Aceasta este o secțiune destul de interesantă de matematică cu care se confruntă absolut toți studenții absolvenți. Cu toate acestea, nu tuturor le place matan. Unii nu reușesc să înțeleagă nici măcar lucruri de bază, cum ar fi studiul funcției aparent standard. Acest articol își propune să corecteze această omisiune. Doriți să aflați mai multe despre analiza funcției? Doriți să știți ce sunt punctele extremum și cum să le găsiți? Atunci acest articol este pentru tine.
Investigarea graficului unei funcții
Pentru început, merită să înțelegeți de ce este necesar să analizați diagrama. Există funcții simple care sunt ușor de desenat. Un exemplu izbitor al unei astfel de funcții este parabola. Nu este greu să-i desenezi diagrama. Tot ce este necesar este, folosind o transformare simplă, să găsiți numerele la care funcția ia valoarea 0. Și, în principiu, asta este tot ce trebuie să știți pentru a desena un grafic parabolă.
Dar dacă funcția pe care trebuie să o graficăm este mult mai complicată? Deoarece proprietățile funcțiilor complexe sunt destul de neevidente, este necesar să se efectueze o analiză întreagă. Numai atunci funcția poate fi reprezentată grafic. Cum să o facă? Puteți găsi răspunsul la această întrebare în acest articol.
Plan de analiză a funcției
Primul lucru de făcut este să efectuăm un studiu superficial al funcției, în timpul căruia vom găsi domeniul de definiție. Deci, să începem în ordine. Domeniul de definiție este mulțimea acelor valori prin care este definită funcția. Mai simplu spus, acestea sunt numerele care pot fi folosite în funcție în loc de x. Pentru a determina domeniul de aplicare, trebuie doar să vă uitați la înregistrare. De exemplu, este evident că funcția y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 are un domeniu de definiție - mulțimea numerelor reale. Ei bine, cu o funcție ca (x 2 - 2x) / x, totul este puțin diferit. Deoarece numărul din numitor nu ar trebui să fie egal cu 0, atunci domeniul acestei funcții va fi toate numerele reale, cu excepția zero.
În continuare, trebuie să găsiți așa-numitele zerouri ale funcției. Acestea sunt valorile argumentului pentru care întreaga funcție ia valoarea zero. Pentru a face acest lucru, este necesar să echivalați funcția cu zero, să o luați în considerare în detaliu și să efectuați unele transformări. Să luăm funcția deja familiară y(x) = (x 2 - 2x)/x. Din cursul școlar, știm că o fracție este 0 când numărătorul este zero. Prin urmare, aruncăm numitorul și începem să lucrăm cu numărătorul, echivalându-l cu zero. Obținem x 2 - 2x \u003d 0 și scoatem x din paranteze. Prin urmare, x (x - 2) \u003d 0. Ca rezultat, aflăm că funcția noastră este egală cu zero atunci când x este egal cu 0 sau 2.
În timpul studiului graficului unei funcții, mulți se confruntă cu o problemă sub forma punctelor extreme. Și e ciudat. La urma urmei, extremele sunt un subiect destul de simplu. Nu crezi? Vedeți singuri citind această parte a articolului, în care vom vorbi despre punctele minime și maxime.
Pentru început, merită să înțelegeți ce este un extremum. Un extremum este valoarea limită pe care o atinge o funcție pe un grafic. Din aceasta rezultă că există două valori extreme - un maxim și un minim. Pentru claritate, vă puteți uita la poza de mai sus. Pe zona investigată, punctul -1 este maximul funcției y (x) \u003d x 5 - 5x, iar punctul 1, respectiv, este minimul.
De asemenea, nu confundați conceptele între ele. Punctele extreme ale unei funcții sunt acele argumente la care funcția dată capătă valori extreme. La rândul său, extremul este valoarea minimelor și maximelor funcției. De exemplu, luați în considerare din nou figura de mai sus. -1 și 1 sunt punctele extreme ale funcției, iar 4 și -4 sunt extremele în sine.
Găsirea punctelor extreme
Dar cum găsiți punctele extreme ale unei funcții? Totul este destul de simplu. Primul lucru de făcut este să găsiți derivata ecuației. Să presupunem că am primit sarcina: „Găsiți punctele extreme ale funcției y (x), x este argumentul. Pentru claritate, să luăm funcția y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Să diferențiem și obținem următoarea ecuație: 3x 2 + 4x + 1. Ca rezultat, am obținut o ecuație pătratică standard. Tot ce trebuie făcut este să o egalăm cu zero și să găsim rădăcinile. Deoarece discriminantul este mai mare decât zero (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), această ecuație este determinată de două rădăcini. Le găsim și obținem două valori: 1/3 și -1. Acestea vor fi punctele extreme ale funcției. Cu toate acestea, cum puteți determina în continuare cine este cine? Care punct este maximul și care este minimul? Pentru a face acest lucru, trebuie să luați un punct vecin și să aflați valoarea acestuia. De exemplu, să luăm numărul -2, care este la stânga de-a lungul coordonatei linia de la -1. Inlocuim aceasta valoare in ecuatia noastra y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Ca rezultat, am obtinut un numar pozitiv. Aceasta inseamna ca in intervalul de la 1/3 la -1 funcția crește, ceea ce, la rândul său, înseamnă că pe intervalele de la min de la infinit la 1/3 și de la -1 la plus infinit, funcția scade. Astfel, putem concluziona că numărul 1/3 este punctul minim al funcției pe intervalul investigat, iar -1 este punctul maxim.
De asemenea, este de remarcat faptul că examenul necesită nu numai să găsești puncte extreme, ci și să efectuezi un fel de operație cu ele (adunare, înmulțire etc.). Din acest motiv, merită să acordați o atenție deosebită condițiilor problemei. La urma urmei, din cauza neatenției, poți pierde puncte.
Din acest articol, cititorul va afla despre ce este un extremum de valoare funcțională, precum și despre caracteristicile utilizării sale în practică. Studiul unui astfel de concept este extrem de important pentru înțelegerea fundamentelor matematicii superioare. Acest subiect este fundamental pentru un studiu mai profund al cursului.
In contact cu
Ce este o extremă?
În cursul școlar sunt date multe definiții ale conceptului de „extremum”. Acest articol are scopul de a oferi cea mai profundă și mai clară înțelegere a termenului pentru cei care nu cunosc problema. Deci, termenul este înțeles ca măsura în care intervalul funcțional capătă o valoare minimă sau maximă pe o anumită mulțime.
Extremul este atât valoarea minimă a funcției, cât și valoarea maximă în același timp. Există un punct minim și un punct maxim, adică valorile extreme ale argumentului de pe grafic. Principalele științe în care este utilizat acest concept:
- statistici;
- controlul mașinii;
- econometrie.
Punctele extreme joacă un rol important în determinarea succesiunii unei anumite funcții. Sistemul de coordonate de pe grafic arată cel mai bine schimbarea poziției extreme în funcție de schimbarea funcționalității.
Extreme ale funcției derivate
Există, de asemenea, un „derivat”. Este necesar să se determine punctul extremum. Este important să nu confundați punctele minime sau maxime cu cele mai mari și mai mici valori. Acestea sunt concepte diferite, deși pot părea similare.
Valoarea funcției este factorul principal în determinarea modului de găsire a punctului maxim. Derivata nu se formează din valori, ci exclusiv din poziția sa extremă într-o ordine sau alta.
Derivata în sine este determinată pe baza datelor punctelor extreme, și nu pe cea mai mare sau pe cea mai mică valoare. În școlile rusești, linia dintre aceste două concepte nu este clar trasată, ceea ce afectează înțelegerea acestui subiect în general.
Să considerăm acum un astfel de lucru drept un „extrem ascuțit”. Până în prezent, există o valoare minimă acută și o valoare maximă acută. Definiția este dată în conformitate cu clasificarea rusă a punctelor critice ale unei funcții. Conceptul de punct extremum este baza pentru găsirea punctelor critice pe o diagramă.
Pentru a defini un astfel de concept se folosește teorema lui Fermat. Este cel mai important în cursul studierii punctelor extreme și oferă o idee clară a existenței lor într-o formă sau alta. Pentru a asigura extremitatea, este important să se creeze anumite condiții de scădere sau creștere pe grafic.
Pentru a răspunde cu exactitate la întrebarea „cum să găsești punctul maxim”, trebuie să urmați următoarele prevederi:
- Găsirea zonei exacte de definiție pe diagramă.
- Căutați derivata unei funcții și a unui punct extrem.
- Rezolvați inegalitățile standard pentru domeniul argumentului.
- Să fie capabil să demonstreze în ce funcții este definit și continuu un punct dintr-un grafic.
Atenţie! Căutarea unui punct critic al unei funcții este posibilă numai dacă există o derivată de cel puțin ordinul doi, care este asigurată de o proporție mare a prezenței unui punct extremum.
Condiție necesară pentru extremul funcției
Pentru ca un extremum să existe, este important să existe atât puncte minime, cât și puncte maxime. Dacă această regulă este respectată doar parțial, atunci condiția existenței unui extremum este încălcată.
Fiecare funcție în orice poziție trebuie diferențiată pentru a-și identifica noile semnificații. Este important de înțeles că cazul dispariției punctului nu este principiul principal al găsirii unui punct diferențiabil.
Un extremum ascuțit, precum și un minim al funcției, este un aspect extrem de important al rezolvării unei probleme matematice folosind valori extreme. Pentru a înțelege mai bine această componentă, este important să ne referim la valorile tabelare pentru atribuirea funcționalului.
| O explorare completă a sensului | Trasarea unei valori |
| 1. Determinarea punctelor de crestere si scadere a valorilor. 2. Găsirea punctelor de rupere, a extremului și a intersecției cu axele de coordonate. 3. Procesul de determinare a schimbărilor de poziție pe diagramă. 4. Determinarea indicelui și direcției de convexitate și convexitate, ținând cont de prezența asimptotelor. 5. Realizarea unui tabel rezumativ al studiului în ceea ce privește determinarea coordonatelor acestuia. 6. Constatarea intervalelor de crestere si scadere a punctelor extreme si acute. 7. Determinarea convexității și concavității curbei. 8. Construirea unui grafic pe baza studiului vă permite să găsiți un minim sau un maxim. |
Elementul principal, atunci când este necesar să se lucreze cu extreme, este construcția exactă a graficului său. Profesorii școlii nu acordă adesea maximă atenție unui aspect atât de important, care este o încălcare gravă a procesului educațional. Construcția graficului are loc numai pe baza rezultatelor studiului datelor funcționale, a determinării extremelor ascuțite, precum și a punctelor de pe grafic. Extremele ascuțite ale derivatei unei funcții sunt afișate pe un grafic al valorilor exacte, utilizând procedura standard pentru determinarea asimptotelor. |
Luați în considerare graficul unei funcții continue y=f(x) prezentată în figură.
Valoarea funcției la punct X 1 va fi mai mare decât valorile funcției în toate punctele învecinate atât la stânga, cât și la dreapta X unu . În acest caz, se spune că funcția are la punctul X 1 max. La punctul X Funcția 3 are evident și un maxim. Dacă luăm în considerare ideea X 2, atunci valoarea funcției din aceasta este mai mică decât toate valorile învecinate. În acest caz, se spune că funcția are la punctul X 2 minim. La fel pentru subiect X 4 .
Funcţie y=f(x) la punct X 0 are maxim, dacă valoarea funcției în acest punct este mai mare decât valorile sale în toate punctele unui interval care conține punctul X 0, adică dacă există o asemenea vecinătate a punctului X 0, care este pentru toată lumea X≠X 0 , aparținând acestui cartier, avem inegalitatea f(x)<f(x 0 ) .
Funcţie y=f(x) Are minim la punct X 0 , dacă există o asemenea vecinătate a punctului X 0 , ce este pentru toată lumea X≠X 0 aparținând acestui cartier, avem inegalitatea f(x)>f(x0.
Punctele în care funcția își atinge maximul și minimul se numesc puncte extreme, iar valorile funcției în aceste puncte sunt extremele funcției.
Să acordăm atenție faptului că o funcție definită pe un segment își poate atinge maximul și minimul numai în punctele cuprinse în segmentul luat în considerare.
Rețineți că dacă o funcție are un maxim într-un punct, aceasta nu înseamnă că în acest moment funcția are valoarea maximă în întregul domeniu de definiție. În figura discutată mai sus, funcția la punctul X 1 are un maxim, deși există puncte în care valorile funcției sunt mai mari decât la punct X 1 . În special, f(X 1) < f(X 4) adică minimul funcției este mai mare decât maximul. Din definiția maximului rezultă doar că aceasta este cea mai mare valoare a funcției în puncte suficient de apropiate de punctul maxim.
Teorema 1. (O condiție necesară pentru existența unui extremum.) Dacă funcţia diferenţiabilă y=f(x) are la punct x= x 0 extremum, apoi derivata sa în acest moment dispare.
Dovada. Lăsați, pentru certitudine, la punctul X 0 funcția are un maxim. Apoi, pentru incremente suficient de mici Δ X noi avem f(x 0 + Δ X)
Trecând aceste inegalități la limită ca Δ X→ 0 și ținând cont că derivata f "(X 0) există și, prin urmare, limita din stânga nu depinde de modul în care Δ X→ 0, obținem: pentru Δ X → 0 – 0 f"(X 0) ≥ 0 și la Δ X → 0 + 0 f"(X 0) ≤ 0. Deoarece f"(X 0) definește un număr, atunci aceste două inegalități sunt compatibile numai dacă f"(X 0) = 0.
Teorema demonstrată afirmă că punctele maxime și minime pot fi doar printre acele valori ale argumentului pentru care derivata dispare.
Am considerat cazul când o funcție are o derivată în toate punctele unui anumit segment. Ce se întâmplă când derivata nu există? Luați în considerare exemple.
Exemple.
- y=|X|.
Funcția nu are o derivată la un punct X=0 (în acest moment, graficul funcției nu are o tangentă definită), dar în acest moment funcția are un minim, deoarece y(0)=0 și pentru toate X≠ 0y > 0.
- Lasa X< x
0 . Apoi c< x
0 și f „(c)> 0.
Asa de f „(c)(x-x 0)<
0 și, prin urmare,
f(x) - f(x 0 )< 0, adică f(x)< f(x 0 ).
- Lasa x > x 0 . Apoi c>x 0 și f"(c)< 0. Mijloace f „(c)(x-x 0)< 0. Asa de f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .
- Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții f(x).
- Găsiți prima derivată a unei funcții f"(x).
- Determinați punctele critice, pentru aceasta:
- găsiți rădăcinile reale ale ecuației f"(x)=0;
- găsiți toate valorile X sub care derivatul f"(x) nu exista.
- Determinați semnul derivatei la stânga și la dreapta punctului critic. Deoarece semnul derivatei rămâne constant între două puncte critice, este suficient să se determine semnul derivatei în orice punct la stânga și într-un punct la dreapta punctului critic.
- Calculați valoarea funcției la punctele extreme.
- Găsiți toate punctele critice ale unei funcții în intervalul ( a, b) și calculați valorile funcției în aceste puncte.
- Calculați valorile funcției de la capetele segmentului pt x=a, x=b.
- Dintre toate valorile obținute, alegeți cea mai mare și cea mai mică.
Funcția nu are derivată la X=0, deoarece merge la infinit când X=0. Dar în acest moment, funcția are un maxim.
Funcția nu are derivată la X=0 pentru că 
la X→0. În acest moment, funcția nu are nici un maxim, nici un minim. Într-adevăr, f(x)=0 și la X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.
Astfel, din exemplele date și teorema formulată reiese clar că funcția poate avea un extremum doar în două cazuri: 1) în punctele în care derivata există și este egală cu zero; 2) în punctul în care derivata nu există.
Cu toate acestea, dacă la un moment dat X 0 stim asta f"(x 0 ) =0, atunci nu se poate concluziona de aici că la punct X 0 funcția are un extremum.
de exemplu. 
.
Dar punct X=0 nu este un punct extrem, deoarece în stânga acestui punct valorile funcției sunt situate sub axa Bou, și mai sus în dreapta.
Valorile unui argument din domeniul unei funcții, pentru care derivata funcției dispare sau nu există, sunt numite puncte critice.
Din toate cele de mai sus, rezultă că punctele extreme ale funcției sunt printre punctele critice și, totuși, nu fiecare punct critic este un punct extrem. Prin urmare, pentru a găsi extremul funcției, trebuie să găsiți toate punctele critice ale funcției și apoi să examinați fiecare dintre aceste puncte separat pentru maxim și minim. Pentru aceasta, urmează următoarea teoremă.
Teorema 2. (O condiție suficientă pentru existența unui extremum.) Fie funcția continuă pe un interval care conține punctul critic X 0 și este diferențiabilă în toate punctele acestui interval (cu excepția, poate, a punctului însuși X 0). Dacă, la trecerea de la stânga la dreapta prin acest punct, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci în punctul X = X 0 funcția are un maxim. Dacă, la trecere prin X 0 de la stânga la dreapta, derivata își schimbă semnul din minus în plus, apoi funcția are un minim în acest moment.
Astfel, dacă
Dovada. Să presupunem mai întâi că atunci când trecem prin X 0, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, i.e. pentru toți X aproape de punct X 0 f „(x)> 0 pentru X< x 0 , f"(x)< 0 pentru x > x 0 . Să aplicăm teorema Lagrange la diferență f(x) - f(x 0 ) = f „(c)(x- x 0), unde c se află între Xși X 0 .
Astfel, pentru toate valorile X destul de aproape de X 0 f(x)< f(x 0 ) . Și asta înseamnă că la punct X 0 funcția are un maxim.
A doua parte a teoremei minimului este demonstrată în mod similar.
Să ilustrăm sensul acestei teoreme în figură. Lasa f"(x 1 ) =0 și pentru orice X, destul de aproape de X 1, inegalitățile
f"(x)< 0 la X< x 1 , f „(x)> 0 la x > x 1 .
Apoi la stânga punctului X 1 funcția este în creștere, iar în scădere în dreapta, deci, când X = X 1 funcție trece de la creștere la descreștere, adică are un maxim.
În mod similar, se pot lua în considerare punctele X 2 și X 3 .
Schematic, toate cele de mai sus pot fi descrise în imagine:
Regula pentru studierea funcției y=f(x) pentru un extremum
Exemple. Explorați funcțiile pentru minim și maxim.
CELE MAI MARE ȘI MINIME VALORI DE FUNCȚIE PE INTERCEPTĂ
cel mai mare valoarea unei funcții pe un segment este cea mai mare dintre toate valorile sale de pe acest segment și cel mai puţin este cea mai mică dintre toate valorile sale.
Luați în considerare funcția y=f(x) continuu pe segmentul [ a, b]. După cum se știe, o astfel de funcție își atinge valorile maxime și minime, fie la limita segmentului, fie în interiorul acestuia. Dacă valoarea maximă sau minimă a funcției este atinsă în punctul intern al segmentului, atunci această valoare este maxima sau minimă a funcției, adică este atinsă în punctele critice.
Astfel, obținem următoarele regula pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe segment [ a, b] :
>> Extreme
Funcția extremum
Definiţia extremum
Funcţie y = f(x) se numește crescând (în scădere) într-un anumit interval dacă pentru x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).
Dacă o funcție diferențiabilă y \u003d f (x) pe un segment crește (descrește), atunci derivata sa pe acest segment f " (X )> 0
(f"(X)< 0).
Punct X despre numit punct maxim local (minim) a funcției f (x ) dacă există o vecinătate a punctului x o, pentru toate punctele din care inegalitatea f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).
Se numesc punctele maxime și minime puncte extremum, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ale acesteia extrema.
puncte extremum
Condiții necesare pentru un extremum . Dacă punct X despre este un punct extrem al funcției f (x), atunci fie f " (x o ) = 0 sau f(x o ) nu există. Se numesc astfel de puncte critic, unde funcția în sine este definită în punctul critic. Extremele unei funcții ar trebui căutate printre punctele sale critice.
Prima condiție suficientă. Lasa X despre - punct critic. Dacă f" (x ) la trecerea prin punct X despre schimbă semnul plus în minus, apoi la punctul x o functia are un maxim, altfel are un minim. Dacă derivata nu își schimbă semnul la trecerea printr-un punct critic, atunci la punctul X despre nu există extremum.
A doua condiție suficientă.
Fie funcția f(x) să aibă
f" (x ) în vecinătatea punctului X
despre
iar derivata a doua chiar în punctul x o. Dacă f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o este un punct minim (maxim) local al funcției f(x). Dacă =0, atunci trebuie fie să folosiți prima condiție suficientă, fie să implicați altele mai mari.
Pe un segment, funcția y \u003d f (x) poate atinge cea mai mică sau cea mai mare valoare fie în punctele critice, fie la capetele segmentului.
Exemplul 3.22.
Decizie. La fel de f " (
Sarcini pentru găsirea extremului unei funcții
Exemplul 3.23. A
Decizie. Xși y y
0
≤ X≤
> 0, în timp ce x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
funcții mp.
unitati).
Exemplul 3.24. p ≈
Decizie. pp
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.
Exemplul 3.22.Aflați extremele funcției f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Decizie. La fel de f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), apoi punctele critice ale funcției x 1 \u003d 2 și x 2 \u003d 3. Punctele extreme pot fi numai la acestea puncte. Deoarece atunci când trece prin punctul x 1 \u003d 2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci în acest moment funcția are un maxim. Când trece prin punctul x 2 \u003d 3, derivata își schimbă semnul de la minus la plus, prin urmare, în punctul x 2 \u003d 3, funcția are un minim. Calcularea valorilor funcției în puncte
x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f (2) = 14 și minim f (3) = 13.
Exemplul 3.23.Este necesar să construiți o zonă dreptunghiulară lângă zidul de piatră, astfel încât să fie împrejmuită cu plasă de sârmă pe trei laturi și să se învețe cu peretele pe a patra latură. Pentru asta există A metri liniari ai grilei. La ce raport de aspect va avea site-ul cea mai mare suprafață?
Decizie.Indicați părțile laterale ale site-ului prin Xși y. Aria sitului este egala cu S = xy. Lasa y este lungimea laturii adiacente peretelui. Atunci, prin condiție, egalitatea 2x + y = a trebuie să fie valabilă. Prin urmare y = a - 2x și S = x (a - 2x), unde
0
≤ X≤ a /2 (lungimea și lățimea padului nu pot fi negative). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pentru x = a/4, de unde
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. În măsura în care x = a /4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru x a /4 S "> 0, în timp ce x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
funcții S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (mp.
unitati).
Deoarece S este continuu și valorile sale la capetele lui S(0) și S(a /2) sunt egale cu zero, atunci valoarea găsită va fi cea mai mare valoare a funcției. Astfel, raportul de aspect cel mai favorabil al site-ului în condițiile date ale problemei este y = 2x.
Exemplul 3.24.Este necesară realizarea unui rezervor cilindric închis cu o capacitate de V=16 p ≈ 50 m 3. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H) pentru a utiliza cea mai mică cantitate de material pentru fabricarea lui?
Decizie.Suprafața totală a cilindrului este S = 2 p R(R+H). Cunoaștem volumul cilindrului V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Deci S(R) = 2 p (R2+16/R). Găsim derivata acestei funcții:
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 pentru R 3 = 8, prin urmare,
R = 2, H = 16/4 = 4.
Funcții, nu este deloc necesar să știți despre prezența primei și a doua derivate și să înțelegeți semnificația lor fizică. Mai întâi trebuie să înțelegeți următoarele:
- extremele funcției maximizează sau, dimpotrivă, minimizează valoarea funcției într-o vecinătate arbitrar de mică;
- la punctul extremum nu trebuie să existe o discontinuitate a funcției.
Și acum același lucru, doar în termeni simpli. Uită-te la vârful unui pix. Dacă stiloul este așezat vertical, cu capătul scris în sus, atunci chiar mijlocul mingii va fi punctul extrem - cel mai înalt punct. În acest caz, vorbim despre maxim. Acum, dacă întoarceți pixul cu capătul de scris în jos, atunci la mijlocul bilei va exista deja un minim al funcției. Cu ajutorul figurii prezentate aici, vă puteți imagina manipulările enumerate pentru un creion de papetărie. Deci, extremele unei funcții sunt întotdeauna puncte critice: maximele sau minimele sale. Secțiunea adiacentă a diagramei poate fi în mod arbitrar ascuțită sau netedă, dar trebuie să existe pe ambele părți, doar în acest caz punctul este un extremum. Dacă diagrama este prezentă doar pe o parte, acest punct nu va fi un extremum chiar dacă condițiile extreme sunt îndeplinite pe una dintre laturile sale. Acum să studiem extremele funcției din punct de vedere științific. Pentru ca un punct să fie considerat un extremum, este necesar și suficient ca:
- prima derivată a fost egală cu zero sau nu a existat în punct;
- prima derivată își schimbă semnul în acest moment.
Condiția este interpretată oarecum diferit din punctul de vedere al derivatelor de ordin superior: pentru o funcție diferențiabilă într-un punct, este suficient să existe o derivată de ordin impar care nu este egală cu zero, în timp ce toate derivatele de ordin inferior trebuie există și să fie egal cu zero. Aceasta este cea mai simplă interpretare a teoremelor din manuale.Dar pentru cei mai obișnuiți oameni, merită explicat acest punct cu un exemplu. Baza este o parabolă obișnuită. Imediat faceți o rezervare, la punctul zero are minim. Doar puțină matematică:
- prima derivată (X 2) | = 2X, pentru punctul zero 2X = 0;
- derivata a doua (2X) | = 2, pentru punctul zero 2 = 2.
În acest mod simplu sunt ilustrate condițiile care determină extremele funcției atât pentru derivate de ordinul întâi, cât și pentru derivate de ordin superior. Putem adăuga la aceasta că derivata a doua este exact aceeași derivată de ordin impar, inegală cu zero, despre care s-a discutat puțin mai sus. Când vine vorba de extreme ale unei funcții a două variabile, trebuie îndeplinite condițiile pentru ambele argumente. Când are loc generalizarea, intră în joc derivatele parțiale. Adică, este necesar ca prezența unui extremum într-un punct în care ambele derivate de ordinul întâi să fie egale cu zero, sau cel puțin una dintre ele nu există. Pentru suficiența prezenței unui extremum, se investighează o expresie, care este diferența dintre produsul derivatelor de ordinul doi și pătratul derivatei mixte de ordinul doi a funcției. Dacă această expresie este mai mare decât zero, atunci există un extremum, iar dacă există o egalitate cu zero, atunci întrebarea rămâne deschisă și este nevoie de cercetări suplimentare.
