abstract

Eroare absolută și relativă

Introducere

Eroare absolută - este o estimare a erorii absolute de măsurare. Se calculează în moduri diferite. Metoda de calcul este determinată de distribuția variabilei aleatoare. În consecință, mărimea erorii absolute depinde de distribuția variabilei aleatoare poate fi diferit. În cazul în care un este valoarea măsurată și este adevărata valoare, apoi inegalitatea trebuie să fie satisfăcut cu o probabilitate apropiată de 1. Dacă variabila aleatoare distribuit conform legii normale, atunci de obicei deviația sa standard este considerată eroare absolută. Eroarea absolută este măsurată în aceleași unități ca și valoarea în sine.

Există mai multe moduri de a scrie o cantitate împreună cu eroarea sa absolută.

· De obicei se folosește notația semnată ± . De exemplu, recordul de 100 m stabilit în 1983 este 9,930±0,005 s.

· Pentru a înregistra valorile măsurate cu o precizie foarte mare, se folosește o altă notație: numerele corespunzătoare erorii ultimelor cifre ale mantisei sunt adăugate între paranteze. De exemplu, valoarea măsurată a constantei Boltzmann este 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, care poate fi scris și mult mai mult ca 1.380 6488×10?23 ± 0,000 0013×10?23 J/K.

Eroare relativă- eroare de măsurare, exprimată ca raport dintre eroarea absolută de măsurare și valoarea reală sau medie a mărimii măsurate (RMG 29-99):.

Eroarea relativă este o mărime adimensională sau este măsurată ca procent.

1. Ce se numește valoare aproximativă?

Prea mult și prea puțin? În procesul de calcule, de multe ori trebuie să se ocupe de numere aproximative. Lasa DAR- valoarea exactă a unei anumite cantități, denumită în continuare numărul exact a.Sub valoarea aproximativă a cantității DAR,sau numere aproximativenumit un număr A, care înlocuiește valoarea exactă a cantității DAR.În cazul în care un A< DAR,apoi Ase numește valoarea aproximativă a numărului Și din lipsă.În cazul în care un A> DAR,- apoi în exces.De exemplu, 3,14 este o aproximare a numărului ? prin deficiență și 3,15 prin exces. Pentru a caracteriza gradul de acuratețe al acestei aproximări, se folosește conceptul erori sau erori.

eroare ?Anumăr aproximativ Ase numește diferența de formă

?a = A - a,

Unde DAReste numărul exact corespunzător.

Figura arată că lungimea segmentului AB este între 6 cm și 7 cm.

Aceasta înseamnă că 6 este valoarea aproximativă a lungimii segmentului AB (în centimetri)\u003e cu o deficiență, iar 7 este cu un exces.

Notând lungimea segmentului cu litera y, obținem: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentAB (vezi fig. 149) este mai aproape de 6 cm decât de 7 cm.Este aproximativ egal cu 6 cm.Se spune că numărul 6 a fost obținut prin rotunjirea lungimii segmentului la numere întregi.

. Ce este o eroare de aproximare?

A) absolut?

B) Rudă?

A) Eroarea absolută de aproximare este modulul diferenței dintre valoarea adevărată a unei mărimi și valoarea ei aproximativă. |x - x_n|, unde x este valoarea adevărată, x_n este valoarea aproximativă. De exemplu: lungimea unei foi de hârtie A4 este (29,7 ± 0,1) cm, iar distanța de la Sankt Petersburg la Moscova este (650 ± 1) km. Eroarea absolută în primul caz nu depășește un milimetru, iar în al doilea - un kilometru. Întrebarea este de a compara acuratețea acestor măsurători.

Dacă credeți că lungimea foii se măsoară mai precis deoarece eroarea absolută nu depășește 1 mm. Atunci te înșeli. Aceste valori nu pot fi comparate direct. Hai să facem niște raționamente.

La măsurarea lungimii unei foi, eroarea absolută nu depășește 0,1 cm cu 29,7 cm, adică ca procent, este 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% din valoarea măsurată.

Când măsurăm distanța de la Sankt Petersburg la Moscova, eroarea absolută nu depășește 1 km la 650 km, care este 1/650 * 100% = 0,15% din valoarea măsurată ca procent. Vedem că distanța dintre orașe este măsurată mai precis decât lungimea unei foi A4.

B) Eroarea relativă de aproximare este raportul dintre eroarea absolută și modulul valorii aproximative a mărimii.

fracția de eroare matematică

unde x este valoarea adevărată, x_n este valoarea aproximativă.

Eroarea relativă este de obicei numită procent.

Exemplu. Rotunjirea numărului 24,3 la unități are ca rezultat numărul 24.

Eroarea relativă este egală. Ei spun că eroarea relativă în acest caz este de 12,5%.

) Ce fel de rotunjire se numește rotunjire?

A) cu un dezavantaj?

b) Prea mult?

A) rotunjirea în jos

Când se rotunjește un număr exprimat ca fracție zecimală la 10^(-n), cu o deficiență, primele n cifre după virgulă sunt reținute, iar cele ulterioare sunt eliminate.

De exemplu, rotunjirea 12,4587 la cea mai apropiată miime cu un demerit are ca rezultat 12,458.

B) Rotunjirea

La rotunjirea unui număr exprimat ca fracție zecimală, până la 10^(-n), primele n cifre după virgulă sunt reținute cu un exces, iar cele ulterioare sunt aruncate.

De exemplu, rotunjirea 12,4587 la cea mai apropiată miime cu un demerit are ca rezultat 12,459.

) Regula pentru rotunjirea zecimalelor.

Regulă. Pentru a rotunji o zecimală la o anumită cifră a întregii sau a părții fracționale, toate cifrele mai mici sunt înlocuite cu zerouri sau eliminate, iar cifra care precede cifra eliminată în timpul rotunjirii nu își schimbă valoarea dacă este urmată de numerele 0, 1, 2, 3, 4 și crește cu 1 (unul) dacă numerele sunt 5, 6, 7, 8, 9.

Exemplu. Rotunjiți fracția 93,70584 la:

zece miimi: 93,7058

miimi: 93,706

sutimi: 93,71

zecimi: 93,7

întreg: 94

zeci: 90

În ciuda egalității erorilor absolute, din moment ce cantitățile măsurate sunt diferite. Cu cât dimensiunea măsurată este mai mare, cu atât eroarea relativă este mai mică la un absolut constant.

Îndrumare

Ai nevoie de ajutor pentru a învăța un subiect?

Experții noștri vă vor consilia sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe subiecte care vă interesează.
Trimiteți o cerere indicând subiectul chiar acum pentru a afla despre posibilitatea de a obține o consultație.

Erori de măsurare a mărimilor fizice

1. Introducere (măsurători și erori de măsurare)

2. Erori aleatoare și sistematice

3. Erori absolute și relative

4. Erori la instrumentele de măsură

5. Clasa de precizie a instrumentelor electrice de măsură

6.Eroare de citire

7. Eroarea absolută totală a măsurătorilor directe

8. Înregistrarea rezultatului final al măsurării directe

9. Erori de măsurători indirecte

10.Exemplu

1. Introducere (măsurători și erori de măsurare)

Fizica ca știință s-a născut cu mai bine de 300 de ani în urmă, când Galileo a creat în esență studiul științific al fenomenelor fizice: legile fizice sunt stabilite și verificate experimental prin acumularea și compararea datelor experimentale reprezentate de un set de numere, legile sunt formulate în limbajul matematică, adică cu ajutorul formulelor care leagă valorile numerice ale mărimilor fizice prin dependență funcțională. Prin urmare, fizica este o știință experimentală, fizica este o știință cantitativă.

Să ne familiarizăm cu câteva trăsături caracteristice ale oricăror măsurători.

Măsurarea înseamnă găsirea empiric a valorii numerice a unei mărimi fizice folosind instrumente de măsură (rigle, voltmetre, ceasuri etc.).

Măsurătorile pot fi directe și indirecte.

Măsurarea directă este determinarea valorii numerice a unei mărimi fizice direct prin instrumente de măsură. De exemplu, lungimea - cu o riglă, presiunea atmosferică - cu un barometru.

Măsurarea indirectă este determinarea valorii numerice a unei mărimi fizice conform unei formule care raportează valoarea dorită cu alte mărimi determinate prin măsurători directe. De exemplu, rezistența unui conductor este determinată de formula R=U/I, unde U și I sunt măsurate cu instrumente electrice de măsură.

Luați în considerare un exemplu de măsurare.

Măsurați lungimea barei cu o riglă (diviziune 1 mm). Se poate afirma doar ca lungimea barei este intre 22 si 23 mm. Lățimea intervalului „necunoscut” este de 1 mm, adică este egală cu valoarea diviziunii. Înlocuirea riglei cu un instrument mai sensibil, cum ar fi un șubler, va reduce acest interval, rezultând o creștere a preciziei de măsurare. În exemplul nostru, precizia măsurării nu depășește 1 mm.

Prin urmare, măsurătorile nu pot fi niciodată absolut precise. Rezultatul oricărei măsurători este aproximativ. Incertitudinea în măsurare este caracterizată de o eroare - o abatere a valorii măsurate a unei mărimi fizice de la valoarea sa adevărată.

Enumerăm câteva dintre motivele care duc la apariția erorilor.

1. Precizie limitată în fabricarea instrumentelor de măsură.

2. Influența asupra măsurării condițiilor externe (schimbarea temperaturii, fluctuația tensiunii...).

3. Acțiuni ale experimentatorului (întârziere la pornirea cronometrului, poziția diferită a ochiului...).

4. Natura aproximativă a legilor utilizate pentru găsirea mărimilor măsurate.

Motivele enumerate pentru apariția erorilor nu pot fi eliminate, deși pot fi minimizate. Pentru a stabili fiabilitatea concluziilor obținute în urma cercetărilor științifice, există metode de evaluare a acestor erori.

2. Erori aleatoare și sistematice

Erorile care decurg din măsurători sunt împărțite în sistematice și aleatorii.

Erorile sistematice sunt erori corespunzătoare abaterii valorii măsurate de la valoarea adevărată a unei mărimi fizice, întotdeauna într-o singură direcție (creștere sau scădere). Cu măsurători repetate, eroarea rămâne aceeași.

Cauzele erorilor sistematice:

1) nerespectarea instrumentelor de măsură cu standardul;

2) instalarea incorectă a instrumentelor de măsură (înclinare, dezechilibru);

3) necoincidența indicatoarelor inițiale ale dispozitivelor cu zero și ignorarea corecțiilor care apar în legătură cu aceasta;

4) discrepanța dintre obiectul măsurat și ipoteza despre proprietățile acestuia (prezența golurilor etc.).

Erorile aleatorii sunt erori care își modifică valoarea numerică într-un mod imprevizibil. Astfel de erori sunt cauzate de un număr mare de cauze necontrolabile care afectează procesul de măsurare (neregularități la suprafața obiectului, suflarea vântului, supratensiuni etc.). Influența erorilor aleatoare poate fi redusă prin repetarea repetată a experimentului.

3. Erori absolute și relative

Pentru o evaluare cantitativă a calității măsurătorilor sunt introduse conceptele de erori de măsurare absolute și relative.

După cum sa menționat deja, orice măsurătoare oferă doar o valoare aproximativă a unei mărimi fizice, dar puteți specifica un interval care conține valoarea sa adevărată:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

Valoarea D A se numește eroare absolută în măsurarea mărimii A. Eroarea absolută se exprimă în unități ale mărimii măsurate. Eroarea absolută este egală cu modulul abaterii maxime posibile a valorii unei mărimi fizice de la valoarea măsurată. A pr - valoarea unei marimi fizice obtinuta experimental, daca masurarea a fost efectuata in mod repetat, atunci media aritmetica a acestor masuratori.

Dar pentru a evalua calitatea măsurării, este necesar să se determine eroarea relativă e. e \u003d D A / A pr sau e \u003d (D A / A pr) * 100%.

Dacă în timpul măsurării se obține o eroare relativă mai mare de 10%, atunci ei spun că s-a făcut doar o estimare a valorii măsurate. În laboratoarele unui atelier fizic, se recomandă efectuarea măsurătorilor cu o eroare relativă de până la 10%. În laboratoarele științifice, unele măsurători precise (cum ar fi determinarea lungimii de undă a luminii) sunt efectuate cu o precizie de milioane de procente.

4. Erori la instrumentele de măsură

Aceste erori sunt numite și instrumentale sau instrumentale. Acestea se datorează designului dispozitivului de măsurare, preciziei fabricării și calibrării acestuia. De obicei, aceștia sunt mulțumiți de erorile instrumentale permise raportate de producător în pașaportul pentru acest dispozitiv. Aceste erori permise sunt reglementate de GOST. Acest lucru este valabil și pentru standarde. De obicei, eroarea instrumentală absolută este notă cu D și A.

Dacă nu există informații despre eroarea permisă (de exemplu, pentru o riglă), atunci jumătate din prețul de divizare poate fi considerată această eroare.

La cântărire, eroarea instrumentală absolută este suma erorilor instrumentale ale cântarilor și greutăților. Tabelul arată cele mai des erorile permise

instrumente de măsurare întâlnite în experimentul școlar.

Măsurare	Limita de masurare	Valoarea diviziunii	Eroare permisă
domnitorul elevului
conducător de demonstrație
bandă de măsurare
pahar
greutăți 10,20, 50 mg
greutate 100.200 mg
greutate 500 mg
etriere
micrometru
dinamometru
scalele educaționale
Cronometru			1 s timp de 30 min
barometru aneroid	720-780 mmHg	1 mmHg	3 mmHg
termometru de laborator	0-100 grade C
ampermetru școlar
scoala de voltmetru

5. Clasa de precizie a instrumentelor electrice de măsură

În funcție de valorile de eroare admise, instrumentele de măsurare electrice cu indicatori sunt împărțite în clase de precizie, care sunt indicate pe cântarele instrumentului prin numerele 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Clasa de precizie g pr instrumentul arată câte procente este eroarea absolută a întregii scale a instrumentului.

g pr \u003d (D și A / A max) * 100% .

De exemplu, eroarea instrumentală absolută a unui instrument de clasa 2.5 este de 2,5% din scara sa.

Dacă se cunosc clasa de precizie a dispozitivului și scara acestuia, atunci eroarea absolută de măsurare instrumentală poate fi determinată

D și A \u003d ( g pr * A max) / 100.

Pentru a îmbunătăți acuratețea măsurării cu un dispozitiv de măsurare electric pointer, este necesar să alegeți un dispozitiv cu o astfel de scară încât în ​​timpul procesului de măsurare să fie situat în a doua jumătate a scalei dispozitivului.

6. Eroare de citire

Eroarea de citire se obține din citirea insuficient de precisă a citirilor instrumentelor de măsură.

În cele mai multe cazuri, eroarea absolută de citire este considerată egală cu jumătate din valoarea diviziunii. Excepție fac măsurătorile cu ceasuri analogice (mâinile se mișcă brusc).

Eroarea absolută de citire este de obicei indicată D oA

7. Eroarea absolută totală a măsurătorilor directe

Când se efectuează măsurători directe ale mărimii fizice A, este necesar să se evalueze următoarele erori: D uA, D oA și D sA (aleatorie). Desigur, alte surse de erori asociate cu instalarea incorectă a instrumentelor, alinierea greșită a poziției inițiale a indicatorului instrumentului cu 0 etc., ar trebui excluse.

Eroarea absolută totală a măsurării directe trebuie să includă toate cele trei tipuri de erori.

Dacă eroarea aleatorie este mică în comparație cu cea mai mică valoare care poate fi măsurată de acest instrument de măsurare (comparativ cu valoarea diviziunii), atunci ea poate fi neglijată și atunci o măsurătoare este suficientă pentru a determina valoarea mărimii fizice. În caz contrar, teoria probabilității recomandă găsirea rezultatului măsurării ca medie aritmetică a rezultatelor întregii serii de măsurători multiple, eroarea rezultatului fiind calculată prin metoda statisticii matematice. Cunoașterea acestor metode depășește programa școlară.

8. Înregistrarea rezultatului final al măsurătorii directe

Rezultatul final al măsurării mărimii fizice A trebuie scris în această formă;

A=A pr + D A, e \u003d (D A / A pr) * 100%.

A pr - valoarea unei marimi fizice obtinuta experimental, daca masurarea a fost efectuata in mod repetat, atunci media aritmetica a acestor masuratori. D A este eroarea absolută totală a măsurării directe.

Eroarea absolută este de obicei exprimată ca o cifră semnificativă.

Exemplu: L=(7,9 + 0,1) mm, e=13%.

9. Erori de măsurători indirecte

La procesarea rezultatelor măsurătorilor indirecte ale unei mărimi fizice care este legată funcțional de mărimile fizice A, B și C, care sunt măsurate în mod direct, eroarea relativă a măsurării indirecte este mai întâi determinată. e=D X / X pr, folosind formulele date în tabel (fără dovezi).

Eroarea absolută este determinată de formulă D X \u003d X pr * e,

unde e exprimat ca zecimală, nu ca procent.

Rezultatul final se înregistrează în același mod ca și în cazul măsurătorilor directe.

Tipul funcției	Formulă
X=A+B+C
X=A-B
X=A*B*C
X=A n
X=A/B

Exemplu: Să calculăm eroarea în măsurarea coeficientului de frecare cu ajutorul unui dinamometru. Experiența este că bara este trasă uniform de-a lungul unei suprafețe orizontale și se măsoară forța aplicată: este egală cu forța frecării de alunecare.

Cu ajutorul unui dinamometru, cântărim o bară cu greutăți: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N

μ = 0,33.Eroarea instrumentală a dinamometrului (aflați din tabel) este Δ și = 0,05N, eroare de citire (jumătate din diviziunea scalei)

Δ o = 0,05 N. Eroarea absolută în măsurarea greutății și a forței de frecare este de 0,1 N.

Eroare relativă de măsurare (linia a cincea din tabel)

, prin urmare, eroarea absolută de măsurare indirectă a lui μ este 0,22*0,33=0,074

Datorită erorilor inerente instrumentului de măsurare, metodei și tehnicii de măsurare alese, diferența dintre condițiile externe în care se efectuează măsurarea față de cele stabilite și alte motive, rezultatul aproape a fiecărei măsurători este împovărat cu o eroare. Această eroare este calculată sau estimată și atribuită rezultatului obținut.

Eroare de măsurare(pe scurt - eroare de măsurare) - abatere a rezultatului măsurării de la valoarea reală a mărimii măsurate.

Valoarea adevărată a cantității datorită prezenței erorilor rămâne necunoscută. Este utilizat în rezolvarea problemelor teoretice de metrologie. În practică, se folosește valoarea reală a cantității, care înlocuiește valoarea adevărată.

Eroarea de măsurare (Δx) se găsește prin formula:

x = x măsura. - x actual (1,3)

unde x măsura. - valoarea cantitatii obtinute pe baza masuratorilor; x actual este valoarea cantității luate ca fiind reală.

Valoarea reală pentru măsurători individuale este adesea luată ca valoare obținută cu ajutorul unui instrument de măsurare exemplar, pentru măsurători repetate - media aritmetică a valorilor măsurătorilor individuale incluse în această serie.

Erorile de măsurare pot fi clasificate după următoarele criterii:

După natura manifestării - sistematic și aleatoriu;

Prin expresie - absolută și relativă;

În funcție de condițiile de modificare a valorii măsurate - static și dinamic;

Conform metodei de prelucrare a unui număr de măsurători - aritmetice și pătrate medii;

În funcție de caracterul complet al acoperirii sarcinii de măsurare - privat și complet;

În raport cu unitatea de mărime fizică - eroarea de reproducere a unității, stocarea unității și transmiterea dimensiunii unității.

Eroare sistematică de măsurare(pe scurt - eroare sistematică) - o componentă a erorii rezultatului măsurării, care rămâne constantă pentru o serie dată de măsurători sau se modifică în mod regulat în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi fizice.

După natura manifestării, erorile sistematice sunt împărțite în constante, progresive și periodice. Erori sistematice permanente(pe scurt - erori constante) - erori care își păstrează valoarea pentru o perioadă lungă de timp (de exemplu, pe parcursul întregii serii de măsurători). Acesta este cel mai frecvent tip de eroare.

Erori sistematice progresive(pe scurt - erori progresive) - erori în continuă creștere sau scădere (de exemplu, erori datorate uzurii vârfurilor de măsurare care vin în contact în timpul șlefuirii cu o piesă atunci când aceasta este controlată de un dispozitiv de control activ).

Eroare sistematică periodică(pe scurt - eroare periodică) - o eroare, a cărei valoare este o funcție a timpului sau o funcție a mișcării indicatorului dispozitivului de măsurare (de exemplu, prezența excentricității în goniometrele cu o scară circulară provoacă o eroare sistematică care variază după o lege periodică).

Pe baza motivelor apariției erorilor sistematice, există erori instrumentale, erori de metodă, erori subiective și erori datorate abaterii condițiilor externe de măsurare de la metodele stabilite.

Eroare de măsurare instrumentală(pe scurt - eroare instrumentală) este rezultatul unui număr de motive: uzura pieselor instrumentului, frecare excesivă în mecanismul instrumentului, dungi inexacte pe scară, discrepanță între valorile reale și nominale ale măsurării etc.

Eroarea metodei de măsurare(pe scurt - eroarea metodei) poate apărea din cauza imperfecțiunii metodei de măsurare sau a simplificărilor acesteia, stabilite prin procedura de măsurare. De exemplu, o astfel de eroare se poate datora vitezei insuficiente a instrumentelor de măsurare utilizate la măsurarea parametrilor proceselor rapide sau a impurităților nesocotite atunci când se determină densitatea unei substanțe pe baza rezultatelor măsurării masei și volumului acesteia.

Eroarea subiectivă de măsurare(pe scurt – eroare subiectivă) se datorează erorilor individuale ale operatorului. Uneori, această eroare se numește diferență personală. Este cauzată, de exemplu, de o întârziere sau avans în acceptarea unui semnal de către operator.

Eroare de abatere(într-o direcție) a condițiilor exterioare de măsurare din cele stabilite prin procedura de măsurare duce la apariția unei componente sistematice a erorii de măsurare.

Erorile sistematice distorsionează rezultatul măsurării, astfel încât acestea trebuie eliminate, pe cât posibil, prin introducerea de corecții sau ajustarea instrumentului pentru a aduce erorile sistematice la un minim acceptabil.

Eroare sistematică neexclusă(pe scurt - eroare neexclusă) - aceasta este eroarea rezultatului măsurării din cauza erorii în calcularea și introducerea unei corecții pentru efectul unei erori sistematice sau a unei mici erori sistematice, a cărei corecție nu este introdusă datorită micime.

Acest tip de eroare este uneori denumit reziduuri de părtinire neexcluse(pe scurt - solduri neexcluse). De exemplu, la măsurarea lungimii unui metru de linie în lungimile de undă ale radiației de referință, au fost relevate mai multe erori sistematice neexcluse (i): din cauza măsurării inexacte a temperaturii - 1 ; din cauza determinării inexacte a indicelui de refracție al aerului - 2, din cauza valorii inexacte a lungimii de undă - 3.

De obicei, se ia în considerare suma erorilor sistematice neexcluse (limitele acestora sunt stabilite). Cu numărul de termeni N ≤ 3, limitele erorilor sistematice neexcluse sunt calculate prin formula

Când numărul de termeni este N ≥ 4, formula este utilizată pentru calcule

(1.5)

unde k este coeficientul de dependență al erorilor sistematice neexcluse de probabilitatea de încredere aleasă Р cu distribuția lor uniformă. La P = 0,99, k = 1,4, la P = 0,95, k = 1,1.

Eroare de măsurare aleatorie(pe scurt - eroare aleatorie) - o componentă a erorii rezultatului măsurării, modificându-se aleator (în semn și valoare) într-o serie de măsurători de aceeași dimensiune a unei mărimi fizice. Cauzele erorilor aleatorii: erori de rotunjire la citirea citirilor, variația citirilor, modificări ale condițiilor de măsurare de natură aleatorie etc.

Erorile aleatorii cauzează dispersarea rezultatelor măsurătorilor într-o serie.

Teoria erorilor se bazează pe două prevederi, confirmate de practică:

1. La un număr mare de măsurători, apar la fel de des erori aleatorii de aceeași valoare numerică, dar de alt semn;

2. Erorile mari (în valoare absolută) sunt mai puțin frecvente decât cele mici.

Din prima poziție rezultă o concluzie importantă pentru practică: odată cu creșterea numărului de măsurători, eroarea aleatorie a rezultatului obținut dintr-o serie de măsurători scade, deoarece suma erorilor măsurătorilor individuale din această serie tinde spre zero, adică

(1.6)

De exemplu, în urma măsurătorilor, se obțin o serie de valori ale rezistenței electrice (care sunt corectate pentru efectele erorilor sistematice): R 1 \u003d 15,5 Ohm, R 2 \u003d 15,6 Ohm, R 3 \u003d 15,4 ohmi, R 4 \u003d 15, 6 ohmi și R 5 = 15,4 ohmi. Prin urmare, R = 15,5 ohmi. Abaterile de la R (R 1 \u003d 0,0; R 2 \u003d +0,1 Ohm, R 3 \u003d -0,1 Ohm, R 4 \u003d +0,1 Ohm și R 5 \u003d -0,1 Ohm) sunt erori aleatorii ale măsurătorilor individuale într-un serie dată. Este ușor de observat că suma R i = 0,0. Acest lucru indică faptul că erorile măsurătorilor individuale din această serie sunt calculate corect.

În ciuda faptului că, odată cu creșterea numărului de măsurători, suma erorilor aleatoare tinde spre zero (în acest exemplu, accidental s-a dovedit a fi zero), eroarea aleatorie a rezultatului măsurării este în mod necesar estimată. În teoria variabilelor aleatoare, dispersia o2 servește ca o caracteristică a dispersiei valorilor unei variabile aleatoare. „| / o2 \u003d a se numește abaterea standard a populației generale sau abaterea standard.

Este mai convenabil decât dispersia, deoarece dimensiunea acesteia coincide cu dimensiunea mărimii măsurate (de exemplu, valoarea cantității se obține în volți, abaterea standard va fi și ea în volți). Întrucât în ​​practica măsurătorilor se tratează termenul „eroare”, termenul „eroare pătratică medie” derivat din acesta ar trebui folosit pentru a caracteriza un număr de măsurători. Un număr de măsurători pot fi caracterizate prin eroarea medie aritmetică sau intervalul rezultatelor măsurătorilor.

Intervalul rezultatelor măsurătorilor (pe scurt - interval) este diferența algebrică dintre cele mai mari și cele mai mici rezultate ale măsurătorilor individuale care formează o serie (sau eșantion) de n măsurători:

R n \u003d X max - X min (1,7)

unde R n este intervalul; X max și X min - cele mai mari și cele mai mici valori ale cantității dintr-o serie dată de măsurători.

De exemplu, din cinci măsurători ale diametrului găurii d, valorile R 5 = 25,56 mm și R 1 = 25,51 mm s-au dovedit a fi valorile maxime și minime ale acestuia. În acest caz, R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. Aceasta înseamnă că erorile rămase din această serie sunt mai mici de 0,05 mm.

Eroarea aritmetică medie a unei singure măsurători dintr-o serie(pe scurt - eroarea medie aritmetică) - caracteristica generalizată de împrăștiere (din motive aleatorii) a rezultatelor măsurătorilor individuale (de aceeași valoare), incluse într-o serie de n măsurători independente la fel de precise, se calculează prin formula

(1.8)

unde X i este rezultatul celei de-a i-a măsurători incluse în serie; x este media aritmetică a n valori ale mărimii: |X i - X| este valoarea absolută a erorii celei de-a i-a măsurători; r este eroarea medie aritmetică.

Valoarea adevărată a erorii medii aritmetice p este determinată din raport

p = lim r, (1,9)

Cu numărul de măsurători n > 30, între media aritmetică (r) și pătratul mediu (e) exista corelatii

s = 1,25r; r și = 0,80 s. (1,10)

Avantajul erorii medii aritmetice este simplitatea calculului acesteia. Dar și mai des determină eroarea pătratică medie.

Eroare pătratică medie măsurare individuală într-o serie (pe scurt - eroare pătrată medie) - o caracteristică generalizată de împrăștiere (din motive aleatorii) a rezultatelor măsurătorilor individuale (de aceeași valoare) incluse într-o serie de P măsurători independente la fel de precise, calculate prin formula

(1.11)

Eroarea pătratică medie pentru eșantionul general o, care este limita statistică a lui S, poate fi calculată pentru /i-mx > prin formula:

Σ = lim S (1.12)

În realitate, numărul de dimensiuni este întotdeauna limitat, deci nu se calculează σ , și valoarea sa aproximativă (sau estimarea), care este s. Cu atât mai mult P, cu atât s este mai aproape de limita sa σ .

Cu o distribuție normală, probabilitatea ca eroarea unei singure măsurători dintr-o serie să nu depășească eroarea pătratică medie calculată este mică: 0,68. Prin urmare, în 32 de cazuri din 100 sau 3 cazuri din 10, eroarea reală poate fi mai mare decât cea calculată.

Figura 1.2 Scăderea valorii erorii aleatoare a rezultatului măsurătorilor multiple cu creșterea numărului de măsurători într-o serie

Într-o serie de măsurători, există o relație între eroarea rms a unei singure măsurători s și eroarea rms a mediei aritmetice S x:

care este adesea numită „regula lui Y n”. Din această regulă rezultă că eroarea de măsurare datorată acțiunii unor cauze aleatoare poate fi redusă de n ori dacă se efectuează n măsurători de aceeași dimensiune a oricărei mărimi, iar valoarea medie aritmetică este luată ca rezultat final (Fig. 1.2). ).

Efectuarea a cel puțin 5 măsurători într-o serie face posibilă reducerea efectului erorilor aleatorii de mai mult de 2 ori. Cu 10 măsurători, efectul erorii aleatoare este redus cu un factor de 3. O creștere suplimentară a numărului de măsurători nu este întotdeauna fezabilă din punct de vedere economic și, de regulă, este efectuată numai pentru măsurători critice care necesită o precizie ridicată.

Eroarea pătratică medie a unei singure măsurători dintr-o serie de măsurători duble omogene S α este calculată prin formula

(1.14)

unde x" i și x"" i sunt rezultatele i-lea ale măsurătorilor de aceeași mărime în direcțiile înainte și invers, cu un instrument de măsurare.

Cu măsurători inegale, eroarea pătrată medie a mediei aritmetice din serie este determinată de formula

(1.15)

unde p i este greutatea celei de-a i-a măsurători într-o serie de măsurători inegale.

Eroarea pătratică medie a rezultatului măsurătorilor indirecte ale mărimii Y, care este o funcție a lui Y \u003d F (X 1, X 2, X n), este calculată prin formula

(1.16)

unde S 1 , S 2 , S n sunt erori pătratice medii ale rezultatelor măsurătorilor pentru X 1 , X 2 , X n .

Dacă, pentru o mai mare fiabilitate a obținerii unui rezultat satisfăcător, se efectuează mai multe serii de măsurători, eroarea pătratică medie a unei măsurători individuale din seria m (S m) se găsește prin formula

(1.17)

Unde n este numărul de măsurători din serie; N este numărul total de măsurători din toate seriile; m este numărul de serii.

Cu un număr limitat de măsurători, este adesea necesar să se cunoască eroarea RMS. Pentru a determina eroarea S, calculată prin formula (2.7) și eroarea S m , calculată prin formula (2.12), puteți folosi următoarele expresii

(1.18)

(1.19)

unde S și S m sunt erorile pătratice medii ale lui S și respectiv S m .

De exemplu, la procesarea rezultatelor unei serii de măsurători ale lungimii x, am obținut

= 86 mm 2 la n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm sau S = ±0,7 mm

Valoarea S = ±0,7 mm înseamnă că, din cauza erorii de calcul, s este în intervalul de la 2,4 la 3,8 mm, prin urmare, zecimi de milimetru nu sunt de încredere aici. În cazul considerat este necesar să se noteze: S = ±3 mm.

Pentru a avea o mai mare încredere în estimarea erorii rezultatului măsurării, se calculează eroarea de încredere sau limitele de încredere ale erorii. Cu o lege de distribuție normală, limitele de încredere ale erorii sunt calculate ca ±t-s sau ±t-s x , unde s și s x sunt erorile pătratice medii, respectiv, ale unei singure măsurători dintr-o serie și media aritmetică; t este un număr în funcție de nivelul de încredere P și de numărul de măsurători n.

Un concept important este fiabilitatea rezultatului măsurării (α), adică. probabilitatea ca valoarea dorită a mărimii măsurate să se încadreze într-un interval de încredere dat.

De exemplu, la prelucrarea pieselor pe mașini-unelte într-un mod tehnologic stabil, distribuția erorilor respectă legea normală. Să presupunem că toleranța pentru lungimea părții este setată la 2a. În acest caz, intervalul de încredere în care se află valoarea dorită a lungimii piesei a va fi (a - a, a + a).

Dacă 2a = ±3s, atunci fiabilitatea rezultatului este a = 0,68, adică, în 32 de cazuri din 100, este de așteptat ca dimensiunea piesei să depășească toleranța de 2a. La evaluarea calitatii piesei conform tolerantei 2a = ±3s, fiabilitatea rezultatului va fi de 0,997. În acest caz, se poate aștepta ca doar trei părți din 1000 să depășească toleranța stabilită.Cu toate acestea, o creștere a fiabilității este posibilă numai cu o scădere a erorii în lungimea piesei. Deci, pentru a crește fiabilitatea de la a = 0,68 la a = 0,997, eroarea în lungimea piesei trebuie redusă cu un factor de trei.

Recent, termenul „fiabilitatea măsurării” a devenit larg răspândit. În unele cazuri, este folosit în mod nerezonabil în locul termenului „precizia măsurării”. De exemplu, în unele surse puteți găsi expresia „stabilirea unității și fiabilității măsurătorilor în țară”. Întrucât ar fi mai corect să spunem „stabilirea unității și precizia necesară a măsurătorilor”. Fiabilitatea este considerată de noi ca o caracteristică calitativă, reflectând apropierea de zero a erorilor aleatorii. Cantitativ, poate fi determinat prin nefiabilitatea măsurătorilor.

Incertitudinea măsurătorilor(pe scurt - nefiabilitate) - o evaluare a discrepanței dintre rezultatele într-o serie de măsurători datorită influenței impactului total al erorilor aleatoare (determinate prin metode statistice și non-statistice), caracterizată prin intervalul de valori în în care se află adevărata valoare a mărimii măsurate.

În conformitate cu recomandările Biroului Internațional de Greutăți și Măsuri, incertitudinea este exprimată ca eroarea de măsurare efectivă totală - Su incluzând eroarea efectivă S (determinată prin metode statistice) și eroarea efectivă u (determinată prin metode nestatistice) , adică

(1.20)

Limită eroarea de măsurare(pe scurt - eroare marginală) - eroarea maximă de măsurare (plus, minus), a cărei probabilitate nu depășește valoarea lui P, în timp ce diferența 1 - P este nesemnificativă.

De exemplu, cu o distribuție normală, probabilitatea unei erori aleatoare de ±3s este 0,997, iar diferența 1-P = 0,003 este nesemnificativă. Prin urmare, în multe cazuri, eroarea de încredere ±3s este luată drept limită, adică pr = ±3s. Dacă este necesar, pr poate avea și alte relații cu s pentru P suficient de mare (2s, 2,5s, 4s etc.).

În legătură cu faptul că în standardele GSI, în locul termenului „root mean square error”, este folosit termenul „root mean square deviation”, în raționamentul ulterioar ne vom menține pe acest termen.

Eroare absolută de măsurare(pe scurt - eroare absolută) - eroare de măsurare, exprimată în unități ale valorii măsurate. Deci, eroarea X de măsurare a lungimii părții X, exprimată în micrometri, este o eroare absolută.

Nu trebuie confundați termenii „eroare absolută” și „valoare absolută a erorii”, care este înțeles ca valoarea erorii fără a ține cont de semn. Deci, dacă eroarea absolută de măsurare este de ±2 μV, atunci valoarea absolută a erorii va fi de 0,2 μV.

Eroare relativă de măsurare(pe scurt - eroare relativă) - eroare de măsurare, exprimată ca fracțiune din valoarea valorii măsurate sau ca procent. Eroarea relativă δ se găsește din rapoartele:

(1.21)

De exemplu, există o valoare reală a lungimii piesei x = 10,00 mm și o valoare absolută a erorii x = 0,01 mm. Eroarea relativă va fi

Eroare statică este eroarea rezultatului măsurătorii datorată condițiilor măsurării statice.

Eroare dinamică este eroarea rezultatului măsurării datorită condițiilor de măsurare dinamică.

Eroare de reproducere a unității- eroarea rezultatului măsurătorilor efectuate la reproducerea unei unităţi de mărime fizică. Deci, eroarea în reproducerea unei unități folosind standardul de stat este indicată sub forma componentelor sale: o eroare sistematică neexclusă, caracterizată prin limita sa; eroare aleatorie caracterizată prin abaterea standard s și instabilitatea anuală ν.

Eroare de transmisie dimensiunea unității este eroarea rezultatului măsurătorilor efectuate la transmiterea mărimii unității. Eroarea de transmisie a mărimii unității include erori sistematice neexcluse și erori aleatorii ale metodei și mijloacelor de transmitere a mărimii unității (de exemplu, un comparator).

Eroarea absolută de calcul se găsește prin formula:

Semnul modulo arată că nu ne interesează care valoare este mai mare și care este mai mică. Important, cat de departe rezultatul aproximativ a deviat de la valoarea exactă într-o direcție sau alta.

Eroarea relativă de calcul se găsește prin formula:
, sau, la fel:

Eroarea relativă apare cu ce procent rezultatul aproximativ a deviat de la valoarea exactă. Există o versiune a formulei fără înmulțire cu 100%, dar în practică aproape întotdeauna văd versiunea de mai sus cu procente.

După un scurt context, revenim la problema noastră, în care am calculat valoarea aproximativă a funcției folosind un diferenţial.

Să calculăm valoarea exactă a funcției folosind un microcalculator:
, strict vorbind, valoarea este încă aproximativă, dar o vom considera exactă. Asemenea sarcini apar.

Calculați eroarea absolută:

Să calculăm eroarea relativă:
, se obțin miimi de procent, deci diferența a oferit doar o mare aproximare.

Răspuns: , eroare de calcul absolută , eroare de calcul relativă

Următorul exemplu este pentru o soluție autonomă:

Exemplul 4

la punctul . Calculați o valoare mai precisă a funcției la un punct dat, evaluați erorile de calcul absolute și relative.

Un exemplu gros de finalizare a lucrării și un răspuns la sfârșitul lecției.

Mulți au observat că în toate exemplele luate în considerare apar rădăcini. Acest lucru nu este întâmplător; în majoritatea cazurilor, în problema luată în considerare, sunt într-adevăr propuse funcții cu rădăcini.

Dar pentru cititorii suferinzi, am dezgropat un mic exemplu cu arcsinus:

Exemplul 5

Calculați aproximativ folosind diferența valoarea funcției la punct

Acest exemplu scurt, dar informativ, este și pentru o decizie independentă. Și m-am odihnit puțin pentru a lua în considerare o sarcină specială cu vigoare reînnoită:

Exemplul 6

Calculați aproximativ folosind diferența, rotunjiți rezultatul la două zecimale.

Decizie: Ce este nou în sarcină? După condiție, este necesară rotunjirea rezultatului la două zecimale. Dar nu asta este ideea, problema rotunjirii școlii, cred, nu este dificilă pentru tine. Problema este că la noi este dată tangenta cu argumentul care se exprimă în grade. Ce să faci când ți se cere să rezolvi o funcție trigonometrică cu grade? de exemplu , etc.

Algoritmul de soluție este în mod fundamental păstrat, adică este necesar, ca în exemplele anterioare, să se aplice formula

Notați funcția evidentă

Valoarea trebuie reprezentată ca . Un ajutor serios va tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice . Apropo, dacă nu l-ați tipărit, vă recomand să faceți acest lucru, deoarece va trebui să vă uitați acolo pe tot parcursul cursului de studii superioare la matematică.

Analizând tabelul, observăm o valoare „bună” a tangentei, care este aproape de 47 de grade:

Prin urmare:

După o analiză preliminară grade trebuie convertite în radiani. Da, și numai așa!

În acest exemplu, direct din tabelul trigonometric, puteți afla că. Formula de conversie a gradelor în radiani este: (formulele pot fi găsite în același tabel).

Altă șablon:

Prin urmare: (în calcule folosim valoarea ). Rezultatul, așa cum este cerut de condiție, este rotunjit la două zecimale.

Răspuns:

Exemplul 7

Calculați aproximativ folosind diferența, rotunjiți rezultatul la trei zecimale.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

După cum puteți vedea, nimic complicat, traducem gradele în radiani și respectăm algoritmul obișnuit de soluție.

Calcule aproximative folosind diferenţialul total al unei funcţii a două variabile

Totul va fi foarte, foarte asemănător, prin urmare, dacă ați ajuns pe această pagină cu această sarcină specială, atunci vă recomand să vă uitați mai întâi la cel puțin câteva exemple din paragraful anterior.

Pentru a studia un paragraf, trebuie să poți găsi derivate parțiale de ordinul doi , unde fără ele. În lecția de mai sus, am notat funcția a două variabile cu litera . În ceea ce privește sarcina luată în considerare, este mai convenabil să folosiți notația echivalentă .

Ca și în cazul unei funcții a unei variabile, condiția problemei poate fi formulată în moduri diferite și voi încerca să iau în considerare toate formulările întâlnite.

Exemplul 8

Decizie: Indiferent cum este scrisă condiția, în soluția în sine pentru a desemna funcția, repet, este mai bine să nu folosiți litera „Z”, ci .

Și iată formula de lucru:

În fața noastră se află de fapt sora mai mare a formulei din paragraful anterior. Variabila tocmai a devenit mai mare. Ce pot să spun eu însumi algoritmul de soluție va fi fundamental același!

Prin condiție, este necesar să se găsească valoarea aproximativă a funcției în punctul .

Să reprezentăm numărul 3,04 ca . Omul de turtă dulce cere să fie mâncat:
,

Să reprezentăm numărul 3,95 ca . A venit rândul în a doua jumătate a lui Kolobok:
,

Și nu te uita la tot felul de trucuri cu vulpe, există un Gingerbread Man - trebuie să-l mănânci.

Să calculăm valoarea funcției în punctul:

Diferenţialul unei funcţii într-un punct se găseşte prin formula:

Din formulă rezultă că trebuie să găsiți derivate parțiale de ordinul întâi și calculați valorile lor la punctul .

Să calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi la punctul:

Diferenţial total la punct:

Astfel, conform formulei, valoarea aproximativă a funcției în punctul:

Să calculăm valoarea exactă a funcției în punctul:

Această valoare este absolut corectă.

Erorile sunt calculate folosind formule standard, care au fost deja discutate în acest articol.

Eroare absolută:

Eroare relativă:

Răspuns: , eroare absolută: , eroare relativă:

Exemplul 9

Calculați valoarea aproximativă a unei funcții la un punct folosind o diferenţială completă, evaluaţi eroarea absolută şi relativă.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Cine se ocupă mai detaliat de acest exemplu va acorda atenție faptului că erorile de calcul s-au dovedit a fi foarte, foarte vizibile. Acest lucru s-a întâmplat din următorul motiv: în problema propusă, incrementele argumentelor sunt suficient de mari: .

Modelul general este a - cu cât aceste creșteri în valoare absolută sunt mai mari, cu atât precizia calculelor este mai mică. Deci, de exemplu, pentru un punct similar, incrementele vor fi mici: , iar acuratețea calculelor aproximative va fi foarte mare.

Această caracteristică este valabilă și pentru cazul unei funcții a unei variabile (prima parte a lecției).

Exemplul 10

Decizie: Să calculăm această expresie aproximativ folosind diferența totală a unei funcții a două variabile:

Diferența față de exemplele 8-9 este că mai întâi trebuie să compunem o funcție din două variabile: . Cum este compusă funcția, cred că este intuitiv intuitiv pentru toată lumea.

Valoarea 4,9973 este aproape de „cinci”, prin urmare: , .
Valoarea lui 0,9919 este apropiată de „unu”, prin urmare, presupunem: , .

Să calculăm valoarea funcției în punctul:

Găsim diferența într-un punct prin formula:

Pentru a face acest lucru, calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi în punctul .

Derivatele de aici nu sunt cele mai simple și ar trebui să fii atent:

;

.

Diferenţial total la punct:

Astfel, valoarea aproximativă a acestei expresii:

Să calculăm o valoare mai precisă folosind un microcalculator: 2,998899527

Să găsim eroarea relativă de calcul:

Răspuns: ,

Doar o ilustrare a celor de mai sus, în problema luată în considerare, incrementele argumentelor sunt foarte mici, iar eroarea s-a dovedit a fi fantastic de puțină.

Exemplul 11

Folosind diferența totală a unei funcții de două variabile, calculați aproximativ valoarea acestei expresii. Calculați aceeași expresie folosind un microcalculator. Estimați în procente eroarea relativă a calculelor.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O mostră aproximativă de finisare la sfârșitul lecției.

După cum sa menționat deja, cel mai obișnuit invitat în acest tip de sarcină este un fel de rădăcini. Dar din când în când există și alte funcții. Și un ultim exemplu simplu pentru relaxare:

Exemplul 12

Folosind diferenţialul total al unei funcţii de două variabile, calculaţi aproximativ valoarea funcţiei dacă

Soluția este mai aproape de partea de jos a paginii. Încă o dată, acordați atenție formulării sarcinilor lecției, în diverse exemple în practică formularea poate fi diferită, dar acest lucru nu schimbă fundamental esența și algoritmul soluției.

Sincer să fiu, m-am cam obosit, pentru că materialul era plictisitor. Nu a fost pedagogic de spus la începutul articolului, dar acum este deja posibil =) Într-adevăr, problemele matematicii computaționale nu sunt de obicei foarte dificile, nu foarte interesante, cel mai important lucru, poate, este să nu faci un greșeală în calculele obișnuite.

Fie ca cheile calculatorului dumneavoastră să nu fie șterse!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2:

Decizie: Folosim formula:
În acest caz: , ,

Prin urmare:

Răspuns:

Exemplul 4:

Decizie: Folosim formula:
În acest caz: , ,

Prin urmare:

Să calculăm o valoare mai precisă a funcției folosind un microcalculator:

Eroare absolută:

Eroare relativă:

Răspuns: , eroare de calcul absolută , eroare de calcul relativă

Exemplul 5:

Decizie: Folosim formula:

În acest caz: , ,

Prin urmare:

Răspuns:

Exemplul 7:

Decizie: Folosim formula:
În acest caz: , ,

În procesul de măsurare a ceva, trebuie să se țină cont de faptul că rezultatul obținut nu este încă final. Pentru a calcula mai precis valoarea dorită, este necesar să se țină cont de eroare. Calculul este destul de simplu.

Cum să găsiți eroarea - calcul

Tipuri de erori:

• relativ;
• absolut.

Ce trebuie să calculați:

• calculator;
• rezultatele mai multor măsurători ale aceleiași mărimi.

Cum să găsiți o eroare - o secvență de acțiuni

• Măsurați valoarea de 3-5 ori.
• Adunați toate rezultatele și împărțiți numărul rezultat la numărul lor. Acest număr este o valoare reală.
• Calculați eroarea absolută scăzând din rezultatele măsurătorii valoarea obținută în pasul precedent. Formula: ∆X = Hisl - Hist. În timpul calculelor, puteți obține atât valori pozitive, cât și negative. În ambele cazuri, se ia modulul rezultatului. Dacă este necesar să se cunoască eroarea absolută a sumei a două mărimi, atunci calculele se efectuează după următoarea formulă: ∆(X + Y) = ∆X + ∆Y. Funcționează și atunci când este necesar să se calculeze eroarea diferenței dintre două mărimi: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.
• Aflați eroarea relativă pentru fiecare dintre măsurători. În acest caz, trebuie să împărțiți eroarea absolută obținută la valoarea reală. Apoi înmulțiți coeficientul cu 100%. ε(x)=Δx/x0*100%. Valoarea poate fi sau nu convertită într-un procent.
• Pentru a obține o valoare mai precisă a erorii, este necesar să găsiți abaterea standard. Se caută destul de simplu: calculați pătratele tuturor valorilor erorii absolute și apoi găsiți suma lor. Rezultatul obținut trebuie împărțit la numărul (N-1), în care N este numărul tuturor măsurătorilor. Ultimul pas este extragerea rădăcinii din rezultat. După astfel de calcule se va obține abaterea standard, care caracterizează de obicei eroarea de măsurare.
• Pentru a găsi eroarea absolută limită, este necesar să găsim cel mai mic număr, care în valoarea sa este egal sau mai mare decât valoarea erorii absolute.
• Eroarea relativă limitatoare se caută prin aceeași metodă, doar că este necesar să se găsească un număr mai mare sau egal cu valoarea erorii relative.

Erorile de măsurare apar din diverse motive și afectează acuratețea valorii obținute. Știind cu ce este egală eroarea, puteți afla o valoare mai precisă a măsurătorii.