clasa a 6-a

SUBIECT: „Diviziunea fracțiilor ordinare”, nota 6.

SCOPUL LECȚIEI: Rezumați și sistematizați teoretic și practic

cunoștințele, aptitudinile și abilitățile elevilor. Organizați munca pentru

umplerea lacunelor în cunoștințele elevilor. îmbunătăți, extinde

și aprofundarea cunoștințelor studenților asupra subiectului.

TIP DE LECȚIE: Lecție de generalizare și sistematizare a cunoștințelor, aptitudinilor și abilităților.

Echipamente: Pe tablă se află subiectul, scopul, planul de lecție.

ÎN CURILE CURĂRILOR.

Fiecare student are o listă de verificare pe birou.

1. teme -

2. intrebari de revizuire -

3. relatare verbala -

4. munca la clasa -

5. munca independenta -

1. Verificarea temelor:

a) lucrați în perechi la următoarele întrebări:

1) Adunarea, scăderea fracțiilor ordinare;

2) Cum se înmulțește o fracție cu o fracție;

3) Înmulțirea a două fracții;

4) Înmulțirea fracțiilor mixte;

5) Regula de împărțire a fracțiilor;

6) Împărțirea fracțiilor mixte;

7) Ce se numește. reducerea fracțiilor.

b) verificarea temelor conform soluției finite de pe tablă:

Nr. 620 (a), 624, 619 (d).

Scop: determinarea gradului de asimilare a temelor. Identificați punctele slabe comune.

Pune notele pe foaia de control

Anunțați scopul lecției: Pentru a generaliza și sistematiza cunoștințele, abilitățile și abilitățile în

subiect: „Diviziunea fracțiilor ordinare”.

Teoria s-a repetat, vom verifica cunoștințele în practică.

2. Numărarea verbală.

a) Pe cărți: 1) Reduceți fracția:; ; ; …

2) Convertiți într-o fracție improprie: ; ; …

3) Selectați partea întreagă: ; ; …

b) Scara numerica. Cine ajunge mai repede la etajul 6 va ști:

construcția geometriei (Euclid)

Opțiunea 2 - o persoană care dorea să fie avocat, ofițer și filozof, dar

a devenit matematician (Descartes)

l 0,1: ½ 0,4: 0,1 a

i d e l k c a v r e t

Note în foaia de control, pentru: 2 "-"5", 3" - "4", 4" - "3".

Cine a completat „scara” face în caiete Nr. 606. Primul dintre elevi de pe aripa tablei face Nr. 606. Apoi verifică clasa.

3.

A) Nr. 581 (b, d), 587 (cu comentarii), 591 (l, m, j), 600, 602, 593 (d, c, e, i)

Sarcina se face în caiete și pe tablă.

b) rezolvați problema: s-au plătit o mie de ruble pentru un kg de dulciuri. Cat costa

Kg de astfel de dulciuri?

4.

№ 1 . Executați acțiuni:

: răspunsuri: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . Reprezentați o fracție ca o fracție obișnuită și faceți următoarele:

0,375: răspunsuri: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . Rezolvați ecuația: răspunsuri: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . În prima zi, turistul a mers tot drumul, iar în a doua zi, restul. În

de câte ori mai mult este porțiunea de drum parcursă de turist în prima zi decât pe

al doilea? Răspunsuri: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. Prezentă ca fracție:

: raspuns: 1) 2) 3) 4)

Verificați soluția conform șablonului: Nr. 1 -4; nr. 2 - 1; nr. 3 - 4; nr. 4 - 4; Nr. 5 - 3.

Pune notele pe foaia de control.

Colectați liste de verificare. În concluzie. Anunțați notele pentru lecție.

5. Rezumatul lecției:

Ce reguli de bază am repetat astăzi?

6. Teme pentru acasă:

Nr. 619 (c), 620 (b), 627, sarcina individuală Nr. 617 (a, e, g).

Descarca:

Previzualizare:

MOU „Gimnaziul nr. 7”

Torzhok, regiunea Tver

LECȚIE DESCHISĂ PE TEMA:

„DIVIȚIA FRACȚIUNILOR ORDINARE”

clasa a 6-a

Lecție deschisă la municipalitatea Torzhok

(atestare, 2001)

Profesor de matematică: Ufimtseva N.A.

2001

SUBIECT : " Împărțirea fracțiilor ordinare, clasa a VI-a.

SCOPUL LECȚIEI : Rezumați și sistematizați teoretic și practic

Cunoștințele, aptitudinile și abilitățile elevilor. Organizați munca pentru

Completarea lacunelor în cunoștințele elevilor. îmbunătăți, extinde

Și pentru a aprofunda cunoștințele elevilor pe această temă.

TIP DE LECȚIE : Lecție de generalizare și sistematizare a cunoștințelor, aptitudinilor și abilităților.

Echipamente : Pe tablă se află subiectul, scopul, planul de lecție.

ÎN CURILE CURĂRILOR.

Fiecare student are o listă de verificare pe birou.

1. teme pentru acasă -
2. intrebari repetate -
3. numărare verbală -
4. munca la clasa -
5. muncă independentă -

1. Verificarea temelor:

A) lucrați în perechi la următoarele întrebări:

1) Adunarea, scăderea fracțiilor ordinare;

2) Cum se înmulțește o fracție cu o fracție;

3) Înmulțirea a două fracții;

4) Înmulțirea fracțiilor mixte;

5) Regula de împărțire a fracțiilor;

6) Împărțirea fracțiilor mixte;

7) Ce se numește. reducerea fracțiilor.

B) verificarea temelor conform soluției finite de pe tablă:

Nr. 620 (a), 624, 619 (d).

Ţintă : pentru a determina gradul de asimilare a temelor. Identificați punctele slabe comune.

Pune notele pe foaia de control

Anunțați scopul lecției: Pentru a generaliza și sistematiza cunoștințele, abilitățile și abilitățile în

Subiect: „Diviziunea fracțiilor ordinare”.

Teoria s-a repetat, vom verifica cunoștințele în practică.

1. Numărarea verbală.

A) Pe cărți: 1) Reduceți fracția:; ; ; …

2) Convertiți într-o fracție improprie: ; ; …

3) Selectați partea întreagă: ; ; …

B) Scara numerica. Cine ajunge mai repede la etajul 6 va ști:

Construcții de geometrie (Euclid)

Opțiunea 2 - o persoană care dorea să fie avocat, ofițer și filozof, dar

A devenit matematician (Descartes)

D t

eu p

L 0,1: ½ 0,4: 0,1 a

K la

În e

E d

3 2 4 5

I d e l k c a v r e t

Note în foaia de control, pentru: 2 "-"5", 3" - "4", 4" - "3".

Cine a completat „scara” face în caiete Nr. 606. Primul dintre elevi de pe aripa tablei face Nr. 606. Apoi verifică clasa.

1. Repetarea și sistematizarea principalelor prevederi teoretice:

A) Nr. 581 (b, d), 587 (cu comentarii), 591 (l, m, j), 600, 602, 593 (d, c, e, i)

Sarcina se face în caiete și pe tablă.

B) rezolvați problema: s-au plătit o mie de ruble pentru un kg de dulciuri. Cat costa

Kg de astfel de dulciuri?

1. Muncă independentă. Scop: pentru a verifica stăpânirea acestui subiect.

№ 1 . Executați acțiuni:

: răspunsuri: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . Reprezentați o fracție ca o fracție obișnuită și faceți următoarele:

0,375: răspunsuri: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . Rezolvați ecuația: răspunsuri: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . În prima zi, turistul a mers tot drumul, iar în a doua zi, restul. În

De câte ori este mai multă porțiunea de drum parcursă de turist în prima zi decât pe

Al doilea? Răspunsuri: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. Prezentă ca fracție:

: raspuns: 1) 2) 3) 4)

Verificați soluția conform șablonului: Nr. 1 -4; nr. 2 - 1; nr. 3 - 4; nr. 4 - 4; Nr. 5 - 3.

Pune notele pe foaia de control.

Colectați liste de verificare. În concluzie. Anunțați notele pentru lecție.

1. Rezumatul lecției:

Ce reguli de bază am repetat astăzi?

1. Teme pentru acasă:

Nr. 619 (c), 620 (b), 627, sarcina individuală Nr. 617 (a, e, g)

LUCRARE DE CURS

DESPRE ALGEBRĂ ȘI PRINCIPII DE ANALIZĂ

PE ACEASTĂ TEMĂ

"FUNCTII TRIGONOMETRICE"

Grupul creativ al catedrei de matematicieni

„Gimnaziul nr. 3”, Udomlya.

Lecția #3-4 concepută de profesorul de matematică

Ufimtseva N.A.

2000

MOU „Gimnaziul nr. 7”

Torzhok, regiunea Tver

LECȚIA PUBLICĂ

Clasă: 6

Prezentare pentru lecție

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției:

Aspect educativ:

• repetați și aprofundați cunoștințele despre tema „Diviziunea fracțiilor ordinare”

Aspect de dezvoltare:

• dezvoltarea abilităților de analiză, comparare a materialelor;
• dezvoltă atenția, memoria, vorbirea, gândirea logică, independența;
• să promoveze dezvoltarea deprinderilor de realizare a autoevaluării activităților educaționale.

Aspect educativ:

• să insufle elevilor priceperea independenței în muncă, să predea sârguință, acuratețe;
• educați necesitatea de a evalua propriile activități și munca colegilor de clasă;
• pentru a cultiva o cultură a vorbirii, atenție la acuratețea formulării.

Forme de organizare a activităților educaționale:

• frontal, individual, joc

Tehnologii folosite:

• tehnologie de cooperare;
• tehnologia de informație;
• tehnologii de jocuri.

Echipament:

1. un calculator;
2. proiector multimedia;
3. prezentare Microsoft Office PowerPoint;
4. carduri de sarcini

În timpul orelor

I. Moment organizatoric

II. Numărarea verbală

1. Calculați valorile expresiilor, colectați puzzle-ul.

Profesor: Băieți, recunoașteți ce se arată în această fotografie?

Usolye Sibirskoye este unul dintre cele mai vechi orașe din regiunea Angara, a fost fondat ca așezare în 1669 datorită cuceritorilor întinderilor siberiei, cazacii Ienisei, frații Mihailev, care au descoperit un izvor sărat pe malul râului Angara. și a construit o tigaie cu sare

2. Fără a efectua nicio acțiune, comparați coeficientul cu dividendul:

III. Repetarea materialului studiat anterior

1. Exprimați o zecimală sub formă de fracție. În tabel, introduceți literele corespunzătoare răspunsurilor găsite (lucrați în perechi).

0,4 - A	1.2 - R	0,006 - P
3.6 - Și	0,9 - Z	5.008 - T
0,05 - U	2.16 - O	0,37 - D
4,44 - C	5.08 - K	2.15 - M

Numele orașului Irkutsk provine de la râul Irkut, care se varsă în Angara. Orașul începe de la prima închisoare Irkutsk, fondată de cazaci sub conducerea lui Yakov Pokhabov la 6 iulie 1661. Până în septembrie 1670, pe locul închisorii a fost construită o fortăreață cu patru turnuri, numită Kremlin. Irkutsk aproape de la temelie a fost cel mai important bastion pentru comerțul cu China. Toate caravanele comerciale ruso-chineze au trecut prin oraș.

2. Scrieți o fracție comună ca zecimală. Aranjați numerele rezultate în ordine crescătoare și citiți cuvântul (pe cont propriu, cu verificarea ulterioară).

Răspunsuri: 0,8; 0,5; 0,25; 0,12; 0,032; 0,07, cuvântul este Baikal (hiperlink către colecția unificată a DER).

IV. Consolidarea materialului studiat

1. Completați spațiile libere:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

2. Jocul „Loto” (elevii trebuie să rezolve primul exemplu, apoi mergi la exemplul care începe cu numărul obținut la rezolvarea celui precedent, alcătuiește o propoziție).

eu optiunea			varianta II
					la sursa
lichen		acoperit

Răspunsuri: Rock Shamanka - marmură acoperită cu lichen roșu;

Shaman-stone - o stâncă situată la izvorul Angara.

V. Educaţie fizică

Mâinile în lateral, brațele - mai late.
Unu doi trei patru.
Acum ne-am hotărât să sărim.
Unu doi trei patru.
Întins - mai sus, mai sus...
Ne ghemuim - mai jos, mai jos.
Ridică-te - stai jos...
Ridică-te - stai jos...
Și acum s-au așezat la birouri.

VI. Rezolvarea problemei

Rezolvă o problemă: două mașini au condus simultan una spre alta din orașele Usolye-Sibirskoye și Irkutsk, distanța dintre care este de 80 km. Viteza primei mașini este viteza celei de-a doua. Găsiți vitezele fiecărei mașini dacă se întâlnesc după patruzeci de minute.

Lasa x (km/h)- viteza celui de-al doilea automobil

Apoi x (km/h)- viteza primului automobil

x+ x (km/h)- viteza de apropiere

Știind că mașinile s-au întâlnit hși au condus împreună 80 km, hai sa facem o ecuatie:

(x+X) * =80

(x+X) =80:

x=120:1

1

Răspuns:

• 1 opțiune PRĂJIRE
• Opțiunea 2 OMUL

VIII. Teme pentru acasă

Compune o sarcină

Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cel mai dificil moment în acele acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai ușoare decât adunarea și scăderea. Pentru început, luați în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă distinsă.

Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.

Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua „inversată”.

Desemnare:

Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a inversa o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, întreaga lecție o vom lua în considerare în principal înmulțirea.

Ca rezultat al înmulțirii, o fracție redusă poate apărea (și adesea apare) - desigur, trebuie redusă. Dacă, după toate reducerile, fracția sa dovedit a fi incorectă, întreaga parte ar trebui să fie distinsă în ea. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, factori maximi și mai puțini multipli comuni.

Prin definiție avem:

Înmulțirea fracțiilor cu o parte întreagă și fracții negative

Dacă există o parte întreagă în fracții, acestea trebuie convertite în unele necorespunzătoare - și abia apoi înmulțite conform schemelor prezentate mai sus.

Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din limitele înmulțirii sau îndepărtat cu totul conform următoarelor reguli:

1. Plus ori minus dă minus;
2. Două negative fac o afirmație.

Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru un produs, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe minusuri simultan:

1. Trimitem minusurile în perechi până dispar complet. Într-un caz extrem, poate supraviețui un minus - cel care nu a găsit o potrivire;
2. Dacă nu au mai rămas minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat, deoarece nu a găsit o pereche, îl scoatem din limitele înmulțirii. Obțineți o fracție negativă.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Traducem toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din afara limitelor înmulțirii. Ceea ce rămâne se înmulțește după regulile obișnuite. Primim:

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care vine înaintea unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la partea sa întreagă (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).

De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când sunt înmulțite, acestea sunt cuprinse între paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.

Reducerea fracțiilor din mers

Înmulțirea este o operație foarte laborioasă. Numerele de aici sunt destul de mari și, pentru a simplifica sarcina, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Prin definiție avem:

În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ce a mai rămas din ele sunt marcate cu roșu.

Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. Unitățile au rămas la locul lor, ceea ce, în general, poate fi omis. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.

Cu toate acestea, în niciun caz nu utilizați această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Uite, uite:

Nu poți face asta!

Eroarea apare din cauza faptului că atunci când se adună o fracție, suma apare la numărătorul unei fracții, și nu produsul numerelor. Prin urmare, este imposibil să se aplice proprietatea principală a unei fracții, deoarece această proprietate se ocupă în mod specific de înmulțirea numerelor.

Pur și simplu nu există alt motiv pentru a reduce fracțiile, așa că soluția corectă la problema anterioară arată astfel:

Solutia corecta:

După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.

Conținutul lecției

Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori

Adunarea fracțiilor este de două tipuri:

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori;
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

În primul rând, vom studia adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat.

De exemplu, să adăugăm fracții și . Adunăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2 Adăugați fracții și .

Răspunsul este o fracție improprie. Dacă vine sfârșitul sarcinii, atunci se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea. În cazul nostru, întreaga parte iese în evidență cu ușurință - doi împărțiți la doi vor fi unul:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:

Exemplul 3. Adăugați fracții și .

Din nou, adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.

După cum puteți vedea, adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori nu este dificilă. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Acum vom învăța cum să adunăm fracții cu diferiți numitori. Când se adună fracții, numitorii acelor fracții trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.

De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.

Dar fracțiile nu pot fi adăugate deodată, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi vom lua în considerare doar una dintre ele, deoarece restul metodelor pot părea complicate pentru un începător.

Esența acestei metode constă în faptul că se caută primul (LCM) dintre numitorii ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține al doilea factor suplimentar.

Apoi numărătorii și numitorii fracțiilor sunt înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.

Exemplul 1. Adăugați fracții și

În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6

LCM (2 și 3) = 6

Acum revenim la fracții și . În primul rând, împărțim LCM la numitorul primei fracții și obținem primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.

Numărul rezultat 2 este primul factor suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, facem o mică linie oblică deasupra fracției și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.

Numărul rezultat 3 este al doilea factor suplimentar. O scriem în a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică deasupra celei de-a doua fracții și scriem factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Acum suntem gata să adăugăm. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:

Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:

Așa se termină exemplul. Pentru a adăuga se pare.

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:

Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând fracțiile și la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).

Primul desen arată o fracție (patru piese din șase), iar a doua imagine arată o fracție (trei piese din șase). Punând aceste piese împreună obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este incorectă, așa că am evidențiat partea întreagă din ea. Rezultatul a fost (o pizza întreagă și o altă pizza a șasea).

Rețineți că am pictat acest exemplu prea detaliat. În instituțiile de învățământ nu este obișnuit să scrieți într-o manieră atât de detaliată. Trebuie să puteți găsi rapid LCM-ul ambilor numitori și al factorilor suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți cu numărătorii și numitorii dvs. În timp ce suntem la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:

Dar există și cealaltă față a monedei. Dacă nu se fac note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci întrebări de acest fel „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.

Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:

1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție;
3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
4. Adaugă fracții care au aceiași numitori;
5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii .

Să folosim instrucțiunile de mai sus.

Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor

Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4

Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție

Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem peste prima fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Primim al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Am obținut al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem peste a treia fracție:

Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari

Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii noștri suplimentari:

Pasul 4. Adaugă fracții care au aceiași numitori

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Rămâne să adunăm aceste fracții. Aduna:

Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe linia următoare. Acest lucru este permis în matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, se trece pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul unei noi linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.

Pasul 5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga parte din el

Răspunsul nostru este o fracție improprie. Trebuie să evidențiem întreaga parte a acesteia. Subliniem:

Am un răspuns

Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori

Există două tipuri de scădere de fracții:

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Mai întâi, să învățăm cum să scădem fracții cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul același.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, este necesar să scădem numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să o facem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei.

Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții, trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
2. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte din el.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

De exemplu, o fracție poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au aceiași numitori. Dar o fracție nu poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Numitorul comun se găsește după același principiu pe care l-am folosit la adunarea fracțiilor cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie peste prima fracție. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care se scrie peste a doua fracție.

Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. În urma acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.

Exemplul 1 Găsiți valoarea unei expresii:

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

În primul rând, găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12

LCM (3 și 4) = 12

Acum revenim la fracții și

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Scriem cele patru peste prima fracție:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un triplu peste a doua fracție:

Acum suntem gata de scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:

Am un răspuns

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza.

Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Fiind la școală, ar trebui să rezolvăm acest exemplu într-un mod mai scurt. O astfel de soluție ar arăta astfel:

Reducerea fracțiilor și la un numitor comun poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând aceste fracții la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în aceleași fracții (reduse la același numitor):

Primul desen arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracțiune (trei piese din douăsprezece). Tăiind trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

Aflați LCM al numitorilor acestor fracții.

Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul fiecărei fracții.

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțind 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem peste prima fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem peste a treia fracție:

Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.

Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune corectă și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o facem mai ușor. Ce se poate face? Puteți reduce această fracție.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (mcd) numerele 20 și 30.

Deci, găsim GCD-ul numerelor 20 și 30:

Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la GCD găsit, adică la 10

Am un răspuns

Înmulțirea unei fracții cu un număr

Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției date cu acest număr și să lăsați numitorul neschimbat.

Exemplul 1. Înmulțiți fracția cu numărul 1.

Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1

Intrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza 1 dată, primești pizza

Din legile înmulțirii, știm că dacă multiplicandul și multiplicatorul sunt interschimbați, atunci produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui întreg și a unei fracții funcționează:

Această intrare poate fi înțeleasă ca ocupând jumătate din unitate. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul fracției cu 4

Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei pizza de 4 ori, primești două pizza întregi.

Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul pe alocuri, obținem expresia. De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:

Un număr care se înmulțește cu o fracție și numitorul fracției sunt rezolvate dacă au un divizor comun mai mare decât unu.

De exemplu, o expresie poate fi evaluată în două moduri.

Prima cale. Înmulțiți numărul 4 cu numărătorul fracției și lăsați numitorul fracției neschimbat:

A doua cale. Cvadruplul fiind înmulțit și cvadruplul din numitorul fracției pot fi reduse. Puteți reduce aceste patru patru cu 4, deoarece cel mai mare divizor comun pentru doi patru este patru însuși:

Același rezultat s-a obținut 3. După reducerea celor patru, în locul lor se formează numere noi: două. Dar înmulțirea unuia cu un triplu și apoi împărțirea la unu nu schimbă nimic. Prin urmare, soluția poate fi scrisă mai scurt:

Reducerea poate fi efectuată chiar și atunci când am decis să folosim prima metodă, dar în etapa de înmulțire a numărului 4 și a numărătorului 3, am decis să folosim reducerea:

Dar, de exemplu, expresia poate fi calculată numai în primul mod - înmulțiți 7 cu numitorul fracției și lăsați numitorul neschimbat:

Acest lucru se datorează faptului că numărul 7 și numitorul fracției nu au un divizor comun mai mare de unu și, prin urmare, nu scad.

Unii elevi prescurtează în mod greșit numărul înmulțit și numărătorul fracției. Nu poți face asta. De exemplu, următoarea intrare nu este corectă:

Reducerea fracţiei presupune că și numărătorul și numitorul va fi împărțit la același număr. În situația cu expresia, împărțirea se efectuează numai la numărător, deoarece scrierea aceasta este la fel cu scrierea . Vedem că împărțirea se efectuează numai la numărător, iar la numitor nu apare nicio împărțire.

Înmulțirea fracțiilor

Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul este o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea.

Exemplul 1 Găsiți valoarea expresiei.

Am un răspuns. Este de dorit să se reducă această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:

Expresia poate fi înțeleasă ca luarea unei pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:

Și ia două din aceste trei bucăți:

Vom lua pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza împărțită în trei părți:

O felie din această pizza și cele două felii pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:

Cu alte cuvinte, vorbim de aceeași dimensiune a pizza. Prin urmare, valoarea expresiei este

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție corectă, dar va fi bine dacă se reduce. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 105 și 450.

Deci, să găsim GCD-ul numerelor 105 și 450:

Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la GCD pe care l-am găsit acum, adică la 15

Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Din aceasta, cinci nu își vor schimba sensul, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știți, este egal cu cinci:

Numerele inversate

Acum ne vom familiariza cu un subiect foarte interesant în matematică. Se numește „numere inverse”.

Definiție. Inversa la numărA este numărul care, atunci când este înmulțit cuA oferă o unitate.

Să substituim în această definiție în loc de o variabilă A numărul 5 și încercați să citiți definiția:

Inversa la număr 5 este numărul care, atunci când este înmulțit cu 5 oferă o unitate.

Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că poți. Să reprezentăm cinci ca o fracție:

Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar inversată:

Care va fi rezultatul acestui lucru? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:

Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul, deoarece atunci când 5 este înmulțit cu unu, se obține unul.

Reciproca poate fi găsită și pentru orice alt număr întreg.

Puteți găsi, de asemenea, reciproca pentru orice altă fracție. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l răsturnați.

Împărțirea unei fracții cu un număr

Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Să o împărțim în mod egal între doi. Câte pizza va primi fiecare?

Se poate observa că după împărțirea jumătate din pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare alcătuind câte o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.