În această lecție, vom învăța cum să aplicăm formule și reguli de diferențiere.
Exemple. Găsiți derivate ale funcțiilor.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Aplicarea Regulii eu, formule 4, 2 și 1. Primim:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. Rezolvăm similar, folosind aceleași formule și formula 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Aplicarea Regulii eu, formule 3, 5
și 6
și 1.
Aplicarea Regulii IV, formule 5 și 1 .
În al cincilea exemplu, conform regulii eu derivata sumei este egală cu suma derivatelor și tocmai am găsit derivata primului termen (exemplu 4 ), prin urmare, vom găsi derivate al 2-leași al 3-lea termeni, și pentru 1 termen, putem scrie imediat rezultatul.
Diferențierea al 2-leași al 3-lea termeni conform formulei 4
. Pentru a face acest lucru, transformăm rădăcinile gradului al treilea și al patrulea în numitori în puteri cu exponenți negativi și apoi, conform 4
formula, găsim derivatele puterilor.
Priviți acest exemplu și rezultatul. Ai prins modelul? Bun. Aceasta înseamnă că avem o formulă nouă și o putem adăuga la tabelul nostru de derivate.
Să rezolvăm al șaselea exemplu și să obținem încă o formulă.
Folosim regula IV si formula 4
. Reducem fracțiile rezultate.
Ne uităm la această funcție și derivata ei. Desigur, ați înțeles modelul și sunteți gata să numiți formula:
Învățați formule noi!
Exemple.
1. Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției y= x2 dacă valoarea iniţială a argumentului a fost 4 , și noul 4,01 .
Decizie.
Noua valoare a argumentului x \u003d x 0 + Δx. Înlocuiți datele: 4.01=4+Δx, de unde și incrementul argumentului Δх=4,01-4=0,01. Creșterea unei funcții, prin definiție, este egală cu diferența dintre valorile noi și anterioare ale funcției, adică. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Din moment ce avem o funcție y=x2, apoi Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Răspuns: increment de argument Δх=0,01; creșterea funcției Δy=0,0801.
A fost posibil să găsiți incrementul funcției într-un alt mod: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.
2. Aflați unghiul de înclinare al tangentei la graficul funcției y=f(x) la punct x 0, dacă f "(x 0) \u003d 1.
Decizie.
Valoarea derivatei la punctul de contact x 0și este valoarea tangentei pantei tangentei (sensul geometric al derivatei). Noi avem: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, la fel de tg45°=1.
Răspuns: tangenta la graficul acestei functii formeaza un unghi cu directia pozitiva a axei Ox, egal cu 45°.
3. Deduceți formula derivatei unei funcții y=xn.
Diferenţiere este actul de a găsi derivata unei funcții.
La găsirea derivatelor, se folosesc formule care au fost derivate pe baza definiției derivatei, în același mod în care am derivat formula pentru gradul derivat: (x n)" = nx n-1.
Iată formulele.
Tabel de derivate va fi mai ușor de memorat pronunțând formulări verbale:
1. Derivata unei valori constante este zero.
2. Cursa X este egală cu unu.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei.
4. Derivata unui grad este egală cu produsul exponentului acestui grad cu gradul cu aceeași bază, dar exponentul este cu unul mai puțin.
5. Derivata rădăcinii este egală cu una împărțită la două din aceleași rădăcini.
6. Derivata unității împărțită la x este minus unu împărțit la x pătrat.
7. Derivata sinusului este egală cu cosinusul.
8. Derivata cosinusului este egală cu minus sinus.
9. Derivata tangentei este egală cu unu împărțit la pătratul cosinusului.
10. Derivata cotangentei este minus unu împărțit la pătratul sinusului.
Noi predam reguli de diferențiere.
1.
Derivata sumei algebrice este egală cu suma algebrică a termenilor derivați.
2. Derivata produsului este egală cu produsul derivatei primului factor cu al doilea plus produsul primului factor cu derivata celui de-al doilea.
3. Derivata lui „y” împărțită la „ve” este egală cu o fracție, în numărătorul căreia „y este o lovitură înmulțită cu „ve” minus „y, înmulțit cu o lovitură”, iar la numitor - „ve pătrat ”.
4. Un caz special al formulei 3.
Să învățăm împreună!
Pagina 1 din 1 1
Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția derivatei unei funcții într-un punct. Să luăm unde X- orice număr real, adică X– orice număr din zona de definire a funcției . Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la: 
De remarcat că sub semnul limitei se obține o expresie, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.
Prin urmare, derivata unei functii constanteeste egal cu zero pe întregul domeniu de definiție.
Derivată a unei funcții de putere.
Formula pentru derivata unei funcții putere are forma 
, unde exponentul p este orice număr real.
Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, ...
Vom folosi definiția unei derivate. Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției de putere și incrementul argumentului: 
Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială a lui Newton: 
Prin urmare, 
Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.
Derivată a funcției exponențiale.
Deducem formula derivată pe baza definiției:
A ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă și pentru . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului.
Să efectuăm o înlocuire în limita inițială: 
Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, atunci ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale: 
Derivată a unei funcții logaritmice.
Să demonstrăm formula pentru derivata funcției logaritmice pentru toate X din domeniul de aplicare și toate valorile de bază valide A logaritm. Prin definiția derivatei, avem: 
După cum ați observat, în demonstrație, transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitate 
este valabilă datorită celei de-a doua limite remarcabile.
Derivate ale funcţiilor trigonometrice.
Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.
Prin definiția derivatei pentru funcția sinus, avem 
.
Folosim formula pentru diferența de sinusuri: 
Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă: 
Deci derivata funcției sin x există cos x.
Formula pentru derivata cosinus este dovedită exact în același mod. 
Prin urmare, derivata funcției cos x există –sin x.
Derivarea formulelor pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă se va efectua folosind regulile dovedite de diferențiere (derivată a fracției). 
Derivate ale funcțiilor hiperbolice.
Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei. 
Derivată a funcției inverse.
Pentru ca în prezentare să nu existe confuzie, să notăm în indexul inferior argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) pe X.
Acum formulăm regula pentru aflarea derivatei functiei inverse.
Lasă funcțiile y = f(x)și x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punctul există o derivată finită a funcției inverse g(y), și 
. Într-o altă intrare 
.
Această regulă poate fi reformulată pentru orice X din intervalul , atunci obținem 
.
Să verificăm validitatea acestor formule.
Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural 
(Aici y este o funcție și X- argument). Rezolvarea acestei ecuații pentru X, primim (aici X este o funcție și y argumentul ei). adica 
și funcții reciproc inverse.
Din tabelul derivatelor, vedem că 
și 
.
Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate: 
Operația de găsire a unei derivate se numește diferențiere.
Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului dintre increment și increment al argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) au fost primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor.
Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu este necesar să se calculeze limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să se utilizeze tabelul a derivatelor şi regulile de diferenţiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.
Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul stroke descompune funcțiile simpleși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În plus, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.
Exemplul 1 Aflați derivata unei funcții
Decizie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata sumei funcțiilor este suma derivatelor funcțiilor, adică.
Din tabelul derivatelor, aflăm că derivata lui „X” este egală cu unu, iar derivata sinusului este cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:
Exemplul 2 Aflați derivata unei funcții
Decizie. Diferențiați ca derivată a sumei, în care al doilea termen cu un factor constant, poate fi scos din semnul derivatei:
Dacă există încă întrebări despre unde vine ceva, acestea, de regulă, devin clare după citirea tabelului de derivate și a celor mai simple reguli de diferențiere. Mergem la ei chiar acum.
Tabel de derivate ale funcțiilor simple
| 1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Mereu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des | |
| 2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „x”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut | |
| 3. Derivată de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile non-pătrate într-o putere. | |
| 4. Derivată a unei variabile la puterea lui -1 | |
| 5. Derivată a rădăcinii pătrate | |
| 6. Derivat sinus | |
| 7. Derivat de cosinus |  |
| 8. Derivată tangentă |  |
| 9. Derivat de cotangente |  |
| 10. Derivată a arcsinusului |  |
| 11. Derivată a arccosinusului |  |
| 12. Derivata arc tangentei |  |
| 13. Derivată a tangentei inverse |  |
| 14. Derivată a logaritmului natural | |
| 15. Derivata unei functii logaritmice |  |
| 16. Derivată a exponentului | |
| 17. Derivată a funcției exponențiale |
Reguli de diferențiere
| 1. Derivată a sumei sau a diferenței |  |
| 2. Derivat al unui produs |  |
| 2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant | |
| 3. Derivată a coeficientului |  |
| 4. Derivata unei functii complexe |  |
Regula 1Dacă funcţiile
sunt diferențiabile la un moment dat, apoi în același punct funcțiile
și
acestea. derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.
Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-o constantă, atunci derivatele lor sunt, adică
Regula 2Dacă funcţiile
sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este, de asemenea, diferențiabil în același punct
și
acestea. derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții și derivata celeilalte.
Consecința 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:
Consecința 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecaruia dintre factori si a tuturor celorlalti.
De exemplu, pentru trei multiplicatori:
Regula 3Dacă funcţiile
diferentiabil la un moment dat și , atunci în acest moment și câtul lor este diferențiabil.u/v și
acestea. derivata unui cât de două funcții este egală cu o fracție al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul numărătorului anterior .
Unde să te uiți pe alte pagini
Când găsiți derivata produsului și coeficientul în probleme reale, este întotdeauna necesar să aplicați mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că mai multe exemple despre aceste derivate sunt în articol.„Derivata unui produs și a unui coeficient”.
Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen din sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Aceasta este o greșeală tipică care apare în etapa inițială a studiului derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una-două componente, această greșeală nu mai face.
Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, în care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (un astfel de caz este analizat în exemplul 10) .
O altă greșeală comună este soluția mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. Asa de derivata unei functii complexe dedicat unui articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.
Pe parcurs, nu te poți lipsi de transformări ale expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți în noi manuale Windows Acțiuni cu puteri și rădăciniși Acțiuni cu fracții .
Dacă cauți soluții la derivate cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca 
, apoi urmează lecția „Derivată a sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini”.
Dacă aveți o sarcină ca 
, atunci te afli la lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.
Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul
Exemplul 3 Aflați derivata unei funcții
Decizie. Determinăm părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă produsul, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte:
În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă, al doilea termen cu semnul minus. În fiecare sumă, vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „x” se transformă în unu, iar minus 5 - în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori ale derivatelor:
Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:
Exemplul 4 Aflați derivata unei funcții
Decizie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicam formula de diferentiere a unui cat: derivata unui cat de doua functii este egala cu o fractiune al carei numarator este diferenta dintre produsele numitorului si derivata numaratorului si numaratorului si derivata numitorului, si numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:
Am găsit deja derivata factorilor din numărător în Exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător, este luat cu semnul minus în exemplul curent:
Dacă căutați soluții la astfel de probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și grade, cum ar fi, de exemplu, 
atunci bun venit la curs „Derivata sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini” .
Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci ai o lecție „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .
Exemplul 5 Aflați derivata unei funcții
Decizie. În această funcție, vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, cu derivata căreia ne-am familiarizat în tabelul derivatelor. Conform regulii de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:
Exemplul 6 Aflați derivata unei funcții
Decizie. În această funcție, vedem coeficientul, al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Conform regulii de diferențiere a coeficientului, pe care am repetat-o și aplicat în exemplul 4, și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:
Pentru a scăpa de fracția din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .
Derivatul unei funcții este unul dintre cele mai dificile subiecte din programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.
Acest articol explică simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoarea matematică a prezentării. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.
Să ne amintim definiția:
Derivata este rata de schimbare a functiei.
Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește cel mai repede?
Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.
Iată un alt exemplu.
Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:
Puteți vedea totul pe diagramă imediat, nu? Venitul lui Kostya s-a dublat de peste șase luni. Și veniturile lui Grisha au crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matthew a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de modificare a funcției, adică. derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul venitului său este în general negativ.
Intuitiv, putem estima cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum o facem?
Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul funcției. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y cu x. Evident, aceeași funcție în puncte diferite poate avea o valoare diferită a derivatei - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.
Derivata unei functii se noteaza cu .
Să arătăm cum să găsim folosind graficul.
Este desenat un grafic al unei funcții. Luați un punct pe el cu o abscisă. Desenați o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să evaluăm cât de abrupt crește graficul funcției. O valoare la îndemână pentru aceasta este tangenta pantei tangentei.
Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangenta pantei tangentei trasata la graficul functiei in acel punct.
Vă rugăm să rețineți - ca unghi de înclinare al tangentei, luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.
Uneori, elevii întreabă care este tangenta la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are singurul punct comun cu graficul din această secțiune, în plus, așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.
Sa gasim . Ne amintim că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este egală cu raportul catetului opus față de cel alăturat. Din triunghi:
Am găsit derivata folosind graficul fără să știm măcar formula funcției. Astfel de sarcini se găsesc adesea la examenul de matematică sub numărul.
Există o altă corelație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație
Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.
.
Înțelegem asta
Să ne amintim această formulă. Exprimă semnificația geometrică a derivatei.
Derivata unei functii intr-un punct este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acel punct.
Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei pantei tangentei.
Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.
Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.
La un moment dat, funcția crește. Tangenta la grafic, trasata in punct, formeaza un unghi ascutit; cu direcția pozitivă a axei. Deci derivata este pozitivă la punct.
În acel moment, funcția noastră este în scădere. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz; cu direcția pozitivă a axei. Deoarece tangenta unui unghi obtuz este negativă, derivata din punct este negativă.
Iată ce se întâmplă:
Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.
Dacă scade, derivata sa este negativă.
Și ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem că la (punctul maxim) și (punctul minim) tangenta este orizontală. Prin urmare, tangenta pantei tangentei în aceste puncte este zero, iar derivata este, de asemenea, zero.
Punctul este punctul maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul de la „plus” la „minus”.
În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, egală cu zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.
Concluzie: cu ajutorul derivatei, puteți afla tot ce ne interesează despre comportamentul funcției.
Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția este în creștere.
Dacă derivata este negativă, atunci funcția este descrescătoare.
În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din plus în minus.
La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din minus în plus.
Scriem aceste constatări sub forma unui tabel:
| crește | punct maxim | scade | punct minim | crește | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați problema. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.
Este posibil un caz când derivata unei funcții la un moment dat este egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acest așa-zis :
Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - a rămas la fel de pozitiv precum era.
De asemenea, se întâmplă ca în punctul de maxim sau minim, derivata să nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.
Dar cum să găsim derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz, se aplică
