și invers: dacă într-un triunghi pătratul lungimii unei laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci un astfel de triunghi este dreptunghic.

Teorema

Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor.

Teorema: formula lui Heron

Fie \(p\) semiperimetrul unui triunghi, \(a\) , \(b\) , \(c\) lungimile laturilor sale, atunci aria lui este egală cu \

\[(\Large(\text(Aria unui romb și a unui trapez)))\]

cometariu

pentru că rombul este un paralelogram, atunci aceeași formulă este valabilă pentru el, adică. Aria unui romb este egală cu produsul dintre înălțime și latura pe care este trasă această înălțime.

Teorema

Aria unui patrulater convex ale cărui diagonale sunt perpendiculare este jumătate din produsul diagonalelor.

Dovada

Se consideră patrulaterul \(ABCD\) . Notați \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\):

Rețineți că acest patrulater este format din patru triunghiuri dreptunghiulare, prin urmare, aria sa este egală cu suma ariilor acestor triunghiuri:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)\)

Corolar: zona unui romb

Aria unui romb este jumătate din produsul diagonalelor sale: \

Definiție

Înălțimea unui trapez este o perpendiculară trasată de la vârful unei baze la cealaltă bază.

Teorema: aria unui trapez

Aria unui trapez este jumătate din suma bazelor cu înălțimea.

Dovada

Se consideră un trapez \(ABCD\) cu bazele \(BC\) și \(AD\) . Desenați \(CD"\parallel AB\) așa cum se arată în figură:

Atunci \(ABCD"\) este un paralelogram.

De asemenea, desenăm \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) sunt înălțimile trapezului).

Apoi \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

pentru că un trapez este format dintr-un paralelogram \(ABCD"\) și un triunghi \(CDD"\), atunci aria lui este egală cu suma ariilor paralelogramului și triunghiului, adică:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\dreapta)\]

Toți cei care au studiat matematica și geometria la școală cunosc aceste științe cel puțin superficial. Dar în timp, dacă nu sunt practicate, cunoștințele sunt uitate. Mulți chiar cred că și-au pierdut timpul studiind calculele geometrice. Cu toate acestea, ei greșesc. Muncitorii tehnici efectuează zilnic lucrări legate de calcule geometrice. În ceea ce privește calculul ariei unui poligon, această cunoaștere își găsește și aplicarea în viață. Ele vor fi necesare cel puțin pentru a calcula suprafața terenului. Deci, să învățăm cum să găsim aria unui poligon.

Definiția poligonului

Mai întâi, să definim ce este un poligon. Aceasta este o figură geometrică plată, care s-a format ca urmare a intersecției a trei sau mai multe linii. O altă definiție simplă: un poligon este o polilinie închisă. Desigur, la intersecția liniilor se formează puncte de intersecție, numărul lor este egal cu numărul de linii care formează un poligon. Punctele de intersecție se numesc vârfuri, iar segmentele formate din drepte se numesc laturile poligonului. Segmentele adiacente ale unui poligon nu sunt pe aceeași linie dreaptă. Segmentele de linie care nu sunt adiacente sunt cele care nu trec prin puncte comune.

Suma ariilor triunghiurilor

Cum să găsiți aria unui poligon? Aria unui poligon este partea interioară a planului, care s-a format la intersecția segmentelor sau a laturilor poligonului. Deoarece un poligon este o combinație de forme precum un triunghi, romb, pătrat, trapez, pur și simplu nu există o formulă universală pentru calcularea ariei sale. În practică, cea mai universală metodă este împărțirea unui poligon în figuri mai simple, a căror zonă nu este greu de găsit. Adunând sumele ariilor acestor cifre simple, obținem aria poligonului.

Prin zona cercului

În cele mai multe cazuri, poligonul are o formă regulată și formează o figură cu laturile și unghiurile egale între ele. Calcularea ariei în acest caz este foarte simplă folosind cercul înscris sau circumscris. Dacă aria cercului este cunoscută, atunci aceasta trebuie înmulțită cu perimetrul poligonului și apoi produsul rezultat împărțit la 2. Ca rezultat, se obține formula pentru calcularea ariei unui astfel de poligon. : S = ½∙P∙r., unde P este aria cercului, iar r este perimetrul poligonului.

Metoda de împărțire a unui poligon în forme „conveniente” este cea mai populară în geometrie, vă permite să găsiți rapid și corect zona unui poligon. Clasa a IV-a de liceu învață de obicei astfel de metode.

În acest articol, vom vorbi despre cum să exprimăm aria unui poligon în care un cerc poate fi înscris în funcție de raza acestui cerc. Este imediat de remarcat faptul că nu orice poligon poate fi înscris într-un cerc. Cu toate acestea, dacă acest lucru este posibil, atunci formula prin care se calculează aria unui astfel de poligon devine foarte simplă. Citiți acest articol până la sfârșit sau urmăriți tutorialul video atașat și veți învăța cum să exprimați aria unui poligon în funcție de raza unui cerc înscris în el.

Formula pentru aria unui poligon în termeni de rază a cercului înscris

Să desenăm un poligon A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 , nu neapărat corect, dar unul în care poate fi înscris un cerc. Permiteți-mi să vă reamintesc că un cerc înscris este un cerc care atinge toate laturile poligonului. În figură, acesta este un cerc verde centrat într-un punct O:

Am luat aici un 5-gon ca exemplu. Dar, de fapt, acest lucru nu are o importanță esențială, deoarece dovada ulterioară este valabilă atât pentru 6-gon, cât și pentru 8-gon și, în general, pentru orice „gon” în mod arbitrar.

Dacă conectați centrul cercului înscris cu toate vârfurile poligonului, atunci acesta va fi împărțit în atâtea triunghiuri câte vârfuri există în poligonul dat. În cazul nostru: 5 triunghiuri. Dacă conectăm punctul O cu toate punctele de tangență ale cercului înscris cu laturile poligonului, obțineți 5 segmente (în figura de mai jos, acestea sunt segmentele Oh 1 , Oh 2 , Oh 3 , Oh 4 și Oh 5), care sunt egale cu raza cercului și sunt perpendiculare pe laturile poligonului pe care sunt desenate. Acesta din urmă este adevărat, deoarece raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe tangente:

Cum să găsim aria poligonului nostru circumscris? Răspunsul este simplu. Este necesar să se adună zonele tuturor triunghiurilor obținute ca urmare a împărțirii:

Luați în considerare care este aria unui triunghi. În imaginea de mai jos, este evidențiată cu galben:

Este egal cu jumătate din produsul bazei A 1 A 2 la înălțime Oh 1 tras la această bază. Dar, așa cum am aflat deja, această înălțime este egală cu raza cercului înscris. Adică, formula pentru aria unui triunghi ia forma: , Unde r este raza cercului înscris. În mod similar, se găsesc ariile tuturor triunghiurilor rămase. Ca urmare, aria dorită a poligonului este egală cu:

Se poate observa că în toți termenii acestei sume există un factor comun , care poate fi scos din paranteze. Rezultatul este următoarea expresie:

Adică, între paranteze era pur și simplu suma tuturor laturilor poligonului, adică perimetrul acestuia P. Cel mai adesea, în această formulă, expresia este pur și simplu înlocuită cu pși numiți această literă „jumătate de perimetru”. Ca urmare, formula finală devine:

Adică, aria unui poligon în care este înscris un cerc de rază cunoscută este egală cu produsul acestei raze și semiperimetrul poligonului. Acesta este rezultatul pe care ne-am propus.

În cele din urmă, el observă că un cerc poate fi întotdeauna înscris într-un triunghi, care este un caz special al unui poligon. Prin urmare, pentru un triunghi, această formulă poate fi întotdeauna aplicată. Pentru alte poligoane cu mai mult de 3 laturi, trebuie mai întâi să vă asigurați că un cerc poate fi înscris în ele. Dacă da, puteți utiliza în siguranță această formulă simplă și puteți găsi zona acestui poligon din ea.

Pregătit de Serghei Valerievici

Unități de distanță și lungime Convertor de unități de zonă Convertor Alăturare © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Copierea materialelor este interzisă. În calculatorul online, puteți utiliza valori în aceleași unități de măsură! Dacă întâmpinați probleme la conversia unităților de măsură, utilizați Convertorul de unități de distanță și lungime și Convertorul de unități de suprafață. Caracteristici suplimentare ale calculatorului de suprafață patrulater

• Vă puteți deplasa între câmpurile de introducere apăsând tastele dreapta și stânga de pe tastatură.

Teorie. Aria unui patrulater Un patrulater este o figură geometrică formată din patru puncte (vârfurile), dintre care trei nu se află pe aceeași linie dreaptă și patru segmente (laturi) care leagă aceste puncte în perechi. Un patrulater se numește convex dacă segmentul care leagă oricare două puncte ale acestui patrulater se va afla în interiorul lui.

Cum să găsiți aria unui poligon?

Formula pentru determinarea ariei se determină luând fiecare muchie a poligonului AB și calculând aria triunghiului ABO cu un vârf la originea O, prin coordonatele vârfurilor. Când mergeți în jurul unui poligon, se formează triunghiuri, inclusiv interiorul poligonului și situate în afara acestuia. Diferența dintre suma acestor zone este aria poligonului în sine.

Prin urmare, formula se numește formula topografului, deoarece „cartograful” este la origine; dacă parcurge zona în sens invers acelor de ceasornic, zona se adaugă dacă este în stânga și scade dacă este în dreapta în ceea ce privește originea. Formula ariei este valabilă pentru orice poligon (simplu) care nu se intersectează, care poate fi convex sau concav. Conţinut

• 1 Definiție
• 2 Exemple
• 3 Exemplu mai complex
• 4 Explicația numelui
• 5 Vezi

Zona poligonului

Atenţie

Ar putea fi:

• triunghi;
• patrulater;
• cinci sau hexagon și așa mai departe.

O astfel de cifră va fi cu siguranță caracterizată de două poziții:

1. Laturile adiacente nu aparțin aceleiași linii.
2. Cele neadiacente nu au puncte comune, adică nu se intersectează.

Pentru a înțelege ce vârfuri sunt adiacente, trebuie să vedeți dacă aparțin aceleiași părți. Dacă da, atunci vecină. În caz contrar, ele pot fi conectate printr-un segment, care trebuie numit diagonală. Ele pot fi desenate numai în poligoane care au mai mult de trei vârfuri.

Ce fel de ele există? Un poligon cu mai mult de patru colțuri poate fi convex sau concav. Diferența dintre acesta din urmă este că unele dintre vârfurile sale se pot afla pe diferite laturi ale unei linii drepte trasate printr-o latură arbitrară a poligonului.

Cum să găsiți aria unui hexagon regulat și neregulat?

• Cunoscând lungimea laturii, înmulțiți-o cu 6 și obțineți perimetrul hexagonului: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Înlocuiți rezultatele în formula noastră:
Aria \u003d 1/2 * perimetru * apotemă Suprafață \u003d ½ * 60cm * 5√3 Rezolvați: Acum rămâne să simplificați răspunsul pentru a scăpa de rădăcinile pătrate și să indicați rezultatul în centimetri pătrați: ½ * 60 cm * 5 √3 cm \u003d 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Video despre cum să găsiți aria unui hexagon obișnuit Există mai multe opțiuni pentru a determina aria unui hexagon neregulat:

• metoda trapezului.
• O metodă pentru calcularea ariei poligoanelor neregulate folosind axa de coordonate.
• O metodă de împărțire a unui hexagon în alte forme.

În funcție de datele inițiale pe care le veți cunoaște, este selectată metoda corespunzătoare.

Important

Unele hexagoane neregulate constau din două paralelograme. Pentru a determina aria unui paralelogram, înmulțiți lungimea acestuia cu lățimea sa și apoi adăugați cele două zone deja cunoscute. Video despre cum să găsiți aria unui poligon Un hexagon echilateral are șase laturi egale și este un hexagon obișnuit.

Aria unui hexagon echilateral este egală cu 6 zone ale triunghiurilor în care este împărțită o figură hexagonală regulată. Toate triunghiurile dintr-un hexagon obișnuit sunt egale, așa că pentru a găsi aria unui astfel de hexagon, va fi suficient să cunoașteți aria a cel puțin unui triunghi. Pentru a găsi aria unui hexagon echilateral, desigur, se folosește formula pentru aria unui hexagon obișnuit, descrisă mai sus.

404 Nu a fost gasit

Decorarea unei locuințe, îmbrăcămintea, desenul de imagini au contribuit la procesul de formare și acumulare a informațiilor din domeniul geometriei, pe care oamenii acelor vremuri le-au obținut empiric, pas cu pas, și le-au transmis din generație în generație. Astăzi, cunoașterea geometriei este necesară pentru un tăietor, un constructor, un arhitect și orice persoană obișnuită din viața de zi cu zi. Prin urmare, trebuie să învățați cum să calculați aria diferitelor cifre și să vă amintiți că fiecare dintre formule poate fi utilă mai târziu în practică, inclusiv formula pentru un hexagon obișnuit.
Un hexagon este o astfel de figură poligonală, al cărui număr total de unghiuri este de șase. Un hexagon obișnuit este o figură hexagonală care are laturile egale. Unghiurile unui hexagon regulat sunt, de asemenea, egale între ele.
În viața de zi cu zi, putem găsi adesea obiecte care au forma unui hexagon obișnuit.

Calculator de suprafață de poligon neregulat pe laturi

Vei avea nevoie

• - ruleta;
• — telemetru electronic;
• - o coală de hârtie și un creion;
• - calculator.

Instrucțiunea 1 Dacă aveți nevoie de suprafața totală a unui apartament sau a unei camere separate, citiți doar pașaportul tehnic pentru apartament sau casă, acesta arată filmarea fiecărei camere și filmarea totală a apartamentului. 2 Pentru a măsura suprafața unei camere dreptunghiulare sau pătrate, luați o bandă de măsurare sau un telemetru electronic și măsurați lungimea pereților. Când măsurați distanțe cu un telemetru, asigurați-vă că păstrați direcția fasciculului perpendiculară, altfel rezultatele măsurătorii pot fi distorsionate. 3 Apoi înmulțiți lungimea rezultată (în metri) a camerei cu lățimea (în metri). Valoarea rezultată va fi suprafața podelei, se măsoară în metri pătrați.

Formula ariei Gauss

Dacă trebuie să calculați suprafața podelei unei structuri mai complexe, cum ar fi o cameră pentagonală sau o cameră cu un arc rotund, desenați o schiță schematică pe o bucată de hârtie. Apoi împărțiți forma complexă în mai multe forme simple, cum ar fi un pătrat și un triunghi, sau un dreptunghi și un semicerc. Măsurați cu o bandă de măsurare sau cu telemetru dimensiunea tuturor laturilor figurilor rezultate (pentru un cerc trebuie să cunoașteți diametrul) și introduceți rezultatele pe desen.

5 Acum calculați separat aria fiecărei forme. Aria dreptunghiurilor și pătratelor se calculează prin înmulțirea laturilor. Pentru a calcula aria unui cerc, împărțiți diametrul în jumătate și pătrat (înmulțiți-l singur), apoi înmulțiți rezultatul cu 3,14.
Dacă doriți doar jumătate din cerc, împărțiți zona rezultată în jumătate. Pentru a calcula aria unui triunghi, găsiți P împărțind suma tuturor laturilor la 2.

Formula pentru calcularea ariei unui poligon neregulat

Dacă punctele sunt numerotate succesiv în sens invers acelor de ceasornic, atunci determinanții din formula de mai sus sunt pozitivi și modulul din aceasta poate fi omis; dacă sunt numerotate în sensul acelor de ceasornic, determinanții vor fi negativi. Acest lucru se datorează faptului că formula poate fi privită ca un caz special al teoremei lui Green. Pentru a aplica formula, trebuie să cunoașteți coordonatele vârfurilor poligonului în planul cartezian.

De exemplu, să luăm un triunghi cu coordonatele ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Luați prima coordonată x a primului vârf și înmulțiți-o cu coordonata y a celui de-al doilea vârf, apoi înmulțiți coordonata x a celui de-al doilea vârf cu coordonata y a celui de-al treilea. Repetăm ​​această procedură pentru toate vârfurile. Rezultatul poate fi determinat prin următoarea formulă: A tri.

Formula pentru calcularea ariei unui patrulater neregulat

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) unde xi și yi reprezintă coordonatele corespunzătoare. Această formulă poate fi obținută prin deschiderea parantezelor în formula generală pentru cazul n = 3. Folosind această formulă, puteți afla că aria unui triunghi este egală cu jumătate din suma 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, care dă 3. Numărul de variabile din formulă depinde de numărul de laturi ale poligonului. De exemplu, formula pentru aria unui pentagon va folosi variabile până la x5 și y5: Un pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4) )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5) )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A pentru un quad - variabile până la x4 și y4: A quad.

1.1 Calculul suprafețelor în antichitate

1.2 Diferite abordări ale studiului conceptelor de „zonă”, „poligon”, „zonă a unui poligon”

1.2.1 Conceptul de zonă. Proprietățile zonei

1.2.2 Conceptul de poligon

1.2.3 Conceptul de suprafață a unui poligon. Definiție descriptivă

1.3 Diverse formule pentru ariile poligoanelor

1.4 Derivarea formulelor ariei poligonului

1.4.1 Aria unui triunghi. Formula lui Heron

1.4.2 Aria unui dreptunghi

1.4.3 Aria unui trapez

1.4.4 Aria unui patrulater

1.4.5 Formula universală

1.4.6 Aria unui n-gon

1.4.7 Calcularea ariei unui poligon din coordonatele vârfurilor acestuia

1.4.8 Alegeți Formula

1.5 Teorema lui Pitagora privind suma ariilor pătratelor construite pe catetele unui triunghi dreptunghic

1.6 Echivalența triunghiurilor. Teorema Bogliai-Gervin

1.7 Raportul ariilor triunghiurilor similare

1.8 Cifre cu cea mai mare suprafață

1.8.1 Trapez sau dreptunghi

1.8.2 O proprietate remarcabilă a unui pătrat

1.8.3 Loturi de diferite forme

1.8.4 Triunghi cu suprafața cea mai mare

Capitolul 2. Caracteristici metodologice ale studierii ariilor poligoanelor în clasele de matematică

2.1 Planificare tematică și caracteristici ale predării în clase cu studiu aprofundat al matematicii

2.2 Metodologia lecției

2.3 Rezultatele lucrărilor experimentale

Concluzie

Literatură

Introducere

Subiectul „Zona poligoanelor” este o parte integrantă a cursului școlar de matematică, ceea ce este destul de natural. Într-adevăr, din punct de vedere istoric, însăși apariția geometriei este asociată cu necesitatea de a compara terenuri de o formă sau alta. Totodată, trebuie remarcat faptul că oportunitățile educaționale de dezvăluire a acestei teme în liceu sunt departe de a fi utilizate pe deplin.

Sarcina principală a predării matematicii la școală este de a asigura o stăpânire puternică și conștientă a sistemului de cunoștințe și abilități matematice necesare fiecărui membru al societății moderne în viața de zi cu zi și în muncă, suficiente pentru a studia disciplinele conexe și a continua educația.

Odată cu rezolvarea sarcinii principale, un studiu aprofundat al matematicii prevede formarea unui interes constant pentru materie la elevi, identificarea și dezvoltarea abilităților lor matematice, o orientare către profesii care sunt semnificativ legate de matematică, și pregătirea pentru studii la o universitate.

Munca de calificare include conținutul cursului de matematică al unei școli de învățământ general și o serie de întrebări suplimentare care sunt direct adiacente acestui curs și îl aprofundează pe principalele linii ideologice.

Includerea de întrebări suplimentare servește la două scopuri interdependente. Pe de o parte, aceasta este crearea, împreună cu secțiunile principale ale cursului, a unei baze care să răspundă intereselor și să dezvolte abilitățile elevilor cu înclinație pentru matematică, pe de altă parte, îndeplinirea lacunelor semnificative în felul principal, dând conținutului studiului aprofundat integritatea necesară.

Lucrarea de calificare constă dintr-o introducere, două capitole, o concluzie și literatură citată. Primul capitol discută fundamentele teoretice ale studiului ariilor poligoanelor, iar al doilea capitol tratează în mod direct trăsăturile metodologice ale studiului ariilor.

Capitolul 1

1.1Calculul suprafețelor în antichitate

Rudimentele cunoștințelor geometrice legate de măsurarea suprafețelor se pierd în adâncurile mileniilor.

În urmă cu 4 - 5 mii de ani, babilonienii au putut determina aria unui dreptunghi și a unui trapez în unități pătrate. Pătratul a servit de mult timp ca standard pentru măsurarea suprafețelor datorită multor proprietăți remarcabile: laturi egale, unghiuri egale și drepte, simetrie și perfecțiune generală a formei. Pătratele sunt ușor de construit sau puteți umple un avion fără goluri.

În China antică, măsura suprafeței era un dreptunghi. Când zidarii au determinat aria unui perete dreptunghiular, au înmulțit înălțimea și lățimea zidului. Aceasta este definiția acceptată în geometrie: aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale adiacente. Ambele părți trebuie să fie exprimate în aceleași unități liniare. Produsul lor va fi aria dreptunghiului, exprimată în unitățile pătrate corespunzătoare. Să presupunem că dacă înălțimea și lățimea peretelui sunt măsurate în decimetri, atunci produsul ambelor măsurători va fi exprimat în decimetri pătrați. Și dacă aria fiecărei parcele cu fațare este un decimetru pătrat, atunci produsul rezultat va indica numărul de plăci necesare pentru fațare. Aceasta rezultă din declarația care stă la baza măsurării ariilor: aria unei figuri formată din figuri care nu se intersectează este egală cu suma ariilor acestora.

Vechii egipteni cu 4.000 de ani în urmă au folosit aproape aceleași tehnici ca și noi pentru a măsura aria unui dreptunghi, triunghi și trapez: baza triunghiului a fost împărțită la jumătate și înmulțită cu înălțimea; pentru un trapez, suma laturilor paralele a fost împărțită la jumătate și înmulțită cu înălțimea și așa mai departe. Pentru a calcula suprafața

patrulater cu laturi (Fig. 1.1), s-a aplicat formula (1.1).

acestea. jumătățile sumelor laturilor opuse au fost înmulțite.

Această formulă este în mod evident incorectă pentru orice patrulater; din aceasta rezultă, în special, că ariile tuturor romburilor sunt aceleași. Între timp, este evident că ariile unor astfel de romburi depind de mărimea unghiurilor de la vârfuri. Această formulă este valabilă doar pentru un dreptunghi. Cu ajutorul acestuia, puteți calcula aproximativ aria patrulaterelor, în care unghiurile sunt aproape de dreapta.

Pentru a determina zona

un triunghi isoscel (Fig. 1.2), în care egiptenii au folosit formula aproximativă:
(1.2) Fig. 1.2 Eroarea făcută în acest caz este cu cât este mai mică, cu atât diferența dintre latura și înălțimea triunghiului este mai mică, cu alte cuvinte, cu atât vârful (și) este mai aproape de baza înălțimii de la. De aceea formula aproximativă (1.2) este aplicabilă numai pentru triunghiuri cu un unghi de vârf relativ mic.

Dar deja grecii antici știau să găsească corect zonele poligoanelor. În Elementele sale, Euclid nu folosește cuvântul „zonă”, deoarece prin însuși cuvântul „figură” înțelege o parte a unui plan mărginită de una sau alta linie închisă. Euclid nu exprimă rezultatul măsurării ariei ca număr, ci compară ariile diferitelor figuri între ele.

Ca și alți oameni de știință ai antichității, Euclid se ocupă de transformarea unor figuri în altele, ele sunt egale ca mărime. Zona unei figuri compuse nu se va schimba dacă părțile sale sunt aranjate diferit, dar fără încrucișare. Prin urmare, de exemplu, este posibil, pe baza formulelor pentru aria unui dreptunghi, să găsiți formulele pentru zonele altor figuri. Deci, triunghiul este împărțit în astfel de părți, din care apoi puteți face un dreptunghi cu o zonă egală. Din această construcție rezultă că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimii sale. Recurgând la o astfel de redesenare, ei constată că aria paralelogramului este egală cu produsul bazei și înălțimii, aria trapezului este produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea.

Când zidarii trebuie să plătească un perete de configurație complexă, ei pot determina zona peretelui numărând numărul de plăci care au intrat în placare. Unele plăci, desigur, vor trebui ciobite, astfel încât marginile placajului să coincidă cu marginea peretelui. Numărul tuturor plăcilor care au intrat în lucru evaluează suprafața peretelui cu un exces, numărul de plăci nerupte - cu un dezavantaj. Pe măsură ce dimensiunea celulelor scade, cantitatea de deșeuri scade, iar aria peretelui, determinată de numărul de plăci, este calculată din ce în ce mai precis.

Unul dintre matematicienii - enciclopediști greci târzii, ale căror lucrări au fost aplicate în principal în natură, a fost Heron din Alexandria, care a trăit în secolul I. n. e. Fiind un inginer remarcabil, a fost numit și „Heron the Mechanic”. În lucrarea sa Dioptrics, Heron descrie diverse mașini și instrumente practice de măsură.

Una dintre cărțile lui Heron a fost numită de el „Geometrie” și este un fel de colecție de formule și probleme corespunzătoare. Conține exemple pentru calcularea ariilor pătratelor, dreptunghiurilor și triunghiurilor. Despre găsirea ariei unui triunghi de-a lungul laturilor sale, Heron scrie: „Să fie, de exemplu, o latură a unui triunghi să aibă o lungime de 13 corzi măsurate, a doua 14 și a treia 15. Pentru a găsi aria, procedați ca urmează. Adăugați 13, 14 și 15; obțineți 42. Jumătate din acesta este 21. Scădeți din aceste trei părți una câte una; mai întâi scădeți 13 - va rămâne 8, apoi 14 - va rămâne 7 și, în cele din urmă, 15 - va rămâne 6. Acum înmulțiți-le: de 21 de ori 8 va da 168, luați asta de 7 ori - veți obține 1176, iar acestea încă 6 ori - obțineți 7056. De aici rădăcina pătrată va fi 84. Iată câte cabluri de măsurare vor fi în zona triunghiului.