SubiectNumere complexe și polinoame

Lectura 22

§unu. Numere complexe: definiții de bază

Simbol introduceți raportul
și se numește unitatea imaginară. Cu alte cuvinte,
.

Definiție. Exprimarea formei
, Unde
, se numește număr complex, iar numărul numită partea reală a unui număr complex si denota
, număr - partea imaginară si denota
.

Din această definiție rezultă că numerele reale sunt acele numere complexe a căror parte imaginară este egală cu zero.

Este convenabil să se reprezinte numerele complexe ca puncte ale unui plan pe care este dat un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene și anume: un număr complex
punct decisiv
si invers. pe osie
sunt afișate numere reale și se numește axa reală. Numerele complexe ale formei

sunt numite pur imaginare. Ele sunt afișate ca puncte pe axă.
, care se numește axa imaginară. Acest plan, care servește la reprezentarea numerelor complexe, se numește plan complex. Un număr complex care nu este real, adică astfel încât
, numit uneori imaginar.

Se spune că două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă au aceleași părți reale și imaginare.

Adunarea, scăderea și înmulțirea numerelor complexe se efectuează după regulile uzuale ale algebrei polinomiale, ținând cont de faptul că

. Operația de împărțire poate fi definită ca inversul operației de înmulțire și se poate demonstra unicitatea rezultatului (dacă divizorul este diferit de zero). Cu toate acestea, în practică, se utilizează o abordare diferită.

Numere complexe
și
se numesc conjugate, pe plan complex sunt reprezentate prin puncte simetrice fata de axa reala. Este evident ca:

1)

;

2)
;

3)
.

Acum împărțiți pe se poate face astfel:

.

Nu este greu să arăți asta

,

unde simbol reprezintă orice operație aritmetică.

Lasa
un număr imaginar și este o variabilă reală. Produsul a două binoame

este un trinom pătrat cu coeficienți reali.

Acum, având la dispoziție numere complexe, putem rezolva orice ecuație pătratică
.Daca atunci

iar ecuația are două rădăcini conjugate complexe

.

În cazul în care un
, atunci ecuația are două rădăcini reale diferite. În cazul în care un
, atunci ecuația are două rădăcini identice.

§2. Forma trigonometrică a unui număr complex

După cum am menționat mai sus, numărul complex
convenabil de reprezentat cu un punct
. De asemenea, se poate identifica un astfel de număr cu vectorul rază a acestui punct
. Cu această interpretare, adunarea și scăderea numerelor complexe se realizează conform regulilor de adunare și scădere a vectorilor. Pentru înmulțirea și împărțirea numerelor complexe, o altă formă este mai convenabilă.

Introducem pe plan complex
sistem de coordonate polare. Atunci unde
,
și număr complex
poate fi scris ca:

Această formă de notație se numește trigonometrică (spre deosebire de forma algebrică
). În această formă, numărul se numeste modul si - argumentul numărului complex . Sunt marcate:
,

. Pentru modul, avem formula

Argumentul numărului este definit ambiguu, dar până la un termen
,
. Valoarea argumentului care satisface inegalitățile
, se numește principal și se notează
. Apoi,
. Pentru valoarea principală a argumentului, puteți obține următoarele expresii:

,

argumentul numărului
considerat a fi nedefinit.

Condiția pentru egalitatea a două numere complexe în formă trigonometrică are forma: modulele numerelor sunt egale, iar argumentele diferă printr-un multiplu.
.

Aflați produsul a două numere complexe în formă trigonometrică:

Deci, la înmulțirea numerelor, modulele lor sunt înmulțite, iar argumentele sunt adăugate.

În mod similar, se poate stabili că la împărțire se împart modulele numerelor, iar argumentele se scad.

Înțelegând exponențiația ca înmulțire multiplă, putem obține formula pentru ridicarea unui număr complex la o putere:

Deducem o formulă pentru
- rădăcină puterea a unui număr complex (a nu se confunda cu rădăcina aritmetică a unui număr real!). Operația de extracție a rădăcinii este inversa operației de exponențiere. Asa de
este un număr complex astfel încât
.

Lasa
cunoscut, și
necesar a fi găsit. Apoi

Din egalitatea a două numere complexe în formă trigonometrică rezultă că

,
,
.

De aici
(este o rădăcină aritmetică!),

,
.

Este ușor să verifici asta nu poate decât să accepte valori esențial diferite, de exemplu, când
. În sfârșit avem formula:

,
.

Deci rădăcina gradul de la un număr complex are valori diferite. Pe planul complex, aceste valori sunt situate corect la vârfuri. -gon înscris într-un cerc de rază
centrat la origine. „Prima” rădăcină are un argument
, argumentele a două rădăcini „învecinate” diferă prin
.

Exemplu. Să luăm rădăcina cubă a unității imaginare:
,
,
. Apoi:

,

Subiectul „Numerele complexe” provoacă adesea dificultăți studenților, dar de fapt nu există nimic groaznic în ei, așa cum ar părea la prima vedere.

Deci, acum vom analiza și analiza cu exemple simple ce este un număr complex, cum este notat și în ce constă. Expresie z = a + bi se numește număr complex. Este un singur număr, nu o adăugare.

Exemplul 1 : z = 6 + 4i

Ce este un număr complex?

Un număr complex are o parte reală și o parte imaginară în compoziția sa.

Numărul a se numește partea reală a numărului complex și se notează a = Re(z). Și iată ce este cu scrisoarea i- adica număr b se numește coeficientul părții imaginare a unui număr complex și se notează b = Im(z). Împreună bi formează partea imaginară a unui număr complex.

Este ușor de ghicit și ușor de reținut că abrevierea "Re" provine din cuvânt Real- parte reală, reală. Respectiv, "Sunt" este o abreviere a cuvântului "Imaginar" parte imaginară.

Exemplul 2 : z = 0,5 + 9i. Aici este partea reală a=Re(z)=0,5, și partea imaginară b = Im(z) = 9i

Exemplul 3 : z = -5 + 19i. Aici este partea reală a=Re(z)=-5, și partea imaginară b=Im(z)=19.

Număr complex pur imaginar

Un număr complex care nu are o parte reală, adică Re(z) = 0, se numește pur imaginar.

Exemplul 4 : z = 2i. Partea reală lipsește a = Re(z) = 0, și partea imaginară b = Im(z) = 2.

Exemplul 5 . z=-8i. Aici este partea imaginară b=Im(z)=-8, parte reală a = Re(z) = 0.

Conjugați numere complexe

Se notează numărul complex conjugat "z" cu o bară și este folosit, de exemplu, pentru a găsi câtul a două numere complexe, cu alte cuvinte, pentru a implementa împărțirea numerelor. Cei care se gândesc acum, sunteți aici - citiți despre împărțirea numerelor complexe.

Numerele se numesc conjugate complexe, au aceleași părți reale și diferă doar prin semnul părților imaginare. Luați în considerare un exemplu:

Exemplul 6 . Conjugatul complex al unui număr z = 7 + 13i este un număr.

Unitatea imaginară a unui număr complex

Și, în sfârșit, să vorbim despre scrisoare i. Aceeași literă care formează componenta imaginară într-un număr complex. Chiar dacă avem o expresie z=5, înseamnă pur și simplu că partea imaginară a numărului dat este zero și partea reală este cinci.

Valoare i numit unitate imaginară.

Unitatea imaginară este utilă la rezolvarea ecuațiilor pătratice în cazul în care discriminantul este mai mic decât zero. Suntem obișnuiți să credem că dacă este negativ, nu există soluție, nu există rădăcini. Acest lucru nu este în întregime corect. Rădăcinile există, sunt doar complexe. Dar mai multe despre asta mai târziu. Și acum, să trecem la următorul articol despre studiul numerelor complexe, vom învăța cum să calculăm

Amintiți-vă informațiile necesare despre numerele complexe.

Număr complex este o expresie a formei A + bi, Unde A, b sunt numere reale și i- așa-zisul unitate imaginară, simbolul al cărui pătrat este -1, adică. i 2 = -1. Număr A numit parte reală, și numărul b - parte imaginară număr complex z = A + bi. În cazul în care un b= 0, atunci în loc de A + 0i scrie simplu A. Se poate observa că numerele reale sunt un caz special de numere complexe.

Operațiile aritmetice pe numere complexe sunt aceleași ca pe cele reale: ele pot fi adunate, scăzute, înmulțite și împărțite între ele. Adunarea și scăderea se procedează conform regulii ( A + bi) ± ( c + di) = (A ± c) + (b ± d)i, și înmulțirea - conform regulii ( A + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (anunț + bc)i(aici se folosește doar așa i 2 = -1). Număr = A – bi numit conjugare complexa la z = A + bi. Egalitate z · = A 2 + b 2 vă permite să înțelegeți cum să împărțiți un număr complex la un alt număr complex (diferit de zero):

(De exemplu, .)

Numerele complexe au o reprezentare geometrică convenabilă și vizuală: numărul z = A + bi poate fi reprezentat ca un vector cu coordonate ( A; b) pe planul cartezian (sau, care este aproape același, un punct - capătul vectorului cu aceste coordonate). În acest caz, suma a două numere complexe este reprezentată ca suma vectorilor corespunzători (care poate fi găsită prin regula paralelogramului). După teorema lui Pitagora, lungimea vectorului cu coordonatele ( A; b) este egal cu . Această valoare este numită modul număr complex z = A + biși se notează cu | z|. Unghiul pe care îl face acest vector cu direcția pozitivă a axei x (numărat în sens invers acelor de ceasornic) se numește argument număr complex zşi notat cu Arg z. Argumentul nu este definit în mod unic, ci doar până la adăugarea unui multiplu de 2 π radiani (sau 360°, dacă numărați în grade) - la urma urmei, este clar că întoarcerea printr-un astfel de unghi în jurul originii nu va schimba vectorul. Dar dacă vectorul lungimii r formează un unghi φ cu direcția pozitivă a axei x, atunci coordonatele sale sunt egale cu ( r cos φ ; r păcat φ ). Prin urmare, se dovedește notație trigonometrică număr complex: z = |z| (cos(Arg z) + i păcat (Arg z)). Este adesea convenabil să scrieți numere complexe în această formă, deoarece simplifică foarte mult calculele. Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică pare foarte simplă: z unu · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i păcat (Arg z 1+arg z 2)) (la înmulțirea a două numere complexe se înmulțesc modulele acestora și se adună argumentele). De aici urmează Formule De Moivre: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i păcat( n(Arg z))). Cu ajutorul acestor formule, este ușor să înveți cum să extragi rădăcini de orice grad din numere complexe. a n-a rădăcină a lui z este un număr atât de complex w, ce w n = z. Este clar că , Si unde k poate lua orice valoare din multime (0, 1, ..., n- unu). Aceasta înseamnă că există întotdeauna exact n rădăcini n gradul de la un număr complex (în plan sunt situate la vârfurile unui regulat n-gon).