modul sau valoare absolută un număr real se numește numărul însuși, dacă X este nenegativ, iar numărul opus, i.e. -x dacă X negativ:

Evident, dar prin definiție, |x| > 0. Sunt cunoscute următoarele proprietăți ale valorilor absolute:

• 1) hu| = |dg| |r/1;
• 2>-H;

Lala

• 3) |x+r/|
• 4) |dt-g/|

Modulul de diferență a două numere X - A| este distanța dintre puncte Xși A pe linia numerică (pentru orice Xși A).

De aici rezultă, în special, că soluţiile inegalităţii X - A 0) sunt toate puncte X interval (A- g, a + c), adică numere care satisfac inegalitatea anunț + G.

Un astfel de interval (A- 8, A+ d) se numește vecinătatea 8 a punctului A.

Proprietățile de bază ale funcțiilor

După cum am afirmat deja, toate mărimile din matematică sunt împărțite în constante și variabile. Valoare constantă se numeste o cantitate care pastreaza aceeasi valoare.

variabil este o cantitate care poate lua diverse valori numerice.

Definiția 10.8. variabil la numit funcţie a variabilei x, dacă, după o regulă, fiecare valoare a lui x e X atribuită o anumită valoare la eu; variabila independentă x este de obicei numită argument și domeniul de aplicare X modificarea sa se numește sfera funcției.

Faptul că la există o funcție otx, cel mai adesea exprimată în notație simbolică: la= /(x).

Există mai multe moduri de a defini funcțiile. Trei sunt considerate a fi principalele: analitice, tabelare și grafice.

Analitic cale. Aceasta metoda consta in stabilirea relatiei dintre argument (variabila independenta) si functie sub forma unei formule (sau formule). De obicei /(x) este o expresie analitică care conține x. În acest caz, se spune că funcția este definită printr-o formulă, de exemplu, la= 2x + 1, la= tgx etc.

Tabular Modul în care este definită o funcție este că funcția este dată de un tabel care conține valorile argumentului x și valorile corespunzătoare ale funcției f(.r). Exemple sunt tabele cu numărul de infracțiuni pentru o anumită perioadă, tabele de măsurători experimentale, un tabel de logaritmi.

Grafic cale. Fie dat pe plan un sistem de coordonate dreptunghiulare carteziene ho. Interpretarea geometrică a funcției se bazează pe următoarele.

Definiția 10.9. programa funcția se numește locul punctelor planului, coordonatele (x, y) care indeplinesc conditia: w-ah).

Se spune că o funcție este dată grafic dacă este desenat graficul ei. Metoda grafică este utilizată pe scară largă în măsurători experimentale folosind dispozitive de auto-înregistrare.

Având în fața ochilor un grafic vizual al funcțiilor, nu este greu să-ți imaginezi multe dintre proprietățile sale, ceea ce face din grafic un instrument indispensabil pentru studierea unei funcții. Prin urmare, trasarea este cea mai importantă parte (de obicei finală) a studiului funcției.

Fiecare metodă are atât avantajele, cât și dezavantajele sale. Deci, avantajele metodei grafice includ vizibilitatea acesteia, dezavantajele - inexactitatea și prezentarea limitată.

Să ne întoarcem acum la considerarea principalelor proprietăți ale funcțiilor.

Par si impar. Funcţie y = f(x) numit chiar, dacă pentru oricare X conditia f(-x) = f(x). Dacă pentru X din domeniul definiției, condiția f(-x) = -/(x) este îndeplinită, atunci funcția se numește ciudat. O funcție care nu este pară sau impară se numește funcție vedere generala.

• 1) y = x 2 este o funcție uniformă, deoarece f(-x) = (-x) 2 = x 2, adică/(-x) =/(.r);
• 2) y= x 3 - funcție impară, deoarece (-x) 3 \u003d -x 3, t.s. /(-x) = -/(x);
• 3) y= x 2 + x este o funcție generală. Aici / (x) \u003d x 2 + x, / (-x) \u003d (-x) 2 +
• (-x) \u003d x 2 - x, / (-x) * / (x); / (-x) - / "/ (-x).

Graficul unei funcții pare este simetric în raport cu axa Oh, iar graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Monoton. Funcţie la=/(x) se numește crescând intre X, dacă pentru orice x, x 2 e X din inegalitatea x 2 > x rezultă / (x 2) > / (x,). Funcţie la=/(x) se numește in scadere, dacă din x 2 > x, rezultă / (x 2) (x,).

Funcția este numită monoton intre X, dacă fie crește pe tot acest interval, fie scade peste el.

De exemplu, funcția y= x 2 scade cu (-°°; 0) și crește cu (0; +°°).

Rețineți că am dat definiția unei funcții monotone în sens strict. În general, funcțiile monotone includ funcții nedescrescătoare, adică. cele pentru care din x 2 > x, rezultă / (x 2) > / (x,), și funcții necrescătoare, i.e. cele pentru care din x 2 > x rezultă / (x 2)

Prescripţie. Funcţie la=/(x) se numește limitat intre X, dacă există un astfel de număr M > 0 astfel încât |/(x)| M pentru orice x e X.

De exemplu, funcția la =-

mărginit pe întreaga linie numerică, deci

Periodicitate. Funcţie la = f(x) numit periodic dacă există un astfel de număr T^ O ce f(x + T = f(x) pentru toți X din sfera funcției.

În acest caz T se numeste perioada functiei. Evident dacă T - perioada de functionare y = f(x), atunci perioadele acestei funcții sunt de asemenea 2T, 3 T etc. Prin urmare, de obicei, perioada unei funcții este cea mai mică perioadă pozitivă (dacă există). De exemplu, funcțiile / = cos.r are o perioadă T= 2P, si functia y= tg Zx - perioadă p/3.

Scopul tău:

cunoașteți clar definiția modulului unui număr real;

să înțeleagă interpretarea geometrică a modulului unui număr real și să o poată aplica în rezolvarea problemelor;

cunoaște proprietățile modulului și poate aplica în rezolvarea problemelor;

să poată înțelege distanța dintre două puncte ale unei drepte de coordonate și să o poată folosi în rezolvarea problemelor.

informații de intrare

Conceptul de modul al unui număr real. Modulul unui număr real se numește acest număr însuși, dacă , iar numărul opus acestuia, dacă< 0.

Modulul unui număr se notează și se notează:

Interpretarea geometrică a modulului . Geometric modulul unui număr real este distanța de la punctul care reprezintă numărul dat pe linia de coordonate până la origine.

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu module pe baza semnificației geometrice a modulului. Folosind conceptul de „distanță între două puncte ale unei linii de coordonate”, se pot rezolva ecuații de formă sau inegalități de formă, unde oricare dintre semne poate fi folosit în locul semnului.

Exemplu. Să rezolvăm ecuația.

Decizie. Să reformulam problema geometric. Deoarece este distanța pe linia de coordonate dintre punctele cu coordonate și , înseamnă că este necesar să se găsească coordonatele acestor puncte, distanța de la care până la punctele cu coordonata 1 este egală cu 2.

Pe scurt, pe linia de coordonate, găsiți setul de coordonate de puncte, distanța de la care până la punctul cu coordonata 1 este egală cu 2.

Să rezolvăm această problemă. Marcam un punct pe linia de coordonate, a cărui coordonată este egală cu 1 (Fig. 6). Punctele ale căror coordonate sunt egale cu -1 și 3 sunt îndepărtate două unități din acest punct. Prin urmare, setul dorit de coordonate de puncte este o mulțime formată din numere -1 și 3.

Raspunsul 1; 3.

Cum să găsiți distanța dintre două puncte de pe o linie de coordonate. Un număr care exprimă distanța dintre puncte și , numită distanţa dintre numere şi .

Pentru oricare două puncte și o linie de coordonate, distanța

.

Proprietățile de bază ale modulului unui număr real:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

Când avem:

11. atunci numai când sau ;

12. atunci numai când ;

13. atunci numai când sau ;

14. atunci numai când ;

11. atunci numai când .

Partea practică

Exercitiul 1. Luați o foaie goală și scrieți pe ea răspunsurile la aceste exerciții orale de mai jos.

Verifică-ți răspunsurile cu răspunsurile sau instrucțiunile scurte plasate la sfârșitul elementului de învățare sub titlul „Ajutorul tău”.

1. Extindeți semnul modulului:

a) ||–5|; b) |5|; c) |0|; d) |p|.

2. Compara numerele:

a) || și -; c) |0| și 0; e) – |–3| și -3; g) –4| A| și 0;

b) |–p| și p; d) |–7,3| și -7,3; f) | A| și 0; h) 2| A| și |2 A|.

3. Cum, folosind semnul modulului, să scrieți cel puțin unul dintre numere A, b sau cu diferit de zero?

4. Cum să folosiți semnul egal pentru a scrie că fiecare dintre numere A, bși cu egal cu zero?

5. Aflați valoarea expresiei:

a) | A| – A; b) A + |A|.

6. Rezolvați ecuația:

a) | X| = 3; c) | X| = -2; e) |2 X– 5| = 0;

b) | X| = 0; d) | X– 3| = 4; f) |3 X– 7| = – 9.

7. Ce se poate spune despre numere Xși la, dacă:

a) | X| = X; b) | X| = –X; c) | X| = |la|?

8. Rezolvați ecuația:

a) | X– 2| = X– 2; c) | X– 3| =|7 – X|;

b) | X– 2| = 2 – X; d) | X– 5| =|X– 6|.

9. Ce se poate spune despre număr la dacă egalitatea este valabilă:

a) i Xï = la; b) i Xï = – la ?

10. Rezolvați inegalitatea:

a) | X| > X; c) | X| > –X; e) | X| £ X;

b) | X| ³ X; d) | X| ³ – X; f) | X| £ – X.

11. Enumerați toate valorile a pentru care egalitatea este valabilă:

a) | A| = A; b) | A| = –A; în) A – |–A| =0; d) | A|A= –1; e) = 1.

12. Găsiți toate valorile b, pentru care este valabilă următoarea inegalitate:

a) | b| ³ 1; b) | b| < 1; в) |b| 0 GBP; d) | b| ³ 0; e) 1< |b| < 2.

Este posibil să fi întâlnit unele dintre următoarele teme la cursurile de matematică. Decideți care dintre următoarele sarcini trebuie să finalizați. În caz de dificultate, consultați secțiunea „Asistentul dumneavoastră”, pentru sfaturi de la un profesor sau pentru ajutor de la un prieten.

Sarcina 2. Pe baza definiției modulului unui număr real, rezolvați ecuația:

Sarcina 4. Distanța dintre punctele care reprezintă numere reale α și β pe linia de coordonate, este egal cu | α – β |. Utilizați aceasta pentru a rezolva ecuația.

La școală, la lecția de matematică în fiecare an, elevii analizează subiecte noi. Clasa a 6-a studiază de obicei modulul unui număr - acesta este un concept important în matematică, lucru cu care se găsește mai târziu în algebră și matematică superioară. Este foarte important să înțelegeți inițial corect explicația termenului și să înțelegeți acest subiect pentru a trece cu succes alte subiecte.

Pentru început, trebuie înțeles că valoarea absolută este un parametru în statistică (măsurat cantitativ), care caracterizează fenomenul studiat în ceea ce privește volumul său. În acest caz, fenomenul trebuie să se desfășoare într-un anumit interval de timp și cu o anumită locație. Distinge valorile:

• rezumat - potrivit pentru un grup de unitati sau intreaga populatie;
• individ - potrivit numai pentru lucrul cu o unitate dintr-o anumită populație.

Conceptele sunt utilizate pe scară largă în măsurătorile statistice, al căror rezultat sunt indicatori care caracterizează dimensiunile absolute ale fiecărei unități a unui anumit fenomen. Ele sunt măsurate în doi indicatori: naturali, adică. unități fizice (piese, oameni) și condiționat natural. Un modul de matematică este un afișaj al acestor indicatori.

Care este modulul unui număr?

Important! Această definiție a „modulului” este tradusă din latină ca „măsură” și înseamnă valoarea absolută a oricărui număr natural.

Dar acest concept are și o explicație geometrică, deoarece modulul în geometrie este egal cu distanța de la originea sistemului de coordonate până la punctul X, care se măsoară în unitățile de măsură obișnuite.

Pentru a determina acest indicator pentru un număr, nu trebuie să țineți cont de semnul său (minus, plus), dar trebuie amintit că nu poate fi niciodată negativ. Această valoare pe hârtie este evidențiată grafic sub formă de paranteze drepte - |a|. În acest caz, definiția matematică este:

|x| = x dacă x este mai mare sau egal cu zero și -x dacă este mai mic decât zero.

Omul de știință englez R. Kotes a fost persoana care a aplicat prima dată acest concept în calculele matematice. Dar K. Weierstrass, un matematician din Germania, a inventat și a pus în uz un simbol grafic.

În geometria modulului, putem lua în considerare exemplul unei linii de coordonate, pe care sunt trasate 2 puncte arbitrare. Să presupunem că unul - A are o valoare de 5, iar al doilea B - 6. După un studiu detaliat al desenului, va deveni clar că distanța de la A la B este de 5 unități de la zero, adică. origine, iar punctul B este situat la 6 unități de origine. Putem concluziona că punctele modulului, A = 5, și punctele B = 6. Grafic, aceasta poate fi notat astfel: | 5 | = 5. Adică distanța de la punct la origine este modulul punctului dat.

Video util: care este modulul unui număr real?

Proprietăți

Ca orice concept matematic, modulul are propriile sale proprietăți matematice:

1. Este întotdeauna pozitiv, deci modulul unei valori pozitive este el însuși, de exemplu, modulul lui 6 și -6 este 6. Matematic, această proprietate poate fi scrisă ca |a| = a, pentru a> 0;
2. Indicatorii numerelor opuse sunt egali între ei. Această proprietate este mai clară într-o prezentare geometrică, deoarece pe o linie dreaptă aceste numere sunt situate în locuri diferite, dar în același timp sunt separate de origine printr-un număr egal de unități. Matematic, aceasta se scrie astfel: |a| = |-a|;
3. Modulul lui zero este zero, cu condiția ca numărul real să fie zero. Această proprietate este susținută de faptul că zero este originea. Grafic, aceasta se scrie astfel: |0| = 0;
4. Dacă doriți să găsiți modulul a două cifre de înmulțire, ar trebui să înțelegeți că acesta va fi egal cu produsul rezultat. Cu alte cuvinte, produsul cantităților A și B = AB, cu condiția ca acestea să fie pozitive sau negative, și atunci produsul este egal cu -AB. Grafic, aceasta poate fi scrisă ca |A*B| = |A| * |B|.

Rezolvarea cu succes a ecuațiilor cu modul depinde de cunoașterea acestor proprietăți, ceea ce va ajuta pe oricine să calculeze și să lucreze corect cu acest indicator.

Proprietăți modul

Important! Exponentul nu poate fi negativ deoarece definește distanța, care este întotdeauna pozitivă.

În ecuații

În cazul lucrării și rezolvării inegalităților matematice în care este prezent modulul, este întotdeauna necesar să rețineți că pentru a obține rezultatul final corect, ar trebui să deschideți parantezele, adică. modul semn deschis . Adesea, acesta este sensul ecuației.

Merită să ne amintim că:

• dacă o expresie este scrisă între paranteze drepte, trebuie rezolvată: |A + 5| \u003d A + 5, când A este mai mare sau egal cu zero și 5-A, în cazul lui A mai mic decât zero;
• parantezele pătrate de cele mai multe ori trebuie extinse indiferent de valorile variabilei, de exemplu, dacă expresia din pătrat este cuprinsă între paranteze, deoarece extinderea va fi oricum un număr pozitiv.

Este foarte ușor să rezolvi ecuații cu modul introducând valori în sistemul de coordonate, deoarece atunci este ușor să vezi vizual valorile și indicatorii acestora.

Video util: modulul numărului real și proprietățile acestuia

Concluzie

Principiul înțelegerii unui astfel de concept matematic ca modul este extrem de important, deoarece este folosit în matematica superioară și în alte științe, așa că trebuie să puteți lucra cu el.

In contact cu

În acest articol, vom analiza în detaliu valoarea absolută a unui număr. Vom da diverse definiții ale modulului unui număr, vom introduce notația și vom oferi ilustrații grafice. În acest caz, luăm în considerare diverse exemple de găsire a modulului unui număr prin definiție. După aceea, enumerăm și justificăm principalele proprietăți ale modulului. La sfârșitul articolului, vom vorbi despre modul în care este determinat și găsit modulul unui număr complex.

Navigare în pagină.

Modulul numărului - definiție, notație și exemple

Mai întâi vă prezentăm desemnarea modulului. Modulul numărului a se va scrie ca , adică în stânga și în dreapta numărului vom pune linii verticale care formează semnul modulului. Să dăm câteva exemple. De exemplu, modulo -7 poate fi scris ca ; modulul 4.125 este scris ca , iar modulul este scris ca .

Următoarea definiție a modulului se referă la, și prin urmare, la, și la numere întregi și la numere raționale și iraționale, în ceea ce privește părțile constitutive ale mulțimii numerelor reale. Vom vorbi despre modulul unui număr complex în.

Definiție.

Modulul de a este fie numărul a însuși, dacă a este un număr pozitiv, fie numărul −a, opusul numărului a, dacă a este un număr negativ, fie 0, dacă a=0 .

Definiția vocală a modulului unui număr este adesea scrisă în forma următoare , această notație înseamnă că dacă a>0 , dacă a=0 și dacă a<0 .

Înregistrarea poate fi reprezentată într-o formă mai compactă . Această notație înseamnă că dacă (a este mai mare sau egal cu 0) și dacă a<0 .

Există și un record . Aici, cazul când a=0 ar trebui explicat separat. În acest caz, avem , dar −0=0 , deoarece zero este considerat un număr care este opus lui însuși.

Să aducem exemple de găsire a modulului unui număr cu o definitie data. De exemplu, să găsim module ale numerelor 15 și . Să începem cu găsirea. Deoarece numărul 15 este pozitiv, modulul său este, prin definiție, egal cu acest număr însuși, adică . Care este modulul unui număr? Deoarece este un număr negativ, atunci modulul său este egal cu numărul opus numărului, adică numărul . Prin urmare, .

În încheierea acestui paragraf, dăm o concluzie, care este foarte convenabilă de aplicat în practică atunci când găsim modulul unui număr. Din definirea modulului unui număr rezultă că modulul unui număr este egal cu numărul de sub semnul modulului, indiferent de semnul acestuia, iar din exemplele discutate mai sus, acest lucru este foarte clar vizibil. Declarația vocală explică de ce se numește și modulul unui număr valoarea absolută a numărului. Deci modulul unui număr și valoarea absolută a unui număr sunt unul și același.

Modulul unui număr ca distanță

Geometric, modulul unui număr poate fi interpretat ca distanţă. Să aducem determinarea modulului unui număr în termeni de distanță.

Definiție.

Modulul de a este distanța de la origine pe linia de coordonate până la punctul corespunzător numărului a.

Această definiție este în concordanță cu definiția modulului unui număr dată în primul paragraf. Să explicăm acest punct. Distanța de la origine până la punctul corespunzător unui număr pozitiv este egală cu acest număr. Zero corespunde originii, deci distanța de la origine până la punctul cu coordonata 0 este zero (nici un singur segment și nici un segment care alcătuiește vreo fracțiune din segmentul unității nu trebuie amânat pentru a ajunge de la punctul O la punctul cu coordonata 0). Distanța de la origine la un punct cu coordonată negativă este egală cu numărul opus coordonatei punctului dat, deoarece este egală cu distanța de la origine până la punctul a cărui coordonată este numărul opus.

De exemplu, modulul numărului 9 este 9, deoarece distanța de la origine până la punctul cu coordonata 9 este nouă. Să luăm un alt exemplu. Punctul cu coordonata −3,25 se află la o distanță de 3,25 de punctul O, deci .

Definiția sonoră a modulului unui număr este un caz special de definire a modulului diferenței a două numere.

Definiție.

Modulul de diferență a două numere a și b este egală cu distanța dintre punctele dreptei de coordonate cu coordonatele a și b .

Adică, dacă sunt date puncte de pe linia de coordonate A(a) și B(b), atunci distanța de la punctul A la punctul B este egală cu modulul diferenței dintre numerele a și b. Dacă luăm punctul O (punctul de referință) drept punct B, atunci vom obține definiția modulului numărului dat la începutul acestui paragraf.

Determinarea modulului unui număr prin rădăcina pătrată aritmetică

Uneori găsit determinarea modulului prin rădăcina pătrată aritmetică.

De exemplu, să calculăm modulele numerelor -30 și pe baza acestei definiții. Noi avem . În mod similar, calculăm modulul de două treimi: .

Definiția modulului unui număr în termeni de rădăcină pătrată aritmetică este, de asemenea, în concordanță cu definiția dată în primul paragraf al acestui articol. Să o arătăm. Fie a un număr pozitiv, iar −a negativ. Apoi și , dacă a=0 , atunci .

Proprietăți modul

Modulul are o serie de rezultate caracteristice - proprietățile modulului. Acum vom prezenta principalele și cele mai frecvent utilizate dintre ele. La fundamentarea acestor proprietăți, ne vom baza pe definiția modulului unui număr în termeni de distanță.

Să începem cu cea mai evidentă proprietate a modulului − modulul unui număr nu poate fi un număr negativ. În formă literală, această proprietate are forma pentru orice număr a . Această proprietate este foarte ușor de justificat: modulul unui număr este distanța, iar distanța nu poate fi exprimată ca număr negativ.

Să trecem la următoarea proprietate a modulului. Modulul unui număr este egal cu zero dacă și numai dacă acest număr este zero. Modulul lui zero este zero prin definiție. Zero corespunde originii, niciun alt punct de pe linia de coordonate nu corespunde cu zero, deoarece fiecare număr real este asociat cu un singur punct de pe linia de coordonate. Din același motiv, orice număr altul decât zero corespunde unui alt punct decât originea. Iar distanța de la origine la orice alt punct decât punctul O nu este egală cu zero, deoarece distanța dintre două puncte este egală cu zero dacă și numai dacă aceste puncte coincid. Raționamentul de mai sus demonstrează că numai modulul lui zero este egal cu zero.

Mergi mai departe. Numerele opuse au module egale, adică pentru orice număr a . Într-adevăr, două puncte de pe linia de coordonate, ale căror coordonate sunt numere opuse, sunt la aceeași distanță de origine, ceea ce înseamnă că modulele numerelor opuse sunt egale.

Următoarea proprietate a modulului este: modulul produsului a două numere este egal cu produsul modulelor acestor numere, adică . Prin definiție, modulul produsului numerelor a și b este fie a b dacă , fie −(a b) dacă . Din regulile înmulțirii numerelor reale rezultă că produsul modulelor numerelor a și b este egal fie cu a b , , fie cu −(a b) , dacă , ceea ce demonstrează proprietatea considerată.

Modulul coeficientului de împărțire a lui a la b este egal cu câtul de împărțire a modulului lui a la modulul lui b, adică . Să justificăm această proprietate a modulului. Deoarece coeficientul este egal cu produsul, atunci . În virtutea proprietății anterioare, avem . Rămâne doar să folosiți egalitatea , care este valabilă datorită definiției modulului numărului.

Următoarea proprietate a modulului este scrisă ca o inegalitate: , a , b și c sunt numere reale arbitrare. Inegalitatea scrisă nu este altceva decât inegalitatea triunghiulară. Pentru a clarifica acest lucru, să luăm punctele A(a), B(b) , C(c) de pe dreapta de coordonate și să considerăm triunghiul degenerat ABC, ale cărui vârfuri se află pe aceeași dreaptă. Prin definiție, modulul diferenței este egal cu lungimea segmentului AB, - lungimea segmentului AC și - lungimea segmentului CB. Deoarece lungimea oricărei laturi a unui triunghi nu depășește suma lungimilor celorlalte două laturi, inegalitatea , prin urmare, este valabilă și inegalitatea.

Inegalitatea tocmai dovedită este mult mai comună în formă . Inegalitatea scrisă este de obicei considerată o proprietate separată a modulului cu formularea: „ Modulul sumei a două numere nu depășește suma modulelor acestor numere". Dar inegalitatea rezultă direct din inegalitatea , dacă punem −b în loc de b în ea și luăm c=0 .

Modulul numărului complex

Să dăm determinarea modulului unui număr complex. Să ni se dea număr complex, scris sub formă algebrică , unde x și y sunt niște numere reale, reprezentând, respectiv, părțile reale și imaginare ale unui număr complex dat z, și este o unitate imaginară.

Mai întâi, definim semnul expresiei sub semnul modulului, apoi extindem modulul:

• dacă valoarea expresiei este mai mare decât zero, atunci pur și simplu o scoatem de sub semnul modulului,
• dacă expresia este mai mică decât zero, atunci o scoatem de sub semnul modulului, schimbând semnul, așa cum am făcut mai devreme în exemple.

Ei bine, să încercăm? Să estimăm:

(Am uitat, repetați.)

Dacă da, care este semnul? Ei bine, desigur,!

Și, prin urmare, dezvăluim semnul modulului prin schimbarea semnului expresiei:

Am înţeles? Atunci încearcă singur:

Raspunsuri:

Ce alte proprietăți are modulul?

Dacă trebuie să înmulțim numerele din interiorul semnului modulo, putem înmulți cu ușurință modulul acestor numere!!!

În termeni matematici, modulul produsului numerelor este egal cu produsul modulelor acestor numere.

De exemplu:

Dar dacă trebuie să împărțim două numere (expresii) sub semnul modulo?

Da, la fel ca cu inmultirea! Să-l împărțim în două numere (expresii) separate sub semnul modulului:

cu condiția ca (din moment ce nu poți împărți la zero).

Merită să ne amintim încă o proprietate a modulului:

Modulul sumei numerelor este întotdeauna mai mic sau egal cu suma modulelor acestor numere:

De ce este asta? Totul este foarte simplu!

După cum ne amintim, modulul este întotdeauna pozitiv. Dar sub semnul modulului poate fi orice număr: atât pozitiv, cât și negativ. Să presupunem că numerele și sunt ambele pozitive. Atunci expresia din stânga va fi egală cu expresia din dreapta.

Să ne uităm la un exemplu:

Dacă sub semnul modulului un număr este negativ și celălalt este pozitiv, expresia din stânga va fi întotdeauna mai mică decât cea din dreapta:

Se pare că totul este clar cu această proprietate, să luăm în considerare câteva proprietăți utile suplimentare ale modulului.

Dacă avem această expresie:

Ce putem face cu această expresie? Nu știm valoarea lui x, dar știm deja ce, ceea ce înseamnă.

Numărul este mai mare decât zero, ceea ce înseamnă că puteți scrie pur și simplu:

Așa că am ajuns la o altă proprietate, care în general poate fi reprezentată astfel:

Care este sensul acestei expresii:

Deci, trebuie să definim semnul sub modul. Este necesar să definiți un semn aici?

Bineînțeles că nu, dacă vă amintiți că orice număr la pătrat este întotdeauna mai mare decât zero! Dacă nu vă amintiți, vedeți subiectul. Și ce se întâmplă? Și iată ce:

E grozav, nu? Destul de convenabil. Acum, pentru un exemplu specific:

Ei bine, de ce să te îndoiești? Să acționăm cu îndrăzneală!

ai inteles totul? Apoi mergeți mai departe și exersați cu exemple!

1. Găsiți valoarea expresiei if.

2. Ce numere au modulul egal?

3. Găsiți sensul expresiilor:

Dacă nu totul este încă clar și există dificultăți în luarea deciziilor, atunci să ne dăm seama:

Soluția 1:

Deci, să înlocuim valorile din expresie

Soluția 2:

După cum ne amintim, numerele opuse sunt modulo egale. Aceasta înseamnă că valoarea modulului este egală cu două numere: și.

Soluția 3:

A)
b)
în)
G)

Ai prins totul? Atunci este timpul să trecem la ceva mai complex!

Să încercăm să simplificăm expresia

Decizie:

Deci, ne amintim că valoarea modulului nu poate fi mai mică de zero. Dacă numărul de sub semnul modulului este pozitiv, atunci putem elimina pur și simplu semnul: modulul numărului va fi egal cu acest număr.

Dar dacă sub semnul modulului este un număr negativ, atunci valoarea modulului este egală cu numărul opus (adică numărul luat cu semnul „-”).

Pentru a găsi modulul oricărei expresii, trebuie mai întâi să aflați dacă aceasta ia o valoare pozitivă sau una negativă.

Se pare că valoarea primei expresii de sub modul.

Prin urmare, expresia sub semnul modulului este negativă. A doua expresie sub semnul modulului este întotdeauna pozitivă, deoarece adunăm două numere pozitive.

Deci, valoarea primei expresii sub semnul modulului este negativă, a doua este pozitivă:

Aceasta înseamnă că, atunci când extindem semnul modulului primei expresii, trebuie să luăm această expresie cu semnul „-”. Ca aceasta:

În al doilea caz, aruncăm pur și simplu semnul modulo:

Să simplificăm această expresie în întregime:

Modulul unui număr și proprietățile acestuia (definiții și dovezi stricte)

Definiție:

Modulul (valoarea absolută) unui număr este numărul însuși dacă și numărul dacă:

De exemplu:

Exemplu:

Simplificați expresia.

Decizie:

Proprietățile de bază ale modulului

Pentru toți:

Exemplu:

Demonstrați proprietatea #5.

Dovada:

Să presupunem că există

Să punem la pătrat părțile din stânga și din dreapta ale inegalității (acest lucru se poate face, deoarece ambele părți ale inegalității sunt întotdeauna nenegative):

iar acest lucru contrazice definiția unui modul.

În consecință, nu există așa ceva, ceea ce înseamnă că pentru toată inegalitatea

Exemple pentru o soluție independentă:

1) Demonstrați proprietatea #6.

2) Simplificați expresia.

Raspunsuri:

1) Să folosim proprietatea nr. 3: , iar de atunci

Pentru a simplifica, trebuie să extindeți modulele. Și pentru a extinde modulele, trebuie să aflați dacă expresiile de sub modul sunt pozitive sau negative?

A. Să comparăm numerele și și:

b. Acum să comparăm:

Adunăm valorile modulelor:

Valoarea absolută a unui număr. Pe scurt despre principalul lucru.

Modulul (valoarea absolută) unui număr este numărul însuși dacă și numărul dacă:

Proprietățile modulului:

1. Modulul unui număr este un număr nenegativ: ;
2. Modulele de numere opuse sunt egale: ;
3. Modulul produsului a două (sau mai multe) numere este egal cu produsul modulelor lor: ;
4. Modulul coeficientului a două numere este egal cu câtul modulelor lor: ;
5. Modulul sumei numerelor este întotdeauna mai mic sau egal cu suma modulelor acestor numere: ;
6. Un factor pozitiv constant poate fi scos din semnul modulului: at;