Lecția poate începe cu povestea profesorului.

Vașcenko N.M., la lecție

În Grecia antică, toți oratorii erau învățați geometria. Pe ușa școlii era scris: „Cine nu știe geometrie, să nu intre aici”. De ce? Da, pentru că geometria învață să dovedească. Discursul unei persoane este convingător doar atunci când își dovedește concluziile. În raționamentul lor, oamenii folosesc adesea metoda dovezii, care se numește „prin contradicție”.

Să dăm exemple de astfel de dovezi.

Exemplul 1 Cercetașilor li s-a dat sarcina de a afla dacă în satul dat exista o coloană de tancuri inamice. Comandantul de recunoaștere relatează: dacă ar fi o coloană de tancuri în sat, atunci ar fi urme de omizi, dar nu le-am găsit.

Schema de raționament. Se cere să se dovedească: nu există coloană. Să presupunem că există o coloană. Atunci trebuie să fie urme. Contradicție - nu există urme. Concluzie: ipoteza este incorectă, ceea ce înseamnă că nu există o coloană a rezervorului.

Exemplul 2 Doctorul, după ce a examinat un copil bolnav, spune:

„Copilul nu are rujeolă. Dacă ar avea rujeolă, atunci ar fi o erupție pe corp, dar nu există erupție cutanată.”

Raționamentul medicului a fost efectuat și după schema de mai sus.

Se pune întrebarea: „Care este esența metodei de a demonstra prin contradicție?” - și este postat un tabel (Tabelul 5).

Prin contradicție este posibil să se rezolve probleme cunoscute anterior.

1. Având în vedere: a||b, liniile c și a intersectează. Dovedi: liniile c și b se intersectează.

Dovada.

1) Să presupunem că b||c.

2) Apoi rezultă că prin punctul O (punctul de intersecție al dreptelor a și c) trec două drepte diferite a și b, care sunt paralele cu dreapta b.

3) Acest lucru contrazice axioma dreptelor paralele.

Concluzie: înseamnă că presupunerea noastră este greșită, dar ceea ce trebuia să fie demonstrat este adevărat, adică că liniile bis se intersectează.

2. Având în vedere: A, B, C - puncte ale dreptei a, AB = 5 cm, AC = 2 cm, BC = 7 cm. Dovedi:

Dovada.

1) Să presupunem că punctul C se află între punctele A și B.

2) Apoi, conform axiomei de măsurare a segmentelor AB = AC + CBA

3) Acest lucru contrazice condiția: AB \u003d AC + CB, deoarece AB \u003d 5 cm, AC + C5 \u003d 9 cm.

Concluzie: punctul C nu se află între punctele A și B.

3. Având în vedere: AB - semilinie, C AB, AC< АВ. Dovedi:

Dovada.

1) Să presupunem că punctul B se află între punctele A și C.

2) Atunci, conform axiomei de măsurare a segmentelor AB + BC = AC, adică AB

3) Aceasta contrazice condiția problemei: AS<АВ.

Concluzie: punctul B nu se află între punctele A și C.

Rezolvarea problemelor este scrisă în caiete. Pentru ca elevii să învețe esența metodei de demonstrare prin contradicție, precum și pentru a economisi timp la rezolvarea problemelor, puteți folosi carduri cu indicii care sunt făcute din hârtie groasă și introduse în pungi de plastic. Elevul trebuie să completeze locurile lipsă de pe folie de plastic. Înregistrările pe bandă sunt ușor șterse și, prin urmare, cardurile pot fi folosite în mod repetat.

Cardul arată astfel:

Să presupunem opusul a ceea ce se cere să fie dovedit, adică.

Rezultă din ipoteza că (pe baza ……

Primim o contradicție.

Aceasta înseamnă că presupunerea noastră este greșită, dar ceea ce trebuia să fie demonstrat este adevărat, adică.

Teme pentru acasă:

n. „Dovada prin contradicție” § 2 la cuvintele: „Să explicăm asta...”.

1. Demonstrați că dacă MN = 8 m, MK = 5 m, NK- 10 m, atunci punctele M, N și K nu se află pe o singură dreaptă.

2. Demonstrează că dacă<(ab) = 100°, <(be) - 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab).

3. Demonstrați teorema 1.1 prin contradicție.

Adesea, atunci când se demonstrează teoreme, se folosește metoda demonstrației. contrar. Esența acestei metode ajută la înțelegerea ghicitorii. Încercați să o dezlegați.

Imaginați-vă o țară în care unei persoane condamnate la moarte i se cere să aleagă unul dintre cele două documente identice: unul spune „moarte”, celălalt spune „viață”. Dușmanii au calomniat un locuitor al acestei țări. Și ca să nu aibă șansa de a scăpa, au făcut ca pe spatele ambelor bucăți de hârtie, din care trebuie să aleagă una, să fie scris „moarte”. Prietenii au aflat despre acest lucru și l-au informat pe condamnat. A cerut să nu spună nimănui despre asta. A scos una dintre hârtii. Și a rămas să trăiască. Cum a făcut-o?

Răspuns. Condamnatul a înghițit bucata de hârtie pe care a ales-o. Pentru a determina ce lot i-a revenit, judecătorii s-au uitat în bucata de hârtie rămasă. Pe ea scria: „moarte”. Asta a dovedit că a avut noroc, a scos o hârtie pe care era scris: „viață”.

Ca și în cazul despre care vorbește ghicitoarea, în timpul probei sunt posibile doar două cazuri: se poate... sau este imposibil... Dacă te poți asigura că primul este imposibil (pe bucata de hârtie pe care judecătorii au primit, scrie: „moarte”), apoi putem concluziona imediat că a doua posibilitate este valabilă (pe a doua bucată de hârtie scrie: „viață”).

Dovada prin contradictie se realizeaza in felul urmator.

1) Stabiliți ce opțiuni sunt în principiu posibile la rezolvarea unei probleme sau la demonstrarea unei teoreme. Pot exista două opțiuni (de exemplu, dacă liniile luate în considerare sunt perpendiculare sau nu); Pot exista trei sau mai multe variante de răspuns (de exemplu, ce unghi se obține: acut, drept sau obtuz).

2) Demonstrați. Că niciuna dintre opțiunile pe care trebuie să le respingem nu poate fi efectuată. (De exemplu, dacă este necesar să se demonstreze că dreptele sunt perpendiculare, ne uităm la ce se întâmplă dacă luăm în considerare drepte neperpendiculare. De regulă, se poate stabili că în acest caz oricare dintre concluzii contrazice ceea ce este dat. în stare și, prin urmare, este imposibil.

3) Pe baza faptului că toate concluziile nedorite sunt aruncate și doar una (dezirabilă) rămâne neconsiderată, tragem concluzia că el este cel care are dreptate.

Să rezolvăm problema folosind dovezi prin contradicție.

Dat: liniile a și b sunt astfel încât orice dreaptă care intersectează a intersectează și b.

Folosind metoda demonstrației „prin contradicție”, demonstrați că a ll b.

Dovada.

Sunt posibile doar două cazuri:

1) dreptele a și b sunt paralele (viață);

2) liniile a și b nu sunt paralele (moarte).

Dacă este posibil să se excludă cazul nedorit, atunci rămâne de concluzionat că are loc al doilea dintre cele două cazuri posibile. Pentru a elimina cazul nedorit, să ne gândim la ce se întâmplă dacă liniile a și b se intersectează:

Prin presupunere, orice dreaptă care intersectează a intersectează și b. Prin urmare, dacă este posibil să găsiți cel puțin o dreaptă care intersectează a, dar nu intersectează b, acest caz trebuie eliminat. Puteți găsi câte drepte doriți: este suficient să desenați prin orice punct K al dreptei a, cu excepția punctului M, dreapta KS paralelă cu b:

Deoarece unul dintre cele două cazuri posibile este eliminat, se poate concluziona imediat ce va b.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să demonstrezi o teoremă?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Dovada „din contra” (în latină „reductio ad absurdum”) se caracterizează prin faptul că procesul însuși de a demonstra o opinie se realizează prin infirmarea judecății contrare. O antiteză poate fi dovedită falsă prin stabilirea faptului că este incompatibilă cu o propoziție adevărată.

De obicei, o astfel de metodă este demonstrată vizual folosind o formulă în care A este antiteza și B este adevărul. Dacă soluția se dovedește că prezența variabilei A conduce la rezultate diferite de B, atunci A se dovedește a fi fals.

Dovada „prin contradicție” fără folosirea adevărului

Există și o dovadă mai ușoară a falsității „opusului” – antiteza. O astfel de regulă-formulă spune: „Dacă a apărut o contradicție în formula la rezolvarea cu variabila A, A este falsă”. Nu contează dacă antiteza este negativă sau afirmativă. În plus, un mod mai simplu de a demonstra prin contradicție conține doar două fapte: teza și antiteza, adevărul B nu este folosit. Acest lucru simplifică foarte mult procesul de probă.

Apagog

În procesul dovedirii prin contradicție (care se mai numește și „reducere la absurd”), se folosește adesea apagogia. Aceasta este o tehnică logică, al cărei scop este să dovedească incorectitudinea oricărei judecăți astfel încât o contradicție să se dezvăluie direct în ea sau în consecințele care decurg din aceasta. Contradicția poate fi exprimată în identitatea unor obiecte evident diferite sau ca concluzii: conjuncție sau perechi B și nu B (adevărat și nu adevărat).

Recepția dovezilor „prin contradicție” este adesea folosită. În multe cazuri, nu este posibil să se dovedească incorectitudinea unei hotărâri în alt mod. Pe lângă apagogie, există și o formă paradoxală de demonstrație prin contradicție. Această formă a fost folosită încă din Elementele lui Euclid și reprezintă următoarea regulă: A este considerată dovedită dacă este posibil să se demonstreze „adevărata falsitate” a lui A.

Astfel, procesul dovedirii prin contradicție (se mai numește și dovezi indirecte și apogogice) este următorul. Se propune o opinie contrara, din aceasta antiteza se deduc consecinte, printre care se cauta falsul. Ei găsesc dovezi că printre consecințe există într-adevăr una falsă. De aici se concluzionează că antiteza este falsă, iar întrucât antiteza este falsă, rezultă concluzia logică că adevărul este cuprins tocmai în teză.

Dicționarul explicativ al termenilor matematici definește demonstrația prin contradicție a unei teoreme opuse teoremei inverse. „Demonstrarea prin contradicție este o metodă de demonstrare a unei teoreme (propoziție), care constă în a demonstra nu teorema în sine, ci teorema echivalentului (echivalentul), invers invers (invers la opus). Demonstrarea prin contradicție este folosită ori de câte ori teorema directă este dificil de demonstrat, dar inversul opus este mai ușor. La demonstrarea prin contradicție, concluzia teoremei este înlocuită cu negația ei, iar prin raționament se ajunge la negația condiției, adică. la o contradicție, la opus (opusul a ceea ce este dat; această reducere la absurd dovedește teorema.

Dovada prin contradicție este foarte des folosită în matematică. Dovada prin contradicție se bazează pe legea mijlocului exclus, care constă în faptul că dintre cele două afirmații (enunturi) A și A (negarea lui A), una dintre ele este adevărată, iar cealaltă este falsă./ Dicționar explicativ de termeni matematici: un ghid pentru profesori / O. V. Manturov [și alții]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Iluminismul, 1965.- 539 p.: ill.-C.112/.

Nu ar fi mai bine să declarăm deschis că metoda demonstrației prin contradicție nu este o metodă matematică, deși este folosită în matematică, că este o metodă logică și aparține logicii. Este valid să spunem că demonstrarea prin contradicție este „folosită ori de câte ori o teoremă directă este greu de demonstrat”, când de fapt este folosită dacă și numai dacă nu există un substitut pentru ea.

O atenție deosebită merită și caracteristica relației dintre teorema directă și cea inversă. „O teoremă inversă pentru o teoremă dată (sau pentru o teoremă dată) este o teoremă în care condiția este concluzia, iar concluzia este condiția teoremei date. Această teoremă în raport cu teorema inversă se numește teoremă directă (inițială). În același timp, teorema inversă la teorema inversă va fi teorema dată; prin urmare, teoremele directe și inverse se numesc reciproc inverse. Dacă teorema directă (dată) este adevărată, atunci teorema inversă nu este întotdeauna adevărată. De exemplu, dacă un patrulater este un romb, atunci diagonalele sale sunt reciproc perpendiculare (teorema directă). Dacă diagonalele dintr-un patrulater sunt reciproc perpendiculare, atunci patrulaterul este un romb - acest lucru nu este adevărat, adică teorema inversă nu este adevărată./ Dicționar explicativ de termeni matematici: un ghid pentru profesori / O. V. Manturov [și alții]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Iluminismul, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.

Această caracterizare a relației dintre teorema directă și teorema inversă nu ține cont de faptul că condiția teoremei directe este luată ca dată, fără demonstrație, astfel încât corectitudinea ei nu este garantată. Condiția teoremei inverse nu este luată ca dată, deoarece este concluzia teoremei directe dovedite. Corectitudinea sa este confirmată de demonstrarea teoremei directe. Această diferență logică esențială între condițiile teoremei directe și inverse se dovedește a fi decisivă în întrebarea care teoreme pot și care nu pot fi demonstrate prin metoda logică din contra.

Să presupunem că există o teoremă directă în minte, care poate fi demonstrată prin metoda matematică obișnuită, dar este dificilă. O formulăm într-o formă generală într-o formă scurtă după cum urmează: din DAR ar trebui să E . Simbol DAR are valoarea condiției date a teoremei, acceptată fără demonstrație. Simbol E este concluzia teoremei de demonstrat.

Vom demonstra teorema directă prin contradicție, logic metodă. Metoda logică demonstrează o teoremă care are nu matematic stare, și logic condiție. Se poate obține dacă starea matematică a teoremei din DAR ar trebui să E , supliment cu condiția inversă din DAR nu o face E .

Ca urmare, a fost obținută o condiție logică contradictorie a noii teoreme, care include două părți: din DAR ar trebui să E și din DAR nu o face E . Condiția rezultată a noii teoreme corespunde legii logice a mijlocului exclus și corespunde demonstrației teoremei prin contradicție.

Potrivit legii, o parte a condiției contradictorii este falsă, o altă parte este adevărată, iar a treia este exclusă. Demonstrarea prin contradicție are propria sarcină și scopul de a stabili exact care parte din cele două părți ale condiției teoremei este falsă. De îndată ce partea falsă a condiției este determinată, se va stabili că cealaltă parte este partea adevărată, iar a treia este exclusă.

Conform dicționarului explicativ al termenilor matematici, „dovada este raționament, în timpul căruia se stabilește adevărul sau falsitatea oricărei afirmații (judecată, enunț, teoremă)”. Dovada contrar există o discuţie în cursul căreia se stabileşte falsitate(absurditatea) concluziei care decurge din fals condiţiile teoremei care se dovedeşte.

Dat: din DAR ar trebui să E iar din DAR nu o face E .

Dovedi: din DAR ar trebui să E .

Dovada: Condiția logică a teoremei conține o contradicție care necesită rezolvarea acesteia. Contradicția condiției trebuie să-și găsească rezoluția în dovadă și rezultatul ei. Rezultatul se dovedește a fi fals dacă raționamentul este impecabil și infailibil. Motivul unei concluzii false cu raționament logic corect nu poate fi decât o condiție contradictorie: din DAR ar trebui să E și din DAR nu o face E .

Nu există nicio umbră de îndoială că o parte a condiției este falsă, iar cealaltă în acest caz este adevărată. Ambele părți ale condiției au aceeași origine, sunt acceptate ca date, presupuse, la fel de posibile, la fel de admisibile etc. În cursul raționamentului logic, nu a fost găsită o singură caracteristică logică care să distingă o parte a condiției de alte. Prin urmare, în aceeași măsură, din DAR ar trebui să E si poate din DAR nu o face E . Afirmație din DAR ar trebui să E poate fals, apoi declarația din DAR nu o face E va fi adevărat. Afirmație din DAR nu o face E poate fi falsă, atunci afirmația din DAR ar trebui să E va fi adevărat.

Prin urmare, este imposibil să se demonstreze teorema directă prin metoda contradicției.

Acum vom demonstra aceeași teoremă directă prin metoda matematică obișnuită.

Dat: DAR .

Dovedi: din DAR ar trebui să E .

Dovada.

1. Din DAR ar trebui să B

2. Din B ar trebui să LA (conform teoremei demonstrate anterior)).

3. Din LA ar trebui să G (conform teoremei demonstrate anterior).

4. Din G ar trebui să D (conform teoremei demonstrate anterior).

5. Din D ar trebui să E (conform teoremei demonstrate anterior).

Pe baza legii tranzitivității, din DAR ar trebui să E . Teorema directă este demonstrată prin metoda obișnuită.

Fie că teorema directă dovedită are o teoremă inversă corectă: din E ar trebui să DAR .

Să demonstrăm prin obișnuit matematic metodă. Demonstrarea teoremei inverse poate fi exprimată în formă simbolică ca algoritm de operații matematice.

Dat: E

Dovedi: din E ar trebui să DAR .

Dovada.

!. Din E ar trebui să D

1. Din D ar trebui să G (prin teorema inversă demonstrată anterior).

2. Din G ar trebui să LA (prin teorema inversă demonstrată anterior).

3. Din LA nu o face B (reversul nu este adevărat). De aceea din B nu o face DAR .

În această situație, nu are sens să continuăm demonstrația matematică a teoremei inverse. Motivul situației este logic. Este imposibil să înlocuiți o teoremă inversă incorectă cu ceva. Prin urmare, această teoremă inversă nu poate fi demonstrată prin metoda matematică obișnuită. Toată speranța este de a demonstra această teoremă inversă prin contradicție.

Pentru a o demonstra prin contradicție, se cere înlocuirea condiției sale matematice cu o condiție logică contradictorie, care în sensul ei conține două părți - falsă și adevărată.

Teorema inversă creanțe: din E nu o face DAR . Starea ei E , din care decurge concluzia DAR , este rezultatul demonstrării teoremei directe prin metoda matematică obișnuită. Această condiție trebuie păstrată și completată cu declarația din E ar trebui să DAR . Ca urmare a adunării, se obține o condiție contradictorie a noii teoreme inverse: din E ar trebui să DAR și din E nu o face DAR . Bazat pe acest lucru logic condiție contradictorie, teorema inversă poate fi demonstrată prin corectă logic doar raționament și numai, logic metoda opusă. Într-o demonstrație prin contradicție, orice acțiuni și operații matematice sunt subordonate celor logice și, prin urmare, nu contează.

În prima parte a afirmaţiei contradictorii din E ar trebui să DAR condiție E a fost demonstrat prin demonstrarea teoremei directe. În partea a doua din E nu o face DAR condiție E a fost asumat și acceptat fără dovezi. Una dintre ele este falsă, iar cealaltă este adevărată. Este necesar să se demonstreze care dintre ele este falsă.

Demonstrăm cu corect logic raționați și găsiți că rezultatul său este o concluzie falsă, absurdă. Motivul unei concluzii logice false este condiția logică contradictorie a teoremei, care conține două părți - fals și adevărat. Partea falsă poate fi doar o afirmație din E nu o face DAR , în care E acceptat fără dovezi. Acesta este ceea ce o deosebește E declarații din E ar trebui să DAR , care se dovedește prin demonstrarea teoremei directe.

Prin urmare, afirmația este adevărată: din E ar trebui să DAR , ceea ce urma să fie dovedit.

Concluzie: numai acea teorema inversa se dovedeste prin metoda logica din contra, care are o teorema directa demonstrata prin metoda matematica si care nu poate fi demonstrata prin metoda matematica.

Concluzia obţinută capătă o importanţă excepţională în raport cu metoda demonstraţiei prin contradicţie a marii teoreme a lui Fermat. Majoritatea covârșitoare a încercărilor de a-l demonstra nu se bazează pe metoda matematică obișnuită, ci pe metoda logică de a demonstra prin contradicție. Dovada Marii Teoreme a lui Fermat Wiles nu face excepție.

Cu alte cuvinte, Gerhard Frey a sugerat că ecuația ultimei teoreme a lui Fermat x n + y n = z n , Unde n > 2 , are soluții în numere întregi pozitive. Aceleași soluții sunt, după presupunerea lui Frey, soluțiile ecuației sale
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , care este dat de curba eiptică.

Andrew Wiles a acceptat această descoperire remarcabilă a lui Frey și, cu ajutorul ei, a făcut-o matematic metoda a demonstrat că această constatare, adică curba eliptică a lui Frey, nu există. Prin urmare, nu există o ecuație și soluțiile sale care sunt date de o curbă eliptică inexistentă.De aceea, Wiles ar fi trebuit să concluzioneze că nu există o ecuație a ultimei teoreme a lui Fermat și a teoremei lui Fermat în sine. Cu toate acestea, el trage concluzia mai modestă că ecuația ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluții în numere întregi pozitive.

Poate fi un fapt incontestabil că Wiles a acceptat o presupunere care este direct opusă în sensul celor afirmate de Ultima Teoremă a lui Fermat. Îl obligă pe Wiles să demonstreze Ultima Teoremă a lui Fermat prin contradicție. Să-i urmăm exemplul și să vedem ce se întâmplă din acest exemplu.

Ultima teoremă a lui Fermat afirmă că ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2

Conform metodei logice de demonstrare prin contradicție, această afirmație este păstrată, acceptată ca dată fără dovezi, și apoi completată cu o afirmație opusă în sens: ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , are soluții în numere întregi pozitive.

Afirmația ipotetică este de asemenea acceptată ca dată, fără dovezi. Ambele afirmații, considerate din punctul de vedere al legilor fundamentale ale logicii, sunt în egală măsură admisibile, egale în drepturi și la fel de posibile. Prin raționament corect se cere să se stabilească care dintre ele este falsă, pentru a se stabili apoi că cealaltă afirmație este adevărată.

Raționamentul corect se termină cu o concluzie falsă, absurdă, a cărei cauză logică nu poate fi decât o condiție contradictorie a teoremei în curs de demonstrare, care conține două părți de sens direct opus. Ele au fost cauza logică a concluziei absurde, rezultatul probei prin contradicție.

Cu toate acestea, în cursul raționamentului corect din punct de vedere logic, nu a fost găsit niciun semn prin care să fie posibil să se stabilească care afirmație anume este falsă. Poate fi o afirmație: ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , are soluții în numere întregi pozitive. Pe aceeași bază, poate fi afirmația: ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive.

Ca rezultat al raționamentului, poate exista o singură concluzie: Ultima teoremă a lui Fermat nu poate fi dovedită prin contradicție.

Ar fi o chestiune foarte diferită dacă Ultima Teoremă a lui Fermat ar fi o teoremă inversă care are o teoremă directă demonstrată prin metoda matematică obișnuită. În acest caz, s-ar putea dovedi prin contradicție. Și întrucât este o teoremă directă, demonstrarea ei trebuie să se bazeze nu pe metoda logică a dovedirii prin contradicție, ci pe metoda matematică obișnuită.

Potrivit lui D. Abrarov, academicianul V. I. Arnold, cel mai faimos matematician rus contemporan, a reacționat la demonstrația lui Wiles „activ sceptic”. Academicianul a spus: „aceasta nu este matematică reală – matematica reală este geometrică și are legături puternice cu fizica”. Afirmația academicianului exprimă însăși esența dovezii nematematice a lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat.

Prin contradicție, este imposibil de demonstrat fie că ecuația ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluții, fie că are soluții. Greșeala lui Wiles nu este matematică, ci logică - folosirea dovezii prin contradicție acolo unde utilizarea ei nu are sens și nu dovedește Ultima Teoremă a lui Fermat.

Nici Ultima Teoremă a lui Fermat nu este demonstrată folosind metoda matematică obișnuită dacă conține dat: ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive, iar dacă obligat să dovedească: ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive. În această formă, nu există o teoremă, ci o tautologie lipsită de sens.

Lecția este concepută pentru 2 academii. ore.

Ţintă: studiază diverse metode de evidență (raționamentul direct, metoda „prin contradicție” și raționamentul invers), ilustrând metodologia raționamentului. Luați în considerare metoda inducției matematice.

Material teoretic Metode de demonstrare

La demonstrarea teoremelor se folosește raționamentul logic. Dovezile în informatică sunt o parte integrantă a verificării corectitudinii algoritmilor. Necesitatea dovezii apare atunci când trebuie să stabilim adevărul unei afirmații de formă (AB). Există mai multe tipuri standard de dovezi, inclusiv următoarele:

Raționament direct (dovadă).

Presupunem că afirmația A este adevărată și arătăm validitatea lui B. Această metodă de demonstrare exclude situația în care A este adevărat și B este fals, deoarece este în acest și numai în acest caz implicația (AB) o valoare falsă (vezi tabelul).

Astfel, proba directă trece de la analizarea argumentelor până la probarea tezei, adică adevărul tezei este susținut direct de argumente. Schema acestei dovezi este următoarea: din argumentele date (a, b, c,...) trebuie neapărat să urmeze o teză demonstrabilă q.

Acest tip de probe se realizează în practica judiciară, în știință, în controverse, în scrierile școlarilor, în prezentarea de materiale de către un profesor etc.

Exemple:

1. Profesorul la lecția cu proba directă a tezei „Oamenii sunt creatorul istoriei”, arată; În primul rând că oamenii sunt creatorii bogăției materiale, În al doilea rând, fundamentează rolul enorm al maselor populare în politică, explică modul în care în epoca modernă oamenii luptă activ pentru pace și democrație, în al treilea rând, își dezvăluie marele rol în crearea culturii spirituale.

2. La lecțiile de chimie, dovezile directe ale combustibilității zahărului pot fi prezentate sub forma unui silogism categoric: Toți carbohidrații sunt combustibili. Zaharul este un carbohidrat. Zahărul este inflamabil.

În revista de modă modernă „Burda”, teza „Invidia este rădăcina tuturor relelor” este fundamentată cu ajutorul dovezilor directe prin următoarele argumente: „Invidia nu numai că otrăvește viața de zi cu zi a oamenilor, ci poate duce și la consecințe mai grave. , așadar, alături de gelozie, mânie și ura, fără îndoială una dintre cele mai rele trăsături de caracter. Urcându-se pe nesimțite, invidia doare dureros și profund. O persoană invidiază bunăstarea celorlalți, suferă din cauza conștiinței că cineva este mai norocos.

2. Raționament invers(dovada) . Presupunem că afirmația B este falsă și arătăm eroarea lui A. Adică, de fapt, verificăm direct adevărul implicației ((nu B)  (nu A)), care, conform tabelului, este echivalentă logic. la adevărul enunţului iniţial (A  B).

3. Metoda „prin contradicție”.

Această metodă este adesea folosită în matematică. Lasa A- o teză sau teoremă de demonstrat. Presupunem prin contradictie ca A fals, adică adevărat nu(sau ). Din presupunere deducem consecinţe care contrazic realitatea sau teoreme demonstrate anterior. Noi avem
, în care - fals, prin urmare, negația sa este adevărată, adică. , care, conform legii logicii clasice cu două valori ( →A) dă A. Deci este adevărat A, ceea ce urma să fie dovedit.

Există o mulțime de exemple de dovezi „prin contradicție” la cursul de matematică din școală. Deci, de exemplu, se demonstrează teorema că dintr-un punct situat în afara unei drepte, numai o perpendiculară poate fi lăsată pe această dreaptă. Prin contradicție, se demonstrează și următoarea teoremă: „Dacă două drepte sunt perpendiculare pe același plan, atunci sunt paralele.” Dovada acestei teoreme începe direct cu cuvintele: „Să presupunem contrariul, adică că liniile ABși CD nu paralel.”