Definiție 7.2. Se numește locul punctelor dintr-un plan pentru care diferența dintre distanța la două puncte fixe este constantă hiperbolă.

Observația 7.2. Vorbind despre diferența de distanțe, ele înseamnă că o distanță mai mică este scăzută de la una mai mare. Aceasta înseamnă că, de fapt, pentru o hiperbolă, modulul diferenței de distanțe de la oricare dintre punctele sale la două puncte fixe este constant. #

Definiția unei hiperbole este similară cu definiția elipsă. Diferența dintre ele este doar că pentru o hiperbolă diferența de distanțe față de punctele fixe este constantă, iar pentru o elipsă - suma acelorași distanțe. Prin urmare, este firesc ca aceste curbe să aibă multe în comun atât în ​​proprietăți, cât și în terminologia utilizată.

Punctele fixe din definiția unei hiperbole (le notăm cu F 1 și F 2) sunt numite focare de hiperbolă. Distanța dintre ele (o notăm cu 2s) se numește distanta focala, iar segmentele F 1 M și F 2 M, care leagă un punct arbitrar M al hiperbolei cu focarele sale, - razele focale.

Forma hiperbolei este complet determinată de distanța focală |F 1 F 2 | = 2с și valoarea constantei 2а, egală cu diferența razelor focale, și poziția acesteia pe plan - poziția focarelor F 1 și F 2 .

Din definirea unei hiperbole rezultă că, asemenea unei elipse, aceasta este simetrică față de linia dreaptă care trece prin focare, precum și față de dreapta care împarte segmentul F 1 F 2 în jumătate și este perpendiculară. la acesta (Fig. 7.7). Prima dintre aceste axe de simetrie se numește axa reală a hiperbolei, iar al doilea - ea axa imaginară. Se numește constanta a implicată în definirea unei hiperbole semiaxa reală a hiperbolei.

Mijlocul segmentului F 1 F 2 care leagă focarele hiperbolei se află la intersecția axelor sale de simetrie și, prin urmare, este centrul de simetrie al hiperbolei, care se numește simplu. centrul hiperbolei.

Pentru o hiperbolă, axa reală 2a nu trebuie să fie mai mare decât distanța focală 2c, deoarece pentru triunghiul F 1 MF 2 (vezi Fig. 7.7) inegalitatea ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. Egalitatea a = c este valabilă numai pentru acele puncte M care se află pe axa reală de simetrie a hiperbolei în afara intervalului F 1 F 2 . Înlăturând acest caz degenerat, presupunem în continuare că a

Ecuația hiperbolei. Să considerăm o hiperbolă pe planul cu focare în punctele F 1 și F 2 și axa reală 2a. Fie 2c distanța focală, 2c = |F 1 F 2 | > 2a. Conform observației 7.2, hiperbola constă din acele puncte M(x; y) pentru care | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2a. Să alegem sistem de coordonate dreptunghiular Oxy astfel încât centrul hiperbolei să fie la origine, iar focarele au fost localizate pe abscisă(Fig. 7.8). Un astfel de sistem de coordonate pentru hiperbola considerată se numește canonic, și variabilele corespunzătoare - canonic.

În sistemul de coordonate canonic, focarele hiperbolei au coordonate F1 (c; 0) şi F2 (-c; 0). Folosind formula distanței dintre două puncte, scriem condiția ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2a în coordonate |√((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| \u003d 2a, unde (x; y) sunt coordonatele punctului M. Pentru a simplifica această ecuație, scăpăm de semnul modulului: √ ((x - c) 2 + y 2) - √ ((x + c) ) 2 + y 2) \u003d ±2a, mutați al doilea radical în partea dreaptă și pătrați-l: (x - c) 2 + y 2 \u003d (x + c) 2 + y 2 ± 4a √ ((x + c) 2 + y 2) + 4a 2 . După simplificare, obținem -εx - a \u003d ± √ ((x + c) 2 + y 2), sau

√((x + c) 2 + y 2) = |εx + a| (7,7)

unde ε = c/a. Patratăm a doua oară și aducem din nou termeni similari: (ε 2 - 1) x 2 - y 2 \u003d c 2 - a 2, sau, având în vedere egalitatea ε \u003d c / a și setarea b 2 \u003d c 2 - un 2,

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1 (7,8)

Se numește valoarea b > 0 semiaxa imaginară a hiperbolei.

Deci, am stabilit că orice punct de pe o hiperbolă cu focare F 1 (c; 0) și F 2 (-c; 0) și o semiaxă reală a satisface ecuația (7.8). Dar trebuie de asemenea să arătăm că coordonatele punctelor din afara hiperbolei nu satisfac această ecuație. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare familia tuturor hiperbolelor cu focare date F 1 și F 2 . Această familie de hiperbole are axe de simetrie comune. Din considerente geometrice, este clar că fiecare punct al planului (cu excepția punctelor situate pe axa reală de simetrie în afara intervalului F1F2 și a punctelor situate pe axa imaginară de simetrie) aparține unei hiperbole a familiei și numai unul, deoarece diferența de distanțe de la punct la focarele F 1 și F 2 se schimbă de la hiperbolă la hiperbolă. Fie coordonatele punctului M(x; y) satisface ecuația (7.8), iar punctul însuși aparține hiperbolei familiei cu o valoare ã a semiaxei reale. Apoi, după cum am arătat, coordonatele sale satisfac ecuația Prin urmare, un sistem de două ecuații cu două necunoscute

are cel putin o solutie. Prin verificare directă, ne asigurăm că pentru ã ≠ a acest lucru este imposibil. Într-adevăr, eliminând, de exemplu, x din prima ecuație:

după transformări, obținem ecuația

care, pentru ã ≠ a, nu are soluții, întrucât . Deci, (7.8) este o ecuație a unei hiperbole cu o semiaxă reală a > 0 și o semiaxă imaginară b = √ (с 2 - a 2) > 0. Se numește ecuația canonică a hiperbolei.

Tip de hiperbolă.În forma sa, hiperbola (7.8) diferă semnificativ de elipsă. Ținând cont de prezența a două axe de simetrie ale hiperbolei, este suficient să construim acea parte a acesteia care se află în primul sfert al sistemului de coordonate canonic. În primul trimestru, i.e. pentru x ≥ 0, y ≥ 0, ecuația canonică a hiperbolei este rezolvată în mod unic în raport cu y:

y \u003d b / a √ (x 2 - a 2). (7,9)

Studiul acestei funcții y(x) dă următoarele rezultate.

Domeniul functiei este (x: x ≥ a) si in acest domeniu este continuu ca functie complexa, iar in punctul x = a este continuu in dreapta. Singurul zero al funcției este punctul x = a.

Să găsim derivata funcției y (x): y "(x) \u003d bx / a √ (x 2 - a 2). Din aceasta concluzionăm că pentru x> a, funcția crește monoton. În plus, , ceea ce înseamnă că în punctul x = a de intersecție a graficului funcției cu axa x există o tangentă verticală. Funcția y (x) are o derivată a doua y "= -ab (x 2 - a 2) -3/2 pentru x> a, iar această derivată este negativă. Prin urmare, graficul funcției este convex în sus și acolo nu sunt puncte de inflexiune.

Această funcție are o asimptotă oblică, care rezultă din existența a două limite:

Asimptota oblică este descrisă de ecuația y = (b/a)x.

Studiul funcției (7.9) ne permite să construim graficul acesteia (Fig. 7.9), care coincide cu partea de hiperbolă (7.8) cuprinsă în primul trimestru.

Deoarece hiperbola este simetrică față de axele sale, întreaga curbă are forma prezentată în Fig. 7.10. O hiperbolă este formată din două ramuri simetrice situate la diferite

parte a axei sale imaginare de simetrie. Aceste ramuri nu sunt mărginite pe ambele părți, iar liniile y = ±(b/a)x sunt simultan asimptote ale ramurilor drepte și stângi ale hiperbolei.

Axele de simetrie ale hiperbolei diferă prin aceea că cea reală intersectează hiperbola, iar cea imaginară, fiind locul punctelor echidistante de focare, nu se intersectează (de aceea se numește imaginar). Două puncte de intersecție ale axei reale de simetrie cu hiperbola se numesc vârfuri ale hiperbolei (punctele A (a; 0) și B (-a; 0) din Fig. 7.10).

Construcția unei hiperbole de-a lungul axelor sale reale (2a) și imaginară (2b) ar trebui să înceapă cu un dreptunghi centrat la origine și laturile 2a și 2b paralele, respectiv, cu axele de simetrie reală și imaginară ale hiperbolei (Fig. 7.11). ). Asimptotele unei hiperbole sunt continuări ale diagonalelor acestui dreptunghi, iar vârfurile hiperbolei sunt punctele de intersecție a laturilor dreptunghiului cu axa reală de simetrie. Rețineți că dreptunghiul și poziția sa pe plan determină în mod unic forma și poziția hiperbolei. Raportul b/a al laturilor dreptunghiului determină gradul de compresie al hiperbolei, dar în locul acestui parametru se folosește de obicei excentricitatea hiperbolei. Excentricitatea unei hiperbole numit raportul dintre distanța sa focală și axa reală. Excentricitatea se notează cu ε. Pentru hiperbola descrisă de ecuația (7.8), ε = c/a. Rețineți că dacă excentricitatea elipsei poate lua valori dintr-un interval de jumătate)