Graficul unei funcții de 2 variabile z = f(x,y) este o suprafață proiectată pe planul XOY în domeniul funcției D.
Luați în considerare suprafața σ , dat de ecuația z = f(x,y) , unde f(x,y) este o funcție derivabilă, și fie M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) un punct fix pe suprafața σ , i.e. z0 = f(x0,y0). Programare. Calculatorul online este conceput pentru a găsi plan tangent și ecuații normale de suprafață. Decizia este luată în format Word. Dacă trebuie să găsiți ecuația tangentei la curbă (y = f(x)), atunci trebuie să utilizați acest serviciu.

Reguli de introducere a funcției:

Reguli de introducere a funcției:

1. Toate variabilele sunt exprimate în termeni de x,y,z

Plan tangent la suprafață σ la punctul ei M 0 este planul în care se află tangentele la toate curbele trasate pe suprafață σ printr-un punct M 0 .
Ecuația planului tangent la suprafața dată de ecuația z = f(x,y) în punctul M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) are forma:

z - z 0 \u003d f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f ' y (x 0, y 0) (y - y 0)

Vectorul se numește vector normal de suprafață σ în punctul M 0 . Vectorul normal este perpendicular pe planul tangent.
Normal la suprafață σ la punct M 0 este o dreaptă care trece prin acest punct și are direcția vectorului N.
Ecuațiile canonice ale normalei la suprafață date de ecuația z = f(x,y) în punctul M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), unde z 0 = f(x 0 ,y 0), au forma:

Exemplul #1. Suprafața este dată de ecuația x 3 +5y . Aflați ecuația planului tangent la suprafață în punctul M 0 (0;1).
Decizie. Să scriem ecuațiile tangente în formă generală: z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
Prin condiția problemei x 0 = 0, y 0 = 1, atunci z 0 = 5
Aflați derivatele parțiale ale funcției z = x^3+5*y:
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
În punctul M 0 (0,1), valorile derivatelor parțiale:
f"x(0;1) = 0
f" y (0; 1) = 5
Folosind formula, obținem ecuația planului tangent la suprafață în punctul M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) sau -5 y + z = 0

Exemplul #2. Suprafața este dată implicit y 2 -1/2*x 3 -8z. Aflați ecuația planului tangent la suprafață în punctul M 0 (1;0;1).
Decizie. Găsim derivate parțiale ale funcției. Deoarece funcția este dată într-o formă implicită, căutăm derivate prin formula:

Pentru funcția noastră:

Apoi:

La punctul M 0 (1,0,1) valorile derivatelor parțiale:
f "x (1; 0; 1) \u003d -3 / 16
f"y(1;0;1) = 0
Folosind formula, obținem ecuația planului tangent la suprafață în punctul M 0: z - 1 \u003d -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) sau 3 / 16 x + z- 19 / 16 \u003d 0

Exemplu. Suprafaţă σ dat de ecuaţie z= y/x + X y – 5X 3 . Aflați ecuația planului tangent și normala la suprafață σ la punct M 0 (X 0 ,y 0 ,z 0) aparținând acesteia dacă X 0 = –1, y 0 = 2.
Să găsim derivatele parțiale ale funcției z= f(X,y) = y/x + X y – 5X 3:
f x '( X,y) = (y/x + X y – 5X 3)' x \u003d - y / x 2 + y – 15X 2 ;
f y' ( X,y) = (y/x + X y – 5X 3)' y = 1/x + X.
Punct M 0 (X 0 ,y 0 ,z 0) aparține suprafeței σ , ca să putem calcula z 0, înlocuind data X 0 = -1 și y 0 = 2 în ecuația de suprafață:

z= y/x + X y – 5X 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
La punctul M 0 (–1, 2, 1) valori ale derivatelor parțiale:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; fy'( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Folosind formula (5), obținem ecuația planului tangent la suprafață σ la punct M 0:
z – 1= –15(X + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15X – 15 – 2y + 4 15X + 2y + z + 10 = 0.
Folosind formula (6), obținem ecuațiile canonice ale normalei la suprafață σ la punct M 0: .
Răspunsuri: ecuația planului tangent: 15 X + 2y + z+ 10 = 0; ecuatii normale: .

Exemplul #1. Având în vedere o funcție z \u003d f (x, y) și două puncte A (x 0, y 0) și B (x 1, y 1). Necesar: 1) se calculează valoarea z 1 a funcției în punctul B; 2) se calculează valoarea aproximativă z 1 a funcției în punctul B pe baza valorii z 0 a funcției în punctul A, înlocuind incrementul funcției în timpul trecerii de la punctul A la punctul B cu o diferenţială; 3) alcătuiți ecuația planului tangent la suprafața z = f(x,y) în punctul C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Decizie.
Scriem ecuațiile tangente în formă generală:
z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
După condiția problemei x 0 = 1, y 0 = 2, atunci z 0 = 25
Aflați derivatele parțiale ale funcției z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" x \u003d 2 x + 3 y 3
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" y \u003d 9 x y 2
La punctul M 0 (1.2), valorile derivatelor parțiale:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Folosind formula, obținem ecuația planului tangent la suprafață în punctul M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
sau
-26x-36y+z+73 = 0

Exemplul #2. Scrieți ecuațiile planului tangent și normala la paraboloidul eliptic z = 2x 2 + y 2 în punctul (1;-1;3).

O suprafață este definită ca un set de puncte ale căror coordonate satisfac un anumit tip de ecuație:

F (x, y, z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Dacă funcţia F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) este continuă la un punct și are derivate parțiale continue la el, dintre care cel puțin una nu dispare, atunci în vecinătatea acestui punct suprafața dată de ecuația (1) va fi suprafata corecta.

Pe lângă cele de mai sus mod implicit de setare, suprafața poate fi definită clar, dacă una dintre variabile, de exemplu, z, poate fi exprimată în termenii celorlalte:

z = f (x , y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

Mai strict, suprafata simpla este imaginea unei mapări homeomorfe (adică o mapare unu-la-unu și reciproc continuă) a interiorului pătratului unității. Această definiție poate primi o expresie analitică.

Să fie dat un pătrat pe un plan cu un sistem de coordonate dreptunghiular u și v , ale cărui coordonate ale punctelor interioare satisfac inegalitățile 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Un exemplu suprafata simpla este o emisferă. Toată zona nu este suprafata simpla. Acest lucru necesită o generalizare suplimentară a conceptului de suprafață.

O submulțime de spațiu în care fiecare punct are o vecinătate care este suprafata simpla, se numește suprafata corecta .

Suprafață în geometrie diferențială

Elicoid

catenoid

Metrica nu determină în mod unic forma suprafeței. De exemplu, metrica unui elicoid și a unui catenoid, parametrizate într-un mod corespunzător, coincid, adică există o corespondență între regiunile lor care păstrează toate lungimile (izometria). Proprietățile care sunt păstrate sub transformări izometrice sunt numite geometria internă suprafete. Geometria internă nu depinde de poziția suprafeței în spațiu și nu se modifică atunci când este îndoită fără tensiune și compresie (de exemplu, când un cilindru este îndoit într-un con).

Coeficienți metrici E , F , G (\displaystyle E,\F,\G) determinați nu numai lungimile tuturor curbelor, ci, în general, rezultatele tuturor măsurătorilor în interiorul suprafeței (unghiuri, zone, curbură etc.). Prin urmare, tot ceea ce depinde doar de metrică se referă la geometria internă.

Secțiune normală și normală

Vectori normali în punctele de suprafață

Una dintre principalele caracteristici ale unei suprafețe este ea normal- vector unitar perpendicular pe planul tangent la un punct dat:

m = [ r u ′ , r v ′ ] | [ r u ′ , r v ′ ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u))),\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

Semnul normalului depinde de alegerea coordonatelor.

Secțiunea suprafeței printr-un plan care conține normala suprafeței într-un punct dat formează o anumită curbă, care se numește sectiune normala suprafete. Normala principală pentru o secțiune normală coincide cu normala la suprafață (până la un semn).

Dacă curba de pe suprafață nu este o secțiune normală, atunci normala sa principală formează un unghi cu normala suprafeței θ (\displaystyle \theta ). Apoi curbura k (\displaystyle k) curba este legată de curbură k n (\displaystyle k_(n)) secțiune normală (cu aceeași tangentă) formula lui Meunier:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta)

Coordonatele vectorului normal pentru diferite moduri de specificare a suprafeței sunt date în tabel:

	Coordonate normale la un punct de suprafață
atribuire implicită	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(() \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\right) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial z))\right)^(2)))))
atribuire explicită	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f) )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\ parțial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial f)(\partial y))\right)^(2)+1))))
sarcină parametrică	(D (y, z) D (u, v) ; D (z, x) D (u, v) ; D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z, x) D (u, v)) 2 + (D (x, y) D (u, v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\dreapta))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\right)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\dreapta)^(2)))))

Aici D (y, z) D (u, v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Toate derivatele sunt luate la punctul (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Curbură

Pentru direcții diferite la un punct dat de pe suprafață, se obține o curbură diferită a secțiunii normale, care se numește curbură normală; i se atribuie un semn plus dacă normala principală a curbei merge în aceeași direcție cu normala la suprafață sau un semn minus dacă direcțiile normalelor sunt opuse.

În general, în fiecare punct de pe suprafață există două direcții perpendiculare e 1 (\displaystyle e_(1))și e 2 (\displaystyle e_(2)), în care curbura normală ia valorile minime și maxime; aceste direcții se numesc principal. O excepție este cazul când curbura normală este aceeași în toate direcțiile (de exemplu, lângă o sferă sau la sfârșitul unui elipsoid de revoluție), atunci toate direcțiile dintr-un punct sunt principale.

Suprafețe cu curbură negativă (stânga), zero (centru) și pozitivă (dreapta).

Se numesc curburi normale în direcțiile principale curburi principale; să le notăm κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))și κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Mărimea:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

Definiție. Un punct situat pe o suprafață de ordinul doi dată de ecuația generală (1) față de ODSC se numește nesingular dacă dintre cele trei numere: există cel puțin unul care nu este egal cu zero.

Astfel, un punct situat pe o suprafață de ordinul doi nu este singular dacă și numai dacă este centrul său, în caz contrar, atunci când suprafața este conică, iar punctul este vârful acestei suprafețe.

Definiție. O tangentă la o suprafață de ordinul doi într-un punct dat non-singular de pe ea este o linie dreaptă care trece prin acest punct, care intersectează suprafața de ordinul doi într-un punct dublu sau fiind o generatrică rectilinie a suprafeței.

Teorema 3. Liniile tangente la o suprafață de ordinul doi într-un punct dat non-singular de pe aceasta se află în același plan, numit plan tangent la suprafața în punctul luat în considerare. Ecuația planului tangent are

Dovada. Fie , , ecuații parametrice ale unei linii drepte care trece printr-un punct nesingular al suprafeței de ordinul doi dat de ecuația (1). Înlocuind în ecuația (1) , , în loc de , , , obținem:

Deoarece punctul se află pe suprafața (1), găsim și din ecuația (3) (această valoare corespunde punctului ). Pentru ca punctul de intersecție al dreptei cu suprafața (1) să fie dublu sau ca linia să se afle în întregime pe suprafață, este necesar și suficient ca egalitatea să fie satisfăcută:

Daca in acelasi timp:

Atunci punctul de intersecție al dreptei cu suprafața (1) este dublu. Si daca:

Apoi linia se află în întregime pe suprafață (1).

Din relațiile (4) și , , rezultă că coordonatele , , ale oricărui punct situat pe orice tangentă la suprafața (1) satisfac ecuația:

Dimpotrivă, dacă coordonatele unui alt punct decât să satisfacă această ecuație, atunci coordonatele , , ale vectorului satisfac relația (4), ceea ce înseamnă că linia este tangentă la suprafața luată în considerare.

Întrucât punctul este un punct nesingular al suprafeței (1), atunci printre numerele , , există cel puțin unul care nu este egal cu zero; deci ecuația (5) este o ecuație de gradul I în raport cu . Aceasta este ecuația planului tangent la suprafața (1) într-un punct nesingular dat pe aceasta.

Pe baza ecuațiilor canonice ale suprafețelor de ordinul doi, este ușor să compuneți ecuațiile planurilor tangente la un elipsoid, hiperboloid etc. la un punct dat asupra lor.

unu). Plan tangent la elipsoid:

2). Plan tangent la hiperboloizi cu una și două foi:

3). Plan tangent la paraboloizi eliptici și hiperbolici:

§ 161. Intersecţia unui plan tangent cu o suprafaţă de ordinul doi.

Luăm ca origine a coordonatelor ODSC un punct nesingular al suprafeței de ordinul doi, axa și o plasăm în planul tangent la suprafață în punctul . Atunci în ecuația generală a suprafeței (1) termenul liber este egal cu zero: , iar ecuația planului care atinge suprafața la origine ar trebui să arate astfel: .

Dar ecuaţia planului care trece prin origine are forma: .

Și, deoarece această ecuație trebuie să fie echivalentă cu ecuația , atunci , , .

Deci, în sistemul de coordonate ales, ecuația de suprafață (1) ar trebui să arate astfel:

În schimb, dacă , atunci ecuația (6) este ecuația suprafeței care trece prin originea coordonatelor , iar planul este planul tangent la această suprafață în punctul . Ecuația dreptei de-a lungul căreia planul tangent la suprafață într-un punct intersectează suprafața (6) are forma:

În cazul în care un . Acesta este un invariant în teoria invariante pentru linii de ordinul doi. Ecuația (7)

Aceasta este a doua linie. După forma acestei linii, invariantul este , prin urmare:

Pentru , iată două linii imaginare care se intersectează.

Când - două linii reale care se intersectează.

Dacă , dar cel puțin unul dintre coeficienți , , nu este egal cu zero, atunci linia de intersecție (7) este două drepte care coincid.

În cele din urmă, dacă , atunci avionul

face parte din suprafața dată, iar suprafața însăși se descompune, prin urmare, într-o pereche de planuri

§ 162. Puncte eliptice, hiperbolice sau parabolice ale unei suprafeţe de ordinul doi.

1. Lasă planul tangent la suprafața de ordinul doi într-un punct să-l intersecteze de-a lungul a două drepte imaginare care se intersectează. În acest caz, punctul se numește punct eliptic al suprafeței.

2. Lăsați planul tangent la suprafața de ordinul doi într-un punct să-l intersecteze de-a lungul a două drepte reale care se intersectează în punctul de contact. În acest caz, punctul se numește punct hiperbolic al suprafeței.

3. Lasă planul tangent la suprafața de ordinul doi într-un punct să-l intersecteze de-a lungul a două drepte care coincid. În acest caz, punctul se numește punct parabolic al suprafeței.

Teorema 4. Fie ca suprafața de ordinul doi în raport cu ODSC să fie dată de ecuația (1) și această ecuație (1) să fie ecuația unei suprafețe reale de ordinul doi. Atunci dacă ; atunci toate punctele suprafeței sunt eliptice.

Dovada. Să introducem un nou sistem de coordonate , alegând orice punct nesingul al suprafeței date ca origine de coordonate și plasând axele și în planul tangent la suprafață în punctul . Ecuația (1) în noul sistem de coordonate este transformată în forma:

Unde . Să calculăm invarianta pentru această ecuație.

Deoarece semnul nu se schimbă în timpul trecerii de la o ODSC la alta, semnele și sunt opuse, deci, dacă , atunci ; și, după cum rezultă din clasificare (vezi § 161), planul tangent la suprafață într-un punct intersectează suprafața de-a lungul a două drepte de intersectare imaginare, i.e. este un punct eliptic.

2) Un hiperboloid cu o singură foaie și un paraboloid hiperbolic constau din puncte hiperbolice.

3) Conul real de ordinul doi (nu este exclus vârful), cilindrii eliptici (reali), hiperbolici și parabolici sunt formați din puncte parabolice.

cilindru parabolic.

Pentru a determina locația unui cilindru parabolic, este suficient să știți:

1) un plan de simetrie paralel cu generatoarele cilindrului;

2) un plan tangent la cilindru, perpendicular pe acest plan de simetrie;

3) un vector perpendicular pe acest plan tangent și îndreptat spre concavitatea cilindrului.

Dacă ecuația generală definește un cilindru parabolic, acesta poate fi rescris astfel:

Să alegem m astfel încât avionul

ar fi reciproc perpendiculare:

Cu această valoare m avion

va fi un plan de simetrie paralel cu generatoarele cilindrului.

Avion

va fi planul tangent la cilindru, perpendicular pe planul de simetrie indicat și vectorul

va fi perpendicular pe planul tangent găsit şi îndreptat spre concavitatea cilindrului.

Ecuație plană normală

1.

4.

Plan tangent și normal de suprafață

Să fie dată o suprafață, A este un punct fix al suprafeței și B este un punct variabil al suprafeței,

(Fig. 1).

Vector diferit de zero

→

n

numit vector normal la suprafata in punctul A daca

lim B→A j = π 2 .

Un punct de suprafață F (x, y, z) = 0 se numește obișnuit dacă în acest punct

1. derivatele parțiale F " x , F " y , F " z sunt continue;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Dacă cel puțin una dintre aceste condiții este încălcată, se numește un punct de pe suprafață punct singular al suprafeței .

Teorema 1. Dacă M(x 0 , y 0 , z 0 ) este un punct obișnuit al suprafeței F (x , y , z) = 0 , atunci vectorul

→ n \u003d grad F (x 0, y 0, z 0) \u003d F "x (x 0, y 0, z 0) → i + F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

este normală acestei suprafețe în punctul M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Dovada dat în carte de I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Curs de matematică superioară: Calcul integral. Funcțiile mai multor variabile. Ecuatii diferentiale. M.: Editura MEI, 2002 (p. 128).

Normal la suprafață la un anumit punct se numește dreptă al cărei vector de direcție este normal cu suprafața în acest punct și care trece prin acest punct.

Canonic ecuații normale poate fi reprezentat ca

x − x0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y − y0 F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z−z0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Plan tangent la suprafata la un punct se numeste plan care trece prin acest punct perpendicular pe normala la suprafata in acel punct.

Din această definiţie rezultă că ecuația planului tangent se pare ca:

(3)

Dacă un punct de pe suprafață este singular, atunci în acest punct vectorul normal la suprafață poate să nu existe și, în consecință, suprafața poate să nu aibă un plan normal și un plan tangent.

Sensul geometric al diferenţialului total al unei funcţii a două variabile

Fie funcția z = f (x , y) diferențiabilă în punctul a (x 0 , y 0 ) . Graficul său este suprafața

f (x, y) − z = 0.

Să punem z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Atunci punctul A (x 0 , y 0 , z 0 ) aparține suprafeței.

Derivatele parțiale ale funcției F (x , y , z) = f (x , y) − z sunt

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

și în punctul A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. sunt continue;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .

Prin urmare, A este un punct obișnuit al suprafeței F (x, y, z) și în acest punct există un plan tangent la suprafață. Conform (3), ecuația planului tangent are forma:

f "x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Deplasarea verticală a unui punct pe planul tangent în timpul tranziției de la punctul a (x 0 , y 0 ) la un punct arbitrar p (x , y) este B Q (Fig. 2). Incrementul de aplicare corespunzător este

(z - z 0 ) \u003d f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Aici, în partea dreaptă este diferența d z al funcției z = f (x, y) în punctul a (x 0 , x 0 ). Prin urmare,
d f (x 0 , y 0 ). este incrementul aplicatei punctului planului tangent la graficul funcției f (x, y) în punctul (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )).

Din definirea diferenţialului rezultă că distanţa dintre punctul P de pe graficul funcţiei şi punctul Q de pe planul tangent este cu un ordin infinitezimal mai mare decât distanţa de la punctul p la punctul a.

La un moment dat și are derivate parțiale continue, dintre care cel puțin una nu dispare, atunci în vecinătatea acestui punct suprafața dată de ecuația (1) va fi suprafata corecta.

Pe lângă cele de mai sus mod implicit de setare suprafata poate fi definita clar, dacă una dintre variabile, de exemplu z, poate fi exprimată în termenii celorlalte:

De asemenea, există parametrice metoda de atribuire. În acest caz, suprafața este determinată de sistemul de ecuații:

Conceptul de suprafață simplă

Mai precis, suprafata simpla este imaginea unei mapări homeomorfe (adică o mapare unu-la-unu și reciproc continuă) a interiorului pătratului unității. Această definiție poate primi o expresie analitică.

Să fie dat un pătrat pe un plan cu un sistem de coordonate dreptunghiular u și v , ale cărui coordonate ale punctelor interioare satisfac inegalitățile 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Un exemplu suprafata simpla este o emisferă. Toată zona nu este suprafata simpla. Acest lucru necesită o generalizare suplimentară a conceptului de suprafață.

O submulțime de spațiu în care fiecare punct are o vecinătate care este suprafata simpla, se numește suprafata corecta .

Suprafață în geometrie diferențială

Elicoid

catenoid

Metrica nu determină în mod unic forma suprafeței. De exemplu, metrica unui elicoid și a unui catenoid, parametrizate într-un mod corespunzător, coincid, adică există o corespondență între regiunile lor care păstrează toate lungimile (izometria). Proprietățile care sunt păstrate sub transformări izometrice sunt numite geometria internă suprafete. Geometria internă nu depinde de poziția suprafeței în spațiu și nu se modifică atunci când este îndoită fără tensiune și compresie (de exemplu, când un cilindru este îndoit într-un con).

Coeficienții metrici determină nu numai lungimile tuturor curbelor, ci, în general, rezultatele tuturor măsurătorilor în interiorul suprafeței (unghiuri, zone, curbură etc.). Prin urmare, tot ceea ce depinde doar de metrică se referă la geometria internă.

Secțiune normală și normală

Vectori normali în punctele de suprafață

Una dintre principalele caracteristici ale unei suprafețe este ea normal- vector unitar perpendicular pe planul tangent la un punct dat:

.

Semnul normalului depinde de alegerea coordonatelor.

Secțiunea unei suprafețe de către un plan care conține normala (la un punct dat) formează o anumită curbă pe suprafață, care se numește sectiune normala suprafete. Normala principală pentru o secțiune normală coincide cu normala la suprafață (până la un semn).

Dacă curba de pe suprafață nu este o secțiune normală, atunci normala sa principală formează un unghi θ cu normala suprafeței. Apoi curbura k curba este legată de curbură k n secțiune normală (cu aceeași tangentă) formula lui Meunier:

Coordonatele vectorului normal pentru diferite moduri de specificare a suprafeței sunt date în tabel:

	Coordonate normale la un punct de suprafață
atribuire implicită
atribuire explicită
sarcină parametrică

Curbură

Pentru direcții diferite la un punct dat de pe suprafață, se obține o curbură diferită a secțiunii normale, care se numește curbură normală; i se atribuie un semn plus dacă normala principală a curbei merge în aceeași direcție cu normala la suprafață sau un semn minus dacă direcțiile normalelor sunt opuse.

În general, în fiecare punct de pe suprafață există două direcții perpendiculare e 1 și e 2, în care curbura normală ia valorile minime și maxime; aceste direcții se numesc principal. O excepție este cazul când curbura normală este aceeași în toate direcțiile (de exemplu, lângă o sferă sau la sfârșitul unui elipsoid de revoluție), atunci toate direcțiile dintr-un punct sunt principale.

Suprafețe cu curbură negativă (stânga), zero (centru) și pozitivă (dreapta).

Se numesc curburi normale în direcțiile principale curburi principale; să le notăm cu κ 1 și κ 2 . Mărimea:

K= κ 1 κ 2

numit curbura gaussiana, curbură completă sau pur și simplu curbură suprafete. Există și termenul curbură scalară, care implică rezultatul convoluției tensorului de curbură ; în acest caz, curbura scalară este de două ori mai mare decât curbura gaussiană.

Curbura gaussiană poate fi calculată în termeni de metrică și, prin urmare, este un obiect al geometriei intrinseci a suprafețelor (rețineți că curburele principale nu aparțin geometriei intrinseci). După semnul curburii, puteți clasifica punctele suprafeței (vezi figura). Curbura planului este zero. Curbura unei sfere cu raza R este peste tot egală cu . Există, de asemenea, o suprafață cu curbură negativă constantă - o pseudosferă.

Linii geodezice, curbură geodezică

Curba de pe suprafață se numește linie geodezică, sau pur și simplu geodezic, dacă în toate punctele sale normala principală la curbă coincide cu normala la suprafață. Exemplu: pe un plan, geodezicele vor fi drepte și segmente de linie, pe o sferă - cercuri mari și segmentele lor.

Definiție echivalentă: pentru o linie geodezică, proiecția normalei sale principale pe planul contiguu este vectorul zero. Dacă curba nu este o geodezică, atunci proiecția specificată este diferită de zero; lungimea sa se numește curbura geodezică k g curba la suprafata. Exista o relatie:

,

Unde k este curbura acestei curbe, k n- curbura secțiunii sale normale cu aceeași tangentă.

Liniile geodezice se referă la geometria internă. Enumerăm principalele lor proprietăți.

• Una și o singură geodezică trece printr-un punct dat de pe suprafață într-o direcție dată.
• Pe o zonă suficient de mică a suprafeței, două puncte pot fi întotdeauna conectate printr-o geodezică și, în plus, doar unul. Explicație: pe o sferă, polii opuși sunt legați printr-un număr infinit de meridiane, iar două puncte apropiate pot fi conectate nu numai printr-un segment dintr-un cerc mare, ci și prin adăugarea acestuia la un cerc complet, astfel încât unicitatea este observată numai într-una mică.
• Geodezicul este cel mai scurt. Mai strict: pe o bucată mică de suprafață, cea mai scurtă cale dintre punctele date se află de-a lungul geodezicei.

Pătrat

Un alt atribut important al suprafeței este ea pătrat, care se calculează prin formula: