Fiecare persoană, atunci când rezolva probleme din matematică, se confrunta adesea cu probleme cu fracții. Există o mulțime de ele, așa că vom lua în considerare diferite opțiuni pentru rezolvarea principalelor astfel de probleme.

Ce sunt fracțiile

Numărul de sus al oricărei fracții se numește numărător, iar numărul de jos este numit numitor. O fracție obișnuită este un cât de două numere, unul dintre aceste numere se află la numărătorul fracției, al doilea este la numitorul fracției. Tipurile acestor fracții ordinare vor fi determinate prin compararea numitorului și numărătorului fracției.

Dacă numitorul unei fracții (un număr natural) este mai mare decât numărătorul unei fracții (un număr natural), atunci fracția se numește propriu-zisă. Iată câteva exemple: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.

Dacă numitorul unei fracții (un număr natural) este mai mic sau egal cu numărătorul unei fracții (un număr natural), atunci fracția se numește fracție improprie. Iată câteva exemple: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

Cum se traduce o fracție improprie

Pentru a converti o fracție mixtă într-una necorespunzătoare, trebuie să înmulțiți partea întreagă a fracției cu numitorul din partea fracționară și să adăugați numărătorul acestui produs. Apoi luați suma ca numărător, scriind același numitor ca înainte. Aici sunt cateva exemple:

• 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
• 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.

Pentru a converti o fracție improprie într-una adecvată, trebuie să împărțiți numărătorul acestei fracții improprie la numitorul ei. Numărul întreg rezultat este luat ca parte întreagă a fracției, iar restul (desigur, dacă există) este luat ca numărător al părții fracționale a fracției corecte, scriind același numitor ca înainte. Aici sunt cateva exemple:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13x12)/12 = 13.

Pentru a converti o fracție improprie într-o zecimală, trebuie să aflați dacă există un astfel de factor, ceea ce vă va permite să aduceți numitorul părții fracționale a fracției improprie la un număr care este egal cu zece (sau zece ridicat la orice putere (10, 100, 1000 și mai mult). Dacă un astfel de factor este, atunci este necesar să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției improprii cu acest factor pentru a o verifica. Acum trebuie atribuit numărătorul înmulțit, separat prin virgulă , la partea întreagă a fracției improprie. Dăm exemple:

• Multiplicatorul „5” - 8/20 = (8x5) / (20x5) = 40/100 = 0,4.
• Multiplicatorul „4” - 14/25 = (14x4) / (25x4) = 56/100 = 0,56.
• Multiplicatorul „25” - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.

Dacă nu există un astfel de factor, înseamnă că această fracție zecimală improprie nu are un echivalent clar. Adică, nu orice fracție improprie poate fi convertită într-o zecimală. În acest caz, trebuie să găsiți valoarea aproximativă a fracției cu gradul de precizie de care aveți nevoie. Puteți calcula o astfel de fracție pe un calculator, în minte sau într-o coloană. Iată câteva exemple: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (rotunjit la zecimi), = 5,86 (rotunjit la sutimi), = 5,857 (rotunjit la miimi); 3/7, 7/6, 1/3 și altele. De asemenea, nu sunt traduse clar și sunt numărate pe calculator, în minte sau într-o coloană.

Acum știți cum să convertiți fracția improprie în zecimală sau corectă!

Fiecare om modern, când era la școală, în timp ce rezolva probleme matematice, a întâlnit adesea o varietate de probleme fracționale. Există destul de multe, așa că este logic să luați în considerare diferite opțiuni pentru rezolvarea celor mai elementare dintre aceste probleme.

Fracții proprii și improprii

Numărul de sus al oricărei fracții se numește numărător, în timp ce numărul de jos este numitorul. Fracțiile obișnuite sunt parțiale a două numere, în plus, unul dintre acestea se află în numărătorul fracției, iar al doilea, respectiv, este numitorul acestei fracții. Tipurile de astfel de fracții obișnuite sunt determinate prin compararea valorilor numitorului și numărătorului lor.

Fracțiunea corespunzătoare

În cazul în care numitorul unei fracții este un număr natural, care în valoare este mai mare decât numărătorul său, tot un număr natural, atunci fracția se numește propriu-zisă. Exemple dintre acestea pot fi: 8/19; 9/14; 31/162; 5/37 și așa mai departe.

Dacă numitorul unei fracții este mai mic sau egal cu numărătorul ei, atunci o astfel de fracție este deja numită improprie. De exemplu, acestea sunt precum: 7/4; 19/6; 15/3; 231/83 și altele asemenea.

De ce să convertiți o fracție improprie într-una corectă?

O astfel de manipulare matematică este necesară dacă se efectuează o operație cu mai multe fracții, de exemplu, acestea sunt adăugate.

Sfat

Dacă există o fracție mixtă, atunci mai întâi trebuie convertită într-una necorespunzătoare, apoi trebuie efectuate alte operații matematice.

Conversia într-o fracție improprie

Pentru a transforma orice fracție mixtă într-una necorespunzătoare, trebuie mai întâi să-i înmulțiți întreaga parte cu numitorul părții sale fracționale și apoi să adăugați numărătorul acestui produs. În plus, suma este luată ca numărător, dar cu același numitor ca înainte. Pentru a converti o fracție improprie într-una adecvată, trebuie să împărțiți numărătorul unei astfel de fracții improprie la numitorul său. În plus, întregul obținut în acest fel ar trebui să fie luat ca parte întreagă a fracției, în timp ce restul, dacă există, desigur, ar trebui făcut ca numărător al părții fracționale a fracției corecte. Numitorul este scris la fel ca a fost. Pentru a converti orice fracție improprie într-o zecimală, trebuie mai întâi să aflați dacă există un astfel de factor care vă permite să aduceți numitorul părții sale fracționale într-un format greșit la un număr care este egal cu zece sau zece ridicat la orice putere. Adică 10, 100, 1000 și așa mai departe. Dacă există un astfel de factor, atunci atât numărătorul, cât și numitorul fracției improprie ar trebui înmulțit cu acest factor, verificându-l astfel. Și după aceea, numărătorul înmulțit va trebui adăugat, separat prin virgulă, la partea întreagă a fracției improprii.

Nu poate fi tradus cu rotunjirea la zecimi

În cazul în care un astfel de factor nu există ca atare, aceasta înseamnă că o astfel de fracție improprie nu are un echivalent clar sub formă zecimală. Pur și simplu, nu orice fracție improprie poate fi tradusă făcând-o zecimală. În acest caz, va trebui să găsiți valoarea maximă corespunzătoare a fracției. Totul depinde de gradul de precizie cerut în condiția unei anumite sarcini. Cel mai ușor este să calculezi această fracție pe un calculator, dar o poți face și în minte sau ciudat într-o coloană. De exemplu, „41/7 = 5(6/7) = 5,9”, aceasta este rotunjită la zecimi sau „= 5,86” când este necesară rotunjirea la sutimi și, de asemenea, „= 5,857” dacă se rotunjește la miimi. Multe dintre fracții nu sunt traduse clar în zecimale, prin urmare este mai ușor să le numărați nu în minte și nu într-o coloană, ci folosind un calculator.

Concluzie:

Fără manipulări cu fracții, nu este posibil niciun curs școlar de matematică. Da, și în viața de zi cu zi rareori trebuie să ai de-a face doar cu numere întregi și, prin urmare, toată lumea trebuie să fie capabilă să transforme fracțiile adecvate în fracții improprii sau să le transforme în astfel de fracții mixte. Este foarte simplu și, prin urmare, vă puteți aminti cum să o faceți literalmente după câteva exemple practice rezolvate pe hârtie și apoi, în general, în mintea dvs. Cu fracțiile zecimale, situația este oarecum diferită și nu totul poate fi tradus cu precizie în formă zecimală.

Fracții matematice

Regulile și trucurile matematice simple, dacă nu sunt folosite constant, sunt uitate cel mai repede. Termenii dispar din memorie și mai repede.

Una dintre aceste acțiuni simple este conversia unei fracții improprie într-una adecvată sau, cu alte cuvinte, una mixtă.

Fracție improprie

O fracție improprie este o fracție în care numărătorul (numărul de deasupra barei fracționale) este mai mare sau egal cu numitorul (numărul de sub bară). O astfel de fracție se obține prin adunarea fracțiilor sau înmulțirea unei fracții cu un număr întreg. Conform regulilor matematicii, o astfel de fracție trebuie transformată într-una obișnuită.

Fracțiunea corespunzătoare

Este logic să presupunem că toate celelalte fracții sunt numite corecte. Definiție strictă - se numește o fracție corectă, în care numărătorul este mai mic decât numitorul. O fracție care are o parte întreagă este uneori numită fracție mixtă.

Transformarea unei fracții improprie într-o fracție proprie

• Primul caz: numărătorul și numitorul sunt egali unul cu celălalt. Ca rezultat al transformării oricărei astfel de fracții, se va obține una. Nu contează dacă sunt trei treimi sau o sută douăzeci și cinci de o sută douăzeci și cinci. De fapt, o astfel de fracție denotă acțiunea de a împărți un număr la sine.

• Al doilea caz: numărătorul este mai mare decât numitorul. Aici trebuie să vă amintiți metoda de împărțire a numerelor cu un rest.
  Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți numărul cel mai apropiat de valoarea numărătorului, care este divizibil cu numitorul fără rest. De exemplu, aveți o fracțiune de nouăsprezece treimi. Cel mai apropiat număr care poate fi împărțit la trei este optsprezece. Ia șase. Acum scade numărul rezultat din numărător. Primim o unitate. Acesta este restul. Notați rezultatul transformării: șase numere întregi și o treime.

Dar înainte de a aduce fracția în forma corectă, trebuie să verificați dacă poate fi redusă.
O fracție poate fi redusă dacă numărătorul și numitorul au un divizor comun. Adică un număr cu care ambele sunt divizibile fără rest. Dacă există mai mulți astfel de divizori, trebuie să-l găsiți pe cel mai mare.
De exemplu, toate numerele pare au un divizor comun - doi. Iar fracția de șaisprezecelea douăsprezecelea are un alt divizor comun - patru. Acesta este cel mai mare divizor. Împărțiți numărătorul și numitorul la patru. Rezultatul reducerii: patru treimi. Acum, ca practică, convertiți această fracție într-una adecvată.

O fracție este un număr care constă din una sau mai multe fracții ale unei unități. Există trei tipuri de fracții în matematică: comune, mixte și zecimale.

• 
  Fracții comune

O fracție obișnuită este scrisă ca un raport în care numărătorul reflectă câte părți ale numărului sunt luate, iar numitorul arată în câte părți este împărțită unitatea. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci avem o fracție proprie, de exemplu: ½, 3/5, 8/9.

Dacă numărătorul este egal sau mai mare decât numitorul, atunci avem de-a face cu o fracție improprie. De exemplu: 5/5, 9/4, 5/2 Împărțirea numărătorului poate avea ca rezultat un număr finit. De exemplu, 40/8 \u003d 5. Prin urmare, orice număr întreg poate fi scris ca o fracție improprie obișnuită sau o serie de astfel de fracții. Luați în considerare să scrieți același număr ca o serie de diferite .

• fractii mixte

În general, o fracție mixtă poate fi reprezentată prin formula:

Astfel, o fracție mixtă este scrisă ca un întreg și o fracție proprie obișnuită, iar o astfel de înregistrare este înțeleasă ca suma unui întreg și a părții sale fracționale.

• zecimale

O zecimală este un tip special de fracție în care numitorul poate fi reprezentat ca o putere a lui 10. Există zecimale infinite și finite. La scrierea acestui tip de fracție se indică mai întâi partea întreagă, apoi partea fracțională este fixată prin separator (punct sau virgulă).

Înregistrarea părții fracționale este întotdeauna determinată de dimensiunea acesteia. Intrarea zecimală arată astfel:

Reguli de traducere între diferite tipuri de fracții

• Transformarea unei fracții mixte într-o fracție comună

O fracție mixtă poate fi convertită doar într-o fracție improprie. Pentru traducere, este necesar să aduceți întreaga parte la același numitor cu partea fracționată. În general, va arăta astfel:
Luați în considerare utilizarea acestei reguli pentru exemple specifice:

• Transformarea unei fracții obișnuite într-una mixtă

O fracție comună improprie poate fi convertită într-o fracție mixtă prin împărțire simplă, care are ca rezultat o parte întreagă și un rest (parte fracțională).

De exemplu, să traducem fracția 439/31 într-una mixtă:
​​

• Translația unei fracții obișnuite

În unele cazuri, conversia unei fracții într-o zecimală este destul de simplă. În acest caz, se aplică proprietatea de bază a unei fracții, numărătorul și numitorul se înmulțesc cu același număr, pentru a aduce divizorul la puterea lui 10.

De exemplu:

În unele cazuri, poate fi necesar să găsiți coeficientul împărțind la un colț sau folosind un calculator. Și unele fracții nu pot fi reduse la o fracție zecimală finală. De exemplu, fracția 1/3 nu va da niciodată rezultatul final atunci când este împărțită.

În acest material, vom analiza un astfel de lucru ca numere mixte. Începem, ca întotdeauna, cu o definiție și mici exemple, apoi vom explica legătura dintre numerele mixte și fracțiile improprie. După aceea, vom învăța cum să extragem corect partea întreagă dintr-o fracție și să obținem ca rezultat un întreg.

Conceptul de număr mixt

Dacă luăm suma n + a b , unde valoarea lui n poate fi orice număr natural, iar a b este o fracție ordinară propriu-zisă, atunci putem scrie același lucru fără a folosi un plus: n a b . Să luăm numere specifice pentru claritate: deci, 28 + 5 7 este același cu 28 5 7 . Scrierea unei fracții lângă un număr întreg se numește număr mixt.

Definiția 1

număr mixt este un număr care este egal cu suma unui număr natural n cu o fracție ordinară proprie a b . În acest caz, n este partea întreagă a numărului, iar a b este partea sa fracțională.

Din definiție rezultă că orice număr mixt este egal cu ceea ce va rezulta din adăugarea părților sale întregi și fracționale. Astfel, egalitatea n a b = n + a b va fi valabilă.

Se poate scrie și ca n + a b = n a b .

Care sunt câteva exemple de numere mixte? Deci, 5 1 8 le aparține, în timp ce cinci este întreaga sa parte, iar o optime este fracționară. Mai multe exemple: 1 1 2 , 234 34 53 , 34000 6 25 .

Am scris mai sus că numai o fracție proprie ar trebui să fie în partea fracționară a unui număr mixt. Uneori puteți găsi intrări precum 5 22 3 , 75 7 2 . Nu sunt numere mixte, pentru că partea lor fracțională este greșită. Ele trebuie înțelese ca suma unui număr întreg și a unei părți fracționale. Astfel de numere pot fi reduse la numere mixte standard luând partea întreagă a fracției improprie și adăugând-o la 5 și, respectiv, 75 în aceste exemple.

Numerele de forma 0 3 14 nu sunt, de asemenea, amestecate. Prima parte a condiției nu este îndeplinită aici: partea întreagă trebuie reprezentată doar printr-un număr natural, iar zero nu este.

Cum sunt legate fracțiile improprii și numerele mixte?

Această conexiune este cel mai ușor de urmărit pe un exemplu concret.

Exemplul 1

Să luăm o prăjitură întreagă și încă trei sferturi din aceeași. Conform regulilor de adăugare, avem 1 + 3 4 prăjituri pe masă. Această sumă poate fi reprezentată ca un număr mixt ca 1 3 4 prăjituri. Dacă luăm o prăjitură întreagă și o tăiem și în patru părți egale, atunci vom avea 7 4 prăjituri pe masă. Evident, cantitatea nu a crescut de la tăiere, iar 1 3 4 = 7 4 .

Exemplul nostru demonstrează că orice fracție improprie poate fi reprezentată ca număr mixt.

Să revenim la cele 7 4 prăjituri rămase pe masă. Să punem o prăjitură înapoi din bucățile sale (1 + 3 4). Vom avea din nou 1 3 4 .

Răspuns: 7 4 = 1 3 4 .

Ne-am dat seama cum să transformăm o fracție necorespunzătoare într-un număr mixt. Dacă numărătorul unei fracții improprie conține un număr care poate fi împărțit la numitor fără rest, atunci puteți face acest lucru și atunci fracția noastră improprie va deveni un număr natural.

Exemplul 2

De exemplu,

8 4 = 2 deoarece 8: 4 = 2 .

Cum se transformă un număr mixt într-o fracție improprie

Pentru a rezolva cu succes probleme, este util să poți efectua acțiunea inversă, adică să faci fracții improprii din numere mixte. În acest paragraf, vom analiza cum să o facem corect.

Pentru a face acest lucru, trebuie să reproduceți următoarea secvență de acțiuni:

1. Pentru început, prezentăm numărul mixt disponibil n a b ca sumă a părților întregi și fracționale. Se dovedește n + a b

3. După aceea, efectuăm o acțiune deja familiară - adunăm două fracții ordinare n 1 și a b. Fracția improprie rezultată va fi egală cu numărul mixt dat în condiție.

Să analizăm această acțiune pe un exemplu specific.

Exemplul 3

Scrieți 5 3 7 ca fracție improprie.

Decizie

Efectuăm pașii algoritmului de mai sus în secvență. Numărul nostru 5 3 7 este suma părților întregi și fracționale, adică 5 + 3 7. Acum să scriem cele cinci ca 5 1 . Am obținut suma 5 1 + 3 7 .

Ultimul pas este adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

Întreaga soluție a formei scurte poate fi scrisă ca 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7 .

Răspuns: 5 3 7 = 38 7 .

Astfel, cu ajutorul lanțului de acțiuni de mai sus, putem converti orice număr mixt n a b într-o fracție improprie. Am obținut formula n a b = n b + a b , pe care o vom lua pentru a rezolva problemele ulterioare.

Exemplul 4

Scrie 15 2 5 ca fracție improprie.

Decizie

Luați această formulă și înlocuiți valorile dorite în ea. Avem n = 15 , a = 2 , b = 5 , deci 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5 .

Răspuns: 15 2 5 = 77 5 .

De obicei, nu listăm fracția improprie ca răspuns final. Se obișnuiește să aducem calculele la sfârșit și să le înlocuiți fie cu un număr natural (împărțirea numărătorului la numitor), fie cu un număr mixt. De regulă, prima metodă este utilizată atunci când este posibilă împărțirea numărătorului la numitor fără rest, iar a doua - dacă o astfel de acțiune este imposibilă.

Când extragem întreaga parte dintr-o fracție necorespunzătoare, pur și simplu o înlocuim cu un număr mixt egal.

Să vedem cum se face exact acest lucru.

Definiția 2

Prezentăm o dovadă a acestei afirmații.

Trebuie să explicăm de ce q r b = a b . Pentru a face acest lucru, numărul mixt q r b trebuie reprezentat ca o fracție improprie urmând toți pașii algoritmului din paragraful anterior. Deoarece este un coeficient incomplet și r este restul împărțirii a la b, atunci egalitatea a = b · q + r trebuie să fie valabilă.

Deci q b + r b = a b deci q r b = a b . Aceasta este dovada afirmației noastre. A rezuma:

Definiția 3

Selectarea părții întregi din fracția improprie a b se efectuează după cum urmează:

1) împărțim a cu b cu un rest și scriem separat câtul incomplet q și restul r.

2) Scrieți rezultatele ca q r b . Acesta este numărul nostru mixt, egal cu fracția improprie inițială.

Exemplul 5

Exprimați 1074 ca număr mixt.

Decizie

Împărțim 104 la 7 într-o coloană:

Împărțirea numărătorului a = 118 la numitorul b = 7 ne dă câtul incomplet q = 16 și restul r = 6.

Ca rezultat, obținem că fracția improprie 118 7 este egală cu numărul mixt q r b = 16 6 7 .

Răspuns: 118 7 = 16 6 7 .

Rămâne să vedem cum să înlocuim o fracție improprie cu un număr natural (cu condiția ca numărătorul acesteia să fie divizibil cu numitorul fără rest).

Pentru a face acest lucru, amintiți-vă ce relație există între fracțiile obișnuite și diviziune. Din aceasta putem deduce egalitățile: a b = a: b = c . Rezultă că fracția improprie a b poate fi înlocuită cu un număr natural c.

Exemplul 6

De exemplu, dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție improprie 27 3, atunci putem scrie 9, deoarece 27 3 \u003d 27: 3 \u003d 9.

Răspuns: 27 3 = 9 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter