Sinusul unghiul ascuțit α al unui triunghi dreptunghic este raportul opus cateter la ipotenuză.
Se notează astfel: sin α.
Cosinus Unghiul ascuțit α al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
Se notează astfel: cos α.
Tangentă unghiul ascuțit α este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.
Se notează astfel: tg α.
Cotangentă unghiul ascuțit α este raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.
Se desemnează astfel: ctg α.
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi depind doar de mărimea unghiului.
Reguli:
Identități trigonometrice de bază într-un triunghi dreptunghic:
(α - unghi ascutit opus piciorului b și adiacent piciorului A . Latură cu - ipotenuza. β - al doilea unghi acut).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
A | 1 | |
b | 1 | |
A | 1 1 | |
sinα |
Pe măsură ce unghiul ascuțit creștesinα şicreșterea tg α șicos α scade.
Pentru orice unghi ascuțit α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Exemplu explicativ:
Lăsați un triunghi dreptunghic ABC
AB = 6,
BC = 3,
unghi A = 30º.
Aflați sinusul unghiului A și cosinusul unghiului B.
Decizia .
1) În primul rând, găsim valoarea unghiului B. Totul este simplu aici: deoarece într-un triunghi dreptunghic suma unghiurilor ascuțite este de 90º, atunci unghiul B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) Calculați sin A. Știm că sinusul este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză. Pentru unghiul A, piciorul opus este latura BC. Asa de:
BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Acum calculăm cos B. Știm că cosinusul este egal cu raportul catetei adiacente la ipotenuză. Pentru unghiul B, piciorul adiacent este de aceeași latură BC. Aceasta înseamnă că trebuie din nou să împărțim BC în AB - adică să facem aceleași acțiuni ca atunci când calculăm sinusul unghiului A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultatul este:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
De aici rezultă că într-un triunghi dreptunghic sinusul unui unghi ascuțit este egal cu cosinusul altui unghi ascuțit - și invers. Acesta este exact ceea ce înseamnă cele două formule ale noastre:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Să verificăm din nou:
1) Fie α = 60º. Înlocuind valoarea lui α în formula sinusului, obținem:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Fie α = 30º. Înlocuind valoarea lui α în formula cosinus, obținem:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Pentru mai multe despre trigonometrie, vezi secțiunea Algebră)
Una dintre ramurile matematicii cu care școlarii fac față celor mai mari dificultăți este trigonometria. Nu e de mirare: pentru a stăpâni liber această zonă de cunoaștere, aveți nevoie de gândire spațială, abilitatea de a găsi sinusuri, cosinus, tangente, cotangente folosind formule, simplifica expresii și puteți utiliza numărul pi în calcule. În plus, trebuie să fiți capabil să aplicați trigonometria atunci când demonstrați teoreme, iar acest lucru necesită fie o memorie matematică dezvoltată, fie capacitatea de a deduce lanțuri logice complexe.
Originile trigonometriei
Cunoașterea acestei științe ar trebui să înceapă cu definirea sinusului, cosinusului și tangentei unghiului, dar mai întâi trebuie să vă dați seama ce face trigonometria în general.
Din punct de vedere istoric, triunghiurile dreptunghiulare au fost principalul obiect de studiu în această secțiune a științei matematice. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurii luate în considerare folosind două laturi și un unghi sau două unghiuri și o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să-l folosească în mod activ în construcția de clădiri, navigație, astronomie și chiar artă.
Primul stagiu
Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi exclusiv pe exemplul triunghiurilor dreptunghiulare. Apoi au fost descoperite formule speciale care au făcut posibilă extinderea limitelor de utilizare în viața de zi cu zi a acestei secțiuni de matematică.
Studiul trigonometriei la școală începe astăzi cu triunghiuri dreptunghiulare, după care cunoștințele dobândite sunt folosite de elevii la fizică și rezolvarea ecuațiilor trigonometrice abstracte, lucru cu care începe în liceu.
Trigonometrie sferică
Mai târziu, când știința a ajuns la următorul nivel de dezvoltare, formulele cu sinus, cosinus, tangentă, cotangentă au început să fie folosite în geometria sferică, unde se aplică alte reguli, iar suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar este necesar să știm despre existența ei, cel puțin pentru că suprafața pământului, precum și suprafața oricărei alte planete, este convexă, ceea ce înseamnă că orice marcaj de suprafață va fi „în formă de arc” în spatiu tridimensional.
Luați globul și ata. Atașați firul la oricare două puncte de pe glob, astfel încât să fie întins. Atenție - a căpătat forma unui arc. Cu astfel de forme se ocupă geometria sferică, care este folosită în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate.
Triunghi dreptunghic
După ce am învățat puțin despre modalitățile de utilizare a trigonometriei, să revenim la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ce sunt sinus, cosinus, tangentă, ce calcule pot fi efectuate cu ajutorul lor și ce formule să folosiți.
Primul pas este să înțelegem conceptele legate de un triunghi dreptunghic. În primul rând, ipotenuza este latura opusă unghiului de 90 de grade. Ea este cea mai lungă. Ne amintim că, conform teoremei lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumei pătratelor celorlalte două laturi.
De exemplu, dacă două laturi au 3 și respectiv 4 centimetri, lungimea ipotenuzei va fi de 5 centimetri. Apropo, egiptenii antici știau despre asta acum aproximativ patru mii și jumătate de ani.
Cele două laturi rămase care formează un unghi drept se numesc picioare. În plus, trebuie să ne amintim că suma unghiurilor dintr-un triunghi dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular este de 180 de grade.
Definiție
În cele din urmă, cu o înțelegere solidă a bazei geometrice, ne putem întoarce la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi.
Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (adică, latura opusă unghiului dorit) și ipotenuză. Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
Amintiți-vă că nici sinus, nici cosinus nu pot fi mai mari decât unu! De ce? Deoarece ipotenuza este implicit cea mai lungă. Indiferent cât de lung este catetul, acesta va fi mai scurt decât ipotenuza, ceea ce înseamnă că raportul lor va fi întotdeauna mai mic de unu. Astfel, dacă obțineți un sinus sau cosinus cu o valoare mai mare decât 1 în răspunsul la problemă, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este clar greșit.
În cele din urmă, tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Același rezultat va da împărțirea sinusului la cosinus. Uite: conform formulei, împărțim lungimea laturii la ipotenuză, după care împărțim cu lungimea celei de-a doua laturi și înmulțim cu ipotenuză. Astfel, obținem același raport ca în definiția tangentei.
Cotangenta, respectiv, este raportul dintre latura adiacentă colțului și latura opusă. Același rezultat îl obținem împărțind unitatea la tangentă.
Deci, am luat în considerare definițiile a ceea ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă și ne putem ocupa de formule.
Cele mai simple formule
În trigonometrie, nu se poate face fără formule - cum să găsești sinus, cosinus, tangentă, cotangentă fără ele? Și exact acest lucru este necesar atunci când rezolvați probleme.
Prima formulă pe care trebuie să o știți când începeți să studiați trigonometria spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este egală cu unu. Această formulă este o consecință directă a teoremei lui Pitagora, dar economisește timp dacă vrei să cunoști valoarea unghiului, nu a laturii.
Mulți elevi nu își pot aminti a doua formulă, care este, de asemenea, foarte populară atunci când rezolvă probleme școlare: suma lui unu și pătratul tangentei unui unghi este egală cu unul împărțit la pătratul cosinusului unghiului. Aruncă o privire mai atentă: la urma urmei, aceasta este aceeași afirmație ca în prima formulă, doar ambele părți ale identității au fost împărțite la pătratul cosinusului. Se dovedește că o simplă operație matematică face formula trigonometrică complet de nerecunoscut. Amintiți-vă: știind ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, regulile de conversie și câteva formule de bază, puteți oricând să obțineți în mod independent formulele mai complexe necesare pe o foaie de hârtie.
Formule cu unghi dublu și adăugare de argumente
Încă două formule pe care trebuie să le învățați sunt legate de valorile sinusului și cosinusului pentru suma și diferența unghiurilor. Ele sunt prezentate în figura de mai jos. Vă rugăm să rețineți că, în primul caz, sinusul și cosinusul sunt înmulțite de ambele ori, iar în al doilea, produsul pe perechi dintre sinus și cosinus se adaugă.
Există și formule asociate cu argumente cu unghi dublu. Sunt complet derivate din cele anterioare - ca practică, încercați să le obțineți singur, luând unghiul alfa egal cu unghiul beta.
În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi convertite pentru a scădea gradul de sinus, cosinus, tangentă alfa.
Teoreme
Cele două teoreme principale în trigonometrie de bază sunt teorema sinusului și teorema cosinusului. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta și, prin urmare, aria figurii și dimensiunea fiecărei laturi etc.
Teorema sinusului afirmă că, ca urmare a împărțirii lungimii fiecăreia dintre laturile triunghiului la valoarea unghiului opus, obținem același număr. Mai mult, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică cercul care conține toate punctele triunghiului dat.
Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora, proiectând-o pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi, scădeți produsul lor, înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent acestora - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia laturi. Astfel, teorema lui Pitagora se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.
Greșeli din cauza neatenției
Chiar și știind ce sunt sinus, cosinus și tangentă, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii sau a unei erori în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, să facem cunoștință cu cele mai populare dintre ele.
În primul rând, nu trebuie să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale până când nu se obține rezultatul final - puteți lăsa răspunsul ca o fracție obișnuită, cu excepția cazului în care condiția indică altfel. O astfel de transformare nu poate fi numită o greșeală, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a sarcinii pot apărea noi rădăcini, care, după ideea autorului, ar trebui reduse. În acest caz, veți pierde timpul cu operații matematice inutile. Acest lucru este valabil mai ales pentru valori precum rădăcina lui trei sau doi, deoarece acestea apar în sarcini la fiecare pas. Același lucru este valabil și pentru rotunjirea numerelor „urâte”.
Mai mult, rețineți că teorema cosinusului se aplică oricărui triunghi, dar nu teorema lui Pitagora! Dacă uitați din greșeală să scădeți de două ori produsul laturilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar veți demonstra și o neînțelegere completă a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală neglijentă.
În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiuri de 30 și 60 de grade pentru sinusuri, cosinus, tangente, cotangente. Amintiți-vă aceste valori, deoarece sinusul de 30 de grade este egal cu cosinusul lui 60 și invers. Este ușor să le amesteci, în urma căruia vei obține inevitabil un rezultat eronat.
Aplicație
Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să studieze trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul aplicat al acesteia. Ce este sinusul, cosinusul, tangenta pentru un inginer sau astronom? Acestea sunt concepte datorită cărora puteți calcula distanța până la stelele îndepărtate, puteți prezice căderea unui meteorit, puteți trimite o sondă de cercetare pe o altă planetă. Fără ele, este imposibil să construiești o clădire, să proiectezi o mașină, să calculezi sarcina pe suprafață sau traiectoria unui obiect. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.
In cele din urma
Deci ești sinus, cosinus, tangentă. Le puteți folosi în calcule și rezolva cu succes problemele școlare.
Întreaga esență a trigonometriei se rezumă la faptul că parametrii necunoscuți trebuie să fie calculați din parametrii cunoscuți ai triunghiului. Există șase parametri în total: lungimile a trei laturi și mărimile a trei unghiuri. Întreaga diferență a sarcinilor constă în faptul că sunt date diferite date de intrare.
Cum să găsiți sinusul, cosinusul, tangenta pe baza lungimii cunoscute ale catetelor sau ipotenuzei, acum știți. Deoarece acești termeni nu înseamnă nimic mai mult decât un raport, iar un raport este o fracție, scopul principal al problemei trigonometrice este de a găsi rădăcinile unei ecuații obișnuite sau ale unui sistem de ecuații. Și aici vei fi ajutat de matematica școlară obișnuită.
Instruire
Videoclipuri asemănătoare
Notă
Când se calculează laturile unui triunghi dreptunghic, cunoașterea caracteristicilor acestuia poate juca:
1) Dacă catetul unui unghi drept este opus unui unghi de 30 de grade, atunci este egal cu jumătate din ipotenuză;
2) Ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât oricare dintre catete;
3) Dacă un cerc este circumscris unui triunghi dreptunghic, atunci centrul său trebuie să se afle în mijlocul ipotenuzei.
Ipotenuza este latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade. Pentru a-i calcula lungimea este suficient să cunoaștem lungimea unuia dintre catete și valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite ale triunghiului.
Instruire
Anunțați-ne unul dintre picioare și unghiul adiacent acestuia. Pentru certitudine, să fie piciorul |AB| și unghiul α. Apoi putem folosi formula pentru raportul cosinus - cosinus trigonometric al catetei adiacente la. Acestea. în notația noastră cos α = |AB| / |AC|. De aici obținem lungimea ipotenuzei |AC| = |AB| / cosα.
Dacă cunoaștem piciorul |BC| si unghiul α, atunci folosim formula de calcul a sinusului unghiului - sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus fata de ipotenuza: sin α = |BC| / |AC|. Obținem că lungimea ipotenuzei se găsește ca |AC| = |BC| / cosα.
Pentru claritate, luați în considerare un exemplu. Fie lungimea piciorului |AB| = 15. Iar unghiul α = 60°. Obținem |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Luați în considerare cum puteți verifica rezultatul folosind teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm lungimea celui de-al doilea segment |BC|. Folosind formula tangentei unghiului tg α = |BC| / |AC|, obținem |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Apoi, aplicăm teorema lui Pitagora, obținem 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Verificarea este făcută.
Sfaturi utile
După calcularea ipotenuzei, verificați dacă valoarea rezultată satisface teorema lui Pitagora.
Surse:
- Tabelul numerelor prime de la 1 la 10000
Picioarele numiți cele două laturi scurte ale unui triunghi dreptunghic care alcătuiesc vârful acestuia, a cărui valoare este 90 °. A treia latură a unui astfel de triunghi se numește ipotenuză. Toate aceste laturi și unghiuri ale triunghiului sunt interconectate prin anumite relații care vă permit să calculați lungimea piciorului dacă sunt cunoscuți câțiva alți parametri.
Instruire
Utilizați teorema lui Pitagora pentru catetul (A) dacă cunoașteți lungimea celorlalte două laturi (B și C) ale triunghiului dreptunghic. Această teoremă afirmă că suma lungimilor catetelor la pătrat este egală cu pătratul ipotenuzei. De aici rezultă că lungimea fiecărui catete este egală cu rădăcina pătrată a lungimii ipotenuzei și a celui de-al doilea catet: A=√(C²-B²).
Utilizați definiția funcției trigonometrice directe „sinus” pentru un unghi ascuțit, dacă cunoașteți valoarea unghiului (α) opus catetei calculate și lungimea ipotenuzei (C). Aceasta afirmă că sinusul acestui cunoscut este raportul dintre lungimea catetei dorite și lungimea ipotenuzei. Aceasta este că lungimea catetei dorite este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și sinusul unghiului cunoscut: A=C∗sin(α). Pentru aceleași valori cunoscute, puteți utiliza cosecanta și calcula lungimea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la cosecanta unghiului cunoscut A=C/cosec(α).
Utilizați definiția funcției cosinus trigonometric direct dacă, pe lângă lungimea ipotenuzei (C), se cunoaște și valoarea unghiului ascuțit (β) adiacent celui cerut. Cosinusul acestui unghi este raportul dintre lungimile catetei dorite și ale ipotenuzei, iar din aceasta putem concluziona că lungimea catetei este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și cosinusul unghiului cunoscut: A=C∗cos(β). Puteți folosi definiția funcției secante și calculați valoarea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la secantei unghiului cunoscut A=C/sec(β).
Deduceți formula necesară dintr-o definiție similară pentru derivata funcției trigonometrice tangente, dacă, în plus față de valoarea unghiului ascuțit (α) situat opus catetului dorit (A), lungimea celui de-al doilea catet (B) este cunoscut. Tangenta unghiului opus catetei dorite este raportul dintre lungimea acestui picior și lungimea celui de-al doilea picior. Aceasta înseamnă că valoarea dorită va fi egală cu produsul dintre lungimea catetei cunoscute și tangentei unghiului cunoscut: A=B∗tg(α). Din aceleași cantități cunoscute, poate fi derivată o altă formulă folosind definiția funcției cotangente. În acest caz, pentru a calcula lungimea piciorului, va fi necesar să se găsească raportul dintre lungimea piciorului cunoscut și cotangentei unghiului cunoscut: A=B/ctg(α).
Videoclipuri asemănătoare
Cuvântul „katet” a venit în rusă din greacă. În traducere exactă, înseamnă un plumb, adică perpendicular pe suprafața pământului. În matematică, catetele sunt numite laturi care formează un unghi drept al unui triunghi dreptunghic. Latura opusă acestui unghi se numește ipotenuză. Termenul „picior” este folosit și în arhitectură și tehnologia de sudare.
Secanta acestui unghi se obține prin împărțirea ipotenuzei la catetul adiacent, adică secCAB=c/b. Rezultă reciproca cosinusului, adică poate fi exprimată prin formula secCAB=1/cosSAB.
Cosecanta este egală cu câtul împărțirii ipotenuzei la catetul opus și este reciproca sinusului. Poate fi calculat folosind formula cosecCAB=1/sinCAB
Ambele picioare sunt interconectate și cotangente. În acest caz, tangenta va fi raportul dintre latura a și latura b, adică piciorul opus celui alăturat. Acest raport poate fi exprimat prin formula tgCAB=a/b. În consecință, raportul invers va fi cotangenta: ctgCAB=b/a.
Raportul dintre dimensiunile ipotenuzei și ambele picioare a fost determinat de grecul antic Pitagora. Teorema, numele lui, oamenii încă o folosesc. Se spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, adică c2 \u003d a2 + b2. În consecință, fiecare catete va fi egal cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catete. Această formulă poate fi scrisă ca b=√(c2-a2).
Lungimea piciorului poate fi exprimată și prin relațiile pe care le cunoașteți. Conform teoremelor sinusurilor și cosinusurilor, catetul este egal cu produsul ipotenuzei și una dintre aceste funcții. Îl poți exprima și sau cotangent. Piciorul a poate fi găsit, de exemplu, prin formula a \u003d b * tan CAB. Exact în același mod, în funcție de tangenta dată sau , se determină a doua catenă.
În arhitectură se folosește și termenul „picior”. Se aplică pe un capitel ionic și trece prin mijlocul spatelui. Adică, în acest caz, prin acest termen, perpendiculara pe dreapta dată.
În tehnologia de sudare, există o „picior de sudură în unghi”. Ca și în alte cazuri, aceasta este distanța cea mai scurtă. Aici vorbim despre decalajul dintre una dintre piesele care trebuie sudate la marginea cusăturii situată pe suprafața celeilalte părți.
Videoclipuri asemănătoare
Surse:
- care este catetul și ipotenuza în 2019
Care este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi vă va ajuta să înțelegeți un triunghi dreptunghic.
Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuza și catetele: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru, aceasta este latura \ (AC \) ); picioarele sunt cele două laturi rămase \ (AB \) și \ (BC \) (cele care sunt adiacente unghiului drept), în plus, dacă luăm în considerare picioarele față de unghiul \ (BC \) , atunci catetul \ (AB \) este piciorul adiacent, iar piciorul \ (BC \) este opus. Deci, acum să răspundem la întrebarea: care sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?
Sinusul unui unghi- acesta este raportul dintre catetul opus (departe) și ipotenuză.
În triunghiul nostru:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosinusul unui unghi- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.
În triunghiul nostru:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul opus (departe) și cel adiacent (închis).
În triunghiul nostru:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangenta unui unghi- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).
În triunghiul nostru:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a vă ușura să vă amintiți ce picior să împărțiți la ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăși cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusuluiși cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:
cosinus→ating→ating→adiacent;
Cotangent → atinge → atinge → adiacent.
În primul rând, este necesar să ne amintim că sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta ca rapoarte ale laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la un unghi). Nu crede? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:
Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unghiului \(\beta \) . Prin definiție, dintr-un triunghi \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), dar putem calcula cosinusul unghiului \(\beta \) din triunghiul \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.
Dacă înțelegeți definițiile, atunci mergeți mai departe și remediați-le!
Pentru triunghiul \(ABC \) , prezentat în figura de mai jos, găsim \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)
Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghiul \(\beta \) .
Raspunsuri: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Cerc unitar (trigonometric).
Înțelegând conceptele de grad și radian, am considerat un cerc cu raza egală cu \ (1 \) . Un astfel de cerc se numește singur. Este foarte util în studiul trigonometriei. Prin urmare, ne oprim asupra ei mai detaliat.
După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la origine, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei \(x \) (în exemplul nostru, acesta este raza \(AB \) ).
Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonata de-a lungul axei \(x \) și coordonata de-a lungul axei \(y \) . Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Se consideră triunghiul \(ACG \) . Este dreptunghiular deoarece \(CG \) este perpendicular pe axa \(x \).
Ce este \(\cos \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Asta e corect \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). În plus, știm că \(AC \) este raza cercului unitar, deci \(AC=1 \) . Înlocuiți această valoare în formula cosinusului. Iată ce se întâmplă:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Și ce este \(\sin \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Ei bine, desigur, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Înlocuiți valoarea razei \ (AC \) în această formulă și obțineți:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Deci, puteți să-mi spuneți care sunt coordonatele punctului \(C \) , care aparține cercului? Ei bine, în niciun caz? Dar dacă îți dai seama că \(\cos \ \alpha \) și \(\sin \alpha \) sunt doar numere? Cu ce coordonată corespunde \(\cos \alpha \)? Ei bine, desigur, coordonata \(x \) ! Și cărei coordonate corespunde \(\sin \alpha \)? Așa este, coordonata \(y \)! Deci ideea \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Ce sunt atunci \(tg \alpha \) și \(ctg \alpha \)? Așa este, să folosim definițiile adecvate ale tangentei și cotangentei și să obținem asta \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? Iată, de exemplu, ca în această imagine:
Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Considerăm un triunghi dreptunghic \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : un unghi (ca adiacent unghiului \(\beta \) ). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrice) \)
Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei \ (y \) ; valoarea cosinusului unghiului - coordonata \ (x \) ; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații sunt aplicabile oricăror rotații ale vectorului rază.
S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei \(x \). Până acum, am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită dimensiune, dar numai că va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.
Deci, știm că întreaga revoluție a vectorului rază în jurul cercului este \(360()^\circ \) sau \(2\pi \) . Este posibil să rotiți vectorul rază cu \(390()^\circ \) sau cu \(-1140()^\circ \)? Ei bine, bineînțeles că poți! În primul caz, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), astfel încât vectorul rază va face o rotație completă și se va opri la \(30()^\circ \) sau \(\dfrac(\pi )(6) \) .
În al doilea caz, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția \(-60()^\circ \) sau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Astfel, din exemplele de mai sus, putem concluziona că unghiurile care diferă cu \(360()^\circ \cdot m \) sau \(2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg ) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.
Figura de mai jos arată unghiul \(\beta =-60()^\circ \) . Aceeași imagine corespunde colțului \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise cu formula generală \(\beta +360()^\circ \cdot m \) sau \(\beta +2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți cu ce sunt egale valorile:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:
Orice dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(matrice) \)
De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri ale unghiului. Ei bine, să începem în ordine: colțul înăuntru \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corespunde unui punct cu coordonatele \(\left(0;1 \right) \) , prin urmare:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- nu exista;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile în \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corespund punctelor cu coordonate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dreapta) \), respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.
Raspunsuri:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- nu exista
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- nu exista
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- nu exista
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nu exista
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Astfel, putem realiza următorul tabel:
Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Trebuie să vă amintiți sau să puteți scoate!! \) !}
Și aici sunt valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) prezentate în tabelul de mai jos, trebuie să vă amintiți:
Nu trebuie să vă sperii, acum vom arăta unul dintre exemplele de memorare destul de simplă a valorilor corespunzătoare:
Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), precum și valoarea tangentei unghiului în \(30()^\circ \) . Cunoscând aceste \(4 \) valori, este destul de ușor să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(matrice) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)știind acest lucru, este posibil să restabiliți valorile pentru \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Numătorul „\(1 \) ” se va potrivi cu \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , iar numitorul „\(\sqrt(\text(3)) \) ” se va potrivi cu \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile prezentate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți schema cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți numai valorile \(4 \) din tabel.
Coordonatele unui punct pe un cerc
Este posibil să găsim un punct (coordonatele lui) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza și unghiul de rotație al acestuia? Ei bine, bineînțeles că poți! Să derivăm o formulă generală pentru a găsi coordonatele unui punct. Aici, de exemplu, avem un astfel de cerc:
Ni se dă acel punct \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) este centrul cercului. Raza cercului este \(1,5 \) . Este necesar să se găsească coordonatele punctului \(P \) obținute prin rotirea punctului \(O \) cu \(\delta \) grade.
După cum se poate observa din figură, coordonata \ (x \) a punctului \ (P \) corespunde lungimii segmentului \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Lungimea segmentului \ (UK \) corespunde coordonatei \ (x \) a centrului cercului, adică este egală cu \ (3 \) . Lungimea segmentului \(KQ \) poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Atunci avem că pentru punctul \(P \) coordonata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
După aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punctul \(P \) . Prin urmare,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Deci, în termeni generali, coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matrice) \), Unde
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonatele centrului cercului,
\(r\) - raza cercului,
\(\delta \) - unghiul de rotație al razei vectoriale.
După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt zero, iar raza este egală cu unu:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript este dezactivat în browserul dvs.Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!
Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început în zilele Greciei antice. În timpul Evului Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus o contribuție importantă la dezvoltarea acestei științe.
Acest articol este dedicat conceptelor și definițiilor de bază ale trigonometriei. Se discută definițiile principalelor funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Se explică și se ilustrează semnificația lor în contextul geometriei.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice, al căror argument este un unghi, au fost exprimate prin raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.
Definiții ale funcțiilor trigonometrice
Sinusul unui unghi (sin α) este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.
Cosinusul unghiului (cos α) este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
Tangenta unghiului (t g α) este raportul catetului opus față de cel alăturat.
Cotangenta unghiului (c t g α) este raportul dintre catetul adiacent și cel opus.
Aceste definiții sunt date pentru un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic!
Să dăm o ilustrare.
În triunghiul ABC cu unghi drept C, sinusul unghiului A este egal cu raportul dintre catetul BC și ipotenuza AB.
Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei fac posibilă calcularea valorilor acestor funcții din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi.
Important de reținut!
Gama de valori sinus și cosinus: de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinus și cosinus iau valori de la -1 la 1. Gama de valori tangente și cotangente este întreaga linie numerică, adică acestea funcțiile pot lua orice valoare.
Definițiile date mai sus se referă la unghiuri ascuțite. În trigonometrie este introdus conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată de cadre de la grade 0 la 90. Unghiul de rotație în grade sau radiani este exprimat prin orice număr real din - ∞ la + ∞.
În acest context, se poate defini sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de mărime arbitrară. Imaginează-ți un cerc unitar centrat la originea sistemului de coordonate carteziene.
Punctul de pornire A cu coordonatele (1 , 0) se rotește în jurul centrului cercului unitar cu un anumit unghi α și merge la punctul A 1 . Definiția este dată prin coordonatele punctului A 1 (x, y).
Sinus (sin) al unghiului de rotație
Sinusul unghiului de rotație α este ordonata punctului A 1 (x, y). sinα = y
Cosinus (cos) al unghiului de rotație
Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α = x
Tangenta (tg) unghiului de rotație
Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonata punctului A 1 (x, y) și abscisa acestuia. t g α = y x
Cotangente (ctg) a unghiului de rotație
Cotangenta unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α = x y
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordonata punctului după rotație pot fi determinate în orice unghi. Situația este diferită cu tangenta și cotangenta. Tangenta nu este definită atunci când punctul de după rotație merge la punctul cu abscisă zero (0 , 1) și (0 , - 1). În astfel de cazuri, expresia pentru tangenta t g α = y x pur și simplu nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. Situația este similară cu cotangenta. Diferența este că cotangenta nu este definită în cazurile în care ordonata punctului dispare.
Important de reținut!
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.
Tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Când rezolvați exemple practice, nu spuneți „sinusul unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghi de rotație” sunt pur și simplu omise, ceea ce înseamnă că din context este deja clar ce este în joc.
Numerele
Dar definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr și nu unghiului de rotație?
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui număr
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t se numește un număr, care este, respectiv, egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta în t radian.
De exemplu, sinusul lui 10 π este egal cu sinusul unghiului de rotație de 10 π rad.
Există o altă abordare a definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Să o luăm în considerare mai detaliat.
Orice număr real t un punct de pe cercul unitar este pus în corespondență cu centrul de la originea sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt definite în funcție de coordonatele acestui punct.
Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonatele (1, 0).
număr pozitiv t
Număr negativ t corespunde punctului în care se va deplasa punctul de plecare dacă se deplasează în sens invers acelor de ceasornic în jurul cercului și trece pe calea t .
Acum că s-a stabilit legătura dintre număr și punctul de pe cerc, trecem la definirea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.
Sinusul (păcatul) al numărului t
Sinusul unui număr t- ordonata punctului cercului unitar corespunzatoare numarului t. sin t = y
Cosinus (cos) al lui t
Cosinusul unui număr t- abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t = x
Tangenta (tg) a lui t
Tangenta unui număr t- raportul ordonatei la abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. t g t = y x = sin t cos t
Aceste din urmă definiții sunt în concordanță cu și nu contrazic definiția dată la începutul acestei secțiuni. Punct pe un cerc corespunzător unui număr t, coincide cu punctul la care trece punctul de plecare după întoarcerea prin unghi t radian.
Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric
Fiecare valoare a unghiului α corespunde unei anumite valori a sinusului și cosinusului acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corespunde unei anumite valori a tangentei. Cotangenta, așa cum sa menționat mai sus, este definită pentru toate α, cu excepția α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Putem spune că sin α , cos α , t g α , c t g α sunt funcții ale unghiului alfa, sau funcții ale argumentului unghiular.
În mod similar, se poate vorbi de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ca funcții ale unui argument numeric. Fiecare număr real t corespunde unei valori specifice a sinusului sau cosinusului unui număr t. Toate numerele, altele decât π 2 + π · k , k ∈ Z, corespund valorii tangentei. Cotangenta este definită în mod similar pentru toate numerele, cu excepția π · k , k ∈ Z.
Funcții de bază ale trigonometriei
Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt funcțiile trigonometrice de bază.
De obicei, din context este clar cu ce argument al funcției trigonometrice (argument unghiular sau argument numeric) avem de-a face.
Să revenim la datele de la începutul definițiilor și la unghiul alfa, care se află în intervalul de la 0 la 90 de grade. Definițiile trigonometrice ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt în deplin acord cu definițiile geometrice date de rapoartele laturilor unui triunghi dreptunghic. Să arătăm.
Luați un cerc unitar centrat pe un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Să rotim punctul de pornire A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și să tragem din punctul rezultat A 1 (x, y) perpendicular pe axa x. În triunghiul dreptunghic rezultat, unghiul A 1 O H este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y) . Lungimea catetului opus colțului este egală cu ordonata punctului A 1 (x, y), iar lungimea ipotenuzei este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar.
În conformitate cu definiția din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Aceasta înseamnă că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic prin raportul de aspect este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată în intervalul de la 0 la 90 de grade.
În mod similar, corespondența definițiilor poate fi arătată pentru cosinus, tangentă și cotangentă.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
