Exponentul este folosit pentru a facilita scrierea operației de înmulțire a unui număr cu el însuși. De exemplu, în loc să scrieți, puteți scrie 4 5 (\displaystyle 4^(5))(o explicație a unei astfel de tranziții este dată în prima secțiune a acestui articol). Puterile facilitează scrierea de expresii sau ecuații lungi sau complexe; de asemenea, puterile se adună și se scad cu ușurință, rezultând o simplificare a unei expresii sau a unei ecuații (de exemplu, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Notă: dacă trebuie să rezolvați o ecuație exponențială (într-o astfel de ecuație, necunoscuta este în exponent), citiți.

Pași

Rezolvarea unor probleme simple cu puteri

Înmulțiți baza exponentului cu ea însăși de un număr de ori egal cu exponentul. Dacă trebuie să rezolvați manual o problemă cu exponenți, rescrieți exponentul ca operație de înmulțire, în care baza exponentului este înmulțită cu ea însăși. De exemplu, având în vedere gradul 3 4 (\displaystyle 3^(4)). În acest caz, baza gradului 3 trebuie înmulțită cu ea însăși de 4 ori: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Iată și alte exemple:

În primul rând, înmulțiți primele două numere. De exemplu, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nu vă faceți griji - procesul de calcul nu este atât de complicat pe cât pare la prima vedere. Mai întâi înmulțiți primele două cvadruple, apoi înlocuiți-le cu rezultatul. Ca aceasta:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Înmulțiți rezultatul (16 în exemplul nostru) cu următorul număr. Fiecare rezultat ulterior va crește proporțional. În exemplul nostru, înmulțiți 16 cu 4. Astfel:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Continuați să înmulțiți rezultatul înmulțirii primelor două numere cu următorul număr până când obțineți răspunsul final. Pentru a face acest lucru, înmulțiți primele două numere, apoi înmulțiți rezultatul cu următorul număr din succesiune. Această metodă este valabilă pentru orice grad. În exemplul nostru, ar trebui să obțineți: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Rezolvați următoarele probleme. Verifică-ți răspunsul cu un calculator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Pe calculator, căutați cheia etichetată „exp” sau „ x n (\displaystyle x^(n))„, sau „^”. Cu această cheie vei ridica un număr la o putere. Este practic imposibil să calculați manual gradul cu un exponent mare (de exemplu, gradul 9 15 (\displaystyle 9^(15))), dar calculatorul poate face față cu ușurință acestei sarcini. În Windows 7, calculatorul standard poate fi comutat în modul de inginerie; pentru a face acest lucru, faceți clic pe „Vizualizare” -\u003e „Inginerie”. Pentru a comuta la modul normal, faceți clic pe „Vizualizare” -\u003e „Normal”.

   • Verificați răspunsul primit folosind un motor de căutare (Google sau Yandex). Folosind tasta „^” de pe tastatura computerului, introduceți expresia în motorul de căutare, care va afișa instantaneu răspunsul corect (și, eventual, va sugera expresii similare pentru studiu).

   Adunarea, scăderea, înmulțirea puterilor

   1. Puteți adăuga și scădea puteri numai dacă au aceeași bază. Dacă trebuie să adăugați puteri cu aceleași baze și exponenți, atunci puteți înlocui operația de adunare cu o operație de înmulțire. De exemplu, având în vedere expresia 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Amintiți-vă că gradul 4 5 (\displaystyle 4^(5)) poate fi reprezentat ca 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); prin urmare, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(unde 1 +1 =2). Adică numărați numărul de grade similare și apoi înmulțiți un astfel de grad și acest număr. În exemplul nostru, ridicați 4 la a cincea putere și apoi înmulțiți rezultatul cu 2. Amintiți-vă că operația de adunare poate fi înlocuită cu o operație de înmulțire, de exemplu, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Iată și alte exemple:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții acestora (baza nu se schimbă). De exemplu, având în vedere expresia x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). În acest caz, trebuie doar să adăugați indicatorii, lăsând baza neschimbată. Prin urmare, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Iată o explicație vizuală a acestei reguli:

      Când se ridică o putere la o putere, exponenții sunt înmulțiți. De exemplu, având o diplomă. Din moment ce exponenții sunt înmulțiți, atunci (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Sensul acestei reguli este că înmulți puterea (x 2) (\displaystyle (x^(2))) pe sine de cinci ori. Ca aceasta:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Deoarece baza este aceeași, exponenții pur și simplu se adună: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Un exponent cu un exponent negativ ar trebui convertit într-o fracție (la putere inversă). Nu contează dacă nu știi ce este o reciprocitate. Dacă vi se oferă o diplomă cu un exponent negativ, de exemplu, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), scrieți această putere la numitorul fracției (puneți 1 la numărător) și faceți exponentul pozitiv. În exemplul nostru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Iată și alte exemple:

      La împărțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți (baza nu se schimbă). Operația de împărțire este opusă operației de înmulțire. De exemplu, având în vedere expresia 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Scădeți exponentul din numitor din exponentul din numărător (nu schimbați baza). Prin urmare, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Gradul la numitor se poate scrie astfel: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Amintiți-vă că o fracție este un număr (putere, expresie) cu exponent negativ.

   4. Mai jos sunt câteva expresii pentru a vă ajuta să învățați cum să rezolvați problemele de alimentare. Expresiile de mai sus acoperă materialul prezentat în această secțiune. Pentru a vedea răspunsul, evidențiați spațiul gol după semnul egal.

      Rezolvarea problemelor cu exponenți fracționari

      1. Un grad cu un exponent fracționar (de exemplu, ) este convertit într-o operație de extragere a rădăcinii.În exemplul nostru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nu contează ce număr se află în numitorul exponentului fracționar. De exemplu, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) este a patra rădăcină a lui "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Dacă exponentul este o fracție improprie, atunci un astfel de exponent poate fi descompus în două puteri pentru a simplifica soluția problemei. Nu este nimic complicat în asta - amintiți-vă doar regula pentru înmulțirea puterilor. De exemplu, având o diplomă. Transformați acel exponent într-o rădăcină al cărei exponent este egal cu numitorul exponentului fracționar și apoi ridicați acea rădăcină la exponentul egal cu numărătorul exponentului fracționar. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). În exemplul nostru:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Unele calculatoare au un buton pentru calcularea exponenților (mai întâi trebuie să introduceți baza, apoi să apăsați butonul și apoi să introduceți exponentul). Este notat ca ^ sau x^y.
      4. Amintiți-vă că orice număr este egal cu el însuși cu prima putere, de exemplu, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)În plus, orice număr înmulțit sau împărțit cu unul este egal cu el însuși, de exemplu, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)și 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Să știți că gradul 0 0 nu există (un astfel de grad nu are soluție). Când încerci să rezolvi un astfel de grad pe un calculator sau pe un computer, vei primi o eroare. Dar amintiți-vă că orice număr la puterea lui zero este egal cu 1, de exemplu, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. În matematica superioară, care operează cu numere imaginare: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Unde i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e este o constantă aproximativ egală cu 2,7; a este o constantă arbitrară. Dovada acestei egalități poate fi găsită în orice manual de matematică superioară.

      Avertizări

      • Pe măsură ce exponentul crește, valoarea acestuia crește foarte mult. Prin urmare, dacă răspunsul ți se pare greșit, de fapt se poate dovedi adevărat. Puteți verifica acest lucru prin reprezentarea grafică a oricărei funcții exponențiale, cum ar fi 2 x .

Să luăm în considerare subiectul transformării expresiilor cu puteri, dar mai întâi ne vom opri asupra unui număr de transformări care pot fi efectuate cu orice expresii, inclusiv cu cele de putere. Vom învăța cum să deschidem paranteze, să dăm termeni similari, să lucrăm cu baza și cu exponentul, să folosim proprietățile gradelor.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ce sunt expresiile de putere?

În cursul școlar, puțini oameni folosesc sintagma „expresii de putere”, dar acest termen se găsește constant în colecțiile de pregătire pentru examen. În cele mai multe cazuri, expresia denotă expresii care conțin grade în intrările lor. Aceasta este ceea ce vom reflecta în definiția noastră.

Definiția 1

Exprimarea puterii este o expresie care conține grade.

Dăm mai multe exemple de expresii de putere, începând cu un grad cu un exponent natural și terminând cu un grad cu un exponent real.

Cele mai simple expresii de putere pot fi considerate puteri ale unui număr cu exponent natural: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . La fel ca și puteri cu exponent zero: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Și puteri cu puteri întregi negative: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Este puțin mai dificil să lucrezi cu un grad care are exponenți raționali și iraționali: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indicatorul poate fi o variabilă 3 x - 54 - 7 3 x - 58 sau un logaritm x 2 l g x − 5 x l g x.

Ne-am ocupat de întrebarea ce sunt expresiile puterii. Acum să aruncăm o privire asupra transformării lor.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

În primul rând, vom lua în considerare transformările identitare de bază ale expresiilor care pot fi efectuate cu expresii de putere.

Exemplul 1

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 (4 2 − 12).

Decizie

Vom efectua toate transformările în conformitate cu ordinea acțiunilor. În acest caz, vom începe prin a efectua acțiunile dintre paranteze: vom înlocui gradul cu o valoare digitală și vom calcula diferența dintre cele două numere. Noi avem 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Rămâne să înlocuim gradul 2 3 intelesul sau 8 și calculați produsul 8 4 = 32. Iată răspunsul nostru.

Răspuns: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Exemplul 2

Simplificați expresia cu puteri 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Decizie

Expresia dată nouă în starea problemei conține termeni similari, pe care îi putem aduce: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Răspuns: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Exemplul 3

Exprimați o expresie cu puteri de 9 - b 3 · π - 1 2 ca produs.

Decizie

Să reprezentăm numărul 9 ca putere 3 2 și aplicați formula de înmulțire prescurtată:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Răspuns: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Și acum să trecem la analiza transformărilor identice care pot fi aplicate în mod specific expresiilor de putere.

Lucrul cu baza și exponent

Gradul în bază sau exponent poate avea numere, variabile și unele expresii. De exemplu, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7și . Este dificil să lucrezi cu astfel de înregistrări. Este mult mai ușor să înlocuiți expresia din baza gradului sau expresia din exponent cu o expresie identică egală.

Transformările gradului și ale indicatorului se realizează după regulile cunoscute de noi separat unul de celălalt. Cel mai important este că în urma transformărilor se obține o expresie identică cu cea inițială.

Scopul transformărilor este de a simplifica expresia originală sau de a obține o soluție a problemei. De exemplu, în exemplul pe care l-am dat mai sus, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 puteți efectua operații pentru a ajunge la grad 4 , 1 1 , 3 . Deschizând parantezele, putem aduce termeni asemănători în baza gradului (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)și obțineți o expresie a puterii într-o formă mai simplă a 2 (x + 1).

Utilizarea proprietăților puterii

Proprietățile grade, scrise ca egalități, sunt unul dintre principalele instrumente de transformare a expresiilor cu grade. Vă prezentăm aici pe cele principale, având în vedere că Ași b sunt numere pozitive și rși s- numere reale arbitrare:

Definiția 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

În cazurile în care avem de-a face cu exponenți naturali, întregi, pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot fi mult mai puțin stricte. Deci, de exemplu, dacă luăm în considerare egalitatea a m a n = a m + n, Unde mși n sunt numere naturale, atunci va fi valabil pentru orice valori ale lui a, atât pozitive, cât și negative, precum și pentru a = 0.

Puteți aplica proprietățile gradelor fără restricții în cazurile în care bazele gradelor sunt pozitive sau conțin variabile al căror interval de valori acceptabile este astfel încât bazele să ia numai valori pozitive pe el. De fapt, în cadrul programului școlar de matematică, sarcina elevului este să aleagă proprietatea potrivită și să o aplice corect.

Atunci când vă pregătiți pentru admiterea la universități, pot exista sarcini în care aplicarea incorectă a proprietăților va duce la o îngustare a ODZ și la alte dificultăți cu soluția. În această secțiune, vom lua în considerare doar două astfel de cazuri. Mai multe informații despre subiect puteți găsi în subiectul „Transformarea expresiilor folosind proprietățile exponentului”.

Exemplul 4

Reprezentați expresia a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 ca grad cu o bază A.

Decizie

Pentru început, folosim proprietatea de exponențiere și transformăm al doilea factor folosindu-l (a 2) − 3. Apoi folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Răspuns: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformarea expresiilor puterii în funcție de proprietatea gradelor se poate face atât de la stânga la dreapta, cât și în sens invers.

Exemplul 5

Aflați valoarea expresiei puterii 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Decizie

Dacă aplicăm egalitatea (a b) r = a r b r, de la dreapta la stânga, atunci obținem un produs de forma 3 7 1 3 21 2 3 și apoi 21 1 3 21 2 3 . Să adăugăm exponenții atunci când înmulțim puteri cu aceleași baze: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Există o altă modalitate de a face transformări:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Răspuns: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Exemplul 6

Dată o expresie de putere a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, introduceți o nouă variabilă t = a 0, 5.

Decizie

Imaginează-ți gradul a 1, 5 la fel de a 0, 5 3. Utilizarea proprietății grad într-un grad (a r) s = a r s de la dreapta la stânga și obțineți (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . În expresia rezultată, puteți introduce cu ușurință o nouă variabilă t = a 0, 5: obține t 3 − t − 6.

Răspuns: t 3 − t − 6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

De obicei avem de-a face cu două variante de expresii de putere cu fracții: expresia este o fracție cu un grad sau conține o astfel de fracție. Toate transformările de fracții de bază sunt aplicabile unor astfel de expresii fără restricții. Ele pot fi reduse, aduse la un nou numitor, pot lucra separat cu numărătorul și numitorul. Să ilustrăm acest lucru cu exemple.

Exemplul 7

Simplificați expresia puterii 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Decizie

Avem de-a face cu o fracție, așa că vom efectua transformări atât la numărător, cât și la numitor:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Pune un minus în fața fracției pentru a schimba semnul numitorului: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Răspuns: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Fracțiile care conțin puteri sunt reduse la un nou numitor în același mod ca și fracțiile raționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un factor suplimentar și să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Este necesar să selectați un factor suplimentar, astfel încât să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplul 8

Aduceți fracțiile la un nou numitor: a) a + 1 a 0, 7 la numitor A, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 la numitorul x + 8 y 1 2 .

Decizie

a) Alegem un factor care ne va permite să reducem la un nou numitor. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , prin urmare, ca factor suplimentar, luăm a 0, 3. Gama de valori admisibile ale variabilei a include setul tuturor numerelor reale pozitive. În acest domeniu, gradul a 0, 3 nu merge la zero.

Să înmulțim numărătorul și numitorul unei fracții cu a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Acordați atenție numitorului:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Înmulțiți această expresie cu x 1 3 + 2 · y 1 6 , obținem suma cuburilor x 1 3 și 2 · y 1 6 , adică. x + 8 · y 1 2 . Acesta este noul nostru numitor, la care trebuie să aducem fracția originală.

Deci am găsit un factor suplimentar x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pe intervalul de valori acceptabile ale variabilelor Xși y expresia x 1 3 + 2 y 1 6 nu dispare, așa că putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu ea:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Răspuns: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Exemplul 9

Reduceți fracția: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Decizie

a) Folosiți cel mai mare numitor comun (MCG) cu care numărătorul și numitorul pot fi reduse. Pentru numerele 30 și 45, acesta este 15. De asemenea, putem reduce x 0, 5 + 1 iar pe x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Primim:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Aici prezenţa unor factori identici nu este evidentă. Va trebui să efectuați câteva transformări pentru a obține aceiași factori la numărător și numitor. Pentru a face acest lucru, extindem numitorul folosind formula diferenței de pătrate:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Răspuns: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Principalele operațiuni cu fracții includ reducerea la un nou numitor și reducerea fracțiilor. Ambele acțiuni sunt efectuate în conformitate cu o serie de reguli. La adunarea și scăderea fracțiilor, fracțiile sunt mai întâi reduse la un numitor comun, după care se efectuează operații (adunare sau scădere) cu numărători. Numitorul rămâne același. Rezultatul acțiunilor noastre este o nouă fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor.

Exemplul 10

Efectuați pașii x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Decizie

Să începem prin a scădea fracțiile care sunt între paranteze. Să le aducem la un numitor comun:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Să scădem numărătorii:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Acum înmulțim fracțiile:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Să reducem cu un grad x 1 2, obținem 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

În plus, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula pentru diferența de pătrate: pătrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Răspuns: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Exemplul 11

Simplificați expresia puterii x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Decizie

Putem reduce fracția cu (x 2 , 7 + 1) 2. Obținem o fracție x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Să continuăm transformările x puterilor x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Acum puteți folosi proprietatea diviziunii puterii cu aceleași baze: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Trecem de la ultimul produs la fracția x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Răspuns: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

În cele mai multe cazuri, este mai convenabil să transferați multiplicatori cu exponenți negativi de la numărător la numitor și invers prin schimbarea semnului exponentului. Această acțiune simplifică decizia ulterioară. Să dăm un exemplu: expresia puterii (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 poate fi înlocuită cu x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

În sarcini, există expresii de putere care conțin nu numai grade cu exponenți fracționari, ci și rădăcini. Este de dorit să se reducă astfel de expresii doar la rădăcini sau doar la puteri. Trecerea la grade este de preferat, deoarece este mai ușor de lucrat cu acestea. O astfel de tranziție este deosebit de avantajoasă atunci când DPV-ul variabilelor pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți DPV-ul în mai multe intervale.

Exemplul 12

Exprimați expresia x 1 9 x x 3 6 ca putere.

Decizie

Interval valid al unei variabile X este determinată de două inegalități x ≥ 0şi x · x 3 ≥ 0 , care definesc mulţimea [ 0 , + ∞) .

Pe acest set, avem dreptul de a trece de la rădăcini la puteri:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Folosind proprietățile gradelor, simplificăm expresia puterii rezultată.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Răspuns: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Conversia puterilor cu variabile în exponent

Aceste transformări sunt destul de simplu de făcut dacă utilizați corect proprietățile gradului. De exemplu, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Putem înlocui produsul gradului, în termenii căruia se găsește suma unei variabile și a unui număr. În partea stângă, acest lucru se poate face cu primul și ultimul termen din partea stângă a expresiei:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Acum să împărțim ambele părți ale ecuației cu 7 2 x. Această expresie pe ODZ a variabilei x ia numai valori pozitive:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Să reducem fracțiile cu puteri, obținem: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

În sfârșit, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, ceea ce duce la ecuația 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , care este echivalent cu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Introducem o nouă variabilă t = 5 7 x , care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Conversia expresiilor cu puteri și logaritmi

În probleme se găsesc și expresii care conțin puteri și logaritmi. Exemple de astfel de expresii sunt: ​​1 4 1 - 5 log 2 3 sau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformarea unor astfel de expresii se realizează folosind abordările discutate mai sus și proprietățile logaritmilor, pe care le-am analizat în detaliu în subiectul „Transformarea expresiilor logaritmice”.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Expresii, conversie de expresii

Expresii de putere (expresii cu puteri) și transformarea lor

În acest articol, vom vorbi despre transformarea expresiilor cu puteri. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv expresii de putere, cum ar fi parantezele de deschidere, reducând termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente în mod specific expresiilor cu grade: lucrul cu baza și exponentul, utilizarea proprietăților gradelor etc.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresiile de putere?

Termenul „expresii de putere” nu se găsește practic în manualele școlare de matematică, dar apare adesea în colecții de sarcini, special concepute pentru a pregăti examenul de stat unificat și OGE, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii de putere, devine clar că expresiile de putere sunt înțelese ca expresii care conțin grade în intrările lor. Prin urmare, pentru tine, poți lua următoarea definiție:

Definiție.

Expresii de putere sunt expresii care conțin puteri.

Să aducem exemple de expresii de putere. Mai mult, îi vom reprezenta în funcție de modul în care se desfășoară dezvoltarea opiniilor de la o diplomă cu indicator natural la una cu un indicator real.

După cum știți, mai întâi există o cunoaștere a gradului unui număr cu exponent natural, în acest stadiu primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

La clasele superioare se întorc din nou la grade. Acolo, se introduce un grad cu un exponent rațional, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere corespunzătoare: , , etc. În sfârșit, se consideră grade cu exponenți iraționali și expresii care îi conțin: , .

Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: mai departe variabila pătrunde în exponent și există, de exemplu, astfel de expresii 2 x 2 +1 sau . Și după ce ne-am familiarizat cu, încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2 lgx −5 x lgx.

Deci, ne-am dat seama de întrebarea ce sunt expresiile puterii. În continuare, vom învăța cum să le transformăm.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

Cu expresii de putere, puteți efectua oricare dintre transformările de bază ale identității expresiilor. De exemplu, puteți extinde paranteze, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți adăuga termeni similari și așa mai departe. Desigur, în acest caz este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Să dăm exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 ·(4 2 −12) .

Decizie.

După ordinea acțiunilor, mai întâi efectuăm acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea lui 4 2 cu valoarea sa 16 (vezi dacă este necesar), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12=4 . Noi avem 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

În expresia rezultată înlocuim puterea lui 2 3 cu valoarea ei 8 , după care calculăm produsul 8·4=32 . Aceasta este valoarea dorită.

Asa de, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Răspuns:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Exemplu.

Simplificați expresiile puterii 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Decizie.

Evident, această expresie conține termeni similari 3 · a 4 · b − 7 și 2 · a 4 · b − 7 , și îi putem reduce: .

Răspuns:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplu.

Exprimați o expresie cu puteri ca produs.

Decizie.

Pentru a face față sarcinii, permite reprezentarea numărului 9 ca o putere a 3 2 și utilizarea ulterioară a formulei de înmulțire redusă, diferența de pătrate:

Răspuns:

Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente expresiilor puterii. În continuare, le vom analiza.

Lucrul cu baza și exponent

Există grade, în baza și/sau indicatorul cărora nu sunt doar numere sau variabile, ci câteva expresii. Ca exemplu, să scriem (2+0.3 7) 5−3.7 și (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Când lucrați cu astfel de expresii, este posibil să înlocuiți atât expresia din baza gradului, cât și expresia din indicator cu o expresie identică egală pe DPV a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, conform regulilor cunoscute de noi, putem converti separat baza gradului și separat - indicatorul. Este clar că în urma acestei transformări se obține o expresie identic egală cu cea inițială.

Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte scopuri de care avem nevoie. De exemplu, în expresia puterii (2+0.3 7) 5−3.7 menționată mai sus, puteți efectua operații cu numere în bază și exponent, ceea ce vă va permite să mergeți la puterea lui 4,1 1,3. Și după ce deschidem parantezele și aducem termeni similari în baza gradului (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) obținem o expresie a puterii de o formă mai simplă a 2·(x+1). ).

Utilizarea proprietăților puterii

Unul dintre instrumentele principale pentru transformarea expresiilor cu puteri sunt egalitățile care reflectă . Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și numere reale arbitrare r și s, sunt valabile următoarele proprietăți de putere:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numerele naturale m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată nu numai pentru a pozitiv, ci și pentru cele negative și pentru a=0 .

La școală, atenția principală în transformarea expresiilor puterii este concentrată tocmai pe capacitatea de a alege proprietatea potrivită și de a o aplica corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce vă permite să utilizați proprietățile gradelor fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele de grade - gama de valori acceptabile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele iau numai valori pozitive pe el, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile de grade. În general, trebuie să vă întrebați în mod constant dacă este posibil să aplicați vreo proprietate a gradelor în acest caz, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a ODZ și la alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul transformarea expresiilor folosind proprietățile gradelor. Aici ne limităm la câteva exemple simple.

Exemplu.

Exprimați expresia a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ca o putere cu baza a .

Decizie.

Mai întâi, transformăm cel de-al doilea factor (a 2) −3 prin proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. În acest caz, expresia puterii inițiale va lua forma a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Răspuns:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Proprietățile puterii sunt utilizate atunci când se transformă expresiile de putere atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei puterii.

Decizie.

Egalitatea (a·b) r =a r ·b r , aplicată de la dreapta la stânga, vă permite să treceți de la expresia originală la produsul formei și mai departe. Și atunci când înmulțiți puteri cu aceeași bază, indicatorii se adună: .

A fost posibil să se realizeze transformarea expresiei originale într-un alt mod:

Răspuns:

.

Exemplu.

Având în vedere o expresie de putere a 1.5 −a 0.5 −6 , introduceți o nouă variabilă t=a 0.5 .

Decizie.

Gradul a 1,5 poate fi reprezentat ca un 0,5 3 și în continuare pe baza proprietății gradului în gradul (a r) s =a r s aplicat de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3 . Prin urmare, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Acum este ușor să introducem o nouă variabilă t=a 0.5 , obținem t 3 −t−6 .

Răspuns:

t 3 −t−6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

Expresiile puterii pot conține fracții cu puteri sau pot reprezenta astfel de fracții. Oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel sunt pe deplin aplicabile acestor fracții. Adică, fracțiile care conțin grade pot fi reduse, reduse la un nou numitor, se pot lucra separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra cuvintele de mai sus, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Decizie.

Această expresie a puterii este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător, deschidem parantezele și simplificăm expresia obținută după aceea folosind proprietățile puterilor, iar la numitor prezentăm termeni similari:

Și schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: .

Răspuns:

.

Reducerea fracțiilor care conțin puteri la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor. În același timp, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. La efectuarea acestei acțiuni, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a DPV. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplu.

Aduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) la numitor.

Decizie.

a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama ce factor suplimentar ajută la obținerea rezultatului dorit. Acesta este un multiplicator a 0,3, deoarece a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Rețineți că în intervalul de valori acceptabile ale variabilei a (aceasta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive), gradul a 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul fracției date. prin acest factor suplimentar:

b) Privind mai atent la numitor, constatăm că

iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și , adică . Și acesta este noul numitor la care trebuie să aducem fracția originală.

Așa că am găsit un factor suplimentar. Expresia nu dispare în intervalul de valori acceptabile ale variabilelor x și y, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu acesta:

Răspuns:

A) , b) .

De asemenea, nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin grade: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un anumit număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt reduse.

Exemplu.

Reduceți fracția: a) , b).

Decizie.

a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este egal cu 15. De asemenea, evident, puteți reduce cu x 0,5 +1 și cu . Iată ce avem:

b) În acest caz, aceiași factori din numărător și numitor nu sunt vizibili imediat. Pentru a le obține, trebuie să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în descompunerea numitorului în factori după formula diferenței de pătrate:

Răspuns:

A)

b) .

Reducerea fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt utilizate în principal pentru a efectua operații pe fracții. Acțiunile sunt efectuate conform regulilor cunoscute. La adunarea (scăderea) fracțiilor, acestea sunt reduse la un numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, iar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu reciproca ei.

Exemplu.

Urmareste pasii .

Decizie.

În primul rând, scădem fracțiile dintre paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este , apoi scădeți numărătorii:

Acum înmulțim fracțiile:

Evident, este posibilă o reducere cu puterea x 1/2, după care avem .

De asemenea, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: .

Răspuns:

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Decizie.

Evident, această fracție poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, aceasta dă fracția . Este clar că trebuie făcut altceva cu puterile lui x. Pentru a face acest lucru, convertim fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a folosi proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze: . Și la sfârșitul procesului, trecem de la ultimul produs la fracțiune.

Răspuns:

.

Și adăugăm că este posibil și în multe cazuri de dorit să se transfere factori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător prin schimbarea semnului exponentului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiunile ulterioare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

Adesea în expresiile în care sunt necesare unele transformări, alături de grade cu exponenți fracționari, există și rădăcini. Pentru a converti o astfel de expresie în forma dorită, în cele mai multe cazuri este suficient să mergeți doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, deoarece este mai convenabil să lucrezi cu grade, de obicei se mută de la rădăcini la grade. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu grade fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale (am discutat acest lucru în detaliu în articol, trecerea de la rădăcini la puteri și invers După ce te familiarizezi cu gradul cu un exponent rațional, se introduce un grad cu un indicator irațional, ceea ce face posibil să se vorbească despre un grad cu un indicator real arbitrar. În această etapă, scoala incepe sa studieze functie exponentiala, care este dat analitic de grad, în baza căruia există un număr, iar în indicator - o variabilă. Așadar, ne confruntăm cu expresii exponențiale care conțin numere în baza gradului, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, apare nevoia de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor de tipul indicat trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeși inegalități exponențiale, iar aceste transformări sunt destul de simple. În marea majoritate a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează mai ales introducerea unei noi variabile în viitor. Ecuația ne va permite să le demonstrăm 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

În primul rând, exponenții, în ai căror exponenți se găsește suma unei variabile (sau expresii cu variabile) și a unui număr, sunt înlocuiți cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

În continuare, ambele părți ale egalității sunt împărțite la expresia 7 2 x , care ia doar valori pozitive pe ODZ ale variabilei x pentru ecuația originală (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest fel, nu suntem vorbind despre asta acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ):

Acum fracțiile cu puteri sunt anulate, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, ceea ce duce la ecuația , care este echivalent cu . Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice.

I. V. Boikov, L. D. Romanova Culegere de sarcini pentru pregătirea pentru examen. Partea 1. Penza 2003.

Simplificarea expresiilor algebrice este una dintre cheile învățării algebrei și o abilitate extrem de utilă pentru toți matematicienii. Simplificarea vă permite să reduceți o expresie complexă sau lungă la o expresie simplă cu care este ușor de lucrat. Abilitățile de bază de simplificare sunt bune chiar și pentru cei care nu sunt entuziaști de matematică. Urmând câteva reguli simple, multe dintre cele mai comune tipuri de expresii algebrice pot fi simplificate fără cunoștințe matematice speciale.

Pași

Definiții importante

1. Membri similari. Aceștia sunt membri cu o variabilă de aceeași ordine, membri cu aceleași variabile sau membri liberi (membri care nu conțin o variabilă). Cu alte cuvinte, termeni similari includ o variabilă în aceeași măsură, includ mai multe variabile identice sau nu includ deloc o variabilă. Ordinea termenilor din expresie nu contează.

   • De exemplu, 3x 2 și 4x 2 sunt termeni asemănători deoarece conțin variabila „x” de ordinul doi (în a doua putere). Cu toate acestea, x și x 2 nu sunt membri similari, deoarece conțin variabila „x” de ordine diferite (primul și al doilea). În mod similar, -3yx și 5xz nu sunt membri similari, deoarece conțin variabile diferite.

2. Factorizarea. Aceasta înseamnă găsirea unor astfel de numere, al căror produs duce la numărul inițial. Orice număr original poate avea mai mulți factori. De exemplu, numărul 12 poate fi descompus în următoarea serie de factori: 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4, deci putem spune că numerele 1, 2, 3, 4, 6 și 12 sunt factori ai numărul 12. Factorii sunt la fel ca divizorii , adică numerele cu care numărul inițial este divizibil.

   • De exemplu, dacă doriți să factorizați numărul 20, scrieți-l astfel: 4×5.
   • Rețineți că la factorizare, variabila este luată în considerare. De exemplu, 20x = 4(5x).
   • Numerele prime nu pot fi factorizate, deoarece sunt divizibile doar cu ele însele și cu 1.

3. Amintiți-vă și urmați ordinea operațiunilor pentru a evita greșelile.

   • Paranteze
   • grad
   • Multiplicare
   • Divizia
   • Plus
   • Scădere

   Casting Like Members

   1. Notează expresia. Cele mai simple expresii algebrice (care nu conțin fracții, rădăcini și așa mai departe) pot fi rezolvate (simplificate) în doar câțiva pași.

      • De exemplu, simplificați expresia 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definiți membri similari (membri cu o variabilă de aceeași ordine, membri cu aceleași variabile sau membri liberi).

      • Găsiți termeni similari în această expresie. Termenii 2x și 4x conțin o variabilă de același ordin (primul). De asemenea, 1 și -3 sunt membri liberi (nu conțin o variabilă). Astfel, în această expresie, termenii 2x și 4x sunt similare, iar membrii 1 și -3 sunt de asemenea asemănătoare.

   3. Oferă membri similari. Aceasta înseamnă adăugarea sau scăderea lor și simplificarea expresiei.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Rescrie expresia ținând cont de termenii dați. Veți obține o expresie simplă cu mai puțini termeni. Noua expresie este egală cu cea originală.

      • În exemplul nostru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, adică expresia originală este simplificată și mai ușor de lucrat.

   5. Observați ordinea în care sunt efectuate operațiunile atunci când turnați termeni similari.În exemplul nostru, a fost ușor să aducem termeni similari. Cu toate acestea, în cazul expresiilor complexe în care membrii sunt încadrați între paranteze și sunt prezente fracții și rădăcini, nu este atât de ușor să aduceți astfel de termeni. În aceste cazuri, urmați ordinea operațiunilor.

      • De exemplu, luați în considerare expresia 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Aici ar fi o greșeală să definiți imediat 3x și 2x ca termeni similari și să îi citați, deoarece mai întâi trebuie să extindeți parantezele. Prin urmare, efectuați operațiunile în ordinea lor.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Acum, când expresia conține doar operații de adunare și scădere, puteți arunca termeni similari.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Parantezărea multiplicatorului

   1. Găsiți cel mai mare divizor comun (mcd) al tuturor coeficienților expresiei. GCD este cel mai mare număr cu care toți coeficienții expresiei sunt divizibili.

      • De exemplu, luați în considerare ecuația 9x 2 + 27x - 3. În acest caz, mcd=3, deoarece orice coeficient al acestei expresii este divizibil cu 3.

   2. Împărțiți fiecare termen al expresiei la mcd. Termenii rezultați vor conține coeficienți mai mici decât în ​​expresia originală.

      • În exemplul nostru, împărțiți fiecare termen de expresie la 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Sa dovedit expresia 3x2 + 9x-1. Nu este egal cu expresia originală.

   3. Scrieți expresia originală ca fiind egală cu produsul mcd înmulțit cu expresia rezultată. Adică, includeți expresia rezultată între paranteze și scoateți GCD-ul dintre paranteze.

      • În exemplul nostru: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Simplificarea expresiilor fracționale prin scoaterea multiplicatorului din paranteze. De ce pur și simplu scoateți multiplicatorul din paranteze, așa cum sa făcut mai devreme? Apoi, pentru a învăța cum să simplificați expresii complexe, cum ar fi expresiile fracționale. În acest caz, scoaterea factorului dintre paranteze poate ajuta la eliminarea fracției (de la numitor).

      • De exemplu, luați în considerare expresia fracțională (9x 2 + 27x - 3)/3. Utilizați paranteze pentru a simplifica această expresie.
        • Factorizați factorul 3 (cum ați făcut înainte): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Rețineți că atât numărătorul, cât și numitorul au acum numărul 3. Acesta poate fi redus și obțineți expresia: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Deoarece orice fracție care are numărul 1 la numitor este doar egală cu numărătorul, expresia fracțională inițială este simplificată la: 3x2 + 9x-1.

   Tehnici suplimentare de simplificare

4. Luați în considerare un exemplu simplu: √(90). Numărul 90 poate fi descompus în următorii factori: 9 și 10, iar din 9, se ia rădăcina pătrată (3) și se scoate 3 de sub rădăcină.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Simplificarea expresiilor cu puteri.În unele expresii, există operații de înmulțire sau împărțire a termenilor cu grad. În cazul înmulțirii termenilor cu o singură bază, se adună gradele acestora; în cazul împărțirii termenilor cu aceeași bază, se scad gradele acestora.

   • De exemplu, luați în considerare expresia 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). În cazul înmulțirii, se adună exponenții, iar în cazul împărțirii, se scad.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Mai jos este o explicație a regulii de înmulțire și împărțire a termenilor cu un grad.
     • Înmulțirea termenilor cu puteri este echivalentă cu înmulțirea termenilor prin ei înșiși. De exemplu, deoarece x 3 = x × x × x și x 5 = x × x × x × x × x, atunci x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), sau x8.
     • În mod similar, împărțirea termenilor cu puteri este echivalentă cu împărțirea termenilor la ei înșiși. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Deoarece termeni similari care sunt atât în ​​numărător, cât și în numitor pot fi reduceți, produsul a doi „x”, sau x 2, rămâne în numărător.

• Fiți întotdeauna conștienți de semnele (plus sau minus) din fața termenilor unei expresii, deoarece mulți oameni au dificultăți în a alege semnul potrivit.
• Cere ajutor dacă este nevoie!
• Simplificarea expresiilor algebrice nu este ușoară, dar dacă puneți mâna pe ea, puteți folosi această abilitate pentru o viață întreagă.

Calculator de fracțiuni online convenabil și simplu, cu o soluție detaliată poate:

• Adunați, scădeți, înmulțiți și împărțiți fracții online,
• Obțineți o soluție gata făcută de fracții ca imagine și transferați-o convenabil.



Rezultatul rezolvării fracțiilor va fi aici...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Semnul fracției „/” + - * :
_terge Șterge
Calculatorul nostru online de fracții are o introducere rapidă. Pentru a obține soluția fracțiilor, de exemplu, scrieți 1/2+2/7 în calculator și apăsați butonul „ rezolva fractii". Calculatorul vă va scrie rezolvarea detaliată a fracțiilor si problema imagine prietenoasă cu copierea.

Caracterele folosite pentru scrierea în calculator

Puteți introduce un exemplu pentru o soluție atât de la tastatură, cât și folosind butoanele.

Caracteristicile calculatorului de fracții online

Calculatorul de fracții poate efectua numai operații cu 2 fracții simple. Ele pot fi fie corecte (numărătorul este mai mic decât numitorul) fie incorecte (numărătorul este mai mare decât numitorul). Numerele din numărător și numitor nu pot fi negative și mai mari decât 999.
Calculatorul nostru online rezolvă fracții și convertește răspunsul în forma corectă - reduce fracția și evidențiază partea întreagă, dacă este necesar.

Dacă trebuie să rezolvați fracții negative, utilizați doar proprietățile minus. Când înmulțiți și împărțiți fracțiile negative, minus cu minus dă plus. Adică produsul și diviziunea fracțiilor negative este egal cu produsul și diviziunea acelorași pozitive. Dacă o fracție este negativă atunci când este înmulțită sau împărțită, atunci pur și simplu eliminați minusul și apoi adăugați-l la răspuns. Când adăugați fracții negative, rezultatul va fi același ca și cum ați adăuga aceleași fracții pozitive. Dacă adăugați o fracție negativă, atunci aceasta este la fel cu scăderea aceleiași fracții pozitive.
La scăderea fracțiilor negative, rezultatul va fi același ca și cum ar fi fost inversate și făcute pozitive. Adică, un minus cu un minus în acest caz dă un plus, iar suma nu se schimbă dintr-o rearanjare a termenilor. Folosim aceleași reguli la scăderea fracțiilor, dintre care una este negativă.

Pentru a rezolva fracții mixte (fracții în care întreaga parte este evidențiată), pur și simplu conduceți întreaga parte într-o fracție. Pentru a face acest lucru, înmulțiți partea întreagă cu numitorul și adăugați la numărător.

Dacă trebuie să rezolvați 3 sau mai multe fracții online, atunci ar trebui să le rezolvați una câte una. Mai întâi, numărați primele 2 fracții, apoi rezolvați următoarea fracție cu răspunsul primit și așa mai departe. Efectuați pe rând operații pentru 2 fracții, iar la final veți obține răspunsul corect.