Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.
Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.
Adunarea și scăderea logaritmilor
Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: log A Xși log A y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:
- Buturuga A X+jurnal A y= jurnal A (X · y);
- Buturuga A X−log A y= jurnal A (X : y).
Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!
Aceste formule vă vor ajuta să calculați expresia logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:
log 6 4 + log 6 9.
Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.
Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.
Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.
Eliminarea exponentului din logaritm
Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:
Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.
Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Si inca ceva: invata sa aplici toate formulele nu numai de la stanga la dreapta, ci si invers, i.e. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .
Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Sarcină. Aflați valoarea expresiei:
[Figura]
Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Noi avem:
[Figura] Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.
Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul au același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.
Trecerea la o nouă fundație
Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?
Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:
Lăsați logaritmul să se înregistreze A X. Apoi pentru orice număr c astfel încât c> 0 și c≠ 1, egalitatea este adevărată:
[Figura]
În special, dacă punem c = X, primim:
[Figura]
Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul este la numitor.
Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea doar atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.
Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.
Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Acum să inversăm al doilea logaritm:
[Figura]Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.
Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:
[Figura]Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:
[Figura]Identitatea logaritmică de bază
Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:
În primul caz, numărul n devine exponentul argumentului. Număr n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.
A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numește identitatea logaritmică de bază.
Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b ridică la putere astfel încât bîn această măsură dă un număr A? Așa este: acesta este același număr A. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.
La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei:
[Figura]
Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:
[Figura]Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examen :)
Unitate logaritmică și zero logaritmic
În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.
- Buturuga A A= 1 este unitatea logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze A din această bază în sine este egală cu unu.
- Buturuga A 1 = 0 este zero logaritmic. Baza A poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! deoarece A 0 = 1 este o consecință directă a definiției.
Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.
Accentul acestui articol este logaritm. Aici vom da definiția logaritmului, vom arăta notația acceptată, vom da exemple de logaritmi și vom vorbi despre logaritmi naturali și zecimali. După aceea, luați în considerare identitatea logaritmică de bază.
Navigare în pagină.
Definiţia logarithm
Conceptul de logaritm apare atunci când rezolvați o problemă într-un anumit sens invers, când trebuie să găsiți exponentul dintr-o valoare cunoscută a gradului și o bază cunoscută.
Dar destul preambul, este timpul să răspundem la întrebarea „ce este un logaritm”? Să dăm o definiție adecvată.
Definiție.
Logaritmul lui b la baza a, unde a>0 , a≠1 și b>0 este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b ca rezultat.
În această etapă, observăm că cuvântul rostit „logaritm” ar trebui să ridice imediat două întrebări: „ce număr” și „pe ce bază”. Cu alte cuvinte, pur și simplu nu există logaritm, ci există doar logaritmul unui număr într-o anumită bază.
Vă vom prezenta imediat notație logaritmică: logaritmul numărului b la baza a este de obicei notat ca log a b . Logaritmul numărului b la baza e și logaritmul la baza 10 au propriile lor denumiri speciale lnb și, respectiv, lgb, adică nu scriu log e b , ci lnb , și nu log 10 b , ci lgb .
Acum puteți aduce: .
Și înregistrările 
nu au sens, deoarece în primul dintre ele există un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea - un număr negativ în bază, iar în al treilea - atât un număr negativ sub semnul logaritmului, cât și o unitate în bază.
Acum să vorbim despre reguli de citire a logaritmilor. Log de intrare a b este citit ca „logaritmul lui b la baza a”. De exemplu, log 2 3 este logaritmul lui trei la baza 2 și este logaritmul a doi întregi două treimi de bază ale rădăcinii pătrate a lui cinci. Se numește logaritmul la baza e logaritmul natural, iar notația lnb este citită ca „logaritmul natural al lui b”. De exemplu, ln7 este logaritmul natural al lui șapte și îl vom citi ca logaritmul natural al lui pi. Logaritmul la baza 10 are, de asemenea, un nume special - logaritm zecimal, iar notația lgb este citită ca „logaritm zecimal b”. De exemplu, lg1 este logaritmul zecimal de unu, iar lg2.75 este logaritmul zecimal de două virgulă șaptezeci și cinci de sutimi.
Merită să ne oprim separat asupra condițiilor a>0, a≠1 și b>0, în care este dată definiția logaritmului. Să explicăm de unde provin aceste restricții. Pentru aceasta, ne va ajuta o egalitate a formei, numită , care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus.
Să începem cu a≠1 . Deoarece unu este egal cu unu la orice putere, egalitatea poate fi adevărată numai pentru b=1, dar log 1 1 poate fi orice număr real. Pentru a evita această ambiguitate, a≠1 este acceptat.
Să argumentăm oportunitatea condiției a>0 . Cu a=0, după definiția logaritmului, am avea egalitate , ceea ce este posibil doar cu b=0 . Dar atunci log 0 0 ar putea fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Această ambiguitate poate fi evitată prin condiția a≠0 . Și pentru a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
În sfârșit, din inegalitatea a>0 rezultă condiția b>0, deoarece , iar valoarea gradului cu bază pozitivă a este întotdeauna pozitivă.
În încheierea acestui paragraf, spunem că definiția vocală a logaritmului vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului atunci când numărul de sub semnul logaritmului este un anumit grad de bază. Într-adevăr, definiția logaritmului ne permite să afirmăm că dacă b=a p , atunci logaritmul numărului b la baza a este egal cu p . Adică, logul de egalitate a a p =p este adevărat. De exemplu, știm că 2 3 =8 , atunci log 2 8=3 . Vom vorbi mai multe despre asta în articol.
Unul dintre elementele algebrei de nivel primitiv este logaritmul. Numele provine din limba greacă de la cuvântul „număr” sau „grad” și înseamnă gradul în care este necesar să ridicați numărul de la bază pentru a găsi numărul final.
Tipuri de logaritmi
- log a b este logaritmul numărului b la baza a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- lg b - logaritm zecimal (baza logaritmului 10, a = 10);
- ln b - logaritm natural (baza logaritmului e, a = e).
Cum se rezolvă logaritmii?
Logaritmul numărului b față de baza a este un exponent, ceea ce necesită ca baza a să fie ridicată la numărul b. Rezultatul se pronunță astfel: „logaritmul lui b la baza lui a”. Soluția la problemele logaritmice este că trebuie să determinați gradul dat prin numere cu numerele specificate. Există câteva reguli de bază pentru determinarea sau rezolvarea logaritmului, precum și pentru transformarea notației în sine. Folosind ele, se rezolvă ecuații logaritmice, se găsesc derivate, se rezolvă integrale și se efectuează multe alte operații. Practic, soluția logaritmului în sine este notația sa simplificată. Mai jos sunt principalele formule și proprietăți:
Pentru orice a ; a > 0; a ≠ 1 și pentru orice x ; y > 0.
- a log a b = b este identitatea logaritmică de bază
- log a 1 = 0
- log a a = 1
- log a (x y ) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x , pentru k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x \u003d log b x / log b a - formulă pentru tranziția la o nouă bază
- log a x = 1/log x a
Cum se rezolvă logaritmi - instrucțiuni pas cu pas pentru rezolvare
- Mai întâi, scrieți ecuația necesară.
Vă rugăm să rețineți: dacă logaritmul de bază este 10, atunci înregistrarea este scurtată, se obține un logaritm zecimal. Dacă există un număr natural e, atunci notăm, reducând la un logaritm natural. Înseamnă că rezultatul tuturor logaritmilor este puterea la care se ridică numărul de bază pentru a obține numărul b.
Direct, soluția constă în calculul acestui grad. Înainte de a rezolva o expresie cu un logaritm, aceasta trebuie simplificată conform regulii, adică folosind formule. Poți găsi identitățile principale revenind puțin în articol.
Când se adună și se scad logaritmi cu două numere diferite, dar cu aceeași bază, înlocuiți cu un singur logaritm cu produsul sau împărțirea numerelor b și, respectiv, c. În acest caz, puteți aplica formula de tranziție la o altă bază (vezi mai sus).
Dacă utilizați expresii pentru a simplifica logaritmul, există câteva limitări de luat în considerare. Și adică: baza logaritmului a este doar un număr pozitiv, dar nu egal cu unul. Numărul b, ca și a, trebuie să fie mai mare decât zero.
Sunt cazuri când, simplificând expresia, nu veți putea calcula logaritmul în formă numerică. Se întâmplă ca o astfel de expresie să nu aibă sens, deoarece multe grade sunt numere iraționale. În această condiție, lăsați puterea numărului ca logaritm.
