Rezolvarea inegalităților online

Înainte de a rezolva inegalitățile, este necesar să înțelegem bine cum se rezolvă ecuațiile.

Nu contează dacă inegalitatea este strictă () sau nestrictă (≤, ≥), primul pas este rezolvarea ecuației prin înlocuirea semnului de inegalitate cu egalitate (=).

Explicați ce înseamnă rezolvarea unei inegalități?

După ce a studiat ecuațiile, elevul are următoarea imagine în cap: trebuie să găsiți astfel de valori ale variabilei pentru care ambele părți ale ecuației iau aceleași valori. Cu alte cuvinte, găsiți toate punctele în care este valabilă egalitatea. Totul este corect!

Când se vorbește despre inegalități, ele înseamnă găsirea intervalelor (segmentelor) pe care se ține inegalitatea. Dacă există două variabile în inegalitate, atunci soluția nu va mai fi intervale, ci niște zone din plan. Ghici care va fi soluția inegalității în trei variabile?

Cum se rezolvă inegalitățile?

Metoda intervalelor (aka metoda intervalelor) este considerată a fi o modalitate universală de rezolvare a inegalităților, care constă în determinarea tuturor intervalelor în care se va îndeplini inegalitatea dată.

Fără a intra în tipul inegalității, în acest caz nu este esența, se cere să se rezolve ecuația corespunzătoare și să se determine rădăcinile acesteia, urmată de desemnarea acestor soluții pe axa numerică.

Care este modul corect de a scrie soluția unei inegalități?

Când ați determinat intervalele pentru rezolvarea inegalității, trebuie să scrieți corect soluția în sine. Există o nuanță importantă - limitele intervalelor sunt incluse în soluție?

Totul este simplu aici. Dacă soluția ecuației satisface ODZ și inegalitatea nu este strictă, atunci granița intervalului este inclusă în soluția inegalității. Altfel, nu.

Luând în considerare fiecare interval, soluția inegalității poate fi intervalul în sine, sau un semi-interval (când una dintre limitele sale satisface inegalitatea), sau un segment - un interval împreună cu limitele sale.

Punct important

Să nu credeți că numai intervalele, semiintervalele și segmentele pot fi soluția unei inegalități. Nu, punctele individuale pot fi incluse și în soluție.

De exemplu, inegalitatea |x|≤0 are o singură soluție - punctul 0.

Și inegalitatea |x|

Pentru ce este calculatorul de inegalități?

Calculatorul de inegalități oferă răspunsul final corect. În acest caz, în cele mai multe cazuri, este dată o ilustrare a unei axe numerice sau a unui plan. Puteți vedea dacă limitele intervalelor sunt incluse sau nu în soluție - punctele sunt afișate umplute sau străpunse.

Datorită calculatorului de inegalități online, puteți verifica dacă ați găsit corect rădăcinile ecuației, le-ați marcat pe linia numerică și ați verificat condițiile de inegalitate pe intervale (și limite)?

Dacă răspunsul dvs. diferă de răspunsul calculatorului, atunci trebuie neapărat să vă verificați soluția și să identificați greșeala făcută.

Astăzi, prieteni, nu va mai fi nici un moc și sentiment. În schimb, te voi trimite în luptă cu unul dintre cei mai formidabili adversari de la cursul de algebră de clasa a VIII-a-9 fără alte întrebări.

Da, ați înțeles totul corect: vorbim de inegalități cu modul. Vom analiza patru tehnici de bază cu care vei învăța să rezolvi aproximativ 90% dintre aceste probleme. Dar ceilalti 10%? Ei bine, vom vorbi despre ele într-o lecție separată. :)

Cu toate acestea, înainte de a analiza orice trucuri acolo, aș dori să reamintesc două fapte pe care trebuie să le cunoașteți deja. Altfel, riști să nu înțelegi deloc materialul lecției de astăzi.

Ce trebuie să știi deja

Căpitanul Evidence, așa cum spune, sugerează că pentru a rezolva inegalitățile cu un modul, trebuie să știi două lucruri:

1. Cum se rezolvă inegalitățile?
2. Ce este un modul.

Să începem cu al doilea punct.

Definiția modulului

Totul este simplu aici. Există două definiții: algebrică și grafică. Să începem cu algebra:

Definiție. Modulul numărului $x$ este fie numărul în sine, dacă este nenegativ, fie numărul opus acestuia, dacă $x$ original este încă negativ.

Este scris astfel:

\[\stanga| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

În termeni simpli, modulul este „un număr fără minus”. Și este în această dualitate (undeva nu trebuie să faceți nimic cu numărul inițial, dar undeva trebuie să eliminați un minus acolo) și toată dificultatea pentru studenții începători se află.

Există și o definiție geometrică. De asemenea, este util să-l cunoaștem, dar ne vom referi la el doar în cazuri complexe și unele deosebite, în care abordarea geometrică este mai convenabilă decât cea algebrică (spoiler: nu astăzi).

Definiție. Fie marcat punctul $a$ pe linia reală. Apoi modulul $\left| x-a \right|$ este distanța de la punctul $x$ la punctul $a$ de pe această dreaptă.

Dacă desenați o imagine, obțineți ceva de genul acesta:

Definirea modulului grafic

Într-un fel sau altul, proprietatea sa cheie decurge imediat din definiția modulului: modulul unui număr este întotdeauna o valoare nenegativă. Acest fapt va fi un fir roșu care traversează întreaga noastră poveste de astăzi.

Rezolvarea inegalităților. Metoda de spațiere

Acum să ne ocupăm de inegalități. Sunt foarte multe dintre ele, dar sarcina noastră acum este să le putem rezolva cel puțin pe cele mai simple. Cele care se reduc la inegalități liniare, precum și la metoda intervalelor.

Am două tutoriale mari pe această temă (apropo, foarte, FOARTE utile - recomand să studiezi):

1. Metoda intervalului pentru inegalități (în special urmăriți videoclipul);
2. Inegalitățile fracționale-raționale sunt o lecție foarte voluminoasă, dar după ea nu veți mai avea deloc întrebări.

Dacă știi toate astea, dacă expresia „să trecem de la inegalitate la ecuație” nu te face să vrei vag să te sinucizi de perete, atunci ești gata: bine ai venit în iad la subiectul principal al lecției. :)

1. Inegalități de formă „Modul mai mic decât funcția”

Aceasta este una dintre sarcinile cele mai frecvent întâlnite cu module. Este necesar să se rezolve o inegalitate de forma:

\[\stanga| f\right| \ltg\]

Orice poate acționa ca funcții $f$ și $g$, dar de obicei sunt polinoame. Exemple de astfel de inegalități:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\dreapta| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\stânga| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Toate acestea sunt rezolvate literalmente într-o singură linie conform schemei:

\[\stanga| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \corect corect)\]

Este ușor de observat că scăpăm de modul, dar în schimb obținem o inegalitate dublă (sau, ceea ce este același, un sistem de două inegalități). Dar această tranziție ia în considerare absolut toate problemele posibile: dacă numărul de sub modul este pozitiv, metoda funcționează; dacă este negativ, încă funcționează; și chiar și cu cea mai inadecvată funcție în locul $f$ sau $g$, metoda va funcționa în continuare.

Desigur, se pune întrebarea: nu este mai ușor? Din păcate, nu poți. Acesta este scopul modulului.

Dar destul de filosofat. Să rezolvăm câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 2x+3\dreapta| \ltx+7\]

Decizie. Deci, avem o inegalitate clasică de forma „modulul este mai mic decât” - chiar nu există nimic de transformat. Lucrăm conform algoritmului:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\dreapta| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nu vă grăbiți să deschideți parantezele precedate de un „minus”: este foarte posibil ca din cauza grabei să faceți o greșeală ofensivă.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problema a fost redusă la două inegalități elementare. Notăm soluțiile lor pe drepte reale paralele:

Intersectia multora

Intersecția acestor mulțimi va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Decizie. Această sarcină este puțin mai dificilă. Pentru început, izolăm modulul mutând al doilea termen la dreapta:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Evident, ne confruntăm din nou cu o inegalitate de forma „modulul este mai mic”, așa că scăpăm de modul conform algoritmului deja cunoscut:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Acum atenție: cineva va spune că sunt un pic cam pervers cu toate aceste paranteze. Dar încă o dată vă reamintesc că scopul nostru cheie este rezolvați corect inegalitatea și obțineți răspunsul. Mai târziu, când ai stăpânit perfect tot ceea ce este descris în această lecție, te poți perverti după cum vrei: deschide paranteze, adaugă minusuri etc.

Și pentru început, scăpăm doar de minusul dublu din stânga:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\stânga(x+1\dreapta)\]

Acum să deschidem toate parantezele din inegalitatea dublă:

Să trecem la dublarea inegalității. De data aceasta calculele vor fi mai serioase:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aliniați)\dreapta.\]

Ambele inegalități sunt pătrate și se rezolvă prin metoda intervalului (de aceea spun: dacă nu știi ce este, mai bine să nu iei încă modulele). Trecem la ecuația din prima inegalitate:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, rezultatul s-a dovedit a fi o ecuație pătratică incompletă, care este rezolvată elementar. Acum să ne ocupăm de a doua inegalitate a sistemului. Acolo trebuie să aplicați teorema lui Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Marcam numerele obținute pe două drepte paralele (separați pentru prima inegalitate și separați pentru a doua):

Din nou, deoarece rezolvăm un sistem de inegalități, ne interesează intersecția mulțimilor umbrite: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Acesta este răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-5;-2 \right)$

Cred că după aceste exemple schema de soluție este foarte clară:

1. Izolați modulul mutând toți ceilalți termeni în partea opusă a inegalității. Astfel obținem o inegalitate de forma $\left| f\right| \ltg$.
2. Rezolvați această inegalitate eliminând modulul așa cum este descris mai sus. La un moment dat, va fi necesar să trecem de la o inegalitate dublă la un sistem de două expresii independente, fiecare dintre acestea putând fi deja rezolvată separat.
3. În sfârșit, rămâne doar să traversăm soluțiile acestor două expresii independente - și atât, vom obține răspunsul final.

Un algoritm similar există pentru inegalitățile de tipul următor, când modulul este mai mare decât funcția. Cu toate acestea, există câteva „dar” serioase. Despre aceste „dar” vom vorbi acum.

2. Inegalități de formă „Modulul este mai mare decât funcția”

Arata asa:

\[\stanga| f\right| \gt g\]

Similar cu precedentul? Par a fi. Cu toate acestea, astfel de sarcini sunt rezolvate într-un mod complet diferit. Formal, schema este următoarea:

\[\stanga| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Cu alte cuvinte, luăm în considerare două cazuri:

1. În primul rând, pur și simplu ignorăm modulul - rezolvăm inegalitatea obișnuită;
2. Apoi, de fapt, deschidem modulul cu semnul minus și apoi înmulțim ambele părți ale inegalității cu −1, cu un semn.

În acest caz, opțiunile sunt combinate cu o paranteză pătrată, adică. Avem o combinație de două cerințe.

Fiți atenți din nou: înaintea noastră nu este un sistem, ci un agregat, așadar în răspuns, mulțimile sunt combinate, nu intersectate. Aceasta este o diferență fundamentală față de paragraful anterior!

În general, mulți studenți au multă confuzie cu uniunile și intersecțiile, așa că haideți să analizăm această problemă odată pentru totdeauna:

• „∪” este un semn de concatenare. De fapt, aceasta este o litera stilizată „U”, care ne-a venit din limba engleză și este o abreviere pentru „Union”, adică. "Asociațiile".
• „∩” este semnul de intersecție. Prostia asta nu a venit de nicăieri, ci doar a apărut ca o opoziție cu „∪”.

Pentru a vă aminti și mai ușor, adăugați picioare la aceste semne pentru a face ochelari (numai să nu mă acuzați că promovez dependența de droguri și alcoolismul acum: dacă studiați serios această lecție, atunci ești deja dependent de droguri):

Diferența dintre intersecția și unirea mulțimilor

Tradus în rusă, aceasta înseamnă următoarele: uniunea (colecția) include elemente din ambele seturi, prin urmare, nu mai puțin decât fiecare dintre ele; dar intersecția (sistemul) include doar acele elemente care se află atât în ​​primul set, cât și în al doilea. Prin urmare, intersecția mulțimilor nu este niciodată mai mare decât mulțimile sursă.

Deci a devenit mai clar? Asta este grozav. Să trecem la practică.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\]

Decizie. Acționăm conform schemei:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ dreapta.\]

Rezolvăm inegalitatea fiecărei populații:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcam fiecare set rezultat pe linia numerică și apoi le combinăm:

Unirea de seturi

În mod evident, răspunsul este $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Răspuns: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Decizie. Bine? Nu, e tot la fel. Trecem de la o inegalitate cu un modul la o mulțime de două inegalități:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(aliniere) \dreapta.\]

Rezolvăm fiecare inegalitate. Din păcate, rădăcinile nu vor fi foarte bune acolo:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

În a doua inegalitate, există și un pic de joc:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Acum trebuie să marchem aceste numere pe două axe - o axă pentru fiecare inegalitate. Cu toate acestea, trebuie să marcați punctele în ordinea corectă: cu cât numărul este mai mare, cu atât punctul se deplasează mai departe spre dreapta.

Și aici așteptăm o configurație. Dacă totul este clar cu numerele $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termenii din numărătorul primului fracție sunt mai mici decât termenii din numărătorul celui de-al doilea , deci și suma este mai mică), cu numerele $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ nici nu va fi nicio dificultate (un număr pozitiv evident mai negativ), dar cu ultimul cuplu totul nu este atât de simplu. Care este mai mare: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ sau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Dispunerea punctelor pe dreptele numerice și, de fapt, răspunsul va depinde de răspunsul la această întrebare.

Deci hai sa comparam:

\[\begin(matrice) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Am izolat rădăcina, am obținut numere nenegative de ambele părți ale inegalității, deci avem dreptul de a pătra ambele părți:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Cred că nu este o idee că $4\sqrt(13) \gt 3$, deci $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, în final punctele de pe axe vor fi aranjate astfel:

Caz de rădăcini urâte

Permiteți-mi să vă reamintesc că rezolvăm o mulțime, deci răspunsul va fi unirea, și nu intersecția mulțimilor umbrite.

Răspuns: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

După cum puteți vedea, schema noastră funcționează excelent atât pentru sarcini simple, cât și pentru cele foarte grele. Singurul „punct slab” al acestei abordări este că trebuie să comparați corect numerele iraționale (și credeți-mă: acestea nu sunt doar rădăcini). Dar o lecție separată (și foarte serioasă) va fi dedicată întrebărilor de comparație. Și mergem mai departe.

3. Inegalități cu „cozi” nenegative

Așa că am ajuns la cele mai interesante. Acestea sunt inegalități de formă:

\[\stanga| f\right| \gt\left| g\dreapta|\]

În general, algoritmul despre care vom vorbi acum este valabil doar pentru modul. Funcționează în toate inegalitățile în care există expresii nenegative garantate în stânga și dreapta:

Ce să faci cu aceste sarcini? Doar aminteste-ti:

În inegalitățile cu cozi nenegative, ambele părți pot fi ridicate la orice putere naturală. Nu vor exista restricții suplimentare.

În primul rând, ne va interesa pătrarea - arde module și rădăcini:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Doar nu confundați acest lucru cu luarea rădăcinii pătratului:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \dreapta|\ne f\]

S-au făcut nenumărate greșeli atunci când un student a uitat să instaleze un modul! Dar aceasta este o poveste complet diferită (acestea sunt, parcă, ecuații iraționale), așa că nu vom intra în ea acum. Să rezolvăm mai bine câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \dreapta|\]

Decizie. Observăm imediat două lucruri:

1. Aceasta este o inegalitate nestrictă. Punctele de pe linia numerică vor fi eliminate.
2. Ambele părți ale inegalității sunt în mod evident nenegative (aceasta este o proprietate a modulului: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Prin urmare, putem pătra ambele părți ale inegalității pentru a scăpa de modul și a rezolva problema folosind metoda obișnuită a intervalului:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

La ultimul pas, am înșelat puțin: am schimbat succesiunea de termeni, folosind paritatea modulului (de fapt, am înmulțit expresia $1-2x$ cu −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dreapta)\dreapta)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rezolvăm prin metoda intervalului. Să trecem de la inegalitate la ecuație:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Marcam rădăcinile găsite pe linia numerică. Încă o dată: toate punctele sunt umbrite pentru că inegalitatea originală nu este strictă!

A scăpa de semnul modulului

Permiteți-mi să vă reamintesc pentru cei deosebit de încăpățânați: luăm semnele din ultima inegalitate, care a fost notă înainte de a trece la ecuație. Și pictăm peste zonele necesare în aceeași inegalitate. În cazul nostru, acesta este $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Asta e. Problema rezolvata.

Răspuns: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \dreapta|\]

Decizie. Facem totul la fel. Nu voi comenta - doar uitați-vă la succesiunea acțiunilor.

Să-l pătram:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \dreapta))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ dreapta))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda de spațiere:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Săgeată dreapta x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Există o singură rădăcină pe linia numerică:

Răspunsul este o gamă întreagă

Răspuns: $x\în \left[ -1,5;+\infty \right)$.

O mică notă despre ultima sarcină. După cum a remarcat cu exactitate unul dintre studenții mei, ambele expresii ale submodulelor din această inegalitate sunt în mod evident pozitive, astfel încât semnul modulului poate fi omis fără a dăuna sănătății.

Dar acesta este deja un nivel complet diferit de gândire și o abordare diferită - poate fi numit în mod condiționat metoda consecințelor. Despre el - într-o lecție separată. Și acum să trecem la ultima parte a lecției de astăzi și să luăm în considerare un algoritm universal care funcționează întotdeauna. Chiar și atunci când toate abordările anterioare au fost neputincioase. :)

4. Metoda de enumerare a opțiunilor

Ce se întâmplă dacă toate aceste trucuri nu funcționează? Dacă inegalitatea nu se reduce la cozi nenegative, dacă este imposibil de izolat modulul, dacă este deloc durere-tristețe-dor?

Apoi intră în scenă „artileria grea” a tuturor matematicii - metoda de enumerare. În ceea ce privește inegalitățile cu modulul, arată astfel:

1. Scrieți toate expresiile submodulelor și egalați-le cu zero;
2. Rezolvați ecuațiile rezultate și marcați rădăcinile găsite pe o dreaptă numerică;
3. Linia dreaptă va fi împărțită în mai multe secțiuni, în cadrul cărora fiecare modul are un semn fix și, prin urmare, se extinde fără ambiguitate;
4. Rezolvați inegalitatea pe fiecare astfel de secțiune (puteți lua în considerare separat rădăcinile limită obținute în paragraful 2 - pentru fiabilitate). Combină rezultatele - acesta va fi răspunsul. :)

Ei bine, cum? Slab? Uşor! Doar pentru mult timp. Să vedem în practică:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \dreapta| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Decizie. Prostia asta nu se rezumă la inegalități precum $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ sau $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, deci haideți.

Scriem expresiile submodulelor, le echivalăm cu zero și găsim rădăcinile:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Săgeată la dreapta x=1. \\\end(align)\]

În total, avem două rădăcini care împart linia numerică în trei secțiuni, în interiorul cărora fiecare modul este dezvăluit în mod unic:

Împărțirea dreptei numerice cu zerouri a funcțiilor submodulare

Să luăm în considerare fiecare secțiune separat.

1. Fie $x \lt -2$. Atunci ambele expresii ale submodulului sunt negative, iar inegalitatea originală este rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Avem o constrângere destul de simplă. Să-l intersectăm cu presupunerea inițială că $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

În mod evident, variabila $x$ nu poate fi simultan mai mică de −2 dar mai mare de 1,5. Nu există soluții în acest domeniu.

1.1. Să considerăm separat cazul limită: $x=-2$. Să înlocuim acest număr în inegalitatea originală și să verificăm: se menține?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Evident, lanțul de calcule ne-a condus la o inegalitate greșită. Prin urmare, inegalitatea originală este, de asemenea, falsă, iar $x=-2$ nu este inclus în răspuns.

2. Acum fie $-2 \lt x \lt 1$. Modulul din stânga se va deschide deja cu un „plus”, dar cel din dreapta este încă cu „minus”. Noi avem:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Din nou ne intersectăm cu cerința inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Și din nou, mulțimea goală de soluții, deoarece nu există numere care să fie atât mai mici decât −2,5, cât și mai mari decât −2.

2.1. Și din nou un caz special: $x=1$. Înlocuim în inegalitatea originală:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\dreapta| \lt\left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Similar cu „cazul special” anterior, numărul $x=1$ nu este în mod clar inclus în răspuns.

3. Ultima bucată a liniei: $x \gt 1$. Aici toate modulele sunt extinse cu un semn plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Și din nou intersectăm mulțimea găsită cu constrângerea inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \dreapta)\]

In cele din urma! Am găsit intervalul, care va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

În sfârșit, o notă care te poate scuti de greșeli stupide atunci când rezolvi probleme reale:

Soluțiile inegalităților cu module sunt de obicei seturi continue pe linia numerică - intervale și segmente. Punctele izolate sunt mult mai rare. Și chiar mai rar, se întâmplă ca limitele soluției (sfârșitul segmentului) să coincidă cu limita intervalului luat în considerare.

În consecință, dacă granițele (aceleași „cazuri speciale”) nu sunt incluse în răspuns, atunci aproape sigur că zonele din stânga-dreapta acestor limite nu vor fi incluse în răspuns. Și invers: granița a intrat ca răspuns, ceea ce înseamnă că unele zone din jurul ei vor fi și răspunsuri.

Țineți cont de acest lucru când verificați soluțiile.

Se numesc inegalități liniare ale căror părți din stânga și din dreapta sunt funcții liniare în raport cu o mărime necunoscută. Acestea includ, de exemplu, inegalitățile:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Inegalități stricte: ax+b>0 sau topor+b<0

2) Inegalități nestricte: ax+b≤0 sau topor+b≫ 0

Să luăm această sarcină. O latură a unui paralelogram are 7 cm. Care ar trebui să fie lungimea celeilalte părți pentru ca perimetrul paralelogramului să fie mai mare de 44 cm?

Lasă partea dorită să fie X cm.În acest caz, perimetrul paralelogramului va fi reprezentat prin (14 + 2x) cm.Inegalitatea 14 + 2x > 44 este un model matematic al problemei perimetrului paralelogramului. Dacă în această inegalitate înlocuim variabila X pe, de exemplu, numărul 16, atunci obținem inegalitatea numerică corectă 14 + 32\u003e 44. În acest caz, se spune că numărul 16 este o soluție a inegalității 14 + 2x\u003e 44.

Soluția inegalității numiți valoarea variabilei care o transformă într-o adevărată inegalitate numerică.

Prin urmare, fiecare dintre numerele 15,1; 20;73 acționează ca o soluție a inegalității 14 + 2x > 44, iar numărul 10, de exemplu, nu este soluția sa.

Rezolvați inegalitateaînseamnă a stabili toate soluțiile sale sau a demonstra că soluțiile nu există.

Formularea soluției inegalității este similară cu formularea rădăcinii ecuației. Și totuși nu se obișnuiește să se desemneze „rădăcina inegalității”.

Proprietățile egalităților numerice ne-au ajutat să rezolvăm ecuații. În mod similar, proprietățile inegalităților numerice vor ajuta la rezolvarea inegalităților.

Rezolvând ecuația, o schimbăm cu o altă ecuație, mai simplă, dar echivalentă cu cea dată. În mod similar, răspunsul se găsește pentru inegalități. Atunci când schimbă ecuația într-o ecuație echivalentă cu ea, ei folosesc teorema privind transferul de termeni dintr-o parte a ecuației în opus și înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu același număr diferit de zero. La rezolvarea unei inegalități, există o diferență semnificativă între aceasta și o ecuație, care constă în faptul că orice soluție a unei ecuații poate fi verificată pur și simplu prin substituirea acesteia în ecuația originală. În inegalități, nu există o astfel de metodă, deoarece nu este posibil să înlocuiți un număr infinit de soluții în inegalitatea originală. Prin urmare, există un concept important, aceste săgeți<=>este semnul transformărilor echivalente sau echivalente. Transformarea se numește echivalent sau echivalent dacă nu modifică setul de decizie.

Reguli similare pentru rezolvarea inegalităților.

Dacă orice termen este mutat dintr-o parte a inegalității în alta, înlocuind semnul său cu cel opus, atunci obținem o inegalitate echivalentă cu cea dată.

Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite (împărțite) cu același număr pozitiv, atunci obținem o inegalitate echivalentă cu cea dată.

Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite (împărțite) cu același număr negativ, înlocuind semnul inegalității cu cel opus, atunci obținem o inegalitate echivalentă cu cea dată.

Folosind acestea reguli calculăm următoarele inegalități.

1) Să analizăm inegalitatea 2x - 5 > 9.

Aceasta este inegalitatea liniară, găsiți-i soluția și discutați conceptele de bază.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 a fost mutat în partea stângă cu semnul opus), apoi am împărțit totul la 2 și avem x > 7. Aplicam un set de solutii la axa X

Am obținut un fascicul direcționat pozitiv. Notăm setul de soluții fie sub forma inegalității x > 7, sau ca un interval x(7; ∞). Și care este o soluție specială la această inegalitate? De exemplu, x=10 este o soluție specială la această inegalitate, x=12 este, de asemenea, o soluție specială a acestei inegalități.

Există multe soluții particulare, dar sarcina noastră este să găsim toate soluțiile. Iar soluțiile sunt de obicei infinite.

Să analizăm exemplu 2:

2) Rezolvați inegalitatea 4a - 11 > a + 13.

Hai sa o rezolvam: A muta într-o parte 11 trecem pe cealaltă parte, obținem 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 inegalitatea are forma A<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>A< 8 .

Vom afișa și setul A< 8 , dar deja pe axă A.

Răspunsul este fie scris ca o inegalitate a< 8, либо A(-∞;8), 8 nu se aprinde.

Inegalitate este o expresie cu, ≤ sau ≥. De exemplu, 3x - 5 A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate valorile variabilelor pentru care această inegalitate este adevărată. Fiecare dintre aceste numere este o soluție a inegalității, iar mulțimea tuturor acestor soluții este a acestuia multe solutii. Se numesc inegalitățile care au același set de soluții inegalități echivalente.

Inegalități liniare

Principiile de rezolvare a inegalităților sunt similare cu principiile de rezolvare a ecuațiilor.

Principii de rezolvare a inegalităților
Pentru orice numere reale a, b și c:
Principiul adunării inegalităților: În cazul în care un Principiul înmulțirii pentru inegalități: Dacă un 0 este adevărat, atunci ac Dacă un bc este și adevărat.
Afirmații similare se aplică și pentru a ≤ b.

Când ambele părți ale unei inegalități sunt înmulțite cu un număr negativ, semnul inegalității trebuie inversat.
Se numesc inegalitățile de primul nivel, ca în exemplul 1 (mai jos). inegalități liniare.

Exemplul 1 Rezolvați fiecare dintre următoarele inegalități. Apoi desenați un set de soluții.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Decizie
Orice număr mai mic de 11/5 este o soluție.
Mulțimea soluțiilor este (x|x
Pentru a face o verificare, putem reprezenta grafic y 1 = 3x - 5 și y 2 = 6 - 2x. Atunci se vede de aici că pentru x
Mulțimea soluției este (x|x ≤ 1), sau (-∞, 1). Graficul setului de soluții este prezentat mai jos.

Inegalități duble

Când două inegalități sunt legate printr-un cuvânt și, sau, apoi se formează dubla inegalitate. Dubla inegalitate ca
-3 și 2x + 5 ≤ 7
numit conectat pentru ca foloseste și. Înregistrarea -3 Inegalitățile duble pot fi rezolvate folosind principiile adunării și înmulțirii inegalităților.

Exemplul 2 Rezolvați -3 Decizie Noi avem

Mulțimea soluțiilor (x|x ≤ -1 sau x > 3). De asemenea, putem scrie soluția folosind notația de spațiere și simbolul pentru asociațiile sau incluziuni ale ambelor multimi: (-∞ -1] (3, ∞). Graficul multimii de solutii este prezentat mai jos.

Pentru a testa, desenați y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 și y 3 = 1. Rețineți că pentru (x|x ≤ -1 sau x > 3), y 1 ≤ y 2 sau y 1 > y 3 .

Inegalități cu valoare absolută (modul)

Inegalitățile conțin uneori module. Următoarele proprietăți sunt folosite pentru a le rezolva.
Pentru a > 0 și o expresie algebrică x:
|x| |x| > a este echivalent cu x sau x > a.
Afirmații similare pentru |x| ≤ a și |x| ≥ a.

De exemplu,
|x| |y| ≥ 1 este echivalent cu y ≤ -1 sau y ≥ 1;
și |2x + 3| ≤ 4 este echivalent cu -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Exemplul 4 Rezolvați fiecare dintre următoarele inegalități. Trasează setul de soluții.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Decizie
a) |3x + 2|

Mulțimea soluției este (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Mulțimea soluției este (x|x ≤ 2 sau x ≥ 3), sau (-∞, 2] )