Luați în considerare următoarea figură.

Arată graficul funcției y = x^3 - 3*x^2. Luați în considerare un interval care conține punctul x = 0, de exemplu, de la -1 la 1. Un astfel de interval se mai numește și vecinătatea punctului x = 0. După cum se poate observa pe grafic, în această vecinătate funcția y = x ^3 - 3*x^2 ia cea mai mare valoare exact în punctul x = 0.

Maxim și minim al unei funcții

În acest caz, punctul x = 0 se numește punctul maxim al funcției. Prin analogie cu aceasta, punctul x = 2 se numește punctul minim al funcției y = x^3 - 3*x^2. Pentru că există o astfel de vecinătate a acestui punct în care valoarea în acest punct va fi minimă printre toate celelalte valori din acest cartier.

punct maxim funcția f(x) se numește punct x0, cu condiția să existe o vecinătate a punctului x0 astfel încât pentru toate x care nu sunt egale cu x0 din această vecinătate, inegalitatea f(x)< f(x0).

punct minim funcția f(x) se numește punct x0, cu condiția să existe o vecinătate a punctului x0 astfel încât pentru toate x care nu sunt egale cu x0 din această vecinătate, inegalitatea f(x) > f(x0) să fie satisfăcută.

La punctele maxime și minime ale funcțiilor, valoarea derivatei funcției este egală cu zero. Dar aceasta nu este o condiție suficientă pentru existența unei funcții într-un punct maxim sau minim.

De exemplu, funcția y = x^3 în punctul x = 0 are o derivată egală cu zero. Dar punctul x = 0 nu este punctul minim sau maxim al funcției. După cum știți, funcția y = x^3 crește pe toată axa reală.

Astfel, punctele minime și maxime vor fi întotdeauna printre rădăcina ecuației f’(x) = 0. Dar nu toate rădăcinile acestei ecuații vor fi puncte maxime sau minime.

Puncte staționare și critice

Punctele la care valoarea derivatei unei funcții este egală cu zero se numesc puncte staționare. Pot exista și puncte de maxim sau minim în punctele în care derivata funcției nu există deloc. De exemplu, y = |x| în punctul x = 0 are un minim, dar derivata nu există în acest punct. Acest punct va fi punctul critic al funcției.

Punctele critice ale unei funcții sunt punctele în care derivata este egală cu zero, sau derivata nu există în acest punct, adică funcția în acest punct este nediferențiabilă. Pentru a găsi maximul sau minimul unei funcții, trebuie îndeplinită o condiție suficientă.

Fie f(x) o funcție diferențiabilă pe intervalul (a;b). Punctul x0 aparține acestui interval și f'(x0) = 0. Atunci:

1. dacă, la trecerea prin punctul staționar x0, funcția f (x) și derivata ei își schimbă semnul, de la „plus” la „minus”, atunci punctul x0 este punctul maxim al funcției.

2. dacă, la trecerea prin punctul staționar x0, funcția f (x) și derivata ei își schimbă semnul, de la „minus” la „plus”, atunci punctul x0 este punctul minim al funcției.

În spațiul bidimensional, două drepte se intersectează doar într-un punct, dat de coordonatele (x, y). Deoarece ambele drepte trec prin punctul lor de intersecție, coordonatele (x, y) trebuie să satisfacă ambele ecuații care descriu aceste drepte. Cu unele abilități avansate, puteți găsi punctele de intersecție ale parabolelor și ale altor curbe pătratice.

Pași

Punct de intersecție a două drepte

Notați ecuația fiecărei linii, izolând variabila „y” din partea stângă a ecuației. Alți termeni ai ecuației ar trebui plasați în partea dreaptă a ecuației. Poate că ecuația dată în loc de „y” va conține variabila f (x) sau g (x); în acest caz izolați o astfel de variabilă. Pentru a izola o variabilă, efectuați operațiile matematice adecvate pe ambele părți ale ecuației.

• Dacă nu vă sunt date ecuațiile dreptelor, pe baza informațiilor cunoscute de dvs.
• Exemplu. Date drepte descrise de ecuațiile și y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Pentru a izola „y” din a doua ecuație, adăugați numărul 12 de ambele părți ale ecuației:

1. Căutați punctul de intersecție al ambelor drepte, adică punctul ale cărui coordonate (x, y) satisfac ambele ecuații. Deoarece variabila „y” se află în partea stângă a fiecărei ecuații, expresiile din partea dreaptă a fiecărei ecuații pot fi egalate. Scrieți o nouă ecuație.

   • Exemplu. La fel de y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)și y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), atunci putem scrie următoarea egalitate: .

2. Aflați valoarea variabilei „x”. Noua ecuație conține o singură variabilă „x”. Pentru a găsi „x”, izolați această variabilă în partea stângă a ecuației, făcând matematica corespunzătoare de ambele părți ale ecuației. Ar trebui să ajungeți cu o ecuație de genul x = __ (dacă nu puteți face asta, consultați această secțiune).

   • Exemplu. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Adăuga 2x (\displaystyle 2x) de fiecare parte a ecuației:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Scădeți 3 din fiecare parte a ecuației:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Împărțiți fiecare parte a ecuației la 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Utilizați valoarea găsită a variabilei „x” pentru a calcula valoarea variabilei „y”. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea găsită „x” în ecuația (orice) linie dreaptă.

   • Exemplu. x = 3 (\displaystyle x=3)și y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Verificați răspunsul. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea lui "x" într-o altă ecuație a unei linii drepte și găsiți valoarea lui "y". Dacă obțineți valori „y” diferite, verificați dacă calculele sunt corecte.

   • Exemplu: x = 3 (\displaystyle x=3)și y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Ai aceeași valoare „y”, așa că nu există erori în calculele tale.

5. Scrieți coordonatele (x, y). Prin calcularea valorilor „x” și „y”, ați găsit coordonatele punctului de intersecție a două linii. Notați coordonatele punctului de intersecție sub forma (x, y).

   • Exemplu. x = 3 (\displaystyle x=3)și y=6 (\displaystyle y=6)
   • Astfel, două drepte se intersectează într-un punct cu coordonatele (3,6).

6. Calcule în cazuri speciale.În unele cazuri, valoarea variabilei „x” nu poate fi găsită. Dar asta nu înseamnă că ai făcut o greșeală. Un caz special apare atunci când este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

   • Dacă două drepte sunt paralele, ele nu se intersectează. În acest caz, variabila „x” va fi pur și simplu redusă, iar ecuația ta se va transforma într-o egalitate fără sens (de exemplu, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). În acest caz, notează în răspunsul tău că liniile nu se intersectează sau nu există o soluție.
   • Dacă ambele ecuații descriu o linie dreaptă, atunci va exista un număr infinit de puncte de intersecție. În acest caz, variabila „x” va fi pur și simplu redusă, iar ecuația dvs. se va transforma într-o egalitate strictă (de exemplu, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). În acest caz, notează în răspunsul tău că cele două rânduri coincid.

   Probleme cu funcțiile pătratice

   1. Definiția unei funcții pătratice.Într-o funcție pătratică, una sau mai multe variabile au un al doilea grad (dar nu mai mare), de exemplu, x 2 (\displaystyle x^(2)) sau y 2 (\displaystyle y^(2)). Graficele funcțiilor pătratice sunt curbe care nu se pot intersecta sau nu se intersectează în unul sau două puncte. În această secțiune, vă vom spune cum să găsiți punctul sau punctele de intersecție ale curbelor pătratice.

   2. Rescrieți fiecare ecuație izolând variabila „y” din partea stângă a ecuației. Alți termeni ai ecuației ar trebui plasați în partea dreaptă a ecuației.

      • Exemplu. Găsiți punctul (punctele) de intersecție a graficelor x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)și
      • Izolați variabila „y” din partea stângă a ecuației:
      • și y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • În acest exemplu, vi se oferă o funcție pătratică și o funcție liniară. Amintiți-vă că, dacă vi se dau două funcții pătratice, calculele sunt aceleași cu pașii de mai jos.

   3. Echivalează expresiile din partea dreaptă a fiecărei ecuații. Deoarece variabila „y” se află în partea stângă a fiecărei ecuații, expresiile din partea dreaptă a fiecărei ecuații pot fi egalate.

      • Exemplu. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)și y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Transferați toți termenii ecuației rezultate în partea stângă și scrieți 0 în partea dreaptă. Pentru a face acest lucru, efectuați operații matematice de bază. Acest lucru vă va permite să rezolvați ecuația rezultată.

      • Exemplu. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Scădeți „x” din ambele părți ale ecuației:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației:

   5. Rezolvați ecuația pătratică. Transferând toți termenii ecuației în partea stângă, obțineți o ecuație pătratică. Poate fi rezolvată în trei moduri: folosind o formulă specială și.

      • Exemplu. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • La factorizarea ecuației, obțineți două binoame, care, atunci când sunt înmulțite, dau ecuația inițială. În exemplul nostru, primul membru x 2 (\displaystyle x^(2)) poate fi descompus în x*x. Faceți următoarea intrare: (x)(x) = 0
      • În exemplul nostru, interceptul -6 poate fi factorizat după cum urmează: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • În exemplul nostru, al doilea termen este x (sau 1x). Adăugați fiecare pereche de factori de interceptare (în exemplul nostru -6) până când obțineți 1. În exemplul nostru, perechea corectă de factori de interceptare este -2 și 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), la fel de − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Completați golurile cu perechea de numere găsită: .

   6. Nu uitați de al doilea punct de intersecție al celor două grafice. Dacă rezolvați problema rapid și nu foarte atent, puteți uita de al doilea punct de intersecție. Iată cum puteți găsi coordonatele „x” a două puncte de intersecție:

      • Exemplu (factorizare). Dacă în ecuație (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) una dintre expresiile dintre paranteze va fi egală cu 0, apoi întreaga ecuație va fi egală cu 0. Prin urmare, o putem scrie astfel: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) și x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (adică ați găsit două rădăcini ale ecuației).
      • Exemplu (utilizați formula sau pătratul complet). Când utilizați una dintre aceste metode, va apărea o rădăcină pătrată în procesul de soluție. De exemplu, ecuația din exemplul nostru va lua forma x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Amintiți-vă că atunci când luați rădăcina pătrată, veți obține două soluții. În cazul nostru: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), și 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Deci scrieți două ecuații și găsiți două valori x.

   7. Graficele se intersectează într-un punct sau nu se intersectează deloc. Astfel de situații apar atunci când sunt îndeplinite următoarele condiții:

      • Dacă graficele se intersectează într-un punct, atunci ecuația pătratică este descompusă în factori egali, de exemplu, (x-1) (x-1) = 0, iar rădăcina pătrată a lui 0 apare în formula ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). În acest caz, ecuația are o singură soluție.
      • Dacă graficele nu se intersectează deloc, atunci ecuația nu se factorizează și rădăcina pătrată a unui număr negativ apare în formulă (de exemplu, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). În acest caz, scrieți în răspuns că nu există soluție.

Puncte critice sunt punctele în care derivata funcției este egală cu zero sau nu există. Dacă derivata este 0, atunci funcția în acel punct ia minim sau maxim local. Pe grafic în astfel de puncte, funcția are o asimptotă orizontală, adică tangenta este paralelă cu axa Ox.

Se numesc astfel de puncte staționar. Dacă vedeți o „cocoașă” sau „găuri” pe o diagramă cu funcții continue, amintiți-vă că maximul sau minimul este atins în punctul critic. Luați în considerare următoarea sarcină ca exemplu.

Exemplul 1 Aflați punctele critice ale funcției y=2x^3-3x^2+5 .
Decizie. Algoritmul pentru găsirea punctelor critice este următorul:

Deci funcția are două puncte critice.

În plus, dacă trebuie să studiați funcția, atunci determinăm semnul derivatei la stânga și la dreapta punctului critic. Dacă derivata își schimbă semnul de la „-” la „+” atunci când trece printr-un punct critic, atunci funcția ia minim local. Dacă de la „+” la „-” ar trebui maxim local.

Al doilea tip de puncte critice acestea sunt zerourile numitorului funcțiilor fracționale și iraționale

Funcții cu logaritmi și trigonometrie care nu sunt definite în aceste puncte


Al treilea tip de puncte critice au funcții și module continue pe bucăți.
De exemplu, orice funcție-modul are un minim sau maxim la un punct de întrerupere.

De exemplu, modulul y = | x -5 | în punctul x = 5 are un minim (punct critic).
Derivata nu există în ea, dar în dreapta și în stânga ia valoarea 1 și respectiv -1.

Încercați să identificați punctele critice ale funcțiilor

1)
2)
3)
4)
5)

Dacă ca răspuns primești valoarea
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
atunci știi deja cum să găsiți punctele criticeși să poată face față unui simplu control sau teste.

Aceasta este a doua parte a articolului meu dedicată geometriei computaționale. Cred că acest articol va fi mai interesant decât cel precedent, deoarece puzzle-urile vor fi puțin mai dificile.

Să începem cu poziția relativă a unui punct față de o dreaptă, o rază și un segment.

Sarcina 1

Determinați poziția relativă a punctului și a dreptei: se află deasupra dreptei, pe linie, sub linie.

Decizie
Este clar că dacă linia dreaptă este dată de ecuația sa ax + by + c = 0, atunci nu este nimic de rezolvat aici. Este suficient să înlocuiți coordonatele punctului în ecuația unei drepte și să verificați cu ce este egal. Dacă este mai mare decât zero, atunci punctul se află în semiplanul superior, dacă este egal cu zero, atunci punctul este pe linie, iar dacă este mai mic decât zero, atunci punctul se află în semiplanul inferior. Mai interesant este cazul când linia este dată, dată de coordonatele a două puncte, să le numim P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2). În acest caz, se pot găsi în siguranță coeficienții a, b și c și se pot aplica raționamentul anterior. Dar mai întâi trebuie să ne gândim, avem nevoie de el? Desigur că nu! După cum am spus, produsul skew este doar o bijuterie a geometriei computaționale. Să-l aplicăm. Se știe că produsul oblic al doi vectori este pozitiv dacă rotația de la primul vector la al doilea este în sens invers acelor de ceasornic, egal cu zero dacă vectorii sunt coliniari și negativ dacă rotația este în sensul acelor de ceasornic. Prin urmare, este suficient să calculăm produsul de asimetrie al vectorilor P 1 P 2 și P 1 M și să tragem o concluzie pe baza semnului său.

Sarcina #2

Determinați dacă un punct aparține unei raze.

Decizie
Să ne amintim ce este o rază: o rază este o dreaptă mărginită de un punct pe o parte și infinită pe cealaltă. Adică, raza este dată de un punct de plecare și de orice punct situat pe ea. Fie punctul P 1 (x 1 , y 1) să fie începutul razei și P 2 (x 2 , y 2) orice punct aparținând razei. Este clar că dacă un punct aparține unei raze, atunci aparține și dreptei care trece prin aceste puncte, dar nu invers. Prin urmare, apartenența la o linie este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru apartenența la o rază. Prin urmare, nu putem evita verificarea produsului oblic. Pentru o condiție suficientă, este de asemenea necesar să se calculeze produsul scalar al acelorași vectori. Dacă este mai mic decât zero, atunci punctul nu aparține razei; dacă nu este negativ, atunci punctul se află pe rază. De ce este asta? Să ne uităm la desen.

Deci, pentru ca punctul M(x, y) să se afle pe rază cu punctul inițial P 1 (x 1 , y 1), unde P 2 (x 2 , y 2) se află pe rază, este necesar și suficient pentru a îndeplini două condiții:

2. (P 1 P 2 , P 1 M) ≥ 0 este produsul scalar (punctul se află pe rază)

Sarcina #3

Determinați dacă un punct aparține unui segment.

Decizie
Fie punctele P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2) capetele segmentului dat. Din nou, o condiție necesară pentru ca un punct să aparțină unui segment este apartenența acestuia la o dreaptă care trece prin P 1 , P 2 . În continuare, trebuie să stabilim dacă punctul se află între punctele P 1 și P 2 , pentru aceasta suntem ajutați de produsul scalar al vectorilor doar de data aceasta alții: (MP 1 , MP 2). Dacă este mai mic sau egal cu zero, atunci punctul se află pe segment, altfel este în afara segmentului. De ce este asta? Să ne uităm la poză.

Deci, pentru ca punctul M(x, y) să se afle pe un segment cu capete P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2) este necesar și suficient să se îndeplinească condițiile:
1. \u003d 0 - produs oblic (punctul se află pe linie)
2. (MP 1 ,MP 2) ≤ 0 – produs punctual (punctul se află între P 1 și P 2)

Sarcina #4

Poziția relativă a două puncte față de o dreaptă.

Decizie
În această problemă, este necesar să se determine două puncte pe una sau pe laturile opuse ale unei linii drepte.

Dacă punctele sunt pe laturile opuse ale unei linii drepte, atunci produsele oblice au semne diferite, ceea ce înseamnă că produsul lor este negativ. Dacă punctele se află pe aceeași parte față de linia dreaptă, atunci semnele produselor oblice coincid, ceea ce înseamnă că produsul lor este pozitiv.
Asa de:
1. * < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. * > 0 – punctele se află pe aceeași parte.
3. * = 0 - unul (sau două) dintre puncte se află pe o linie dreaptă.

Apropo, problema determinării prezenței unui punct de intersecție a unei drepte și a unui segment este rezolvată exact în același mod. Mai precis, aceasta este aceeași problemă: un segment și o linie dreaptă se intersectează atunci când capetele segmentului sunt pe laturi diferite față de linia dreaptă sau când capetele segmentului se află pe linie dreaptă, adică este necesar pentru a necesita * ≤ 0.

Sarcina #5

Determinați dacă două drepte se intersectează.

Decizie
Vom presupune că liniile nu coincid. Este clar că liniile nu se intersectează doar dacă sunt paralele. Prin urmare, după ce am găsit condiția paralelismului, putem determina dacă liniile se intersectează.
Să presupunem că dreptele sunt date de ecuațiile lor a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 și a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Atunci condiția pentru drepte paralele este ca a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0.
Dacă liniile sunt date de punctele P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2), M 1 (x 3, y 3), M 2 (x 4, y 4), atunci condiția căci paralelismul lor constă în verificarea produsului oblic al vectorilor P 1 P 2 și M 1 M 2: dacă este egal cu zero, atunci liniile sunt paralele.

În general, când liniile sunt date de ecuațiile lor, verificăm și produsul de asimetrie al vectorilor (-b 1 , a 1), (-b 2 , a 2) care se numesc vectori de direcție.

Sarcina #6

Determinați dacă două segmente de linie se intersectează.

Decizie
Aceasta este sarcina care îmi place foarte mult. Segmentele se intersectează atunci când capetele fiecărui segment se află pe laturile opuse ale celuilalt segment. Să ne uităm la poză:

Deci, trebuie să verificăm că capetele fiecărui segment se află pe laturile opuse ale capetelor relative ale celuilalt segment. Folosim produsul oblic al vectorilor. Uită-te la prima imagine: > 0,< 0 => * < 0. Аналогично
* < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Prin urmare, trebuie să mai facem o verificare, și anume: dacă cel puțin un capăt al fiecărui segment aparține altuia (aparținând unui punct al unui segment). Am rezolvat deja această problemă.

Deci, pentru ca segmentele să aibă puncte comune, este necesar și suficient:
1. Capetele segmentelor se află pe laturi diferite față de alt segment.
2. Cel puțin unul dintre capetele unui segment aparține altui segment.

Sarcina #7

Distanța de la un punct la o linie.

Decizie
Fie linia dată de două puncte P 1 (x 1, y 1) și P 2 (x 2, y 2).

În articolul anterior, am vorbit despre faptul că produsul oblic geometric este aria orientată a paralelogramului, deci S P 1 P 2 M = 0,5*. Pe de altă parte, fiecare elev cunoaște formula pentru găsirea ariei unui triunghi: jumătate din bază ori înălțimea.
S P 1 P 2 M \u003d 0,5 * h * P 1 P 2.
Echivalând aceste zone, găsim

Modulo a fost luat pentru că prima zonă este orientată.

Dacă dreapta este dată de ecuația ax + by + c = 0, atunci ecuația dreptei care trece prin punctul M perpendicular pe dreapta dată este: a (y - y 0) - b (x - x 0) = 0. Acum puteți rezolva cu ușurință sistemul din ecuațiile obținute, găsiți punctul lor de intersecție și calculați distanța de la punctul de plecare până la cel găsit: va fi exact ρ = (ax 0 + by 0 + c) / √ (a 2 + b 2).

Sarcina #8

Distanța de la punct la fascicul.

Decizie
Această problemă diferă de cea anterioară prin faptul că în acest caz se poate întâmpla, astfel încât perpendiculara din punct să nu cadă pe rază, ci să cadă pe continuarea ei.

În cazul în care perpendiculara nu cade pe rază, este necesar să se găsească distanța de la punctul până la începutul razei - acesta va fi răspunsul la problemă.

Cum să determinați dacă perpendiculara cade pe rază sau nu? Dacă perpendiculara nu cade pe rază, atunci unghiul MP ​​1 P 2 este obtuz, în caz contrar este acut (drept). Prin urmare, prin semnul produsului scalar al vectorilor, putem determina dacă perpendiculara cade pe rază sau nu:
1. (P 1 M, P 1 P 2)< 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P 1 M, P 1 P 2) ≥ 0 perpendiculara lovește raza

Sarcina #9

Distanța de la un punct la o linie.

Decizie
Argumentăm similar cu problema anterioară. Dacă perpendiculara nu cade pe segment, atunci răspunsul este minimul distanțelor de la punctul dat până la capetele segmentului.

Pentru a determina dacă perpendiculara cade pe segment, este necesar, prin analogie cu sarcina anterioară, să se utilizeze produsul scalar al vectorilor. Dacă perpendiculara nu cade pe segment, atunci fie unghiul MP ​​1 P 2, fie unghiul MP ​​2 P 1 va fi obtuz. Prin urmare, prin semnul produselor scalare, putem determina dacă perpendiculara cade pe segment sau nu:
Dacă (P 1 M, P 1 P 2)< 0 или (P 2 M, P 2 P 1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Sarcina #10

Determinați numărul de puncte de pe o dreaptă și un cerc.

Decizie
O linie și un cerc pot avea zero, unul sau două puncte de intersecție. Să ne uităm la poze:

Aici, din desene, totul este clar. Avem două puncte de intersecție dacă distanța de la centrul cercului la linie este mai mică decât raza cercului. Un punct de contact dacă distanța de la centru la linie este egală cu raza. Și, în sfârșit, niciun punct de intersecție dacă distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mare decât raza cercului. Deoarece problema găsirii distanței de la un punct la o dreaptă a fost deja rezolvată de noi, a fost rezolvată și această problemă.

Sarcina #11

Dispunerea reciprocă a două cercuri.

Decizie
Cazuri posibile de aranjare a cercurilor: intersectează, atinge, nu se intersectează.

Luați în considerare cazul în care cercurile se intersectează și găsiți aria intersecției lor. Îmi place foarte mult această problemă, pentru că am petrecut destul de mult timp pentru a o rezolva (a fost cu mult timp în urmă - în primul an).

Să ne amintim acum ce sunt un sector și un segment.

Intersecția cercurilor este formată din două segmente O 1 AB și O 2 AB.

S-ar părea că este necesar să adunăm zonele acestor segmente și atât. Totuși, totul nu este atât de simplu. De asemenea, este necesar să se determine dacă aceste formule sunt întotdeauna adevărate. Se dovedește că nu!

Luați în considerare cazul în care centrul celui de-al doilea cerc O 2 coincide cu punctul C. În acest caz, d 2 = 0, și luăm α = π pentru valoarea lui α. În acest caz, avem un semicerc cu aria 1/2 πR 2 2 .

Acum considerăm cazul în care centrul celui de-al doilea cerc O 2 se află între punctele O 1 și C. În acest caz, obținem o valoare negativă a d 2 . Folosind o valoare negativă a d 2 rezultă o valoare negativă a α. În acest caz, este necesar să adăugați 2π la α pentru răspunsul corect.

Concluzie

Asta e. Nu am luat în considerare toate, dar cele mai comune probleme de geometrie computațională referitoare la poziția relativă a obiectelor.

Sper ca ti-a placut.

Domeniul unei funcții, calculați derivata acesteia, găsiți domeniul derivatei unei funcții, găsiți puncte conversia derivatei la zero, dovediți că punctele găsite aparțin domeniului de definire a funcției inițiale.

Exemplul 1 Identificați critice puncte funcțiile y = (x - 3)² (x-2).

SoluțieAflați domeniul funcției, în acest caz nu există restricții: x ∈ (-∞; +∞); Calculați derivata y’. Conform regulilor de diferențiere a produsului a doi, există: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 2) 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. După aceea, se obține o ecuație pătratică: y ' \u003d 3 x² - 16 x + 21.

Aflați domeniul derivatei funcției: x ∈ (-∞; +∞) Rezolvați ecuația 3 x² - 16 x + 21 = 0 pentru a afla pentru care dispare: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Deci, derivata dispare pentru valorile x egale cu 3 și 7/3.

Stabiliți dacă cele găsite aparțin puncte domeniile funcţiei originale. Deoarece x (-∞; +∞), atunci ambele puncte sunt critice.

Exemplul 2 Identificați critice puncte funcțiile y = x² - 2/x.

Rezolvare Domeniul funcției: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) deoarece x este la numitor Calculați derivata y’ = 2 x + 2/x².

Domeniul derivatei funcției este același cu cel al originalului: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Rezolvați ecuația 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -unu.

Deci, derivata dispare la x = -1. Este îndeplinită o condiție de criticitate necesară, dar insuficientă. Deoarece x=-1 se încadrează în intervalul (-∞; 0) ∪ (0; +∞), acest punct este critic.

Surse:

• Volum critic de vânzări, prag buc

Multe femei suferă de sindrom premenstrual, care se manifestă nu numai prin senzații dureroase, ci și prin creșterea apetitului. Drept urmare, zilele critice pot încetini semnificativ procesul de pierdere în greutate.

Cauzele creșterii apetitului în zilele critice

Motivul creșterii apetitului în perioada zilelor critice este o schimbare a fondului hormonal general în corpul feminin. Cu câteva zile înainte de debutul menstruației, nivelul hormonului progesteron crește, organismul se adaptează la posibil și încearcă să facă rezerve de energie suplimentare sub formă de grăsime corporală, chiar dacă femeia stă în șezut. Astfel, o modificare a greutății în zilele critice este un fenomen normal.

Cum să mănânci în timpul menstruației

Încercați să nu mâncați dulciuri, dulciuri și alte alimente bogate în calorii care conțin „rapid” în aceste zile. Excesul lor se va depune imediat în grăsime. Multe femei în această perioadă își doresc foarte mult să mănânce ciocolată, în acest caz puteți cumpăra ciocolată neagră și vă puteți răsfăța cu câteva felii, dar nu mai mult. În timpul menstruației, nu trebuie să consumați băuturi alcoolice, marinate, murături, carne afumată, semințe și nuci. Murăturile și carnea afumată ar trebui în general limitate în dietă cu 6-8 zile înainte de debutul menstruației, deoarece astfel de produse cresc rezervele de apă din organism, iar această perioadă se caracterizează printr-o creștere a acumulării de lichide. Pentru a reduce cantitatea de sare din dietă, adăugați-o într-o cantitate minimă la mesele gata.

Se recomandă utilizarea produselor lactate cu conținut scăzut de grăsimi, alimente vegetale, cereale. Leguminoasele, cartofii fierți, orezul vor fi utile - produse care conțin carbohidrați „lenti”. Fructele de mare, ficatul, peștele, carnea de vită, carnea de pasăre, ouăle, leguminoasele, fructele uscate vor ajuta la refacerea pierderilor de fier. Tarate de grau vor fi de folos. Umflarea este o reacție naturală în timpul menstruației. Ierburile diuretice ușoare vor ajuta la corectarea stării: busuioc, mărar, pătrunjel, țelină. Ele pot fi folosite ca condiment. În a doua jumătate a ciclului se recomandă consumul de produse proteice (carnuri și pește slabe, lactate), iar cantitatea de carbohidrați din dietă trebuie redusă cât mai mult.

Conceptul economic de volum critic vânzări corespunde poziției întreprinderii pe piață, în care veniturile din vânzarea mărfurilor sunt minime. Această situație se numește pragul de rentabilitate, când cererea de produse scade și profiturile abia acoperă costul. Pentru a determina volumul critic vânzări utilizați mai multe metode.

Instruire

Ciclul de lucru nu se limitează la activitățile sale - producție sau servicii. Aceasta este o lucrare complexă a unei anumite structuri, inclusiv munca personalului cheie, personalului de conducere, managerilor etc., precum și a economiștilor, a căror sarcină este analiza financiară a întreprinderii.

Scopul acestei analize este de a calcula unele cantități care, într-o măsură sau alta, afectează mărimea profitului final. Acestea sunt diverse tipuri de volume de producție și vânzări, total și mediu, indicatori de cerere etc. Sarcina principală este identificarea unui astfel de volum de producție la care se stabilește o relație stabilă între costuri și profit.

Volumul minim vânzări, la care venitul acoperă integral costurile, dar nu mărește capitalul propriu al companiei, se numește volum critic vânzări. Există trei metode de calculare a metodei acestui indicator: metoda ecuațiilor, venitul marginal și graficul.

Pentru a determina volumul critic vânzări conform primei metode, faceți o ecuație de forma: Vp - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, unde: Vp - venit din vânzăriși ; Zper și Zpos - costuri variabile și fixe; Pp - profit din vânzăriși.

Conform unei alte metode, primul termen, venituri din vânzări, reprezintă produsul venitului marginal dintr-o unitate de mărfuri cu volumul vânzări Același lucru este valabil și pentru costurile variabile. Costurile fixe se aplică întregului lot de mărfuri, așa că lăsați această componentă comună: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Exprimați valoarea lui N din această ecuație și obțineți volumul critic vânzări:N = Zpos / (MD - Zper1), unde Zper1 - costuri variabile pe unitate de marfă.

Metoda grafică presupune construcția. Desenați două linii pe planul de coordonate: funcția de venituri din vânzări minus atât funcția de cost, cât și cea de profit. Pe axa x, graficați volumul producției, iar pe axa y, venitul din cantitatea corespunzătoare de mărfuri, exprimat în unități monetare. Punctul de intersecție al acestor linii corespunde volumului critic vânzări, poziția pragului de rentabilitate.

Surse:

• cum să identifici munca critică

Gândirea critică este un set de judecăți pe baza cărora se formează anumite concluzii și se face o evaluare a obiectelor criticii. Este caracteristic în special cercetătorilor și oamenilor de știință din toate ramurile științei. Gândirea critică ocupă un nivel mai înalt decât gândirea obișnuită.

Valoarea experienței în formarea gândirii critice

Este dificil să analizezi și să tragi concluzii despre ceea ce ești slab versat. Prin urmare, pentru a învăța să gândim critic, este necesar să studiem obiectele în toate conexiunile și relațiile posibile cu alte fenomene. Și, de asemenea, de mare importanță în acest caz este deținerea de informații despre astfel de obiecte, capacitatea de a construi lanțuri logice de judecăți și de a trage concluzii rezonabile.

De exemplu, se poate judeca valoarea unei opere de artă doar cunoscând destul de multe alte fructe ale activității literare. În același timp, nu este rău să fii un expert în istoria dezvoltării umane, formarea literaturii și criticii literare. Izolată de contextul istoric, opera își poate pierde sensul. Pentru ca evaluarea unei opere de artă să fie suficient de completă și justificată, este, de asemenea, necesar să vă folosiți cunoștințele literare, care includ regulile de construire a unui text literar în cadrul genurilor individuale, un sistem de diverse dispozitive literare, clasificare și analiză. a stilurilor și tendințelor existente în literatură etc. În același timp, este, de asemenea, important să studiem logica internă a intrigii, succesiunea acțiunilor, plasarea și interacțiunea personajelor într-o operă de artă.

Caracteristicile gândirii critice

Alte caracteristici ale gândirii critice includ:
- cunoașterea obiectului studiat este doar punctul de plecare pentru continuarea activității cerebrale legate de construcția lanțurilor logice;
- raționamentul construit consecvent și bazat pe bunul simț duce la identificarea informațiilor adevărate și eronate despre obiectul studiat;
- gândirea critică este întotdeauna asociată cu evaluarea informațiilor disponibile despre un anumit obiect și concluziile corespunzătoare, în timp ce evaluarea, la rândul ei, este asociată cu abilitățile existente.

Spre deosebire de gândirea obișnuită, gândirea critică nu este supusă unei credințe oarbe. Gândirea critică permite utilizarea unui întreg sistem de judecăți cu privire la obiectul criticii pentru a înțelege esența acestuia, a dezvălui cunoștințele adevărate despre acesta și a respinge cele false. Se bazează pe logica, profunzimea și completitudinea studiului, veridicitatea, adecvarea și consistența judecăților. În același timp, afirmațiile evidente și dovedite sunt acceptate ca postulate și nu necesită dovezi și evaluări repetate.