Numerele prime sunt unul dintre cele mai interesante fenomene matematice care a atras atenția oamenilor de știință și a cetățenilor de rând de mai bine de două milenii. În ciuda faptului că acum trăim în era computerelor și a celor mai moderne programe de informare, multe mistere ale numerelor prime nu au fost încă rezolvate, există chiar și acelea pe care oamenii de știință nu știu să le abordeze.

Numerele prime sunt, după cum se știe din cursul aritmeticii elementare, acelea care sunt divizibile fără rest doar cu unul și cu el însuși. Apropo, dacă un număr natural este divizibil, pe lângă cele enumerate mai sus, cu un alt număr, atunci se numește compus. Una dintre cele mai cunoscute teoreme afirmă că orice număr compus poate fi reprezentat ca singurul produs posibil al numerelor prime.

Câteva fapte interesante. În primul rând, unitatea este unică în sensul că, de fapt, nu aparține nici numerelor prime, nici numerelor compuse. În același timp, în comunitatea științifică este încă obișnuit să-l atribuie primului grup, deoarece formal își satisface pe deplin cerințele.

În al doilea rând, singurul număr par care s-a strecurat în grupul „numere prime” este, desigur, doi. Orice alt număr par pur și simplu nu poate ajunge aici, deoarece prin definiție, în afară de el și unu, este și divizibil cu doi.

Numerele prime, a căror listă, după cum am menționat mai sus, poate începe cu unul, sunt o serie infinită, la fel de infinită ca și seria numerelor naturale. Pe baza teoremei fundamentale a aritmeticii, se poate ajunge la concluzia că numerele prime nu sunt niciodată întrerupte și nu se termină niciodată, deoarece altfel seria numerelor naturale ar fi inevitabil întreruptă.

Numerele prime nu apar aleatoriu în seria naturală, așa cum ar putea părea la prima vedere. După ce le-ați analizat cu atenție, puteți observa imediat mai multe caracteristici, dintre care cele mai curioase sunt asociate cu așa-numitele numere „gemene”. Se numesc astfel pentru că într-un fel de neînțeles au ajuns unul lângă altul, despărțiți doar de un delimitator par (cinci și șapte, șaptesprezece și nouăsprezece).

Dacă te uiți la ele cu atenție, vei observa că suma acestor numere este întotdeauna un multiplu de trei. Mai mult decât atât, atunci când se împarte la un triplu din partea stângă, restul rămâne întotdeauna un doi, iar cel drept - unu. În plus, însăși distribuția acestor numere de-a lungul seriei naturale poate fi prezisă dacă întreaga serie este prezentată sub formă de sinusoide oscilatorii, ale căror puncte principale se formează atunci când numerele sunt împărțite la trei și doi.

Numerele prime nu sunt doar obiectul unei examinări minuțioase de către matematicienii din întreaga lume, dar au fost de multă vreme folosite cu succes în compilarea diferitelor serii de numere, care stă la baza, inclusiv pentru criptografie. În același timp, trebuie recunoscut că un număr mare de mistere asociate cu aceste elemente minunate așteaptă încă să fie rezolvate, multe întrebări au o semnificație nu numai filosofică, ci și practică.

Definiție 1. număr prim este un număr natural mai mare decât 1 care este divizibil numai cu el însuși și 1.

Cu alte cuvinte, un număr este prim dacă are doar doi divizori naturali diferiți.

Definiție 2. Orice număr natural care are alți divizori în afară de el și unul se numește numar compus.

Cu alte cuvinte, numerele naturale care nu sunt prime se numesc numere compuse. Definiția 1 implică faptul că un număr compus are mai mult de doi divizori naturali. Numărul 1 nu este nici prim, nici compus. are un singur divizor 1 și, pe lângă acesta, multe teoreme despre numere prime nu sunt valabile pentru unitate.

Definițiile 1 și 2 implică faptul că fiecare număr întreg pozitiv mai mare decât 1 este fie un număr prim, fie un număr compus.

Mai jos este un program pentru afișarea numerelor prime până la 5000. Completați celulele, faceți clic pe butonul „Creați” și așteptați câteva secunde.

Tabelul numerelor prime

Afirmație 1. În cazul în care un p este un număr prim și A orice număr întreg, apoi fie A impartit de p, sau pși A numere relativ prime.

Într-adevăr. În cazul în care un p număr prim, atunci este divizibil numai cu el însuși și 1 dacă A nedivizibil cu p, apoi cel mai mare divizor comun Ași p este egal cu 1. Atunci pși A numere relativ prime.

Afirmație 2. Dacă produsul mai multor numere de numere A 1 , A 2 , A 3 , ... este divizibil cu un număr prim p, apoi cel puțin unul dintre numere A 1 , A 2 , A 3 , ... este divizibil cu p.

Într-adevăr. Dacă niciunul dintre numere nu este divizibil cu p, apoi numerele A 1 , A 2 , A 3 , ... ar fi numere relativ prime în raport cu p. Dar din Corolarul 3 () rezultă că produsul lor A 1 , A 2 , A 3 , ... este, de asemenea, coprim în raport cu p, ceea ce contrazice condiția afirmației. Prin urmare, cel puțin unul dintre numere este divizibil cu p.

Teorema 1. Orice număr compus poate fi întotdeauna reprezentat și, mai mult, într-un mod unic, ca produs al unui număr finit de numere prime.

Dovada. Lasa k număr compus, și fie A 1 este unul dintre divizorii săi diferit de 1 și de el însuși. În cazul în care un A 1 este compus, apoi are în plus față de 1 și A 1 și un alt separator A 2. În cazul în care un A 2 este un număr compus, apoi are, pe lângă 1 și A 2 și un alt separator A 3 . Argumentand astfel si tinand cont ca numerele A 1 , A 2 , A 3 , ... scade și această serie conține un număr finit de termeni, vom ajunge la un număr prim p unu . Apoi k poate fi reprezentat ca

Să presupunem că există două expansiuni ale unui număr k:

La fel de k=p 1 p 2 p 3 ... este divizibil cu un număr prim q 1, apoi cel puțin unul dintre factori, de exemplu p 1 este divizibil cu q unu . Dar p 1 este prim și este divizibil doar cu 1 și cu el însuși. Prin urmare p 1 =q 1 (pentru că q 1 ≠1)

Apoi din (2) putem exclude p 1 și q 1:

Astfel, ne asigurăm că orice număr prim care intră în prima expansiune ca factor o dată sau de mai multe ori intră în a doua expansiune de cel puțin același număr de ori și invers, orice număr prim care intră în a doua expansiune ca factor unul sau mai multe ori intră și în prima expansiune de cel puțin tot atâtea ori. Prin urmare, orice număr prim intră ca factor în ambele expansiuni de același număr de ori și, astfel, aceste două expansiuni sunt aceleași.■

Descompunerea unui număr compus k poate fi scrisă în următoarea formă

Unde p 1 , p 2 , ... numere prime distincte, α, β, γ ... numere întregi pozitive.

Descompunerea (3) se numește descompunere canonică numerele.

Numerele prime din seria numerelor naturale apar inegal. În unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puțin. Cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai rare. Întrebarea este, există un număr prim cel mai mare? Matematicianul grec antic Euclid a demonstrat că există infinit de numere prime. Prezentăm mai jos această dovadă.

Teorema 2. Numărul numerelor prime este infinit.

Dovada. Să presupunem că există un număr finit de numere prime și să fie cel mai mare prim p. Să luăm în considerare toate numerele p. Prin ipoteza enunțului, aceste numere trebuie să fie compuse și trebuie să fie divizibile cu cel puțin unul dintre numerele prime. Să alegem un număr care este produsul tuturor acestor numere prime plus 1:

Număr z Mai mult p la fel de 2p deja mai multe p. p nu este divizibil cu niciunul dintre aceste numere prime, deoarece când este împărțit la fiecare dintre ele, dă un rest de 1. Astfel ajungem la o contradicție. Prin urmare, există un număr infinit de numere prime.

Această teoremă este un caz special al unei teoreme mai generale:

Teorema 3. Să fie dată o progresie aritmetică

Apoi orice număr prim din n, ar trebui să fie și ele incluse în m, deci in n nu poate include alți factori primi care nu sunt incluși în mși, în plus, acești factori primi în n nu apar de mai multe ori decât în m.

Este adevărat și invers. Dacă fiecare factor prim al unui număr n apare de cel puțin același număr de ori m, apoi m impartit de n.

Afirmație 3. Lasa A 1 ,A 2 ,A 3 ,... diverse numere prime care apar în m asa de

Unde i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . observa asta un i acceptă α +1 valori, β j acceptă β +1 valori, γ k ia γ +1 valori, ... .

• Traducere

Proprietățile numerelor prime au fost studiate pentru prima dată de matematicienii Greciei antice. Matematicienii școlii pitagoreice (500 - 300 î.Hr.) au fost interesați în primul rând de proprietățile mistice și numerologice ale numerelor prime. Au fost primii care au venit cu idei despre numere perfecte și prietenoase.

Un număr perfect are proprii divizori egali cu el însuși. De exemplu, divizorii proprii ai numărului 6 sunt: ​​1, 2 și 3. 1 + 2 + 3 = 6. Împărțitorii numărului 28 sunt 1, 2, 4, 7 și 14. Mai mult, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Numerele sunt numite prietenoase dacă suma divizorilor proprii ai unui număr este egală cu altul și invers - de exemplu, 220 și 284. Putem spune că un număr perfect este prietenos cu el însuși.

Până la momentul apariției lucrării „Începuturilor” lui Euclid în anul 300 î.Hr. Mai multe fapte importante despre numerele prime au fost deja dovedite. În Cartea a IX-a a Elementelor, Euclid a demonstrat că există un număr infinit de numere prime. Apropo, acesta este unul dintre primele exemple de utilizare a dovezii prin contradicție. El demonstrează, de asemenea, Teorema de bază a aritmeticii - fiecare număr întreg poate fi reprezentat într-un mod unic ca produs de numere prime.

El a mai arătat că dacă numărul 2 n -1 este prim, atunci numărul 2 n-1 * (2 n -1) va fi perfect. Un alt matematician, Euler, în 1747 a fost capabil să arate că toate numerele par perfecte pot fi scrise în această formă. Până în prezent, nu se știe dacă există numere perfecte impare.

În anul 200 î.Hr. Greacul Eratosthenes a venit cu un algoritm pentru găsirea numerelor prime numit Sita lui Eratosthenes.

Și apoi a avut loc o mare pauză în istoria studiului numerelor prime asociate cu Evul Mediu.

Următoarele descoperiri au fost făcute deja la începutul secolului al XVII-lea de către matematicianul Fermat. El a demonstrat conjectura lui Albert Girard că orice număr prim de forma 4n+1 poate fi scris unic ca o sumă a două pătrate și, de asemenea, a formulat o teoremă conform căreia orice număr poate fi reprezentat ca o sumă a patru pătrate.

El a dezvoltat o nouă metodă de factorizare pentru numere mari și a demonstrat-o pe numărul 2027651281 = 44021 × 46061. El a demonstrat și Teorema Mică a lui Fermat: dacă p este un număr prim, atunci pentru orice număr întreg a, a p = a modulo p va fi adevărată. .

Această afirmație demonstrează jumătate din ceea ce era cunoscut sub numele de „ipoteza chineză” și datează cu 2000 de ani mai devreme: un număr întreg n este prim dacă și numai dacă 2n-2 este divizibil cu n. A doua parte a ipotezei s-a dovedit a fi falsă - de exemplu, 2341 - 2 este divizibil cu 341, deși numărul 341 este compus: 341 = 31 × 11.

Mica Teoremă a lui Fermat a stat la baza multor alte rezultate în teoria numerelor și metode de testare dacă numerele sunt prime, multe dintre ele fiind încă utilizate astăzi.

Fermat a corespuns extins cu contemporanii săi, în special cu un călugăr pe nume Marin Mersenne. Într-una dintre scrisorile sale, el a presupus că numerele de forma 2 n + 1 vor fi întotdeauna prime dacă n este o putere a lui doi. El a testat acest lucru pentru n = 1, 2, 4, 8 și 16 și a fost sigur că atunci când n nu este o putere a doi, numărul nu era neapărat prim. Aceste numere se numesc numere Fermat și abia 100 de ani mai târziu Euler a arătat că următorul număr, 232 + 1 = 4294967297, este divizibil cu 641 și, prin urmare, nu este prim.

Numerele de forma 2 n - 1 au făcut, de asemenea, obiectul cercetării, deoarece este ușor de arătat că dacă n este compus, atunci numărul în sine este și compus. Aceste numere sunt numite numere Mersenne pentru că el le-a studiat în mod activ.

Dar nu toate numerele de forma 2 n - 1, unde n este prim, sunt prime. De exemplu, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Acesta a fost descoperit pentru prima dată în 1536.

Timp de mulți ani, numerele de acest fel au dat matematicienilor cele mai mari numere prime cunoscute. Că numărul M 19 a fost demonstrat de Cataldi în 1588, iar timp de 200 de ani a fost cel mai mare număr prim cunoscut, până când Euler a demonstrat că M 31 este și prim. Acest record a ținut încă o sută de ani, iar apoi Lucas a arătat că M 127 este prim (și acesta este deja un număr de 39 de cifre), iar după aceea, cercetările au continuat odată cu apariția computerelor.

În 1952, s-a dovedit primitatea numerelor M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 și M 2281.

Până în 2005, au fost găsite 42 de numere prime Mersenne. Cel mai mare dintre ele, M 25964951, este format din 7816230 de cifre.

Lucrarea lui Euler a avut un impact imens asupra teoriei numerelor, inclusiv asupra numerelor prime. El a extins Teorema Mică a lui Fermat și a introdus funcția φ. S-a factorizat al 5-lea număr Fermat 2 32 +1, a găsit 60 de perechi de numere prietenoase și a formulat (dar nu a reușit să demonstreze) legea pătratică a reciprocității.

El a fost primul care a introdus metodele de analiză matematică și a dezvoltat teoria analitică a numerelor. El a demonstrat că nu numai seria armonică ∑ (1/n), ci și o serie de formă

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Obținut prin suma cantităților inverse numerelor prime, de asemenea, diverge. Suma celor n termeni ai seriei armonice crește aproximativ ca log(n), în timp ce a doua serie diverge mai lent, ca log[ log(n) ]. Aceasta înseamnă că, de exemplu, suma reciprocelor tuturor numerelor prime găsite până în prezent va da doar 4, deși seria încă diverge.

La prima vedere, se pare că numerele prime sunt distribuite între numere întregi mai degrabă aleatoriu. De exemplu, printre cele 100 de numere imediat înainte de 10000000, există 9 numere prime, iar dintre cele 100 de numere imediat după această valoare sunt doar 2. Dar pe segmentele mari, numerele prime sunt distribuite destul de uniform. Legendre și Gauss s-au ocupat de distribuția lor. Gauss i-a spus odată unui prieten că în orice 15 minute libere el numără întotdeauna numărul de numere prime din următoarele 1000 de numere. Până la sfârșitul vieții, el numărase toate numerele prime până la 3 milioane. Legendre și Gauss au calculat în mod egal că pentru n mare densitatea primelor este 1/log(n). Legendre a estimat numărul de prime între 1 și n ca

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Și Gauss - ca o integrală logaritmică

π(n) = / 1/log(t) dt

Cu un interval de integrare de la 2 la n.

Afirmația despre densitatea numerelor prime 1/log(n) este cunoscută sub numele de Teorema numerelor prime. Au încercat să demonstreze acest lucru de-a lungul secolului al XIX-lea, iar Cebyshev și Riemann au făcut progrese. Ei au conectat-o ​​cu Ipoteza Riemann, o conjectie nedovedită până acum despre distribuția zerourilor funcției zeta Riemann. Densitatea numerelor prime a fost demonstrată simultan de Hadamard și de la Vallée-Poussin în 1896.

În teoria numerelor prime, există încă multe întrebări nerezolvate, unele dintre ele vechi de multe sute de ani:

• ipoteza prime gemene - despre un număr infinit de perechi de numere prime care diferă între ele cu 2
• Conjectura lui Goldbach: orice număr par, începând de la 4, poate fi reprezentat ca suma a două numere prime
• Există un număr infinit de numere prime de forma n 2 + 1?
• este întotdeauna posibil să găsim un număr prim între n 2 și (n + 1) 2? (faptul că există întotdeauna un număr prim între n și 2n a fost demonstrat de Cebyshev)
• Există un număr infinit de numere prime Fermat? există numere prime Fermat după a 4-a?
• există o progresie aritmetică a numerelor prime consecutive pentru orice lungime dată? de exemplu, pentru lungimea 4: 251, 257, 263, 269. Lungimea maximă găsită este 26 .
• Există un număr infinit de mulțimi de trei numere prime consecutive într-o progresie aritmetică?
• n 2 - n + 41 este un număr prim pentru 0 ≤ n ≤ 40. Există un număr infinit de astfel de numere prime? Aceeași întrebare pentru formula n 2 - 79 n + 1601. Aceste numere sunt prime pentru 0 ≤ n ≤ 79.
• Există un număr infinit de numere prime de forma n# + 1? (n# este rezultatul înmulțirii tuturor numerelor prime mai mici decât n)
• Există un număr infinit de numere prime de forma n# -1?
• Există un număr infinit de numere prime de forma n? +1?
• Există un număr infinit de numere prime de forma n? - unu?
• dacă p este prim, 2 p -1 nu include întotdeauna printre factorii primelor pătrate
• Secvența Fibonacci conține un număr infinit de numere prime?

Cele mai mari numere prime gemene sunt 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sunt formate din 58711 cifre și au fost găsite în 2007.

Cel mai mare număr prim factorial (de forma n! ± 1) este 147855! - 1. Este format din 142891 de cifre și a fost găsit în 2002.

Cel mai mare număr prim primar (un număr de forma n# ± 1) este 1098133# + 1.

Lista divizorilor. Prin definiție, numărul n este prim numai dacă nu este divizibil egal cu 2 și orice numere întregi, altele decât 1 și el însuși. Formula de mai sus elimină pașii inutile și economisește timp: de exemplu, după ce ați verificat dacă un număr este divizibil cu 3, nu este nevoie să verificați dacă este divizibil cu 9.

• Funcția floor(x) rotunjește x la cel mai apropiat număr întreg mai mic sau egal cu x.

Aflați despre aritmetica modulară. Operația „x mod y” (mod este prescurtarea cuvântului latin „modulo”, care înseamnă „modul”) înseamnă „împarte x la y și găsiți restul”. Cu alte cuvinte, în aritmetica modulară, la atingerea unei anumite valori, care se numește modul, numerele „se întorc” înapoi la zero. De exemplu, un ceas măsoară timpul în modulul 12: arată ora 10, 11 și 12 și apoi revine la 1.

• Multe calculatoare au o cheie mod. Sfârșitul acestei secțiuni arată cum se calculează manual această funcție pentru numere mari.

Numerele sunt diferite: naturale, naturale, raționale, întregi și fracționale, pozitive și negative, complexe și prime, impare și par, reale etc. Din acest articol puteți afla ce sunt numerele prime.

Ce numere se numesc cuvântul englez „simple”?

De foarte multe ori, școlarii nu știu să răspundă la una dintre cele mai aparent simple întrebări din matematică, despre ce este un număr prim. Ele confundă adesea numerele prime cu numerele naturale (adică numerele pe care oamenii le folosesc atunci când numără obiectele, în timp ce în unele surse pornesc de la zero, iar în altele - de la unu). Dar acestea sunt două concepte complet diferite. Numerele prime sunt numere naturale, adică numere întregi și pozitive care sunt mai mari decât unu și care au doar 2 divizori naturali. În acest caz, unul dintre acești divizori este un număr dat, iar al doilea este o unitate. De exemplu, trei este un număr prim, deoarece nu este divizibil egal cu niciun număr, altul decât el însuși și unul.

Numerele compuse

Opusul numerelor prime sunt numerele compuse. Sunt și naturali, de asemenea mai mari decât unu, dar au nu doi, ci mai mulți divizori. Deci, de exemplu, numerele 4, 6, 8, 9 etc. sunt naturale, compuse, dar nu numere prime. După cum puteți vedea, acestea sunt în mare parte numere pare, dar nu toate. Dar „doi” este un număr par și „primul număr” dintr-o serie de numere prime.

Urmare

Pentru a construi o serie de numere prime, este necesar să faceți o selecție dintre toate numerele naturale, ținând cont de definiția lor, adică trebuie să acționați prin contradicție. Este necesar să se ia în considerare fiecare dintre numerele naturale pozitive cu privire la faptul dacă are mai mult de doi divizori. Să încercăm să construim o serie (secvență) care constă din numere prime. Lista începe cu doi, apoi urmează trei, deoarece este divizibil doar cu ea însăși și unul. Luați în considerare numărul patru. Are alți divizori decât patru și unu? Da, acel număr este 2. Deci patru nu este un număr prim. Cinci este și prim (în afară de 1 și 5, nu este divizibil cu niciun alt număr), dar șase este divizibil. Și, în general, dacă urmați toate numerele pare, veți observa că în afară de „doi”, niciunul dintre ele nu este prim. De aici concluzionăm că numerele pare, cu excepția a doi, nu sunt prime. O altă descoperire: toate numerele care sunt divizibile cu trei, cu excepția triplei în sine, fie par sau impar, nu sunt nici prime (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 etc.). Același lucru este valabil și pentru numerele care sunt divizibile cu cinci și șapte. Tot setul lor nu este, de asemenea, simplu. Să rezumam. Deci, toate numerele impare, cu excepția unu și nouă, aparțin numerelor simple cu o singură cifră și doar „două” din cele pare. Zecile în sine (10, 20,... 40 etc.) nu sunt prime. Numerele prime de două cifre, trei cifre etc. pot fi definite pe baza principiilor de mai sus: dacă nu au alți divizori decât ei înșiși și unul.

Teorii despre proprietățile numerelor prime

Există o știință care studiază proprietățile numerelor întregi, inclusiv a celor prime. Aceasta este o ramură a matematicii, care se numește superioară. Pe lângă proprietățile numerelor întregi, ea se ocupă și de numere algebrice, transcendentale, precum și de funcții de diverse origini legate de aritmetica acestor numere. În aceste studii, pe lângă metodele elementare și algebrice, sunt folosite și cele analitice și geometrice. Mai exact, studiul numerelor prime se ocupă de „Teoria numerelor”.

Numerele prime sunt „componentele de bază” ale numerelor naturale

În aritmetică există o teoremă numită teorema principală. Potrivit acestuia, orice număr natural, cu excepția unității, poate fi reprezentat ca un produs, ai cărui factori sunt numere prime, iar ordinea factorilor este unică, ceea ce înseamnă că metoda de reprezentare este unică. Se numește descompunerea unui număr natural în factori primi. Există un alt nume pentru acest proces - factorizarea numerelor. Pornind de la aceasta, numerele prime pot fi numite „material de construcție”, „blocuri” pentru construirea numerelor naturale.

Căutați numere prime. Teste de simplitate

Mulți oameni de știință din timpuri diferite au încercat să găsească niște principii (sisteme) pentru găsirea unei liste de numere prime. Știința cunoaște sisteme numite sita lui Atkin, sita lui Sundartam, sita lui Eratosthenes. Cu toate acestea, nu dau rezultate semnificative și un simplu test este folosit pentru a găsi numere prime. Algoritmii au fost creați și de matematicieni. Se numesc teste de primalitate. De exemplu, există un test dezvoltat de Rabin și Miller. Este folosit de criptografi. Există și un test Kayala-Agrawala-Saskena. Cu toate acestea, în ciuda preciziei sale suficiente, este foarte dificil de calculat, ceea ce îi diminuează valoarea practică.

Mulțimea primelor are o limită?

Faptul că mulțimea numerelor prime este infinit a fost scris în cartea „Începuturi” a savantului grec antic Euclid. El a spus asta: „Să ne imaginăm pentru o clipă că numerele prime au o limită. Apoi să le înmulțim între ele și să adăugăm unul la produs. Numărul obținut în urma acestor operații simple nu poate fi divizibil cu niciuna din seriile de numere prime, deoarece restul va fi întotdeauna unul. Și asta înseamnă că există un alt număr care nu este încă inclus în lista numerelor prime. Prin urmare, presupunerea noastră nu este adevărată, iar acest set nu poate avea o limită. Pe lângă demonstrația lui Euclid, există o formulă mai modernă dată de matematicianul elvețian din secolul al XVIII-lea Leonhard Euler. Potrivit lui, suma, reciproca sumei primelor n numere, crește la nesfârșit odată cu creșterea numărului n. Și iată formula teoremei privind distribuția numerelor prime: (n) crește ca n / ln (n).

Care este cel mai mare număr prim?

Cu toate acestea, Leonard Euler a fost capabil să găsească cel mai mare număr prim pentru vremea lui. Acesta este 2 31 - 1 = 2147483647. Cu toate acestea, până în 2013, a fost calculat un alt cel mai precis cel mai mare din lista numerelor prime - 2 57885161 - 1. Se numește numărul Mersenne. Conține aproximativ 17 milioane de cifre zecimale. După cum puteți vedea, numărul găsit de un om de știință din secolul al XVIII-lea este de câteva ori mai mic decât acesta. Ar fi trebuit să fie așa, pentru că Euler a făcut acest calcul manual, în timp ce contemporanul nostru a fost probabil ajutat de un computer. Mai mult, acest număr a fost obținut la Departamentul de Matematică dintr-unul din departamentele americane. Numerele numite după acest om de știință trec prin testul de primalitate Luc-Lehmer. Cu toate acestea, știința nu vrea să se oprească aici. Fundația Electronic Frontier, care a fost fondată în 1990 în Statele Unite ale Americii (EFF), a oferit o recompensă bănească pentru găsirea numerelor prime mari. Și dacă până în 2013 premiul a fost acordat acelor oameni de știință care le vor găsi dintre 1 și 10 milioane de numere zecimale, astăzi această cifră a ajuns de la 100 de milioane la 1 miliard. Premiile variază de la 150 la 250 de mii de dolari SUA.

Numele numerelor prime speciale

Acele numere care au fost găsite datorită algoritmilor creați de anumiți oameni de știință și au trecut testul de simplitate se numesc speciale. Aici sunt câțiva dintre ei:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Simplitatea acestor numere, numite după oamenii de știință de mai sus, este stabilită folosind următoarele teste:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge și alții.

Știința modernă nu se oprește aici și probabil că în viitorul apropiat lumea va ști numele celor care au reușit să câștige un premiu de 250.000 de dolari prin găsirea celui mai mare număr prim.