(din greaca λόγος - „cuvânt”, „relație” și ἀριθμός - „număr”) numere b prin rațiune A(log α b) se numește un astfel de număr c, și b= a c, adică log α b=cși b=ac sunt echivalente. Logaritmul are sens dacă a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Cu alte cuvinte logaritm numerele b prin rațiune A formulat ca un exponent la care trebuie ridicat un număr A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numere pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x= log α b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b.

De exemplu:

log 2 8 = 3 deoarece 8=2 3 .

Remarcăm că formularea indicată a logaritmului face posibilă determinarea imediată valoarea logaritmului când numărul de sub semnul logaritmului este o anumită putere a bazei. Într-adevăr, formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b prin rațiune A egală cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmului este strâns legat de subiect grad de număr.

Se face referire la calculul logaritmului logaritm. Logaritmul este operația matematică de luare a unui logaritm. Atunci când se ia un logaritm, produsele factorilor sunt transformate în sume de termeni.

Potentarea este operația matematică inversă logaritmului. La potențare, baza dată este ridicată la puterea expresiei pe care se realizează potențarea. În acest caz, sumele de termeni sunt transformate în produsul factorilor.

Destul de des, se folosesc logaritmi reali cu baze 2 (binare), e numărul Euler e ≈ 2,718 (logaritm natural) și 10 (zecimal).

În această etapă, merită luat în considerare mostre de logaritmi jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Și intrările lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nu au sens, deoarece în primul dintre ele un număr negativ este plasat sub semnul logaritmului, în al doilea - un număr negativ în baza, iar în al treilea - și un număr negativ sub semnul logaritmului și al unității în bază.

Condiții pentru determinarea logaritmului.

Merită să luăm în considerare separat condițiile a > 0, a ≠ 1, b > 0. definirea unui logaritm. Să ne gândim de ce sunt luate aceste restricții. Acest lucru ne va ajuta cu o egalitate de forma x = log α b, numită identitate logaritmică de bază, care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus.

Luați condiția a≠1. Deoarece unul este egal cu unu la orice putere, atunci egalitatea x=log α b poate exista doar atunci când b=1, dar log 1 1 va fi orice număr real. Pentru a elimina această ambiguitate, luăm a≠1.

Să dovedim necesitatea condiției a>0. La a=0 conform formulării logaritmului, poate exista numai atunci când b=0. Și apoi în consecință log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Pentru a elimina această ambiguitate, condiția a≠0. Și atunci când A<0 ar trebui să respingem analiza valorilor raționale și iraționale ale logaritmului, deoarece exponentul cu exponent rațional și irațional este definit doar pentru baze nenegative. Din acest motiv, condiția a>0.

Și ultima condiție b>0 rezultă din inegalitate a>0, deoarece x=log α b, și valoarea gradului cu bază pozitivă A intotdeauna pozitiv.

Caracteristicile logaritmilor.

Logaritmi caracterizat prin distinctiv Caracteristici, ceea ce a dus la utilizarea lor pe scară largă pentru a facilita foarte mult calculele minuțioase. În trecerea „în lumea logaritmilor”, înmulțirea se transformă într-o adunare mult mai ușoară, împărțirea în scădere, iar ridicarea la putere și luarea rădăcinii se transformă în înmulțire și, respectiv, împărțirea cu un exponent.

Formularea logaritmilor și un tabel al valorilor acestora (pentru funcțiile trigonometrice) au fost publicate pentru prima dată în 1614 de matematicianul scoțian John Napier. Tabelele logaritmice, mărite și detaliate de alți oameni de știință, au fost utilizate pe scară largă în calculele științifice și de inginerie și au rămas relevante până când calculatoarele electronice și calculatoarele au început să fie folosite.

Accentul acestui articol este logaritm. Aici vom da definiția logaritmului, vom arăta notația acceptată, vom da exemple de logaritmi și vom vorbi despre logaritmi naturali și zecimali. După aceea, luați în considerare identitatea logaritmică de bază.

Navigare în pagină.

Definiţia logarithm

Conceptul de logaritm apare atunci când rezolvați o problemă într-un anumit sens invers, când trebuie să găsiți exponentul dintr-o valoare cunoscută a gradului și o bază cunoscută.

Dar destul preambul, este timpul să răspundem la întrebarea „ce este un logaritm”? Să dăm o definiție adecvată.

Definiție.

Logaritmul lui b la baza a, unde a>0 , a≠1 și b>0 este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b ca rezultat.

În această etapă, observăm că cuvântul rostit „logaritm” ar trebui să ridice imediat două întrebări: „ce număr” și „pe ce bază”. Cu alte cuvinte, pur și simplu nu există logaritm, ci există doar logaritmul unui număr într-o anumită bază.

Vă vom prezenta imediat notație logaritmică: logaritmul numărului b la baza a este de obicei notat ca log a b . Logaritmul numărului b la baza e și logaritmul la baza 10 au propriile lor denumiri speciale lnb și, respectiv, lgb, adică nu scriu log e b , ci lnb , și nu log 10 b , ci lgb .

Acum poți aduce: .
Și înregistrările nu au sens, deoarece în primul dintre ele există un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea - un număr negativ în bază, iar în al treilea - atât un număr negativ sub semnul logaritmului, cât și o unitate în bază.

Acum să vorbim despre reguli de citire a logaritmilor. Log de intrare a b este citit ca „logaritmul lui b la baza a”. De exemplu, log 2 3 este logaritmul de la trei la baza 2 și este logaritmul de două numere întregi două treimi de bază ale rădăcinii pătrate a lui cinci. Se numește logaritmul la baza e logaritmul natural, iar notația lnb este citită ca „logaritmul natural al lui b”. De exemplu, ln7 este logaritmul natural al lui șapte și îl vom citi ca logaritmul natural al lui pi. Logaritmul la baza 10 are, de asemenea, un nume special - logaritm zecimal, iar notația lgb este citită ca „logaritm zecimal b”. De exemplu, lg1 este logaritmul zecimal de unu, iar lg2.75 este logaritmul zecimal de două virgulă șaptezeci și cinci sutimi.

Merită să ne oprim separat asupra condițiilor a>0, a≠1 și b>0, în care este dată definiția logaritmului. Să explicăm de unde provin aceste restricții. Pentru aceasta, ne va ajuta o egalitate a formei, numită , care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus.

Să începem cu a≠1 . Deoarece unu este egal cu unu la orice putere, atunci egalitatea poate fi adevărată numai pentru b=1, dar log 1 1 poate fi orice număr real. Pentru a evita această ambiguitate, a≠1 este acceptat.

Să argumentăm oportunitatea condiției a>0 . Cu a=0, după definiția logaritmului, am avea egalitate , ceea ce este posibil doar cu b=0 . Dar atunci log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Această ambiguitate poate fi evitată prin condiția a≠0 . Și pentru a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

În sfârșit, din inegalitatea a>0 rezultă condiția b>0, deoarece , iar valoarea gradului cu bază pozitivă a este întotdeauna pozitivă.

În încheierea acestui paragraf, spunem că definiția vocală a logaritmului vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului atunci când numărul de sub semnul logaritmului este un anumit grad de bază. Într-adevăr, definiția logaritmului ne permite să afirmăm că dacă b=a p , atunci logaritmul numărului b la baza a este egal cu p . Adică, logul de egalitate a a p =p este adevărat. De exemplu, știm că 2 3 =8 , atunci log 2 8=3 . Vom vorbi mai multe despre asta în articol.

Odată cu dezvoltarea societății, complexitatea producției, s-a dezvoltat și matematica. Mișcare de la simplu la complex. Din metoda contabilă obișnuită de adunare și scădere, cu repetarea lor repetată, s-a ajuns la conceptul de înmulțire și împărțire. Reducerea operației de multiplicare repetată a devenit conceptul de exponențiere. Primele tabele ale dependenței numerelor de bază și ale numărului de exponențiere au fost întocmite încă din secolul al VIII-lea de către matematicianul indian Varasena. Din ele, puteți număra timpul de apariție a logaritmilor.

Contur istoric

Reînvierea Europei în secolul al XVI-lea a stimulat și dezvoltarea mecanicii. T a necesitat o cantitate mare de calcul asociat cu înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre. Mesele antice au făcut un serviciu grozav. Au făcut posibilă înlocuirea operațiilor complexe cu altele mai simple - adunarea și scăderea. Un mare pas înainte a fost lucrarea matematicianului Michael Stiefel, publicată în 1544, în care a realizat ideea multor matematicieni. Acest lucru a făcut posibilă utilizarea tabelelor nu numai pentru grade sub formă de numere prime, ci și pentru cele raționale arbitrare.

În 1614, scoțianul John Napier, dezvoltând aceste idei, a introdus pentru prima dată noul termen „logaritm al unui număr”. Au fost compilate noi tabele complexe pentru calcularea logaritmilor sinusurilor și cosinusurilor, precum și a tangentelor. Acest lucru a redus foarte mult munca astronomilor.

Au început să apară tabele noi, care au fost folosite cu succes de oamenii de știință timp de trei secole. A trecut mult timp înainte ca noua operație în algebră să-și dobândească forma finală. A fost definit logaritmul și au fost studiate proprietățile acestuia.

Abia în secolul al XX-lea, odată cu apariția calculatorului și a calculatorului, omenirea a abandonat vechile mese care funcționau cu succes de-a lungul secolelor al XIII-lea.

Astăzi numim logaritmul lui b pentru a baza numărul x, care este puterea lui a, pentru a obține numărul b. Aceasta se scrie sub formă de formulă: x = log a(b).

De exemplu, log 3(9) va fi egal cu 2. Acest lucru este evident dacă urmați definiția. Dacă ridicăm 3 la puterea lui 2, obținem 9.

Astfel, definiția formulată pune o singură restricție, numerele a și b trebuie să fie reale.

Varietăți de logaritmi

Definiția clasică se numește logaritm real și este de fapt o soluție a ecuației a x = b. Opțiunea a = 1 este limită și nu prezintă interes. Notă: 1 la orice putere este 1.

Valoarea reală a logaritmului definit numai dacă baza și argumentul sunt mai mari decât 0, iar baza nu trebuie să fie egală cu 1.

Loc deosebit în domeniul matematicii jucați logaritmi, care vor fi denumiti în funcție de valoarea bazei lor:

Reguli și restricții

Proprietatea fundamentală a logaritmilor este regula: logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmică. log abp = log a(b) + log a(p).

Ca variantă a acestei afirmații, va fi: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), funcția de coeficient este egală cu diferența funcțiilor.

Este ușor de observat din cele două reguli anterioare că: log a(b p) = p * log a(b).

Alte proprietăți includ:

Cometariu. Nu faceți o greșeală comună - logaritmul sumei nu este egal cu suma logaritmilor.

Timp de multe secole, operația de găsire a logaritmului a fost o sarcină destul de consumatoare de timp. Matematicienii au folosit formula binecunoscută a teoriei logaritmice a expansiunii într-un polinom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), unde n este un număr natural mai mare decât 1, care determină acuratețea calculului.

Logaritmii cu alte baze s-au calculat folosind teorema tranziției de la o bază la alta și proprietatea logaritmului produsului.

Întrucât această metodă este foarte laborioasă și la rezolvarea problemelor practice greu de implementat, au folosit tabele de logaritmi pre-compilate, care au accelerat foarte mult întreaga activitate.

În unele cazuri, s-au folosit grafice de logaritmi special compilate, care au oferit mai puțină acuratețe, dar au accelerat semnificativ căutarea valorii dorite. Curba funcției y = log a(x), construită pe mai multe puncte, permite utilizarea riglei obișnuite pentru a găsi valorile funcției în orice alt punct. Multă vreme, inginerii au folosit așa-numita hârtie milimetrică în aceste scopuri.

În secolul al XVII-lea, au apărut primele condiții auxiliare de calcul analogic, care până în secolul al XIX-lea dobândiseră o formă finită. Cel mai de succes dispozitiv a fost numit regulă de calcul. În ciuda simplității dispozitivului, aspectul său a accelerat semnificativ procesul tuturor calculelor de inginerie, iar acest lucru este dificil de supraestimat. În prezent, puțini oameni sunt familiarizați cu acest dispozitiv.

Apariția calculatoarelor și calculatoarelor a făcut să fie inutilă utilizarea oricăror alte dispozitive.

Ecuații și inegalități

Următoarele formule sunt utilizate pentru a rezolva diverse ecuații și inegalități folosind logaritmi:

• Trecerea de la o bază la alta: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Ca o consecință a versiunii anterioare: log a(b) = 1 / log b(a).

Pentru a rezolva inegalitățile, este util să cunoaștem:

• Valoarea logaritmului va fi pozitivă numai dacă atât baza, cât și argumentul sunt ambele mai mari sau mai mici decât unu; dacă cel puțin o condiție este încălcată, valoarea logaritmului va fi negativă.
• Dacă funcția logaritm este aplicată în partea dreaptă și stângă a inegalității, iar baza logaritmului este mai mare decât unu, atunci semnul inegalității este păstrat; altfel, se schimba.

Exemple de sarcini

Luați în considerare mai multe opțiuni pentru utilizarea logaritmilor și proprietățile acestora. Exemple cu rezolvarea ecuațiilor:

Luați în considerare opțiunea de a plasa logaritmul în grad:

• Sarcina 3. Calculați 25^log 5(3). Rezolvare: în condițiile problemei, notația este similară cu următoarea (5^2)^log5(3) sau 5^(2 * log 5(3)). Să-l scriem altfel: 5^log 5(3*2), sau pătratul unui număr ca argument funcție poate fi scris ca pătrat al funcției în sine (5^log 5(3))^2. Folosind proprietățile logaritmilor, această expresie este 3^2. Răspuns: ca rezultat al calculului obținem 9.

Uz practic

Fiind un instrument pur matematic, pare departe de viața reală faptul că logaritmul a câștigat dintr-o dată multă importanță în descrierea obiectelor din lumea reală. Este greu să găsești o știință în care să nu fie folosită. Acest lucru se aplică pe deplin nu numai în domeniul natural, ci și în domeniul cunoașterii umaniste.

Dependențe logaritmice

Iată câteva exemple de dependențe numerice:

Mecanica si fizica

Din punct de vedere istoric, mecanica și fizica s-au dezvoltat întotdeauna folosind metode de cercetare matematică și, în același timp, au servit drept stimulent pentru dezvoltarea matematicii, inclusiv a logaritmilor. Teoria majorității legilor fizicii este scrisă în limbajul matematicii. Dăm doar două exemple de descriere a legilor fizice folosind logaritmul.

Este posibil să se rezolve problema calculării unei cantități atât de complexe precum viteza unei rachete folosind formula Tsiolkovsky, care a pus bazele teoriei explorării spațiului:

V = I * ln(M1/M2), unde

• V este viteza finală a aeronavei.
• I este impulsul specific al motorului.
• M 1 este masa inițială a rachetei.
• M 2 - masa finală.

Un alt exemplu important- aceasta este utilizarea în formula unui alt mare om de știință, Max Planck, care servește la evaluarea stării de echilibru în termodinamică.

S = k * ln (Ω), unde

• S este o proprietate termodinamică.
• k este constanta Boltzmann.
• Ω este ponderea statistică a diferitelor stări.

Chimie

Mai puțin evidentă ar fi utilizarea formulelor în chimie care conțin raportul logaritmilor. Iată doar două exemple:

• Ecuația Nernst, starea potențialului redox al mediului în raport cu activitatea substanțelor și constanta de echilibru.
• De asemenea, calculul unor constante precum indicele de autoproliză și aciditatea soluției nu este complet fără funcția noastră.

Psihologie și biologie

Și este complet de neînțeles ce legătură are psihologia cu asta. Se pare că puterea senzației este bine descrisă de această funcție ca fiind raportul invers dintre valoarea intensității stimulului și valoarea intensității inferioare.

După exemplele de mai sus, nu mai este de mirare că tema logaritmilor este utilizată pe scară largă și în biologie. Se pot scrie volume întregi despre formele biologice corespunzătoare spiralelor logaritmice.

Alte domenii

Se pare că existența lumii este imposibilă fără legătură cu această funcție și guvernează toate legile. Mai ales când legile naturii sunt legate de o progresie geometrică. Merită să vă referiți la site-ul MatProfi și există multe astfel de exemple în următoarele domenii de activitate:

Lista ar putea fi nesfârșită. După ce stăpânești legile de bază ale acestei funcții, te poți cufunda în lumea înțelepciunii infinite.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Să explicăm mai ușor. De exemplu, \(\log_(2)(8)\) este egal cu puterea \(2\) care trebuie ridicată pentru a obține \(8\). Din aceasta rezultă clar că \(\log_(2)(8)=3\).

Exemple:		\(\log_(5)(25)=2\)		deoarece \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		deoarece \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		deoarece \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentul și baza logaritmului

Orice logaritm are următoarea „anatomie”:

Argumentul logaritmului este de obicei scris la nivelul său, iar baza este scrisă în indice mai aproape de semnul logaritmului. Și această intrare se citește astfel: „logaritmul lui douăzeci și cinci la baza lui cinci”.

Cum se calculează logaritmul?

Pentru a calcula logaritmul, trebuie să răspundeți la întrebarea: în ce măsură ar trebui ridicată baza pentru a obține argumentul?

de exemplu, calculați logaritmul: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) La ce putere trebuie ridicat \(4\) pentru a obține \(16\)? Evident, al doilea. Asa de:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(5)\) pentru a obține \(1\)? Și ce grad face orice număr o unitate? Zero, desigur!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(7)\) pentru a obține \(\sqrt(7)\)? În primul - orice număr din primul grad este egal cu el însuși.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) La ce putere trebuie ridicată \(3\) pentru a obține \(\sqrt(3)\)? Din știm că este o putere fracțională și, prin urmare, rădăcina pătrată este puterea lui \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplu : Calculați logaritmul \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Decizie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebuie să găsim valoarea logaritmului, să o notăm cu x. Acum să folosim definiția logaritmului: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Ce legături leagă \(4\sqrt(2)\) și \(8\)? Doi, deoarece ambele numere pot fi reprezentate prin doi: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		În stânga, folosim proprietățile gradului: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) și \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazele sunt egale, trecem la egalitatea indicatorilor
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \(\frac(2)(5)\)
		Rădăcina rezultată este valoarea logaritmului

Răspuns : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

De ce a fost inventat logaritmul?

Pentru a înțelege acest lucru, să rezolvăm ecuația: \(3^(x)=9\). Doar potriviți \(x\) pentru ca egalitatea să funcționeze. Desigur, \(x=2\).

Acum rezolvați ecuația: \(3^(x)=8\). Cu ce ​​este x egal? Acesta este ideea.

Cel mai ingenios va spune: „X este puțin mai puțin de doi”. Cum anume trebuie scris acest număr? Pentru a răspunde la această întrebare, au venit cu logaritmul. Datorită lui, răspunsul de aici poate fi scris ca \(x=\log_(3)(8)\).

Vreau să subliniez faptul că \(\log_(3)(8)\), precum și orice logaritm este doar un număr. Da, pare neobișnuit, dar este scurt. Pentru că dacă am vrea să-l scriem ca zecimală, ar arăta astfel: \(1.892789260714.....\)

Exemplu : Rezolvați ecuația \(4^(5x-4)=10\)

Decizie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) și \(10\) nu pot fi reduse la aceeași bază. Deci aici nu poți să faci fără logaritm. Să folosim definiția logaritmului: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Întoarceți ecuația astfel încât x să fie în stânga
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Înaintea noastră. Deplasați \(4\) la dreapta. Și nu vă fie teamă de logaritm, tratați-l ca pe un număr normal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Împărțiți ecuația la 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aici este rădăcina noastră. Da, pare neobișnuit, dar răspunsul nu este ales.

Răspuns : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi zecimali și naturali

După cum se precizează în definiția logaritmului, baza acestuia poate fi orice număr pozitiv, cu excepția unuia \((a>0, a\neq1)\). Și dintre toate bazele posibile, există două care apar atât de des încât a fost inventată o notație scurtă specială pentru logaritmi cu ele:

Logaritm natural: un logaritm a cărui bază este numărul Euler \(e\) (egal cu aproximativ \(2,7182818…\)), iar logaritmul se scrie ca \(\ln(a)\).

adica \(\ln(a)\) este același cu \(\log_(e)(a)\)

Logaritm zecimal: Un logaritm a cărui bază este 10 se scrie \(\lg(a)\).

adica \(\lg(a)\) este același cu \(\log_(10)(a)\), unde \(a\) este un număr.

Identitatea logaritmică de bază

Logaritmii au multe proprietăți. Una dintre ele se numește „Identitatea logaritmică de bază” și arată astfel:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Această proprietate decurge direct din definiție. Să vedem cum exact a apărut această formulă.

Reamintim scurta definiție a logaritmului:

dacă \(a^(b)=c\), atunci \(\log_(a)(c)=b\)

Adică, \(b\) este același cu \(\log_(a)(c)\). Apoi putem scrie \(\log_(a)(c)\) în loc de \(b\) în formula \(a^(b)=c\) . Sa dovedit \(a^(\log_(a)(c))=c\) - principala identitate logaritmică.

Puteți găsi restul proprietăților logaritmilor. Cu ajutorul lor, puteți simplifica și calcula valorile expresiilor cu logaritmi, care sunt dificil de calculat direct.

Exemplu : Găsiți valoarea expresiei \(36^(\log_(6)(5))\)

Decizie :

Răspuns : \(25\)

Cum se scrie un număr ca logaritm?

După cum am menționat mai sus, orice logaritm este doar un număr. Este adevărat și invers: orice număr poate fi scris ca logaritm. De exemplu, știm că \(\log_(2)(4)\) este egal cu doi. Apoi puteți scrie \(\log_(2)(4)\) în loc de două.

Dar \(\log_(3)(9)\) este, de asemenea, egal cu \(2\), deci puteți scrie și \(2=\log_(3)(9)\) . În mod similar cu \(\log_(5)(25)\), și cu \(\log_(9)(81)\), etc. Adică se dovedește

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Astfel, dacă avem nevoie, le putem scrie pe cele două ca logaritm cu orice bază oriunde (chiar și într-o ecuație, chiar și într-o expresie, chiar și într-o inegalitate) - scriem doar baza pătrată ca argument.

Este același lucru cu un triplu - poate fi scris ca \(\log_(2)(8)\), sau ca \(\log_(3)(27)\), sau ca \(\log_(4)( 64) \) ... Aici scriem baza în cub ca argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Și cu patru:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Și cu minus unu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Și cu o treime:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Orice număr \(a\) poate fi reprezentat ca un logaritm cu baza \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplu : Găsiți valoarea unei expresii \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Decizie :

Răspuns : \(1\)

proprietăți de bază.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

aceleași temeiuri

log6 4 + log6 9.

Acum să complicăm puțin sarcina.

Exemple de rezolvare a logaritmilor

Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Trecerea la o nouă fundație

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Vezi si:

Proprietățile de bază ale logaritmului

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este 2,7 și de două ori anul nașterii lui Lev Tolstoi.

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Cunoscând această regulă, vei ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Exemple pentru logaritmi

Luați logaritmul expresiilor

Exemplul 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

După proprietățile 3,5 calculăm

2.

3.

4. Unde .

Exemplul 2 Găsiți x dacă

Exemplul 3. Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul.

Formule de logaritmi. Logaritmii sunt exemple de soluții.

Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numărătorul și numitorul au același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea doar atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din acea bază în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Vezi si:

Logaritmul numărului b la baza a denotă expresia. A calcula logaritmul înseamnă a găsi o astfel de putere x () la care egalitatea este adevărată

Proprietățile de bază ale logaritmului

Proprietățile de mai sus trebuie cunoscute, deoarece, pe baza lor, aproape toate problemele și exemplele sunt rezolvate pe baza logaritmilor. Proprietățile exotice rămase pot fi derivate prin manipulări matematice cu aceste formule

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

La calcularea formulelor pentru suma și diferența de logaritmi (3.4) sunt întâlnite destul de des. Restul sunt oarecum complexe, dar într-o serie de sarcini sunt indispensabile pentru simplificarea expresiilor complexe și calcularea valorilor acestora.

Cazuri comune de logaritmi

Unii dintre logaritmii obișnuiți sunt cei în care baza este chiar zece, exponențială sau două.
Logaritmul de bază zece este de obicei numit logaritm de bază zece și se notează simplu lg(x).

Din înregistrare se poate observa că elementele de bază nu sunt scrise în înregistrare. De exemplu

Logaritmul natural este logaritmul a cărui bază este exponentul (notat ln(x)).

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este 2,7 și de două ori anul nașterii lui Lev Tolstoi. Cunoscând această regulă, vei ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Și un alt logaritm important de bază doi este

Derivata logaritmului funcției este egală cu una împărțită la variabilă

Logaritmul integral sau antiderivat este determinat de dependență

Materialul de mai sus este suficient pentru a rezolva o clasă largă de probleme legate de logaritmi și logaritmi. Pentru a înțelege materialul, voi da doar câteva exemple comune din curiculumul scolar si universitati.

Exemple pentru logaritmi

Luați logaritmul expresiilor

Exemplul 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

După proprietățile 3,5 calculăm

2.
Prin proprietatea de diferență a logaritmilor, avem

3.
Folosind proprietățile 3.5 găsim

4. Unde .

O expresie aparent complexă folosind o serie de reguli este simplificată la formă

Găsirea valorilor logaritmului

Exemplul 2 Găsiți x dacă

Decizie. Pentru calcul, aplicăm proprietățile 5 și 13 până la ultimul termen

Înlocuiește în evidență și plânge

Deoarece bazele sunt egale, echivalăm expresiile

Logaritmi. Primul nivel.

Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Soluție: Luați logaritmul variabilei pentru a scrie logaritmul prin suma termenilor

Acesta este doar începutul cunoașterii logaritmilor și proprietăților lor. Exersați calculele, îmbogățiți-vă abilitățile practice - veți avea nevoie în curând de cunoștințele dobândite pentru a rezolva ecuații logaritmice. După ce am studiat metodele de bază pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, vă vom extinde cunoștințele pentru un alt subiect la fel de important - inegalitățile logaritmice ...

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log6 4 + log6 9.

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși.

Cum se rezolvă logaritmii

Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numărătorul și numitorul au același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea doar atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din acea bază în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.