Formula pentru suma logaritmilor. Logaritmi: exemple și soluții


Accentul acestui articol este logaritm. Aici vom da definiția logaritmului, vom arăta notația acceptată, vom da exemple de logaritmi și vom vorbi despre logaritmi naturali și zecimali. După aceea, luați în considerare identitatea logaritmică de bază.

Navigare în pagină.

Definiţia logarithm

Conceptul de logaritm apare atunci când rezolvați o problemă într-un anumit sens invers, când trebuie să găsiți exponentul dintr-o valoare cunoscută a gradului și o bază cunoscută.

Dar destul preambul, este timpul să răspundem la întrebarea „ce este un logaritm”? Să dăm o definiție adecvată.

Definiție.

Logaritmul lui b la baza a, unde a>0 , a≠1 și b>0 este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b ca rezultat.

În această etapă, observăm că cuvântul rostit „logaritm” ar trebui să ridice imediat două întrebări: „ce număr” și „pe ce bază”. Cu alte cuvinte, pur și simplu nu există logaritm, ci există doar logaritmul unui număr într-o anumită bază.

Vă vom prezenta imediat notație logaritmică: logaritmul numărului b la baza a este de obicei notat ca log a b . Logaritmul numărului b la baza e și logaritmul la baza 10 au propriile lor denumiri speciale lnb și, respectiv, lgb, adică nu scriu log e b , ci lnb , și nu log 10 b , ci lgb .

Acum poți aduce: .
Și înregistrările nu au sens, deoarece în primul dintre ele există un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea - un număr negativ în bază, iar în al treilea - atât un număr negativ sub semnul logaritmului, cât și o unitate în bază.

Acum să vorbim despre reguli de citire a logaritmilor. Log de intrare a b este citit ca „logaritmul lui b la baza a”. De exemplu, log 2 3 este logaritmul lui trei la baza 2 și este logaritmul a doi întregi două treimi de bază ale rădăcinii pătrate a lui cinci. Se numește logaritmul la baza e logaritmul natural, iar notația lnb este citită ca „logaritmul natural al lui b”. De exemplu, ln7 este logaritmul natural al lui șapte și îl vom citi ca logaritmul natural al lui pi. Logaritmul la baza 10 are, de asemenea, un nume special - logaritm zecimal, iar notația lgb este citită ca „logaritm zecimal b”. De exemplu, lg1 este logaritmul zecimal de unu, iar lg2.75 este logaritmul zecimal de două virgulă șaptezeci și cinci de sutimi.

Merită să ne oprim separat asupra condițiilor a>0, a≠1 și b>0, în care este dată definiția logaritmului. Să explicăm de unde provin aceste restricții. Pentru aceasta, ne va ajuta o egalitate a formei, numită , care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus.

Să începem cu a≠1 . Deoarece unu este egal cu unu la orice putere, egalitatea poate fi adevărată numai pentru b=1, dar log 1 1 poate fi orice număr real. Pentru a evita această ambiguitate, a≠1 este acceptat.

Să argumentăm oportunitatea condiției a>0 . Cu a=0, după definiția logaritmului, am avea egalitate , ceea ce este posibil doar cu b=0 . Dar atunci log 0 0 ar putea fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Această ambiguitate poate fi evitată prin condiția a≠0 . Și pentru a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

În fine, din inegalitatea a>0 rezultă condiția b>0, deoarece , iar valoarea gradului cu bază pozitivă a este întotdeauna pozitivă.

În încheierea acestui paragraf, spunem că definiția vocală a logaritmului vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului atunci când numărul de sub semnul logaritmului este un anumit grad de bază. Într-adevăr, definiția logaritmului ne permite să afirmăm că dacă b=a p , atunci logaritmul numărului b la baza a este egal cu p . Adică, logul de egalitate a a p =p este adevărat. De exemplu, știm că 2 3 =8 , atunci log 2 8=3 . Vom vorbi mai multe despre asta în articol.

Odată cu dezvoltarea societății, complexitatea producției, s-a dezvoltat și matematica. Mișcare de la simplu la complex. Din metoda contabilă obișnuită de adunare și scădere, cu repetarea lor repetată, s-a ajuns la conceptul de înmulțire și împărțire. Reducerea operației de multiplicare repetată a devenit conceptul de exponențiere. Primele tabele ale dependenței numerelor de bază și ale numărului de exponențiere au fost întocmite încă din secolul al VIII-lea de către matematicianul indian Varasena. Din ele, puteți număra timpul de apariție a logaritmilor.

Contur istoric

Reînvierea Europei în secolul al XVI-lea a stimulat și dezvoltarea mecanicii. T a necesitat o cantitate mare de calcul asociat cu înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre. Mesele antice au făcut un serviciu grozav. Au făcut posibilă înlocuirea operațiilor complexe cu altele mai simple - adunarea și scăderea. Un mare pas înainte a fost lucrarea matematicianului Michael Stiefel, publicată în 1544, în care a realizat ideea multor matematicieni. Acest lucru a făcut posibilă utilizarea tabelelor nu numai pentru grade sub formă de numere prime, ci și pentru cele raționale arbitrare.

În 1614, scoțianul John Napier, dezvoltând aceste idei, a introdus pentru prima dată noul termen „logaritm al unui număr”. Au fost compilate noi tabele complexe pentru calcularea logaritmilor sinusurilor și cosinusurilor, precum și a tangentelor. Acest lucru a redus foarte mult munca astronomilor.

Au început să apară tabele noi, care au fost folosite cu succes de oamenii de știință timp de trei secole. A trecut mult timp înainte ca noua operație în algebră să-și dobândească forma finală. A fost definit logaritmul și au fost studiate proprietățile acestuia.

Abia în secolul al XX-lea, odată cu apariția calculatorului și a calculatorului, omenirea a abandonat vechile mese care funcționau cu succes de-a lungul secolelor al XIII-lea.

Astăzi numim logaritmul lui b pentru a baza numărul x, care este puterea lui a, pentru a obține numărul b. Aceasta se scrie sub formă de formulă: x = log a(b).

De exemplu, log 3(9) va fi egal cu 2. Acest lucru este evident dacă urmați definiția. Dacă ridicăm 3 la puterea lui 2, obținem 9.

Astfel, definiția formulată pune o singură restricție, numerele a și b trebuie să fie reale.

Varietăți de logaritmi

Definiția clasică se numește logaritm real și este de fapt o soluție a ecuației a x = b. Opțiunea a = 1 este limită și nu prezintă interes. Notă: 1 la orice putere este 1.

Valoarea reală a logaritmului definit numai dacă baza și argumentul sunt mai mari decât 0, iar baza nu trebuie să fie egală cu 1.

Loc deosebit în domeniul matematicii jucați logaritmi, care vor fi denumiti în funcție de valoarea bazei lor:

Reguli și restricții

Proprietatea fundamentală a logaritmilor este regula: logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmică. log abp = log a(b) + log a(p).

Ca o variantă a acestei declarații, va fi: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), funcția coeficient este egală cu diferența funcțiilor.

Este ușor de observat din cele două reguli anterioare că: log a(b p) = p * log a(b).

Alte proprietăți includ:

Cometariu. Nu faceți o greșeală comună - logaritmul sumei nu este egal cu suma logaritmilor.

Timp de multe secole, operația de găsire a logaritmului a fost o sarcină destul de consumatoare de timp. Matematicienii au folosit formula binecunoscută a teoriei logaritmice a expansiunii într-un polinom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), unde n este un număr natural mai mare decât 1, care determină acuratețea calculului.

Logaritmii cu alte baze au fost calculati folosind teorema trecerii de la o baza la alta si proprietatea logaritmului produsului.

Întrucât această metodă este foarte laborioasă și la rezolvarea problemelor practice greu de implementat, au folosit tabele de logaritmi pre-compilate, care au accelerat foarte mult întreaga activitate.

În unele cazuri, s-au folosit grafice de logaritmi special compilate, care au oferit mai puțină acuratețe, dar au accelerat semnificativ căutarea valorii dorite. Curba funcției y = log a(x), construită pe mai multe puncte, permite utilizarea riglei obișnuite pentru a găsi valorile funcției în orice alt punct. Multă vreme, inginerii au folosit așa-numita hârtie milimetrică în aceste scopuri.

În secolul al XVII-lea, au apărut primele condiții auxiliare de calcul analogic, care până în secolul al XIX-lea dobândiseră o formă finită. Cel mai de succes dispozitiv a fost numit regulă de calcul. În ciuda simplității dispozitivului, aspectul său a accelerat semnificativ procesul tuturor calculelor de inginerie, iar acest lucru este dificil de supraestimat. În prezent, puțini oameni sunt familiarizați cu acest dispozitiv.

Apariția calculatoarelor și calculatoarelor a făcut să fie inutilă utilizarea oricăror alte dispozitive.

Ecuații și inegalități

Următoarele formule sunt utilizate pentru a rezolva diverse ecuații și inegalități folosind logaritmi:

  • Trecerea de la o bază la alta: log a(b) = log c(b) / log c(a);
  • Ca o consecință a versiunii anterioare: log a(b) = 1 / log b(a).

Pentru a rezolva inegalitățile, este util să cunoaștem:

  • Valoarea logaritmului va fi pozitivă numai dacă baza și argumentul sunt ambele mai mari sau mai mici decât unu; dacă cel puțin o condiție este încălcată, valoarea logaritmului va fi negativă.
  • Dacă funcția logaritm este aplicată în partea dreaptă și stângă a inegalității, iar baza logaritmului este mai mare decât unu, atunci semnul inegalității este păstrat; altfel, se schimba.

Exemple de sarcini

Luați în considerare mai multe opțiuni pentru utilizarea logaritmilor și proprietățile acestora. Exemple cu rezolvarea ecuațiilor:

Luați în considerare opțiunea de a plasa logaritmul în grad:

  • Sarcina 3. Calculați 25^log 5(3). Rezolvare: în condițiile problemei, notația este similară cu următoarea (5^2)^log5(3) sau 5^(2 * log 5(3)). Să-l scriem diferit: 5^log 5(3*2), sau pătratul unui număr ca argument funcție poate fi scris ca pătrat al funcției în sine (5^log 5(3))^2. Folosind proprietățile logaritmilor, această expresie este 3^2. Răspuns: ca rezultat al calculului obținem 9.

Uz practic

Fiind un instrument pur matematic, pare departe de viața reală faptul că logaritmul a câștigat dintr-o dată multă importanță în descrierea obiectelor din lumea reală. Este greu să găsești o știință în care să nu fie folosită. Acest lucru se aplică pe deplin nu numai în domeniul natural, ci și în domeniul cunoașterii umaniste.

Dependențe logaritmice

Iată câteva exemple de dependențe numerice:

Mecanica si fizica

Din punct de vedere istoric, mecanica și fizica s-au dezvoltat întotdeauna folosind metode de cercetare matematică și, în același timp, au servit drept stimulent pentru dezvoltarea matematicii, inclusiv a logaritmilor. Teoria majorității legilor fizicii este scrisă în limbajul matematicii. Dăm doar două exemple de descriere a legilor fizice folosind logaritmul.

Este posibil să se rezolve problema calculării unei cantități atât de complexe precum viteza unei rachete folosind formula Tsiolkovsky, care a pus bazele teoriei explorării spațiului:

V = I * ln(M1/M2), unde

  • V este viteza finală a aeronavei.
  • I este impulsul specific al motorului.
  • M 1 este masa inițială a rachetei.
  • M 2 - masa finală.

Un alt exemplu important- aceasta este utilizarea în formula unui alt mare om de știință, Max Planck, care servește la evaluarea stării de echilibru în termodinamică.

S = k * ln (Ω), unde

  • S este o proprietate termodinamică.
  • k este constanta Boltzmann.
  • Ω este ponderea statistică a diferitelor stări.

Chimie

Mai puțin evidentă ar fi utilizarea formulelor în chimie care conțin raportul logaritmilor. Iată doar două exemple:

  • Ecuația Nernst, starea potențialului redox al mediului în raport cu activitatea substanțelor și constanta de echilibru.
  • De asemenea, calculul unor constante precum indicele de autoproliză și aciditatea soluției nu este complet fără funcția noastră.

Psihologie și biologie

Și este complet de neînțeles ce legătură are psihologia cu asta. Se pare că puterea senzației este bine descrisă de această funcție ca raportul invers dintre valoarea intensității stimulului și valoarea intensității inferioare.

După exemplele de mai sus, nu mai este de mirare că tema logaritmilor este utilizată pe scară largă și în biologie. Se pot scrie volume întregi despre formele biologice corespunzătoare spiralelor logaritmice.

Alte domenii

Se pare că existența lumii este imposibilă fără legătură cu această funcție și guvernează toate legile. Mai ales când legile naturii sunt legate de o progresie geometrică. Merită să vă referiți la site-ul MatProfi și există multe astfel de exemple în următoarele domenii de activitate:

Lista ar putea fi nesfârșită. După ce stăpânești legile de bază ale acestei funcții, te poți cufunda în lumea înțelepciunii infinite.

    Sa incepem cu proprietățile logaritmului unității. Formularea sa este următoarea: logaritmul unității este egal cu zero, adică log a 1=0 pentru orice a>0, a≠1. Demonstrarea este simplă: deoarece a 0 =1 pentru orice a care îndeplinește condițiile de mai sus a>0 și a≠1 , atunci egalitatea dovedită log a 1=0 urmează imediat din definiția logaritmului.

    Să dăm exemple de aplicare a proprietății considerate: log 3 1=0 , lg1=0 și .

    Să trecem la următoarea proprietate: logaritmul unui număr egal cu baza este egal cu unu, adică log a a=1 pentru a>0, a≠1. Într-adevăr, deoarece a 1 =a pentru orice a , atunci prin definiția logaritmului log a a=1 .

    Exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor sunt log 5 5=1 , log 5.6 5.6 și lne=1 .

    De exemplu, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 și .

    Logaritmul produsului a două numere pozitive x și y este egal cu produsul logaritmilor acestor numere: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Să demonstrăm proprietatea logaritmului produsului. Datorită proprietăților gradului a log a x+log a y =a log a x a log a y, și deoarece prin identitatea logaritmică principală un log a x =x și un log a y =y , atunci un log a x a log a y =x y . Astfel, un log a x+log a y =x y , de unde egalitatea cerută urmează prin definiția logaritmului.

    Să arătăm exemple de utilizare a proprietății logaritmului produsului: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 și .

    Proprietatea logaritmului produsului poate fi generalizată la produsul unui număr finit n de numere pozitive x 1 , x 2 , …, x n ca log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Această egalitate este ușor de demonstrat.

    De exemplu, logaritmul natural al unui produs poate fi înlocuit cu suma a trei logaritmi naturali ai numerelor 4 , e , și .

    Logaritmul câtului a două numere pozitive x și y este egal cu diferența dintre logaritmii acestor numere. Proprietatea logaritmului coeficientului corespunde unei formule de forma , unde a>0 , a≠1 , x și y sunt niște numere pozitive. Valabilitatea acestei formule este dovedită ca formula pentru logaritmul produsului: din moment ce , apoi prin definiția logaritmului .

    Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți a logaritmului: .

    Să trecem la proprietatea logaritmului gradului. Logaritmul unui grad este egal cu produsul exponentului și logaritmul modulului bazei acestui grad. Scriem această proprietate a logaritmului gradului sub forma unei formule: log a b p =p log a |b|, unde a>0, a≠1, b și p sunt numere astfel încât gradul lui b p are sens și b p >0.

    Mai întâi demonstrăm această proprietate pentru b pozitiv. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca un log a b , apoi b p =(a log a b) p , iar expresia rezultată, datorită proprietății puterii, este egală cu a p log a b . Ajungem deci la egalitatea b p =a p log a b , din care, prin definiția logaritmului, concluzionăm că log a b p =p log a b .

    Rămâne de demonstrat această proprietate pentru negativul b . Aici observăm că expresia log a b p pentru negativ b are sens doar pentru exponenții pari p (deoarece valoarea gradului b p trebuie să fie mai mare decât zero, altfel logaritmul nu va avea sens), iar în acest caz b p =|b| p . Apoi b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, de unde log a b p =p log a |b| .

    De exemplu, și ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

    Rezultă din proprietatea anterioară proprietatea logaritmului de la rădăcină: logaritmul rădăcinii de gradul al n-lea este egal cu produsul fracției 1/n și logaritmul expresiei rădăcinii, adică , unde a>0 , a≠1 , n este un număr natural mai mare decât unu, b>0 .

    Dovada se bazează pe egalitatea (vezi ), care este valabilă pentru orice b pozitiv și pe proprietatea logaritmului gradului: .

    Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: .

    Acum să demonstrăm formula de conversie la noua bază a logaritmului drăguț . Pentru a face acest lucru, este suficient să dovedim validitatea egalității log c b=log a b log c a . Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca log a b , apoi log c b=log c a log a b . Rămâne să folosim proprietatea logaritmului gradului: log c a log a b = log a b log c a. Astfel, se demonstrează egalitatea log c b=log a b log c a, ceea ce înseamnă că se dovedește și formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului.

    Să arătăm câteva exemple de aplicare a acestei proprietăți a logaritmilor: și .

    Formula pentru trecerea la o nouă bază vă permite să treceți la lucrul cu logaritmi care au o bază „convenabilă”. De exemplu, poate fi folosit pentru a comuta la logaritmi naturali sau zecimali, astfel încât să puteți calcula valoarea logaritmului din tabelul de logaritmi. Formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului permite, de asemenea, în unele cazuri să se găsească valoarea unui logaritm dat, când sunt cunoscute valorile unor logaritmi cu alte baze.

    Deseori folosit este un caz special al formulei de tranziție la o nouă bază a logaritmului pentru c=b de forma . Aceasta arată că log a b și log b a – . De exemplu, .

    De asemenea, este des folosită formula , care este util pentru găsirea valorilor logaritmice. Pentru a ne confirma cuvintele, vom arăta cum se calculează valoarea logaritmului formei folosindu-l. Noi avem . Pentru a demonstra formula este suficient să folosiți formula de tranziție la noua bază a logaritmului a: .

    Rămâne de demonstrat proprietățile de comparație ale logaritmilor.

    Să demonstrăm că pentru orice numere pozitive b 1 și b 2 , b 1 log a b 2 , iar pentru a>1, inegalitatea log a b 1

    În cele din urmă, rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale logaritmilor. Ne limităm la demonstrarea primei sale părți, adică demonstrăm că dacă a 1 >1 , a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b>log a 2 b . Enunțurile rămase ale acestei proprietăți a logaritmilor sunt dovedite printr-un principiu similar.

    Să folosim metoda opusă. Să presupunem că pentru a 1 >1 , a 2 >1 și a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b este adevărat. Prin proprietățile logaritmilor, aceste inegalități pot fi rescrise ca și respectiv, iar din acestea rezultă că log b a 1 ≤log b a 2 și, respectiv, log b a 1 ≥log b a 2. Atunci, prin proprietățile puterilor cu aceleași baze, trebuie îndeplinite egalitățile b log b a 1 ≥b log b a 2 și b log b a 1 ≥b log b a 2, adică a 1 ≥a 2 . Astfel, am ajuns la o contradicție cu condiția a 1

Bibliografie.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

În raport cu

sarcina de a găsi oricare dintre cele trei numere din celelalte două, date, poate fi stabilită. Dat a și atunci N se găsește prin exponențiere. Dacă sunt date N și atunci a se găsește prin extragerea rădăcinii puterii x (sau exponentiației). Acum luați în considerare cazul în care, dat fiind a și N, este necesar să găsiți x.

Fie numărul N pozitiv: numărul a este pozitiv și nu egal cu unu: .

Definiție. Logaritmul numărului N la baza a este exponentul la care trebuie să ridicați a pentru a obține numărul N; logaritmul este notat cu

Astfel, în egalitatea (26.1), exponentul se găsește ca logaritmul lui N la baza a. Intrări

au acelasi sens. Egalitatea (26.1) este uneori numită identitatea de bază a teoriei logaritmilor; de fapt, exprimă definiția conceptului de logaritm. Prin această definiție, baza logaritmului a este întotdeauna pozitivă și diferită de unitate; numărul logaritmabil N este pozitiv. Numerele negative și zero nu au logaritmi. Se poate demonstra că orice număr cu o bază dată are un logaritm bine definit. Prin urmare egalitatea presupune . Rețineți că condiția este esențială aici, altfel concluzia nu ar fi justificată, deoarece egalitatea este adevărată pentru orice valori ale lui x și y.

Exemplul 1. Găsiți

Decizie. Pentru a obține numărul, trebuie să ridicați baza 2 la putere Prin urmare.

Puteți înregistra atunci când rezolvați astfel de exemple în următoarea formă:

Exemplul 2. Găsiți .

Decizie. Noi avem

În exemplele 1 și 2, am găsit cu ușurință logaritmul dorit reprezentând numărul logaritmabil ca un grad de bază cu un exponent rațional. În cazul general, de exemplu, pentru etc., acest lucru nu se poate face, deoarece logaritmul are o valoare irațională. Să fim atenți la o întrebare legată de această afirmație. În § 12 am dat conceptul de posibilitate de a determina orice putere reală a unui număr pozitiv dat. Acest lucru a fost necesar pentru introducerea logaritmilor, care, în general, pot fi numere iraționale.

Luați în considerare câteva proprietăți ale logaritmilor.

Proprietatea 1. Dacă numărul și baza sunt egale, atunci logaritmul este egal cu unu și, invers, dacă logaritmul este egal cu unu, atunci numărul și baza sunt egale.

Dovada. Fie După definiția logaritmului, avem și de unde

Dimpotrivă, să fie Atunci prin definiție

Proprietatea 2. Logaritmul unității la orice bază este egal cu zero.

Dovada. După definiția logaritmului (puterea zero a oricărei baze pozitive este egală cu unu, vezi (10.1)). De aici

Q.E.D.

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă , atunci N = 1. Într-adevăr, avem .

Înainte de a afirma următoarea proprietate a logaritmilor, suntem de acord să spunem că două numere a și b se află de aceeași parte a unui al treilea număr c dacă ambele sunt fie mai mari decât c, fie mai mici decât c. Dacă unul dintre aceste numere este mai mare decât c și celălalt este mai mic decât c, atunci spunem că ele se află pe laturile opuse ale lui c.

Proprietatea 3. Dacă numărul și baza se află pe aceeași parte a unității, atunci logaritmul este pozitiv; dacă numărul și baza se află pe părți opuse ale unității, atunci logaritmul este negativ.

Dovada proprietății 3 se bazează pe faptul că gradul lui a este mai mare decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este pozitiv, sau baza este mai mică decât unu și exponentul este negativ. Gradul este mai mic decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este negativ sau baza este mai mică decât unu și exponentul este pozitiv.

Există patru cazuri care trebuie luate în considerare:

Ne limităm la analiza primei dintre ele, cititorul le va lua în considerare pe restul singur.

Fie atunci exponentul în egalitate să nu fie nici negativ, nici egal cu zero, prin urmare, este pozitiv, adică ceea ce trebuia să fie demonstrat.

Exemplul 3. Aflați care dintre următorii logaritmi sunt pozitivi și care sunt negativi:

Soluție, a) întrucât numărul 15 și baza 12 sunt situate pe aceeași parte a unității;

b) , întrucât 1000 și 2 sunt situate pe aceeași parte a unității; în același timp, nu este esențial ca baza să fie mai mare decât numărul logaritmic;

c), deoarece 3.1 și 0.8 se află pe părți opuse ale unității;

G) ; De ce?

e) ; De ce?

Următoarele proprietăți 4-6 sunt numite adesea regulile logaritmului: ele permit, cunoscând logaritmii unor numere, să se găsească logaritmii produsului, câtul, gradul fiecăruia dintre ele.

Proprietatea 4 (regula pentru logaritmul produsului). Logaritmul produsului mai multor numere pozitive dintr-o bază dată este egal cu suma logaritmilor acestor numere din aceeași bază.

Dovada. Să fie date numere pozitive.

Pentru logaritmul produsului lor, scriem egalitatea (26.1) care definește logaritmul:

De aici găsim

Comparând exponenții primei și ultimei expresii, obținem egalitatea necesară:

Rețineți că condiția este esențială; logaritmul produsului a două numere negative are sens, dar în acest caz obținem

În general, dacă produsul mai multor factori este pozitiv, atunci logaritmul său este egal cu suma logaritmilor modulelor acestor factori.

Proprietatea 5 (regula logaritmului coeficientului). Logaritmul unui coeficient de numere pozitive este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului, luați în aceeași bază. Dovada. Găsește în mod constant

Q.E.D.

Proprietatea 6 (regula logaritmului gradului). Logaritmul puterii oricărui număr pozitiv este egal cu logaritmul acelui număr înmulțit cu exponentul.

Dovada. Scriem din nou identitatea principală (26.1) pentru numărul:

Q.E.D.

Consecinţă. Logaritmul rădăcinii unui număr pozitiv este egal cu logaritmul rădăcinii numărului împărțit la exponentul rădăcinii:

Putem demonstra validitatea acestui corolar prezentând cum și folosind proprietatea 6.

Exemplul 4. Logaritmul pentru baza a:

a) (se presupune că toate valorile b, c, d, e sunt pozitive);

b) (se presupune că ).

Soluție, a) Este convenabil să trecem în această expresie la puteri fracționale:

Pe baza egalităților (26.5)-(26.7) putem scrie acum:

Observăm că asupra logaritmilor numerelor se efectuează operații mai simple decât asupra numerelor în sine: la înmulțirea numerelor se adună logaritmii acestora, la împărțire se scad etc.

De aceea logaritmii au fost folosiți în practica computațională (vezi Sec. 29).

Acțiunea inversă logaritmului se numește potențare și anume: potențarea este acțiunea prin care acest număr însuși este găsit de logaritmul dat al unui număr. În esență, potențarea nu este o acțiune specială: se rezumă la ridicarea bazei la o putere (egală cu logaritmul numărului). Termenul de „potenciare” poate fi considerat sinonim cu termenul de „exponentiare”.

La potențare, este necesar să folosiți regulile care sunt inverse regulilor logaritmului: înlocuiți suma logaritmilor cu logaritmul produsului, diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului etc. În special, dacă există orice factor în fața semnului logaritmului, apoi în timpul potențarii trebuie transferat la grade indicatoare sub semnul logaritmului.

Exemplul 5. Aflați N dacă se știe că

Decizie. În legătură cu regula de potențare tocmai enunțată, factorii 2/3 și 1/3, care se află în fața semnelor logaritmilor din partea dreaptă a acestei egalități, vor fi transferați exponenților sub semnele acestor logaritmi; primim

Acum înlocuim diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului:

pentru a obține ultima fracție din acest lanț de egalități, am eliberat fracția anterioară de iraționalitatea în numitor (secțiunea 25).

Proprietatea 7. Dacă baza este mai mare decât unu, atunci numărul mai mare are un logaritm mai mare (și cel mai mic are unul mai mic), dacă baza este mai mică de unu, atunci numărul mai mare are un logaritm mai mic (și cel mai mic unul are unul mai mare).

Această proprietate este, de asemenea, formulată ca regulă pentru logaritmul inegalităților, ambele părți fiind pozitive:

Când luați logaritmul inegalităților la o bază mai mare decât unu, semnul inegalității este păstrat, iar când luați un logaritm la o bază mai mică de unu, semnul inegalității este inversat (vezi și articolul 80).

Demonstrarea se bazează pe proprietățile 5 și 3. Luați în considerare cazul în care Dacă , atunci și, luând logaritmul, obținem

(a și N/M se află pe aceeași parte a unității). De aici

Urmează cazul, cititorul își va da seama singur.

Logaritmul lui b (b > 0) la baza a (a > 0, a ≠ 1) este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b.

Logaritmul de bază 10 al lui b poate fi scris ca jurnal(b), iar logaritmul la baza e (logaritmul natural) - ln(b).

Folosit adesea la rezolvarea problemelor cu logaritmi:

Proprietățile logaritmilor

Sunt patru principale proprietățile logaritmilor.

Fie a > 0, a ≠ 1, x > 0 și y > 0.

Proprietatea 1. Logaritmul produsului

Logaritmul produsului este egală cu suma logaritmilor:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Proprietatea 2. Logaritmul coeficientului

Logaritmul coeficientului este egală cu diferența de logaritmi:

log a (x / y) = log a x – log a y

Proprietatea 3. Logaritmul gradului

Logaritmul gradului este egal cu produsul gradului și logaritmului:

Dacă baza logaritmului este în exponent, atunci se aplică o altă formulă:

Proprietatea 4. Logaritmul rădăcinii

Această proprietate poate fi obținută din proprietatea logaritmului gradului, deoarece rădăcina gradului al n-lea este egală cu puterea lui 1/n:

Formula pentru trecerea de la un logaritm într-o bază la un logaritm într-o altă bază

Această formulă este, de asemenea, adesea folosită la rezolvarea diferitelor sarcini pentru logaritmi:

Caz special:

Compararea logaritmilor (inegalităților)

Să presupunem că avem 2 funcții f(x) și g(x) sub logaritmi cu aceleași baze și există un semn de inegalitate între ele:

Pentru a le compara, mai întâi trebuie să vă uitați la baza logaritmilor a:

  • Dacă a > 0, atunci f(x) > g(x) > 0
  • Daca 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Cum se rezolvă probleme cu logaritmi: exemple

Sarcini cu logaritmi incluse în USE la matematică pentru clasa a 11-a în sarcina 5 și sarcina 7, sarcinile cu soluții găsești pe site-ul nostru în secțiunile corespunzătoare. De asemenea, sarcinile cu logaritmi se găsesc în banca de sarcini la matematică. Puteți găsi toate exemplele căutând pe site.

Ce este un logaritm

Logaritmii au fost întotdeauna considerați un subiect dificil în cursul de matematică din școală. Există multe definiții diferite ale logaritmului, dar din anumite motive majoritatea manualelor folosesc cele mai complexe și nefericite dintre ele.

Vom defini logaritmul simplu și clar. Să creăm un tabel pentru asta:

Deci, avem puteri de doi.

Logaritmi - proprietăți, formule, cum se rezolvă

Dacă luați numărul din linia de jos, atunci puteți găsi cu ușurință puterea la care trebuie să ridicați un doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridici doi la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici doi la a șasea putere. Acest lucru se vede din tabel.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

baza a a argumentului x este puterea la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul x.

Notație: log a x \u003d b, unde a este baza, x este argumentul, b este de fapt egal cu logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmul de bază 2 al lui 8 este trei deoarece 2 3 = 8). Ar putea la fel de bine să înregistreze 2 64 = 6, deoarece 2 6 = 64.

Operația de găsire a logaritmului unui număr la o bază dată este numită. Deci, să adăugăm un nou rând la tabelul nostru:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
log 2 2 = 1 log 2 4 = 2 log 2 8 = 3 log 2 16 = 4 log 2 32 = 5 log 2 64 = 6

Din păcate, nu toți logaritmii sunt considerați atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți log 2 5. Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul va fi undeva pe segment. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Astfel de numere se numesc iraționale: numerele de după virgulă pot fi scrise la nesfârșit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să-l lăsați astfel: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Este important de înțeles că logaritmul este o expresie cu două variabile (bază și argument). La început, mulți oameni confundă unde este baza și unde este argumentul. Pentru a evita neînțelegerile enervante, aruncați o privire la imagine:

În fața noastră nu este nimic altceva decât definiția logaritmului. Tine minte: logaritmul este puterea, la care trebuie să ridicați baza pentru a obține argumentul. Este baza care este ridicată la o putere - în imagine este evidențiată cu roșu. Se dovedește că baza este întotdeauna în jos! Le spun studenților mei această regulă minunată chiar de la prima lecție - și nu există nicio confuzie.

Cum se numără logaritmii

Ne-am dat seama de definiție - rămâne să învățăm cum să numărăm logaritmii, de exemplu. scapă de semnul „bușten”. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:

  1. Argumentul și baza trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Aceasta rezultă din definirea gradului de către un exponent rațional, la care se reduce definiția logaritmului.
  2. Baza trebuie să fie diferită de unitate, deoarece o unitate pentru orice putere este încă o unitate. Din această cauză, întrebarea „la ce putere trebuie ridicat cineva pentru a obține doi” este lipsită de sens. Nu există o astfel de diplomă!

Se numesc astfel de restricții interval valid(ODZ). Rezultă că ODZ a logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Rețineți că nu există restricții cu privire la numărul b (valoarea logaritmului) nu este impus. De exemplu, logaritmul poate fi negativ: log 2 0.5 = −1, deoarece 0,5 = 2 −1 .

Totuși, acum luăm în considerare doar expresii numerice, unde nu este necesar să cunoaștem ODZ a logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de către compilatorii problemelor. Dar când intră în joc ecuațiile logaritmice și inegalitățile, cerințele DHS vor deveni obligatorii. Într-adevăr, în bază și argument pot exista construcții foarte puternice care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.

Acum luați în considerare schema generală de calcul a logaritmilor. Acesta constă din trei etape:

  1. Exprimați baza a și argumentul x ca o putere cu cea mai mică bază posibilă mai mare decât unu. Pe parcurs, este mai bine să scapi de fracțiile zecimale;
  2. Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b ;
  3. Numărul rezultat b va fi răspunsul.

Asta e tot! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acest lucru se va vedea deja la primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât unu este foarte relevantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică foarte mult calculele. La fel și cu fracțiile zecimale: dacă le convertiți imediat în cele obișnuite, vor exista de multe ori mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă cu exemple specifice:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25

  1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a lui cinci: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

    2. Să facem și să rezolvăm ecuația:
    log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

  2. A primit un raspuns: 2.

Sarcină. Calculați logaritmul:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 4 64

  1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
  2. Să facem și să rezolvăm ecuația:
    log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. A primit un raspuns: 3.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1

  1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
  2. Să facem și să rezolvăm ecuația:
    log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. A primit un raspuns: 0.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 7 14

  1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere de șapte: 7 = 7 1 ; 14 nu este reprezentat ca o putere a șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
  2. Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu este luat în considerare;
  3. Răspunsul este fără schimbare: log 7 14.

O mică notă despre ultimul exemplu. Cum să vă asigurați că un număr nu este o putere exactă a altui număr? Foarte simplu - doar descompuneți-l în factori primi. Dacă există cel puțin doi factori diferiți în expansiune, numărul nu este o putere exactă.

Sarcină. Aflați dacă puterile exacte ale numărului sunt: ​​8; 48; 81; 35; paisprezece.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - gradul exact, deoarece există un singur multiplicator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nu este o putere exactă deoarece există doi factori: 3 și 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grad exact;
35 = 7 5 - din nou nu este un grad exact;
14 \u003d 7 2 - din nou nu este un grad exact;

De asemenea, rețineți că numerele prime în sine sunt întotdeauna puteri exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unii logaritmi sunt atât de comune încât au un nume și o denumire specială.

al argumentului x este logaritmul de bază 10, i.e. puterea la care trebuie ridicat 10 pentru a obține x. Denumire: lgx.

De exemplu, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

De acum înainte, când în manual apare o expresie precum „Găsiți lg 0.01”, să știți că aceasta nu este o greșeală de tipar. Acesta este logaritmul zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți obișnuit cu o astfel de desemnare, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru zecimale.

logaritmul natural

Există un alt logaritm care are propria sa notație. Într-un fel, este chiar mai important decât zecimală. Acesta este logaritmul natural.

al argumentului x este logaritmul la baza e, i.e. puterea la care trebuie ridicat numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: lnx.

Mulți se vor întreba: care este numărul e? Acesta este un număr irațional, valoarea lui exactă nu poate fi găsită și notă. Iată doar primele numere:
e = 2,718281828459...

Nu vom aprofunda ce este acest număr și de ce este necesar. Nu uitați că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x

Astfel ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui număr rațional este irațional. Cu excepția, desigur, unității: ln 1 = 0.

Pentru logaritmii naturali, toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți sunt valabile.

Vezi si:

Logaritm. Proprietățile logaritmului (puterea logaritmului).

Cum se reprezintă un număr ca logaritm?

Folosim definiția unui logaritm.

Logaritmul este o măsură a puterii la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul sub semnul logaritmului.

Astfel, pentru a reprezenta un anumit număr c ca logaritm la baza a, este necesar să puneți un grad sub semnul logaritmului cu aceeași bază ca baza logaritmului și să scrieți acest număr c în exponent. :

Sub forma unui logaritm, puteți reprezenta absolut orice număr - pozitiv, negativ, întreg, fracțional, rațional, irațional:

Pentru a nu confunda a și c în condiții stresante ale unui test sau examen, puteți folosi următoarea regulă pentru a vă aminti:

ce este dedesubt coboară, ce este sus urcă.

De exemplu, doriți să reprezentați numărul 2 ca un logaritm la baza 3.

Avem două numere - 2 și 3. Aceste numere sunt baza și exponentul, pe care le vom scrie sub semnul logaritmului. Rămâne să se determine care dintre aceste numere ar trebui să fie notate, în baza gradului, și care - în sus, în exponent.

Baza 3 din înregistrarea logaritmului se află în partea de jos, ceea ce înseamnă că atunci când reprezentăm doiul ca logaritm la baza lui 3, vom nota și 3 la bază.

2 este mai mare decât 3. Și în notația gradului, scriem cele două deasupra celor trei, adică în exponent:

Logaritmi. Primul nivel.

Logaritmi

logaritm număr pozitiv b prin rațiune A, Unde a > 0, a ≠ 1, este exponentul la care trebuie ridicat numărul. A, A obtine b.

Definiţia logarithm poate fi scris pe scurt astfel:

Această egalitate este valabilă pentru b > 0, a > 0, a ≠ 1. El este de obicei chemat identitate logaritmică.
Se numește acțiunea de a găsi logaritmul unui număr logaritm.

Proprietățile logaritmilor:

Logaritmul produsului:

Logaritmul coeficientului din împărțire:

Înlocuirea bazei logaritmului:

Logaritmul gradului:

logaritm rădăcină:

Logaritm cu baza de putere:





Logaritmi zecimali și naturali.

Logaritm zecimal numerele apelează la baza 10 logaritmului acelui număr și scrie   lg b
logaritmul natural numerele apelează la bază logaritmul acestui număr e, Unde e este un număr irațional, aproximativ egal cu 2,7. În același timp, ei scriu ln b.

Alte note despre algebră și geometrie

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: log a x și log a y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

  1. log a x + log a y = log a (x y);
  2. log a x - log a y = log a (x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

log 6 4 + log 6 9.

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși.

Cum se rezolvă logaritmii

Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Noi avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul au același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Fie dat logaritmul log a x. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, i.e. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea doar atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată.

În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

  1. log a a = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din această bază în sine este egal cu unu.
  2. log a 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

ARTICOLE SIMILARE